大学课件(可做考研参考)：第5章_线性定常系统的综合

（证明略）。
四、状态反馈和输出反馈的比较
1.状态反馈为系统结构信息的完全反馈，输出反馈 则是系统结构信息不完全反馈。
2.状态反馈系统的系统矩阵为(A+BK)，其中K为状 态反馈阵。输出反馈系统的系统矩阵为(A+BHC)， 其中H为输出反馈阵，这里HC相当于状态反馈阵中 的K阵，但K的选择自由度大，而H的选择自由度小， 尤其是HC对系统的影响效果要比K小得多，所以输 出反馈对改善闭环系统的控制特性要比状态反馈差 一些。
鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度（增益裕度、 相位裕度等）允许系统参数误差或摄动出现在模型参数 的一个领域内，系统仍保持稳定。
3.对外部扰动影响的抑制问题
本章主要学习和掌握内容： 1、反馈控制系统的基本结构; 2、极点配置方法。
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性
主要学习和掌握内容： 1、学习和理解系统状态反馈和输出反馈的概念； 2、学习和了解反馈控制系统的基本结构； 3、学习和掌握状态反馈和输出反馈对系统能控性 和能观性的影响。
(3)以使系统的输出 y 无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为 性能指标，相应的综合问题为跟踪问题。
(4)以使一个多输入-多输出系统实现“一个输入只控制一个 输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
2.优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次 型积分性能指标，其形式为：
x Ax Bu
y
Cx
Du
v： 参 考 输 入 ，r维 向 量.
闭环系统状态空间表达式？
开环系统:Σo (A,B,C,D)
x•
Ax
Bu
y Cx Du
闭 环系 统 Σk :
u Kx v(v为 输 入)
x•
(
A
B
K
)
x
B
v
y (C DK)x Dv
闭环系统:Σk [(A BK),B,(C DK),D]
性能指标
非优化型性能指标：是一类不等式型 的指标，即只要性能达到或好于期望 指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标：是一类极值型指标， 综合的目的是要使性能指标在所有可能 值中取为极小(或极大)值。
1.常用非优化型性能指标：
(1)以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。
(2)以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问 题为极点配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调 量、过渡过程）主要由极点的位置所决定。
1）建立可配置条件问题，即利用状态反馈而任意地配置 其闭环极点所应遵循的条件。
2）建立相应的算法，即用以确定满足极点配置要求的状 态反馈增益矩阵K的算法。
二、极点配置条件
定理:采用状态反馈对系
统∑o=(A, b, c) 任意配置 其所有极点的充要条件是
∑o=(A, b, c) 完全能控。
证明:若Σo能控,则可写出能控标准I型
则反馈系统k 完全能观测。
上例说明状态反馈可能改变系统的能观测性。这时因为
状态反馈会改变系统的极点(不改变零点)，这就有可能使传 递函数出现零极点对消，从而破坏系统的能观测性。
结论2：输出反馈的引入能同时不改变系统的能控性
和能观测性，即输出反馈系统∑F的能控性及能观测 性与受控系统∑o的能控性及能观测性一致。
(A bK)x y cx
bv
0
(
A
bK)
0 a
0
a1
In1
an1
0
1
k0
k1
kn1
0 (a0 k0 )
(a1 k1)
In1
( an1 kn1)
则闭环系统的特征多项式为:
λI (A bK) λI (A bK)
λn ( an1 kn1) λn1 ( an2 kn2 ) λn2 ( a1 k1) λ( a0 k0 )
J (u()) (xT Qx uT Ru)dt 0
R 正定对称常阵;
Q
正
定
对
称
或
半
正
定
对称常
阵
且(
A,
Q
1 2
)为
能
观
测
。
三、研究综合问题的思路
1 建立可综合的条件：建立相对于给定的 受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控 制存在，并实现综合目标所应满足的条件。
2 建立起相应的用以综合控制规律的算法。
Qck [ B( A B K ) B( A B K )n1B ]
假 设 受 控 系 统0 完 全 能 控必 , 有:
r an kQc r an k[ BA BAn1B ] n
而
Qck [ B( A B K ) B( A B K )n1B ]
上式中列向量
(A BK)B AB BKB
故 (A BK)B的 列 向 量 可 由[B,AB]的 列 向 量 的 线 性组 合 来 表 示 。
一、反馈控制系统的基本结构形式(理论结构形式)
1 状态反馈控制系统的基本结构形式
1）基本结构形式
2）特点：
采用对状态向量的 线性反馈规律来构成闭 环系统。
3）优点：不引入新的 状态变量，维数不变。
受控系统即开环系统 反 馈 控 制 规 律 为: u Kx v
0 ( A, B,C, D)为:
K：r n状 态 反 馈 阵 ；
系统维数不变， 极点可配置
当
D
0
,x• y
(A Cx
B
K
)
x
B
v; W
Σk [(A (s) C[sI
BK) (A
,B,C] BK)]1B
2.输出反馈控制系统的基本结构形式
1）基本结构形式
2）特点：
采用输出反馈。
3）数学模型：
受控系统为：
x Ax Bu
y
Cx
反 馈 控 制 规 律:
u Hy v HCx v
因此有
r a n k Qck r a n k Qc
又 ,我 们 可 把c (A,B,C)看 作 由ck ((A BK),B,C) 经 反 馈 而
形 成 的 状 态 反 馈 系 统 c (((A BK) BK),B,C)
故而有
r a n k Qc r a n k Qck
r a n k Qc r a n k Qck
n
f*(λ )
( λλi*
)λn
an*1λn1
a1*λ
a
* 0
i1
பைடு நூலகம்
f*(λ )表 示 以 期 望 极 点λ1* ,λ2* ,...,λn*为 特 征 值 的 特 征 多 项 式。
闭 环 反 馈 系 统 的 传 递 函数 ：wk(s) c[sI (A bK)]1b
3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与补偿器系统阶次之和。
三、状态反馈和输出反馈对系统能控性和能观测性 的影响
结论1：状态反馈的引入，不改变系统的能控性，但 可能改变系统的能观测性。
证明：先证明能控性。
受 控 系 统0 的 能 控 性 判 据 阵:
Qc [ BA BAn1B ]
反 馈 系 统ck 的 能 控 性 判 据 阵:
一般控制作用规律常取反馈的形式。
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
x Ax Bu, x(0) x0 t 0
(1)
y Cx
A、B、C均为常阵且给定。
再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。
4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。
结论1证明(续)
同理
(A BK)2 B (A BK)(A BK)B(A BK)(AB BKB) A2B ABKB BKAB BKBKB 故 (A BK)2 B的 列 向 量 可 由 [BA,B,A2B]的 列 向 量 的 线 性 组合 表 示 。 以 此 类 推 (A B K )n1B 的 列 向 量 可 由 [ BA,B ,A2BAn1B ] 的 列 向 量 的线性组合来表示。
一、状态反馈的极点配置问题
状态反馈的极点配置问题：就是对给定的受控系统， 确定状态反馈律
u = Kx + v,
v 为参考输入，
即确定一个 r×n 的状态反馈增益矩阵K，使所导出的状
态反馈闭环系统 x (A BK )x Bu 的极点为期望
极点{
λ
* 1
,
λ
* 2
,
,
λ
* n
}。
解决上述极点配置问题，需要解决两个问题：
利用这些算法，对满足可综合条件的问题。 确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的 状态反馈或输出反馈矩阵。
四、工程实现中的一些理论问题
1.状态反馈物理构成问题：
(1)状态可直接测量：直接实现
(2)状态不可直接测量：间接实现，可通过可测量的 输入和输出变量来估计系统状态——“状态观测器”
2.系统模型不准确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理 论来解决）。
x Tc1x •
;A
Tc11ATc 1
0 a0
In1
a1 an1;b Tc11b
x Ax bu
c cTc1 b0 b1 bn1
Wo(s)
c(sI
A )1b
bn1sn1
bn
sn2
2
b1s
s
a
sn1
n1
a1s
a0
b0
0
0
1
K
设状态反馈阵： k0 k1 kn1
状闭态环反系馈统系, 即统x•
ck 能 控 当 且 仅 当c 能 控 。证 毕 。
再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。举例说明：
o
x
1 0
32x 01u
y 1 1x
能 观 测 性 判 别 阵:
Qo
C C A
1 1
1 5
故 o 能观测。
引 入 状 态 反 馈且, 取状 态 反 馈 阵 为 ：K 0
rankQo 2 n
5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。
6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
5.2 极点配置问题:单输入系统
主要学习和掌握内容： 1、学习和掌握利用状态反馈配置极点的方法 和特点。 2、学习和理解利用输出反馈配置极点的方法 和特点。
综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
一般 u 依赖于系统的实际响应。
形式为： u = K x + v
状态反馈控制
u=Hy+v
输出反馈控制
其中：K 为 r×n常阵，状态反馈矩阵。
H为 r×m常阵，输出反馈矩阵。
v为参考输入向量。
二、性能指标的类型
（2） （3）
二、反馈控制系统的通用结构形式(适用于工程实际)
1. 带有观测器的状态反馈（克服状态向量 x 不可能测量到， 借助状态观测器实现状态重构）。
1）结构图
2）观测器系统
x*是受控系统的状态 x 的重构
状态。 x* 是可直接量测的。 x* 与 x 虽不等，但渐近相等。
图. 利用观测器实现状态反馈 （扩展状态反馈系统）
观测器系统的阶次低于受控系统的阶次。
3）闭环系统阶次等于受控系统阶次与观测器系统阶次之和。
2. 带补偿器的输出反馈
克服基本结构形式，不能随心所欲地任意配置闭环系统 的极点，借助补偿器来实现闭环系统的任意配置。
1）结构图
2）补偿器系统
图. 动态输出反馈（扩展输出反馈系统）
补偿器系统的阶次低于受控系统的阶次。
输 出 反 馈 后 闭 环 系 统 的状 态 空 间 描 述 ：
x ( A BHC)x Bv
y
(C
DHC)x
Du
输 出 反 馈 系 统 的 传 递 函数 矩 阵 ：
H为r m输 出 反 馈 阵. GC (s) (C DHC)(sI A BHC)1 B D
受控系统传递函数：GO (s) C(sI A)1 B D 则闭环传递函数为：GC (s) GO (s)[I HGO (s)]1 [I GO (s)H ]1GO (s)
第5章 线性定常系统的综合
5.1 线性反馈控制系统的基本结构及其特性 5.2 极点配置问题
系统的分析与综合：
分析问题：已知系统的结构和参数及已知外 输入作用，研究系统运动的定性行为(如能控 性、能观测性、稳定性)和定量的变化规律。
综合问题：已知系统的结构和参数，以及所 期望的系统运动形式或某些特征，要确定的 则是需要施加于系统的外输入作用即控制作 用的规律(简称控制律)。
4
则
反
馈
系
统k
:x
(
A
B
K
)
x
B
v
1 0
y 1 1 x
21x 01v
能
观
测
性
判
别
阵：Q c k
C C ( A
B
K )
1 1
1 1
因 此 ，k 不 完 全 能 观 测。
r an kQck 1 n 2
若取状态反馈阵为：K 0 - 5
Qck
C C ( A
B K )
1 1
1 0
rankQck 2