大学课件(可做考研参考)：第5章_线性定常系统的综合
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线性定常系统的综合
(5-17)
15
比较上述两种基本形式的反馈可以看出，输 出反馈中的 HC 与状态反馈中的 K 相当。但由于 m<n ，所以 H 可供选择的自由度远比 K 小，因而 输出反馈只能相当于一种部分状态反馈。只有当 C=I时，HC=K，才能等同于全状态反馈。
因此，在不增加补偿器的条件下，输出反馈 的效果显然不如状态反馈系统好。但输出反馈在 技术实现上的方便性则是其突出优点。
k A BK , B, C
可见，状态反馈阵 K 的引入，并不增加系统 的维数，但可通过 K 的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
10
5.1.2 输出反馈
输出反馈是采用输出矢量 y 构成线性反馈律。 在经典控制理论中主要讨论这种反馈形式。
11
受控系统 0 A, B, C , D
可见引入状态反馈 K=[-1 0] 后，闭环系统保 持能控性不变，却破坏了系统的能观性 。
28
实际上这反映在传递函数上出现了零极点相 消现象。
因为
s 1 0 1 s W0 s csI A b 0 1 2 1 s 1 s 1
23
同理，第三块
A BK 2 B A2 B ABKB BKAB BKBKB
的列矢量可用[B AB A2B]的线性组合表示。 其余各分块类同。 因此 Qck可看作是由 Qc0经初等变换得到的， 而矩阵作初等变换并不改变矩阵的秩。所以Qck与 Qc0 的秩相同，定理得证。
u H Cx Du v HCx HDu v
(5-10)
整理得
u I HD1 HCx v
(5-11)
再把式(5-11)代入(5-7)求得
线性定常系统的综合-PPT精品文档
u V Kx
(A x bK)x b V yCx
因为A 和 b 一定，确定K 就可以配置系统的极点。
极点配置
1 x，可以使系统具有能控标准形。 经过线性变换 xP
1 0 0 0 0 0 0 1 0 x x u 0 0 0 1 0 1 a0 a1 an1
线性定常系统的综合
1. 状态反馈和输出反馈 2. 状态反馈系统的能控性和能观测性 3. 极点配置 4. 镇定问题 5. 状态重构和状态观测器 6. 降阶观测器 7. 带状态观测器的状态反馈系统 8. 解耦问题
状态反馈和输出反馈
1 状态反馈 线性定常系统方程为：
线性定常系统综合：给定被控对象，通过设计控制器的结构和参数， 使系统满足性能指标要求。
y β β x 0 β 1 n 1
1 1 系统传递函数：g ( s ) C [ s I A ] b C [ s I A ] b n 1 n 2 β s β s β s β ( s ) n1 n2 1 0 n n 1 s a s a s a ( s ) n1 1 0
Ax Bu x y Cx Du
u V Kx
（1）
假定有n 个传感器，使全部状态变量均可以用于反馈。 （2）
n反馈增益矩阵；V 为r 维输入向量。 其中，K 为 r
状态反馈和输出反馈
则有
x Ax B ( V Kx ) ( A BK ) x BV y ( C DK ) x DV
（9）式说明，引入状态反馈不改变系统的能控性。但是，状态 反馈可以改变系统的能观测性。
极点配置
线性定常系统的综合
第5章线性定常系统的综合5.1 系统综合的概念1、系统综合系统综合：确定系统控制规律（控制器的结构和参数）。
控制方式：开环/闭环（反馈）控制。
反馈控制综合方法：时域法（状态空间法），复频域法（根轨迹法、对数频率特性法等）。
2、期望极点系统的动态性能与闭环极点和零点都有关，但主要地取决于极点在左半s平面上的位置。
根据系统时域性能指标所确定的综合后系统的极点称为期望闭环极点。
通过系统综合使闭环系统极点分布在期望位置称为极点配置。
◆典型二阶系统222()2nn nG s s s ωζωω=++ 当给定系统的p M 和s t (2%~5%)∆=，可确定系统的期望闭环主导极点为*21,2j j 1d n n λσωζωωζ=±=-±-式中，p M 为最大超调量，s t 为调节时间，ζ为阻尼比，n ω为自然振荡频率。
()y t t2∆st p t r t 1maxy pM⨯⨯ImRe01ζ<<*1,2j dλσω=±dωnωσθ◆单变量高阶系统以将闭环系统设计为近似二阶系统的目标，先按照系统的p M 和s t 确定闭环主导极点为*1,2j d λσω=±，再按照*1,2Re[]5Re[]i λλ>的要求确定其他期望闭环极点*(3,4,,)ii n λ=。
若原系统在期望闭环主导极点附近有零点，可有意设置期望极点与其形成偶极子，以保证闭环主导极点的主导性。
ReIm⨯⨯σ5σ⨯⨯⨯⨯⨯闭环主导极点*1,2j dλσω=±◆多变量系统确定期望极点的难度较大。
一般先分别确定各子系统的期望极点，再进行协调。
3、综合的内容动态+稳态5.2 两种比例反馈（取自讲义5.2/5.3）1、输出比例反馈和状态比例反馈对系统0(,,)S A B C ▼输出比例反馈⊗vB⊗⎰ACFyxux图中，r m F ⨯—输出反馈系数矩阵；1r v ⨯—参考输入。
原系统的控制量成为u Fy v =+即u FCx v =+闭环系统(,,)f f S A B C 为()BF x A x C v B =++y Cx =▼状态比例反馈⊗vB⊗⎰ACKyxux图中，r n K ⨯—状态反馈系数矩阵；1r v ⨯—参考输入。
天津大学 现代控制理论课件 窦立谦 第5章 线性定常系统的综合
将受控对象写 成不可控但可 观测的实现
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
5.2 极点配置问题
2 采用输出反馈
ur×1
xn×1
ym×1
vr×1
r ×m
∑ 0 ：A, B, C ) (
∑ H = [ A + BHC , B, C ]
改变了系统的极点。
5.2 极点配置问题
（1）定理 ）定理5.2-2
0 0 0 1 & x = 1 −1 0 x + 0 u , y = [ 0 1 1] x 0 1 −1 0
①验证原系统的能控性。 验证原系统的能控性。
1 0 0 rank[ B AB A2 B] = 0 1 −1 = 3 0 0 1
④计算K 计算
K = [ k1 k 2 k3 ] = [ −2 − 3 − 3]
5.2 极点配置问题
例5.2-2 试研究下列受控对象
G (s) = 10( s + 1) s ( s + 1)( s + 2)
采用状态反馈使闭环极点位于 −2,− 1 ± j 的可能性。 将受控对象写 成可控但不可 观测的实现
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
定理5.1-2：输出反馈不改变原系统的能观性与能控性． 定理
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
例5.1-1
5.1 线性反馈控制系统的基本结构
绪论
本章结构 • 第5章 线性定常系统的综合 章
f * (λ ) = (λ + 2)( λ + 1 + j 3)( λ + 1 − j 3) = λ 3 + 4λ 2 + 8λ + 8
第5章_线性定常系统的综合
再证状态反馈系统不一定能保持能观测性。通过举例说明：
受控系统 o：
x
1 0
32x 01u
y 1 1x
能 观 测 性 判 别 阵:
Qo
C C A
1 1
51，
rankQo 2 n
故受控系统o 能观测。
引入状态反馈，且 取状态反馈阵为：K 0 4
则闭环反
馈
系
统k
：x
(
A
B
K
)
x
B
v
1 0
y 1 1 x
(2)状态不可直接测量：间接实现，通过可测量的输 入和输出变量来估计系统状态——“状态观测器”；
2.系统模型不准确和系统参数摄动问题（鲁棒控制理 论研究范畴）。
鲁棒控制：系统有一定的稳定性裕度(增益裕度、相 位裕度等)，允许系统参数误差或摄动出现在模型参数的 一个邻域内，系统仍保持稳定。
3.对外部扰动影响的抑制问题
闭环系统Σk :
受 控 系 统0 的 能 控 性 判 阵：Qc [ BA BAn1B ]
[(A BK)，B]
闭 环系 统k 的 能 控 性 判 阵:Qck [ B ( A B K) B ( A B K)n1B ]
比 较 Qc和 Qck： 第 一 分 块 相 同 ； 第 二 分 块 ： 在 Qck中 ， (A BK)B AB BKB AB B(KB)， 故 (A BK)B
形式来构造。根据反馈信号的不同，可具有如下两种形式：
状态反馈控制 u = K x + v
或：
输出反馈控制 u = H y + v
两种形式均属线性反馈控制律。其中：x和y分别为系统的状 态向量(n维)与输出向量(m维)； v为系统的参考输入，u为作 用于受控系统的控制输入，两者维数相同(r维) 。反馈阵
第五章 线性控制系统的综合
9
第五章 线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
从系统输出到状 态矢量导数的线 性反馈形式在状 态观测器获得应 用。 受控对象的状态空间表达式
Ax Bu x y Cx Du
10
第五章 线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
闭环系统的状态空间表达式
Ax Gy Bu x y Cx Du
4）比较特征多项式对应项的系数，得
k0 4, k1 4, k2 1
25
第五章 线性定常系统的综合
优点：能控标准型使得计算简单，可以直接 计算状态反馈阵K。
缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以 检测，给工程实现增加困难
串联实现，系统的状态方程为
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1 y 10 0 0x
16
第五章 线性定常系统的综合
采用状态反馈（单输入单输出系统）
以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 1 x 0 u 1 a2
状态反馈控制律为 u Kx k0 k1 得到闭环系统
设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极 点是-2和-3. 解：设控制律为 u Kx k0 k1 x 闭环系统的状态方程为
0 x 2 k 0 1 x 3 k1
20
第五章 线性定常系统的综合
闭环系统的特征方程为 f () 2 (3 k1 ) k0 2
输出反馈闭环系统的状态空间表达式
[ A B ( I HD ) 1 HC ] x B ( I HD ) 1 v x y (C D( I HD ) 1 HC ) x Dv
第五章 线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
从系统输出到状 态矢量导数的线 性反馈形式在状 态观测器获得应 用。 受控对象的状态空间表达式
Ax Bu x y Cx Du
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第五章 线性定常系统的综合
从输出到状态矢量导数的反馈
闭环系统的状态空间表达式
Ax Gy Bu x y Cx Du
4）比较特征多项式对应项的系数，得
k0 4, k1 4, k2 1
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第五章 线性定常系统的综合
优点：能控标准型使得计算简单，可以直接 计算状态反馈阵K。
缺点：能控标准型所需的状态变量信息难以 检测，给工程实现增加困难
串联实现，系统的状态方程为
0 0 1 0 0 1 1 x 0 u x 0 0 2 1 y 10 0 0x
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第五章 线性定常系统的综合
采用状态反馈（单输入单输出系统）
以3阶能控标准型为例，设计状态反馈控制律
0 0 x a 0 1 0 a1 0 0 1 x 0 u 1 a2
状态反馈控制律为 u Kx k0 k1 得到闭环系统
设计状态反馈控制律，使得闭环系统的极 点是-2和-3. 解：设控制律为 u Kx k0 k1 x 闭环系统的状态方程为
0 x 2 k 0 1 x 3 k1
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第五章 线性定常系统的综合
闭环系统的特征方程为 f () 2 (3 k1 ) k0 2
输出反馈闭环系统的状态空间表达式
[ A B ( I HD ) 1 HC ] x B ( I HD ) 1 v x y (C D( I HD ) 1 HC ) x Dv
第五章 线性定常系统的综合
第四章
线性定常系统的综合
引言
控制系统的分析与综合 ⑴ 控制系统分析： 在已建立的数学模型基础上研究系统的各种性能及其与系统的结构、 参数和外部作用之间的关系。这里所指的系统性能包括系统响应、可控性、 可观测性、稳定性等。 ⑵ 控制系统综合 寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求 都得到满足。 经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式：
rank C T
[ = rank [C
[
AT C T
T
... ( AT ) n −1 C T
]
... ( AT − C T H T ) n −1 C T
Байду номын сангаас
= rank C T
( AT − C T H T )C T ( A − HC )T C T
... (( A − HC )T ) n −1 C T
]
]
Gk ( s ) = C ( sI − A + BK ) −1 B
(4 − 283)
因此可用{A-BK,B,C}来表示引入状态反馈后的闭环系统。
加入状态反馈后的系统结构图
ν+
_
u
B
+ +
& x
1 I s A K
x
C
y
⑵ 输出反馈 系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了 限制。在此情况下，常采用输出反馈法。输出反馈法的目的首先是 使系统系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系 统性能。 输出反馈有两种形式： ① 将输出反馈至状态微分，图（a）； ② 将输出反馈至参考输入，图（b）。
同理可得
rankQc ≤ rankQck
线性定常系统的综合
引言
控制系统的分析与综合 ⑴ 控制系统分析： 在已建立的数学模型基础上研究系统的各种性能及其与系统的结构、 参数和外部作用之间的关系。这里所指的系统性能包括系统响应、可控性、 可观测性、稳定性等。 ⑵ 控制系统综合 寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求 都得到满足。 经典控制理论和现代控制理论中，反馈都是系统设计的主要方式：
rank C T
[ = rank [C
[
AT C T
T
... ( AT ) n −1 C T
]
... ( AT − C T H T ) n −1 C T
Байду номын сангаас
= rank C T
( AT − C T H T )C T ( A − HC )T C T
... (( A − HC )T ) n −1 C T
]
]
Gk ( s ) = C ( sI − A + BK ) −1 B
(4 − 283)
因此可用{A-BK,B,C}来表示引入状态反馈后的闭环系统。
加入状态反馈后的系统结构图
ν+
_
u
B
+ +
& x
1 I s A K
x
C
y
⑵ 输出反馈 系统的状态常常不能全部测量到，因而状态反馈法的应用受到了 限制。在此情况下，常采用输出反馈法。输出反馈法的目的首先是 使系统系统闭环成为稳定系统，然后在此基础上进一步改善闭环系 统性能。 输出反馈有两种形式： ① 将输出反馈至状态微分，图（a）； ② 将输出反馈至参考输入，图（b）。
同理可得
rankQc ≤ rankQck
5线性定常系统综合
量系统的许多控制问题，但也暴露了许多经典控制理论的局限性。
二.带状态反馈结构的控制系统(条件：原系统完全能控) ★ 前后能控性保持不变，可能影响能观性
输出反馈工程上构成方便，但输出量的个数往往小于状态变量的个数， 故状态反馈有更多的控制余地，随着状态观测器和卡尔曼滤波理论的发展， 状态反馈的物理实现问题也基本解决。 研究表明： 输出反馈可行，状态反馈可行； 状态反馈可行，输出反馈不一定可行。
但改变分母（极点）；
• 当系统原传递函数（阵）有零点时，可能在改变了分母后，引起零极 点对消，影响系统的能观性。
• 尽量选择状态变量在物理上容易采集的实现作为原系统的实现。
2、极点配置算法（非奇异变换法 ）
（1）判断能控性 （2）对于系统Σ=(A,b,c)，确定使系统转换能控标准型的非奇异变换 阵T ，化为能控标准形，并求原系统特征多项式为
第5章 线性定常系统的综合
5.1 线性反馈控制系统的基本结构 5.2 带输出反馈的综合 5.3 带状态反馈的综合
5.4 状态重构与状态观测器的设计
5.5 带观测器状态反馈系统的综合 5.6 解耦控制系统的综合
所谓控制系统的综合与设计，即给定一个受控设备和预期 性能指标（稳、快、准），要求综合设计出控制器的结构和参 数。综合设计的基础是依据系统的定性分析，因为定性分析充 分解释了系统性质、潜在能力与限制。例如，经典控制理论中， 利用BODE图进行综合设计时，稳定性分析发挥了重要作用。
WH (s) C[sI ( A HC)]1 B
2. 极点配置
闭环系统的性能，主要取决于闭环系统极点在根平面上的位置，即闭 环系统的特征值。 极点配置，就是首先根据生产工艺对控制系统提出的性能指标要求， 给出一组与性能相对应的期望极点值；然后选择反馈矩阵H的元素值， 使闭环系统的极点与期望极点相等，从而使系统获得所希望的性能要 求。 用极点配置方法综合系统时提出两个最主要的问题。一是系统能否进 行任意期望极点的配置，即是否满足任意极点配置的条件。二是若任 意极点配置的条件满足，配置的算法如何。
第五章线性定常系统的设计与综合
图5-2
图5-4
பைடு நூலகம்
第五章 线性定常系统的设计与综合
1. 输出反馈至输入处 方块图：
u
v
B
x
x
C
y
A
H 通过输出反馈构成的闭环系统为(D≠0)
Ax B(V Hy) [ A BH ( I DH )1 C ] x [ B BH ( I DH )1 D]V x y ( I DH )1Cx ( I DH )1 DV
第五章 线性定常系统的设计与综合
第五章 线性定常系统的设计与综合
二
状态反馈方式的极点配置
１ 定理 用状态反馈任意配置系统闭环极点 的充要条件是系统可控。
第五章 线性定常系统的设计与综合
第五章 线性定常系统的设计与综合
第五章 线性定常系统的设计与综合
第五章 线性定常系统的设计与综合
第五章 线性定常系统的设计与综合
5.2 SISO反馈系统的极点配置
一、问题的提出：
1、极点对系统特性的影响 2、极点配置问题： 通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统(A- BK,B,C) 的极点，即(A-BK)的特征值恰好处于所希望的一组极 点位置上。 3、希望极点选取的原则 1）n维控制系统有n个希望极点； 2）希望极点是物理上可实现的，即为实数或共轭复数对； 3）希望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响， 及与零点分布状况的关系。 4）希望极点的选取还须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求。
第五章 线性定常系统的设计与综合
线性系统的状态空间描述及求解 （ 1） 系统 分析
状态空间的基本概念；动态方程模型的建立；线性 变换；动态方程的标准型,状态转移矩阵及其性质； 状态方程的求解。