同济大学线性代数课件__第四章

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定理1: 定理 向量 b可由向量组 α1 ,α 2 ,L,α m 线性表示 可由向量组
Ax = b 有解，其中 A = (α1 ,α 2 ,L,α m ) 有解，
R( A) = R( A, b)
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定义3: 定义 设向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 及 B : β 1 , β 2 ,L , β l 线性表示， 若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 线性表示。 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。 若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 能相互线性表示， 则称向量组 等价。 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。 ， 。
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定义4： 定义 ：设 向 量 组 A : α 1 , α 2 ,L , α m ,
若 存 在 不 全 为 零 实 数 λ1 , λ 2 ,L , λ m , 使 得 λ1α 1 + λ 2α 2 + L + λ mα m = 0 则称向量组 A 线性相关. 否则称向量组A 线性无关.
k11 L k1l M = (α1 ,L , α m ) M k L k ml m1
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定理2: 定理 向量组 B : β 1 , β 2 ,L , β l 能由 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 线性表示 有解， AX = B 有解，其中 A = (α1 ,α 2 ,L,α m ) B = ( β1 , β 2 ,L, β l )
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一些结论： 一些结论： (1) 一个零向量线性相关 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关； 一个非零向量线性无关； (2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例; 它们的对应分量成比例 (3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 一个向量组线性无关， 量的分量所得新向量组仍线性无关。 量的分量所得新向量组仍线性无关。
Τ Τ
Τ
讨论它们的线性相关性. 讨论它们的线性相关性 解: E = ( e1 , e2 ,L , en ) 结论: 结论 线性无关 分别是什么？ 问题: n=3时, e1 , e2 , e3 分别是什么？ 问题 时 上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组 上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组. 基本向量组
则 x1 β 1 + x2 β 2 + x3 β 3 = ( β 1 , β 2 , β 3 ) x = (α1 ,α 2 ,α 3 )Kx = 0 只有零解， 故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
称为向量组 A的一个线性组合， 的一个线性组合， 的一个线性组合
k1 , k2 ,L , km 称为线性组合的系数。 称为线性组合的系数。 系数
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定义2： 定义 ：设向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m , 和向量 b 若存在一组实数 λ1 , λ2 ,L λm , 使得 b = λ1α1 + λ2α 2 + L + λmα m 则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 的一个线性组合， 线性表示。 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
T β1 T β2 A= M βT m
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行向量组: 向量组:
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§2 向量组的线性相关性
定义1： 定义 ：设向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m , 及一组实数
k1 , k2 ,L , km , 表达式
k1α 1 + k2α 2 + L + kmα m
(4) 向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一
个向量可由其余向量线性表示。 个向量可由其余向量线性表示。
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定理5-1： 定理 ：若向量组
线性相关， A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 线性相关， 则向量组 B : α 1 ,α 2 ,L ,α m ,α m +1 也线性相关。 也线性相关。
b1 b2 b= M b m
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a1 j a2 j 若 A = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) , 其中 α j = M a mj
则方程组的向量表示为
x1α 1 + x2α 2 + L + xnα n = b
= =
b1 b2
L L + a mn x n = bm
a11 a12 a 21 a 22 记 A= L L a m1 a m 2
L a1n L a2n L L L a mn
x1 x2 x= M x n
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A : α 1 ,α 2 ,L ,α m B : β 1 , β 2 ,L , β l B 能由 A 线性表示
β j = k1 jα1 + k2 jα 2 + L + kl jα l j = 1, 2,L, l
( β1 , L , β l ) = ( k11α1 + L + k m1α m , L , k1lα1 + L + k ml α m )
R3 = { ( x, y, z)T | x, y, z ∈ R }
几何空间。 通常称为 3 维Euclid几何空间。 几何空间 集合
Π = { ( x, y, z) | ax + by + cz = d }
T
称为 R3 中的一个平面。 中的一个平面。
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例. n 维向量的全体所组成的集合
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推论： 推论： 若向量组 B : α
,α 2 ,L ,α m ,α m +1 线性无关， 线性无关， 则向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 也线性无关。 也线性无关。
定理5-2： 个 维向量 维向量(m 构成的向量组一定线性相关 定理 ：m个n维向量 > n)构成的向量组一定线性相关 构成的向量组一定线性相关. 特别地, 维向量线性相关 特别地 n+1个n维向量线性相关 个 维向量线性相关. 定理5-3： 定理 ：向量组 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 线性无关 线性无关, 向量组
解方程组 x1a1 + x 2 a 2 + x 3 a 3 = b 既解方程组
− 2 x1 + x 2 + x 3 = 0 x1 − 2 x 2 + x 3 = 3 x + x − 2 x = −3 2 3 1
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得
x1 1 x c1 2= + 1 x 3
−1 −2 0
所以， 所以，b = − a 1 − 2 a 2
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a11 x1 + a12 x 2 + L a x + a x + L 21 1 22 2 L L a m1 x1 + a m 2 x 2 + L
+ +
a 1n x n a 2n x n
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例. 非齐次线性方程组 Ax = b 的解集合 的解集合
S∗ = {x | Ax = b}
齐次线性方程组 Ax = 0 的解集合 的解集合
S = { x | Ax = 0}
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或行向量) 同一维数的列向量 (或行向量 所组成的集合 或行向量 称为向量组 向量组。 称为向量组。 m×n 阵 A 的 向量组: 列向量组: A = (a1 , a2 ,L, an )
B : α1 ,α 2 ,L ,α m , b 线性相关 线性相关,
能由向量组A线性表示 且表示式唯一. 线性表示， 则 b 能由向量组 线性表示，且表示式唯一
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线性无关， 例4：已知向量 α 1 ,α 2 ,α 3 线性无关，向量 β 1 , β 2 , β 3 ： 线性表示， 可以由向量α 1 ,α 2 ,α 3 线性表示，并且
ห้องสมุดไป่ตู้
R ( A) = m
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已知 : α1 = (1, 1, 1)Τ , α 2 = (0, 2, 5)Τ , α 3 = ( 2,4,7)Τ 例2:
试讨论向量组 α 1 , α 2 , α 3 及向量组 α 1 , α 2 的 线性相关性. 线性相关性
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解：设 x1α1 + x2α 2 + x3α 3 = 0 1 0 2 0 1 + x 2 + x 4 = 0 即 x1 2 3 1 5 7 0
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例如： 例如：
−2 1 1 0 1 , a = −2 , a = 1 , b = 3 a1 = 2 3 1 1 −2 −3 则 b 能由 a 1 , a 2 , a 3 线性表示 线性表示.
第四章 向量组的线性相关性
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§1 向量组及其线性组合
定义1： 定义 ：n 个数 a1 , a2 ,L, an 所组成的有序数组 维向量， 称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 分量， 称为第 个分量。 的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第 i 个分量。
维向量就是指行 或列 矩阵。 或列)矩阵 这里定义的 n 维向量就是指行(或列 矩阵。
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定理4: 定理 n 维向量组α 1 , α 2 , L , α m 线性相关
Ax = 0 有 非 零 解 ,其中 A = (α 1 , α 2 , L , α m )
R ( A) < m
推论： 推论： n 维向量组α 1 , α 2 , L , α m 线性无关
Ax = 0 只有零解, 其中 A = (α 1 ,α 2 ,L ,α m )
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a1 a 2 = (a , a L a )T 称为列向量。 α= 称为列向量 列向量。 1 2 n M an
α Τ = (a1 , a2 ,L , an )
称为行向量。 称为行向量。 行向量
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例. 3 维向量的全体所组成的集合
R( A) = R( A, B)
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定理3: 定理 向量组 B : β 1 , β 2 ,L , β l 能由 A : α 1 ,α 2 ,L ,α m 线性表示， 线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。 其中 A = (α1 ,α 2 ,L,α m ), B = ( β1 , β 2 ,L, β l )
( β 1 , β 2 , β 3 ) = (α1 ,α 2 ,α 3 )K
证明： 证明： β 1 , β 2 , β 3 线性无关的充要条件是 R(K) = 3
证： " ⇒ " β 1 , β 2 , β 3 线性无关。 线性无关。
Τ 设 Kx = 0 ，其中 x = ( x1 , x2 , x3 )
1 0 2 系数行列式 1 2 4 = 0 1 5 7
齐次线性方程组有非零解， 齐次线性方程组有非零解，所以向量 α 1 ,α 2 ,α 3 线性相关 向量 α 1 ,α 2 对应分量不成比例，所以线性无关。 对应分量不成比例，所以线性无关。
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例3: n维向量 维向量
e1 = (1,0,L ,0 ) , e 2 = (0,1,L ,0 ) ,L , e n = (0,0,L ,1)
R = { ( x1, x2 ,L, xn ) | x1, x2 ,L, xn ∈ R }
n T
空间。 称为 n 维Euclid空间。 空间 集合
{ ( x1, x2 ,L, xn )T | a1 x1 + a2 x2 +L+ an xn = b }
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。 空间 维超平面。