线性定常系统的求解
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第5章_线性定常系统的综合
一般控制作用规律常取反馈的形式。
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
一、综合问题
给定系统状态空间描述：
Ax Bu, x y Cx
x(0) x0
t 0
(1)
A、B、C均为常阵且给定。 再给出所期望的性能指标：
1)对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
2)对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小 （或极大）值的一个性能函数。 综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统 运动的行为满足所给出的期望性能指标。
3. 状态反馈和输出反馈的基本结构形式均不太适用于工程实 际问题。状态反馈和输出反馈的通用结构形式较适用于工程 实际问题。带观测器的状态反馈系统，可解决系统状态不能 测量时的状态重构问题；带有补偿器的输出反馈系统，可解 决输出反馈基本结构形式不能任意配置极点的问题。 4. 状态反馈能保持原受控系统的能控性，但不一定能保持原 受控系统的能观测性。输出反馈能同时保持原受控系统的能 控性和能观测性。 5. 输出反馈是在物理上可构成的，状态反馈是在物理上不能 构成的。基此，输出反馈优于状态反馈。 6. 扩展状态反馈(即带状态观测器状态反馈系统)和扩展输出 反馈(即动态输出反馈系统)是等价的。
故(A BK)B的列向量可由 [B, AB]的列向量的线性 组合来表示。
结论1证明(续)
同理
2 (A BK) B (A BK)(A BK)B (A BK)(AB BKB)
A 2B ABKB BKAB BKBKB
2 故(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B]的列向量的线性组 合表示。 n 1 以此类推(A BK) B的列向量可由[B, AB, A 2B A n 1B]的列向量
受控系统为： Ax Bu x y Cx 反馈控制规律 : u Hy v HCx v
《自动控制理论教学课件》第4章 线性定常系统的线性变换
第4章 线性定常系统的线性变换
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
《自动控制原理》线性定常连续系统状态方程的解
2
k!
= P −1IP + P −1 APt + 1 P −1 A2 Pt 2 + + 1 P −1 Ak Pt k +
2
k!
= P −1 (I + At + 1 A2t 2 + + 1 Ak t k + )P = P −1e At P
2
k!
因而式（9-39）成立。
性质10: 两种常见的状态转移矩阵。设 A = diag[1, 2 ,,n ]，
2. 拉普拉斯变换法。将式（9-22）取拉氏变换有
sX (s) = AX (s) + x(0)
则
(sI − A) X (s) = x(0)
X (s) = (sI − A)−1 x(0)
（9-27）
进行拉氏反变换有
x(t) = −1[(sI − A)−1]x(0)
（9-28）
与（9-25）相比有
e At = −1[(sI − A)−1 ]
进行拉氏反变换有 x(t) = −1(sI − A)−1 x(0) + −1[(sI − A)−1 BU (s)]
由拉氏变换卷积定理
−1[F1(s)F2 (s)] =
t
0 f1 (t − ) f2 ( )d
=
t
0 f1 ( ) f2 (t − )d
在此将(sI − A)−1 视为F1 (s)，将BU (s) 视为 F2 (s) ，则有
x(t) = eA(t) x(0) + t eA(t− )Bu( )d 0 t = (t)x(0) + 0 (t − )Bu( )d
结果与式（9－43）相同。上式又可表示为
2-1 线性定常系统的解及转移矩阵
A(t t0 )
x(t0 )
（8）
将（8）式代入（1）式验证
x (t )
和
d x (t ) A e A(t t0 ) x (t0 ) Ax (t ) dt x (t ) t t e A(t0 t0 ) x (t0 ) x (t0 )
0
矩阵指数函数
e
A ( t t 0 )
即
(t ) A (t ) (t ) A
e A0 I
即
(0) I
3）可逆性 即 4）传递性
e
(t )
e
1
At 1
e At
1 (t ) (t )
A( t 2 t1 ) A( t1 t0 )
即
5）当且仅当
(t2 t1 ) (t1 t0 ) (t2 t0 )
根据凯莱-哈密顿定理
Δ( A) An an1 An1 a2 A2 a1 A a0 I 0 An an1 An1 a2 A2 a1 A - a0 I
例 解
3 9 用凯莱-哈密顿定理计算 2 6 λ 3 9 Δ( λ) det λ2 9λ 0 2 λ 6
1）A 的特征值互异 应用凯-哈定理， λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此， λi 也可以 满足（13）式。
e λit a0 (t ) a1 (t ) λi a2 (t ) λi2 an1 (t ) λin1
（其中，i 1,2,, n ） 写成矩阵形式 e λ1t 1 λ1 λ2t e 1 λ2 λnt e 1 λn 于是
2
100
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
线性定常连续系统状
, q k a k q k 1 a k k !q 0
q0=x(0)
○ 因此, x(t)的解表达式可写为
x(t) 1a ta 2 2 !t2 ...a kk !tk . .x .(0 )eaxt(0 )
1. 上述求解标量微分方程的级数展开法,可推广至求解向量状态
方程的解。
○ 为此,设其解为t的向量幂级数,即 ● x(t)=q0+q1t+q2t2+…+qktk+…
直接求解法 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
拉氏变换法 讨论非齐次状态方程的解,以及
解表达式的意义 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
输出方程的解 点击此处添加正文，请言简意赅的阐述观点。
目 录
一．直接求解法
○ 将状态方程x’=Ax+Bu移项,可得 ○ x’-Ax=Bu
将上式两边左乘以e-At,则有
线性定常连续系统状态方程的解 ❖ 求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础,是进行定量分
析的主要方法。
❖ 本节讲授的状态方程求解理论是建立在状态空间上,以矩阵代数 运算来描述的定系数常微分方程解理论。
❖ 下面基于矩阵代数运算的状态方程解理论中,引入了状态转移矩 阵这一基本概念。
❖ 该概念对我们深刻理解系统的动态特性、状态的变迁(动态演变) 等都是非常有帮助的,对该概念必须准确掌握和深入理解。
四．对于n n阶的d 方e 阵A tA 和A Be ,A 下t 式e A 仅tA 当,AB =( BtA)时 才A 成(t立) (t)A d t ○ e(A+B)t=eAteBt
五．[Φ(t)]n=Φ(nt) 六．Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)=Φ(t2-t0)
线性定常连续系统的解(一)
e0tta?21321231adj12122111121222121212siassssssiasiassiassssssssss???????????????????????????????????????????????????解1首先求出矩阵指数函数eat其计算过程为例1试求如下状态方程在初始状态x0下的解0011232?????????????????xxx3状态方程的解为2024e3ete4e6ettattt???????????????xx??????????????????????????e?????????????2????????????ttttttttatsssssssslasil2222111e2ee2e2eee2221122122111211e2计算矩阵指数函数eat
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内 容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质
1. 基本定义
定义2-1 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0 时，满足如下矩阵微分方程和初始条件:
’(t)=A(t), (t)|t=0=I 的解(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中， qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
A(t t0 )
【例1】试求如下状态方程在初始状态x0下的解
0 1 x x 2 3 1 x0 2
解 (1) 首先求出矩阵指数函数eAt，其计算过程为
sI A s 2 3s 2 ( s 1)(s 2) s 3 1 adj( sI A) 1 ( sI A) 2 s sI A ( s 1)( s 2) 1 1 1 2 s 1 s 2 s 1 s 2 1 2 2 2 s 1 s 2 s 1 s 2
线性系统的运动分析
e At Te AtT1
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
A 有二种标准形式： 对角线矩阵、约当矩阵
（1）当A的特征值 1, 2,, n 为两两相异时：对角线标准型
e1t
0
e At Te AtT1 T
T 1
0
ent
其中： T为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。
求状态转移矩阵的步骤：
1） 先求得A阵的特征值 i 。
2） 求对应于 i 的特征向量 pi ，并得到T阵及T的逆阵。
j0
其中： a0(t), a1(t),, an1(t) 为t的标量函数，可按A的特 征值确定。
1） A的特征值 1, 2 ,, n 两两相异时，
注意求逆
a0(t)
1 1
12
n1 1
1
e 1t
a1 ( t )
1
1
22
n1 2
e
2t
an1 ( t )
1
1
2n
n1 n
e
nt
三、几个特殊的矩阵指数函数
（1）设 A diag 1 n ，即A为对角阵且具有互异元素时，
有
e1t
Φt
e2t
0
0
ent
（2）若A能通过非奇异变换为对角阵时，即
T -1AT Λ
e1t
ΦΦ(t)t
T
e2t
0
0
T
-1
(2-9)
ent
1
0
（3）设A为 (n n) 约当阵，即 A
a0
a1
(t (t
) )
1 1
1
1
e
1t
2
e
2t
在第3种方法中已经求得特征根，所以得：
线性定常系统的计算
3
3 1 3
则
2 V ( x) xT Qx x3 0
0 0 K p 1 2 0 p 1 0 1 p
11
12
13
p p p
12
22
23
p p p
13
23
33
p p p
11
12
13
p p p
12
R1x 0 e1t R2 x 0 e2t
Re(i ) 0
i 1,, n
Rn x 0 ent
充分性 当
则x t 中每一项指数将随 t 0 而趋于0，并且对任意 x 0都 成立，系统是渐近稳定的。
现代控制理论
必要性 反证法。设系统渐近稳定，但存在某些i有 Re(i ) 0 ， 且 R i 0 ，则在 x 0 0 时，解 x t 中相应项将无限增 长，系统是不稳定的，与假设矛盾，故必有 Re( i ) 0 。 线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且 是大范围一致渐近稳定的。 2. 线性时变系统（略）
3 2 2 V ( x) x Px x1 x1 x2 x2 0 2
T
2 V ( x) xT I x x12 x2 0
现代控制理论
例4-9 用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的
K值范围。
u(s)
-
K x3(s) 1 x2(s) s 1 s2
现代控制理论
GT PG P Q
并且这个系统的李氏函数是
v x(k ) xT k Px(k )
证明 设所选李氏函数是 v x(k ) xT k Px(k )
3 1 3
则
2 V ( x) xT Qx x3 0
0 0 K p 1 2 0 p 1 0 1 p
11
12
13
p p p
12
22
23
p p p
13
23
33
p p p
11
12
13
p p p
12
R1x 0 e1t R2 x 0 e2t
Re(i ) 0
i 1,, n
Rn x 0 ent
充分性 当
则x t 中每一项指数将随 t 0 而趋于0，并且对任意 x 0都 成立，系统是渐近稳定的。
现代控制理论
必要性 反证法。设系统渐近稳定，但存在某些i有 Re(i ) 0 ， 且 R i 0 ，则在 x 0 0 时，解 x t 中相应项将无限增 长，系统是不稳定的，与假设矛盾，故必有 Re( i ) 0 。 线性定常系统是渐近稳定的，意味着是一致渐近稳定且 是大范围一致渐近稳定的。 2. 线性时变系统（略）
3 2 2 V ( x) x Px x1 x1 x2 x2 0 2
T
2 V ( x) xT I x x12 x2 0
现代控制理论
例4-9 用李雅普诺夫方程确定使图所示系统渐近稳定的
K值范围。
u(s)
-
K x3(s) 1 x2(s) s 1 s2
现代控制理论
GT PG P Q
并且这个系统的李氏函数是
v x(k ) xT k Px(k )
证明 设所选李氏函数是 v x(k ) xT k Px(k )
现代控制理论--3控制系统的状态方程求解
xteA t t0xt0tt0
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
7
小结：
1.齐次状态方程的解表示了系统在初始条件作用 下的自由运动，又称为零输入解；
2.系统状态的变化实质上是从初始状态开始的状
态转移，而转移规律取决于 eAt ，eA(t-t0) 故称其
为状态转移矩阵.一般用
x
(t) eAt (t t0) eA(tt0)
来表示。 x 0
2 ! 3 !
AA2t1A3t2L 2!
A(I At 1 A2t2 L ) 2!
AeAt eAt A
13
所以当 Φ(t)=eAt时， &(t)A(t) 又因为 Φ(t)=eAt (t=0时) eA0 =I+A0+...=I 所以 Φ(0)=I 故 eAt 是状态转移矩阵Φ(t)
（2）状态转移矩阵Φ(t)是A阵同阶的方阵，其元 素均为时间函数.
sX(s)-x0=AX(s)+BU(s)
即
X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)]
其中X(s)和U(s)分别为x(t)和u(t)的拉氏变换。
对上式两边取拉氏反变换,并利用卷积分公式,则有
x ( t ) L 1 ( s A ) I 1 x 0 L 1 ( s A ) I 1 B ( s )U
1 0 3x1u
试求：x(0)=0,u(t)=1(t) 时的状态解。
解：1.求 eAt ： 由前例得：
eAt
2et 2et
e2t 2e2t
et e2t et 2e2t
25
2. 求x(t)
x(t)eA tx00 teA (t )B u ()d
t2 e (t )e 2 (t ) e (t ) e 2 (t ) 0
由于状态空间表达式由两部分组成,即 x& Ax Bu y Cx Du
《现代控制理论》课后习题答案
=
3 2
， c2
=
2s + 5 lim s→−3 s + 1
=
1 2
。
从输入通道直接到输出通道上的放大系数 d = 1，由此可得:
⎡ x1
⎢ ⎣
x 2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡− 1
⎢ ⎣
0
0⎤ − 3⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡1⎤ ⎢⎣1⎥⎦u
y
=
⎡ ⎢⎣
3 2
1 2
⎤ ⎥⎦
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
m
dt
b0
因此，两个环节调换后的系统状态变量图为
u
d
d
b2
dt
dt
d
b1
dt
b0
m
−∫
−∫
y −∫
a0
a1
a2
进一步简化，可得系统状态变量图为 u
b0
b1
b2
− ∫ x1
− ∫ x2
− ∫ x3 y
a0
a1
a2
3
取 y = x3 ， y = x2 ， y = x1 ，可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为
a(s)
1 a(s)
=
s3
+
1 a2s2 +
a1s
+
a0
， b(s)
=
b2 s 2
+ b1s
+ b0
。
2
由于 s−3 y 相当于对 y 作 3 次积分，故 y = 1 可用如下的状态变量图表示： m a(s)
第二章2 线性定常系统非齐次方程的解
则
Q
1 1
1 2
Q1
2 1
1 1
eAt
Qet Q 1
1 1
1 et
2
0
0 2 1
e
2t
1
1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
系统对单位阶跃输入的响应为：
x(t) e At x(0)
t o
2e (t )
2e
(t
)
e 2(t ) 2e 2(
t Φ(t )Bu ( )d
t0
其中Φ(t t0 ) eA(tt0 )
例：求下列系统的单位阶跃响应
x1 x 2
0
2
1 3
x1 x2
0 1 u
解：
I A
1 2 3 2
2 3
( 1)( 2)
1 1 2 2
若 Q1AQ
则 e At QetQ1
变换矩阵为
x1(t)
x2
(t
)
1
2
et
et e2t
1 2
e2t
本章总结
• 线性系统的响应是以定量分析（即求解系统的 状态空间描述）的方法研究系统的运动特性。
• 决定线性系统状ห้องสมุดไป่ตู้运动行为的是状态转移矩 阵，它由系统的结构参数唯一决定。
• 重点讨论了e At 的各种计算方法及性质。
• 线性系统的响应由零输入响应和零状态响应的 线性叠加，它们分别是对系统的初始状态和输 入的响应。
线性定常系统非齐次方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
X (t) AX(t) Bu (t)
当X(t0 ) t0 0 X(0)时，
Q
1 1
1 2
Q1
2 1
1 1
eAt
Qet Q 1
1 1
1 et
2
0
0 2 1
e
2t
1
1
2et e2t 2et 2e2t
et e2t
et
2e2t
系统对单位阶跃输入的响应为：
x(t) e At x(0)
t o
2e (t )
2e
(t
)
e 2(t ) 2e 2(
t Φ(t )Bu ( )d
t0
其中Φ(t t0 ) eA(tt0 )
例：求下列系统的单位阶跃响应
x1 x 2
0
2
1 3
x1 x2
0 1 u
解：
I A
1 2 3 2
2 3
( 1)( 2)
1 1 2 2
若 Q1AQ
则 e At QetQ1
变换矩阵为
x1(t)
x2
(t
)
1
2
et
et e2t
1 2
e2t
本章总结
• 线性系统的响应是以定量分析（即求解系统的 状态空间描述）的方法研究系统的运动特性。
• 决定线性系统状ห้องสมุดไป่ตู้运动行为的是状态转移矩 阵，它由系统的结构参数唯一决定。
• 重点讨论了e At 的各种计算方法及性质。
• 线性系统的响应由零输入响应和零状态响应的 线性叠加，它们分别是对系统的初始状态和输 入的响应。
线性定常系统非齐次方程的解
给定线性定常系统非齐次状态方程为
X (t) AX(t) Bu (t)
当X(t0 ) t0 0 X(0)时，
线性定常离散系统状态方程的求解_线性系统理论与设计_[共3页]
![线性定常离散系统状态方程的求解_线性系统理论与设计_[共3页]](https://img.taocdn.com/s3/m/850492105fbfc77da369b1c7.png)
６６ 线性系统理论与设计
Ｇ（ｋＴ）＝Ｉ＋ＡＴ Ｈ（ｋＴ）＝ＢＴ
例 ２１０ 设线性时变系统的状态方程为
·ｘ（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）
其中
[ ] [ ] ０ ５（１－ｅ－５ｔ）
５ ５ｅ－５ｔ
Ａ（ｔ）＝
Ｂ（ｔ）＝
０ ５（ｅ－５ｔ－１）
０ ５（１－ｅ－５ｔ）
当采样周期 Ｔ＝０２ｓ时，试建立其离散化状态方程。
线性定常离散系统状态方程的求解
方法 １ 递推法（迭代法） 线性定常离散系统的状态方程为
ｘ[ （ｋ＋１）Ｔ] ＝Ｇｘ（ｋＴ）＋Ｈｕ（ｋＴ） 令 ｋ＝０，１，２，…，有
ｘ（Ｔ）＝Ｇｘ（０）＋Ｈｕ（０） ｘ（２Ｔ）＝Ｇｘ（Ｔ）＋Ｈｕ（Ｔ）
＝Ｇ２ｘ（０）＋ＧＨｕ（０）＋Ｈｕ（Ｔ） ｘ（３Ｔ）＝Ｇｘ（２Ｔ）＋Ｈｕ（２Ｔ）
解 由式（２１０８），有
[ ] [ ] [ ] １ ０
０ ５（１－ｅБайду номын сангаасｋ） １ １－ｅ－ｋ
Ｇ（ｋＴ）＝Ｉ＋ＴＡ（ｋＴ）＝
＋０２
＝
０１
０ ５（ｅ－ｋ－１） ０ ｅ－ｋ
[ ] [ ] ５ ５ｅ－ｋ
１ ｅ－ｋ
Ｈ（ｋＴ）＝ＴＢ（ｋＴ）＝０２
＝
０ ５（１－ｅ－ｋ） ０ １－ｅ－ｋ
可知，所求离散化状态方程为
[ ] [ ] １ １－ｅ－ｋ
＝Ｇ３ｘ（０）＋Ｇ２Ｈｕ（０）＋ＧＨｕ（Ｔ）＋Ｈｕ（２Ｔ） ｘ（ｋＴ）＝Ｇｘ[ （ｋ－１）Ｔ] ＋Ｈｕ[ （ｋ－１）Ｔ] ＝Ｇｋｘ（０）＋Ｇｋ－１Ｈｕ（０）＋Ｇｋ－２Ｈｕ（Ｔ）＋… ＋Ｈｕ[ （ｋ－１）Ｔ] 重复以上步骤，可以得到如下递推求解公式
（２１０９）
１ ｅ－ｋ
ｘ[ （ｋ＋１）Ｔ] ＝
Ｇ（ｋＴ）＝Ｉ＋ＡＴ Ｈ（ｋＴ）＝ＢＴ
例 ２１０ 设线性时变系统的状态方程为
·ｘ（ｔ）＝Ａ（ｔ）ｘ（ｔ）＋Ｂ（ｔ）ｕ（ｔ）
其中
[ ] [ ] ０ ５（１－ｅ－５ｔ）
５ ５ｅ－５ｔ
Ａ（ｔ）＝
Ｂ（ｔ）＝
０ ５（ｅ－５ｔ－１）
０ ５（１－ｅ－５ｔ）
当采样周期 Ｔ＝０２ｓ时，试建立其离散化状态方程。
线性定常离散系统状态方程的求解
方法 １ 递推法（迭代法） 线性定常离散系统的状态方程为
ｘ[ （ｋ＋１）Ｔ] ＝Ｇｘ（ｋＴ）＋Ｈｕ（ｋＴ） 令 ｋ＝０，１，２，…，有
ｘ（Ｔ）＝Ｇｘ（０）＋Ｈｕ（０） ｘ（２Ｔ）＝Ｇｘ（Ｔ）＋Ｈｕ（Ｔ）
＝Ｇ２ｘ（０）＋ＧＨｕ（０）＋Ｈｕ（Ｔ） ｘ（３Ｔ）＝Ｇｘ（２Ｔ）＋Ｈｕ（２Ｔ）
解 由式（２１０８），有
[ ] [ ] [ ] １ ０
０ ５（１－ｅБайду номын сангаасｋ） １ １－ｅ－ｋ
Ｇ（ｋＴ）＝Ｉ＋ＴＡ（ｋＴ）＝
＋０２
＝
０１
０ ５（ｅ－ｋ－１） ０ ｅ－ｋ
[ ] [ ] ５ ５ｅ－ｋ
１ ｅ－ｋ
Ｈ（ｋＴ）＝ＴＢ（ｋＴ）＝０２
＝
０ ５（１－ｅ－ｋ） ０ １－ｅ－ｋ
可知，所求离散化状态方程为
[ ] [ ] １ １－ｅ－ｋ
＝Ｇ３ｘ（０）＋Ｇ２Ｈｕ（０）＋ＧＨｕ（Ｔ）＋Ｈｕ（２Ｔ） ｘ（ｋＴ）＝Ｇｘ[ （ｋ－１）Ｔ] ＋Ｈｕ[ （ｋ－１）Ｔ] ＝Ｇｋｘ（０）＋Ｇｋ－１Ｈｕ（０）＋Ｇｋ－２Ｈｕ（Ｔ）＋… ＋Ｈｕ[ （ｋ－１）Ｔ] 重复以上步骤，可以得到如下递推求解公式
（２１０９）
１ ｅ－ｋ
ｘ[ （ｋ＋１）Ｔ] ＝
《自动控制原理》线性定常离散系统状态方程的建立及求解
向量－矩阵形式为
x1 (k + 1) 0 1 0 0 x1 (k) 0
x2 (k
+ 1)
0
0
1
0
x2 (k)
0
= 0 0 0 0 + u(k)
xn−1
(k
+
1)
0
0
0
1
x
n−1
(k
)
0
xn (k + 1) − a0 − a1 − a2 − an−1 xn (k) 1
量和输入量：ai ,bi (i = 0,1,2,, n且an = 1) 为表征系统特性的常系
数。考虑初始条件为零时的z变换关系有
[ y(k)] = Y (z), [ y(k + i)] = ziY (z)
对式(9—87)两端取z变换并加以整理可得
G(z)
=
Y (z) U (z)
=
bn z n + bn−1 z n−1 + + b1 z + b0 z n + an−1 z n−1 + + a1 z + a0
（9－95）
三、线性定常离散动态方程的解
求解离散动态方程的方法友递推法和z变换法，这里只介绍常
用的递推法，对z变换法感兴趣的读者可参阅有关书籍。下面以解
离散化状态方程为例来说明如何使用递推法求解。令式（9－93）
中的k = 0,1,, k −1可得到 T,2T,, kT 时刻的状态，即
k = 0 : x(1) = (T )x(0) + G(T )u(0)
=
bn
+
z n−1 n−1
+
第4章 线性定常系统的线性变换
记： P1 x； A P1 AP； b P1b； c cP； y y x 变换后的状态空间表达式为：
x = Ax bu, y c x
这称为对系统进行了P变换。 对系统进行线性变换的目的在于使系统矩阵规 范化，以便于分析与计算。状态空间表达式的非奇 异变换不会改变系统原有性质，故称为等价变换。 利用线性变换后的规范化描述进行分析设计或计算， 得到所需结果后，再经过反变换 ，变换回原 x P 1 x 来的状态空间描述，得到最终结果。
0 0 ; 1 n 1
0 0 b Pb 0 1
其中：
n 1 cb cAb cb n2 n 1 0 cAn 1b n 1cAn 2b 2 cAb 1cb
第4章 线性定常系统的线性变换
2．无相同的特征值的可控标准形A阵
若A为友矩阵，且有n个互异实数特征值 1, 2 ,, n ，
则下列的范德蒙特矩阵P可使A对角化：
0 0 A 0 a0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 an 1
13
第4章 线性定常系统的线性变换
三．化SISO可观测系统为可观测标准型（※）
结论：对于完全可观测的单输入—单输出系统
x Ax bu y cx
其中：A为n×n常阵，b，c分别为n维列向量和n维行 向量。设系统的特征多项式为
(s) det(sI A) sn n1sn1 1s 0
1 1 2 1 P 12 22 1n 1 2n 1 1 1 n 2 n nn 1
第五章(线性定常系统的综合)
能控。 不能观。
0 rank( N ) rank 0
1 1 0
2、输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性
§5.2 极点配置问题
给出系统的期望极点，确定增益矩阵。 一、采用状态反馈 1、定理 采用状态反馈对系统Σ0（A,b,C）任意配置极点的充要条件是： Σ0完全能控。 2、给定极点，求状态反馈增益K
13 可得 G 40 1 2 s
§5.3 系统的镇定、解耦和状态观测器
一、系统的镇定 系统镇定： Σ0（A,B,C）通过反馈使其极点均具有负实部，保证系 统为渐近稳定。 系统状态反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过状态反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 系统输出反馈能镇定： Σ0（A,B,C）通过输出反馈使其极点均具有 负实部，保证系统为渐近稳定。 二、系统解耦 1、概念 使具有输入和输出个数相同的MIMO系统的每一输出只受一个输入 控制，称为系统的解耦。 2、实现方法 ①使用前馈补偿器 (见 P183 图5-9)
比较有
3 K 2 4 2 K1 6 K 4 0
得
K [ 4
4
1]
注意：当状态空间表达式不同时，结果亦不同。 二、采用输出反馈 定理1： 对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），不能采用输出线 性反馈来实现闭环系统极点的任意配置。 定理2：对于完全能控的SISO系统Σ0（A,b,C），通过带动态补偿 器的输出反馈实现闭环系统极点的任意配置的充要条件是： ① Σ0完全能观； ②动态补偿器的阶数为n-1。
. ~
~
其解为： x e ( AGC )t x(0) ①若 x(0) 0 ②若 x(0) 0
~
~
~
2.2.3. 线性定常微分方程的求解
(5) 初值定理： lim f (t ) lim sF ( s )
t 0 s
(6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 s e 象函数应乘以
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 e at 乘以 ，即
j
F ( s )e st ds
• 单位阶跃函数1(t)
1(t )
0 1
t 0 t 0
1 0 t
• 单位阶跃函数的拉氏变换为
st
• 单位脉冲函数
1 st 1 F (s) e dt e 0 s s 0
t
1 0
(t )
• 单位脉冲函数的拉氏变换为
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 1 1 s2 s 1 s s
s 0 .5
0.5
3 2
1 3 2
2 ) 0.2e 0.5t sin(0.866t ) 3 6
练习
dy yr T dt y 0 0
r 1 t
– 方程两边进行拉氏反变换 t 得 T
L 1H , C 1F , R 1 uc (0) 0.1v i (0) 0.1A ur 1v
t 0 s
(6) 位移定理： a.实域中的位移定理，若原函数在时间上延迟 ，则其 s e 象函数应乘以
L[ f (t )] e
s
F ( s)
b.复域中的位移定理，象函数的自变量延迟a，原函数应 e at 乘以 ，即
j
F ( s )e st ds
• 单位阶跃函数1(t)
1(t )
0 1
t 0 t 0
1 0 t
• 单位阶跃函数的拉氏变换为
st
• 单位脉冲函数
1 st 1 F (s) e dt e 0 s s 0
t
1 0
(t )
• 单位脉冲函数的拉氏变换为
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 若 L[ f (t )] F ( s) ，则有 L[ f (t )] sF (s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。
1 1 1 s2 s 1 s s
s 0 .5
0.5
3 2
1 3 2
2 ) 0.2e 0.5t sin(0.866t ) 3 6
练习
dy yr T dt y 0 0
r 1 t
– 方程两边进行拉氏反变换 t 得 T
L 1H , C 1F , R 1 uc (0) 0.1v i (0) 0.1A ur 1v
线性定常控制系统的数学模型
第三十八章线性定常控制系统的数学模型第一节控制系统模型的构成一、控制系统的模型描述控制系统动态特性的数学表达式称为系统的数学模型，它是分析和设计系统的依据。
数学模型应当既能足够准确地反映系统的动态特性，又具有较简单的形式。
实际系统都程度不同地存在非线性和分布参数特性，如果这些因素影响不大，则可忽略不计。
在正常工作点附近变化时，可以用线性化模型来处理；但当系统在大范围内变化时采用线性化的模型就会带来较大误差。
可以根据系统内部的变化机理写出有关的运动方程，或者通过实验测取系统的输入!输出数据，然后对这些数据进行处理，从而建立系统的数学模型。
前者是机理法，后者是测试法，又称系统辨识。
二、微分方和差分方程微分方程是连续系统最基本的数学模型，可按下列步骤建立："!将系统划分为单向环节，并确定各个环节的输入量、输出量。
单向环节是指后面的环节无负载效应，即后面的环节存在与否对该环节的动态特性没有影响。
#!根据系统内部机理，通过简化、线性化、增量化建立各个环节的微分方程。
$!消去中间变量，保留系统的输入量、输出量，得出系统的微分方程。
%!整理成标准形式，将含输出量的项写在方程左端，含输入量的项写在右端，并将各导数项按降阶排列。
设&!’，则单输入!单输出系统的微分方程的一般形式为(（"）（)）*+"(（&!"）（)）*…*+&!"(!（)）*+&(（)）,-./（’）（)）*-"/（’!"）（)）*…*-’!"/!（)）*-’/（)）（$0!"）离散系统在某一时刻12的输出(（1），可能既与同一时刻的输入与同一时刻的输入/（1）有关，又与过去时刻的输入(（1!"），…，/（1!’）有关；而且还与过去时刻的输出/（1!"），…，(（1!&）有关。
因此，&!’时，输入和输出之间的关系可表示为#（$）*%"#（$!"）*…*%"#（$!"）,&.’（$）*&"’（$!"）*…*&(’（$!(）（$0!#）不失一般性，可以假定/（1）,.，(（1）,.，13.。
凯莱-哈密尔顿(Caylay-Camilton)定理
第二章 线性控制系统的运动分析2-1 线性定常系统齐次状态方程的解设齐次向量微分方程为：其中A 为n ×n 常系数矩阵，其解为： 写成矩阵形式：式中b 0、b 1、b 2、…b k 均为n 维列向量，则 由待定系数法，得： 考虑到初始条件： 最后得：)0()(0X t X AX Xt === ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k nk n n n kk k k n t b t b t b b t b t b t b b t b t b t b b t x t x t x t X 2210222221201212111021)()()()(+++++=k k t b t b t b b t X 2210)(+++==++++=-k k k k t Ab t Ab Ab AX t kb t b b X 1012120102301201!11!3131!2121Ab k Ab kb Ab Ab b Ab Ab b Ab b k k =======-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡====)0()0()0()0()0()(2100n t x x x X b X t X现代控制理论基础定义状态转移矩阵：则齐次状态方程的解可写为： 若初始条件为： 可以令：可以求出：关于线性定常齐次状态方程的求解，也可以应用拉氏变换，即： 两边拉氏变换：可见状态转移矩阵：)0()!1!21()(22X t A k t A At I t X k k +++++= +++++==k k At t A k t A At I e t !1!21)(22φ)0()0()()(X e X t t X At ==φ)()(00t X t X t t ==+-++-+-+=k k t t b t t b t t b b t X )()()()(0202010)()()()(0)(000t X e t X t t t X t t A -=-=φ)0()(0X t X AX Xt === )0(])[()()0()()()()0()(111X A sI L t X X A sI s X s AX X s sX ----=-==-])[()(11---==A sI L e t At φ证明：由于：例：设系统状态方程为：试求状态方程的解。
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仿照指数函数
eat 1 at 1 (at)2 1 (at)k 1 (at)k
2!
k!
k0 k!
对矩阵A定义矩阵指数函数：
e At I At 1 ( At)2 1 ( At)k 1 ( At)k
2!
k!
k0 k!
性质
deAt AeAt , dt
eAt t0 I ,
若 AB BA ，则 eAteBt eBteAt e(AB)t
系统通过矩阵指数函数 eA(tt0 )，随着t的推移，从初始时刻的状态
点出发和各个时刻变换点构成了状态轨迹。
x(t0)
ห้องสมุดไป่ตู้
e A(tt0 )
x(t)
状态转移矩阵，用(t-t0)表示 x(t) (t t0 )x(t0 ), t t0
计算零输入响应的核心步骤是计算状态转移矩阵(t)!
状态转移矩阵的性质
线性系统运动的分解
x0=0
零输入响应
vs
零状态响应
x0u (t) (t)x0
取决于初始状态； 是初始状态引起的自由 运动；
t
x0x (t)
(t )Bu( )d
0
取决于输入u(t)； 输入驱动下的强迫运动；
状态转移矩阵的 求解
计算eAt的方法
➢ 直接计算级数 ➢ 应用拉普拉斯变换法计算 ➢ 应用凯莱-哈密顿定理计算 ➢ 特征值法
上式代入初始条件得到 c x(t0 )
其中 ea(tt0 ) 称为指数函数，
eat 1 at 1 (at)2 1 (at)k 1 (at)k
2!
k!
k0 k!
且有 deat a 1 a(at)
dt
1!
aeat
1 a(at)k1 (k 1)!
a
1 (at)k
k0 k !
矩阵指数函数
Ak ,k 0，是An1，，A，I 的线性组合。从而
e At 0 (t)I 1(t) A n1(t) An1
目标是求出 0 (t)，1(t)，，n1(t)
解：设解的形式为 x(t) e A(tt0 )c(t) ，代入方程求c(t),得到
c(t) x(t0)
t eA( t0 )Bu( )d
t0
从而
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
t eA(t )Bu( )d
t0
解的构成
t
x(t) (t t0)x(t0)
(t )Bu( )d
直接计算级数
(t) eAt I At 1 (At)2 1 (At)k
2!
k!
计算时只能取有限项，适用于用计算机求状态转移 矩阵的近似值。
应用拉普拉斯变换法计算
思想：L变换求(sI-A)-1后每个元反L变换！ 即 (t) L1[(sI A)1]
对系统 x Ax(t) ，初始时刻为t0=0, 初始状态为x(0)。
预备知识
标量一阶微分方程 x ax f (t), x( 0 ) 的 解形式为
x(t) eatc(t)
代原方程从而求得c(t)为
c(t) x(0) t ea f ( )d 0
矩阵微分
d (PQ) dP Q P dQ
dt dt
dt
求解
对系统
x Ax(t) Bu(t)
在初始时刻为t0，初始状态为x(t0)时，求解x(t)
t0
初始时刻为t0，初始状态为x(t0) 时,零输入响应对应的状态 x0u(t)
初始时刻为t0时,零状态 响应对应的状态x0x(t)
响应
零输入响应
零状态响应
u x Ax(t) Bu(t) x = u0 x Ax(t) Bu(t) x0u + u x Ax(t) Bu(t) x0x
x0
x0
零输入响应的形式
线性定常系统
x Ax(t)
初始时刻为t=t0，系统的初始状态为x(t0)时，系统的解为
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
证明：通解eA(t-t0)c 代入初始条件
即证。
状态转移矩阵
由方程解的形式看出，时刻t=ti的状态点x0u(ti)，几何上对应于状态
空间中由初始状态点x(t0)经线性变换 eA(ti t0 ) 导出的一个变换点。
的解。
x Ax, x(t0 )
零状态响应：线性系统的零状态响应x0x(t)定义为只有输入作
用即u(t)0, 而无初始状态作用即x(t0)=0时系统的状态响应。
即线性定常系统
的解。
x Ax Bu, x(t0 ) 0,t t0
预备知识
标量一阶微分方程 x ax, x(t0 ) 的解形为
x(t) ea(tt0 )c
（1）两边取拉普拉斯变换得到 X (s) (sI A)1 x(0)
（2）再取拉普拉斯反变换得到 x(t) L1[(sI A)1]x(0)
(s) (sI A)1和状态转移矩阵(t)构成了一个拉普拉斯变换对， 称为线性定常系统的预解矩阵。 (sI-A)总是非奇异的，所以(s)必定存在。
例1. 求矩阵A的状态转移矩阵 0 -1
在t=0的值 (0) I
对t的导数 (t) A(t)
逆
必然可逆，且 ((t))1 (t)
传递性 (t2 t1)(t1 t0 ) (t2 t0 )
与传递性相对应的
(t1 t2 ) (t1)(t2 )
乘积 [(t)]k (kt)
积分
A t e A d e At I 0
线性定常系统非 齐次方程的解
1
1
(s
1)
-
(s
1)2
(t )
L1[(sI
A)-1 ]
(1 t)et
tet
tet
(1
t
)et
应用凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理 设矩阵A的特征方程为 h(s) det(sI A) sn an1sn1 a1s a0
于是
h( A) An an1An1 a1A a0I 0
A 1 2
解：adj(sI
A)
s
1
2
1
s
,
sI
A
(s 1)2
s2
(sI
A)-1
(s
1)2
1
(
s
1)2
利用留定理
(s
1 1)2
s
(s 1)2
(sI
A)-1
(s
1 1)
+
(s
1 1)2
1
(s 1)2
利用 1
t k 1et
(s )k (k 1)!
1
(s 1)2
利用状态空间模型 求解线性定常系统
内容提纲
线性定常系统的零输入响应 线性定常系统非齐次方程的解 状态转移矩阵的求解 离散时间状态空间模型
线性定常系统的 零输入响应
零输入响应的定义
零输入响应：线性系统的零输入响应x0u(t)定义为只有初始作
用即x(t0)0, 而无输入作用即u(t)=0时系统的状态响应。 即线性定常系统齐次方程
