线性定常系统的求解

直接计算级数
(t) eAt I At 1 (At)2 1 (At)k
2!
k!
计算时只能取有限项，适用于用计算机求状态转移 矩阵的近似值。
应用拉普拉斯变换法计算
思想：L变换求(sI-A)-1后每个元反L变换！ 即 (t) L1[(sI A)1]
对系统 x Ax(t) ，初始时刻为t0=0, 初始状态为x(0)。
预备知识
标量一阶微分方程 x ax f (t), x( 0 ) 的 解形式为
x(t) eatc(t)
代原方程从而求得c(t)为
c(t) x(0) t ea f ( )d 0
矩阵微分
d (PQ) dP Q P dQ
dt dt
dt
求解
对系统
x Ax(t) Bu(t)
在初始时刻为t0，初始状态为x(t0)时，求解x(t)
A 1 2
解：adj(sI
A)
s
1
2
1
s
,
sI
A
(s 1)2
s2
(sI
A)-1
(s
1)2
1
(
s
1)2
利用留定理
(s
1 1)2
s
(s 1)2
(sI
A来自百度文库-1
(s
1 1)
+
(s
1 1)2
1
(s 1)2
利用 1
t k 1et
(s )k (k 1)!
1
(s 1)2
在t=0的值 (0) I
对t的导数 (t) A(t)
逆
必然可逆，且 ((t))1 (t)
传递性 (t2 t1)(t1 t0 ) (t2 t0 )
与传递性相对应的
(t1 t2 ) (t1)(t2 )
乘积 [(t)]k (kt)
积分
A t e A d e At I 0
线性定常系统非 齐次方程的解
利用状态空间模型 求解线性定常系统
内容提纲
线性定常系统的零输入响应 线性定常系统非齐次方程的解 状态转移矩阵的求解 离散时间状态空间模型
线性定常系统的 零输入响应
零输入响应的定义
零输入响应：线性系统的零输入响应x0u(t)定义为只有初始作
用即x(t0)0, 而无输入作用即u(t)=0时系统的状态响应。 即线性定常系统齐次方程
Ak ,k 0，是An1，，A，I 的线性组合。从而
e At 0 (t)I 1(t) A n1(t) An1
目标是求出 0 (t)，1(t)，，n1(t)
零输入响应的形式
线性定常系统
x Ax(t)
初始时刻为t=t0，系统的初始状态为x(t0)时，系统的解为
x(t) e A(tt0 ) x(t0 )
证明：通解eA(t-t0)c 代入初始条件
即证。
状态转移矩阵
由方程解的形式看出，时刻t=ti的状态点x0u(ti)，几何上对应于状态
空间中由初始状态点x(t0)经线性变换 eA(ti t0 ) 导出的一个变换点。
线性系统运动的分解
x0=0
零输入响应
vs
零状态响应
x0u (t) (t)x0
取决于初始状态； 是初始状态引起的自由 运动；
t
x0x (t)
(t )Bu( )d
0
取决于输入u(t)； 输入驱动下的强迫运动；
状态转移矩阵的 求解
计算eAt的方法
➢ 直接计算级数 ➢ 应用拉普拉斯变换法计算 ➢ 应用凯莱-哈密顿定理计算 ➢ 特征值法
1
1
(s
1)
-
(s
1)2
(t )
L1[(sI
A)-1 ]
(1 t)et
tet
tet
(1
t
)et
应用凯莱-哈密顿定理
凯莱-哈密顿定理 设矩阵A的特征方程为 h(s) det(sI A) sn an1sn1 a1s a0
于是
h( A) An an1An1 a1A a0I 0
解：设解的形式为 x(t) e A(tt0 )c(t) ，代入方程求c(t),得到
c(t) x(t0)
t eA( t0 )Bu( )d
t0
从而
x(t) eA(tt0 ) x(t0 )
t eA(t )Bu( )d
t0
解的构成
t
x(t) (t t0)x(t0)
(t )Bu( )d
系统通过矩阵指数函数 eA(tt0 )，随着t的推移，从初始时刻的状态
点出发和各个时刻变换点构成了状态轨迹。
x(t0)
e A(tt0 )
x(t)
状态转移矩阵，用(t-t0)表示 x(t) (t t0 )x(t0 ), t t0
计算零输入响应的核心步骤是计算状态转移矩阵(t)!
状态转移矩阵的性质
的解。
x Ax, x(t0 )
零状态响应：线性系统的零状态响应x0x(t)定义为只有输入作
用即u(t)0, 而无初始状态作用即x(t0)=0时系统的状态响应。
即线性定常系统
的解。
x Ax Bu, x(t0 ) 0,t t0
预备知识
标量一阶微分方程 x ax, x(t0 ) 的解形为
x(t) ea(tt0 )c
仿照指数函数
eat 1 at 1 (at)2 1 (at)k 1 (at)k
2!
k!
k0 k!
对矩阵A定义矩阵指数函数：
e At I At 1 ( At)2 1 ( At)k 1 ( At)k
2!
k!
k0 k!
性质
deAt AeAt , dt
eAt t0 I ,
若 AB BA ，则 eAteBt eBteAt e(AB)t
上式代入初始条件得到 c x(t0 )
其中 ea(tt0 ) 称为指数函数，
eat 1 at 1 (at)2 1 (at)k 1 (at)k
2!
k!
k0 k!
且有 deat a 1 a(at)
dt
1!
aeat
1 a(at)k1 (k 1)!
a
1 (at)k
k0 k !
矩阵指数函数
（1）两边取拉普拉斯变换得到 X (s) (sI A)1 x(0)
（2）再取拉普拉斯反变换得到 x(t) L1[(sI A)1]x(0)
(s) (sI A)1和状态转移矩阵(t)构成了一个拉普拉斯变换对， 称为线性定常系统的预解矩阵。 (sI-A)总是非奇异的，所以(s)必定存在。
例1. 求矩阵A的状态转移矩阵 0 -1
t0
初始时刻为t0，初始状态为x(t0) 时,零输入响应对应的状态 x0u(t)
初始时刻为t0时,零状态 响应对应的状态x0x(t)
响应
零输入响应
零状态响应
u x Ax(t) Bu(t) x = u0 x Ax(t) Bu(t) x0u + u x Ax(t) Bu(t) x0x
x0
x0