线性定常系统的综合
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第六章 线性定常系统的综合
6－1 已知系统状态方程为：
()100102301010100x x u
y x
•
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为－1，－2，－3.
解: 由()100102301010100x x u y x •
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=可得:
(1) 加入状态反馈阵()0
12K k k k =,闭环系统特征多项式为:
32002012()det[()](2)(1)(2322)f I A bK k k k k k k λλλλλ=--=++++-+--+-
(2) 根据给定的极点值,得期望特征多项式:
*32()(1)(2)(3)6116f λλλλλλλ=+++=+++
(3) 比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可得:0124,0,8;k k k ===
即:()408K =
6－2 有系统：
()2100111,0x x u y x
•
-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭= （1） 画出模拟结构图。
（2） 若动态性能不能满足要求，可否任意配置极点？ （3） 若指定极点为－3，－3，求状态反馈阵。 解(1) 模拟结构图如下:
(2) 判断系统的能控性；
0111c U ⎡⎤
=⎢⎥
-⎣⎦
满秩，系统完全能控，可以任意配置极点。 (3)加入状态反馈阵01(,)K k k =,闭环系统特征多项式为:
()2101()det[()](3)22f I A bK k k k λλλλ=--=+++++ 根据给定的极点值,得期望特征多项式:
*2()(3)(3)69f λλλλλ=++=++
比较()f λ与*()f λ各对应项系数,可解得:011,3k k ==
即:[1,3]K =
6－3 设系统的传递函数为：
(1)(2)
(1)(2)(3)
s s s s s -++-+
试问可否用状态反馈将其传递函数变成：
1
(2)(3)
s s s -++
若能，试求状态反馈阵，并画出系统结构图。 解：若希望采用状态反馈将
(1)(2)(1)(2)(3)s s s s s -++-+变成1
(2)(3)
s s s -++，则根据状态反
馈不改变系统传递函数的零点的原理，可知经过状态反馈之后的系统传递函数必为
()()
212(2)(3)
s s s s -+++。
因此期望的特征多项式为232(2)(3)71612λλλλλ++=+++
由于原系统的传递函数为232(1)(2)2
(1)(2)(3)256
s s s s s s s s s s -++-=+-++--，
则状态反馈阵[]18215K =。
6－4 是判断下列系统通过状态反馈能否镇定。
210402105,002
00517050A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪
⎪ ⎪==- ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
解:该系统为约旦标准型,很显然，其不能控不能所对应的特征值具有负实部，是渐进稳定的，因此可以通过状态反馈进行镇定。
6-5 设系统状态方程为：
01
0000101
000100
01101x x u •⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
- ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
（1） 判断系统能否稳定。系统能否镇定。
（2） 若能，试设计状态反馈使之稳定。 解：
（1）()4100010det 000100110
I A λλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥-===⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦
= 原系统处于临界稳定状态。
01
0110100101110110c U ⎡⎤⎢⎥
⎢
⎥=⎢⎥--⎢⎥--⎣⎦
，可知矩阵满秩，系统完全能控，所以可以通过状态反馈实现系统的镇定。
（2）自定义期望的系统极点，然后采用极点配置的方法进行即可。
6－6 设计一前馈补偿器，使系统：
111
2()11(1)s s W s s s s ⎛⎫ ⎪
++
⎪= ⎪ ⎪+⎝⎭
解耦，且解耦后的极点为－1，－1，－2，－2.
解：
根据题意可知解耦后的系统传递函数矩阵为()()212101()102s W s s ⎛⎫
⎪
+ ⎪= ⎪
⎪ ⎪+⎝⎭
， 则前馈补偿器为()()()1
2211101121
110(1)2d s s s W s s s s s -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+++ ⎪
⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎝⎭
， 所以()()()()()()2232122122d s s s s W s s s s s s +⎛⎫- ⎪
++
⎪= ⎪+- ⎪ ⎪+++⎝⎭
6－7 已知系统：
100100230110101100011x x u y x
•
-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭
（1） 判别系统能否用状态反馈实现解耦。
（2） 设计状态反馈使系统解耦，且极点为－1，－2，－3. 解：原系统的传递函数矩阵为：
()()()()
1
101
001010002301011101011011012s W s C sI A B s s s s s --+⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦
⎣⎦
⎡
⎤
⎢⎥+⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦
系统存在耦合。
下面判断系统能否通过状态反馈进行解耦：
[][]0110101011001c A B ⎡⎤
⎢⎥==≠⎢⎥⎢⎥-⎣⎦0，所以10d =；
[][][][]02121
00110
100011
00100110
2301101
0101c A B c A B ⎡⎤
⎢⎥===⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--=≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
00
所以2
1d =。因此
1212100122d d c A D c A ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥--⎣
⎦⎣⎦，