线性定常系统的结构分解.ppt
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现代控制系统课件第5章
*
n1
n1
1*
* 0
i1
式中 i* (i 1, 2, n) 为期望的闭环极点（实数极点或共
轭复数极点）。
2021/1/4
20
1)若∑0完全能控，必存在非奇异变换：
x Tc1x
能将∑0化成能控标准I型： x Ax bu yc x
式中
0 1 0
A
T 1 c1
ATc1
0 0
0
0
a0 a1 a2
2021/1/4
16
5.1.5 闭环系统的能控性与能观性
定理5.1.1 状态反馈不改变受控系统 o (A, B,C)
的能控性。但不保证系统的能观性不变。
实际上，受控系统 o (A, B,C, D) 的传递函数为：
Wo (s) c[sI A]1b d
将∑0的能控标准I型代入上式，可知，引入状态反馈后 传递函数的分子多项式不变，即零点保持不变。但分母
馈来实现闭环系统极点的任意配置。
证明 对单输入一单输出反馈系统
h ((Abhc),b,c)
闭环传递函数为：
2021/1/4
27
式中 Wo (s) c(sI A)1b
为受控系统的传递函数。 由闭环系统特征方程可得闭环根轨迹方程：
hWo (s) 1
当 Wo (s) 已知时，以 h(0 ) 为参变量，可求
2021/1/4
29
5.2.3 采用从输出到 x 反馈
定理5.2.4 对系统 o (A,b,c) 采用从输出
到 x的线性反馈实现闭环极点任意配置的充要条件
是∑0完全能观。
证明 根据对偶原理，如果 o (A,b,c) 能观。
~
则 0 (AT , cT ,bT )必能控，因而可以任意配置
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解 (2)
y = 0
2
1
xc x
c
3．系统按可观测性得结构分解
系统按可观测性结构分解的所有结论，都对偶于系统按可控性
结构分解的结果。设不可观测系统的动态方程为
•
x = Ax + Bu, y = Cx
（9－201）
其中，x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维输出向量。系统
得可观测性矩阵为
C
V
=
CA
xcTo
xT co
xT co
xT co
，相应地使原动态方程中的A, B,C 矩阵变换成某种标
准构造的形式。
结构分解的过程或方法可先从整个系统的可控性分解开始，将可控
与不可控的状态变量分离开，继而分别对可控和不可控子系统进行
可观测性分解，便可以分离出四类状态变量及四类子系统。当然，
结构分解的过程也可以从系统的可观测性分解开始。下面着重介绍
整个系统的输出响应
y(t)
均与不可控子系统的状态
x c
有关。
3)由于选取非奇异变换阵 P−1 的列向量s1, s2 ,, sr 及sr+1,, sn的非惟 一性，虽然系统可控性规范分解的形式不变，但诸系数阵不相同， 故可控性规范分解不是惟一的。 设一个可控性规范分解系统为（ A, B,C ），（书Ver6没有）
xco
可控
可观
x
co 可控 不可观
x co
不可控
可观
x co
不可控
不可观
由对应状态变量构成的子空间也分为四类，因而系统也对应分成了四
类子系统，称为系统的结构分解，也有的参考文献称此为系统的规范分解。
研究结构分解可以更明显地揭示系统的内部结构特性和传递特性。
《自动控制理论教学课件》第4章 线性定常系统的线性变换
第4章 线性定常系统的线性变换
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
第四章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输系统的可控规范型 和可观规范型
4.2 线性定常系统的结构分解 4.3 最小实现（补充）
1
第4章 线性定常系统的线性变换
4.1 单输入-单输出系统的可控规范形 和可观规范形
一 可控规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状态空间
式中：x为n维状态向量；u为p维输入向量；y为q维
输出向量；A，B，C为具有相应维数的矩阵。若系
统可控性矩阵的秩为
rankS rank B AB
An1B r n
则可构造n×n非奇异变换矩阵P-1：
P1 s1 s2
sr sr1
sn
16
第4章 线性定常系统的线性变换
8
第4章 线性定常系统的线性变换
三 可观测规范形
对单输入-单输出线性定常系统，如果其状
态空间描述具有如下形式
xˆ Aoxˆ bou, y coxˆ
0 0
Ao
1
0
1
,
cc
0
0
1
1
n -1
则称此状态空间描述为可观测规范形。 9
Cc
Cc
sI
Ac 0
A12 Ac
1
Bc 0
Cc
Cc
sI
r
0
Ac
sI
A12 nr
Ac
1
§44 线性系统的结构分解
§4.4 线性系统的结构分解1. 按能控性结构分解 设(4.21)()()(), ()(),xt Ax t Bu t y t Cx t =+⎧⎨=⎩ 若, 则在中c rank(Q )r n =<1[...]n c Q B AB A B -=选r 个无关列向量 ,{}12,,r q q q 补个无关列向量,n r -{}12,,,r r n q q q ++ 得,111r r n Tq q q q -+=⎡⎤⎣⎦故 . 1112110000r r r n n r p Aq p Aq A p Aq p Aq ++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ (ii) B 可由表示{}12,,r q q q 0,1,,j p B j r n ==+ 所以, 记, 则20B = 1c B B =. 110r c r n p B p B B B TB p B p B +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦例4.11 设(4.23) []0011()103()1(),0130()012(),xt x t u t y t x t -⎡⎤⎡⎤=-+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦=- 验证能控性, 并分解. 解,101113012c Q -⎡⎤=-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦因, 故系统不完全能控.()23c rank Q =<选前两列, 补,c Q 3q , ,1110q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2011q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦300,1q ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦使11123100100110110011111T q q q --⎡⎤⎡⎤===-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦则 1100001100110103110011013011A--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦在中选r 个行向量, 1o n C CA Q CA -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦{}12,,r p p p 补个无关行向量, 得非异阵n r -{}12,,,r r n p p p ++ 得非奇异阵 , (4.25)11r r n p p T p p +⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦对例4.11, 验证能观性且按能观结构分解. 解,2012123234o C Q CA CA ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦因, 故不完全能观. ()23o rank Q =<选前两行:, , []1012p =-[]2123p =-补, 则[]3001p =, .123012123001p T p p ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1211102001T -⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦反映系统中能控且能观的那一部分. 因为直接计算得. 11()()()()co co co coG s C sI A B C sI A B G s --=-=-= 这表明: 增或减不能控、不能观的状态不影响传递函数的值, 即传递函数不完全反映系统内部状态. 关于这个问题将在实现问题中作进一步的讨论.。
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
ห้องสมุดไป่ตู้
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
线性系统理论全PPT课件
复频率域描述即传递函数描述
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
bn1 s n1 b1 s b0 y( s) g ( s) n u( s) s an1 s n1 a1 s a0
(2)系统的内部描述 状态空间描述是系统内部描述的基本形式,需要由两个数学方程表征,—— 状态方 程和输出方程 (3)外部描述和内部描述的比较 一般的说外部描述只是对系统的一种不完全描述,不能反映黑箱内部结构的不 能控或不能观测的部分. 内部描述则是系统的一种完全的描述,能够完全反映系统的所有动力学特性.
离散时间线性系统的方块图
D(k )
H (k )
x(k 1)
x(k )
单位延迟
C (k )
u (k )
y (k )
G (k )
7/7,11/50
2.3.连续变量动态系统按状态空间描述的分类
线性系统和非线性系统
f ( x, u, t ) 设系统的状态空间描述为 x y g ( x, u, t )
5
• 建立数学模型 • 数学模型的基本要素是变量、参量、常数 和它们之间的关系 • 变量：状态变量、输入变量、输出变量、
扰动变量
• 参量：系统的参数或表征系统性能的参数
• 常数：不随时间改变的参数
6
• 时间域模型：微分方程组或差分方程组 可用于常系数系统 和变系数系统 • 频率域模型：用传递函数、频率响应
向量函数
g1 ( x, u, t ) f1 ( x, u, t ) g ( x, u , t ) f ( x, u , t ) ，g ( x, u, t ) 2 f ( x, u , t ) 2 g ( x , u , t ) f ( x , u , t ) n q
自动控制原理线性定常系统的反馈结构及状态观测器教学PPT
现代控制理论：利用状态反馈、输出反馈来配置极点，需要解决 两个问题：（1）极点可配置的条件；（2）确定极点配置时的反 馈矩阵。
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
0 0 1 P 0 1 12
1 18 144
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u
0 72 18 1
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0u
0 1 -12 0
系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
状态反馈在形成最优控制、克服和抑制扰动作用、实现系统解耦 控制等方面具有很多的应用。
１、极点可配置的条件 １）利用状态反馈的极点可配置条件
定理5：用状态反馈任意配置闭环极点的充要条件：受控系统可控 证明： （1）充分性
u v Kx
通过反馈构成的闭环系统
x (A- BK)x Bv
是渐近稳定的，即（A-BK）的特征值均有负实部，则称系统 实现了状态反馈镇定。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
定理4：当且仅当线性定常系统的不可控部分渐近稳定时，系统 是状态可镇定的。
证明：由于系统 {A, B} 不完全可控，则有可控性结构分解
vu
B
_
xI x S
A
F
y
C
x (A- BK)x Bv
如果 FC K 输出反馈等价于状态反馈
2、反馈结构对系统性能的影响
x (A- BK)x Bv
x (A- HC)x Bu
x (A- BFC)x Bv
状态反馈、输出反馈都会改变系统的系数矩阵，会影响系统的可 控性、可观测性、稳定性、响应特性等。
0 0 1 P 0 1 12
1 18 144
0 1 0 0
x 0 0
1
x
0u
0 72 18 1
0 0 0 1
x 1 6
0
x
0u
0 1 -12 0
系统的特征多项式 det[sI A] s3 18s2 72 s
希望特征多项式 a *(s) (s 1)(s 2 )(s 3 ) s3 4s2 6s 4
第三章线性定常系统的结构分解110PPT课件
四种子系统
能 控 能 观 子 系 统
能 控 不 能 观
能 观 不 能 控
不 能 观 不 能 控
系统结构分解的方法——非奇异线性变换
2021/2/11
4
一、按照能控性分解
目的：将系统显性分解为能控和不能控两部分，为实现做准备
定理1：如果线性定常系统：
x y
Ax Cx
B状u 态不完全能控，
即 rankQc k n ，则一定存在非奇异变换 x TC xˆ
方法：取Qc中线性无关的前两列为Tc中的前两列， 并保证其逆Tc-1存在，构造变换阵如下：
1 0 0
TC A1 A2 A3 1 1 0
0 1 1
易得 ：
1 0 0
TC1 1 1 0
1 1 1
2021/2/11
10
（3）能控性结构分解标准型为：
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 Aˆ TC1ATC 1 1 0 1 0 3 1 1 0 1 2 2
0 1 3 0
y 0 1 2 x
请判断其能控性，若状态不完全能控，请按能控性分解。
[解]： 1）求能控性判别矩阵的秩
1 0 1
rankQc rank B AB A2B rank1 1 3 2
系统状态不完全能控
0 1 2
线性无关的列
2021/2/11
9
2）按能控性进行分解,先构造非奇异矩阵Tc
7
能控性分解示意图：
AC
BC xC
u
A12
xNC
ANC
能控部分
xC
C (AC , BC ,CC )
xNC
不能控部分
NC (AC , 0,CC )
现代控制理论 4-3 线性定常系统的结构分解
⎤ ⎥ ⎦
[ ] C = C1 C2
⎧x&
e⎨
c
⎩y1
= =
A11xc C1xc
+
A12xc
+
B1u
⎨⎧x& c ⎩y 2
= =
A 22 x c C2xc
a det(sI − A) = det(sI − A) = ( ) ( ) det sI − A11 ⋅det sI − A22
c可控子系统特征值 λ1,L,λr ： 可控因子、可控振型
Bˆ
=
TB
=
⎢⎣⎡BBˆˆ 12
⎤ ⎥ ⎦
l行 n-l行
p列
a[ e] Cˆ = CT−1 = Cˆ 1 0 q行 l 列 n-l列
Aˆ , Bˆ 的特殊形式是由T-1 的结构决定的。
c⎪⎪⎨⎧⎢⎣⎡xx&& oo
⎤ ⎥ ⎦
=
⎢⎣⎡AAˆˆ 1211
[ ] tcy ⎪⎪⎩y = yˆ = Cˆ1
0 Aˆ 22
−1
⎤ ⎥ ⎥⎦
⋅
⎡ ⎢ ⎣
B1 0
⎤ ⎥ ⎦
可控子系统的 传递函数矩阵
7
特点2
系统（u与y之间）的传递函数矩阵 G(s)等
e 于可控子系统的传递函数矩阵 G1(s)； a因而 G(s) 不能反映不可控子系统的特性。 c但是，不可控子系统仍影响到整个系统性能 tcy 和响应；所以，不可控子系统必须是稳定的。
1
ae 系统 c tcy 状态变量
可观 可控
不可观
可控可观 xco 可控不可观 xco
不可控 可观
不可控可观 xco
不可观 不可控不可观 xco
线性系统的标准型与结构分解
Span16 4
2
8
6
9
（2）求 X1 X 2
X1 X 2 Span a1, a2,, a6
a1 ,,a4无关
Span
a1,, a4
X
3）子空间的直和
设X1, X 2 X , 而X1 X 2 0 则 X1 X 2 是直和，记为 X1 X2
例2 接例1研究
a1 ,
a4
均与
X1'
,
X
' 2
线性无关
X
' 1
a2
2a3
a5
X
' 2
a2
2a3
2a6
10
Spana1
Span
X
' 1
X
' 2
Spana1 X1 X 2 0
Spana4
Span
X
' 1
X
' 2
Spana4 X1 X 2 0
则 Spana1 与 X1 X 2 之和均为直和
Spana4 X1 X 2
2 2 2 2
Span102
2
2
0
4 2 0
082
1 0
1
Span100 100
e1c
0, 1 0
0
e2c
1 0
为 X c 的基
0
30
求 X nc使 X X c X nc ，则：
10
1 0
பைடு நூலகம்
X nc
Span000100
e3c
0, 0
e4c
0
0为X 0
的基
nc
1
P e1c e2c e3c e4c 1
45 线性系统的结构分解和零极点相消课件
✓ 所以,由式(4-52),必然有
qiApj=0 inc+1,jnc
因此,有
能控性分解(8/18)
q1
A~
Pc1 APc
q2 ...
A[
p1
p2
...
pn ]
qn
能控性分解(9/18)
q1Ap1
...
... ...
q1 Apnc ...
qqnnc c1AApp11
... ...
qnc Apnc qnc 1 Apnc
对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。
能观性分解(5/10)
B~1 +
~x1
~x1
C~1
y1
+
u
能观部分
A~11
+ y
B~2
+ +
~x2
+
不能观部分
A~21 ~x2
~ A22
能观性分解(6/10)
由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以
G(s) G~(s) C~(sI A~)1 B~
➢ 所以有
~ rankQc
rank[B~
A~B~
...
A~ n1B~]
rankB~1
A~11B~1
...
A~1n11B~1
0 0 ... 0
rank[B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1]
nc
能控性分解(12/18)
➢ 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 rank[B~1 A~11B~1 ... A~1n1c 1B~1] rank[B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1] nc 即A~11 和B~1为能控矩阵对,亦即nc维子系统 ~x1是状态完全能控的。
qiApj=0 inc+1,jnc
因此,有
能控性分解(8/18)
q1
A~
Pc1 APc
q2 ...
A[
p1
p2
...
pn ]
qn
能控性分解(9/18)
q1Ap1
...
... ...
q1 Apnc ...
qqnnc c1AApp11
... ...
qnc Apnc qnc 1 Apnc
对于这种状态的能观性结构分解情况如下图所示。
能观性分解(5/10)
B~1 +
~x1
~x1
C~1
y1
+
u
能观部分
A~11
+ y
B~2
+ +
~x2
+
不能观部分
A~21 ~x2
~ A22
能观性分解(6/10)
由于线性变换不改变系统传递函数阵,所以
G(s) G~(s) C~(sI A~)1 B~
➢ 所以有
~ rankQc
rank[B~
A~B~
...
A~ n1B~]
rankB~1
A~11B~1
...
A~1n11B~1
0 0 ... 0
rank[B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1]
nc
能控性分解(12/18)
➢ 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 rank[B~1 A~11B~1 ... A~1n1c 1B~1] rank[B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1] nc 即A~11 和B~1为能控矩阵对,亦即nc维子系统 ~x1是状态完全能控的。
现代控制理论-第四章-线性系统的能控性与能观性 PPT课件
第四章 线性系统的能控性与能观性
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性
4.2 定常连续系统的能控性
4.3 定常系统的能观性
4.4 线性时变系统的能控性及能观性
4.5 能控性及能观性的对偶关系
4.6 线性定常系统的结构分解
4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系
4.8 能控标准形和能观标准形
1。能控性判据的第一种形式
定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要 条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
rank B AB
An1B
An1B n
2019年10月17日
hh
17
第四章 线性系统的能控性与能观性
注：如果系统是单输入系统，则系统的状态完全能 控性的判据为
2019年10月17日
hh
25
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
从而
1 0 1 2 2 4 UC 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
rankUC 3 n 所以，系统能控
hh
5
第四章 线性系统的能控性与能观性
桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压 为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据 电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图 (b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在 相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变 动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显 然，它是不完全能控的。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定常离散系统的能控性
4.2 定常连续系统的能控性
4.3 定常系统的能观性
4.4 线性时变系统的能控性及能观性
4.5 能控性及能观性的对偶关系
4.6 线性定常系统的结构分解
4.7 能控性、能观性与传递函数矩阵的关系
4.8 能控标准形和能观标准形
1。能控性判据的第一种形式
定理4.2.1 系统(4.2.1)状态完全能控的充分必要 条件是能控性矩阵
UC B AB
的秩为n，即
rank B AB
An1B
An1B n
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第四章 线性系统的能控性与能观性
注：如果系统是单输入系统，则系统的状态完全能 控性的判据为
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第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.2.2 判断线性定常系统
x1 1
x2
0
x3 0
3 2 1
2 x1 2
0
x2
1
3 x3 1
1
1
1
u1 u2
1 2 1 1 2 2 4 A2B 0 1 0 0 1 0 1
1 0 3 1 0 4 2
从而
1 0 1 2 2 4 UC 0 1 0 1 0 1
0 0 1 0 4 2
rankUC 3 n 所以，系统能控
hh
5
第四章 线性系统的能控性与能观性
桥形电路(a)两个电容相等。选各自的电压 为状态变量，且设电容上的初始电压为零，根据 电路理论，则两个状态分量恒相等。相平面图 (b)中相轨迹为一条直线，因此系统状态只能在 相平面的一条直线上移动，不论电源电压如何变 动，都不能使系统的状态变量离开这条直线,显 然，它是不完全能控的。
《自动控制原理》线性定常系统的线性变换及结构分解
1n−1
n−1 2
n−1 n
(9-170)
3)设A阵具有m重实数特征值1，其余为(n − m) 个互异实数特征
值，但在求解Api = 1 pi (i = 1,2,, m) 时仍有m个独立实特征向量P1, P2 ,, Pm ，
则仍可使A阵化为对角阵 。（Ver6书没有）
P = p1 p2 pm pm+1 pn
系统。其动态方程分别为
•
S1 : x = Ax + Bu, y = Cx
(9—186)
•
S2 : z = AT z + C T v, w = BT z
(9—187)
其中，x，z均为n维状态向量；u.w 均为P 维向量；y, v 均为q维向量。
注意到系统与对偶系统之间，其输入、输出向量的维数是相交换的。
这表明变换前与变换后系统的传递矩阵完全相同，系统的传递矩阵 对于非奇异线性变换具有不变性。
3．变换后系统可控性不变
变换后系统可控性矩阵的秩为
rankS ' = rank P −1B (P −1 AP)P −1B (P −1 AP)2 P −1B (P −1 AP)n−1 P −1B = rank P −1B P −1 AB P −1 A2 B P −1 An−1B = rankP−1 B AB A2 B An−1B = rank B AB A2 B An−1B = rankS
三．非奇异线性变换的不变特性 从前面的研究中可以看到，为了便于研究系统固有特性，常常
需要引入非奇异线性变换，例如，将A阵对角化或约当化，需进行P 变换；将 A,b化为可控标准型，需进行 P−1 变换；将 A, c 化为可观测
标准型，需进行PT 变换。虽然这些变换中的p阵各不相同，但都是
3线性定常连续系统状态方程的解.ppt
(3) 状态方程的解为
t 2t 4e 3e At x (t ) e x0 t 2 t 4e 6e
线性定常连续系统的状态转移矩阵
q1+2q2t+3q3t2 +…+kqktk1+…=A(q +q t+q t2 +…+q tk+…) 0 1 2 k
– 如果所设解是方程的真实解,则对任意t,上式均 成立.因此,使t有相同幂次项的各项系数相等,即 可求得 q A q , q A q A2 q , , q A q Ak q
• 由常微分方程理论知,该方程的解连续可微。
– 因此,该解经泰勒展开可表征为无穷级数,即有
x(t ) q0 q1t q2t 2 qk t k
式中,qk(k=1,2,...)为待定级数展开系数。
级数展开法(2/12)
– 将所设解代入该微分方程,可得
q1 2q2t 3q3t 2 kqk t k 1 a(q0 q1t q2t 2 qk t k )
– 根据常微分方程理论求解一个一阶定常线性微 分方程组,通常是很容易的。
• 可是求解一个时变的一阶线性微分方程组却非易 事。
– 状态转移矩阵的引入,从而使得定常系统和时变 系统的求解公式具有一个统一的形式。 – 为此,本章将重点讨论状态转移矩阵的定义、性 质和计算方法,并在此基础上导出状态方程的求 解公式。
图3-1 状态转移特性
x ( t2 )
t
t2
0x1t1来自 ( t1 0) ( t2 t1 )
拉氏变换法
当初始状态给定以后,系统的状态转移特性就完全由状 态转移矩阵所决定。 所以,状态转移矩阵包含了系统自由运动的全部信息。 可见,状态转移矩阵的计算是齐次状态方程求解的关键。
第8讲 线性系统的结构分解
0 0 -1 1 x 1 0 - 3x 1u
0 1 - 3 0
y [0 1 - 2]x
列3=列1-2列2
解 由于
C
0 1 - 2
rank QO
rank
CA
rank
1
-2
3
2
3
CA2
- 2 3 - 4
故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。
能观性分解(9/10)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵
➢ 为分解系统,选择变换矩阵 0 1 0
Pc 0 0 1 1 3 0
其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
✓ 该变换矩阵的逆矩阵为
3 0 1 Pc1 1 0 0
0 1 0
能控性分解(18/18)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 A~ Pc1APc 1 4 2
0 1 - 2
rank B~1
A~11B~1
...
A~1n11
B~1
0 0 ... 0
rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1]
nc
能控性分解(12/18)
➢ 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n1c 1B~1] rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1] nc
这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底, ✓ 即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1, p2,…, pnc线性表示。
能控性分解(5/18)
➢ 同样,还可以找到n-nc个线性无关向量 pnc 1,..., pn 使如下线 性变换矩阵: Pc [ p1 ... pnc pnc 1 ... pn ]
0 1 - 3 0
y [0 1 - 2]x
列3=列1-2列2
解 由于
C
0 1 - 2
rank QO
rank
CA
rank
1
-2
3
2
3
CA2
- 2 3 - 4
故该系统为状态不完全能观且能观部分的维数为2。
能观性分解(9/10)
➢ 为分解系统,选择变换矩阵
➢ 为分解系统,选择变换矩阵 0 1 0
Pc 0 0 1 1 3 0
其中前两列取自能控性矩阵Qc,后一列是任意选择的但保证 变换矩阵为非奇异的。
✓ 该变换矩阵的逆矩阵为
3 0 1 Pc1 1 0 0
0 1 0
能控性分解(18/18)
➢ 经变换所得的状态空间模型的各矩阵为
0 4 2 A~ Pc1APc 1 4 2
0 1 - 2
rank B~1
A~11B~1
...
A~1n11
B~1
0 0 ... 0
rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1]
nc
能控性分解(12/18)
➢ 根据凯莱-哈密顿定理,由上式又可推得 rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n1c 1B~1] rank[ B~1 A~11B~1 ... A~1n11B~1] nc
这nc个列向量构成能控性矩阵Qc的一组基底, ✓ 即Qc中任何的列都可以由这nc个线性无关列向量p1, p2,…, pnc线性表示。
能控性分解(5/18)
➢ 同样,还可以找到n-nc个线性无关向量 pnc 1,..., pn 使如下线 性变换矩阵: Pc [ p1 ... pnc pnc 1 ... pn ]
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0 1 1 x1 x1 u 1 2 1
y 0 1 x1
第四章 线性系统的能控性与能观性
系统能观性分解结构图
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.4
能观子系统与原系统的传递函数矩
G1 (s) G(s)
阵相同
G(s) C(sI A)1 B C(sI A)1 B
2 To 1 0
1 0 0
1 2 1
第四章 线性系统的能控性与能观性
状态变换后的系统状态空间表达式
0 1 0 1 x 1 u x 1 2 0 1 0 1 0
y 1 0 0 x
二维能观子系统
1 o
C CTo C1
0
第四章 线性系统的能控性与能观性
在变换后的系统中，将前n2维部分提出来，得到
下式
x1 A11x1 B1u
这部分构成n2维能观子系统。 而后n-n2维子系统
y1 C1 x1
x2 A21x1 A22 x2 B2u
为不能观子系统。
第四章 线性系统的能控性与能观性
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.6
4.6.1
线性定常系统的结构分解
系统能控性分解
x Ax Bu y Cx
设系统的状态空间表达式为
假设系统的能控性矩阵的秩n1<n（n为状态向量 维数），即系统不完全能控。 关于系统的能控性分解，有如下结论。
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.1
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.3 变换 换成
存在非奇异矩阵To，对系统进行状态 ，可使系统的状态空间表达式变
x Ax Bu
y Cx
x To x
其中
A11 0 A T ATo A21 A22
1 o
B1 B T B B2
y 0 1 2 x
能控性矩阵的秩
1 0 1 1 1 3 2 3 2 rank b Ab A b rank 0 1 2 可知系统不完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
在能控性矩阵中任选两列线性无关的列向量。 为计算简单，选取其中的第1列和第2列。易知它们
中选择n1个线性无关的列向量；
● 将所得列向量作为矩阵Tc的前n1个列，其余列 可以在保证Tc为非奇异矩阵的条件下任意选择
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.6.1
对下列系统进行能控性分解。
0 0 1 1 x 1 u x 0 1 0 1 0 1 3 0
对于能观性分解，变换矩阵的求法有其特殊 性。应由构造其逆做起，即先求 To1 。 方法如下: ● 从能观性矩阵中选择n2个线性无关的行向量。 ● 将所求行向量作为 To1 的前n2个行，其余的行 可以在保证
T
1 o
为非奇异矩阵的条件下任意选择。
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.6.2
系统同例4.6.1，进行能观性分解。
计算能观性矩阵的秩
C 0 1 2 rank 1 2 3 2 3 rank CA 2 CA 2 3 4
任选其中两行线性无关的行向量，再选任一个与 之线性无关的行向量，得
To1 0 1 0 1 2 0 2 3 1
0 1 1 1 x 0 u x 1 2 2 0 0 1 0
y [1 1 2]x
二维能控子系统
0 1 1 x1 x1 u 1 2 0
y 1 1 x1
第四章 线性系统的能控性与能观性
系统能控性分解结构图
第四章 线性系统的能控性与能观性
定理4.6.2
能控子系统的传递函数矩阵与原系
统的传递函数矩阵相同，即
G1 (s) G(s)
因为
.
G(s) C(sI A)1 B C(sI A)1 B
C1 sI A11 C2 0
1
A12 B1 sI A22 0
C1
sI A11 0 A 21
1
0 B1 sI A22 B2
1
C1 sI A11 B1 G1 ( s )
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.6.2 系统能观性分解
设系统的状态空间表达式为
x Ax Bu y Cx
假设系统的能观性矩阵的秩 n2<n （ n 为状态 向量维数），即系统不完全能控。 关于系统的能观性分解，有如下结论。
是线性无关的。
再选任一列向量，与前两个列向量线性无关。 变换矩阵
1 0 2 Tc 1 1 0 0 1 1
1 2 2 1 1 Tc 1 1 2 3 1 1 1
第四章 线性系统的能控性与能观性
状态变换后的系统状态空间表达式
第四章 线性系统的能控性与能观性
在变换后的系统中，将前n1维部分提出来，得到
下式
x A11x1 A12 x2 B1u
这部分构成n1维能控子系统。 而后n-n1维子系统
x2 A22 x2
为不能控子系统。
第四章 线性系统的能控性与能观性
关键
变换矩阵Tc的构造
An1B]
求法如下：
● 在能控性矩阵 U C [B AB
存在非奇异矩阵Tc，对系统进行状态
变换 x Tc x ，可使系统的状态空间表达式变换 成
x Ax Bu
y Cx
其中
A11 A12 A T ATc 0 A22
1 c
B1 B T B 0
1 c
C CT