线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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11.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义
等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1 Lyapunov 关于稳定性的定义
系统稳定性是动态系统一个重要的、可以用定量方法研究和 表示的定性指标。
它反映的是系统的一种本质特征。这种特征不随系 统变换而改变, 但可通过系统反馈和综合加以控制。 这也是控制理论和控制工程的精髓。 在经典控制理论中，讨论的是在有界输入下，是否产生 有界输出的输入输出稳定性问题。 从经典控制理论知道，线性系统的输入输出稳定性
要掌握好Lyapunov稳定性理论，重要的是深刻掌握和理 解Lyapunov稳定性定义的实质和意义。
在这里，空间想象力对理解Lyapunov稳定性的实质和意 义非常有帮助。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量;
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即
线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统 转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内
此外，庞加莱还在1895年证明了“庞加莱 回归定理” ，并开创了动力系统理论。
在Routh和Poincare等工作的影响下，1892年，俄国数学力 学家A.M. Lyapunov（李亚普诺夫，1857–1918) 发表了博士 论文“The General Problem of the Stability of Motion 论运动 稳定性的一般问题”，建立了关于运动稳定性研究的一般性 理论，总结和发展了系统的经典时域分析法。
现代控制理论 6-4 应用李雅普诺夫方法分析线性定常系统稳定性
9
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )
线性定常离散系统 x(k + 1) = Φx(k ) x(0 ) = x 0
Φ ≠ 0 原点是唯一的平衡状态。
选取正定二次型函数为李雅普诺夫函数：
c
V (x(k )) = xT (k )Px(k )
e a e a
令 Φ T PΦ − P = −Q
ΔV (x(k )) = − xT (k )Qx(k )
e a
1 0⎤ −2 1 ⎥ ⎥ 0 − 1⎥ ⎦
⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ ⎢ 2⎥ ⎢ x3 ⎥ ⎣ ⎦
⎡0 0 0 ⎤ Q = ⎢0 0 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎢0 0 1 ⎥ ⎦ ⎣
A T P + PA = −Q
t
y c
7
c
⎡0 0 − k ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎥ ⎢1 − 2 0 ⎥ ⎢ p ⎥ ⎢ 12 p22 p23 ⎥ + ⎢ ⎢0 1 − 1 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎦ ⎦⎣ ⎣ 1 0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡ p11 p12 p13 ⎤ ⎡ 0 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎢p ⎢ 12 p22 p23 ⎥ ⎢ 0 − 2 1 ⎥ = ⎢0 0 0 ⎥ ⎢ p13 p23 p33 ⎥ ⎢− k 0 − 1⎥ ⎢0 0 − 1⎥ ⎦ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎣
e a e a
A T P + PA = −Q
⎧ p13 = 0 ⎪ ⇒ ⎨ p11 − 2 p12 − kp23 = 0 ⎪ p − p − kp = 0 13 33 ⎩ 12
(1) (2) (3)
⎧ 2( p12 − 2 p22 ) = 0 ⎪ ⎨ p13 − 3 p23 + p22 = 0 ⎪2( p − p ) = −1 33 ⎩ 23
T T = [Φx(k )] P[Φx(k )] − x (k )Px (k )
第八章 李雅普诺夫稳定性理论
x
sin2
et
t
et
cos2t
x
令
sin2 t et
et
cos2t
x
0
得
x0
（2） 在x1,x2平面的一、三象限内 V(x1,x2)etx1x20
而在同一区域内 V e tx 1 x 2 e tx 1 x 2 e tx 1 x 2x12 x22 0
所以系统不稳定
❖推论. 1：当 V(x,t) 正定，V ( x, t ) 半正定， 且 V[x(t; x0,t),t]在非零状态不恒为零时,则
例
xx21
kx2 x1
k 0
V (x ,t)x 1 2 k2 2x(k 0 )
V ( x , t ) 2 x 1 x 1 2 k 2 x 2 x 2 k 1 x 2 x 2 k 1 x 2 x 0
故系统是李雅普诺夫意义下的稳定
定理四 设系统的状态方程为 xf(x,t) f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件：
定理一 设系统的状态方程为xf(x,t)
f(0 ,t)0 (tt0) 如果存在一个标量函数V(x，t)，V(x，t)对向量x中 各分量具有连续的一阶偏导数，且满足条件： 1)V(x，t)为正定； 2) V ( x, t ) 为负定 则在状态空间原点处的平衡状态是渐近稳定的。
如果随 x 有 V(x,t)，则在原点处的平 衡状态是大范围渐近稳定的。
定义三 对所有的状态(状态空间的所有点)，如果 由这些状态出发的轨迹都具有渐近稳定性，则称 平衡状态xe为大范围渐近稳定。
定义四 :如果从球域 S( )出发的轨迹，无论球
第5章李雅普诺夫稳定性分析
3
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
9
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
17
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
第五章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性 5.2 李雅普诺夫第一法(间接法) 5.3 李雅普诺夫第二法(直接法) 5.4 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1 李雅普诺夫意义下的稳定性
1．自治系统
没有外输入作用时的系统称为自治系统，可 用如下系统状态方程来描述:
如果时变函数V(x,t)有一个正定函数作为下限， 也就是说，存在一个正定函数W(x) ，使得
V ( x ,t) W ( x), V (0,t) 0, t t0
则称时变函数V(x,t)在域S（域S包含状态空间的 原点）内是正定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
3. 负定函数：如果-V(x)是正定函数，则标量函数 V(x)为负定函数。
则称平衡状态xe在李雅普诺夫意义下是稳定的。
在上述稳定的定义中，实数δ通常与ε和初始时
刻t0都有关，如果δ只依赖于ε ，而和t0的选取无关，
则称平衡状态是一致稳定的。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
x(t;
x0 ,
(s)
则 m(s) 为矩阵A的最小多项式。
注：换言之，矩阵A的最小多项式就是(sI-A)-1
中所有元素的最小公分母。
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第5章 李雅普诺夫稳定性分析
例5-1（补充）：判断下述线性定常系统的稳定性
0 0 0
x 0 0
0
x
0 0 1
解：1）系统矩阵A为奇异矩阵，故系统存在无穷
第4章 李雅普诺夫稳定性分析
这表明， 当且仅当‖eAt‖≤ k ＜∞ 时，对任给的一个实数ε > 0，都对应存在和初始时 刻无关的一个实数 δ(ε)= ε /k，使得由满足不等式 ||x0 — xe|| ≤ δ(ε) (4-391) 的任一初态x0出发的受扰运动都满足不等式 xt; x0 ,0 xe e At x0 xe k , t 0 (4 392)
S ( ) x0
xe
xe
xe
x1
x1
x1
(a) 李雅普诺夫意义下的稳定性
(b) 渐近稳定性
(c) 不稳定性
4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)
间 接 法：利用状态方程解的特性来判断系统稳定性的方法。 适应范围：线性定常系统、线性时变系统、非线性函数可线性化的系统。
定理4-9 对于线性定常系统
f ( x, t ) x
(4 382)
式中，x为n维状态向量，且显含时间变量t；f(x，t)为线性或非线性、定常或 时变的n维函数，其展开式为
i x
f
i
( x1 , x2 ,...,xn , t ); i 1,2,...,n
(4 383)
假定方程的解为x(t；x0，t0)，式中x0和t0分别为初始状态向量和初始时刻， 则初始条件x0必满足 x(t0 ；x0，t0) = x0 。 1 平衡状态 李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。对于所有t，满足
t e
i
Hale Waihona Puke i t j i tˆ ) A , i ji i ( A i
(4 394)
2）结论2）证明
由式(4-390)可知，当且仅当‖eAt‖ 对一切 t≥0为有界，且当t→0时 ‖eAt‖ →0，零平衡状态 xe= 0 为渐近稳定。如上所证，当且仅当 A 的所有特征 值均具有负或零实部时，‖eÂt‖有界。又根据式(4-393)和式(4-394)可知 当且 t j t 0 t→0时‖eAt‖→0，这就等价于A的特征值均具 仅当t→∞时 t e ，可保证 有负实部。结论2）证毕。
第五章李雅普诺夫稳定性分析
即 x e = f (xe , t) = 0 。
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
从定义可知，平衡状态的各分量相对于时间不再发生变化。
线性定常系统：x = Ax
A非奇异：Axe = 0 xe = 0 是唯一零解 A奇异：Axe = 0 xe 有无穷多个解
非线性系统：x = f (x,t)
x = f (xe , t) = 0 xe 可能有一个也可能有多个平衡状态
5-2 李雅普诺夫稳定性的基本概念
一、 平衡状态
系统x = f (x,t) ，X为n 维状态向量，且显含时间变量t，x = f (x,t)为线性或
非线性、定常或时变的n
维向量函数，假定方程的解为
x(t;
x
0
,
t 0
)
，式中
x
0
和 t0 分别为初始状态和初始时刻。
定义：系统 x = f (x,t) 的平衡状态是使x = 0的那一类状态，并用 xe 表示，
1 2
Mx22
，
若用标量函数 V (x) 表示系统的能量。则
V
(x)
=
1 2
Kx12
+
1 2
Mx22
V (x) = Kx1x1 + Mx2x2
=
Kx1x2
+ Mx2 (−
K M
x1
−
f M
x2 )
= − fx22 0
结论：坐标原点处的平衡状态是渐近稳定的。
一、标量函数及其定号性
1．标量函数 V (x) 的符号和性质
+ ... +
a1
+
a0
=
0
如何判断系统的渐近稳定性？
5-4 李雅普诺夫第二方法
李雅普诺夫第二方法，建立在用能量观点分析稳定性的基础上： 若系统的某个平衡状态是渐近稳定的，则系统储存的能量将随时
第五章 控制系统的李雅普诺夫稳定性分析汇总
则状态方程的解为： x(t ) e At x(0) ( R1e1t ... Rnent ) x(0)
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
Re(i ) 0, (i 1, 2,..., n) lim x(t ) 0, 系统渐近稳定。
t
如果只有一个（或一对）特征值的实部等于0，其余特征值实 部均小于0，则系统仅仅可能是李亚普诺夫意义下的稳定性。
线性定常系统的特征值判据： 系统 x Ax 渐近稳定的充要条件是A的特征值均具有负实 部，即：Re( i ) 0 (i 1,2,, n) 证明：假定A有相异特征值 1 ,..., n 根据凯莱哈密顿定理：矩阵指数eAt为 e1t ,..., ent的线性组合
e At R1e1t ... Rn ent
x xe ( x1 xe1 ) 2 ... ( xn xen ) 2
2
2
2
由范数的定义可知，向量 ( x xe ) 的范数可写成
通常又将 x xe 称为 围之内时，则记为
x 与 xe 的距离。当向量 ( x xe ) 的范数限定在某一范
x xe
0
xe
与经典控制理论的区别： 1. 2. 3. 4. 5. 6. 平衡点/BIBO； 状态稳定/输出稳定； 经典控制的稳定大致对应于现代控制的渐进稳定； 即便输出稳定，状态可能不稳定； 李雅普诺夫意义下的稳定在经典中是不稳定的； 经典控制不需要一致性、全局性概念。
5.2 李雅普诺夫稳定性理论 一、李雅普诺夫第一方法 李雅普诺夫第一法的基本思想是利用状态方程解的性质来 判断系统的稳定性。通常又称为间接法。它适用于线性定常系 统以及线性时变系统和非线性系统可以线性化的情况。
意义：当系统运动到xe点时，系统状态各分量将维持平衡， 不再随时间变化。 平衡点：由系统状态在状态空间中所确定的点 求法：1、线性定常系统
最新精品课件9-4 李雅普诺夫稳定性分析
t
t
则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严 格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范 范围渐近稳定的。
(5) 不稳定性
若对某个 0 ，无论 0如何小，从 S ( ) 内 的某x0出发的轨线超出 S ( )， 则称xe是不稳定。
S ( )
即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李 雅普诺夫意义下稳定。 进一步证明(9-391)成立的 充要条件。将系统变换成约当标准形 1 ||eAt ||· ||P ||； A PA P ； ||eAt ||=||P-1||·
得知，|| eAt ||有界等价于|| eAt||有界，而且约当标准 形的每一个元素都具有如下形式 t i 1e ( i j i ) t 式中 i j i i 是矩阵A的特征值， i 是 i的重 数。 0 的元素在[0,∞)上有界， i 0 的元素 i 只有当 i 1 (单根)时，才能在[0,∞)上有界； 至此，得证：当且仅当命题(1)的条件成立时，系 统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。
(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定
的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( ≤0 ) 实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的 单根。
要条件是， A的所有特征值均具有负实部。
(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充
证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t≥0，有 At x e 0； A x e 0； x e e x e ； 对于初始状态 x0≠xe，有 (9-390) x e A t x 0 ；~ x x x e e A t (x 0 x e )，t 0； 对于任意给定的 0 ，当且仅当 At (9-391) e k 时，存在与初始时刻无关的 ( ) / k ，使得由任 意初始状态 x 0 x e ( ) 出发的运动轨线都满足 At ~ x e x 0 x e k ， t t 0 ， k
t
则称平衡状态xe是大范围渐近稳定的。 线性系统的稳定性与初始状态无关，对于严 格线性的系统，若它是渐近稳定的，必定是大范 范围渐近稳定的。
(5) 不稳定性
若对某个 0 ，无论 0如何小，从 S ( ) 内 的某x0出发的轨线超出 S ( )， 则称xe是不稳定。
S ( )
即在(9-391)条件下，系统的每一个平衡态均为李 雅普诺夫意义下稳定。 进一步证明(9-391)成立的 充要条件。将系统变换成约当标准形 1 ||eAt ||· ||P ||； A PA P ； ||eAt ||=||P-1||·
得知，|| eAt ||有界等价于|| eAt||有界，而且约当标准 形的每一个元素都具有如下形式 t i 1e ( i j i ) t 式中 i j i i 是矩阵A的特征值， i 是 i的重 数。 0 的元素在[0,∞)上有界， i 0 的元素 i 只有当 i 1 (单根)时，才能在[0,∞)上有界； 至此，得证：当且仅当命题(1)的条件成立时，系 统每一个平衡态均为李雅普诺夫意义下稳定。
(1) 系统的每一个平衡状态是李雅普诺夫稳定
的充要条件为， A 的所有特征值均具有非正( ≤0 ) 实部， 且实部为零的特征值是 A 的最小多项式的 单根。
要条件是， A的所有特征值均具有负实部。
(2) 系统的唯一平衡状态 xe=0 是渐近稳定的充
证明 (1)设 xe 是系统的平衡态，对于t≥0，有 At x e 0； A x e 0； x e e x e ； 对于初始状态 x0≠xe，有 (9-390) x e A t x 0 ；~ x x x e e A t (x 0 x e )，t 0； 对于任意给定的 0 ，当且仅当 At (9-391) e k 时，存在与初始时刻无关的 ( ) / k ，使得由任 意初始状态 x 0 x e ( ) 出发的运动轨线都满足 At ~ x e x 0 x e k ， t t 0 ， k
李雅普诺夫稳定性分析
第六章 李雅普诺夫稳定性分析在反馈控制系统的分析设计中，系统的稳定性是首先需要考虑的问题之一。
因为它关系到系统是否能正常工作。
经典控制理论中已经建立了劳斯判据、Huiwitz 稳定判据、Nquist 判据、对数判据、根轨迹判据等来判断线性定常系统的稳定性，但不适用于非线性和时变系统。
分析非线性系统稳定性及自振的描述函数法，则要求系统的线性部分具有良好的滤除谐波的性能；而相平面法则只适合于一阶、二阶非线性系统。
1892年俄国学者李雅普诺夫（Lyapunov ）提出的稳定性理论是确定系统稳定性的更一般的理论，它采用状态向量来描述，不仅适用于单变量、线性、定常系统，还适用于多变量、非线性、时变系统。
§6-1 外部稳定性和内部稳定性系统的数学模型有输入输出描述（即外部描述）和状态空间描述（即内部描述），相应的稳定性便分为外部稳定性和内部稳定性。
一、外部稳定性1、定义（外部稳定性）：若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的。
(外部稳定性也称为BIBO （Bounded Input Bounded Output ）稳定性) 说明：（1）所谓有界是指如果一个函数)(t h ，在时间区间],0[∞中，它的幅值不会增至无穷，即存在一个实常数k ，使得对于所有的[]∞∈0t ，恒有∞<≤k t h )(成立。
（2）所谓零状态响应，是指零初始状态时非零输入引起的响应。
2、系统外部稳定性判据线性定常连续系统∑),,(C B A 的传递函数矩阵为Cxy Bu Ax x=+=BUA sI X BU X A sI CX Y BU AX sX 1)()(--==-=+=B A sIC s G 1)()(--=当且仅当)(s G 极点都在s 的左半平面内时，系统才是外部稳定（或BIBO 稳定）的。
【例6.1.1】已知受控系统状态空间表达式为u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=121160 ， []x y 10= 试分析系统的外部稳定性。
李雅普诺夫关于稳定性的定义
✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
稳定性与李雅普诺夫
1）V(x) ＞ 0，则称V(x)为正定。例如V(x)=x12 +x22； 2）V(x) ≥ 0，则称V(x)为半正定（或非负定）。例如
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
V(x)=(x1 +x2)2； 3）V(x) ＜ 0，则称V(x)为负定。例如V(x)=－(x12 +2x22)； 4）V(x) ≤ 0，则称V(x)为半负定（或非正定）。例如
p
Δ1
p11 ， Δ2
11
p
21
p
12
p
，…
， Δn P
22
矩阵 P（或 V(x)）定号性的充要条件是：
1）若 Δi 0, i (1,2,, n) ，则 P（或 V(x)）为正定；
2）若
Δi
0, 0,
i为偶数 i为奇数
，则
P（或
V(x)）为负定；
3）若
Δi
0, 0,
i i
(1,2,, n
需要根据舍弃旳髙 阶项再分析 采用李雅普诺夫第 二法
举例：用李雅普诺夫第一法判断下列系统旳稳定性
x1 x1 x1x2
x2
x2
x1x2
第一步：令 x1 0, x2 0
求得系统旳平衡状态 x1e (0,0)T , x1e (1,1)T
第二步：将系统在平衡状态x1e附近线性化
f1 f1
（1）V(x)是满足稳定性判据条件的一个正定的标量函数，且 对于 x 应具有连续的一阶偏导数； （2）对于一个给定系统，如果 V(x)可以找到，那么通常是非 唯一的，这并不影响结论的一致性。 （3）V(x)的最简单形式是二次型函数 V(x) = xTP x，其中 P 为 实对称方阵，它的元素可以是定常的或时变的。但 V(x)并不一 定都是简单的二次型。 （4）如果 V(x)为二次型，且可表示为：
自动控制理论 第10章 李雅普诺夫稳定性分析
２）如果ｘｅ＝０为系统的平衡状态，则李氏函数应满足Ｖ（ｘｅ）＝ Ｖ（０）＝０。但当ｘ（ｔ）≠ ０
时， 不管其分量大于零或小于零，均能使Ｖ（ｘ）＞０。
基于上述的性质，人们常以状态矢量ｘ的二次型函数Ｖ（ｘ）作为李氏函数
的候选函数，即
式中，ｘ为实变数矢量。只要矩阵Ｐ是正定的，则上式所示的Ｖ（ｘ）就符 合对李氏函数性质的要求。
对于连续定常系统，李雅普诺夫第二方法是根据Ｖ（ｘ）和
的性
质去判别它的稳定性。因此需要研究以下两个问题：
１）具备什么条件的函数才是李雅普诺夫函数，简称李氏函数。
２）怎样利用李氏函数去判别系统平衡状态的稳定性？
由对图10-2所示系统的讨论，可知李氏函数必须要同时具有如下两个性质：
１）李氏函数是自变量为系统的状态矢量ｘ（ｔ）的标量函数。
态是不稳定的。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
6
为了能更直观地理解上述平衡状态稳定性的概念，
下图在二维状态平面上分别画出了系统平衡状态的稳 定、渐近稳定和不稳定３种情况。
2021/6/18
第十章 李雅普诺夫稳定性分析
7
自动控制理论
第二节 李雅普诺夫第二方法
正定函数
2021/6/18
11
自动控制理论
由上式可见，除了ｘｅ＝０外，系统的能量Ｖ（ｘ）在运动过程中由于 受到了阻尼器的阻尼作用而不断地减小，最后使Ｖ（ｘ）＝０。这个例子很 容易把能量函数Ｖ（ｘ）与实际系统联系起来。然而，对一般的系统而言， 至今还没有一个普遍适用“能量函数” 的表达式。对此，李雅普诺夫提出了 一个虚拟的能量函数，人们称它为李雅普诺夫函数，用Ｖ（ｘ）表示。
则称系统的平衡状态ｘｅ是渐近稳定的。
4李雅普诺夫稳定定性分析
2 如 V ( x) ( x1 2x2 ) ，当 x1 2 x2 时 V ( x) 0 ；
当 x1 2 x2 时， V ( x) 0 ，故V(x)为负半定，
2 而 V ( x) ( x1 2 x2 ) 为正半定。
不定性： V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。
态轨迹在原点邻域发散。 对线性系统来说，原点不稳定即系统不稳定；
对非线性系统来说，并不能说明系统不稳定。
还可推论：当 V ( x, t ) 正半定，且 V [ x(t ; x0 , t 0 ), t ] 在非 零状态不恒为零时，则原点不稳定；
[ x(t; x , t ),t ]在非零状态恒为零时，则原点是李雅普诺 若V 0 0
变换将其置于原点上，而坐标变换不会改变系统方 程的固有性质），并设在原点邻域存在 V ( x, t ) 对x 的连续的一阶偏导数。
定理1
若（1） V ( x, t ) 正定； （2）V ( x, t ) 负定；则原点是渐进稳 定的。 浅释： V ( x, t ) 负定表示能量随时间连续单
调地衰减，故与渐进稳定性定义叙述一致。
Ax 渐进稳定的充要条件是：系统矩阵 系统 x
的全部特征值位于复平面的左半部，即
Re(i ) 0 i 1,, n
李雅普诺夫第二法（直接法）
根据古典力学的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时
间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统 的能量函数表达式是相当复杂的。李雅普诺夫提出，可虚构一 个能量函数，后来被称为李雅普诺夫函数，记为 V ( x, t ) ； 若不显含t，则记为 V ( x) 。它是一个标量函数，考虑到能量 总大于零，故为正定函数。
当 x1 2 x2 时， V ( x) 0 ，故V(x)为负半定，
2 而 V ( x) ( x1 2 x2 ) 为正半定。
不定性： V(x)在域S内可正可负，则称V(x)不定。
态轨迹在原点邻域发散。 对线性系统来说，原点不稳定即系统不稳定；
对非线性系统来说，并不能说明系统不稳定。
还可推论：当 V ( x, t ) 正半定，且 V [ x(t ; x0 , t 0 ), t ] 在非 零状态不恒为零时，则原点不稳定；
[ x(t; x , t ),t ]在非零状态恒为零时，则原点是李雅普诺 若V 0 0
变换将其置于原点上，而坐标变换不会改变系统方 程的固有性质），并设在原点邻域存在 V ( x, t ) 对x 的连续的一阶偏导数。
定理1
若（1） V ( x, t ) 正定； （2）V ( x, t ) 负定；则原点是渐进稳 定的。 浅释： V ( x, t ) 负定表示能量随时间连续单
调地衰减，故与渐进稳定性定义叙述一致。
Ax 渐进稳定的充要条件是：系统矩阵 系统 x
的全部特征值位于复平面的左半部，即
Re(i ) 0 i 1,, n
李雅普诺夫第二法（直接法）
根据古典力学的振动现象，若系统能量（含动能与位能）随时
间推移而衰减，系统迟早会达到平衡状态，但要找到实际系统 的能量函数表达式是相当复杂的。李雅普诺夫提出，可虚构一 个能量函数，后来被称为李雅普诺夫函数，记为 V ( x, t ) ； 若不显含t，则记为 V ( x) 。它是一个标量函数，考虑到能量 总大于零，故为正定函数。
《现代控制理论》李雅普诺夫稳定性分析
向量和矩阵的范数
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
1、向量空间上的欧几里德范数（即向量长度）
其欧几里德范数定义为：
一般
一、向量和矩阵的范数
预备知识
矩阵范数
矩阵 的范数定义为：
【例】
Hale Waihona Puke ， 则即:矩阵每个元素平方和开根号
预备知识
2、矩阵范数
1．二次型函数：由n个变量
组成的二次齐次多项式，称（n元）二次型函数
2．二次型函数的矩阵表示
则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。
为唯一的平衡状态。
定理4：设系统状态方程为
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 设系统状态方程为
试确定系统的稳定性。
解 xe=0
,
是该系统惟一的平衡状态。
由于当
时
,所以系统在原点处的平衡状态是
大范围渐近稳定的。
选取
李雅普诺夫主要的稳定性定理
例题
[例] 已知定常系统状态方程为
定义：若所有有界输入引起的零状态响应输出有界，则称系统为有界输入输出稳定。
李雅普诺夫第一方法—间接法
定理3：连续定常系统 传递函数为： 系统 BIBO 稳定的充要条件为：传递函数的所有极点均位于S左半平面。
【例】试分析系统渐近稳定和BIBO稳定。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
讨论续
这是一个矛盾的结果,表明
也不是系统的
受扰运动解。综合以上分析可知,
当
时,显然有
根据定理9-12可判定系统的原点平衡状态是大范围渐近稳定的。
李雅普诺夫主要的稳定性定理
线性系统稳定性分析
一.线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
线性定常连续系统
系统状态方程为
4 稳定性与李雅普诺夫分析
4.3 李雅普诺夫第二法
稳定性,而是通过定义一个叫做李雅普诺夫函数的标 量函数来分析判别稳定性。
• 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法 称为直接法,亦称为李雅普诺夫第二法。
• 李雅普诺夫稳定性理论不仅可用来分析线性 定常系统,而且也能用来研究
– – – – – 时变系统、 非线性系统,甚至 离散时间系统、 离散事件动态系统、 逻辑动力学系统
第四章 稳定性与李雅普诺夫分析
李雅普诺夫稳定性定义
李雅普诺夫第一法
李雅普诺夫第二法
4.1
李雅普诺夫稳定性定义
稳定性是指系统在平衡状态受到扰动后，系统 自由运动的性质。 对于线性定常系统，通常只存在唯一一个平衡状 态，因此将平衡点的稳定性视为整个系统的稳定性。 对于其它系统，平衡点不止一个，系统中不同 的平衡点有着不同的稳定性，只能讨论某一平衡状 态的稳定性。
4.3 李雅普诺夫第二法
二次型函数v(x)和它的二次型 矩阵 P是一一对应的。
设二次型函数v(x) = xTPx，P为实对称矩阵，则定义如
下：
当v(x)是正定的，称P是正定的，记为P > 0； 当v(x)是负定的，称P是负定的，记为P < 0； 当v(x)是正半定的，称P是正半定的，记为P 0； 当v(x)是负半定的，称P是负半定的，记为P 0。
4.3 李雅普诺夫第二法
二、预备知识
1、二次型标量函数v(x)
设x1,x2,…xn为n个变量，定义二次型标量函数为：
v( x ) x Px x1
T
x2
p11 p xn 21 pn1
p12
p22 pn 2
p1n x1 x p2 n 2 pnn xn
线性定常系统李雅普诺夫稳定性分析
➢ 由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
➢ 目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
➢ 本小节将讨论对线性系统,包括 ✓ 线性定常连续系统 ✓ 线性定常离散系统 ✓ 线性时变连续系统
如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 ➢ 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析 矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数 来分析系统的稳定性。
➢ 如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有: 1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为
负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态
是一致稳定的; ✓ 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的;
➢ 目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
➢ 本小节将讨论对线性系统,包括 ✓ 线性定常连续系统 ✓ 线性定常离散系统 ✓ 线性时变连续系统
如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
次型函数的形式。
上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。 定理11-7 线性定常连续系统
x’=Ax 的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为:
➢ 对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵P 为下述Lyapunov方程(Lyapunov equation) 的解 PA+ATP = -Q
并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个Lyapunov函数。
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 ➢ 讨论的主要问题有: 基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析 矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数 来分析系统的稳定性。
➢ 如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有: 1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为
负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态
是一致稳定的; ✓ 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的;
稳定性与李雅普诺夫方法
只在李雅普诺夫意义下稳定，但不是渐近稳定旳系统则称临界 稳定系统，这在工程上属于不稳定系统。
经典控制理论(线性系统）不稳定 (Re(s)>0) 临界情况 (Re(s)=0) 稳定 (Re(s)<0)
Lyapunov意义下
不稳定
稳定
渐近稳定
2024/10/11
25
4.3 李雅普诺夫第一法
2024/10/11
x描述了系统在n维状态空间中从初始条件(t0,x0)出发旳一条状 态运动旳轨线，称系统旳运动或状态轨线
2024/10/11
15
平衡状态
若系统存在状态向量xe，对全部t，都使： f (xe , t) 0
成立，则称xe为系统旳平衡状态。
对于一种任意系统，不一定都存在平衡状态，有时虽然存在也 未必是唯一旳。
早在1892年，俄国数学家李雅普诺夫就提出将鉴定系统稳定性 旳问题归纳为两种措施：李雅普诺夫第一法和李雅普诺夫第二 法。
前者是经过求解系统微分方程，然后根据解旳性质来鉴定系统 旳稳定性。它旳基本思想和分析措施与经典理论是一致旳。
2024/10/11
3
本章要点讨论李雅普诺夫第二法。
它旳特点是不求解系统方程，而是经过一种叫李雅普诺夫函数旳 标量函数来直接鉴定系统旳稳定性。
所以，它尤其合用于那些难以求解旳非线性系统和时变系统。
李雅普诺夫第二法除了用于对系统进行稳定性分析外，还可用于 对系统瞬态响应旳质量进行评价以及求解参数最优化问题。
另外，在当代控制理论旳许多方面，例如最优系统设计、最优 估值、最优滤波以及自适应控制系统设计等，李雅普诺夫理论 都有广泛旳应用。
2024/10/11
所以，怎样拟定渐近稳定旳最大区域，而且尽量扩大其范围是 尤其主要旳。
李雅普诺夫稳定性(2)
x f (x)
的任何轨迹线的时间导数是半负定的，即
V dV (x) V x V f (x) 0 dt x x
那么称V (x) 为系统的李雅普诺夫函数。
x2
x2
V V3
V V2
V
V V1
0
V1 V2 V3 x1
x1
x(t)
x(t)
李雅普诺夫理论基础
几何解释：表示 V(x) 值的点总是指向杯底，或指向越来 越小的V (x)值等高线。
R a 1
李雅普诺夫理论基础
x1
极限环
从任何一个非零初始状态开始的系统轨线都渐近地趋近 一个极限环。这意味着如果选择稳定性定义中的 R 为足够小，使得半径为 R 的圆完全落入极限环的封 闭曲线内，那么在靠近原点处开始的系统轨线最终将 越出这个圆,因此原点是不稳定的。
李雅普诺夫理论基础
2、渐近稳定性与指数稳定性
李雅普诺夫理论基础
例：对于一阶系统 x ax bx5
原点是这个系统的两平衡点之一。这个系统在原点附近的
线性化是：
x ax
应用李雅普诺夫线性化方法，得出该非线性系统的下述稳
定性性质：
（1）a 0 渐近稳定； （2）a 0 不稳定；
（3）a 0 不能从线性化说明系统稳定性性源自。在第三种情况下，非线性系统为
征值都严格在左半复平面内），那么平衡点是渐近稳定的 （对实际的非线性系统）；
2、如果线性化后的系统是不稳定的（即如果 A的所有特征
值至少有一个严格在右半复平面内），那么平衡点是不稳 定的（对实际的非线性系统）；
3、如果线性化后的系统是临界稳定的（即如果 A 的所有特
征值都在左半复平面内，但至少有一个在 j 轴上），那 么不能从线性近似中得出任何结论（其平衡点对于非线性 系统可能是稳定的，渐近稳定的，或者是不稳定的）。
稳定性和李雅普诺夫方法
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( )
(a)
(b)
(c)
此三个图分别表达平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起旳经典轨迹。
9
4.2 李雅普诺夫第一法
➢ 李雅普诺夫第一法又称间接法。 ➢ 基本思绪是经过状态方程旳解来鉴别系统旳
稳定性。
线性定常系统：由特征方程旳根来判断稳定性。 非线性系统：先线性化，再鉴别。
数项 R(x) 来决定。
15
4.2.2 非线性系统旳稳定性
例4-2 已知非线性系统
x1 x1 x1x2 x2 x2 x1x2
试分析系统平衡状态旳稳定性。
解：系统有两个平衡状态为 xe1 = 0 0T , xe2 = 1 1T
在 xe1 处线性化，得
A
1 0
0 1
特征值为 1 1, 2 1。故，该平衡点不稳定。
f (xe ,t) 0 成立，则称 xe为系统旳平衡状态。
假如 f (x,t) Ax ，且 A非奇异，则原点是系统唯一旳平衡
状态。
平衡状态不一定存在，也不一定唯一。
如：
x1 x1
x2
x1
x2
x23
其平衡状态有：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
稳定性是相对于平衡点而言旳！
在 xe2 处线性化，得
A
0 1
1
0
特征值为 j ，实部为0。故，该平衡点用此措施
无法鉴定稳定性。
16
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设 V (x) 是向量 x 旳标量函数，且在 x=0 处，恒有V (0) 0，
S ( ) S ( )
xe x0
S ( ) S ( )
xe x0
S ( )
(a)
(b)
(c)
此三个图分别表达平衡状态为稳定、渐近稳定 和不稳定时初始扰动所引起旳经典轨迹。
9
4.2 李雅普诺夫第一法
➢ 李雅普诺夫第一法又称间接法。 ➢ 基本思绪是经过状态方程旳解来鉴别系统旳
稳定性。
线性定常系统：由特征方程旳根来判断稳定性。 非线性系统：先线性化，再鉴别。
数项 R(x) 来决定。
15
4.2.2 非线性系统旳稳定性
例4-2 已知非线性系统
x1 x1 x1x2 x2 x2 x1x2
试分析系统平衡状态旳稳定性。
解：系统有两个平衡状态为 xe1 = 0 0T , xe2 = 1 1T
在 xe1 处线性化，得
A
1 0
0 1
特征值为 1 1, 2 1。故，该平衡点不稳定。
f (xe ,t) 0 成立，则称 xe为系统旳平衡状态。
假如 f (x,t) Ax ，且 A非奇异，则原点是系统唯一旳平衡
状态。
平衡状态不一定存在，也不一定唯一。
如：
x1 x1
x2
x1
x2
x23
其平衡状态有：
0
0
0
xe1 0 , xe2 1 , xe3 1
稳定性是相对于平衡点而言旳！
在 xe2 处线性化，得
A
0 1
1
0
特征值为 j ，实部为0。故，该平衡点用此措施
无法鉴定稳定性。
16
4.3 李雅普诺夫第二法
4.3.1 预备知识 1. 标量函数符号性质
设 V (x) 是向量 x 旳标量函数，且在 x=0 处，恒有V (0) 0，
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设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解 P1 和 P2, 则将 P1 和 P2 代入该方程后有 P1A+ATP1=-Q
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
系统，但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。
定理11-8 设系统的状态方程为
x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。
如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有:
1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为 负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 3) 更进一步, 若||x(k)||→, 有V[x(k),k]→, 那么该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
T
例11-9 控制系统方块图如下所示。
要求系统渐近稳定, 试确定增益的取值范围。
k s 1
x3
1 s2
x2
1 s
x1
解 由图可写出系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 k x 1 2 0 0 x1 x 1 2 1 x3
所以，对任意的t，下式均成立:
At e (P P )e 常数 1 2 ATt
令 t=0 和 t=T(0), 则有
P 1 -P 2 e
ATT
AT (P P )e 常数 1 2
由定理11-7可知，当 P1 和 P2 为满足 Lyapunov 方 程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。
从而得到P为正定矩阵的条件
12 2k 0,
即
3k 0,
6 k /3 0
0<k<6
由上例可知，选择 Q 为某些非负定矩阵，也可以判断系统 稳定性，益处是可使数学运算得到简化。
10.4.2 线性离散系统的稳定性分析
前两节讨论的为连续系统的Lyapunov稳定性的定
义和稳定性判据定理，其稳定性定义可延伸至离散
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At dt
0
AT t
d ATt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
0 0 k p11 1 2 0 p 12 0 1 1 p13 p12 p22 p23 p13 p11 p23 p12 p33 p13 p12 p22 p23 p13 0 p23 0 p33 k 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
解出 p11, p12 和 p22, 得
p11 p12 1 3 1 P p p 1 2 2 12 22
为了验证对称矩阵P的正定性, 用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2)(1) / 3( 2) 1 9 0 P 0 5 2 1 2 6 列( 2)(1) / 3( 2)
于是, 矩阵 P 的元素可按如下Lyapunov代数方程:
PA+ATP=-I 求解, 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程
来判定线性定常系统的稳定性。
例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
0 1 x1 x1 x 1 1 x 2 2
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
P1-P2=0
或 P1=P2
在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=-xTQx沿任一条状态轨线不恒为零, 则 Q 可取 为非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵 P 满足Lyapunov代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。 由定理11-7及其推论11-1可知, 运用此方法判定系统的 渐近稳定性时, 最方便的是选取 Q 为单位矩阵, 即Q=I。
求得
k 2 12k 1 P 6k 2(6 k ) 0 6k 3k k 0 k 6
为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的, 矩阵 P 须 为正定。
采用合同变换法, 有
k 2 12k 6k 0 6k 3k k 0 行 (1) (2)2(1) k 2 k 0 列(1) (2)2 (1) 0 6 0 3k k 0 行 (3) (2) / 3(3) k 2 k 0 列(3) (2) / 3(3) 0 6 0 3k 0 0 0 6 k / 3
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)Βιβλιοθήκη 由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,
故矩阵P为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。
此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间 t 的 全导数分别为
1 T 3 1 V (x) x Px x x0 2 1 2 0 T T 1 V (x) x Qx x x0 0 1
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。
P2A+ATP2=-Q
两式相减，可得 (P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有
AT t At 0 e [( P e (P 1 -P 2 ) A A (P 1 -P 2 )]e 1 -P 2 )e AT t T At
系统，但其稳定性判据则有较大差别。 下面先给出一般离散系统的渐近稳定性的判据。
定理11-8 设系统的状态方程为
x(k+1)=f(x(k),k) 其中xe=0为其平衡态。
如果存在一个连续的标量函数V[x(k),k]且正定, 则有:
1) 若V[x(k),k]的差分V[x(k),k]=V[x(k+1),k+1]-V[x(k),k]为 负定的, 则系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 若V[x(k),k]为非正定的，则该系统在原点处的平衡态 是一致稳定的; 更进一步， 若V[x(k),k]对任意初始状态的解序列 x(k), V[x(k), k]不恒为零，那么该系统在原点处的 平衡态是一致渐近稳定的; 3) 更进一步, 若||x(k)||→, 有V[x(k),k]→, 那么该系统在原 点处的一致渐近稳定平衡态是大范围一致渐近稳定的。
T
例11-9 控制系统方块图如下所示。
要求系统渐近稳定, 试确定增益的取值范围。
k s 1
x3
1 s2
x2
1 s
x1
解 由图可写出系统的状态方程为
1 0 x x 2 0 3 k x 1 2 0 0 x1 x 1 2 1 x3
所以，对任意的t，下式均成立:
At e (P P )e 常数 1 2 ATt
令 t=0 和 t=T(0), 则有
P 1 -P 2 e
ATT
AT (P P )e 常数 1 2
由定理11-7可知，当 P1 和 P2 为满足 Lyapunov 方 程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。
从而得到P为正定矩阵的条件
12 2k 0,
即
3k 0,
6 k /3 0
0<k<6
由上例可知，选择 Q 为某些非负定矩阵，也可以判断系统 稳定性，益处是可使数学运算得到简化。
10.4.2 线性离散系统的稳定性分析
前两节讨论的为连续系统的Lyapunov稳定性的定
义和稳定性判据定理，其稳定性定义可延伸至离散
本小节将讨论对线性系统,包括 线性定常连续系统 线性定常离散系统 线性时变连续系统 如何利用Lyapunov第二法及如何选取Lyapunov函数来 分析该线性系统的稳定性。
11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析
设线性定常连续系统的状态方程为 x’=Ax 这样的线性系统具有如下特点: 1) 当系统矩阵A为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态xe=0,
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
将矩阵 P 的表达式 (4-a) 代入矩阵方程 PA+ATP = -Q 可得:
PA A P e Qe dtA A
T AT t At 0 T
0
e Qe At dt
0
AT t
d ATt At AT t e Qe dt e Qe At 0 dt Q
0 0 k p11 1 2 0 p 12 0 1 1 p13 p12 p22 p23 p13 p11 p23 p12 p33 p13 p12 p22 p23 p13 0 p23 0 p33 k 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 1 0 0 1
11.4 线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析
本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有:
基本方法: 线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析
矩阵Lyapunov方程的求解 线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析 线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理 及稳定性分析
解出 p11, p12 和 p22, 得
p11 p12 1 3 1 P p p 1 2 2 12 22
为了验证对称矩阵P的正定性, 用合同变换法检验如下:
1 3 1 行( 2)(1) / 3( 2) 1 9 0 P 0 5 2 1 2 6 列( 2)(1) / 3( 2)
于是, 矩阵 P 的元素可按如下Lyapunov代数方程:
PA+ATP=-I 求解, 然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。
下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程
来判定线性定常系统的稳定性。
例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。
0 1 x1 x1 x 1 1 x 2 2
展开后得
2 p12 p p p 22 11 12
p11 p12 p22 1 0 2 p12 2 p22 0 1
因此，得如下联立方程组:
2 p12 1 p11 p12 p22 0 2 p 2 p 1 12 22
证明过程为： 已知满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 的正定矩阵P存在，故令
V(x)=xTPx.
由于V(x)为正定函数，且V(x)沿轨线对时间t的全导数为 V’(x)=(xTPx)’ =(xT)’Px+xTPx’ =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx 而Q为正定矩阵，因此V’(x)为负定函数。
由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效 方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数
来分析系统的稳定性。
由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时， 难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。
目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别 寻找建立Lyapunov函数的方法。
因此，必要性得证。
上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简 便方法，该方法
不需寻找Lyapunov函数,
不需求解系统矩阵 A 的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，计算简便。 该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程。 由上述定理, 可得如下关于正定矩阵 P 是Lyapunov矩阵
故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函
数 eAT 将随着 T→ 而趋于零矩阵，即
P1-P2=0
或 P1=P2
在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点: 若V’(x,t)=-xTQx沿任一条状态轨线不恒为零, 则 Q 可取 为非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的充要条件为: 存在正定矩阵 P 满足Lyapunov代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的, 那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。 由定理11-7及其推论11-1可知, 运用此方法判定系统的 渐近稳定性时, 最方便的是选取 Q 为单位矩阵, 即Q=I。
求得
k 2 12k 1 P 6k 2(6 k ) 0 6k 3k k 0 k 6
为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的, 矩阵 P 须 为正定。
采用合同变换法, 有
k 2 12k 6k 0 6k 3k k 0 行 (1) (2)2(1) k 2 k 0 列(1) (2)2 (1) 0 6 0 3k k 0 行 (3) (2) / 3(3) k 2 k 0 列(3) (2) / 3(3) 0 6 0 3k 0 0 0 6 k / 3
PA+ATP=-Q
的正定矩阵P。
证明过程为： 对任意给定的正定矩阵 Q, 构造矩阵 P 如下
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a)Βιβλιοθήκη 由矩阵指数函数 eAt 的定义和性质知, 上述被积矩阵函数
的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和, 其中 是 A 的特征值。
由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零,
故矩阵P为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。
此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间 t 的 全导数分别为
1 T 3 1 V (x) x Px x x0 2 1 2 0 T T 1 V (x) x Qx x x0 0 1
根据渐近稳定性定理(定理11-4), 即证明了系统的平衡态 xe=0是渐近稳定的, 于是充分性得证。
(2) 再证必要性。 Necessity. 即证明: 若系统在xe=0处是渐近稳定的, 则对任意给定的 正定矩阵Q, 必存在正定矩阵P满足矩阵方程 PA+ATP=-Q 证明思路： 由正定矩阵Q构造满足矩阵方程
因为系统是渐近稳定的, 则矩阵 A 的所有特征值
的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在, 即P 为 有限对称矩阵。
P e Qe At dt
AT t 0
(4 a )
又由于
Q 正定,
矩阵指数函数 eAt 可逆, 则由方程 (4-a)可知，P为有限的正定矩阵。 因此，P 为正定矩阵。
即为状态空间原点;
2) 若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则 一定是大范围渐近稳定的; 3) 对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二 次型函数的形式。