线性定常系统的极点配置

不一定保持系统的能观 性。
A BK B AB BKB A BK B是B, AB列的线性组合。 A BK 2 B A2 B 2 ABKB ( BK ) 2 B A BK 2 B是B, AB, A2 B列的线性组合
U cK B, ( A BK ) B,, ( A BK ) B 是U c
B
∫
A
x
y
C
Ax Bu ( A BHC) x Bv x x : H : y Cx y Cx 比较开环系统和闭环系统 （1）两者的状态维数相同； （2）系统矩阵由A变为A-BHC。
输出反馈：GH ( s) ( I G ( s ) H ) 1 G ( s ) GH ( s) C ( sI A BHC ) 1 B
GK ( s) C ( sI A BK )1 B C ( sI A)1 ( sI A BK BK )( sI A BK )1 B G ( s)( I K ( sI A BK )1 B)
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3、状态反馈与输出反馈的比较
引入状态反馈增益阵 K k1 k2 kn
则闭环的状态空间表达式为：
( A b k )x b u x
y cx
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其中
A BK
1 0 0 = k1 kn 0 1 a a 1 n 1 0
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4、闭环系统的能控性与能观性
开环系统的能控性矩阵 ：
U c与U cK的秩相同
U c B, AB, A2 B,, An 1 B 状态反馈闭环系统的能 控性矩阵：
U cK B, ( A BK ) B,, ( A BK ) n1 B


结论1：连续时间线性定常系 统， 状态反馈保持系统的能 控性；但
的状态反馈，试讨论开 环系统与闭环系统的能 控性和能观性。
闭环系统： A BK x Bv x y Cx 1 2 A BK 0 0 0 2 U cK ( B, ( A BK ) B) 1 0 满秩， 系统能控 c 1 2 Uo c( A BK ) 1 2 不满秩， 系统不能观
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极点配置步骤与方法一——可控标准型法
step1.
n n1 det A a a0 求A阵特征多项式 n1
step2. 求期望的闭环特征多项式
* 1 * n
step3.
a 计算 k a a ,, a a
解 1. 解：
判断系统的能控性
1 0 0 U c 0 1 6 0 0 1
满秩，系统能控，所以极点可以任意配置
2.
求反馈增益阵 step1. 计算开环的特征多项式
0 0 det A det 1 6 0 3 18 2 72 0 1 12


1 0 0 0 0 0 a k a k 1 2 0 1
1 an 1 kn 0
所以此系统的特征多项式为：
n an1 kn n1 a0 k1 0
1 n n n1 an a 1 0 0
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极点配置步骤与方法二 ——直接计算的方法
an1 Step1 计算期望特征多项式，得到 a0 ......
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解：开环系统： 解 0 2 U c (b, Ab) 1 1 满秩， 系统能控 c 1 2 Uo cA 7 4 满秩， 系统能观
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6.2 SISO线性定常系统的极点配置
一、问题的提法
（1）K中的参数个数一般多于H，故状态反馈对系统的 修正能力优于输出反馈； （2）从实现角度看，输出反馈优于状态反馈。
状态反馈：GK (s) G(s)(I K (sI A BK )1 B) 输出反馈：GH (s) (I G(s)H )1G(s)
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* * * a0 , a1 a1 , a2 a2 ] [4,66,14] step3. 计算 K [a0
step4.
1.. a .. 0 0 n 1 6 1 p [ A n 1b,..... b] .......... ..... 1 0 a .......... . a 1 n 1, 1 1 0 0 p 1 0 1 12 1 18 144 0 0 k k p 1 [ 4,66,14] 0 0 1 18
对 1 n 都可以找到相应的k，须引入状态反馈后使系统 的极点位于1 n
必要性：可以任意配置极点


能控
反证：若系统不能控，则由可控性分解将系统化为：
xc Ac A12 xc bc x u，y Cc Cc x Ac x 0 c c
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引入状态反馈，设增益阵为 kc 表达式为：
Ac x 0


kc

，则闭环的状态空间
A12 bc kc bc x u Ac 0
bc Ac bc kc A12 bc kc kc x u Ac 0 0 0
系统期望性能指标 稳定性,动态和静态指标
一组期望极点
λ1 λ2,…, λn
设计反馈控制系统
确定K,H使得A-BK或 A-BHC的特征根为 λ1 λ2,…, λn
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结论3：SISO 连续时间线性定常系统 ( A, b, c)，通过状态反馈可以任 意配置 极点的充要条件是系统 能控。
H
C ( sI A)1 ( sI A BHC BHC )( sI A BHC ) 1 B C ( sI A)1 ( B BHC ( sI A BHC ) 1 B) G ( s) G ( s) HGH ( s)
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2 n 1
结论2：连续时间线性定常系 统， 输出反馈不改变系统的 能控性和 能观性。
将HC看成K，能控性得证； C C CA C ( A BHC) Uc , U cH n 1 CA C ( A BHC) n 1
第六章 控制系统综合校正的 现代方法——状态反馈校正
① 状态反馈与输出反馈；
② SISO线性定常系统的极点配置；
③ 系统的镇定问题；
④ 状态观测器；
⑤ 基于观测器的状态反馈系统。
⑥ 控制系统的解耦方法
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6.1状态反馈与输出反馈
v
u
1、输出反馈
状态空间表达式：
1 1 0 0 72 18 1 18 1 0 12 1 0 0 0 72 18 1 1 0 0
1 12 [ 14,186,112] 144
step5. 验证： det( A bk ) 3 4 2 6 4
2、状态反馈
v

u
B
∫
A
x
y
C
状态空间表达式： Ax Bu x : K y Cx
K
( A BK ) x Bv x : y Cx
比较开环系统和闭环系统 （1）两者的状态维数相同； （2）系统矩阵由A变为A-BK。 状态反馈：GK ( s) G ( s)( I K ( sI A BK )1 B)
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例6.2 系统的状态方程为
0 1 0 0 x 1 6 0 x 0 u 0 1 12 0

* * 求状态反馈增益阵k,使闭环极点位于 1 2, * 1 j , 2 3 1 j
证明： (充分性)系统能控 可以任意配置极点
( A, b, c)能控 存在可逆矩阵P使得系统经线性变换化 为能控规范型 0 x A x b u , 其中： A y c x a 0 1 0 a1 0 , b , c 1 2 n 1 0 1 an 1
n
* 0 0 * n1 n1
* n1
* n1 a0
step4. 计算矩阵
1 a n 1 p A n 1b b 1 ，求p-1 a a n 1 1


1 step5. 求反馈增益阵 k k p
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设为期望特征根，则其特征多项式为：

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比较系数有： a0 k1 a0
k1 a0 a0
a1 k2 a1
k 2 a1 a1

an1 kn a
n1

kn an 1 an1
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B, AB, A B,, A B 经列初等
n 1
变换得到的。
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例6.1
设系统的状态空间表达 式如下，引入反馈增益 矩阵K 3 1 1 2 0 x 3 1 x 1 u y 1 2x


闭环系统的特征多项式为：
Ac bc kc det 0 A12 bc kc 0 Ac
det Ac bc kc det Ac 0


不能控部分的特征根无法改变
不能任意配置极点，矛盾。
a0 0, a1 72, a2 18
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step2. 计算期望特征多项式. * * ( 1* )( 2 )( 3 ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) * * * 3 2 a 4, a 6, a 4 6 4 0 1 2 4