线性定常系统的极点配置
线性系统理论6极点配置与特征结构配置-文档资料
算法6.3.3 [极点配置-基于能控规范型的设计]
第一步:把能控矩阵对(A,B)化成为Wonham第二
能控规范型(AW ,BW )或Luenberger第二能控规范型
(AL,BL ),即按4.7节的方法求得变换阵S,使得:
AW
SAS
1
或
AL
SAS 1
BW SB
BL SB
第二步:根据能控规范型的分块结构将给定的期望
且 m r 1 n ，则系统 x Ax Bu
y
Cx
Du
“几乎”总可以用静态输出反馈任意配置极点。
推论6.2.2 设（A，B）能控，（A，C）能观， 则“几乎”总存在
0, q n m r 1,
mr 1 n mr 1 n
阶动态补偿器，使得该系统在该补偿器作用
下的闭环系统极点可以任意配置。
引理6.2.1 已知
A Rnn , B Rnr ，且 A, B 能控
则几乎对于任意的 K Rrn ，矩阵 A BK 具有互异特征值，从而为循环矩阵。
引理6.2.2 设
A Rnn , B Rnr ，且 A, B 能控
且 A 为循环的，则对几乎任意的
Rr 有 A, B 能控。
例6.2.1 考虑下述既完全能控又完全能观
但较状态反馈包含了较少的信息，对于输 出反馈的情况，即使系统完全能控和完全 能观，闭环系统的极点也不可能被任意配 置。
定理6.2.2 设（A，B）能控，（A，C）能观
则系统
x Ax Bu
y
Cx
Du
“几乎”总可以用静态输出反馈任意接
近地配置 minn, m r 1 个极点。
推论6.2.1 设（A，B）能控，（A，C）能观，
7.4 状态反馈和极点配置
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统
x Ax Bu
假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地 配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全可控。
该定理对多变量系统也成立。
证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
kn 1 ]
由于 u r Kx r KPx ，此时该系统的状态方程为 x ( Ac Bc K ) x Bcr
相应的特征方程为 sI Ac BcK 0
因为非奇异线性变换不改变系统的特征值，当利用 u=r-Kx作为控制输 入时，相应的特征方程与上式相同，均有如下结果。
s
1
0
0
s
0
sI Ac BcK
◆确定将系统状态方程变换为可控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是 可控标准形，则P = I。此时无需再写出系统的可控标准形状态方程。非奇异线 性变换矩阵P=QW。
◆利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
（s 1（) s 2 ) （s n ) sn an1sn1 a1s a0
从而确定出a1* , a2 *,… an *的值。
◆最后得到状态反馈增益矩阵K为
K [ a0 a0 a1 a1
a n1
an1
]
P 1
10
极点配置 例1
【例】 考虑如下线性定常系统
0
1
0
0
x Ax Bu A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状
线性系统的状态反馈及极点配置
现代控制理论实验（一）线性系统的状态反馈及极点配置——09级自动化本科一．实验目的1．了解和掌握状态反馈及极点配置的原理。
2．了解和掌握利用矩阵法及传递函数法计算状态反馈及极点配置的原理与方法。
3．掌握在被控系统中如何进行状态反馈及极点配置，构建一个性能满足指标要求的新系统的方法。
二．实验原理及说明一个控制系统的性能是否满足要求，要通过解的特征来评价，也就是说，当传递函数是有理函数时，它的全部信息几乎都集中表现为它的极点、零点及传递函数。
因此若被控系统完全能控，则可以通过状态反馈任意配置极点，使被控系统达到期望的时域性能指标。
若有被控系统如图3-3-61所示，它是一个Ⅰ型二阶闭环系统。
图3-3-61 被控系统如图3-3-61所示的被控系统的传递函数为：12021S 11)1(1)(a S a S b T TS T TS S T S i i i ++=++=++=φ （3-3-51） 采用零极点表达式为：))(()(210λλφ--=S S b S （3-3-52）进行状态反馈后，如图3-3-62所示，图中“输入增益阵”L 是用来满足静态要求。
图3-3-62 状态反馈后被控系统设状态反馈后零极点表达式为：))(()(21**--=λλφS S b S （3-3-53）1．矩阵法计算状态反馈及极点配置1）被控系统被控系统状态系统变量图见图3-3-63。
图3-3-63 被控系统状态系统变量状态反馈后的被控系统状态系统变量图见图3-3-64。
图3-3-64 状态反馈后的被控系统状态系统变量图图3-3-61的被控系统的状态方程和输出方程为：状态方程：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+-=+-=••1i 1i 2211X Y u T 1X T 1X X T 1X T 1X （3-3-54）⎪⎩⎪⎨⎧=+==•∑CxY u Ax X B C B A 0），，（式中[]01,T 10B 0T 1T 1T 1A ,i i 21=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C x x x ， 被控系统的特征多项式和传递函数分别为：12010a a b S b )(+++=S S S φB A)C(SI 1--=）（A -SI det a a )(f 0120=++=S S S 可通过如下变换（设P 为能控标准型变换矩阵）： —x P X =将∑0C B A ），，（化为能控标准型 ），，（————C B A ∑，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+=•——————x C Y u x A B X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==-101a -a 10AP P A — ， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡==-10B P B 1— ， []10b b CP C ==— 2）被控系统针对能控标准型），，（————C B A ∑引入状态反馈：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-=—————式中10k k k xk u ν （3-3-55）可求得对—x 的闭环系统），，—————C B k B A (-∑的状态空间表达式： 仍为能控标准型，即： ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=•————————）（x C Y u x B k B A X 式中 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-）（）（—————1100k a k a 10k B A则闭环系统），，（——————C B k B A -∑的特征多项式和传递函数分别为： ）（）（—————00112k k a k a k)B (A SI det )(f ++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=S S S )k a (k a b S b B )k B A (SI C )(00112011k ———————）（+++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-S S S φ3）被控系统如图3-3-61所示：其中：05.01==T T i则其被控系统的状态方程和输出方程为：[]XY uX X 0110012020=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=期望性能指标为：超调量M P ≤20%；峰值时间t P ≤0.5秒。
第五章线性定常系统的设计与综合-课件
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J(u()) (xTQxuTRu)dt 0
R正定对称;常阵
Q正定对称或半正 常定 阵对 (且 A,称 Q12)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
通过状态反馈构成闭环系统
x (ABK)xBu y(CDK)xDu
第五章 线性定常系统的设计与综合
一般D=0，可化简为
x (ABK)xBu yCx
闭环传递函数矩阵为
W k(s ) C (s IA B) 1 K B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
反馈控制与极点配置
例 考察下述能控能观的系统
它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为 其闭环特征多项式为s2+h。
上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能 进行任意的极点配置。
2. 系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭 环特征多项式f*(s)分别为
f(s)=s3+3s2+2s f*(s)=s3+4s2+6s+4 则相应的反馈矩阵K为 K=[a3*-a3 a2*-a2 a1*-a1]
因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为
在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需 先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。 ➢ 这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、 可以直接作反馈量的问题。
证明过程的思路为:
•对状态不 完全能控开 环系统进行 能控分解
•对能控分 解后的系 统进行状 态反馈
•其完全不 能控子系统 不能进行极
点配置
•与假设 矛盾,必
要性得 证
➢ 被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换 x=Pc ,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:
其中状态变量 是完全能控的;状态变量 是完全不能控
➢ 由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控 特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。
➢ 这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。
➢ 从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不 改变系统的状置方法
极点配置算法1（维数较大） 1. 对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态 空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为 K=[k1 … kn]=[an*-an … a1*-a1] 其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期 望的闭环系统特征多项式的系数。
《现代控制理论》线性定常系统的反馈结构及状态观测器
求解状态反馈阵k 的步骤：
1) 校验系统的可控性
令
计算k
小结
B
I s
A
x
u
k
v
用状态反馈配置系统闭环极点
结论：1.状态反馈不改变系统的可控性，但可改变可观测性.
2.状态反馈不改变系统的闭环零点。
状态反馈的影响
二、状态反馈对系统零点和可观测性的影响
【例】 系统S：
此时系统可控可观
1).复合系统结构图（状态反馈＋状态观测器）
输出内反馈及状态可观测性
续
状态反馈
状态观测器
复合系统
选状态变量
即：
y=Cx
输出内反馈及状态可观测性
2) 传递函数矩阵
结论:
状态观测器不影响传递函数
输出内反馈及状态可观测性
3）特征多项式
特征多项式
结论
1.引入观测器提高了系统的阶次（由n 2n ）
2.整个闭环系统特征值由状态反馈下（A - BK）特征值和状态观测器下特征值（A－HC）组合而成，且相互独立。即观测器的引入不影响已配置好的系统特征值，而状态反馈也不影响观测性的特征值，这就是分离定理。
输出内反馈及状态可观测性
3.状态观测器的引入,不影响传递函数阵.且趋于 x(t) 的速度,取决于观测器的特征值。
分离定理
4).分离定理
定理: 若系统{A,B,C }可控又可观,用状态观测器估值形成状态反馈时,其系统的极点配置和观测器设计可分别独立运行,即K 和H 值的设计可分别进行,有时把K 和H 统称控制器. 一般观测器的响应速度应比状态反馈的响应速度快一些.
状态观测器概述
二、状态观测器概述
利用状态反馈能任意配置闭环系统的极点及有效改善系统性能,然而系统的状态变量并不能用物理方法测量.因此要使状态反馈在工程上实现就必须解决这个问题. 解决问题的方法之一就是重构系统的状态.并用这个重构状态代替原系统实际状态,实现状态反馈.
自动控制原理学生实验：线性系统的状态反馈及极点配置
实验报告线性系统的状态反馈及极点配置一．实验要求了解和掌握状态反馈的原理，观察和分析极点配置后系统的阶跃响应曲线。
二．实验内容及步骤1．观察极点配置前系统极点配置前系统的模拟电路见图3-3-64所示。
图3-3-64 极点配置前系统的模拟电路实验步骤：注：‘S ST’不能用“短路套”短接！（1）将信号发生器（B1）中的阶跃输出0/+5V作为系统的信号输入r(t)。
（2）构造模拟电路：按图3-3-64安置短路套及测孔联线，表如下。
（3）虚拟示波器（B3）的联接：示波器输入端CH1接到A3单元输出端OUT（Uo）。
注：CH1选‘X1’档。
（4）运行、观察、记录：将信号发生器（B1）Y输出，施加于被测系统的输入端rt，按下信号发生器（B1）阶跃信号按钮时（0→+5V阶跃），观察Y从0V阶跃+5V时被测系统的时域特性。
等待一个完整的波形出来后，点击停止，然后移动游标测量其调节时间ts。
实验图像：由图得ts=3.880s 2.观察极点配置后系统 极点的计算：受控系统如图所示，若受控系统完全可控，则通过状态反馈可以任意配置极点。
受控系统设期望性能指标为：超调量M P ≤5%；峰值时间t P ≤0.5秒。
由1095.01t 707.0%5eM n n 2n p 1/p 2=≥⇒≤-==⇒≤=--ωωζωπζζζπ取因此,根据性能指标确定系统希望极点为：⎪⎩⎪⎨⎧--=+-=07.707.707.707.7*2*1j j λλ受控系统的状态方程和输出方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+=-----⋅-xC y b x A x μ式中][01,10,020120,21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=----C b A x x x系统的传递函数为：202020a S a S βS β)(2012010++=+++=S S S G受控制系统的可控规范形为：[][]020T C C b T b a a T A T A X T X X C Y U b X A X K K i o K K KK k K K K ===⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤-⎢⎣⎡-===⎩⎨⎧=+=---10111,1020120010T ββ为变换阵），（式中当引入状态反馈阵K K =[K 0K 1]后,闭环系统()K K K K K C b K b A ,,-的传递函数为：()()()01201120120)20(20)(K S K S K a S K a S S S G o ++++=+++++=ββ而希望的闭环系统特征多项为：1001.14))(()(2*2*1**12*++=--=++=S S S S a S a S S f oλλ 令G K (S)的分母等于F #(S),则得到K K 为：[][]9.58010-==K K K k最后确定原受控系统的状态反馈阵K ：由于 1-=T K K k求得和===---111,T C b T b T A T A K k K求得 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-1102011T所以状态反馈阵为： [][]9.59.91102019.580-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=K极点配置系统如图所示：极点配置后系统根据极点配置后系统设计的模拟电路见下图所示。
线性系统的极点配置设计研究
线性系统的极点配置设计研究【引言】线性系统是现代控制工程学中的基础，系统的稳定性是控制系统设计的一个核心问题。
对于一个线性系统而言，其极点配置设计是控制系统设计中非常重要的一环。
本文将对线性系统的极点配置设计进行研究，并分别从理论和实践两个方面进行分析。
【理论分析】（一）极点概念的介绍在控制系统设计中，极点是非常重要的概念。
在数学上，一个线性系统的极点是其传递函数分母的根，通常将其表示为 s1, s2, ..., sn。
一个线性系统的稳定性与其极点有着密切的关系，当且仅当极点全部位于左半s平面才能保证系统的稳定性。
（二）极点配置设计的方法对于一个控制系统而言，其极点配置设计是控制系统设计的重点之一。
一般分为基于传递函数的极点配置设计和基于状态空间的极点配置设计两种。
1. 基于传递函数的极点配置设计传递函数的极点决定了一个系统的动态响应，因此，极点配置设计是控制系统设计中最重要的一步。
其中，将极点移动到左半s平面可以提高系统的稳定性，将极点分配到希望响应的位置可以改善系统的动态特性。
2. 基于状态空间的极点配置设计状态空间模型是控制系统设计中最常用的一种模型。
通过控制系统的状态变量的配置，可以决定其动态性能。
状态空间模型的主要优点是可以更好地对系统动态性能进行描述，因此，它是现代控制系统设计中非常重要的分析工具。
【实践分析】（一）极点配置设计的应用在实际的控制系统设计中，极点配置设计是不可或缺的环节。
针对不同的控制对象，合理地配置其极点可以有效地改善系统的动态性能。
下面列举几种常用的应用场景。
1. 直流电机系统对于直流电机系统而言，合理地配置极点可以显著提高系统的过渡过程与稳定性能。
通过使用极点配置工具，可以将系统的极点分布在希望的位置上，使得电机系统具有更好的响应速度和精度。
2. 液压伺服系统在液压伺服系统中，通过配置极点使得系统具有更好的质量指标和响应性能。
通过使用控制系统设计软件，可以更加精细地进行控制器的设计，从而提高系统的控制性能和稳定性。
现代控制理论 极点配置
− −
= [ − − A − ]
= [ − − + ( − )( )]
ഥ−
ഥ
ഥ )]
= [ − (
ഥ −
其中， = , 即 =
这说明对于任意给定的期望极点 ∗ ，∗ ， ⋯ ，∗ ，都可以找到状态反馈矩阵
,
= 2
1 3
满秩，系统是完全能控的，可由状态反馈任意配置系统的闭环极点。
（2）闭环系统的期望特征多项式为 ：
∗ = ( − 1 )( − 2 ) = 2 + 2 + 5
（3）设状态反馈阵为： =
− −
=
−
−2
4Hale Waihona Puke ，则状态反馈控制系统的特征多项式为：
二. 状态反馈极点可配置的条件
定理：线性定常系统
ሶ =A+B ， 0 = ， ≥0
=
可通过状态反馈 = − + 任意配置全部极点的充要条件是系统完全能控。
5.2
极点配置问题
证明：充分性(只讨论单输入单输出系统)
已知系统为完全能控，证明可任意配置极点。
即通过状态反馈必成立 − −
1. 利用非动态输出反馈 = − + ，不能任意地配置系统的全部极点。
以单输入单输出系统为例，设受控系统的传递函数为 ()，则输出反馈系统的传递函
数为:
()
=
1 + ()
因此，闭环系统的根轨迹方程为: 1 + =
当从0到∞ 变化时，就得到了闭环系统的根轨迹。
5.2
极点配置问题
三.单输入单输出系统状态反馈极点配置的算法
极点配置
希望的特征多项式为：
a (s) (S 1 )(S 2 )(S 3 ) (S 2)(S 1 j )(S 1 4
于是可求得：
* k a0 a0
* * a1 a1 a2 a2 4 66 14
第五步：求P 第六步：计算状态反馈增益向量 k k P
例：已知单输入线性定常系统的状态方程为
0 1 0 0 x 1 6 0 x 0 u 0 1 12 0
求状态反馈向量K，使系统的闭环特征值为
1 2
变换矩阵为：
P Ab
2 1
1 Ab b a2 a1
0 1 a2
0 0 1
0 0 1 1 0 0 72 18 1 6 1 0 18 1 0 12 1 0 1 0 0 72 18 1 1 0 0
* n 1 * * S n an S a S a 1 1 0
第三步：计算 k
* k a0 a0
* * a1 a1 an 1 an1
第四步：计算变换矩阵
1 a 1 n 1 1 n 1 P A b Ab b a1 an 1 1
定理4 利用状态反馈任意配置闭环极点的 充分必要条件是系统可观测（证明见P484）
求状态反馈K的步骤： 第一步：计算A的特征多项式，即
det(SI A) S n an1S n1 a1S a0
第二步：计算由 {1 , 2 ,n }所决定的希 望特征多项式，即 * a ( s) ( S 1 )(S 2 ) ( S n )
极点配置
只要原系统(A，B，C)是能控(见 能控性)的,则这样的反馈增益矩阵K就一定可以找到。反馈 增益矩阵K的 求解，对于单输入单输出情况，已有较为简单的计算公式；对于一般的多输入多输出情况，计算步骤要复杂得多， 往往需要采用计算机来处理。
极点配置
数学术语0103 定Fra bibliotek 05 配置方法
目录
02 意义 04 状态反馈
通过比例环节的反馈把定常线性系统的极点移置到预定位置的一种综合原理。 极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。
pole assignment
极点配置定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵（见传递函数）的极点在复数平面 （表示复数 s=x+jy的直角坐标平面）上的位置。
谢谢观看
首先必须指出，状态空间中，任意极点配置的充分且必要的条件是，系统必须是完全状态可控的。
配置方法
如果已知系统的模型或传递函数，通过引入某种控制器，使得闭环系统的极点可以移动到指定的位置，从而 使系统的动态性能得到改善，这种方法称为极点配置法。
有一控制系统其中a>b>0，要求设计一个控制器，使系统稳定， 解：（1）校正前，闭环系统的极点： s-a+s+b=0 s= > 0 因而控制系统不稳定。 （2）在控制对象前串联一个一阶惯性环节， c>0，则闭环系统极点： 显然，当 c-a+1>0,b-ac>0时，系统可以稳定。但此对参数 c的选择依赖于 a、 b。因而，可 选择控制器， c、 d，则有特征方程： 当b+d+c>a，时，系统稳定。 本例由于原开环系统不稳定，因而不能通过简单的零极点相消方式进行控制器的设计，其原因在于控制器的 参数在具体实现中无法那么准确，从而可能导致校正后的系统仍不稳定。
线性系统的状态反馈及极点配置
线性系统的状态反馈及极点配置1.前言随着现代控制理论的不断发展和成熟，线性系统的状态反馈控制在控制理论中得到了广泛的应用，并成为了控制领域中重要的一种控制方法。
状态反馈控制能够将系统的状态进行反馈，并利用反馈得到的信息对系统进行控制，从而达到使系统达到预期控制目标的目的。
本文将从状态反馈控制的原理和实现方法两方面介绍线性系统的状态反馈及极点配置。
2.状态反馈控制的原理状态反馈控制是建立在现代控制理论的基础上的一种高级控制方法。
状态反馈控制的基本思想是在系统中引入反馈环节，设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
因此，状态反馈控制要实现以下两个步骤：- 系统状态量的测量：首先要在系统中安装测量传感器，实时地测量系统状态量，使得状态量可以被反馈到控制器中。
- 反馈控制器的设计：设计一个反馈控制器，将系统的状态量反馈给控制器，控制器再根据反馈信号输出控制量，实现对系统的精确控制。
因此，状态反馈控制的基本原理就是将系统状态量反馈到控制器中，以期望控制系统按照预期的运动轨迹运行。
2.2 状态空间模型与状态反馈控制状态空间模型是状态反馈控制的基础。
状态空间模型是一种方便描述线性系统动态行为和控制器的模型。
对于线性时不变系统，我们可以用如下的状态变量描述：x(t) = [x1(t),x2(t),...,xn(t)]T其中，x(t) 是系统在时刻 t 的状态量，n 是状态量的数量，x1(t),x2(t),...,xn(t) 分别是系统的每个状态量。
状态空间模型可以用一组线性常微分方程描述：dx/dt = Ax + Bu其中，A 是系统的状态方程矩阵，B 是输入矩阵，C 是输出矩阵，D 是直接耦合矩阵。
系统的状态反馈控制可以表示为：u(t) = -Kx(t)其中，K 是状态反馈矩阵。
将状态反馈控制引入到状态空间模型中，可以得到控制器的状态空间模型为：y = Cx上述控制器的状态空间模型就是一个闭环系统，通过反馈控制器将系统状态返回到系统，形成了一个反馈环。
线性系统状态反馈与极点配置
实验报告课程名称：现代控制理论实验名称：线性系统状态反馈与极点配置一、实验目的1. 学习并掌握利用MATLAB编程平台进行控制系统设计与仿真的方法。
2. 通过仿真实验，研究并总结线性定常系统状态反馈对系统控制性能影响的规律。
3. 通过仿真实验，研究并总结状态反馈对状态不完全能控系统控制性能影响的规律。
二、实验内容（一）实验任务：1. 自行选择一个状态完全能控型SISO系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求计算期望的极点并进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；2. 自行选择一个状态不完全能控型SISO系统模型及参数，并设定系统控制性能指标，根据性能指标要求进行极点配置，设计MatLab实验程序（或SimuLink模拟图）及实验步骤，仿真研究状态反馈矩阵对系统控制性能的影响；根据实验结果，总结各自的规律。
三、实验设计1.实验条件1.利用本学期所学的现代控制理论的知识为基础。
2.笔记本电脑，matlab四、实验过程1.设计状态完全能控型SISO系统模型及参数：X=(0101)X+(01)Xy=(11)Xa)首先判断系统的能控性[X XX] = [0111]，是Rack([B AB]) = 2，因此此系统为可控的系统。
可以进行任意极点配置。
则期望极点配置二重根1。
b)再求状态反馈阵K=(X0 ,X1)：X(x)=det[λI−(A+bK)]=X2−X1X−X0c)根据给定的极点，得到期望特征多项式：X∗(X)=(X−1)(X−1)d)比较X(x)和X∗(X)各对应项系数，可解得：X0=−1X1=2K=(−12)e)即状态反馈控制器：u=-K*x状态反馈闭环系统空间表达式x=A-B*K*xA1 = A – B*K = [0 1；1 -2]2.设计状态不完全能控型SISO系统模型及参数：X=(1001)X+(1)Xy=(11)Xa)首先判断系统的能控性[X XX] = [1100], Rank([B AB]) = 1，因此系统是不完全能控的，不能进行任意极点配置。
现代控制理论-第四章 极点配置问题
现代控制理论-第四章极点配置问题第四章线性定常系统的综合第四章线性定常系统的综合内容：4.1 线性反馈控制系统的基本结构及其对系统特性的影响4.2 SISO系统的极点配置4.3 系统镇定问题4.4 系统解耦问题4.5 状态观测器4.6 利用状态观测器实现状态反馈前面介绍的内容都属于系统的描述与分析。
系统的描述：主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等。
系统的分析：主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。
在本章中，将主要讨论在不同形式的性能指标下线性定常系统的反馈控制规律的综合方法，包括建立可综合的条件及建立控制规律及其算法。
综合与设计问题：在已知系统结构、参数(被控系统数学模型) 及期望的系统运动形式或特征的基础上，确定施加于受控系统的控制规律与参数，称为综合。
当系统以状态空间描述以后，系统的状态含有系统的全部运动信息。
若将控制信号设计为状态与参考信号的函数形成闭环控制，便可得到相当好的控制效果。
无论在抗扰动或抗参数变动方面，反馈系统的性能都远优于非反馈系统。
综合问题中的性能指标可区分为非优化型性能指标和优化型性能指标两种类型，它们都规定着综合所得系统运动过程的期望性能。
两者的差别是：非优化指标是—类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算实现了综合目标；优化型指标则是一类极值型指标，综合目的是要使性能指标在所有可能值中取极值。
本章讨论的综合问题主要涉及的是非优化型指标，它们可能以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，来讨论极点配置问题。
系统运动的状态也即其动态性能，主要是由系统的极点位置所决定。
把闭环极点组配置到所希望的位置上，实际上等价于使综合得到的系统的动态性能达到期望的要求。
以渐近稳定作为性能指标，主要讨论各种反馈结构对系统稳定性的影响。
使“多输入—多输出”系统实现“一个输入只控制相应的某个输出”作为性1第四章线性定常系统的综合能指标，其相应的综合问题即为解耦控制问题。
线性系统状态反馈区域极点配置算法研究
线性系统状态反馈区域极点配置算法研究摘要20世纪50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用内部状态反馈。
状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。
闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。
这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。
在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法，来实现系统的极点配置。
本论文对线性系统的状态反馈区域极点配置的算法进行了研究，分别以具有 稳定裕度和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计为例，利用线性矩阵不等式LMI处理方法，编写系统的MATLAB仿真程序。
最后以同样的方法对不确定系统状态反馈区域极点配置进行了研究，结果证明了设计方法的正确性和有效性。
关键词：线性系统；状态反馈；极点配置；线性矩阵不等式；不确定系统Algorithmic Research for Regional PoleAssignment of Linear System Via StateFeedback ControllersABSTRACTIn the late 1950s, control theory later by classical control theory to modern control theory shift, modern control theory is introducing state and state space concept developed on the basis of. As with classical control theory, modern control system still mainly uses the feedback control structure, but different is, classical control theory mainly uses the output feedback, and modern control system mainly uses the internal state feedback. State feedback control for system provide more information feedback, so as to achieve better control.The distribution of closed-loop system poles depends on system stability and dynamic quality, therefore, can according to the system dynamic quality request, provisions that poles of close-loop system should have the distribution of the pole, configuration of the system dynamic quality indicators. The position of the poles in the process called poles. In space, the general state method in the feedback system state variables or output variable method to achieve system poles. This thesis studied the algorithm of linear system state feedback regional poles, and respectively by the state feedback controller design of stability margin of and has round domain constraints as examples, by using the linear matrix inequality LMI treatment methods, writing MATLAB simulation program of system. Finally in the same way the uncertain system state feedback regional poles are studied, and the result shows the design method is correct and effective.Key words：Linear system；State feedback；Pole placement；LMI；Uncertain system目录摘要............................................................................................................................................ΙABSTRACT...........................................................................................................................П1 绪论 (1)1.1课题背景及意义 (1)1.2 极点配置简介 (1)1.3 本论文研究的主要工作 (2)2理论基础及数学准备 (3)2.1 区域极点配置问题 (3)2.2 状态反馈 (4)2.3 线性矩阵不等式LMI (6)2.3.1 线性矩阵不等式LMI基本变换引理 (7)2.3.2 LMI工具箱介绍 (8)2.4 本章小结 (10)3线性定常系统状态反馈区域极点配置算法研究 (11)3.1 精确极点配置 (11)3.1.1 问题描述 (11)3.1.2 算法步骤 (12)3.1.3 仿真分析 (12)3.2具有稳定裕度的区域极点配置 (15)3.2.1 问题描述 (16)3.2.2具有稳定裕度的状态反馈控制器设计 (16)3.2.3程序清单 (17)3.2.4仿真结果 (18)3.3具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 (21)3.3.1 问题描述 (21)3.3.2具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 (21)3.3.3 程序清单 (22)3.3.4仿真结果 (23)3.4 本章小结 (26)4 线性不确定系统状态反馈区域极点配置算法研究 (27)4.1 不确定性 (27)4.2线性不确定系统区域极点配置 (27)4.2.1 问题描述 (27)4.2.2 不确定系统区域极点约束的状态反馈控制器设计 (28)4.2.3 仿真分析 (30)4.3 本章小结 (32)结论 (33)致谢 (34)参考文献 (35)1 绪 论1.1 课题背景及意义在20世纪50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
极点配置
得出detQ = -1。因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全可控的， 可任意配置极点。 下面用两种方法求解。
方法1：利用刚才介绍的求解步骤，计算系统矩阵A的特征多 项式，求特征值。
s | sI A | 0 1 s 3 6s 2 1 s 5 5s 1 0 1 s 6
a1 1 a1
a2 2 a2
an n an
求解上述方程组，得到 i 的 值，则 K KP 1 [ n n 1 1 ]P 1
1 [ an an a n a a a a a ] P 1 n 1 2 2 1 1
可配置条件_极点配置定理
考虑线性定常系统 Ax Bu x 假设控制输入u的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
u r Kx
式中K为线性状态反馈矩阵。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任 意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全 可控。 该定理对多变量系统也成立。 证明 (对单输入单输出系统) 1、充分性 2、必要性
上式为可控标准形。选取一组期望的特征值
为
u1 , u2 ,, un
，则期望的特征方程为
n * n1 1 * *
( s 1 )(s 2 )( s n ) s a s a n1s a n 0
设
x 由于 u r Kx r KPx r K，此时该系统的状态方程为
式中ai为特征多项式的系数： sI A s n a1s n1 an1s an
x Px 定义一个新的状态向量 如果可控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全可控的）， 则矩阵Q的逆存在，并且可将原线性系统 Ax Bu x Ac x Bcu 改写为 x
线性系统的状态反馈极点配置设计
精品文档本科毕业设计(论文)题目线性系统的状态反馈极点配置设计学院名称电气工程与自动化学院专业班级自动化08-1学生姓名导师姓名李敏年月日精品文档线性系统的状态反馈极点配置设计作者姓名专业自动化指导教师姓名李敏专业技术职务讲师目录摘要 (1)第一章绪论 (4)1.1课题背景及意义 (4)1.2本论文研究的主要工作 (4)第二章准备知识 (5)2.1极点配置简介 (5)2.2线性矩阵不等式LMI (6)2.2.1线性矩阵不等式LMI基本变换引理 (7)2.2.2 LMI工具箱介绍 (8)第三章线性定常系统精确极点配置 (11)3.1单输入精确极点配置问题 (11)3.1.1问题描述 (11)3.1.2解决方案： (11)3.2多输入精确极点配置问题 (13)3.2.1问题描述 (13)3.2.2解决方案 (13)3.3实例仿真 (13)第四章线性定常系统的区域极点配置 (15)4.1问题描述 (16)4.2解决方案 (16)4.3实例仿真 (17)第五章线性定常系统具有圆域约束的区域极点配置 (19)5.1问题描述 (19)5.2解决方案 (19)5.3实例仿真 (20)结论 (24)参考文献 (25)致谢 (26)摘要现代控制理论源于20世纪60年代，以极大值原理、贝尔曼动态规划和卡尔曼滤波技术为形成标志，经典理论中以单一输入变量为研究对象，主要通过频率进行控制，现在控制理论以线性空间理论为基础，在时域中研究系统，能够定量的进行系统的分析和设计，随着计算机运算能力的发展，现代控制也在更多领域得到应用。
控制系统是由受控对象和反馈控制器两部分组成的闭环系统，经典控制理论通常采用输出反馈，而现代控制理论多采用状态反馈。
闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。
这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。
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2、状态反馈
v
u
B
∫
A
x
y
C
状态空间表达式： Ax Bu x : K y Cx
K
( A BK ) x Bv x : y Cx
比较开环系统和闭环系统 （1）两者的状态维数相同； （2）系统矩阵由A变为A-BK。 状态反馈：GK ( s) G ( s)( I K ( sI A BK )1 B)
第六章 控制系统综合校正的 现代方法——状态反馈校正
① 状态反馈与输出反馈；
② SISO线性定常系统的极点配置；
③ 系统的镇定问题；
④ 状态观测器；
⑤ 基于观测器的状态反馈系统。
⑥ 控制系统的解耦方法
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6.1状态反馈与输出反馈
v
u
1、输出反馈
状态空间表达式：
系统期望性能指标 稳定性,动态和静态指标
一组期望极点
λ1 λ2,…, λn
设计反馈控制系统
确定K,H使得A-BK或 A-BHC的特征根为 λ1 λ2,…, λn
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结论3：SISO 连续时间线性定常系统 ( A, b, c)，通过状态反馈可以任 意配置 极点的充要条件是系统 能控。
引入状态反馈增益阵 K k1 k2 kn
则闭环的状态空间表达式为：
( A b k )x b u x
y cx
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其中
A BK
1 0 0 = k1 kn 0 1 a a 1 n 1 0
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例6.2 系统的状态方程为
0 1 0 0 x 1 6 0 x 0 u 0 1 12 0
* * 求状态反馈增益阵k,使闭环极点位于 1 2, * 1 j , 2 3 1 j
（1）K中的参数个数一般多于H，故状态反馈对系统的 修正能力优于输出反馈； （2）从实现角度看，输出反馈优于状态反馈。
状态反馈：GK (s) G(s)(I K (sI A BK )1 B) 输出反馈：GH (s) (I G(s)H )1G(s)
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解 1. 解：
判断系统的能控性
1 0 0 U c 0 1 6 0 0 1
满秩，系统能控，所以极点可以任意配置
2.
求反馈增益阵 step1. 计算开环的特征多项式
0 0 det A det 1 6 0 3 18 2 72 0 1 12
* * * a0 , a1 a1 , a2 a2 ] [4,66,14] step3. 计算 K [a0
step4.
1.. a .. 0 0 n 1 6 1 p [ A n 1b,..... b] .......... ..... 1 0 a .......... . a 1 n 1, 1 1 0 0 p 1 0 1 12 1 18 144 0 0 k k p 1 [ 4,66,14] 0 0 1 18
n
* 0 0 * n1 n1
* n1
* n1 a0
step4. 计算矩阵
1 a n 1 p A n 1b b 1 ，求p-1 a a n 1 1
1 step5. 求反馈增益阵 k k p
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极点配置步骤与方法二 ——直接计算的方法
an1 Step1 计算期望特征多项式，得到 a0 ......
4
4、闭环系统的能控性与能观性
开环系统的能控性矩阵 ：
U c与U cK的秩相同
U c B, AB, A2 B,, An 1 B 状态反馈闭环系统的能 控性矩阵：
U cK B, ( A BK ) B,, ( A BK ) n1 B
结论1：连续时间线性定常系 统， 状态反馈保持系统的能 控性；但
a0 0, a1 72, a2 18
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step2. 计算期望特征多项式. * * ( 1* )( 2 )( 3 ) ( 2)( 1 j )( 1 j ) * * * 3 2 a 4, a 6, a 4 6 4 0 1 2 4
6
解：开环系统： 解 0 2 U c (b, Ab) 1 1 满秩， 系统能控 c 1 2 Uo cA 7 4 满秩， 系统能观
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6.2 SISO线性定常系统的极点配置
一、问题的提法
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引入状态反馈，设增益阵为 kc 表达式为：
Ac x 0
kc
，则闭环的状态空间
A12 bc kc bc x u Ac 0
bc Ac bc kc A12 bc kc kc x u Ac 0 0 0
9
设为期望特征根，则其特征多项式为：
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比较系数有： a0 k1 a0
k1 a0 a0
a1 k2 a1
k 2 a1 a1
an1 kn a
n1
kn an 1 an1
1 1 0 0 72 18 1 18 1 0 12 1 0 0 0 72 18 1 1 0 0
1 12 [ 14,186,112] 144
step5. 验证： det( A bk ) 3 4 2 6 4
证明： (充分性)系统能控 可以任意配置极点
( A, b, c)能控 存在可逆矩阵P使得系统经线性变换化 为能控规范型 0 x A x b u , 其中： A y c x a 0 1 0 a1 0 , b , c 1 2 n 1 0 1 an 1
1 0 0 0 0 0 a k a k 1 2 0 1
1 an 1 kn 0
所以此系统的特征多项式为：
n an1 kn n1 a0 k1 0
1 n n n1 an a 1 0 0
H
C ( sI A)1 ( sI A BHC BHC )( sI A BHC ) 1 B C ( sI A)1 ( B BHC ( sI A BHC ) 1 B) G ( s) G ( s) HGH ( s)
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的状态反馈，试讨论开 环系统与闭环系统的能 控性和能观性。
闭环系统： A BK x Bv x y Cx 1 2 A BK 0 0 0 2 U cK ( B, ( A BK ) B) 1 0 满秩， 系统能控 c 1 2 Uo c( A BK ) 1 2 不满秩， 系统不能观
对 1 n 都可以找到相应的k，须引入状态反馈后使系统 的极点位于1 n
必要性：可以任意配置极点
能控
反证：若系统不能控，则由可控性分解将系统化为：
xc Ac A12 xc bc x u，y Cc Cc x Ac x 0 c c
闭环系统的特征多项式为：
Ac bc kc det 0 A12 bc kc 0 Ac
det Ac bc kc det Ac 0
不能控部分的特征根无法改变
不能任意配置极点，矛盾。
5
B, AB, A B,, A B 经列初等
n 1
变换得到的。
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例6.1
设系统的状态空间表达 式如下，引入反馈增益 矩阵K 3 1 1 2 0 x 3 1 x 1 u y 1 2x
B
∫ Ax Bu ( A BHC) x Bv x x : H : y Cx y Cx 比较开环系统和闭环系统 （1）两者的状态维数相同； （2）系统矩阵由A变为A-BHC。
输出反馈：GH ( s) ( I G ( s ) H ) 1 G ( s ) GH ( s) C ( sI A BHC ) 1 B
GK ( s) C ( sI A BK )1 B C ( sI A)1 ( sI A BK BK )( sI A BK )1 B G ( s)( I K ( sI A BK )1 B)
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3、状态反馈与输出反馈的比较
2 n 1
结论2：连续时间线性定常系 统， 输出反馈不改变系统的 能控性和 能观性。
将HC看成K，能控性得证； C C CA C ( A BHC) Uc , U cH n 1 CA C ( A BHC) n 1