7状态空间设计法极点配置观测器解析

第7章线性定常离散时间状态空间设计法

7.1引言

7.2状态反馈配置极点

7.3状态估值和状态观测器

7.4利用状态估值构成状态反馈以配置极点

7.5扰动调节

7.6无差调节

7.1

引言

一个被控对象：

(1)()()()()

():1,():1,:,:,:x k Fx k Gu k y k Cx k x k n u k m F n n G n m C r n

+=+⎧⎨

=⎩⨯⨯⨯⨯⨯ 7.1

当设计控制器对其控制时，需要考虑如下各因素： ● 扰动，比如负载扰动 ● 测量噪声

● 给定输入的指令信号 ● 输出 如图7.1所示。

给d L (k )扰动

图7.1 控制系统示意图

根据工程背景的不同，控制问题可分为调节问题和跟踪问题，跟踪问题也称为伺服问题。 调节问题的设计目标是使输出迅速而平稳地运行于某一平衡状态。包括指令变化时的动态过程，和负载扰动下的动态过程。但是这二者往往是矛盾的，需要折衷考虑。

伺服问题的设计目标是对指令信号的快速动态跟踪。 本章研究基于离散时间状态空间模型的设计方法。

7.2研究通过状态变量的反馈对闭环系统的全部特征值任意配置——稳定性与快速线。 7.3考虑当被控对象模型的状态无法直接测量时，如何使用状态观测器对状态进行重构。 7.4讨论使用重构状态进行状态反馈时闭环系统的特征值。 7.5简单地讨论扰动调节问题。 7.6状态空间设计时的无差调节问题。

7.2 状态反馈配置极点

工程被控对象如式7.1，考虑状态反馈

()()()u k v k Lx k =+

7.2

如图7.2所示。式7.2带入式7.1，得

(1)()()()()

()()()x k Fx k Gu k y k Cx k u k v k Lx k +=+⎧⎪

=⎨⎪=+⎩

7.3

整理得

()(1)()()

()()x k F GL x k Gv k y k Cx k +=++⎧⎨

=⎩

7.4

(k )

v

(k )

图7.2 状态反馈任意配置闭环系统的极点

闭环系统的特征方程为

[]det ()0zI F GL -+=

7.5

问题是在什么情况下式7.5的特征根是可以任意配置的？即任给工程上期望的n 个特征根λ1, λ2, ..., λn ，有

[]1det ()()0n

i i zI F GL z λ=-+=-=∏

7.6

定理：状态反馈配置极点

若被控对象式7.1是状态完全能达的，即（F , G ）是一个能达对（能达性矩阵

-1[...]N c W F G FG G =满秩）

，则一定存在一个r 行n 列的状态反馈矩阵L ，使得在状态反馈()()()u k v k Kx k =+下，闭环系统式7.4具有任意给定的n 个期望的特征根λ1, λ2, ..., λn 。

证明：略

在实际工程应用中，动态系统式7.1的阶数n 不会太高。在式7.6中L 是一个r 行n 列的矩阵，有nr 个待定参数，分别令式中等号左右的n 阶首一多项式的n 个系数对应相等，可得n 个线性方程。

当单输入单输出情况时，l 是一个n 元行向量，此时l 是唯一确定的。 当多输入多输出情况时，L 是一个r 行n 列的矩阵，此时L 不是唯一的。

有限拍闭环控制器

当选择闭环系统的n 个特征根均为零，即λi =0，i =1，2，…，n ，则式7.6成为

[]det ()0n zI F GL z -+==

7.7

根据矩阵代数中的Cayley-Hamilton 定理，此时有

0n F =

7.8

上式表明，由任何扰动引起的状态偏差，系统都会在最多n 拍以内使之衰减为零。 关于有限拍控制器，有两点需要注意： ①

n 拍意味着过度过程不大于nT ，T 为采样周期。这一点似乎意味减小采样周期就可

以提高系统的动态速度。但是，减小采样周期同时意味着控制信号的幅值急剧增大。如果控制信号的幅值超出了系统允许的范围，实际上达不到预期的控制效果。因此，谨慎地选取采样周期非常重要。

②

就动态性能而言，离散时间系统中的零特征值（同时采样T 周期趋于零）等价于连

续时间系统中的特征值为 “-∞”，二者都是无法实现的。

7.3 状态估值和状态观测器

用一组代数运算器（无动态运算）通过状态反馈实现被控对象的动态特性任意配置，似

乎是一种很完美的控制方法。但是尚有几个非理想的因素需要解决。比如，

● 状态是否可以直接测得？ ● 是否可以实现无差调节？ ● 对扰动的调节能力如何？

工程控制中，状态反馈的实现需要被控对象的n 个状态可以实时测得。这一点对于一般的系统大多是不现实的。而在经典控制理论的输出反馈中，系统的输出总是可以检测的。

因此，能否实现通过状态反馈实现任意配置极点，首先需要设法实时获得n 个状态的值 7.3.1

全维观测器

假设被控对象式7.1的状态x 无法直接测得，一个合理的办法是人为地对x 进行重构，如

图7.3所示。重构系统具有和式7.1完全相同的结构、参数、和输入量，其状态记为ˆx

，输出记为ˆy

。 理论上讲，由于重构的系统和原系统结构和参数均完全相同，如果x 和ˆx 的初始状态也相同，则有ˆ()()x

k x k =；由ˆx 取代x 进行状态反馈即可。实际上却存在三个问题： ● 一是对象中的扰动会改变其状态；

● 二是原系统可能存在稳定性问题，因而重构系统也会不稳定； ● 三是原系统参数可能并不太准确。

为了保证ˆ()x

k 动态跟踪()x k ，引入输出误差ˆ()()y k y k -的反馈 ()ˆˆˆ(1)()()()()ˆˆ()()x

k Fx k Gu k K y k y k y k Cx k +=++-⎧⎪⎨

=⎪⎩

7.9

图7.3 全维观测器结构

化简后后得到

()ˆˆ(1)()()()ˆˆ()()x

k F KC x k Gu k Ky k y k Cx k +=-++⎧⎪⎨

=⎪⎩

7.10

现在考虑（定义）估值误差