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菱形的判定证明题练习 (1)

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北师大版初三上册数学菱形的性质与判定同步练习(附解析)

北师大版初三上册数学菱形的性质与判定同步练习(附解析)

北师大版初三上册数学11．1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质1．有一组__邻边__相等的平行四边形是菱形．2．菱形是__轴__对称图形，菱形的四边__相等__，菱形的对角线__互相垂直__．知识点一：菱形的定义1．已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，那个条件是(B)A．AB＝CD B．AB＝BCC．AD＝BC D．AC＝BD2．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形__有一组邻边相等的平行四边形是菱形__．(请在横线上填上理由)知识点二：菱形的性质3．若菱形两条对角线的长分别为6和8，则那个菱形的周长为(A) A．20B．16C．12D．104．(易错题)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是(B)A．AB∥DC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．OA＝OC,第4题图),第5题图)5．如图，在菱形ABCD中，不一定成立的是(C)A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABC是等边三角形D．∠CAB＝∠CAD6．在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，AB＝5，则△ABD的周长是( C)A．10 B．12 C．15 D．207．菱形的一个内角为120°，边长为8，那么它较短的对角线长是(C )A．3 B．4 C．8 D．838．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点H为AD 边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于(A)A．3.5 B．4C．7 D．149．(2021·烟台)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接OB.若∠DAC＝28°，则∠OBC 的度数为(C)A．28°B．52°C．62°D．72°10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB ＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD且BO＝DO.在Rt△AOB 中，∵AB＝5，AO＝4，由勾股定理，得BO＝3，∴BD＝611．(2021·上海)如图，已知AC，BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是(B)A．△ABD与△ABC的周长相等B．△ABD与△ABC的面积相等C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍,第11题图),第12题图) 12．如图，已知菱形ABCD，其顶点A，B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝__5__．13．如图是依照四边形的不稳固性制作的边长均为15 cm的可活动菱形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15 cm，则∠1＝__120__°.,第13题图),第14题图)14．(2021·白银)如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为__12__．15．(2021·宜宾)菱形的周长为20 cm，两个相邻的内角的度数之比为1∶2，则较长的对角线长度是__53__cm.16．如图，已知四边形ABCD是菱形，点E，F分别是边CD，AD的中点．求证：AE＝CF.解：证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD.∵点E，F分别是CD，AD的中点，∴DE＝12CD，DF＝12AD，∴DE＝DF.又∵∠ADE＝∠CDF，∴△AED≌△CFD(SAS)，∴AE＝CF17．如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别是边BC，A D的中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B ＝∠D，∵点E，F分别是边BC，AD的中点，∴BE＝DF，∴△ABE≌△C DF(SAS)(2)易得△ABC是等边三角形，点E为BC的中点，从而AE⊥BC，AE ＝2318．如图，在菱形ABCD中，点F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．解：(1)证明：连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴BD垂直平分AC.∴AE＝EC(2)点F是线段BC的中点．理由：∵ABCD是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝60°.∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线．又∵△ABC是等边三角形，∴BF＝CF.∴点F是线段BC的中点第2课时菱形的判定对角线__互相垂直__的平行四边形是菱形；__四边相等__的四边形是菱形．知识点：菱形的判定1．小明和小亮在做一道习题，若四边形ABCD是平行四边形，请补充条件，使得四边形ABCD是菱形．小明补充的条件是AB＝BC；小亮补充的条件是AC＝BD，你认为下列说法正确的是(B)A．小明、小亮都正确B．小明正确，小亮错误C．小明错误，小亮正确D．小明、小亮都错误2．下列命题中正确的是(D)A．对角线相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等的平行四边形是菱形D．对角线互相垂直的平行四边形是菱形3．如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的是(D)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④BD平分∠ABC.A．①③B．②③C．③④D．①③④,第3题图),第4题图)4．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A<90°，BC，CA，AB的中点分别为点D，F，E，则四边形AFDE是(A)A．菱形B．长方形C．正方形D．以上都不对5．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(B)A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形,第5题图),第6题图)6．(易错题)如图，下列条件能判定四边形ABCD为菱形的有(C)①AB ＝BC ＝CD ＝DA ；②AC ，BD 互相垂直平分；③平行四边形AB CD ，且AC ⊥BD ；④平行四边形ABCD ，且AC ＝BD.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．(2021·淄博)已知▱ABCD ，对角线AC ，BD 相交于点O ，请你添加一个适当的条件，使▱ABCD 成为一个菱形，你添加的条件是__AD ＝D C(答案不唯独)__．8．如图，ABCD 是对角线互相垂直的四边形，且OB ＝OD ，请你添加一个适当的条件__OA ＝OC 或AD ＝BC 或AD ∥BC 或AB ＝BC__，使四边形ABCD 成为菱形．(只需添加一个即可)9．(2021·舟山)已知：如图，在▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，过点O 的直线EF 分别交AD ，BC 于E ，F 两点，连接BE ，DF.(1)求证：△DOE ≌△BOF ；(2)当∠DOE 等于多少度时，四边形BFDE 为菱形？请说明理由． 解：(1)证明：∵▱ABCD 中，点O 为对角线BD 的中点，∴BO ＝D O ，∠EDB ＝∠FBO ，在△EOD 和△FOB 中⎩⎪⎨⎪⎧∠EDO ＝∠OBF ，DO ＝BO ，∠EOD ＝∠FOB ，∴△DOE ≌△BOF(ASA) (2)当∠DOE ＝90°时，四边形BFDE 为菱形，理由：∵△DOE ≌△BOF ，∴BF ＝DE ，又∵BF ∥DE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵BO ＝DO ，∠EOD ＝90°，∴EB ＝DE ，∴四边形BFDE 为菱形 10．(2021·徐州)若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形，则该四边形一定是( C )A ．长方形B ．对角线相等的梯形C ．对角线相等的四边形D ．对角线互相垂直的四边形11．如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下：甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于点M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于点E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．依照两人的作法可判定( C )A ．甲正确，乙错误B ．乙正确，甲错误C ．甲、乙均正确D ．甲、乙均错误12．(2021·十堰)如图，在△ABC 中，点D 是BC 的中点，点E ，F 分别在线段AD 及其延长线上，且DE ＝DF.给出下列条件：①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB ＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形，你认为那个条件是__③__．(只填写序号)13．(2021·新疆)如图，已知△ABC ，按如下步骤作图：①分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧交点P ，Q两点；②作直线PQ ，分别交AB ，AC 于点E ，D ，连接CE ；③过点C 作CF ∥AB 交PQ 于点F ，连接AF.(1)求证：△AED ≌△CFD ；(2)求证：四边形AECF 是菱形．解：(1)由作图知：PQ 为线段AC 的垂直平分线，∴AE ＝CE ，AD ＝CD ，∵CF ∥AB ，∴∠EAC ＝∠FCA ，∠CFD ＝∠AED ，在△AED 与△CF D 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EAC ＝∠FCA ，AD ＝CD ，∠CFD ＝∠AED ，∴△AED ≌△CFD(2)∵△AED ≌△CFD ，∴AE ＝CF ，∵EF 为线段AC 的垂直平分线，∴EC ＝EA ，FC ＝FA ，∴EC ＝EA ＝FC ＝FA ，∴四边形AECF 为菱形 14．(2021·南京)如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F.(1)求证：四边形DBFE 是平行四边形；(2)当△ABC 满足什么条件时，四边形DBFE 是菱形？什么缘故？ 解：(1)证明：∵点D ，E 分别是AB ，AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ∥BC ，又∵EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形 (2)当AB ＝BC 时，四边形是菱形．理由如下：∵点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ，∵DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12BC ，∵AB ＝BC ，∴BD ＝DE ，又∵四边形DBFE 是平行四边形，∴四边形DBFE 是菱形15．某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含6 0°角的直角三角形ABC与AFE按如图①所示位置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°)，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P.(1)求证：AM＝AN；(2)当旋转角α＝30°，四边形ABPF是什么样的专门四边形？并说明理由．解：(1)证明：∵α＋∠EAC＝90°，∠NAF＋∠EAC＝90°，∴α＝∠NAF.又∵∠B＝∠F，AB＝AF，∴△ABM≌△AFN，∴AM＝AN(2)四边形ABPF是菱形．理由：∵α＝30°，∠EAF＝90°，∴∠BAF＝120°.又∵∠B＝∠F＝60°，∴∠B＋∠BAF＝60°＋120°＝180°，∠F＋∠B AF＝60°＋120°＝180°.∴AF∥BC，AB∥EF.∴四边形ABPF是平行四边形．又∵AB＝AF，∴四边形ABPF是菱形。

菱形的判定

菱形的判定

(有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形)
画一画
先画两条等长的线段AB、AD，然后分别以B、 D为圆心，AB为半径画弧，得到两弧的交点C， 连接BC、CD，就得到了一个四边形，猜一猜， 这是什么四边形？ 你根据什么方法能判定是菱形吗？
有四条边相等的四边形是菱形。 ∵在四边形ABCD中, AB=BC=CD=DA
（2）若AC=BD，则□ABCD是 矩 （3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形； 矩 形；
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（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 菱 形。
D C
O
A B
学习目标
• 掌握菱形的判定定理 • 通过菱形的性质的逆命题得到菱形的 判定 • 培养类比联想、逆向思维和运动的思 维方法 • 重点：菱形的判定定理 • 难点：菱形的性质和判定的灵活应用
B C A O D
∴四边形ABCD是菱形.
思考
用一长一短两根细木条,在它们的中点处 固定一个小钉,做成一个可以转动的十字,四周 围上一根橡皮筋,做成一个四边形.转动木条,这 个四边形什么时候变成菱形?
猜想
对角线互相垂直的 平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
已知：在 求证： ABCD 中，AC ⊥ BD ABCD是菱形 B A O C D
AD=BC
已知，如图， ∠ ABC中， ∠ ACB= 900,BF 平分∠ ABC，CD垂直于AB于D，和BF交于 点G ， GE ∥ CA. 求证：CE和FG互相垂直平分。
C F G B A D E
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC 又∵ AC ⊥ BD; ∴BA=BC
数学语言
∵四边形ABCD是平行四边形; AC ⊥ BD;

专题01 菱形(解析版)

专题01 菱形(解析版)

九年级数学全册北师大版版链接教材精准变式练专题01 菱形【典例1】如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，CF ⊥AD 交AD 的延长线于点F ，求证：DF=BE ．【点拨】连接AC ，根据菱形的性质可得AC 平分∠DAE ，CD=BC ，再根据角平分线的性质可得CE=FC ，然后利用HL 证明Rt △CDF ≌Rt △CBE ，即可得出DF=BE ．【解析】证明：连接AC ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD=BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，⎩⎨⎧==CECF CB CD ， ∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF=BE ．典例解读【总结】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．【典例2】如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．【点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．【典例3】如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP 有最小值是解题的关键．【典例4】如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．【典例5】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【点拨】（1）由题意得到AD=CD ，再由AG 与BC 平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS 即可得证；（2）若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E 的速度求出E 运动的时间即可．【解析】（1）证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠CD AD DFC AED DCF EAD ，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s ）．故答案为：6s ．【总结】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.【典例6】如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．【点拨】由角平分线性质易知AE ＝EF ，欲证四边形AEFG 是菱形，只要再证四边形AEFG 是平行四边形或AG ＝GF ＝AE 即可．【解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．【典例7】如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．教材知识链接【教材知识必背】一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分. （2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.精准变式题【变式1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB的中点，如果EO=2，求四边形ABCD 的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．【变式2】如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【变式3】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC 于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形【变式4】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．【变式5】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB 的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形【变式6】如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．综合提升变式练1．下列说法中，错误的是（）A. 平行四边形的对角线互相平分B. 对角线互相平分的四边形是平行四边C．菱形的对角线互相垂直 D. 对角线互相垂直的四边形是菱形【答案】D；2．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）A．对边相等 B．对角相等C．对角线互相平分D．对角线互相垂直【答案】D【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．故选D ．3.下列命题中，正确的是( )A.两邻边相等的四边形是菱形B.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C.对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D.对角线垂直的四边形是菱形【答案】B ；4. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（ ）A.30°和150°B.45°和135°C.60°和120°D.80°和100°【答案】A ；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.5．已知菱形的周长为40cm ，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（ ）A ．6cm ，8cm B. 3cm ，4cm C. 12cm ，16cm D. 24cm ，32cm【答案】C ；【解析】设两条对角线的长为6,8k k .所以有()()2223410k k +=，∴2k =，所以两条对角线的长为12 ，16.6. 如图，在菱形ABCD 中，∠ADC=72°，AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，垂足为E ，连接CP ，则∠CPB 的度数是（ ）A.108°B.72°C.90°D.100°【答案】B ；【解析】连接PA ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠ADP=∠CDP=21∠ADC=36°，BD 所在直线是菱形的对称轴， ∴PA=PC ， ∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴PA=PD ，∴PD=PC ，∴∠PCD=∠CDP=36°，∴∠CPB=∠PCD+∠CDP=72°；故选：B ．7．如图，在菱形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AC 的中点，如果EF ＝2，那么菱形ABCD 的周长是( )A.4B.8C.12D.16【答案】D ；【解析】BC ＝2EF ＝4，周长等于4BC ＝16.8．已知菱形的周长为40cm ，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______cm ．【答案】103；【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103-=.9．如图，菱形ABCD 的周长为8cm ，高AE 长为3cm ，则对角线AC 长和BD 长之比为 .【答案】1：3；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为3cm ， ∴BE=22AE AB -=1（cm ）， ∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB=22OA AB -=3（cm ）， ∴BD=2OB=23cm ，∴AC ：BD=1：3．10. 已知菱形ABCD 两对角线AC ＝ 8cm , BD ＝ 6cm , 则菱形的高为________.【答案】245cm ； 【解析】菱形的边长为5，面积为168242⨯⨯= ，则高为245cm . 11. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE= ．【答案】512.【解析】∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，OB=OD=21BD=3，OA=OC=21AC=4， 在Rt △OBC 中，∵OB=3，OC=4，∴BC=2243+=5，∵OE ⊥BC ，∴21OE •BC=21OB •OC ，∴OE=543⨯=512． 故答案为512． 12．如图，在菱形ABCD 中，∠ABC ＝120°，E 是AB 边的中点，P 是AC 边上一动点，PB ＋PE 的最小值是3，求AB 的值．【解析】解：∵∠ABC ＝120°∴∠BCD ＝∠BAD ＝60°；∵菱形ABCD 中， AB ＝AD∴△ABD 是等边三角形；又∵E 是AB 边的中点， B 关于AC 的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE 与AC 交于P ，PB ＝PD ；DE 的长就是PB ＋PE 的最小值3；设AE ＝x ，AD ＝2x ，DE ＝()22233x x x -==，所以1x =，AB ＝22x =.13. 如图，在▱ABCD 中，BC=2AB=4，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）当四边形AECF 为菱形时，求出该菱形的面积．【解析】（1）证明：∵在▱ABCD 中，AB=CD ，∴BC=AD ，∠ABC=∠CDA ．又∵BE=EC=21BC ，AF=DF=21AD ， ∴BE=DF ． ∴△ABE ≌△CDF ．（2）解：∵四边形AECF 为菱形时，∴AE=EC ．又∵点E 是边BC 的中点，∴BE=EC ，即BE=AE ．又BC=2AB=4，∴AB=21BC=BE ， ∴AB=BE=AE ，即△ABE 为等边三角形，▱ABCD 的BC 边上的高可由勾股定理算得为3，∴菱形AECF 的面积为23．14．如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与端点重合），且满足AE ＋CF ＝2．(1)求证：△BDE ≌△BCF ；(2)判断△BEF 的形状，并说明理由；(3)设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围．【解析】解：（1）∵AE ＋CF ＝2＝CD ＝DF ＋CF∴AE ＝DF ，DE ＝CF ，∵AB ＝BD∴∠A ＝∠ADB ＝60°在△BDE 与△BCF 中BD BC ADB C DE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE ≌△BCF（2）由（1）得BE ＝BF ，∠EBD ＝∠CBF∴∠EBF ＝∠EBD ＋∠DBF ＝∠DBF ＋∠CBF ＝∠CBD ＝60°∴△BEF 是等边三角形(3)∵3≤△BEF 的边长＜2 ∴2233(3)(2)44S ≤< ∴33 3.4S ≤< 15．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB ，CD 的中点，连接DE 、BF 、BD ．若AD ⊥BD ，则四边形BFDE 是什么特殊四边形？请证明你的结论．【解析】四边形BFDE 是菱形，证明：∵AD ⊥BD ，∴△ABD 是直角三角形，且AB 是斜边，∵E 为AB 的中点，∴DE ＝12AB ＝BE ， ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ∥AB ，DC ＝AB ，∵F 为DC 中点，E 为AB 中点，∴DF ＝12DC ，BE ＝12AB ， ∴DF ＝BE ，DF ∥BE ，∴四边形DFBE 是平行四边形，∵DE ＝EB ，∴四边形BFDE 是菱形．16.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．【解析】证明：∵∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，∴BD=21AC ， ∵AG ∥BD ，BD=FG ，∴四边形BGFD 是平行四边形，∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG ，又∵点D 是AC 中点，∴DF=21AC ， ∴BD=DF ；（2）证明：∵BD=DF ，∴四边形BGFD 是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．。

【精编版】中考数学专题训练——菱形的判定和性质

【精编版】中考数学专题训练——菱形的判定和性质

中考专题训练——菱形的判定和性质1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．参考答案：1．如图，在△ABC中，BA＝BC，BD平分∠ABC交AC于点D，点E在线段BD上，点F 在BD的延长线上，且DE＝DF，连接AE，CE，AF，CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若BA⊥AF，AD＝4，BC＝4，求BD和AE的长．【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形AECF是菱形；（2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得BD＝8，设DE＝x，则DF＝x，所以AF2＝AD2+DF2＝16+x2，BF＝BD+DF＝8+x，然后利用勾股定理即可解决问题．【解答】（1）证明：∵BA＝BC，BD平分∠ABC，∴BD⊥AC，AD＝CD，∵DE＝DF，∴四边形AECF是菱形；（2）解：AD⊥BD，AD＝4，BA＝BC＝4，∴BD＝＝＝8，设DE＝x，则DF＝x，∴AF2＝AD2+DF2＝16+x2，∵BF＝BD+DF＝8+x，∴AB2+AF2＝BF2，∴（4）2+16+x2＝（8+x）2，∴x＝2，∴DE＝DF＝2，∴AE＝＝＝2．∴BD和AE的长分别为8和2．2．如图，△ABC中，∠ACB的平分线交AB于点D，作CD的垂直平分线，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形；（2）若∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，BD＝2，试求BF的长．【分析】（1）先根据垂直平分线的性质得：DE＝CE，DF＝FC，证明△CGE≌△CGF （ASA），根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得：四边形DFCE是平行四边形，再由一组邻边相等的平行四边是菱形可得结论；（2）作辅助线，构建直角三角形，根据直角三角形30°的性质可得BH＝1，由勾股定理得：DH＝，根据△DHF是等腰直角三角形，可得DH＝FH＝，从而得结论．【解答】（1）证明：∵EF是DC的垂直平分线，∴DE＝EC，DF＝CF，∠EGC＝∠FGC＝90°，DG＝CG∵CD平分∠ACB，∴∠ECG＝∠FCG，∵CG＝CG，∴△CGE≌△CGF（ASA），∴GE＝GF，∴四边形DFCE是平行四边形，∵DE＝CE，∴四边形DFCE是菱形；（2）解：过D作DH⊥BC于H，则∠DHF＝∠DHB＝90°，∵∠ABC＝60°，∴∠BDH＝30°，∴BH＝BD＝1，在Rt△DHB中，DH＝＝，∵四边形DFCE是菱形，∴DF∥AC，∴∠DFB＝∠ACB＝45°，∴△DHF是等腰直角三角形，∴DH＝FH＝，∴BF＝BH+FH＝1+．3．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC 交BE的延长线于点F．（1）证明四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【分析】（1）首先根据题意画出图形，由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD ＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．【解答】（1）证明：如图，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，∴AE＝DE，BD＝CD，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB．∵DB＝DC，∴AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝DC＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：连接DF，∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB＝5，∵四边形ADCF是菱形，∴S＝AC•DF＝10．5．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴．6．在四边形ABCD中，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC．（1）如图1，求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图2，过点D作DE⊥BD交BC延长线于点E，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与△CDE面积相等的三角形（△CDE除外）【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，∴AB＝AD，设AC、BD相交于点O，又∵AC平分∠BAD，∴BO＝DO，AC⊥BD，在△AOD和△COB中，，∴△AOD≌△COB（ASA），∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∴BC＝AD＝CE，∴图中所有与△CDE面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．7．已知：如图，在△ABC中，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于点E，连接CE，过点C 作CF∥BA交PQ于点F，连接AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AD＝3，AE＝5，则求菱形AECF的面积．【分析】（1）首先利用AAS证明△CDF≌△AED，进而得到AE＝CF，于是得到四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；（2）首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积．【解答】证明：（1）∵CF∥AB，∴∠DCF＝∠DAE，∵PQ垂直平分AC，∴CD＝AD，在△CDF和△AED中∵，∴△CDF≌△AED，∴AE＝CF，∴四边形AECF是平行四边形，∵PQ垂平分AC，∴AE＝CE，∴四边形AECF是菱形；（2）∵四边形AECF是菱形，∴△ADE是直角三角形，∵AD＝3，AE＝5，∴DE＝4，∴AC＝2AD＝6，EF＝2DE＝8，∴菱形AECF的面积为AC•EF＝24．8．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE＝2，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积．【分析】（1）根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）只要证明△ECF，△ECB都是等边三角形，可得S菱形BCFE＝2•S△ECF；【解答】解：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝BEBE＝2DE，∴EF＝BC＝BE，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，∵BE＝BC，∴四边形BCFE是菱形．（2）∵EF∥BC，∴∠F+∠BCF＝180°，∵∠BCF＝120°，∴∠F＝60°，∵FE＝FC＝CB＝EF，∴△ECF，△ECB都是等边三角形，∴S菱形BCFE＝2•S△ECF＝2××22＝2．9．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD＝90°，∵BE＝DF，∴△AEB≌△AFD∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．（2）连接BD交AC于O．∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC＝×6＝3，∵AB＝5，AO＝3，∴BO＝＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．10．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，D，F分别是边AB，BC，CA的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B＝30°，AB＝12，求四边形AEDF的面积．【分析】（1）首先根据三角形中位线定理可得DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，进而可判定四边形AEDF是平行四边形，然后证明ED＝DF即可；（2）连接AD、EF，利用直角三角形的性质和菱形面积公式解答即可．【解答】（1）证明：∵E，D，F分别是边AB，BC，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，ED＝AC，DF＝AB，∴四边形AEDF是平行四边形，∵AB＝AC，∴ED＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）连接AD、EF，在△ABC中，AB＝AC，∴BD＝CD，AD⊥BC，在Rt△ABD中，∠B＝30°，AB＝12，∴AD＝6，EF＝BC＝BD＝，菱形AEDF的面积＝．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交边AB，CD于点E，F，连接CE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若EF＝6，AE＝5，求四边形AECF的面积．【分析】（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO＝OC，只需要证明OE＝OF即可，用全等三角形得出；（2）菱形的面积可以用对角线积的一半来表示，由已知条件，解直角三角形AOE可求AC、EF的长度．【解答】解：（1）证明：∵AB∥DC，∴∠1＝∠2．在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（ASA）．∴OF＝OE，又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，EF＝6，∴OE＝EF＝4．在Rt△AEO中，∵tan∠OAE＝＝，∴OA＝5，∴AC＝2AO＝8，∴S菱形AECF＝EF•AC＝×6×8＝24．12．如图，△ABC中，∠BCA＝90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC 的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B＝60°，BC＝6，求四边形ADCE的面积．【分析】（1）欲证明四边形ADCE是菱形，需先证明四边形ADCE为平行四边形，然后再证明其对角线相互垂直；（2）根据勾股定理得到AC的长度，由含30度角的直角三角形的性质求得DE的长度，然后由菱形的面积公式：S＝AC•DE进行解答．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，EC∥AB，∴四边形DBCE是平行四边形．∴EC∥DB，且EC＝DB．在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∴AD＝DB＝CD．∴EC＝AD．∴四边形ADCE是平行四边形．∴ED∥BC．∴∠AOD＝∠ACB．∵∠ACB＝90°，∴∠AOD＝∠ACB＝90°．∴平行四边形ADCE是菱形；（2）解：Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B＝60°，BC＝6，∴AD＝DB＝CD＝6．∴AB＝12，由勾股定理得AC＝6．∵四边形DBCE是平行四边形，∴DE＝BC＝6．∴S菱形ADCE＝＝＝18．13．如图，在▱ABCD中，CE平分∠BCD，交AD于点E，DF平分∠ADC，交BC于点F，CE与DF交于点P，连接EF，BP．（1）求证：四边形CDEF是菱形；（2）若AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，求BP的值．【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义可求得CF＝CD＝DE，可证得结论；（2）过P作PG⊥BC于G，在Rt△PGC中可求得PG和CG的长，则可求得BG的长，在Rt△BPG中，由勾股定理可求得BP的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EDF＝∠DFC，∵DF平分∠ADC，∴∠EDF＝∠CDF，∴∠DFC＝∠CDF，∴CD＝CF，同理可得CD＝DE，∴CF＝DE，且CF∥DE，∴四边形CDEF为菱形；（2）解：如图，过P作PG⊥BC于G，∵AB＝2，BC＝3，∠A＝120°，且四边形CDEF为菱形，∴CF＝EF＝CD＝AB＝2，∠ECF＝∠BCD＝∠A＝60°，∴△CEF为等边三角形，∴CE＝CF＝2，∴PC＝CE＝1，∴CG＝PC＝，PG＝PC＝，∴BG＝BC﹣CG＝3﹣＝，在Rt△BPG中，由勾股定理可得BP＝＝＝，即BP的值为．14．如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S．【分析】（1）先根据直角三角形斜边上中线的性质，得出DE＝AB＝AE，DF＝AC ＝AF，再根据AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，即可得到AE＝AF＝DE＝DF，进而判定四边形AEDF是菱形；（2）设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，进而得到x2+2xy+y2＝49，再根据Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，得到x2+y2＝36，据此可得xy＝，进而得到菱形AEDF的面积S．【解答】解：（1）∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形；（2）如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x+y＝7，∴x2+2xy+y2＝49，①∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2+EO2＝AE2，∴（y）2+（x）2＝32，即x2+y2＝36，②把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝，∴菱形AEDF的面积S＝xy＝．15．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，作CO⊥AB于O，点E在CO延长线上，DE＝AD，连接BE、DE．（1）求证：四边形BCDE为菱形；（2）把△ABC分割成三个全等的三角形，需要两条分割线段，若AC＝6，求两条分割线段长度的和．【分析】（1）容易证三角形BCD为等边三角形，又DE＝AD＝BD，再证三角形DBE为等边三角形四边相等的四边形BCDE为菱形．（2）画出图形，证出BM+MN＝AM+MC＝AC＝6即可．【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD为△ABC的中线，∴BC＝AB，CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠BDC＝30°+30°＝60°，∴△BCD是等边三角形，∵CO⊥AB，∴OD＝OB，∴DE＝BE，∵DE＝AD，∴CD＝BC＝DE＝BE，∴四边形BCDE为菱形；（2）解：作∠ABC的平分线交AC于N，再作MN⊥AB于N，如图所示：则MN＝MC＝BM，∠ABM＝∠A＝30°，∴AM＝BM，∵AC＝6，∴BM+MN＝AM+MC＝AC＝6；即两条分割线段长度的和为6．16．如图，△ABC中，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE 与AC、AE分别交于点O、点E，联结EC．（1）求证：AD＝EC；（2）若BC＝2AD，AB＝AO＝m，求证：S四边形ADCE＝m2．（其中S表示四边形ADCE 的面积）【分析】（1）由AE∥BC，DE∥AB，可证得四边形ABDE为平行四边形，又由AD是边BC上的中线，可得AE＝CD，即可证得四边形ADCE是平行四边形，继而证得结论；（2）由BC＝2AD，易得四边形ADCE是菱形，继而求得S四边形ADCE＝m2．【解答】证明：（1）∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AD＝CE；（2）∵BC＝2AD，BC＝2CD，∴AD＝CD，∵四边形ADCE是平行四边形，∴四边形ADCE是菱形，∵DE＝AB＝m，AC＝2AO＝2m，∴S四边形ADCE＝AC•DE＝m2．17．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过D作DE∥BC交AB 于点E，DF∥AB交BC于点F，连接EF．（1）求证：四边形BFDE是菱形；（2）若AB＝8，AD＝4，求BF的长．【分析】（1）易证四边形BFDE是平行四边形，再结合已知条件证明邻边EB＝ED即可得到平行四边形BFDE是菱形；（2）设BF＝x，所以可得DE＝BE＝x，AE＝8﹣x，在Rt△ADE中，由勾股定理可得AE2＝DE2+AD2，求出x的值即可．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BFDE是平行四边形．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB．∴∠ABD＝∠EDB．∴EB＝ED．∴平行四边形BFDE是菱形；（2）解：∵ED∥BF，∠C＝90°，∴∠ADE＝90°．设BF＝x，∴DE＝BE＝x．∴AE＝8﹣x．在Rt△ADE中，AE2＝DE2+AD2∴（8﹣x）2＝x2+42解得x＝3，∴BF＝3．18．如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任取一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E和点F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE．（1）求证：四边形AEPQ为菱形；（2）当点P在何处时，菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半？【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EP A，得出AE＝EP，即可得出结论；（2）S菱形AEPQ＝EP•h，S平行四边形EFBQ＝EF•h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，∴四边形AEPQ为平行四边形，∴∠BAD＝∠EP A，∵AB＝AC，AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠BAD，∴∠CAD＝∠EP A，∴EA＝EP，∴四边形AEPQ为菱形．（2）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ∵四边形AEPQ为菱形，∴AD⊥EQ，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴EQ∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形EFBQ为平行四边形．作EN⊥AB于N，如图所示：则S菱形AEPQ＝EP•EN＝EF•EN＝S四边形EFBQ．19．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，分别以AB、AD为腰作等腰三角形△ABF 和等腰三角形△ADE，且顶角∠BAF＝∠DAE，连结BD、EF相交于点G，BD与AF相交于点H．（1）求证：BD＝EF；（2）若∠GHF＝∠BFG，求证：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，当∠BAF＝∠DAE＝90°时，连结BE，若BF＝4，求△BEF的面积．【分析】（1）证明∠BAD＝∠F AE，根据全等三角形的判定推出△BAD≌△F AE，即可得出答案；（2）求出∠ABD＝∠GBF，证明AB＝AD，即可证出四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，得EM⊥AD，求出EM＝AE+AM＝2+2，再根据面积公式即可求出．【解答】（1）证明：∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF+∠F AD＝∠DAE+∠F AD，即∠BAD＝∠F AE，∵AB＝AF，AD＝AE，∴△BAD≌△F AE（SAS），∴BD＝EF．（2）∵∠GHF＝∠BFG，∴∠GFH＝∠GBF，由（1）可知∠GFH＝∠ABD，∴∠ABD＝∠GBF，∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠GBF，∴∠ABD＝∠ADB，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）延长EA交BC于M，∵∠DAE＝90°．∴EM⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴EM⊥BF，∵AB＝AF，BF＝4，∴BM＝FM＝2，∵∠BAF＝90°，∴，∴，∴，∴EM＝AE+AM＝2+2，∴＝＝4．20．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上的点，BE交AC于点F，连接DF．（1）求证：∠BAF＝∠DAF，∠AFD＝∠CFE；（2）若AB∥CD，试证明：四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定点E的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并说理由．【分析】（1）先判断出△ABC≌△ADC得到∠BAF＝∠DAC，再判断出△ABF≌△ADF 得出∠AFB＝∠AFD，最后进行简单的推算即可；（2）先由平行得到角相等，用等量代换得出∠DAC＝∠ACD，最后判断出四边相等；（3）由（2）得到判断出△BCF≌△DCF，结合BE⊥CD即可．【解答】证明：（1）在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC＝∠DAC，在△ABF和△ADF中，∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB＝∠AFD，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFD＝∠CFE，∴∠BAF＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；（2）∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形；（3）当BE⊥CD时，∠EFD＝∠BCD，理由：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF，∵CF＝CF，∴△BCF≌△DCF，∴∠CBF＝∠CDF，∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD．。

菱形的判定

菱形的判定

小结 1、菱形的判定定理的证明；
2、菱形与平行四边形的关系。
作业 1、评价手册。
第六课时
——菱形的判定
知识回顾
菱形的性质定理： （1） （2）
； 。
做一做 1、证明：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 2、证明：4边都相等的四边形是菱形。
A B D
O C
思考与探索
你能用直尺和圆规作一个菱形吗？请作图并说 明理由。
例题 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂 直平分线与边AD、BC• 分别相交于E、F。求证： 四边形AFCE是菱形．
• 两个完全相同的矩形纸片、如图放置，， 求证：四边形为菱形．
A
B M E
F
N
D C
• 如图，四边形ABCD是矩形， ∠EDC=∠CAB，∠DEC=90°． (1)求证：AC∥DE； (2)过点B作BF⊥AC于点F，连结EF，试判断 四边形BCEF的形状，并说明理由．
• 有一张菱形纸片ABCD， • （1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分， 把剪开的两部分拼成一个平行四边形，在 图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若 沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的 平行四边形;并直接写出这两个平行四边形 的周长。 • （2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种 都不全等的平行四边形，请在图4中用实线 画出拼成的平行四边形。 • （注：上述所画的平行四边形都不能与原 菱形全等）
2、如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，过D作 DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，当△ABC 满足条件 时，四边形AEDF是菱 形。
A E F B D C
3、已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相 交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于 点P。求证：四边形AODP是菱形。

北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

北师大九上数学菱形的性质和判定课堂讲义及练习(含答案)

1.1菱形的性质和判定【菱形的性质】1．菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.符号语言：∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC，∴四边形ABCD是菱形 .温馨提示：①菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等；②菱形是特殊的平行四边形,即当一个平行四边形满足一组邻边相等时,该平行四边形是菱形,不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形；③菱形的定义既提供了菱形的基本性质,也提供了基本判定方法。

2.菱形的性质（1）菱形具有平行四边形的所有性质.（2）菱形的四条边都相等.（3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.（4）菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在直线就是它的对称轴.菱形又是中心对称图形,对角线的交点为对称中心.菱形中相等的线段：AB = CD = AD = BC．OA = OC ，OB = OD．菱形中相等的角：∠AOB = ∠DOC = ∠AOD = ∠BOC = 90°．∠ADC=∠ABC．∠DAB=∠DCB∠1 = ∠2 = ∠3 = ∠4，∠5 = ∠6 = ∠7 = ∠8．菱形中的全等三角形：全等的等腰三角形有：，全等的直角三角形有：点拨：有关菱形问题可转化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决(转化思想).温馨提示：①菱形具有平行四边形的一切性质；②“菱形的对角线互相垂直”这一性质可用来证明两条线段互相垂直,“菱形的每一条对角线平分一组对角”这一性质可用来证明角相等；③菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形。

1、下列四边形中不一定为菱形的是（）A. 对角线相等的平行四边形B. 对角线平分一组对角的平行四边形C. 对角线互相垂直的平行四边形D. 用两个全等的等边三角形拼成的四边形2.如图,菱形的两条对角线相交于O,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周长是。

3.菱形ABCD的两条对角线长分别为6和8，则它的周长和面积分别为（）A. 28、48B.20、24C.28、24D.20、484.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠B：∠BCD=1：2，则对角线AC等于（）A. 5B. 10C. 15D. 205.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP+AP的最小值为( )A. 2B. 2C. 4D. 4第2题第3题第4题第5题6.如图，已知四边形ABCD是菱形，DE⊥AB，DF⊥BC，求证：△ADE≌△CDF．7.如图，已知E、F分别是▱ABCD的边BC、AD上的点，且BE=DF ．（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）若四边形AECF是菱形，且BC=10，∠BAC=90°，求BE的长．8.如图，在菱形ABCD中，AC和BD相交于点O，过点O的线段EF与一组对边AB，CD分别相交于点E，F．（1）求证：AE=CF；（2）若AB=2，点E是AB中点，求EF的长．【菱形的判定】1. 菱形的判定定理（1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .（3）四边相等的四边形是菱形 .①证明一个四边形是菱形,一般情况下,先证明它是一个平行四边形,然后要么证明“一组邻边相等”,要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形,只要证明“四条边相等”即可；②对角线互相垂直平分的四边形是菱形；③对角线平分一个内角的平行四边形是菱形。

1菱形的形式与判定

1菱形的形式与判定

类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点,∠B＝∠EAF＝60°,∠BAE＝18°．求∠CEF的度数答案与解析【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AEF为等边三角形，从而∠AEF＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、已知：如图所示，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M,交CD的延长线于点F．（1）求证：AM＝DM；（2）若DF＝2，求菱形ABCD的周长．答案与解析举一反三【答案与解析】证明：（1）连接DB，则由菱形性质得BD⊥AC．又因为EF⊥AC，所以EF∥BD，即ME∥BD．又因为点E是AB的中点，所以点M是AD的中点．所以AM＝DM．（2）由（1）得DB∥EF．又BE∥DF，所以四边形EFDB是平行四边形．所以BE＝DF＝2．又因为，即AB＝2BE＝2×2＝4．所以菱形ABCD的周长为4×4＝16．【总结升华】菱形四边相等，对角线互相垂直平分.【变式】菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝，如图所示．求：（1）∠ABC的度数．（2）对角线AC的长．（3）菱形ABCD的面积．答案与解析【答案】解：（1）连接BD，交AC于点O．∵四边形ABCD是菱形∴ AD＝AB∵ E是AB的中点，且DE⊥AB．∴ AD＝DB，∴△ABD是等边三角形．∴△DBC也是等边三角形．∴∠ABC＝60°×2＝120°．（2）∵四边形ABCD是菱形．∴ AC与BD互相垂直平分．∴，∴．∴．（3）．类型二、菱形的判定3、矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别交于E、F两点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AECF是菱形，并证明你的结论．答案与解析举一反三【答案与解析】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，BO＝OD，∴∠BEO＝∠DFO，∠EBO＝∠FDO（两直线平行，内错角相等），∴△BOE≌△DOF(AAS)．（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：由（1）知，△BOE≌△DOF，∴ OE＝OF．又∵矩形ABCD中，OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．又∵ EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．【总结升华】要证明四边形是菱形，先证明这个四边形是平行四边形，再利用对角线互相垂直的特征证明该平行四边形是菱形.【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB 于Q.（1）求四边形AQMP的周长；（2）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.答案与解析【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝∴四边形AQMP的周长为2（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．（1）当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．（2）当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．答案与解析【思路点拨】（1）由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形,∠BAC＝60°,又∠EAF＝60°所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．（2）思路基本与（1）相同但结果有些变化．【答案与解析】解：（1）连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．（2）CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵∠BAC＝∠EAF＝60°，∴∠EAB＝∠FAC．∵∠ABC＝∠ACD＝60°，∴∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴△ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】（1）菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．（2）注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系巩固练习一.选择题1. 下列命题中，正确的是( )A. 两邻边相等的四边形是菱形B. 一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形C. 对角线垂直且一组邻边相等的四边形是菱形D. 对角线垂直的四边形是菱形2. 菱形的周长为高的8倍，则它的一组邻角是（）A. 30°和150°B. 45°和135°C. 60°和120°D. 80°和100°3．已知菱形的周长为40，两条对角线的长度比为3：4，那么两条对角线的长分别为（）A．6，8 B. 3，4 C. 12，16 D. 24，324.（2012•陕西）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE 的大小为（）A．75° B．65° C．55° D．50°5. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14，四边形ABCD面积是11，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（）A. 48B. 36C. 24D. 186. 如图，菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3，∠A＝120°，则图中阴影部分的面积是（）A. B. 2 C. 3 D.二.填空题7. 已知菱形的一条对角线长为12，面积为30，则这个菱形的另一条对角线长为__________.8．如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC＝_____.9．如图，菱形ABCD的边长是2，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______.10．已知菱形ABCD的周长为20，且相邻两内角之比是1∶2，则菱形的两条对角线的长和面积分别是______11. 如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝______．12.（2012•西宁）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，点P在轴上移动，小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标（－5，0）和（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点坐标__________________.三.解答题13. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，且DE⊥AB．（1）求∠ABD的度数；（2）若菱形的边长为2，求菱形的面积．14. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD、BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形.15．如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点（不与端点重合），且满足AE＋CF ＝2．（1）求证：△BDE≌△BCF；（2）判断△BEF的形状，并说明理由；（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围．答案与解析【答案与解析】一.选择题1.【答案】B；2.【答案】A；【解析】由题意可知边长是高的2倍，所以一个内角为30°，另一个内角为150°.3.【答案】C；【解析】设两条对角线的长为.所以有,∴,所以两条对角线的长为12 ，16.4.【答案】B；【解析】在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，∴∠BAD＝180°－130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°－∠BAO＝90°－25°＝65°．5.【答案】A ；【解析】菱形的面积等于11＋＝18，设菱形边长为,则，①②③④四个平行四边形周长的总和为菱形周长的2倍.6.【答案】A；【解析】菱形的高分别是和，阴影部分面积＝两个菱形面积－△ABD面积－△DEF面积－△BGF面积＝.二.填空题7.【答案】5；【解析】设这个菱形的另一条对角线长为,所以，解得.8.【答案】5；【解析】菱形四条边相等.9.【答案】；【解析】由题意∠A＝60°，DE＝.10.【答案】5；；；【解析】菱形一个内角为60°，边长为5，所以两条对角线长为5和，面积为.11.【答案】；【解析】.12.【答案】；【解析】由在菱形ABCD中，AC＝12，BD＝16，E为AD中点，根据菱形的性质与直角三角形的性质，易求得OE 的长，然后分别从①当OP＝OE时，②当OE＝PE时，③当OP＝EP时去分析求解即可求得答案．三.解答题13.【解析】解：（1）∵DE⊥AB，AE＝BE∴△ABD是等腰三角形，∴AD＝BD∵四边形ABCD是菱形∴AD＝AB∴AD＝AB＝BD，∴△ABD是等边三角形∴∠ABD＝60°（2）∵AD＝AB＝2，∴AE＝1，在Rt△AED中，DE＝∴S菱形ABCD＝AB•DE＝.14.【解析】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，OB＝OD∵∠EDO＝∠FBO, ∠OED＝∠OFB∴△OED≌△OFB∴DE＝BF又∵ED∥BF∴四边形BEDF是平行四边形∵EF⊥BD∴平行四边形BEDF是菱形.15.【解析】解：（1）∵AE＋CF＝2＝CD＝DF＋CF∴AE＝DF，DE＝CF，∵AB＝BD∴∠A＝∠ADB＝60°在△BDE与△BCF中∴△BDE≌△BCF（2）由（1）得BE＝BF，∠EBD＝∠CBF∴∠EBF＝∠EBD＋∠DBF＝∠DBF＋∠CBF＝∠CBD＝60°∴△BEF是等边三角形（3）∵≤△BEF的边长＜2∴∴。

菱形的判定证明题 经典

菱形的判定证明题 经典

菱形的判定经典习题 1.如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．2.已知：在□ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE △沿BC 方向平移，使点E 与点C 重合，得GFC △．（1）求证：BE DG =；（2）若60B ∠=°，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．3.如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AD BC ，的中点，G H ，分别是BD AC ，的中点，AB CD ，满足什么条件时，四边形EGFH 是菱形？请证明你的结论．4.如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ．求证：（1）∠E=∠F ．（2）□ABCD 是菱形．5. 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F .求证：（1）ABE CDF △≌；（2）若BD EF ⊥，则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论.6. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ．（1）求证：△BDF ≌△CDE ；（2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．7. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，BC CD =，AD BD ⊥，E 为AB 中点． 求证：四边形BCDE 是菱形．8. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且AF =CE =AE ． A B C D E A D G C B F E A B C D E F G H F D E C A B（1）说明四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形，并说明理由．9. 如图，在平行四边形ABCD 中，E F 、分别为边AB CD 、的中点，BD 是对角线，过A 点作AG DB ∥交CB 的延长线于点.G（1）求证：DE BF ∥；（2）若90G ∠=°，求证：四边形DEBF 是菱形．10.如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为点E 、F ，且PE =PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？11. (济宁) 如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF BD ⊥，分别交AD 、BC 于点E 和F ．求证：四边形BEDF 是菱形．12. (临沂) 如图，ABC △中，AB AC =，AD 、CD 分别是ABC △两个外角的平分线．（1）求证：AC AD =；（2）若60B ∠=°，求证：四边形ABCD 是菱形．13. (青岛) 已知：□ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接AF 、CE ．（1）求证：△BEC ≌△DF A ；（2）连接AC ，当CA ＝CB 时，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． F D EA CP B A E D C F B O A F E C BA EBC F D。

证明菱形的判定

证明菱形的判定

证明菱形的判定菱形形状具有四条边长度相等、四个角度均为直角、对角线互相垂直的特点。

因此，我们可以通过这些特点来证明一个四边形是否是菱形。

以下是对菱形的判定的证明，包括菱形的定义、性质和证明。

定义菱形是一个四边形，其四条边长度相等，相邻两边之间的角度均为直角，对角线相互垂直且长度相等。

性质1. 菱形的四条边长度相等。

设菱形的四个顶点分别为A、B、C、D，连接AC和BD两条对角线，假设AC = x，BD = y。

由于菱形的两条对角线相互垂直，则根据勾股定理得到：$AB^2+BC^2=AC^2，AB^2+CD^2=BD^2$因为AB = BC，CD = BC，带入上式得到：$2AB^2 = x^2, 2CD^2 = y^2$由此可得：$AB = \frac{x}{\sqrt{2}}, CD = \frac{y}{\sqrt{2}}$又因为AB = BC = CD = DA，则：$AB = BC = CD = DA = \frac{x}{\sqrt{2}} = \frac{y}{\sqrt{2}}$ 即四边形的四条边长度相等。

2. 菱形的四个角度均为直角。

我们可以将菱形ABCD分成两个直角三角形，即ABD和BCD。

由于ABD和BCD共用一条边BD，且纵坐标相同，则角ABD和角BCD的角度相等。

由于对角线BD垂直于AC，则角ABD和角CBD的角度之和为90度。

因此，角度ABD、BCD和ACD均为90度，即菱形的四个角度均为直角。

3. 菱形的对角线互相垂直且长度相等。

假设对角线AC = x，对角线BD = y。

由于AB = BC = CD = DA，因此四边形ABCD是一个平行四边形。

又因为平行四边形的对角线互相平分，且对角线互相垂直，则对角线BD平分AC。

因此，$\triangle ABD$和$\triangle BCD$共有三边相等，因而两个三角形是合同的，即BD = AC。

由此可得，菱形的对角线互相垂直且长度相等。

人教版八年级数学下册《菱形的判定》练习

人教版八年级数学下册《菱形的判定》练习

初中数学试卷《菱形的判定》练习一、选择——基础知识运用1．如图，丝带重叠的部分一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形 D．都有可能2．如图，要使平行四边形ABCD成为菱形，需添加的一个条件是（）A．AB=BC B．AC=BDC．∠ABC=90°D．AC与BD互相平分3．如图，在□ABCD中，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AMCN为菱形的是（）A．AM=AN B．MN⊥ACC．MN是∠AMC的平分线D．∠BAD=120°4．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形窗框是否为菱形，下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）A．测量对角线是否相互垂直B．测量两组对边是否分别相等C．测量四个角是否相等D．测四条边是否相等5．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的四边形是菱形B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形6．如图，AD是△ABC的角平分线，将△ABC折叠使点A落在点D处，折痕为EF，则四边形AEDF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形二、解答——知识提高运用7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠ADB=∠CBD，AD=BC．（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；（2）若AC=10，BD=24，AB=13，四边形ABCD是菱形吗？证明你的判断。

8．如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？9．在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，AC与BD相交于O点，OC=OA。

（1）如图（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）如图（2）若E是AB延长线上的一点，BE=AD，连接CE，则在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图（2）中面积等于△BCE面积的所有三角形（△BCE除外）。

九上1.1菱形的性质与判定(1)

九上1.1菱形的性质与判定(1)

菱形的性质复习回顾：平行四边形的性质：1. 从对称性的角度想：平行四边形______（填“是”或“不是”）中心对称图形，____________________ 是它的对称中心．2. 从边的角度想：平行四边形的对边____________________．3. 从角的角度想：平行四边形的对角__________．4. 从对角线的角度想：平行四边形的对角线__________． 围绕上面知识回顾，填空：1．若四边形ABCD 是平行四边形，则有AB ∥_____，AD ∥_____． 2．如图，在平行四边形ABCD 中 （1）若AB =4cm ，则CD =______cm ．（2）∠ABC =60°，则∠D =_________°，∠BCD =_________°．知识要点：1．菱形的定义： 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形，菱形是特殊的平行四边形． 2．菱形的性质：（1）对边平行，四边相等． （2）对角相等，邻角互补．（3）对角线互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角． ABCD AB BC CD DA ⇒===是菱形 12AC BDABCD ⊥⎧⇒⎨∠=∠⎩是菱形边学边练：（1）下列语句中，错误的是（ ）A ．菱形是轴对称图形，它有两条对称轴B ．菱形的两组对边可以通过平移而相互得到C ．菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到D ．菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到（2）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A ．对角相等 B ．对边相等 C ．对角线互相垂直 D ．对角线相等 3．菱形的面积=边长×高=对角线的乘积的一半．同平行四边形的学习一样，我们也可以从边、角、线（即对角线）三个角度理解、记忆菱形的性质． 【典型例题】例1：已知菱形ABCD 的对角线交于点O ，AC =16cm ,BD =12cm ,求 （1）菱形ABCD 的面积；（2）菱形ABCD 的边长；（3）菱形ABCD 的高．变式练习：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm , BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长．例2：菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，（1）求菱形ABCD的对角线的长；（2）求菱形ABCD的面积；（3）求一组对边的距离．变式练习：已知：如图，菱形ABCD的周长为16 cm，∠ABC＝60°，对角线AC和BD相交于点O，求AC和BD的长．例3．如图四边形ABCD是菱形，F是AB上的一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．变式练习：已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在CD，BC上，且CE=CF，求证：AE=AF．【巩固练习】分类练习01基础题知识点1菱形的定义1．如图，在▱ABCD中，∵∠1＝∠2，∴BC＝DC.∴▱ABCD是菱形( )．(请在括号内填上理由)2．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA.小聪认为如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形，小聪的说法 (填“正确”或“不正确”)．知识点2菱形的性质3．(泸州中考)菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )A．两组对边分别平行 B．两组对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直4．(长沙中考)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是( ) A．1 B. 3 C．2 D．2 35．(黔西南中考)如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，则菱形的边长AB等于( )A．10 B.7 C．6 D．56．如图，在菱形ABCD中，EF∥AB，对角线AC交EF于点G，那么与∠BAC相等的角的个数有( )A．3个 B．4个 C．5个 D．6个7．(毕节中考)如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于( )A．3.5 B．4 C．7 D．148．(广州中考)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．9．(济南中考)如图，在菱形ABCD中，CE＝CF.求证：AE＝AF.02中档题10．(衢州中考)如图，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24米，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于( )A．63米 B．6米 C．33米 D．3米11．(昆明中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA＝OB；③∠ADB＝∠CDB；④△ABC是等边三角形．其中一定成立的是( )A．①② B．③④ C．②③ D．①③12．(烟台中考)如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为( )A．28° B．52° C．62° D．72°13．(乌鲁木齐中考)若菱形的周长为8，相邻两内角之比为3∶1，则菱形的高是．14．如图，已知菱形ABCD的对角线相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：BD＝EC；(2)若∠E＝50°，求∠BAO的大小．15．(贵阳中考)已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC；(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？说明理由．03综合题16．(河南中考)如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为( )A．(1，－1) B．(－1，－1) C．(2，0) D．(0，－2)第2课时 菱形的判定【知识要点】（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形．数学语言：∵四边形ABCD 是____________，且________________ ∴四边形ABCD 是菱形．（2）对角线互相垂直的平行四边形．ABCD ABCD AC BD ⎫⇒⎬⊥⎭平行四边形是菱形数学语言：∵四边形ABCD 是____________，且________________ ∴四边形ABCD 是菱形．（3）四条边都相等的四边形．AB BC CD DA ABCD ===⇒是菱形．数学语言：∵AB =CD =_________=__________ ∴四边形ABCD 是菱形．边学边练：1． 判断下列命题是否正确，并说明理由．（1）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形．（2）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形． （3）邻角相等的四边形是菱形．（4）有一组邻边相等的四边形是菱形．（5）两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形． （6）对角线互相垂直的四边形是菱形．（7）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 2． 能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ）A ．对角线相等且互相平分B ．对角线互相垂直且相等C ．对角线互相平分D ．一组对角相等且一条对角线平分这组对角 3．下列命题正确的是（ ）A ．有两组邻角相等的四边形是菱形B ．有一组邻边相等的四边形是菱形C ．对角线互相垂直的四边形是菱形D ．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【典型例题】例1：如图，AD 是△ABC 的角平分线．DE ∥AC 交AB 于E ，DF ∥AB 交AC 于F ．四边形AEDF 是菱形吗？说明你的理由．变式练习：如图AD 是△ABC 的角平分线，DE //AC ,交AB 于点E ，DF //AB ，交AC 于点F ，证明：AD ⊥EF .例2： 如图□ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AB =5，AO =4，BO =3，求证□ABCD 是菱形．变式练习：如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线交BC 、AD 于点E 、F ， 求证：四边形AECF 是菱形．分类练习 01 基础题知识点1 有一组邻边相等的四边形是菱形1．(钦州中考)如图，要使▱ABCD 成为菱形，下列添加的条件正确的是( ) A ．AC ＝AD B ．BA ＝BCC ．∠ABC ＝90° D ．AC ＝BD2．(海南中考)如图，将△ABC 沿BC 方向平移得到△DCE ，连接AD ，下列条件中能够判定四边形ACED 为菱形的是( )A ．AB ＝BC B ．AC ＝BC C ．∠B ＝60°D ．∠ACB ＝60°3．(长春中考)如图，CE是△ABC外角∠ACD的平分线，AF∥CD交CE于点F，FG∥AC 交CD于点G.求证：四边形ACGF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．(潍坊中考)如图，ABCD是对角线互相垂直的四边形，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件，使ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)5．已知▱ABCD两对角线AC、BD相交于点O，AC＝12 cm，BD＝16 cm，AD＝10 cm，则▱ABCD为．6．如图，在▱ABCD中，O是AC与BD的交点，过点O的直线分别与AB、CD的延长线交于点E、F，当AC与EF满足什么条件时，四边形AECF是菱形？请给出证明．知识点3四边相等的四边形是菱形7．用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD 是菱形的依据是( )A．一组邻边相等的四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形02中档题8．如图是一张平行四边形纸片ABCD，要求利用所学知识将它变成一个菱形，甲、乙两位同学的作法分别如下：甲：连接AC，作AC的中垂线交AD、BC于E、F，则四边形AFCE是菱形．乙：分别作∠A与∠B的平分线AE、BF，分别交BC于点E，交AD于点F，则四边形ABEF是菱形．对于甲、乙两人的作法，可判断( )A．甲正确，乙错误 B．甲错误，乙正确C．甲、乙均正确 D．甲、乙均错误9．(十堰中考)如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE＝DF.给出下列条件：①BE⊥EC；②BF∥CE；③AB＝AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是 (只填写序号)．10．(荆门中考)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：四边形ABCD是菱形．11．(黔南中考改编)如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交PQ于点F，连接AF.求证：(1)△AED≌△CFD；(2)四边形AECF是菱形．03综合题12．(泰安中考改编)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一点，BE 交AC于点F，连接DF.(1)求证：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．第3课时 菱形的性质与判定的运用01 基础题知识点1 与菱形有关的计算1．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别是8和6，则菱形的周长等于( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．242．如图，在▱ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB ＝2，则▱ABCD 的周长为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．123．如图，菱形ABCD 的周长为16，∠ABC ＝120°，则AC 的长为( ) A ．4 3 B ．4 C ．2 3 D ．24．(枣庄中考)如图，四边形ABCD 是菱形，AC ＝8，DB ＝6，DH ⊥AB 于H ，则DH 等于( ) A.245 B.125C ．5D ．45．如图，在△ABC 中，AB ＝BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 的中点． (1)求证：四边形BDEF 是菱形；(2)若AB ＝10 cm ，求菱形BDEF 的周长．知识点2 菱形的判定6．如图，添加下列条件仍然不能使▱ABCD 成为菱形的是( )A ．AB ＝BC B ．AC ⊥BD C ．∠ABC ＝90° D ．∠1＝∠27．如图，顺次连接四边形ABCD 各边中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为菱形，应添加的条件是( )A ．AB ∥DC B ．AB ＝DC C ．AC ⊥BD D ．AC ＝BD8．如图，在△ABC 中，AB ＜BC ＜AC ，小华依下列方法作图：①作∠C 的平分线交AB 于点D ；②作CD 的中垂线，分别交AC ，BC 于点E ，F ；③连接DE ，DF.根据小华所作的图，下列说法中一定正确的是( )A ．四边形CEDF 为菱形B ．DE ＝DAC ．DF ⊥CBD ．CD ＝BD9．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 分别为边AB ，AD 的中点，连接EF ，OE ，OF ，求证：四边形AEOF 是菱形．02中档题10．(兰州中考)如图，菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E、F，连接EF，则△AEF的面积是( )A．4 3 B．3 3 C．2 3 D. 311．如图，在菱形ABCD中，过对角线BD上任一点P，作EF∥BC，GH∥AB，下列结论正确的是．(填序号)①图中共有3个菱形；②△BEP≌△BGP；③四边形AEPH的面积等于△ABD的面积的一半；④四边形AEPH的周长等于四边形GPFC的周长．12．如图，在▱ABCD中，EF垂直平分AC交BC于E，交AD于F.(1)求证：四边形AECF为菱形；(2)若AC⊥CD，AB＝6，BC＝10，求四边形AECF的面积．03综合题13．(临沂中考)对一张长方形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2.求证：(1)∠ABE＝30°；(2)四边形BFB′E为菱形．。

菱形的判定练习题

菱形的判定练习题

菱形的判定练习题一、选择题1．菱形和矩形一定都具有的性质是A．对角线相等． B．对角线互相平分．C．对角线互相垂直． D．每条对角线平分一组对角． 2．四边相等的四边形是A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．梯形3．菱形是轴对称图形，它的对称轴有A．1条 B．2条 C．3条 D．4条4．如图19-2-2-14，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别是菱形四边的中点，连结EG与FH交于点O，则图中的菱形共有A．4个 B．5个 C．6个 D．7个图19-2-2-145．在菱形ABCD中，AC=6，BD=8，则菱形的边长为A．B．10 C．D．86．如图19-2-2-15，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则对角线AC等于A．20 B．1C．10 D．5图19-2-2-157．如图19-2-2-16，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2，那么ABCD的周长是A．B．C．1D．16图19-2-2-168．已知菱形的边长和一条对角线的长均为为A．3cmB．4cmC． D．，则菱形的面积9．下列条件之一能使□ABCD是菱形的为①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BDA．①③ B．②③ C．③④ D．①②③10．下列说法正确的是A．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C．对角线互相平分且相等的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是菱形11．用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是A．平行四边形 B．正方形 C．矩形 D．菱形12．菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图19-2-2-17所示，，则点B的坐标为A． B． C． D．图19-2-2-1713．如图19-2-2-18，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为A． B． C． D．3图19-2-2-1814．如图19-2-2-19，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的菱形的面积为A．10cmB．20cmC．40cmD．20cm2图19-2-2-1915．将矩形纸片ABCD按如图19-2-2-20所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB=3，则BC的长为A．1 B．C． D．图19-2-2-20二、填空题16．若一个菱形的周长是40cm，它的一条对角线长10cm，则菱形相邻的两个角度数分别是．17．如图19-2-2-21，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P点到AB的距离是．图19-2-2-2118．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为一条对角线的长为．，则另19．已知菱形的周长为40，一条对角线长为12，则这个菱形的面积为．20．如图19-2-2-22，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= 度．图19-2-2-2221．如图19-2-2-23，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．图19-2-2-2322．如图19-2-2-24，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥BC于点E，且DE=OC，OD=2，则AC菱形的判定学习目标：掌握菱形的判定方法，并灵活应用判定方法解题菱形的判定常用方法：练习：1．下列四边形中不一定为菱形的是A．对角线相等的平行四边形 B．每条对角线平分一组对角的四边形C．对角线互相垂直的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=??BC；??⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种3．如图1所示，已知□ABCD，AC，BD相交于点O，?添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为________．图1 图24．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．5．如图所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？?说明理由．6．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PD∥AC，PC∥BD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由．课堂作业：1、在平面直角坐标系中，已知点A，B，C，D，则以这四个点为顶点的四边形ABCD是A、矩形B、菱形C、正方形D、梯形2、用两个全等的等边三角形，可以拼成下列哪种图形A、矩形B、菱形C、正方形D、等腰梯形3、汶川地震后，吉林电视台法制频道在端午节组织发起“绿丝带行动”，号召市民为四川受灾的人们祈福．人们将绿丝带剪成小段，并用别针将折叠好的绿丝带别在胸前，如图所示，绿丝带重叠部分形成的图形是A、正方形C、菱形D、矩形 B、等腰梯形4．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC的平分线BD?交AC于点D，CH⊥AB于H，且交BD于点F，DE⊥A B 于E，四边形CDEF是菱形吗？请说明理由．5．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D?作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，再过E，F作EG⊥AC，FH⊥AB，垂足分别为G，H，且EG，?FH相交于点K，试说明EF和DK之间的关系．HABDFHEAGEBDC参考答案1．A2．D．AB=BC 还可添加AC⊥BD或∠ABD=∠CBD 等．4．点D在∠BAC的平分线上5．解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，AB∥CD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形．6．解：四边形PCOD是菱形．四边形PCOD是平行四边形．又因为OC=OD，1. B2. B3.C4．解法一：四边形CDEF是菱形．理由：如图所示，因为△CBD≌△EBD，所以CD=DE， ?因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，?所以∠3=∠4．所以CF=CD．所以CF=DE．因为CF//DE．?所以四边形CDEF是平行四边形．又因为CF=CD，所以□CDEF是菱形．解法二：如答图20-3-4所示，连结CE交DF于点O．因为△BCD≌△BED．所以BC=BE．又因为∠1=∠2，所以BD⊥CE，且OC=OE．因为∠1+∠4=90°，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，∠3=∠5，所以∠3=??∠4．所以CF=CD．又因为CE⊥DF，所以OF=OD．所以四边形CDEF是平行四边形，?又因为DF⊥CE，所以CDEF是菱形．点拨：解法一利用了菱形的定义，?解法二利用了“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的方法，本题除以上两种解法外，还可利用“四条边都相等的四边形是菱形”的方法解决．5．解：EF与DK互相垂直平分．理由：因为DE⊥AB，FH⊥AB，所以DE∥FH．? 因为DF⊥AC，EG⊥AC，所以DF∥EG．所以四边形DEKF是平行四边形．因为AB=AC，所以∠B=∠C．又因为BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，所以△BDE≌△CDF，所以DE=DF．所以DEKF是菱形，?所以EF与DK互相垂直平分．点拨：要说明EF与DK互相垂直平分，只要说明四边形DEKF是菱形，?要说明四边形DEKF是菱形，可先说明四边形DEKF是平行四边形，再说明一组邻边相等即可．?特殊的平行四边形——菱形一．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.二．菱形的性质：菱形具有平行四边形一切性质，此外，它还具有如下特殊性质：1.菱形的四条边相等。

菱形的性质和判定(含解析)

菱形的性质和判定(含解析)

菱形的性质和判定一、选择题1、如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，P是AB上一点,BP=3，Q是CD边上一动点，将梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′．当CA′的长度最小时，CQ的长为（ )A 。

5B 。

7C .8D .二、解答题2、如图，菱形ABCD，对角线AC、BD交于点O,DE//AC，CE//BD，求证：OE=BC3、如图，将等腰△ABC绕顶点B逆时针方向旋转α度到△的位置，AB与相交于点D，AC与、分别交于点E、F．（1）求证：△BCF≌△．(2）当∠C=α度时，判定四边形的形状并说明理由．4、如图,矩形ABCD 中,对角线AC 的垂直平分线交AD 、BC 于点E 、F,AC 与EF 交于点O ，连结AF 、CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=3,AD=4，求菱形AFCE 的边长。

5、如图，CD 是△ABC 的中线，点E 是AF 的中点，CF∥AB． （1)求证：CF=AD ；（2）若∠ACB=90°,试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由．6、如图,将矩形A 1B 1C 1D 1沿EF 折叠,使B 1点落在A 1D 1边上的B 点处；再将矩形A 1B 1C 1D 1沿BG 折叠，使D 1点落在D 点处且BD 过F 点．（1)求证：四边形BEFG 是平行四边形；(2）当∠B 1FE 是多少度时,四边形BEFG 为菱形？试说明理由．菱形的性质和判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：作CH⊥AB于H，如图，根据菱形的性质可判断△ABC为等边三角形,则CH=AB=4，AH=BH=4，再利用勾股定理计算出CP=7，再根据折叠的性质得点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，利用点与圆的位置关系得到当点A′在PC上时，CA′的值最小，然后证明CQ=CP即可。

解：作CH⊥AB于H，如图，∵菱形ABCD的边AB=8,∠B=60°,∴△ABC为等边三角形，∴CH=AB=4，AH=BH=4，∵PB=3,∴HP=1，在Rt△CHP中，CP= =7，∵梯形APQD沿直线PQ折叠,A的对应点A′，∴点A′在以P点为圆心，PA为半径的弧上，∴当点A′在PC上时,CA′的值最小，∴∠APQ=∠CPQ，而CD∥AB，∴∠APQ=∠CQP，∴∠CQP=∠CPQ，∴CQ=CP=7．故选：B．二、解答题2、答案：证明见解析试题分析：先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED 是矩形，利用勾股定理即可求出BC=OE．证明：∵DE∥AC，CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形,∴∠COD=90°，∴四边形OCED是矩形，∴DE=OC，∵OB=OD，∠BOC=∠ODE=90°，∴BC===OE3、答案：（1)见解答过程(2)见解答过程试题分析:（1）根据等腰三角形的性质得到AB=BC，∠A=∠C，由旋转的性质得到=AB=BC，∠A=∠=∠C，∠BD=∠，根据全等三角形的判定定理得到△BCF≌△（2)由旋转的性质得到∠=∠A,根据平角的定义得到∠DEC=180°-α，根据四边形的内角和得到∠ABC=360°—∠—∠C—∠=180°-α，证的四边形是平行四边形，由于=BC，即可得到四边形是菱形。

九年级数学上册第一章1菱形的性质与判定《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)(新)北师大版

九年级数学上册第一章1菱形的性质与判定《菱形》知识讲解及例题演练(含解析)(新)北师大版

菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE ＝18°．求∠CEF的度数．【思路点拨】由已知∠B＝60°，∠BAE＝18°，则∠AEC＝78°．欲求∠CEF的度数，只要求出∠AEF的度数即可，由∠EAF＝60°，结合已知条件易证△AE F为等边三角形，从而∠AEF ＝60°．【答案与解析】解：连接AC．∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵ ∠B＝60°，∴ △ABC是等边三角形．∴ ∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴ ∠ACF＝∠B＝60°．又∵ ∠EAF＝∠BAC＝60°∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴ △AEF为等边三角形．∴ ∠AEF＝60°．又∵ ∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴ ∠CEF＝18°．【总结升华】当菱形有一个内角为60°时，连接菱形较短的对角线得到两个等边三角形，有助于求相关角的度数．在求角的度数时，一定要注意已知角与所求角之间的联系．2、如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，由两点之间线段最短可知当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP有最小值，然后求得EF′的长度即可．【答案】C．【解析】解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP+FP=EP+F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP+FP的值最小，此时EP+FP=EP+F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP+FP的最小值为3．故选：C．【总结升华】本题主要考查的是菱形的性质、轴对称﹣﹣路径最短问题，明确当E、P、F′在一条直线上时EP+FP有最小值是解题的关键．举一反三：【变式】（2015春•潍坊期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是AB 的中点，如果EO=2，求四边形ABCD的周长．【答案】解：∵四边形ABCD为菱形，∴BO=DO，即O为BD的中点，又∵E是AB的中点，∴EO是△ABD的中位线，∴AD=2EO=2×2=4，∴菱形ABCD的周长=4AD=4×4=16．类型二、菱形的判定3、如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t （s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．【思路点拨】（1）由题意得到AD=CD，再由AG与BC平行，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，利用AAS即可得证；（2）若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，由E的速度求出E运动的时间即可．【答案与解析】（1）证明：∵AG∥BC，∴∠EAD=∠DCF，∠AED=∠DFC，∵D为AC的中点，∴AD=CD，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（AAS）；（2）解：①若四边形ACFE是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s）．故答案为：6s．【总结升华】此题考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质等知识，弄清题意是解本题的关键.举一反三：【变式】已知，在△ABC中，AB＝AC＝a，M为底边BC上任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q.⑴求四边形AQMP的周长；⑵M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形？说明你的理由.【答案】解：（1）∵MQ∥AP，MP∥AQ，∴四边形AQMP是平行四边形∴QM＝AP又∵AB＝AC，MP∥AQ，∴∠2＝∠C，△PMC是等腰三角形，PM＝PC∴QM＋PM＝AP＋PC＝AC＝a∴四边形AQMP的周长为2a（2）M位于BC的中点时，四边形AQMP为菱形.∵M位于BC的中点时,易证△QBM与△PCM全等,∴QM＝PM,∴四边形AQMP为菱形类型三、菱形的综合应用4、如图所示，菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF＝60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F．(1)当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE＋CF的值．(2)当点E、F分别在CB、DC的延长线时，CE、CF又存在怎样的关系，并证明你的结论．【思路点拨】(1)由菱形的性质可知AB＝BC，而∠ABC＝60°，即联想到△ABC为等边三角形，∠BAC＝60°，又∠EAF＝60°，所以∠BAE＝∠CAF，可证△BAE≌△CAF，得到BE＝CF，所以CE+CF＝BC．(2)思路基本与(1)相同但结果有些变化．【答案与解析】解：(1)连接AC．在菱形ABCD中，BC＝AB＝4，AB∥CD．∵ ∠ABC＝60°，∴ AB＝AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60°．∴ ∠ACF＝60°，即∠ACF＝∠B．∵ ∠EAF＝60°，∠BAC＝60°，∴ ∠BAE＝∠CAF．∴ △ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE＋CF＝CE＋BE＝BC＝4．(2)CE－CF＝4．连接AC如图所示．∵ ∠BAC＝∠EAF＝60°，∴ ∠EAB＝∠FAC．∵ ∠ABC＝∠ACD＝60°，∴ ∠ABE＝∠ACF＝120°．∵ AB＝AC，∴ △ABE≌△ACF(ASA)，∴ BE＝CF．∴ CE－CF＝CE－BE＝BC＝4．【总结升华】(1)菱形的性质的主要应用是证明角相等、线段相等、两直线平行、两线段互相垂直、互相平分等．(2)注意菱形中的60°角的特殊性，它让菱形这个特殊的平行四边形变得更加特殊，常与等边三角形发生联系．。

菱形的判定(5种题型)(解析版)

菱形的判定(5种题型)(解析版)

菱形的判定（5种题型）【知识梳理】一、菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形（平行四边形+一组邻边相等＝菱形）；②四条边都相等的四边形是菱形．几何语言：∵AB＝BC＝CD＝DA∴四边形ABCD是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）．几何语言：∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形∴平行四边形ABCD是菱形要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形。

二．菱形的判定与性质（1）依次连接四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形．不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形．（2）菱形的中点四边形是矩形（对角线互相垂直的四边形的中点四边形定为矩形，对角线相等的四边形的中点四边形定为菱形．）（3）菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．（4）正方形是特殊的菱形，菱形不一定是正方形，所以，在同一平面上四边相等的图形不只是正方形．【考点剖析】题型一：添加一个条件使四边形为菱形∥，例1．（2023·安徽·校联考一模）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB CD =，想要判断四边形ABCD是菱形，则可以添加一个条件是_____________．AO CO【答案】AB AD =（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定方法进行解答即可．【详解】解：∵AB CD ∥，∴OAB OCD ∠=∠，OBA ODC ∠=∠，∵AO CO =，∴△≌△AO B C O D ， ∴AB CD =，∵AB CD ∥，∴四边形ABCD 为平行四边形，如果添加AB AD =，可以通过有一组邻边相等的平行四边形是菱形，判断四边形ABCD 为菱形； 故答案为：AB AD =．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定，平行线的性质，菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．【变式】如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件： ，使▱ABCD 是菱形．【分析】根据菱形的定义得出答案即可．【解答】解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，∴当AD ＝DC ，▱ABCD 为菱形；故答案为：AD ＝DC （答案不唯一）．【点评】此题主要考查了菱形的判定以及平行四边形的性质，根据菱形的定义得出是解题关键．题型二：证明四边形为菱形例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF．求证：四边形DFCE 是菱形．【分析】根据三角形的中位线的性质和菱形的判定定理即可得到结论；【解答】证明：∵点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥CF，DE＝BC，DF∥CE，DF＝AC，∴四边形DECF是平行四边形，∵AC＝BC，∴DE＝DF，∴四边形DFCE是菱形；【点评】本题考查了菱形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．例3.如图，四边形ABCD为平行四边形，EF∥BD，分别交BC，CD于点P，Q，交AB，AD的延长线于E，F，且BE＝BP，求证：（1）∠E＝∠F；（2）四边形ABCD是菱形．【分析】（1）首先判定四边形BPFD是平行四边形，所以BP∥DF，利用平行线的性质可得∠F＝∠BPE，又因为BE＝BP，可得∠E＝∠F；（2）利用平行线的性质以及菱形的判定方法进而得出即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴BP∥DF，∵EF∥BD，∴四边形BPFD是平行四边形，∴BP∥DF，∴∠F＝∠BPE，∵BE＝BP，∴∠E＝∠BPE，∴∠E＝∠F；（2）∵EF∥BD，∴∠E＝∠ABD，∠F＝∠ADB∴∠ABD＝∠ADB，又∵四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定、菱形的判定等知识，得出四边形BPFD是平行四边形是解题关键．【变式】如图，已知平行四边形ABCD，点E在AC的延长线上，连接BE、DE，过点D作DF∥EB交CA的延长线于点F，连接FB（1）求证：△DAF≌△BCE；（2）如果四边形ABCD是菱形，求证：四边形BEDF是菱形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥CB，证出∠DAF＝∠BCE，∠DFA＝∠BEC，由AAS证明△DAF≌△BCE即可；（2）先证明四边形BEDF是平行四边形，再由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出四边形BEDF是菱形．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥CB，∴∠DAC＝∠BCA，∴∠DAF＝∠BCE，∵DF∥EB，∴∠DFA＝∠BEC，在△DAF和△BCE中，，∴△DAF≌△BCE（AAS）；（2）证明：连接BD，如图所示：由（1）得：△DAF≌△BCE，∴DF＝BE，又∵DF∥BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，即EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．题型三：根据菱形的判定与性质求角度 例4．（2023春·福建福州·九年级统考期中）如图，在ABC 中，30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，连接AE ．(1)求证：AB AE =；(2)若A ABC CB =∠∠，证明：直线AE 与BC 互相垂直．【分析】（1）由ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，可得60BCE ∠=︒，BC EC =，而30ACB ∠=︒，即得30ACE ACB ∠=︒=∠，可证()SAS ACB ACE △≌△，故AB AE =；（2）根据ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，AB AC =，可得AC DC DE AE ===，证明四边形ACDE 是菱形，得到DA CD ∥；又306090BCD ∠=︒+︒=︒，进而推导出AE BC ⊥．【详解】（1）证明：ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，60BCE ∴∠=︒，BC EC =，30ACB ∠=︒，30ACE ACB ∴∠=︒=∠，AC AC =，()SAS ACB ACE ∴≌，AB AE =∴； （2）解：ABC 绕点C 顺时针旋转得到DEC ，AC DC ∴=，AB DE =，由（1）可知AB AE =，AE DE ∴=，若AB AC =，则AC AE =，AC DC DE AE ∴===，∴四边形ACDE 是菱形，AE CD ∴∥；30ACB ∠=︒，将ABC 绕点C 顺时针旋转60︒得到DEC ，306090BCD ∴∠=︒+︒=︒，即CD BC ⊥，AE BC ∴⊥，即直线AE 与BC 互相垂直．【点睛】本题考查三角形的旋转问题，涉及菱形的判定及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握旋转的性质，证明ACB ACE △≌△． 模拟预测）如图，在正方形网格中，ABC 的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺 (1)在图1中，作45CAE ∠=︒．(2)在图2中，作ABC 的角平分线CF ．【分析】（1）如图，取格点E ，连接AE ，则CAE ∠即为所作；（2）如图，取格点F ，作射线CF ，则射线CF 即为所作；【详解】（1）解：如图，CAE ∠即为所作，由图可得：2AN CM ==，1CN EM ==，90ANC CME ∠=∠=︒，∴()SAS ANC CME ≌，∴CAN ECM ∠=∠，AC CE =，∵90CAN ACN ∠+∠=︒，∴90ECM ACN ∠∠=︒，∴90ACE ∠=︒，∵AC CE =，∴45CAE CEA ∠=∠=︒；（2）解：如图，射线CF 即为所作，由图可得：AC CG GF AF ===∴四边形ACGF 为菱形，∴CF 平分ACG ∠，即CF 是ABC 的角平分线【点睛】本题考查网格作图，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．题型四：根据菱形的判定与性质求线段长 例5.（2023·山西长治·校联考二模）如图，在ABCD Y 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE ，CE ．(1)实践与操作：利用尺规在线段OB 上作出点F ，使得四边形AFCE 为平行四边形，连接AF ，CF ；（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）(2)应用与求解：若4,60AB BC ABC ==∠=︒，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）利用圆规在OB 上作OF OE =，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得四边形AFCE 为平行四边形；（2）先根据平行四边形的性质和已知条件证明EF OB =，再证ABC 是等边三角形，求出4AC =，再证四边形ABCD 是菱形，推出BO AC ⊥，最后根据勾股定理求出OB 即可．【详解】（1）解：如图所示：以点O 为圆心，OE 长为半径作弧，与线段OB 的交点即为点F ，连接AF ，CF ．（2）解：由（1）知OF OE =，ABCD Y 中，E 为OD 的中点，∴1122OE OD OB ==， ∴12OF OE OB ==，∴EF OB =，4,60AB BC ABC ==∠=︒，∴ABC 是等边三角形，∴4AC =，ABCD Y 中，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形，∴BD AC ⊥，即BO AC ⊥， ∴122AO AC ==，∴OB ==∴EF =【点睛】本题考查尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握菱形、平行四边形、等腰三角形的性质．【变式】如图，四边形ABCD 中，BD 垂直平分AC ，垂足为点E ，点F 为四边形ABCD 外一点，DA 平分∠BDF ，∠ADF ＝∠BAD ，且AF ⊥AC ．（1）求证：四边形ABDF 是菱形；（2）若AB ＝5，求AC 的长．【分析】（1）首先证明四边形ABDF 是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）在Rt △AFC 中，利用勾股定理求解即可．【解答】（1）证明：∵∠ADF ＝∠BAD ，∴AB ∥DF ，∵AF ⊥AC ，BD ⊥AC ，∴AF ∥BD ，∴四边形ABDF 是平行四边形；∵DA 平分∠BDF ，∴∠ADF ＝∠BDA ，∴∠BAD ＝∠BDA ，∴BD ＝AB ，∴四边形ABDF 是菱形．（2）解：∵DA 平分∠BDF ，∴∠ADF ＝∠BDA ，∵BD垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF，∵DA＝DF＝DC，∴∠DAF＝∠F，∠DAC＝∠DCA，∴∠ADC＝180°﹣2∠DAC，∠ADF＝180°﹣2∠DAF，∵∠DAF+∠DAC＝90°，∴∠ADF+∠ADC＝360°﹣2（∠DAC+∠DAF）＝180°，∴C，D，F三点共线，∴∠ADB＝∠BDC＝∠ADF＝60°，∵FA＝FD，∴△ADF是等边三角形，∴AF＝DF＝CD＝5，∵∠FAC＝90°，∴AC＝＝5．【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定、角平分线的性质，勾股定理的应用，解题的关键是利用勾股定理列方程，属于中考常考题型．题型五：根据菱形的判定与性质求面积例6.已知，如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝3，求四边形ABCD的面积．【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，先求出FG即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝．【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．【变式】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE＝2DE，延长DE到F，使EF＝BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE为菱形；（2）若CE＝8，∠CFE＝60°，求四边形BCFE的面积．【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，BC＝2DE，由已知条件得出EF ＝BC，证出四边形BCFE是平行四边形，再由EF＝BE，即可得出结论；（2）作CM⊥DF于M，由菱形的性质得出EF＝CF，证出△CEF是等边三角形，得出CF＝CE＝8，由三角函数求出CM，即可得出四边形BCFE的面积．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，BC＝2DE，∴EF∥BC，∵BE＝2DE，∴BC＝BE，∵EF＝BE，∴EF ＝BC ，∴四边形BCFE 是平行四边形，又∵EF ＝BE ，∴四边形BCFE 为菱形；（2）解：作CM ⊥DF 于M ，如图所示：由（1）得：四边形BCFE 为菱形，∴EF ＝CF ，∵∠CFE ＝60°，∴△CEF 是等边三角形，∴CF ＝CE ＝8，∴CM ＝CF •sin60°＝8×＝4，∴四边形BCFE 的面积＝EF •CM ＝8×4＝32．【点评】三角形中位线定理、等边三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定与性质，证明△CEF 是等边三角形是解决问题（2）的突破口．【过关检测】一、单选题 1．（2023·陕西西安·校考二模）在下列条件中，能判定平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AB BC ⊥B ．AC BD = C ．AB BC = D ．AB AC =【答案】C【分析】根据菱形的判定定理，即可进行解答．【详解】解：A 、若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 为矩形；不符合题意；B 、若AC BD =，则平行四边形ABCD 为正方形；不符合题意； C 、若AB BC =，则平行四边形ABCD 为菱形；符合题意；D 、若AB BC =，则平行四边形不是特殊的平行四边形；不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，解题的关键是掌握有一组另邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A ．点O 为ABCD Y 的对称中心C ．::ABE BDF S S AE ED =△△【答案】B 【分析】由作图知，EF 是线段BD 的垂直平分线，利用平行四边形的性质可判断选项A ；根据菱形的判定定理可判断选项C ；根据菱形的性质得到BDF BDE S S =△△，可判断选项D ；BE 不一定平分ABD ∠，选项B 不正确．【详解】解：由作图知，EF 是线段BD 的垂直平分线，即点O 为ABCD Y 的对称中心，故选项A 正确，不符合题意；∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE BF ∥，∴DEF BFE ∠=∠，∵EF 是线段BD 的垂直平分线，∴BE ED =，BF FD =，BFE EFD ∠=∠，∴DEF EFD ∠=∠，∴DE DF =，∴DE DF BE BF ===，∴四边形BEDF 为菱形，故选项D 正确，不符合题意；∴BDF BDE S S =△△，∴:::ABE BDF ABE BDE S S S S AE ED ==△△△△，故选项C 正确，不符合题意；BE 不一定平分ABD ∠，故选项B 不正确，符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 3．（2023·陕西西安·校考一模）在平行四边形ABCD 中，添加下列条件，能判定平行四边形ABCD 是菱形的是( )A ．AB AD =B ．AC BD = C ．90ABC ∠= D ．AB CD =【答案】A【分析】根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可求得答案．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，又AB AD =， ∴平行四边形ABCD 是菱形，故选：A ．【点睛】本题考查菱形的判定，熟记菱形的判定是解题的关键． 4．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）春节期间，某广场布置了一个菱形花坛，两条对角线长分别为2310m ⨯和2410m ⨯，其面积用科学记数法表示为( )A ．42610m ⨯B ．421.210m ⨯C ．521.210m ⨯D ．22610m ⨯【答案】A 【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算，或者利用菱形对角线垂直的性质进行面积求解，最后化为科学记数法的形式即可．【详解】菱形的对角线相互垂直()2222ABD CBD ABCD BD AO OC BD AO BD CO BD AC S S S ⨯+⨯⨯⨯=+=+==四边形∴菱形的面积=对角线成绩的一半=224131********⨯⨯⨯⨯=⨯2m 【点睛】本题考查用对角线计算菱形的面积及科学记数法，也可以利用对角线垂直的性质进行面积的计算，注意所有对角线垂直的四边形面积均等于对角线乘积的一半．正确的使用公式和理解科学记数法的写法是解题的关键． 5．（2023·陕西西安·西安市铁一中学校考模拟预测）在下列条件中，能够判定ABCD Y 为菱形的是（ ）A ．AB AC =B ．AC BD ⊥ C ．90A ∠=︒ D ．AC BD = 【答案】B【分析】由菱形的判定和矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】解：A 、由AB AC =，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；B 、由AC BD ⊥，能判定ABCD Y 为菱形，故选项符合题意；C 、由90A ∠=︒，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；D 、由AC BD =，能判定ABCD Y 为矩形，不能判定ABCD Y 为菱形，故选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．二、填空题【答案】2【分析】由菱形的性质可得OA OD 、的长，则可求得AD 的长，再由三角形中位线定理即可求得结果．【详解】解：在菱形ABCD 中，114322OA AC OD OB BD =====、，AC BD ⊥，由勾股定理得：5AD ，∵H是AB的中点，∴OH是ABD△的中位线，∴1522 OH AD==，故答案为：5 2．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟悉这些性质与定理是解题的关键．7．（2023·宁夏石嘴山·统考一模）如图，是小明作线段AB的垂直平分线的作法及作图痕迹，则四边形ADBC一定是______________．【答案】菱形【分析】根据作图方法可知AC BC AD BD===，再根据四条边相等的四边形是菱形即可得到答案．【详解】解：由作图方法可知，AC BC AD BD===，∴四边形ABCD是菱形，故答案为：菱形．【点睛】本题主要考查了菱形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，熟知菱形的判定条件是解题的关键．8．（2023·广东广州·广州市育才中学校考一模）菱形的两个内角的度数比是1：3，一边上的高长是4，则菱形的面积是__________．【答案】【分析】根据菱形相邻的两个角度之比求出对应的角度，利用等腰直角三角形的性质求出菱形的边长，然后用菱形面积公式计算即可．【详解】如左图所示，∵菱形对角相等，互补，且两个内角的度数比是1：3，118045,1804513513A C B D ∴∠=∠=⨯︒=︒∠=∠=︒−︒=︒+，如图1所示，过点D 作BC 边上的高交BC 于点H ，则4DH =，90DHC ∠=︒，45C ∠=︒，∴△CDH 是等腰直角三角形，4CH DH ∴==，CD ∴=∵菱形四条边都相等，BC CD ∴==4ABCD S BC DH =⋅==菱如图2，当过点A 作CD 边上的高交CD 于点H ，同理可证△ADH 为等腰直角三角形，可求得CD AD ==4ABCD S CD AH =⋅==菱故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键在于求出菱形的边长． 9．（2023春·四川成都·九年级成都嘉祥外国语学校校考阶段练习）如图，在ABCD Y 中，尺规作图：以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧交AD 于点F ，分别以点B ，F 为圆心，以大于BF 的长为半径画弧交于点P ，作射线AP 交BC 与点E ，若12BF =，10AB =，则AE AB +的值为________．【答案】26【分析】证明四边形ABEF 是菱形，利用勾股定理求出OA 即可解决问题．【详解】解：由题意可知：AB AF =，AE BF ⊥，OB OF ∴=，BAE EAF ∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，EAF AEB ∴∠=∠，BAE AEB ∴∠=∠，AB BE AF \==，AF BE ∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，AB AF =，∴四边形ABEF 是菱形，OA OE ∴=，162OB OF BF ===，在Rt AOB △中，8OA ，216AE OA ∴==，26AE AB ∴+=．故答案为：26．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形ABEF 是菱形．【答案】8【分析】如图所示，连接EF ，设AE BF 、交于O ，由作图方法可知，AE 是线段BF 的垂直平分线，则BE FE =，OB OF =，证明OAF OEB △≌△，得到AF BE =，进而证明四边形ABEF 是菱形，则13902OB BF AE OA AOB ====︒，，∠ ，由勾股定理得4OA ==，则28AE OA ==．【详解】解：如图所示，连接EF ，设AE BF 、交于O ，由作图方法可知，AE 是线段BF 的垂直平分线，∴BE FE =，OB OF =，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，∴OAF OEB OFA OBE ==∠∠，∠∠，∴()AAS OAF OEB △≌△，∴AF BE =，∴AF AB EF BE ===，∴四边形ABEF 是菱形，∴13902OB BF AE OA AOB ====︒，，∠ ，在Rt ABO △中，由勾股定理得4OA ==，∴28AE OA ==，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质和尺规作图，证明四边形ABEF 是菱形是解题的关键． 11．（2023春·四川成都·九年级专题练习）如图，在ABC 中，AB AC =，分别以C 、B 为圆心，取AB 的长为半径作弧，两弧交于点D ．连接BD 、AD ．若130ABD ∠=︒，则CAD ∠=__________．【答案】25︒/25度【分析】由题意和作法可知：AB AC BD CD ===，可得四边形ABDC 是菱形，再根据菱形及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】解：如图：连接CD ，由题意和作法可知：AB AC BD CD ===，∴四边形ABDC 是菱形，)()11180180130252BAD ABD ∠︒−∠=︒−︒=︒，25CAD BAD ∴∠=∠=︒，故答案为：25︒．【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，证得四边形ABDC 是菱形是解决本题的关键．12．（2023·甘肃陇南·校考一模）如图，在平行四边形ABCD 中，2AB BC ==，60BAD ∠=︒，点M 为CD 的中点，连接AM BE AM ⊥，于点E ，则BE 的长为 ___________．【答案】【分析】连接BD BM ，，由题意可得△BCD 是等边三角形，BM CD ⊥，利用勾股定理分别求出BM AM 、，再由等积法求BE 的长即可．【详解】解：连接BD BM ，，∵四边形ABCD 是平行四边形，2AB BC ==，∴四边形ABCD 是菱形，∴2AB BC CD DA ====，CD AB ∥∵60BAD ∠=︒，∴60C ∠=︒，∴BCD △是等边三角形，∵M 是CD 的中点，∴BM CD ⊥， ∴112CM DM CD ===，AB BM ⊥，∵21BC CM ==，，∴BM =在Rt ABM 中，AM ===∵BE AM ⊥，∴AB BM BE AM ⋅==，故答案为：．【点睛】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定及性质，等边三角形的性质，勾股定理，等积法是解题的关键． 13．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，▱ABCD 中，AB AD =，点E 是AB 上一点，连接CE 、DE ，且BC CE =，若40BCE ∠=︒，则ADE ∠=______．【答案】15︒/15度【分析】首先证明四边形ABCD 是菱形，然后根据等腰三角形的性质可得()118040702CEB B ∠=∠=︒−︒=︒，利用三角形内角和定理即可解决问题．【详解】解：在▱ABCD 中，AB AD =， ∴四边形ABCD 是菱形，AB AD BC CD ∴===，//AB CD ，BC CE =，CD CE ∴=，CED CDE ∴∠=∠，40BCE ∠=︒，()118040702CEB B ∴∠=∠=︒−︒=︒，70ADC B ∴∠=∠=︒，70ECD BEC ∠=∠=︒，()118070552CDE CED ∴∠=∠=︒−︒=︒，705515ADE ∴∠=︒−︒=︒．故答案为：15︒．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定与性质．三、解答题 14．（2023·陕西榆林·统考二模）如图，在ABC 中，BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ．请利用尺规分别在AB 、AC 上求作点E 、F ，使得四边形AEDF 是菱形．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】见解析【分析】作AD 的垂直平分线交,AC AB 于点,E F ，则点,E F 即为所求．【详解】解：如图所示，作AD 的垂直平分线交,AC AB 于点,E F ，则点,E F 即为所求理由如下，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴,==EA ED FA FD ，∴EAD EDA ∠=∠，∵BAC ∠的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠∠E A D F A D =，∴EDA FAD ∠=∠，∴AF DE ∥，同理可得AE DF ∥，∴四边形AEDF 是平行四边形，∵EA ED =，∴四边形AEDF 是菱形．【点睛】本题考查了作垂直平分线，角平分线的定义，菱形的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键． (1)求证：ABC ADC ≅．(2)若EO CO =，试判断四边形【答案】(1)见解析(2)四边形BCDE 是菱形，理由见解析【分析】(1)根据SSS 定理推出即可；(2)先判断AC 为BD 的垂直平分线得到AC BD OB OD ⊥=，，再由EO CO =，可判断四边形BCDE 为平行四边形，然后利用AC BD ⊥可判断四边形BCDE 是菱形．【详解】（1）在ABC 与ADC △中，AB AD BC DCAC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()ΑSSS BC ADC ≅．（2）四边形BCDE 是菱形，理由如下：∵AB AD CB CD ==，，∴AC 垂直平分BD ，即AC BD ⊥且BO DO =．∵EO CO =，∴四边形BCDE 是平行四边形．∵AC BD ⊥，∴四边形BCDE 是菱形．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，线段的垂直平分线的判定和性质及菱形的判定，解题的关键是了解菱形的判定方法，难度不大． 九年级专题练习）如图，在ABC 中，上的中点，将ABC 绕着点 【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据旋转的性质可得,AC BD AD BC ==，从而得到AC BD AD BC ===，即可求证；（2）过点A 作AE BC ⊥于点E ，先证明ABC 是等边三角形，可得112BE BC ==，2AB BC ==，再由勾股定理可得AE【详解】（1）证明：∵将ABC 绕着点O 旋转180︒得ABD △，∴,AC BD AD BC ==，∵AC BC =，∴AC BD AD BC ===，∴四边形AECD 是菱形；（2）解：如图，过点A 作AE BC ⊥于点E ，∵60,2B BC AC ∠=︒==，∴ABC 是等边三角形， ∴112BE BC ==，2AB BC ==，∴AE∴菱形AECD 的面积为AE BC ⨯=【点睛】等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键． 17．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，ABC 的顶点和点O 均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画出DEF ，使DEF 和ABC 关于点O 对称（点A 、B 、C 的关于点O 的对称点分别为点D 、E 、F ）；(2)在方格纸中画出以线段EF 为一边的菱形EFMN ，且菱形EFMN 的面积为3，连接CN ．请直接写出线段CN 的长．【答案】(1)见解析(2)图见解析；CN =【分析】（1）作出点A 、B 、C 关于点O 的对称点D 、E 、F ，顺次连接即可得出DEF ；（2）找出格点M 、N ，连接MF 、MN 、NE ，即可得出菱形EFMN ，求出线段CN 的长即可．【详解】（1）解：如图，作出点A 、B 、C 关于点O 的对称点D 、E 、F ，顺次连接，则DEF 即为所求．（2）解：如图，找出格点M 、N ，连接MF 、MN 、NE 、CN ，则菱形EFMN 即为所求作的菱形；根据格点特点可知，EF MF MN EN ===，∴四边形EFMN 为菱形，1334211132EFMN S =⨯−⨯⨯⨯−−=菱形，CN【点睛】本题主要考查了作中心对称图形，菱形的判断，勾股定理，解题的关键是数形结合，熟练掌握方格纸的特点．【答案】见解析【分析】先利用ABD BDC ∠=∠，证明AB DC ，进而证明四边形ABCD 为平行四边形，再有勾股定理逆定理证明AOB 为直角三角形，得到AC BD ⊥，则问题可证．【详解】证明：∵ABD BDC ∠=∠，∴AB DC ，∵AB CD =∴四边形ABCD 为平行四边形，∵AB CD =2OA =，1OB =，∴22222221OA OB AB +=+==，∴AOB 为直角三角形，即AC BD ⊥，∴四边形ABCD 是菱形．【点睛】本题考查了菱形的判定和勾股定理逆定理，解答关键是熟练掌握菱形的判定方法． (1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若1BE =，4EC =，求EF 【答案】(1)见解析(2)EF 的长为【分析】（1）由D 是AC 的中点，可得AD CD =，由DF DE =，可证四边形AECF 是平行四边形，由DE AC ⊥，可证平行四边形AECF 是菱形；（2）由题意知4AE CE ==，在Rt ABE △中，由勾股定理，得AB =，计算求AB 的值，在Rt ABC△中，由勾股定理，得AC =AC 的值，根据12AECF S EF AC AB EC =⋅=⋅菱形，计算求解即可．【详解】（1）证明：∵D 是AC 的中点，∴AD CD =，∵DF DE =，∴四边形AECF 是平行四边形，又∵DE AC ⊥，∴平行四边形AECF 是菱形；（2）解：∵1BE =，4EC =，四边形AECF 是菱形，∴4AE CE ==，∴在Rt ABE △中，由勾股定理，得AB =∴在Rt ABC △中，由勾股定理，得AC = ∵12AECF S EF AC AB EC =⋅=⋅菱形，∴EF =∴EF 的长为【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 20．（2023春·辽宁本溪·九年级统考开学考试）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点O 作AC 的垂线，与AD ，BC 分别相文于点E ，F ，连接EC ，AF ．(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若4=EC ED ，DOE 的面积是2，求ABCD Y 的面积．【答案】(1)见解析(2)40【分析】（1）由平行四边形的性质得到OA OC =，AD BC ∥，进一步证明()AAS AOE COF △≌△，则AE CF =，即可证明四边形AECF 是平行四边形，由EF AC ⊥即可得到结论；（2）由菱形的性质得到AE CE =，进一步得到4AE EC ED ==，则48==AOE DOE S S △△，即可得到10=+=AOD AOE DOE S S S △△△，由平行四边形的性质即可得到ABCD Y 的面积．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴OA OC =，AD BC ∥，∴DAC ACF ∠=∠，AEF EFC ∠=∠，∴()AAS AOE COF △≌△，∴AE CF =，∵AE CF ∥，∴四边形AECF 是平行四边形，∵EF AC ⊥，∴四边形AECF 是菱形；（2）解：∵四边形AECF 是菱形，∴AE CE =，∵4=EC ED ，∴4AE EC ED ==，∴48==AOE DOE S S △△，∴10=+=AOD AOE DOE S S S △△△，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 与BD 互相平分，∴AOD COD BOC AOB S S S S ===△△△△， ∴4=ABCD AOD S S △， ∴40=ABCDS 答：ABCD Y 的面积为40．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关判定和性质是关键． 21．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在四边形ABCD 中，AB CD =，过A 作AE BD ⊥交BD 于点E ，过C 作CF BD ⊥交BD 于F ，且AE CF =．请你在不添加辅助线的情况下，添一个条件______，使得四边形ABCD 是菱形，并说明理由．【答案】答案不唯一，见解析【分析】添加条件AB AD =，根据HL 证明Rt Rt ABE CDF ≌△△，从而得到ABE CDF ∠=∠，再根据平等线的判断得到AB CD =，从而得到结论．【详解】解：AB AD =．理由：∵AE BD ⊥，CF BD ⊥，∴90AEB CFD ∠=∠=︒，在Rt ABE △和Rt CDF △中，AB CD AE CF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABE CDF ≌△△，∴ABE CDF ∠=∠，∴AB CD ∥，∵AB CD =，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵AB AD =，∴四边形ABCD 是菱形．（注：答案不唯一）【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判定和菱形的判定是解题的关键． 的交点．若将BED 沿直线 (1)求证：四边形BEDF 是菱形；(2)若::1:3:22AE DE AB =【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由平行四边形的性质可得DE BF ∥，则EDB FBD ∠=∠，由折叠的性质可得DE DF =，EDB FDB ∠=∠，则FBD FDB ∠=∠，BF DF DE ==，进而结论得证；（2）设AE a =，则3DE a =，AB =，3BE a =，4AD a =，由()()222293a a a +==，即222AE AB BE +=，可得ABE 是直角三角形，且90BAE ∠=︒，则四边形ABCD 是矩形，由平行四边形ABCD的面积为可得AD AB ⨯=即4a ⨯=解得22a =，根据2BEDF BD EF S DE AB ⋅=⋅=菱形 ，计算求解即可得EF BD ⋅的值．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE BF ∥，∴EDB FBD ∠=∠，。

(完整版)菱形知识点及经典题-推荐文档

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菱形【知识梳理】1.定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形: 一组邻边相等）2.性质: （1）边: 四条边都相等；（2）角: 对角相等、邻角互补；（3）对角线: 对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形.3.菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形4.识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.（2）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD的四条相等.5、面积:设菱形ABCD的一边长为a, 高为h, 则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b, 则S菱形=ab【经典题】一、选择题1.(201.广东省珠海市.边长为3 cm的菱形的周长是.. )A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.15 cm3.(201.贵州省毕节地区.如图所示, 菱形ABCD 中, 对角线AC.BD 相交于点O, H 为AD 边的中点, 菱形ABCD 的周长为28, 则OH 的长等于. ）A.3.5B.4C.7D.14B C（第8题图）4.(201.湖南省长沙市.如图, 已知菱形ABCD 的边长等于2, ∠DAB=60°,则对角线BD 的长....)A. 1B.C. 2D. 25.(201.江苏省徐州市.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形, 则该四边形一定是矩形 B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.(201.山东省枣庄市.如图, 菱形ABCD的边长为4, 过点A.C作对角线AC的垂线, 分别交CB和AD的延长线于点E, F,AE=3, 则四边形AECF的周长为.. ）A. 22B. 18C. 14D. 117.(201.浙江省宁波市.菱形的两条对角线长分别是6和8, 则此菱形的边长...... .. ）A.1.......B........C.......D.58.(201.黑龙江省农垦牡丹江管理局.如图, 在菱形ABCD中, E是AB边上一点, 且∠A=∠EDF=60°, 有下列结论: ①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF, 其中结论正确的个数是（）A. 3B. 4C. 1D. 29.(201.上海市.如图, 已知AC.BD是菱形ABCD的对角线, 那么下列结论一定正确的是.. ）.(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的周长相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍.10.(201.浙江省台州市.如图, 菱形ABCD的对角线AC=4cm, 把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH, 则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A．4：3 B．3：2 C．14: 9 D．17: 9二、填空题11.(201.吉林省长春市.如图, 在边长为3的菱形ABCD中, 点E在边CD上, 点F为BE延长线与AD延长线的交点. 若DE=1, 则DF的长为.. .12.(201.福建省莆田市.如图, 菱形ABCD的边长为4, ∠BAD=120°, 点E是AB的中点, 点F是AC上的一动点, 则EF+BF的最小值是2 ．13.(201.甘肃省陇南市.如图, 四边形ABCD是菱形, O是两条对角线的交点, 过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和8时, 则阴影部分的面积为12.14.(201.甘肃省兰州市.如果菱形的两条对角线的长为a 和b, 且a, b 满足（a ﹣1）2+=0, 那么菱形的面积等于 _________ .15.(201.湖北省十堰市.如图, 在△ABC 中, 点D 是BC 的中点, 点E 、F 分别在线段AD 及其延长线上, 且DE=DF, 给出下列条件: ①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB=AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形, 你认为这个条件.... （只填写序号）DAB C F E16.(201.江苏省宿迁市.如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 若菱形ABCD 的顶点A, B 的坐标分别为(－3, 0), (2,0), 点D 在y 轴上, 则点C 的坐标......17.(201.辽宁省大连市.如图, 菱形ABCD 中, AC.BD 相交于点O, 若∠BCO=55°, 则∠ADO=. .18.(201.四川省宜宾市.菱形的周长为20cm, 两个相邻的内角的度数之比为l ∶2, 则较长的对角线长度是cm.19.(201.四川省凉山州.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形... , 学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6m 和8m, 则这个花圃的面积......20.(201.四川省泸州市.一个平行四边形的一条边长为3, 两条对角线的长分别为4和, 则它的面积...... .21.(201.福建省漳州市.若菱形的周长为20cm, 则它的边长是 cm ．22.(201.重庆市A 卷.如图, 菱形ABCD 中, ∠A=60°, BD=7, 则菱形ABCD 的周长为________.CAB23.(201.辽宁省锦州市.菱形ABCD 的边长为2, ,E 是AD 边中点, 点P 是对角线BD 上的动点, 当AP+PE 的值最小时, PC 的长是__________.24.(201.山东省淄博市.已知□ABCD, 对角线AC, BD 相交于点O, 请你添加一个适当的条件, 使□ABCD 成为一个菱形. 你添加的条件........三、证明题25.(201.福建省厦门市.如图6, 在四边形ABCD.., AD ∥BC, AM ⊥BC, 垂足为M, AN ⊥DC, 垂足为N. 若∠BAD ＝∠BCD, AM ＝AN, 求证四边形ABCD 是菱形.B D(第15题图)图626.(201.贵州省贵阳市.如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, D.E 分别为AB, AC 边上的中点, 连接DE, 将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE, 连接AF, CD.（1）求证: 四边形ADCF 是菱形；（5分）（2）若BC =8, AC =6, 求四边形ABCF 的周长．（5分）27.(201.江苏省淮安市.如图, 在三角形ABC 中, AD 平分∠BAC, 将△ABC 折叠, 使点A 与点D 重合, 展开后折痕分别交AB.AC 于点E 、F, 连接DE 、DF.求证: 四边形AEDF 是菱形.28.(201.四川省乐山市.如图, 在△ABC 中, AB=AC, 四边形ADEF 是菱形, 求证: BE=CE.29.(201.湖南省张家界市.如图, 在四边形ABCD 中, AB ＝AD, CB ＝CD, AC 与BD 相交于O 点, OC=OA, 若E 是CD 上任意一点, 连结BE 交AC 于点F, 连结DF.（1）证明: △CBF ≌△CDF ；（2）若AC=2, BD=2,求四边形ABCD 的周长；（3）请你添加一个条件, 使得∠EFD ＝∠BAD, 并予以证明.第18题图 E D C A四、猜想、探究题30.(201.四川省攀枝花市.如图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1cm, 一只电子甲虫, 从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行, 当电子甲虫爬行2014cm时停下, 则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C。

第01讲 菱形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第01讲 菱形的性质与判定(知识解读+真题演练+课后巩固)(原卷版)

第1讲 菱形的性质与判定1. 理解菱形的概念；2. 探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3. 通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4. 通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。

知识点 1：菱形的性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

※菱形的性质：（1）具有平行四边形的性质（2）且四条边都相等（3）两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。

注意：菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

知识点2：菱形的面积菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半BD AC BD AC S S AOB Rt ABCD •=••⨯==∆2121212144菱形知识点3：菱形的判定※菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

四条边都相等的四边形是菱形。

【题型1菱形的概念和性质】【典例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知AC＝10cm，BD＝24cm，则△ABD的周长为（）A．30cm B．36cm C．50cm D．52cm【变式1-1】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，则∠A的度数为（）A．150°B．140°C．130°D．120°【变式1-2】在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中不一定正确的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．∠DAC＝∠BAC D．AC＝BD 【变式1-3】如图，菱形ABCO中的顶点O，A的坐标分别为（0，0），，点C在x轴的正半轴上，则点B的坐标为（）A．B．C．D．【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等B．两条对角线相等C．两条对角线互相垂直D．每一条对角线平分一组对角【变式2-1】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等B．菱形的对角线相等C．菱形是轴对称图形D．菱形的对角线互相垂直【变式2-2】（2022春•兰陵县期末）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH，∠CAD＝25°，则∠DHO的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【变式2-3】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16B．20C．24D．26【典例3-1】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24B．20C．16D．12【典例3-2】（2022•文山州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A．B．6C．8D．（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，【变式3-1】则这个菱形的面积是（）A．20cm2B．24cm2C．48cm2D．100cm2【变式3-2】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD 相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6B．8C．D．【题型2：菱形的判定】【典例4】依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形的是（）A．B．C．D．【变式4-1】在下列条件中，能够判定▱ABCD为菱形的是（）A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AC⊥BC D．AC＝BD【变式4-2】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，能判定四边形ABCD是菱形的是（）A．AB＝AD B．AC＝BD C．∠ABC＝90°D．AO＝BO【变式4-3】要检验一张四边形的纸片是否为菱形，下列方案中可行的是（）A．度量四个内角是否相等B．测量两条对角线是否相等C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．将这纸片分别沿两条对角线对折，看对角线两侧的部分是否每次都完全重合【典例5】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠F AC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【变式5-1】（2022秋•章丘区校级月考）已知：如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点F，E是AC的中点，过点A作AD∥BC，交FE的延长线于点D．（1）求证：四边形AFCD是平行四边形；（2）给△ABC添加一个条件，使得四边形AFCD是菱形．请证明你的结论．【变式5-2】（2022•天宁区校级一模）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O．且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．（1）求证：△AOE≌△COD；（2）若AB＝BC，求证：四边形AECD是菱形．【题型3：菱形的性质与判定综合】【典例6】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【变式6-1】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD ∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【变式6-2】（2022•新市区校级一模）如图，已知△ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E，过点A作AF∥BC交DE于点F，连接AE、CF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若，∠F AC＝30°，∠B＝45°，求AB的长．【变式6-3】（2022春•张家港市校级月考）如图，▱ABCD对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝OC，连接CE，OE，OE＝CD．（1）求证：▱ABCD是菱形；（2）若AB＝4，∠ABC＝60°，求AE的长．1．（2022•河南）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E 为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．12C．24D．48 2．（2022•湘西州）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D 作DH⊥AB于点H，连接OH，OH＝4，若菱形ABCD的面积为32，则CD的长为（）A．4B．4C．8D．8 3．（2022•淄博）如图，在边长为4的菱形ABCD中，E为AD边的中点，连接CE交对角线BD于点F．若∠DEF＝∠DFE，则这个菱形的面积为（）A．16B．6C．12D．30 4．（2022•甘肃）如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB ＝2cm，AC＝4cm，则BD的长为cm．5.（2022•北京）如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上，AE＝CF．（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；（2）若∠BAC＝∠DAC，求证：四边形EBFD是菱形．6．（2022•岳阳）如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，BC上，AE＝CF，连接DE，DF．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE＝DF；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD为菱形．（1）你添加的条件是（填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD为菱形．7．（2022•大连）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在AB，AD上，AE ＝AF．求证：CE＝CF．8．（2022•广元）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．9．（2022•凉山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD 的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．1．（2022•齐齐哈尔）如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是．（只需写出一个条件即可）2．（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2B．3C．4D．5 3．（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°4．（2022秋•南海区期中）如图，在菱形ABCD中，AC＝6cm，BD＝8cm，则菱形ABCD的周长是（）A．14cm B．16cm C．18cm D．20cm 5．（2021秋•建平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB的中点，且OE＝2，则菱形ABCD的周长为（）A．6B．8C．12D．16 6．（2022秋•碑林区校级期中）如图，已知菱形的两条对角线AC与BD长分别是12和16，则这个菱形的面积是（）A．192B．48C．96D．40 7．（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC 于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．20°9.（2022秋•浑南区期中）在下列条件中，能够判定四边形是菱形的是（）A．两条对角线相等B．两条对角线互相垂直平分C．两条对角线互相垂直D．两条对角线相等且互相垂直10.（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形11．（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC ＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．12.（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．13.（2022秋•海淀区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．（1）求证：四边形BDCE为菱形；（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．。

菱形的判定

菱形的判定

菱形的判定菱形的判定(1) 四条边相等的四边形是菱形；(2) 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；(3) 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；(2) 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

01基础题知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则可添加的条件是()A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD第1题图第2题图2．如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件中能够判定四边形ACED为菱形的是() A．AB＝BC B．AC＝BC C．∠B＝60° D．∠ACB＝60°3．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，求证：四边形AEDF是菱形．知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形4．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且满足AO＝CO，请你添加一个适当的条件(答案不唯一)，使四边形ABCD成为菱形．(只需添加一个即可)5．(2017·岳阳)求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．小红同学根据题意画出了图形，并写出了已知和求证的一部分，请你补全已知和求证，并写出证明过程．已知：如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥B D．知识点3 四条边相等的四边形是菱形 6．(2016·大庆)下列说法正确的是( )A ．对角线互相垂直的四边形是菱形B ．矩形的对角线互相垂直C ．一组对边平行的四边形是平行四边形D ．四边相等的四边形是菱形 7．(2017·宁夏)在△ABC 中，M 是AC 边上的一点，连接BM .将△ABC 沿AC 翻折，使点B 落在点D 处，当DM ∥AB 时，求证：四边形ABMD 是菱形．02 中档题 8．(2017·聊城)如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，还需要添加的条件是( )A ．AB ＝AC B ．AD ＝BD C ．BE ⊥AC D ．BE 平分∠ABC9．如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点C ，D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是( )A ．矩形B ．菱形C ．一般的四边形D ．平行四边形10．(2016·兰州)如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，CE ∥BD ，DE ∥AC ，AD ＝23，DE ＝2，则四边形OCED 的面积为( )A ．2 3B ．4C ．4 3D ．8 11．(2016·沈阳)如图，△ABC ≌△ABD ，点E 在边AB 上，CE ∥BD ，连接DE . 求证：12．(2016·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．03综合题13．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．一．选择题1．下列命题正确的是（）A．邻角相等的四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形2．下列命题中，正确的是（）A．有一个角是60°的平行四边形是菱形 B．有一组邻边相等的四边形是菱形C．有两边相等的平行四边形是菱形 D．四条边相等的四边形是菱形1．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中，不一定正确的是（）A．AB=CD B．AC=BDC．当AC⊥BD时，它是菱形 D．当∠ABC=90°时，它是矩形2．下列命题不正确的是（）A．对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形;B．两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形;C．两组对角分别相等且一组邻边相等的四边形是菱形;D．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形.二．填空题1．在平行四边形ABCD中，若一条对角线平分一个内角，则四边形ABCD为______形．2．如图所示，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠部分的四边形ABCD是______形．3．（方案设计题）小华为班级设计了一个班徽，图中有一菱形，为了检验小华所画的菱形是否准确，请你以带有刻度的三角尺为工具，帮小华设计一个检验的方案．4．在四边形ABCD中，已知AB∥CD，AD∥BC，请添加一个条件，使四边形ABCD是菱形，所添加的条件是_________．三．解答题1.如图,已知平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E.求证:四边形AFCE是菱形.2.如图所示，O 是矩形对角线交点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于E ，•F ，•若AB=2cm ，BC=4cm ，求四边形AECF 的面积．3.如图所示，已知AD 是△ABC 的角平分线，DE ∥AC 交AB 于点E ，DF ∥AB•交AC 于点F ，求证：AD ⊥EF ．4.（2017安顺）已知：如图11所示，在ABC △中，AB AC D E F =，，， 分别是AB BC AC ，，边上的中点． （1）求证：四边形ADEF 是菱形 （2）若24AB =，求菱形ADEF 的周长．A D FB E C图115.如图所示，矩形 ABCD的对角线AC的垂直平分线EF与AD，BC，AC•分别交于点E，F，O，连接AF，EC，则四边形AFCE是菱形吗？为什么？6．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于点E，DF•∥AB•交AC于点F，试说明四边形AEDF是菱形．7．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AP∥BD，DP∥AC，AP、DP相交于点P，则四边形AODP是什么样的特殊四边形，并说明你的理由．8.如图所示，过ABCD的对角线的交点O作互相垂直的两条直线EG，FH，•与平行四边形各边分别交于E，F，G，H，求证：四边形EFGH是菱形．7..如图,在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，DE垂直平分BC，垂足为D，交AB于点E.又点F在DE的延长线上，且AF=CE.求证：四边形ACEF是菱形.8.如图,在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由.9．如图所示，在矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB ，•CD 的延长线分别交于E ，F ． （1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）当EF 与AC 满足什么条件时，四边形AECF 是菱形，并证明你的结论．10.如图,已知过平行四边形ABCD 的对角线交点O 作互相垂直的两条直线EG 、FH 与平行四边形ABCD 各边分别相交于点E 、F 、G 、H.求证：四边形EFGH 是菱形.11.（2017青岛）将平行四边形纸片ABCD 按如图方式折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D ′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE ≌△AD ′F ；（2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形？证明你的结论．A B C DE F D ′12．在如图中，若△ADE≌△CBF，点E、F分别为AB、CD的中点，BD是对角线AG//DB交CB的延长线于G。

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姓名
1如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 平分∠BAD ，CE ∥AD 交AB 于点E ．求证：四边形AECD 是菱形．
2、如图，在□ABCD 中，EF ∥BD ，分别交BC 、CD 于点P 、Q ，分别交AB 、AD 的延长线于点E 、F ．已知BE=BP ． 求证：（1）∠E=∠F ．
（2）□ABCD 是菱形．
3. 如图，在平行四边形ABCD 中，BE 平分ABC ∠交AD 于点E ，DF 平分∠ADC 交
BC 于点F .
求证：（1）ABE CDF △≌；
（2）若BD EF ⊥，则判断四边形EBFD 是什么特殊四边形，请证明你的结论.
A B C D E F D
E C
A
B
D
C
B
A
O
E
4. 如图，在△ABC 中，D 是BC 边的中点，E 、F 分别在AD 及其延长线上，CE ∥BF ，连接BE 、CF ．
（1）求证：△BDF ≌△CDE ；
（2）若AB ＝AC ，求证：四边形BFCE 是菱形．
5. 如图，O 为矩形ABCD 对角线的交点，DE ∥AC ，CE ∥BD ．
（1）试判断四边形OCED 的形状，并说明理由； （2）若AB =6，BC =8，求四边形OCED 的面积．
6.如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为点E 、
F ，且PE =PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？
F
D E A
C
P
B。

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