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法一（数形结合）：（利用 a2 b2 的几何意义）
设直线上动点 a,b到坐标原点距离的平方 d 2 ，
d2

a2
b2



x2 x2 1
2

x
x4 2
1
，令
t

x2
1, t
1,2，
则
x4 x2 1

t
12
t
t
12 t
0 当且仅当 t
1即 x
所以 则
kMN
=
-1 2
，
kAB = 2.
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7.3.5 换元简化寻零点
【例题】（新课标 II 卷理科 21）：已知函数 f (x) ex ax2 ，若 f (x) 在 (0,) 只有一 个零点，求 a 的值。
【解题分析】函数 f (x) ex ax2 由基本初等函数 y ex 和 y x2 复合而成，一阶求导后
x2 ax b(x [0,1]有根，
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若使得 ab 最大，需考虑 a, b 同号，则必有 a 0 先将 b 看成常量，当动直线 y ax b 经过点 (1,1) 时，此时 a 最小，而 ab 最大。
ab (1 b)b (b 1 )2 1 1 (a b 1 取等)
2
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令x t， 2
转化为研究函数
(t) et b,b 2 a ,t (0,) 。 t
则 ' (t )

et
(1 t2
t)
，
(t )
在
(0,1)
上单调递增，在上单调递减，
要使函数 (t) 在 (0,) 上有且仅有一个零点，
则
(1) 0 b e a e2 4
负半轴的交点，过 A 作 C 的弦 AB ，记线段 AB 的中点为 M ，若 OA OM ，则直
线 AB 的斜率为
。
【解题分析】
设圆与 x 轴另一交点为 N ， 由 OA ON OM ，知
AMN 为直角三角形，
所以
AB MN ，
所以 MN 必经过 C 点，因为 C(0,1) ， N (2, 0) ，
2 44
2
【提分训练 1】已知二次函数 f (x) ax2 (2b 1)x a 2 在区间[3, 4] 上至少有一个
零点，则 a2 b2 的最小值为
．
【提分训练 2】已知函数 f x x2 ax b a,b R ，若存在非零实数 t ，使得
f
t
【解题分析】如图，
由 OC BC 知 BOC OBC ，
则
AOD 2BOC ，
而
AOD BOC ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ， 2
则
BOC ， 6
所以
BOx ， 3
根据对称性知，直线 l 的斜率为 3 。
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【例题 2】在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C : x2 ( y 1)2 5 ， A 为 C 与 x 轴
导函数 f '(x) ex 2ax 的零点较难求解，故需要对函数实施变形。
策略一：函数 f (x) ex ax2 在 (0,) 上零点情况等价于函数 g(x) 1 ax2ex 在 (0,)
上零点情况；
由导函数
g'(x)

ax(x ex
2)
知，函数
g(x)
在
(0,2)
∴ (2n 2)an2 (4n 4)an1 (2n 2)an an1 2an an1 0(n 2)
∴ (2n 2)[an2 2an1 an ] an1 2an an1 (n 2)
∵ a2 6
故{an }是等差数列
∴可得 a1 2, a3 10 ∴ a3 2a2 a1 0 ∴ an2 2an1 an 0
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（1）若数列{an } 是等差数列，求数列{an } 的通项公式；
（2）设 a2 6 ，求证：数列{an }是等差数列.
【解题分析】
（1）利用前几项，由
2S1 2S 2

a2

1 2
2a3
a1
1 2
a2
1
1
解得
a1

2, d

4 ，但要再证明原式成立
（2）∵ 2Sn
（若 (1)

0即b

e 时，易知(b)

eb
b

0 且(1)

1
b(e b
1)

0 故舍去）。
b
b
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8.8.等差等比证明（多次减交叉比）
【例题 1】设数列{an }的前 n 项和为 Sn ，且 Sn1
Sn

(n 1)an1

1 2
a
n
1 ，n N * .

na n 1

1 2
an
1①
∴ 2S n1

(n
1)an

1 2
a n 1
1②
①—②得
2nan1 (2n 3)an an1 0(n 2)
两式相减得
∴ (2n 2)an2 (2n 5)an1 an 0(n 1) (2n 2)an2 (4n 5)an1 (2n 4)an an1 0(n 2)
f
1 t

2 ，则 a2

4b2
的最小值为
．
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3.5 齐次化求最值
【例题
1】已知
x,
y

0,
x

2
y

1,
(
x2
y2 xy

x
)min
=
.
【解题分析】
x2 y2 x x2 y2 x(x 2y) 2x y 2 2 2 2 ，
上单调递减，在
(2,)
上单调递增，
若 g(2)
1
4a e2

0即a

e2 4
时，
而 则 故只能
1
g
(
1 a
)

1

a
1
ea
0，
ex

x
x e3

x
ex

x3
，
3
27
g
(27a)

1

a27a2
e27a

1
272 a3 (27a)3
0，
27
g(2) 0 a e2 。 4
策略二：函数
f
(x)

ex

ax 2
在 (0,)
上零点情况等价于函数 h(x)

ex x2

a
在 (0,) 上
零点情况；
策略三：在策略二的基础上进一步简化，将方程 ex ax2 0, x (0,) 的根等价于方程
通过换元，
x
e2 2
a x 0, x (0,) ，
0 时取得等号。
法二（消元）：
a2 b2 a2 (ax x2 )2 (x2 1)a2 2x3a x4 看作关于 a 的一元二次函数，
则
a2
b2
a2
(ax x2 )2
(x2 1)a2 2x3a x4 =
x2 1 a
x3 x2
1
2

x4
，
x2 1
故
a2
b2

x4
下同法一。
x2 1
②法一（消元）： x 0,1, ab a ax x2 x a x 2 x3 x3 1 ， 2 4 4 4
当且仅当
x
1时， abmax

1 4
。
法二（数形结合）：函数 f (x) x2 ax b(a, b R) 在区间 [0,1] 上有零点等价于方程

c
5a 4b

b 4a

1 2


c
5 2
1

，
ac c c 5 b ab 2 c 2
5 2
c

c
5 2

5

c
2
2

c
1
2

1

10
5，
当且仅当 c 2 2 取等号。
【提分训练
1】若 a, b

0,
1 (2a b)b
xy
xy
yx
当且仅当
y x 2
2x y 1
即

x y
2 4
2 7
7
1 2
取等号。
【例题
2】若
a, b

0,
a

b

2, c

2
，则
ac b

c ab

c 2

c
5 2
的最大值为
.
【解题分析】
考虑到 原不等式转化为：
(a b)2 ac c c( a 1 ) c[ a 4 ] b ab b ab b ab
1.1.1 有零点问题：
高考高分秘籍 第一章 函数
1.1 二次函数零点问题