多项式的因式分解复习学案
因式分解学案用完全平方公式分解学案
因式分解学案：用完全平方公式进行因式分解学案导语因式分解是数学中的重要内容之一，它有助于我们研究多项式的性质和解决实际问题。
在因式分解中，完全平方公式是一项非常有用的工具。
本学案将重点介绍如何使用完全平方公式进行因式分解，并结合一些实际例子来帮助学生更好地理解和掌握。
一、什么是完全平方公式完全平方公式是一种用于因式分解的工具，它能够将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积。
完全平方公式的一般形式为：$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$其中，$a$和$b$为任意实数。
二、应用完全平方公式进行因式分解的步骤使用完全平方公式进行因式分解的步骤如下：1. 首先，观察多项式是否符合完全平方公式的形式。
即判断多项式中是否存在两个项的和的平方。
2. 如果存在两个项的和的平方，将多项式化简为完全平方形式。
3. 将多项式因式分解为两个完全平方的乘积。
下面通过具体的例子来详细说明应用完全平方公式进行因式分解的步骤。
例子1：将多项式$x^2+6x+9$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2+6x+9$可以化简为$(x+3)^2$。
因此，多项式$x^2+6x+9$的因式分解为$(x+3)(x+3)$。
例子2：将多项式$x^2-10x+25$进行因式分解。
解：观察多项式，我们发现其中的三项的和构成了一个完全平方。
$x^2-10x+25$可以化简为$(x-5)^2$。
因此，多项式$x^2-10x+25$的因式分解为$(x-5)(x-5)$。
通过以上两个例子，我们可以发现，完全平方公式能够帮助我们将一个二次多项式分解为两个完全平方的乘积，从而简化计算和分析的过程。
三、完全平方公式在实际问题中的应用完全平方公式不仅仅是一种数学工具，它也有着广泛的应用。
下面通过一个实际问题来展示完全平方公式的应用。
问题：一块长方形的草坪，长为$x+5$米，宽为$x$米。
假设整个草坪是用来修剪的，修剪时只修剪草坪周边的一段宽度为$x$米的土地。
江苏省镇江市丹徒区辛丰中学七年级数学下册第九章 多项式的因式分解 复习学案(无答案)
课题：.9.5多项式的因式分解复习【学习目标】能利用提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法进行因式分解。
【重点难点】重点：能利用提取公因式法、公式法进行因式分解。
难点：能利用十字相乘法、分组分解法进行因式分解。
【知识梳理】1.ab+ac+ad=a( )2.)(22b a b a +=-（ ）3.=+±222b ab a （ ）24.=+++ab x b a x )(2（ ）( )【基础练习】1.在下列等式中，属于因式分解的是 （ ）A ．29)3)(3(x x x -=+-B ．a 2－2ab ＋b 2＋1=(a －b) 2＋1C ．232236xy xy y x ⋅=D ．－4a 2＋9b 2＝(－2a ＋3b)(2a ＋3b)2. 下列分解因式正确的是 （ ）A ．3x 2-6x=x （3x-6）B ．4x 2-2xy+y 2=（2x-y ）2C ．4x 2-y 2=（4x+y ）（4x-y ）D ．-a 2+b 2=（b+a ）（b-a ）3. 下列多项式能用平方差公式分解因式的是（ ）A ．4x 2+y 2B ．-4x 2-y 2C ．-4x 2+y 2D ．-4x+y 24.直接写出因式分解的结果：（1）ab a 622-= ； （2）924x -= 。
（3）2961a a -+=； （4）2xy －x 2－y 2 = 。
（5）t 2－2t －3= ； （6）1+m+n+mn= 。
5.若x-y=5,xy=6，则x 2y-xy 2=_____ ___。
6.若2294y axy x ++是一个完全平方式，则a= ．【例题教学】例 1 因式分解：（1）14-a （2）2464x -（3）2(3)(3)aa a -+- （4）1222+-+n m m例 2 （1）若0)12()1(22=-++y x ，则x= ,y= 。
（2）若01044622=+-++y y x x ，则x= ,y= 。
《3.1多项式的因式分解》作业设计方案-初中数学湘教版12七年级下册
《多项式的因式分解》作业设计方案（第一课时）一、作业目标通过本次作业，学生应掌握多项式因式分解的基本概念和常用方法，能够熟练运用因式分解法将多项式化为几个因式的乘积形式，并理解因式分解在解决实际问题中的应用。
二、作业内容（一）复习巩固1. 回顾之前学过的整式、单项式、多项式等基本概念。
2. 复习因式分解的基本概念和意义。
（二）知识学习1. 学习多项式因式分解的定义和常用方法，如提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等。
2. 掌握因式分解的步骤和注意事项，理解因式分解的实质是将一个多项式转化为几个整式的乘积。
（三）实践操作1. 完成课本上的因式分解练习题，包括基本题型和变式题型。
2. 尝试将实际生活中的问题转化为多项式因式分解的问题，并解决这些问题。
三、作业要求1. 学生应认真完成作业，按照课堂学习的知识进行因式分解，并注意解题步骤的规范性。
2. 在完成作业过程中，学生应注重理解因式分解的实质，掌握各种因式分解方法的应用场景。
3. 学生在完成练习题后，应自我检查答案，并尝试用不同的方法进行因式分解，以加深对知识的理解。
4. 学生在解决实际问题时，应先认真分析问题的实质，将其转化为多项式因式分解的问题，再运用所学知识进行解决。
四、作业评价1. 教师将对每位学生的作业进行批改，评价其完成情况和正确性。
2. 教师将根据学生的作业情况，给予相应的反馈和建议，帮助学生更好地掌握因式分解的方法和技巧。
3. 教师将根据学生的表现，对表现优秀的学生进行表扬和鼓励，激励其继续努力。
五、作业反馈1. 针对学生在作业中出现的错误和不足，教师将在课堂上进行讲解和指导，帮助学生改正错误，提高能力。
2. 教师将根据学生的作业情况，调整教学进度和教学方法，以满足学生的需求。
3. 学生应根据教师的反馈和建议，认真总结自己的不足之处，制定改进计划，并在后续的学习中加以实施。
作业设计方案（第二课时）一、作业目标本次作业旨在加深学生对多项式因式分解的理解和掌握，提高学生运用因式分解解决实际问题的能力，培养学生的数学思维和解题技巧。
多项式的因式分解教案
C. m²-2mn+n²=(m+n)2
D. 4x²-y²=(4x+y)(4x-y)
【答案】A
（六）阅读材料，了解因式分解的意义
1、 为将来学习分式的约分化简打下基础
课件展示：类比分数的约分，进行分式的约分过程
2、 类似于用乘法分配律的简便运算，我们可以用简便方法求出某些代数式的值。
3.1 多项式的因式分解教案
课题
多项式的因式分解
课型
新授课
教学目标
1. 理解因式分解的概念，了解因式分解的意义。
2. 知道因式分解与整式乘法的联系和区别。
3. 会用多项式的乘法检验因式分解是否正确。
4. 体验类比思想在数学学习中的应用价值。
教学重点
1.理解因式分解的概念。
2.会用多项式的乘法检验因式分解是否正确。
三、课堂练习，固基提能
（一）巩固练习
1、 三个数4，6，14的最大公因数是.
【答案】2
【思路】先将每个数分解质因数，再找出这些数的公共的因数，求得的积就是最大公因数.
2、 36，60的最大公因数是.
【答案】12
3、下列等式从左到右的变形是因式分解的是（）
A. x(x-4y)=x²-4xy
B. a²-2a-1=a(a-2)-1
（2）不是。因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式的积。3、阅读第34页“阅读材料”
（四）教学例2
例2检验下列因式分解是否正确。
（1）x²+xy=x(x+y)；
（2）a²-5a+6=(a-3)(a-2)；
（3）4m²-n²=(2m-n)(2m+n)
初中数学苏科版七年级下册教学课件：9.多项式的因式分解整理与复习
1.提公因式
解：原式 = (x-y) (a2-b2)
2.用平方差公式
= (x-y)(a+b) (a-b) 3.检查
(2)4a4-64
1.提公因式
解：原式=4[(a2)2-42]
2.用平方差公式
=4(a2+a+2) (a-2) 4.检查
方法巩固
3.分解因式 (5) 81x4-72x2y2+16y4
（1） 18a2-50
(2) -2x2y+8xy-8y
解：原式=2（ 9a2-25） 解：原式=-2y(x2-4x+4)
=2（3a-5)(3a+5)
= -2y(x-2)2
1.提公因式
1.提公因式
2.用平方差公式 2.用完全平方公式
3.检查
3.检查
方法巩固
2.把下列各式分解因式
(1) a2(x-y)-b2(x-y)
解：原式=(9x2)2-2×9x2.4y2+(4y2)2 =(9x2-4y2)2 =[(3x+2y)(3x-2y)]2 =(3x+2y) 2(3x-2y) 2
1.用完全平方公式 2.用平方差公式 3.积的乘方化简
4.检查
方法巩固
4.把169（x-y）2-196（x+y）2分解因式
1.用平方差公式 2.提公因式
3.提公因式法 把多项式写成公因式与另一个多项式的积的情势,这种分解因 式的方法叫做提公因式法。
知识回顾: 一、提公因式法
4.提公因式法因式分解的步骤： 1.找公因式； 2.分离公因式； 3.提公因式。
5.提公因式法分解因式应注意的问题：
1.提净公因式； 2.若提全家走，留1把家守； 3.有同类项要合并，结果首项负号要提出。
初中数学复习多项式的运算与因式分解
初中数学复习多项式的运算与因式分解初中数学复习多项式的运算与因式分解多项式是数学中常见的一种表达形式，包含有代数项及其运算符号。
在数学中，多项式的运算和因式分解是非常重要的基础知识。
本文将详细介绍多项式的运算和因式分解的相关概念及方法。
一、多项式的基本概念多项式是由若干个代数项相加（或相减）得到，每个代数项又由若干个字母的乘积及其系数构成。
例如，3x²+5xy-2y³就是一个多项式，其中的3x²、5xy、-2y³是代数项。
二、多项式的运算多项式的运算主要包括加法、减法、乘法和除法。
1. 多项式的加法和减法多项式的加法和减法都是将对应的代数项相加（或相减）。
例如，将3x²+5xy-2y³与2x²-3xy+4y³进行相加，结果为5x²+2xy+2y³。
2. 多项式的乘法多项式的乘法是将每个代数项相乘，并将乘积进行相加。
例如，将3x²+5xy-2y³乘以2x²-3xy+4y³，结果为6x⁴-9x³y+12x²y³+10x³y-15xy²+20y⁴-4xy³+6y⁴。
3. 多项式的除法多项式的除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个商式和余式。
例如，将5x³+2x²-3x+4除以x+2，商式为5x²-8x+13，余式为26。
三、多项式的因式分解因式分解是将一个多项式表示为若干个不可再分解的因式的乘积。
下面介绍两种常见的因式分解方法。
1. 提取公因式法提取公因式法是将一个多项式中的公因式提取出来，形成一个公因式和其他部分的乘积。
例如，将2x³-4x²+6x的公因式2x提取出来，得到2x(x²-2x+3)。
2. 公式法公式法是基于平方差公式、立方差公式等进行因式分解。
二次三项式的因式分解-学案
17.4.1二次三项式的因式分解-学案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--二次三项式的因式分解一、课前练习1.将下列二次多项式分解因式:;4)1(2-x ;14)2(2-x .49)3(2-x2.将下列二次三项式分解因式:;403)1(2--x x ;276)2(2-+x x ;2012)3(2++x x;189)4(2+-x x .642)5(2-+x x二、阅读理解1.阅读教材P43～45.2.二次三项式的因式分解:(1)当m 、n 为正数时,))((2n x m n x m n mx -+=-.(2)若一元二次方程02=++c bx ax 有两个实数根21,x x , 那么在实数范围内分解因式:c bx ax ++2= .想一想 对于二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)进行因式分解,为什么可以通过求一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根来解决?3.阅读中遇到的问题有三、新课探索1.请在实数范围内分解下列各式:(1);592-x (2).232-x2.将下列二次三项式分解因式:(1)232--x x ; (2)3422-+x x .例题1 分解因式:.1842-+x x例题2 把2232y xy x --分解因式.四、课内练习1.因式分解:;14)1(2++x x ;132)2(2-+x x;163)3(2+-x x .336)4(2-+x x2.在实数范围内分解因式:;2)1(22a ax x -- .582)2(22y xy x +-（1）一元二次方程的应用一、填空题1、方程05722=++x x 的两个根为25-，1-，则多项式5722++x x 可以分解为2、二次三项式322-+x ax 在 实数范围内能分解因式，那a 的取值范围是 __3、在实数范围内分解因式：542-x =4、在实数范围内分解因式：3424+-x x =二、在实数范围内分解因式 1、142--a a 2、11242+-y y3、222a ax x --4、2225y xy x ++-5、510322+-xy y x6、22322m mx x --三、若多项式12862-+-k x x 在实数范围内不能分解因式，则k 能取的最小整数值是多少？。
4.2.2提公因式为多项式的因式分解教案
1.理论介绍：首先，我们要了解因式分解的基本概念。因式分解是将一个多项式表示为几个因式的乘积的过程。它在解决代数问题和简化表达式方面起着重要作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何将一个多项式通过提取公因式进行因式分解，以及这一过程如何帮助我们简化问题。
五、教学反思
今天在教授“4.2.2提公因式为多项式的因式分解”这一章节时，我发现学生们在提取公因式和进行因式分解的过程中存在一些困难。首先，他们在识别多项式中的公因式时显得有些犹豫不决，尤其是当多项式中包含多个项时。我意识到，这可能是因为他们对公因式的概念还不够熟悉。
在讲解过程中，我尽量用简单的语言和具体的例子来阐述提取公因式的步骤，希望这样能让学生们更容易理解和掌握。同时，我也强调了在提取公因式时要注意系数的处理，尤其是分数和负数系数的情况。我观察到，当学生们亲自尝试解题时，他们在处理系数方面的问题有所减少。
此外，因式分解的步骤对学生来说也是一个挑战。两步法因式分解需要学生们在提取公因式后，能够正确处理剩余的部分。我发现有些学生在这一步上犯了难，他们不知道如何继续分解。为了解决这个问题，我通过案例分析，逐步引导学生们理解如何将剩余部分进一步分解为更简单的因式。
在实践活动中，分组讨论和实验操作环节收到了良好的效果。学生们在小组内积极讨论，互相交流想法，这有助于他们巩固所学知识。同时，通过实验操作，学生们对因式分解的过程有了更直观的认识。
4.2.2提公因式为多项式的因式分解教案
一、教学内容Biblioteka 本节课选自教材第四章第二节，标题为“4.2.2提公因式为多项式的因式分解”。教学内容主要包括以下三个方面：
1.理解提公因式的概念：通过实例引导学生认识什么是公因式，以及如何提取多项式中的公因式。
因式分解专题复习及讲解(很详细)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）a 2-b 2=(a+b)(a -b)；(2) a 2±2ab+b 2=(a ±b)2；(3) a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；(4) a 3-b 3=(a -b)(a 2+ab+b 2)．(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6) a 3±3a 2b+3ab 2±b 3=(a±b)3．例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++ 222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
苏入版七年级下 第十讲 多项式的因式分解(二)学案(无答案)
第十讲 多项式的因式分解（二）一、公式分解因式1.请补上项，使下列多项式成为完全平方式：（1）4m 2＋ ＋n2 ＝(2m ＋ )2；（2）x 2 － ＋16y 2＝( )2； （3）4a 2＋9b 2＋ ＝( )2；（4） ＋2pq ＋1＝( )2.思考：以上从左到右的变形属于因式分解吗？完全平方式：________＝(a ＋b)2 ；________＝(a －b)完全平方式的特点：左边：①项数必须有_______项；②其中有两项是________________________________；③另一项是____________________________________；右边：_________________________________________.例1．填空：（1）a 2＋6a ＋9＝a 2＋2×（ ）× （ ）＋( )2＝( )2（2）a 2－6a ＋9＝a 2－2× （ ）× （ ）＋( )2＝( )2（3）+2a （ ）+=24b ⋅+22a （ ）. （ ）+( )2＝( )2 （4）+-a a 82（ ）=-a 2.（ ）.（ ）+( )2＝( )2 例2.把下列各式分解因式；（1）25102++x x （2）2281364b ab a +- （3）1102524++a a （4）4)(4)(2++-+n m n m（5）xy 4y 4x 22+-- （6）49x 2＋y 2－43xy （7）9m 2－6mn ＋n 2 （8）a 2－12ab ＋36b 2当堂反馈1.下列多项式能写成一个整式平方的形式吗？如果能，可以分解成什么式子？如果不能，说明为什么．（1）442+-x x（2）2161a +（3）1442-+x x （4）22y xy x ++（5）2441x x --（6）1442++-x x （7）1242++x x（8）12++x x（9）412-+-x x（10）412++-x x （11）xy y x -+22412.把下列各式分解因式：（1）122++x x （2）1442++a a （3）2961y y +-（4）412m m ++ （5）2216121b ab a ++ （6）229124y xy x +-（7）221025q pq p ++ （8）22329n mn m ++ （9）224914b ab a +-（10）25)(10)(2++-+y x y x （11）222y x xy --- （12）181624+-m m反馈练习1．下列各式中能用完全平方公式分解的是 （ ）①442+-x x ②1362++x x ③1442+-x x ④2224y xy x ++ ⑤2216209y xy x +-A .①③B .①②C .②③D .①⑤2.已知a ，b ，c 是ABC ∆三条边的长，且有22b 2abc 2ac +=+成立，则ABC ∆为 三角形.3.把下列各式分解因式：（1）2161211m m +- （2）－49a 2＋112ab －64b 2（3）a 2－4a +4 （4）4a 2+2ab +14b 24.已知221x 2x xy y 04-+-+=，求x ，y 的值.【知识运用】例3.把下列各式分解因式：（1）1102524++x x ；（2）xy y x 4422+--（3）2293025y xy x ---（4）16－24(a －b )＋ 9(a －b )2（5）(x ＋y )2－18(x ＋y )＋81练习2.把下列各式分解因式：（1）222116y xy x +-（2）2294864b ab a +-（3）()()1442+-+-y x y x ；（4）222168c abc b a +-（5）()()122++++y x y x（6）()()y x y x +-++202542例4.把下列各式分解因式：（1）22363y xy x ++ （2）()xy y x 42+-（3）42242b b a a +-【拓展延伸】1.填空（1）如果2249100y kxy x ++可以分解成()2y 7x 10-，则k 的值为 。
八年级数学下册《9.5 多项式的因式分解第一课时》学案(无答案) 新人教版
9.5多项式的因式分解（一）班级________姓名____________学习目标1. 了解公因式的意义，并能准确的确定一个多项式各项的公因式；2. 掌握因式分解的概念，会用提公因式法把多项式分解因式.自主学习一. 创设情境试一试1.你能用简便方法计算：375×2.8+375×4.9+375×2.3吗？2.你能把多项式ab ＋ac ＋ad 写成积的形式吗？请说明你的理由.多项式mc mb ma ++中的每一项都含有一个相同的因式_____________， 我们称之为_________.2. 问题：下列多项式的各项是否有公因式？如果有，试着找出来 .（1）a 2b ＋ab 2 ； （2）3x 2－6x 3； （3）9abc －6a 2b 2＋12abc 2探究新知（Ⅰ）_________________________________，叫做这个多项式各项的公因式。
（Ⅱ）你认为如何确定公因式？（Ⅲ）写在下列各式的公因式（1）4x ＋6 （2）3x 2＋x （3）7y 2－21y （4）3mb 2－2nb（5）8a 3b 2＋12a 2b －ab （6）4a 2b – 2ab 2 + 6abc （7）7(a －3) – b (a －3)（Ⅳ）填空并说说你的方法：（1）a 2b ＋ab 2=ab ( )（2）3x 2－6x 3=3x ( )（3）9abc －6a 2b 2＋12abc 2=3ab ( )归纳：因式分解的定义_____________________________________________________________下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？（1）6x 2y 3＝2x 2y ·3y ； （2）ab ＋ac ＋d =a (b ＋c )＋d（3） a 2－1=(a ＋1)(a －1) （4）(a ＋1)(a －1) = a 2－1（5） x 2＋1=x (x ＋1 x ) (6)例题讲解：例1．将下列各式因式分解（1） （2）（3）－2m 3＋8m 2－12m练习1.把下列各式分解因式：(1) (2)2.求代数式 的值，其中23105x x -abab 6122-32124x x -yxy y x 542-+-)34(412162x ax ax ax +=+321TR IR IR ++.24.352.394.25321====I R R R 、、、想一想：把3a (x ＋y )－2b (x ＋y )分解因式练习：3()()m x y n y x ---； (2a ＋b )(2a －3b )+3a (2a ＋b )小结1、说说因式分解与整式乘法的联系与区别；2、说说如何用提取公因式法提取公因式？课后作业一．选择题1. 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是 （ ）A .y x -2B .x x 22+C .y x 32+D .22y xy x +-2. 下列各等式从左到右的变形中，属于因式分解的是 （ ）A . 9)3)(3(2-=-+x x xB . x x x x x +-+=+-)3)(3(92C . 1)1(31332+-=+-x x x xD . 222)(2b a b ab a -=+-3. 分解因式后是20032002)3()3(-+- （ ） A . 20023 B . 200232⨯- C . 3- D .34. 下列因式分解中正确的是 （ ） A .)123(1231x x x x m m m -=-+ B .()()())1(232a b b a a b b a +--=---C .()()()()x y y x x y y x +--=---2222222D .()124482-=-x xy x y x5. 多项式243332643yz x z y x z y x -+-各项的公因式是___________；多项式x b a ab b a 2223243--中的公因式是___________.6. ).2((________)105;(________)4321222y x xy x x x x -⋅=-⋅-=+-7. 用提公因式法将下列各式分解因式：236)2(xz xyz - 223223256)3(y x y x y x +-1)4(+-m m x x (5)()()()()q p n m q p n m -+-++(6)()()y x y y x x ---2。
因式分解教案四篇
因式分解教案四篇因式分解教案篇1课型复习课教法讲练结合教学目标(学问、力量、教育)1.了解分解因式的意义，会用提公因式法、平方差公式和完全平方公式(直接用公式不超过两次)分解因式(指数是正整数).2.通过乘法公式，的逆向变形，进一步进展同学观看、归纳、类比、概括等力量，进展有条理的思索及语言表达力量教学重点把握用提取公因式法、公式法分解因式教学难点依据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题力量。
教学媒体学案教学过程一：【课前预习】(一)：【学问梳理】1.分解因式：把一个多项式化成的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式.2.分解困式的方法：⑴提公团式法：假如一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.⑵运用公式法：平方差公式: ;完全平方公式: ;3.分解因式的步骤：(1)分解因式时，首先考虑是否有公因式，假如有公因式，肯定先提取公团式，然后再考虑是否能用公式法分解.(2)在用公式时，若是两项，可考虑用平方差公式;若是三项，可考虑用完全平方公式;若是三项以上，可先进行适当的分组，然后分解因式。
4.分解因式时常见的思维误区：提公因式时，其公因式应找字母指数最低的，而不是以首项为准.若有一项被全部提出，括号内的项 1易漏掉.分解不彻底，如保存中括号形式，还能连续分解等(二)：【课前练习】1.以下各组多项式中没有公因式的是( )A.3x-2与 6x2-4xB.3(a-b)2与11(b-a)3C.mxmy与 nynxD.aba c与 abbc2. 以下各题中，分解因式错误的选项是( )3. 列多项式能用平方差公式分解因式的是()4. 分解因式：x2+2xy+y2-4 =_____5. 分解因式：(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5)以上三题用了公式二：【经典考题剖析】1. 分解因式：(1) ;(2) ;(3) ;(4)分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
9.5多项式的因式分解【教案一】
9.5 多项式的因式分解一、教学目标1.理解因式分解的概念.2.掌握从单项式乘多项式的乘法法则得出提公因式法分解因式的方法.3.培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力.4.培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法.5.培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好学习习惯.6.体会事物之间互相转化的辩证思想，从而初步接受对立统一的观点.二、教学重点和难点学习重点：因式分解的概念，用提公因式法分解因式.学习难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能意识到可以运用单项式乘多项式的逆向变形来解决因式分解的问题.三、教具、学具硬纸板、投影仪、条件好的可使用ppt展示.四、教学过程（一）设置情境情境1：手工课上，老师给同学们发下一张如左图形状的纸张，要求在不浪费纸张的前提下，剪拼成右图形状的长方形，请问你能解决这个问题吗？你能给出数学解释吗？说明：留一定的时间让学生思考、讨论，在学生感到新奇又不知所措的过程中积蓄了强烈的求知欲望，这样设置悬念，无疑为课堂内容的学习创设了良好的情绪和氛围.（学生通过交流，会想到水平和竖直两种不同方向的剪拼方法，包括其它方法，都应受到老师的鼓励和肯定）思考：（1）怎样表示左图和右图的面积？你认为这两个图形的面积相等吗？（2）你是怎样想到这种简拼方法的?请解释你的做法.情境2：求999＋9992的值说明：学生对这样的问题有兴趣，能迅速找出一些不同的速算方法，很快想出乘法分配律的逆向变形，设置这样的情境，由数推广到式，效率较高.情境3：观察分析把单项式乘多项式的乘法法则a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad ①反过来，就得到ab＋ac＋ad =a（b＋c＋d）②这个式子的左边是多项式ab＋ac＋ad，右边是a与（b＋c＋d）的乘积.思考（1）你是怎样认识①式和②式之间的关系的？（2）能用②式来计算375×2.8＋375×4.9＋375×2.3 吗？（3）②式左边的多项式的每一项有相同的因式吗？你能说出这个因式吗？（二）认识公因式1、概念1. 多项式ab＋ac＋ad的各项ab、ac、ad都含有相同的因式a，称为多项式各项的公因式（common factor）.2、观察分析①多项式a2b＋ab2的公因式是ab，……公因式是字母；②多项式3x2－3y的公因式是3，……公因式是数字系数；③多项式3x2－6x3的公因式是3x2，……公因式是数学系数与字母的乘积.分析并猜想确定一个多项式的公因式时，要从和两方面，分别进行考虑.（1）如何确定公因式的数字系数？（2）如何确定公因式的字母？字母的指数怎么定？说明：教师不要直接给出找多项式公因式的方法和解释，而是鼓励学生自主探索，根据自己的体验来积累找公因式的方法和经验，并能通过相互间的交流来纠正解题中的常见错误.练习：写出下列多项式各项的公因式（1）8x－16 （2）a2x2y－axy2（3）4x2－2x （4）6a2b－4a3b3－2ab概念 2 把一个多项式写成几个整式积的形式的叫做多项式的因式分解（factorization factoring）.说明：因式分解的概念和意义需要学生多层次的感受，教师不要期望一次透彻的讲解和分析就能让学生完全掌握.这时先让学生进行初步的感受，再通过不同形式的练习增强对概念的理解.练习（课本）1、下列各式由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是？（1）ab＋ac＋d=a（b＋c）＋d；（2）a2－1=（a＋1）（a－1）（3）（a＋1）（a－1）=a2－12、你能另外举2个因式分解变形的例子吗？说明：学生自己举例，再小组讨论交流，充分暴露学生在概念认识上的误区.分歧较大的问题如x－1=x（1－1/x）等再全班交流，有助于学生正确、深刻地理解因式分解的概念，准确区分整式乘法和因式分解是两种互逆的变形.（三）例题讨论例1：把下列各式分解因式（1）6a3b－9a2b2c （2）－2m3＋8m2－12m解：（1）6a3b－9a2b2c=3a2b·2a－3a2b·3bc……（找公因式，把各项分成公因式与一个单项式的乘积的形式）=3a2b（2a－3bc）……（提取公因式）（2）－2m3＋8m2－12m=－（2m·m2－2m·4m＋2m·6）（首项符号为负，先将多项式放在带负号的括号内）=－2m（m2－4m＋6）（提取公因式）说明：鼓励学生自己动手找公因式，教师可提出以下问题供学生思考，并作为题后小结.（1）用提公因式法分解因式后，括号里的多项式有没有公因式?（2）用提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数相比，有没有什么变化？（3）你认为提公因式法分解因式和单项式乘多项式这两种变形是怎样的关系？从中你得到什么启发？采取小组讨论、交流，再全班交流，教师最后用精炼、准确的语言作总结，有助于学生深刻的理解所学知识，并能认识到知识间的相互联系，形成知识的迁移，降低了本节课的难点.设计第（3）问的目的是让学生认识到可以用单项式乘多项式法则验证因式分解的正确性.例2 辨别下面因式分解的正误并非指明错误的原因.（1）分解因式 8a3b2－12ab4＋4ab=4ab（2a2b－3b3）（2）分解因式 4x4－2x3y=x3（4x－2y）（3）分解因式 a3－a2=a2（a－1）= a3－a2解：（1）错误，分解因式后，括号内的多项式的项数漏掉了一项.（2）错误，分解因式后，括号内的多项式中仍有公因式.（3）错误, 分解因式后,又返回到了整式的乘法.说明：这些多是学生易错的，设置例2的目的是让学生运用例1的成果准确辨别因式分解中的常见错误，对因式分解的认识更加清晰.本例仍采用小组讨论、交流的方式，让学生都参与到课堂活动中.例3（选用）分解因式（a＋b）2－2（a＋b）解：（a＋b）2－2（a＋b）=（a＋b）[（a＋b）－2]=（a＋b）（a＋b－2）说明：公因式（a＋b）是多项式，属较高要求，对学有困难的学生可以用单项式过渡一下，如设a＋b=m即可.练习：1、课本P82 练一练1、222、（选做）你能根据下图写出几个等式吗？你写出的等式中哪些是整式乘法的变形？哪些是因式分解的变形？aa b c五、小结通过学习，（1）你认为因式分解的过程中会出现哪些常见错误？（2）你有办法检验多项式分解因式的结果的正确性吗？（3）公因式可能是多项式吗？如果可能，那又当如何分解因式呢？举例尝试.（4）你还有什么新的认识与体会？六、作业。
(完整版)因式分解复习教案(教师版)
因式分解复习教案(教师教学案)教学目标： 1。
复习巩固用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式的方法。
2.会综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式.教学重点：综合运用提公因式、平方差公式、完全平方公式分解因式。
教学难点 ：根据题目的结构特点，合理选择方法。
教师活动一、引入本章我们学习了分解因式，学习分解因式同学们要掌握以下知识：（1）什么叫分解因式？（2）怎样分解因式？或者分解因式有哪些方法？下面我们一起带着这些问题进行复习二、教授新课知识点1：分解因式的定义（教师和学生一起复习定义及特征,强调因式分解与整式的乘法的关系） 思考：什么是分解因式?因式分解与整式的乘法有何关系分解因式的特征,左边是 , 右边是 。
针对练习:下列选项,哪一个是分解因式（ ）（学生自主完成此题，并指出错在哪里）A ．x x x x x 6)3)(3(692+-+=+-B 。
103)2)(5(2-+=-+x x x xC 。
22)4(168-=+-x x xD 。
y x x y x ⋅⋅=552知识点2：分解因式的第一种方法—-——--提公因式法思考：如何提公因式?（教师强调公因式公有的意思-——你有我有大家有才是公有）注意：(学生一起读一遍）公因式的确定：（1）符号: 若第一项是负号则先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号）（2）系数:取系数的最大公约数； （3）字母:取字母(或多项式）的指数最低的;（4）所有这些因式的乘积即为公因式 （5）某一项被作为公因式完全提出时,应补为例如:1．的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_________2．多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，应提取的公因式是（ ）A ．24ab c -B ．38ab -C ．32abD ．3324a b c3。
342)()()(n m m n y n m x +++-+的公因式是__________提公因式法分解因式分类：1.直接提公因式的类型：（1)3442231269b a b a b a +-=________________；（2）11n n n a a a +--+=____________（3）423)()()(b a b a y b a x -+---=_____________（4）不解方程组23532x y x y +=-=-⎧⎨⎩，求代数式()()()22332x y x y x x y +-++的值 2.首项符号为为负号的类型：（1)33222864y x y x y x -+- =_________（2)若被分解的因式只有两项且第一项为负，则直接交换他们的位置再分解（特别是用到平方差公式时） 如： 22188y x +-练习：1．多项式：aby abx ab 24186++-的一个因式是ab 6-，那么另一个因式是( ）y x A 431..+-- y x B 431..-+ C y x 431--- D 。
9.5多项式的因式分解2导学案
课时：第24课时课题：9.5多项式的因式分解2教学目标：1. 使学生进一步理解因式分解的意义；2. 使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征；3. 会运用平方差公式分解因式。
教学重点：理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征教学难点：会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式教学方法：讲练结合、探索交流教学准备：投影仪教学进程一、创设情境992－1是100的整数倍吗？你是怎样想的？说明：学生可能直接计算出结果，应予以肯定在这儿可以设计系列问题予以引导：1.判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数.）2.类似地要判断992－1是100的整数倍呢？也可以想到尝试分解.3.992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？4.a2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？二、探究新知把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来得：a2－b2=(a+b)(a－b)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式.这种方法叫运用平方差公式法下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x2－y2（2）x2+y2（3）－x2－y2（4）－x2+y2（5）64－a2（6）4x2－9y2说明：这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以最后，教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点：1.左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.2.右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差.练习：（1）) -)(a (a ) (-16-222+==a a ；（2）b)- b)( (-) (-64222+==b b 。
三、问题解决例1、把下列各式因式分解225x -(1)36 （2）229-16b a （3）22b)-(a 4-b)(a 9+ 分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x 2、16a 2、9b 2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键.解： 36－25x 2=62－(5x)2=(6+5x)(6－5x)16a 2－9b 2=(4a)2－(3b)2=(4a+3b)(4a －3b)说明： (1)对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a 2－9b 2=(16a+9b)(16a －9b)的错误.（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象.例2、如图，求圆环形绿化区的面积.解： 352π－152π=π(352－152)=(35+15)(35－15)π=50×20π=1000π(m 2)这个绿化区的面积是1000πm 2说明：在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式的一般步骤打下伏笔，即：先提公因式，再运用公式.四、课堂小结通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系.能用自己的语言说出平方差公式的特点.能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式五、课堂作业P84 练一练。
因式分解复习
因式分解复习导学案知识点回顾：分解因式的步骤；一提：① 对任意多项式分解因式，都必须首先考虑提取公因式。
二套：② 对于二项式，考虑用平方差公式分解。
对于三项式，考虑用完全平方公式分解。
三查：③检查：特别看看多项式因式是否分解彻底注意三原则1 分解要彻底2 最后结果只有小括号3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）知识点一 因式分解的定义把一个多项式化成 的 的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式 .注意： (1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形.(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.例1：下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为（ ）.A 、2222)1(xy y x x xy -=-；B 、)3)(3(92-+=-x x x ；C 、222)1)(1(1y x x y x ++-=+-；D 、c b a x c bx ax ++=++)(.练习：1．把代数式xy 2－9x 分解因式，结果正确的是( )A 、)9(2-y x ；B 、2)3(+y x ；C 、)3)(3(-+y y x ；D 、)9)(9(-+y y x .2．一次课堂练习，小敏同学做了如下4道因式分解题，你认为小敏因式分解不彻底的一题是（ ）A 、x 3－x ＝x (x 2－1)；B 、x 2－2xy ＋y 2＝(x －y )2C 、x 2y －xy 2＝xy (x －y )； D 、x 2－y 2＝(x －y )(x ＋y ) . 知识点二 因式分解的基本方法提取公因式法、分组分解法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法公因式：一个多项式各项都含有的 ,叫做这个多项式的公因式.提公因式法：把一个多项式中的 提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法.例2： （1）y x x 225-的公因式为 ；（2）分解因式： 24x x -= ．练习：1． 322236129xy y x y x -+的公因式为 .2．分解因式：x xy 2-= .分组分解法：（用于4项及以上）把被分解的多项式分成若干组，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。
七年级数学下册《多项式的因式分解》教案、教学设计
（一）教学重难点
1.重点：因式分解的概念、方法及其应用。
2.难点：提取公因式、运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。
（二）教学设想
1.教学方法：
（1）采用情境教学法，通过实际问题导入，让学生感受因式分解的实际意义。
（2）运用启发式教学，引导学生自主探究、合作交流，发现并掌握因式分解的方法。
4.举例说明：结合具体例题，分别运用提取公因式法、平方差公式和完全平方公式进行因式分解，让学生观察、思考并总结规律。
（三）学生小组讨论
1.分组讨论：将学生分成小组，针对教师提出的因式分解问题进行讨论，让学生在合作交流中掌握因式分解的方法。
2.汇报展示：每个小组选派一名代表汇报讨论成果，展示因式分解的过程和结果，其他同学认真倾听，相互学习。
3.互动交流：鼓励学生提问、质疑，针对不同观点进行讨论，共同解决因式分解过程中遇到的问题。
（四）课堂练习
1.设计梯度练习：根据学生的学习情况，设置不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
2.互动解答：针对学生在练习中遇到的问题，组织学生进行互动解答，共同分析、讨论，找到解决问题的方法。
3.教师点评：针对学生的练习成果，给予鼓励性评价，指出不足之处，并提出改进建议。
作业布置原则：
1.针对性：作业内容要针对本节课的教学目标，突出重点，突破难点。
2.层次性：作业难度分为基础、提高和拓展三个层次，以满足不同学生的学习需求。
3.适量性：作业量要适中，避免学生负担过重，保证学生有足够的时间进行复习和预习。
4.人性化：关注学生的个体差异，鼓励学生根据自己的实际情况选择作业难度，充分调动学生的学习积极性。
3.教学过程：
（1）导入：通过一个实际问题，让学生感受到因式分解在解决实际问题中的作用。
专题03 因式分解(学案)-备战2023年中考数学一轮复习专题精讲精练学案(全国通用)
中考数学一轮复习学案03 因式分解考点课标要求考查角度1因式分解①理解因式分解的概念；②会用提公因式法、公式法等方法进行因式分解．考查因式分解的两种方法．以选择题、填空题为主．1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的变形叫做把这个多项式因式分解．也叫做把这个多项式分解因式．2. 辨析：因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．中考命题说明思维导图知识点1：因式分解的概念知识点梳理典型例题【例1】（2022•济宁）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．x2－x－1=x(x－1)－1B．x2－1=(x－1)2C．x2－x－6=(x－3) (x＋2)D．x(x－1)= x2－x【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义判断即可．【解答】解：A选项不是因式分解，故不符合题意；B选项计算错误，故不符合题意；C选项是因式分解，故符合题意；D选项不是因式分解，故不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．【例2】（3分）（2020•河北3/26）对于①x-3xy = x(1-3y)，②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解【考点】因式分解—提公因式法；因式分解的意义；多项式乘多项式【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可．【解答】解：①x-3xy = x(1-3y)，从左到右的变形是因式分解；②(x+3)(x-1) = x2+2x-3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．1. 一般方法：（1）提公因式法：知识点2：因式分解的方法与步骤知识点梳理如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．用字母表示：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)．公因式的确定：取各项系数的最大公约数，取各项相同的因式及其最低次幂．①定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.②定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.③定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.（2）运用公式法：利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.①a2－b2＝(a＋b)(a－b)；②a2±2ab＋b2＝(a±b)2．（3）十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．（4）分组分解法：先分组，再提公因式或运用公式．2. 一般步骤：一提（提公因式）；二套（套公式）；三验（检验是否分解彻底）．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．典型例题利用提公因式法分解因式【例3】把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是（）A．–3x2y2B．–2x2y2C．6x2y2D．–x2y2【分析】–6x3y2–3x2y2+8x2y3＝–x2y2（6x+3–8y）．故把–6x3y2–3x2y2+8x2y3因式分解时，应提的公因式是：–x2y2．故选D．【答案】D．【例4】（2022•广州）分解因式：3a2－21ab＝．【考点】因式分解—提公因式法【分析】直接提取公因式3a，进而分解因式得出答案．【解答】解：3a2－21ab＝3a (a－7b)．故答案为：3a (a－7b)．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．【例5】（2022•烟台）把x2－4因式分解为．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用平方差公式，进行分解即可解答．【解答】解：x2－4＝(x＋2)(x－2)，故答案为：(x＋2)(x－2)．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握平方差公式是解题的关键．【例6】（2022•苏州）已知x＋y＝4，x－y＝6，则x2－y2＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】直接利用平方差公式将原式变形，代入得出答案．【解答】解：∵x＋y＝4，x－y＝6，∴x2－y2＝(x＋y)( x－y)＝4×6＝24．故答案为：24．【点评】此题主要考查了公式法因式分解，正确将原式变形是解题关键．【例7】（2022•河池）多项式x2－4x＋4因式分解的结果是（）A．x(x－4)＋4B．(x＋2) (x－2)C．(x＋2)2D．(x－2)2【考点】因式分解—运用公式法【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝(x－2)2．故选：D．【点评】此题考查了因式分解—运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．【例8】（2022•绥化）因式分解：(m＋n)2－6(m＋n)＋9＝．【考点】因式分解—运用公式法【分析】将m＋n看作整体，利用完全平方公式即可得出答案．【解答】解：原式＝(m＋n)2－2·(m＋n)·3＋32＝(m ＋n －3)2．故答案为：(m ＋n －3)2．【点评】本题考查了因式分解—运用公式法，考查整体思想，掌握2222()a ab b a b ±+=±是解题的关键．【例9】已知二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），则b +c 的值为（ ）A ．1B ．–1C ．–5D ．5【分析】∵二次三项式x 2+bx +c 分解因式为（x –3）（x +1），∴x 2+bx +c ＝（x –3）（x +1）＝x 2–2x –3，∴b ＝–2，c ＝–3，故b +c ＝–5．故选C ．【答案】C ．【例10】（2022•内江）分解因式：a 4－3a 2－4＝ ．【考点】因式分解—十字相乘法等【分析】先利用十字相乘法因式分解，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：a 4－3a 2－4＝(a 2＋1)(a 2－4)＝(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)，故答案为：(a 2＋1)( a ＋2)( a －2)．【点评】本题考查的是十字相乘法因式分解，掌握十字相乘法、平方差公式因式分解是解题的关键．【例11】因式分解：x 2 – y 2 –2x +2y ．【分析】利用分组分解法分解，先分别分解前两项和后两项，再提取公因式x –y 即可.【答案】x 2 – y 2–2x +2y = (x 2 – y 2 )–( 2x –2y )= ( x +y ) ( x –y ) –2 ( x –y )= ( x –y ) ( x +y –2 ) ．【例12】（2022•西宁）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a －3ab －4＋6b 因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式＝(2a－3ab)－(4－6b)＝a (2－3b)－2(2－3b)＝(2－3b)(a－2)解法二：原式＝(2a－4)－(3ab－6b)＝2(a－2)－3b(a－2)＝(a－2) (2－3b)【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】（1）请用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解；【挑战】（2）请用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解；【应用】（3）“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值．【考点】因式分解的应用【分析】（1）用分组分解法将x2－a2＋x＋a因式分解即可；（2）用分组分解法将ax＋a2－2ab－bx＋b2因式分解即可；（3）先将a4－2a3b＋2a2b2－2ab3＋b4因式分解，再求值即可．【解答】解：（1）原式＝(x2－a2)(x＋a)＝(x＋a) (x－a)＋(x＋a)＝(x＋a) (x－a＋1)；（2）原式＝(ax－bx)(a2－2ab＋b2)＝x (a－b)＋(a－b) 2＝(a－b)( x＋a－b)；（3）原式＝(a4＋2a2b2＋b4)－(2ab3＋2a3b)＝(a2＋b2)2－2ab (a2＋b2)＝(a2＋b2) (a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2) (a－b) 2，∵直角三角形的两条直角边长分别是a和b（a＞b），斜边长是3，小正方形的面积是1，∴a2＋b2＝32＝9，(a－b) 2＝1，∴原式＝9．【点评】本题主要考查因式分解的知识，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键．几种方法的综合运用【例13】（2022•黔东南州）分解因式：2022x2－4044x＋2022＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式2022，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝2022(x2－2x＋1)＝2022(x－1) 2．故答案为：2022(x－1) 2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．【例14】（2分）（2021•北京10/28）分解因式：5x2﹣5y2＝．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】提公因式后再利用平方差公式即可．【解答】解：原式＝5（x2﹣y2）＝5（x+y）（x﹣y），故答案为：5（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．知识点3：因式分解的应用知识点梳理因式分解的应用：利用因式分解的知识可以帮助我们解决代数式求值等问题.典型例题【例15】（2022•黔西南州）已知ab＝2，a＋b＝3，求a2b＋ab2的值是．【考点】因式分解的应用【分析】将a2b＋ab2因式分解，然后代入已知条件即可求值．【解答】解：a2b＋ab2＝ab (a＋b)，∵∵ab＝2，a＋b＝3，∴原式＝2×3＝6．故答案为：6．【点评】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．【例16】（2022•广安）已知a＋b＝1，则代数式a2－b2＋2b＋9的值为．【考点】因式分解的应用【分析】方法一：直接将a2－b2进行因式分解为(a＋b)(a－b)，再根据a＋b＝1，可得a2－b2＝a－b，由此可得原式＝a＋b＋9＝10．方法二：将原式分为三部分，即a2－(b2－2b＋1)＋10，把前两部分利用平方差进行因式分解，其中得到一因式a＋b－1＝0．从而得出原式的值．【解答】方法一：解：∵a2－b2＋2b＋9＝(a＋b)(a－b)＋2b＋9又∵a＋b＝1，∴原式＝a－b＋2b＋9＝a＋b＋9＝10．方法二：解：∵a2－b2＋2b＋9＝a2－(b2－2b＋1)＋10＝a2－(b－1)2＋10＝(a－b＋1) (a＋b－1)＋10．又∵a＋b＝1，∴原式＝10．【点评】本题考查了因式分解应用，用到的知识为平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+ 2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．巩固训练15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝ ．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 47．（2022•常州）第十四届国际数学教育大会(14)ICME -会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示14ICME -的举办年份．（1）八进制数3746换算成十进制数是 2022 ；（2）小华设计了一个n 进制数143，换算成十进制数是120，求n 的值．1．（2022•永州）下列因式分解正确的是( )A ．()1ax ay a x y +=++B ．333()a b a b +=+C ．2244(4)a a a ++=+D ．2()a b a a b +=+【考点】因式分解的意义【分析】根据因式分解的定义和因式分解常用的两种方法：提公因式法和公式法判断即可．【解答】解：A 选项，()ax ay a x y +=+，故该选项不符合题意； B 选项，333()a b a b +=+，故该选项符合题意；C 选项，2244(2)a a a ++=+，故该选项不符合题意；D 选项，2a 与b 没有公因式，故该选项不符合题意；故选：B ．【点评】本题考查了因式分解的意义，掌握2222()a ab b a b ++=+是解题的关键．2．（2022•青海）下列运算正确的是( )A ．235347x x x +=B ．222()x y x y +=+C ．2(23)(23)94x x x +-=-D ．2242(12)xy xy xy y +=+【考点】多项式乘多项式；因式分解-提公因式法；合并同类项；完全平方公式【分析】利用合并同类项法则、完全平方公式、平方差公式、提公因式法分别计算各题，根据计算结果得结论．【解答】解：A ．23x 与34x 不是同类项不能加减，故选项A 计算不正确；B ．22222()2x y x xy y x y +=++≠+，故选项B 计算不正确；C ．22(23)(23)4994x x x x +-=-≠-，故选项C 计算不正确；D ．2242(12)xy xy xy y +=+，故选项D 计算正确．故选：D ．【点评】本题主要考查了整式的运算，掌握整式的运算法则和整式的提取公因式法是解决本题的关键．3．（2022•柳州）把多项式22a a +分解因式得( )巩固训练解析A ．(2)a a +B ．(2)a a -C ．2(2)a +D ．(2)(2)a a +-【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故选：A ．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．4．（2022•荆门）对于任意实数a ，b ，3322()()a b a b a ab b +=+-+恒成立，则下列关系式正确的是( )A ．3322()()a b a b a ab b -=-++B ．3322()()a b a b a ab b -=+++C ．3322()()a b a b a ab b -=--+D ．3322()()a b a b a ab b -=++-【考点】因式分解-运用公式法【分析】把所给公式中的b 换成b -，进行计算即可解答．【解答】解：3322()()a b a b a ab b +=+-+，33a b ∴- 33()a b =+-33()a b =+-22[()][(()()]a b a a b b =+--⋅-+-22()()a b a ab b =-++故选：A ．【点评】本题考查了因式分解-运用公式法，把所给公式中的b 换成b -是解题的关键．5．（2022•湘西州）因式分解：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接利用提取公因式法分解因式即可．【解答】解：原式(3)m m =+．故答案为：(3)m m +．【点评】此题考查的是提公因式法分解因式，能够得到公因式是解决此题的关键．6．（2022•长春）分解因式：23m m += (3)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答．【解答】解：23(3)m m m m +=+，故答案为：(3)m m +．【点评】本题考查了因式分解-提公因式法，熟练掌握因式分解-提公因式法是解题的关键．7．（2022•常州）分解因式：22x y xy += ()xy x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式xy ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22()x y xy xy x y +=+．故答案为：()xy x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．8．（2022•百色）因式分解：ax ay += ()a x y + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式即可．【解答】解：()ax ay a x y +=+．故答案为：()a x y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法，正确找出公因式是解题关键．9．（2022•舟山）分解因式：2m m += (1)m m + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】根据多项式的特征选择提取公因式法进行因式分解．【解答】解：2(1)m m m m +=+．故答案为：(1)m m +．【点评】本题主要考查了运用提取公因式法进行因式分解，运用提取公因式法进行因式分解的关键是确定公因式．10．（2022•贵阳）因式分解：22a a += (2)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而分解因式得出答案．【解答】解：22(2)a a a a +=+．故答案为：(2)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．11．（2022•江西）因式分解：23a a -= (3)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接把公因式a 提出来即可．【解答】解：23(3)a a a a -=-．故答案为：(3)a a -．【点评】本题主要考查提公因式法分解因式，准确找出公因式是a 是解题的关键．12．（2022•绍兴）分解因式：2x x += (1)x x + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式x ，进而分解因式得出即可．【解答】解：2(1)x x x x +=+．故答案为：(1)x x +．【点评】此题主要考查了提取公因式分解因式，正确提取公因式是解题关键．13．（2022•眉山）分解因式：228x x -= 2(4)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式2x ，进而得出答案．【解答】解：原式2(4)x x =-．故答案为：2(4)x x -．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．14．（2022•桂林）因式分解：23a a += (3)a a + ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】直接提取公因式a ，进而得出答案．【解答】解：23(3)a a a a +=+．故答案为：(3)a a +．【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确提取公因式是解题关键．15．（2022•黑龙江）分解因式：22x x -= (2)x x - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】提取公因式x ，整理即可．【解答】解：22(2)x x x x -=-．故答案为：(2)x x -．【点评】本题考查了提公因式法分解因式，因式分解的第一步：有公因式的首先提取公因式．16．（2022•镇江）分解因式：36x += 3(2)x +【考点】因式分解-提公因式法【分析】此题只要提取公因式3即可．【解答】解：363(2)x x +=+．【点评】此题考查公因式的提取，通过提取出相同的因式即可解出此题．17．（2022•丽水）分解因式：22a a -= (2)a a - ．【考点】因式分解-提公因式法【分析】观察原式，找到公因式a ，提出即可得出答案．【解答】解：22(2)a a a a -=-．故答案为：(2)a a -．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式的方法，此题属于基础性质的题．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．一般来说，如果可以提取公因式的要先提取公因式，再看剩下的因式是否还能分解．18．（2022•菏泽）分解因式：229x y -= (3)(3)x y x y -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：原式(3)(3)x y x y =-+．故答案为：(3)(3)x y x y -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式分解因式是解题关键．19．（2022•株洲）因式分解：225x -= (5)(5)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】应用平方差公式进行计算即可得出答案．【解答】解：原式(5)(5)x x =+-．故答案为：(5)(5)x x +-．【点评】本题主要考查了因式分解-应用公式法，熟练掌握因式分解-应用公式法进行求解是解决本题的关键．20．（2022•温州）分解因式：22m n -= ()()m n m n +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：22()()m n m n m n -=+-，故答案为：()()m n m n +-．【点评】此题主要考查了平方差公式分解因式，熟记公式22()()a b a b a b -=+-是解题关键．21．（2022•张家界）因式分解：225a -= (5)(5)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】根据平方差公式分解即可．【解答】解：原式225(5)(5)a a a =-=+-．故答案为：(5)(5)a a +-．【点评】此题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．22．（2022•衡阳）因式分解：221x x ++= 2(1)x + ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题运用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：2221(1)x x x ++=+，故答案为：2(1)x +．【点评】本题考查运用公式法进行因式分解，掌握公式法的基本形式并能熟练应用是解题的关键．23．（2022•邵阳）因式分解：224x y -= (2)(2)x y x y +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接运用平方差公式进行因式分解．【解答】解：224(2)(2)x y x y x y -=+-．【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．24．（2022•徐州）因式分解：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(1)(1)x x =+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．25．（2022•云南）分解因式：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．【解答】解：29(3)(3)x x x -=+-．故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】主要考查平方差公式分解因式，熟记能用平方差公式分解因式的多项式的特征，即“两项、异号、平方形式”是避免错用平方差公式的有效方法．26．（2022•兰州）因式分解：216a -= (4)(4)a a -+ ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：216(4)(4)a a a -=-+．故答案为：(4)(4)a a -+．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键．27.（2022•济南）因式分解：a 2＋4a ＋4＝ ．【考点】因式分解—运用公式法【分析】利用完全平方公式进行分解即可．【解答】解：原式＝(a ＋2)2，故答案为：(a ＋2)2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，关键是掌握完全平方公式：a 2±2ab ＋b 2＝(a ±b )2．28．（2022•金华）因式分解：29x -= (3)(3)x x +- ．【考点】平方差公式；因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(3)(3)x x =+-，故答案为：(3)(3)x x +-．【点评】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．29．（2022•台州）分解因式：21x -= (1)(1)x x +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】利用平方差公式分解即可求得答案．【解答】解：21(1)(1)x x x -=+-．故答案为：(1)(1)x x +-．【点评】此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．30．（2022•嘉兴）分解因式：21m -= (1)(1)m m +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)m m m -=+-．【点评】本题考查了平方差公式因式分解．能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项；符号相反．31．（2022•宁波）分解因式：221x x -+= 2(1)x - ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】直接利用完全平方公式分解因式即可．【解答】解：2221(1)x x x -+=-．【点评】本题考查了公式法分解因式，运用完全平方公式进行因式分解，熟记公式是解题的关键．32．（2022•深圳）分解因式：21a -= (1)(1)a a +- ．【考点】因式分解-运用公式法【分析】符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式分解因式．平方差公式：22()()a b a b a b -=+-．【解答】解：21(1)(1)a a a -=+-．故答案为：(1)(1)a a +-．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键．33．（2022•绵阳）因式分解：32312x xy -= 3(2)(2)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式，再套用平方差公式．【解答】解：原式223(4)x x y =-3(2)(2)x x y x y =+-．故答案为：3(2)(2)x x y x y +-．【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法和公式法是解决本题的关键．34．（2022•丹东）因式分解：2242a a ++= 22(1)a + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取2，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)a a =++22(1)a =+．故答案为：22(1)a +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．35．（2022•辽宁）分解因式：233x y y -= 3(1)(1)y x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．【解答】解：233x y y -3(1)(1)y x x =+-，故答案为：3(1)(1)y x x +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．36．（2022•恩施州）因式分解：3269a a a -+= 2(3)a a - ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【解答】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．37．（2022•哈尔滨）把多项式29xy x -分解因式的结果是 (3)(3)x y y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．【解答】解：29xy x -2(9)x y =-(3)(3)x y y =+-，故答案为：(3)(3)x y y +-．【点评】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．38．（2022•沈阳）因式分解：269ay ay a ++= 2(3)a y + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用完全平方公式分解因式得出即可．【解答】解：269ay ay a ++2(69)a y y =++故答案为：2(3)a y +．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．39．（2022•常德）分解因式：329x xy -= (3)(3)x x y x y +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】利用提公因式法和平方差公式进行分解，即可得出答案．【解答】解：329x xy -22(9)x x y =-(3)(3)x x y x y =+-，故答案为：(3)(3)x x y x y +-．【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握提公因式法和平方差公式是解决问题的关键．40．（2022•怀化）因式分解：24x x -= 2(1)(1)x x x +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式22(1)x x =-2(1)(1)x x x =+-．故答案为：2(1)(1)x x x +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．41．（2022•扬州）分解因式：233m -= 3(1)(1)m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式23(1)m =-3(1)(1)m m =+-．故答案为：3(1)(1)m m +-．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．42．（2022•赤峰）分解因式：32242x x x ++= 22(1)x x + ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式22(21)x x x =++22(1)x x =+．故答案为：22(1)x x +．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．43．（2022•宁夏）分解因式：32a ab -= ()()a a b a b +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】首先提取公因式a ，进而利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：32a ab -22()a a b =-()()a a b a b =+-．故答案为：()()a a b a b +-．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．44．（2022•甘肃）因式分解：34m m -= (2)(2)m m m +- ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】原式提取m ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式2(4)(2)(2)m m m m m =-=+-，故答案为：(2)(2)m m m +-【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．45．（2022•北京）分解因式：2xy x -= (1)(1)x y y -+ ．【考点】提公因式法与公式法的综合运用【分析】先提取公因式x ，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：2xy x -，2(1)x y =-，(1)(1)x y y =-+．故答案为：(1)(1)x y y -+．【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．46．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N ，若N 能被它的各数位上的数字之和m 整除，则称N 是m 的“和倍数”．例如：247(247)2471319÷++=÷=，247∴是13的“和倍数”．又如：214(214)2147304÷++=÷=⋯⋯，214∴不是“和倍数”．（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；（2）三位数A 是12的“和倍数”， a ，b ，c 分别是数A 其中一个数位上的数字，且a b c >>．在a ，b ，c 中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F （A ），最小的两位数记为G （A ），若()()16F AG A +为整数，求出满足条件的所有数A ． 【考点】因式分解的应用【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；（2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，根据“和倍数”的定义表示F （A ）和G （A ），代入()()16F A G A +中，根据()()16F AG A +为整数可解答． 【解答】解：（1）357(357)357152312÷++=÷=⋯⋯，357∴不是“和倍数”； 441(441)441949÷++=÷=，441∴是9的“和倍数”； （2）设(12,)A abc a b c a b c =++=>>，由题意得：F （A ）ab =，G （A ）cb =，。
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9.5 多项式的因式分解复习学案
班级 姓名 学号 得分 日期
一、知识梳理
1、因式分解的概念
把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.
注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.
2、提取公因式法
把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：
()ma mb mc m a b c ++=++
注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；
②字母：各项都含有的相同字母；
③指数：相同字母的最低次幂.
3、运用公式法
把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.
ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-
注意：①条件：两个二次幂的差的形式；
②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；
③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.
ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-
注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；
②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；
③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；
④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量.
补充：常见的两个二项式幂的变号规律：
①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）
4、分组分解法 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又
不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。
再提公因式，即可达到分解因式的目的。
例如：
22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，
这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.
原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.
二、典型例题及针对练习
考点1 因式分解的概念
例1、 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？
⑴2(3)(3)9x x x -+=- ； ⑵2524(3)(8)x x x x +-=-+；
⑶223(2)3x x x x +-=+- ； ⑷21
1()x x x x
-=-. 注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式..
考点2 提取公因式法
例2 ⑴y x y x y x 3234268-+-； ⑵23
()2()x x y y x --- 解：
注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.
[补例练习]1、⑴3222245954a b c a bc a b c +-； ⑵433()()()a b a a b b b a -+-+-
考点3、运用公式法
例3 把下列式子分解因式：
⑴22364a b -； ⑵22122
x y -
. 解：
注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.
例4把下列式子分解因式：
⑴2244x y xy --+； ⑵543351881a b a b a b ++. 解：
注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.
注：整体代换思想：a b 、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.
考点4、分组分解法
例5分解因式：
（1）2
2244z y xy x -+-； （2）b a b a a 2322-+-
（3）32222
2--++-y x y xy x
分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。
四项式一
般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。
★ 综合探究创新
例6 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值.
说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.
例7 已知2=+b a ，求
222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.
例8 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值.
说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.。