多项式的因式分解复习学案

9.5 多项式的因式分解复习学案

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一、知识梳理

1、因式分解的概念

把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把多项式因式分解.

注：因式分解是“和差”化“积”，整式乘法是“积”化“和差”故因式分解与整式乘法之间是互为相反的变形过程，因些常用整式乘法来检验因式分解.

2、提取公因式法

把ma mb mc ++，分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式()a b c ++是ma mb mc ++除以m 所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.用式子表求如下：

()ma mb mc m a b c ++=++

注：i 多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.

ii 公因式的构成：①系数：各项系数的最大公约数；

②字母：各项都含有的相同字母；

③指数：相同字母的最低次幂.

3、运用公式法

把乘法公式反过用，可以把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法.

ⅰ）平方差公式 22()()a b a b a b -=+-

注意：①条件：两个二次幂的差的形式；

②平方差公式中的a 、b 可以表示一个数、一个单项式或一个多项式；

③在用公式前，应将要分解的多项式表示成22b a -的形式，并弄清a 、b 分别表示什么.

ⅱ）完全平方公式 2222222(),2()a ab b a b a ab b a b ++=+-+=-

注意：①是关于某个字母（或式子）的二次三项式；

②其首尾两项是两个符号相同的平方形式；

③中间项恰是这两数乘积的2倍（或乘积2倍的相反数）；

④使用前应根据题目结构特点，按“先两头，后中间”的步骤，把二次三项式整理成222)(2b a b ab a ±=+±公式原型，弄清a 、b 分别表示的量.

补充：常见的两个二项式幂的变号规律：

①22()()n n a b b a -=-； ②2121()()n n a b b a ---=--．（n 为正整数）

4、分组分解法 定义：分组分解法，适用于四项以上的多项式，例如22a b a b -+-没有公因式，又

不能直接利用分式法分解，但是如果将前两项和后两项分别结合，把原多项式分成两组。再提公因式，即可达到分解因式的目的。例如：

22a b a b -+-=22()()()()()()(1)a b a b a b a b a b a b a b -+-=-++-=-++，

这种利用分组来分解因式的方法叫分组分解法.

原则：用分组分解法把多项式分解因式，关键是分组后能出现公因式或可运用公式.

二、典型例题及针对练习

考点1 因式分解的概念

例1、 在下列各式中，从左到右的变形是不是因式分解？

⑴2(3)(3)9x x x -+=- ； ⑵2524(3)(8)x x x x +-=-+；

⑶223(2)3x x x x +-=+- ； ⑷21

1()x x x x

-=-. 注：左右两边的代数式必须是恒等，结果应是整式乘积，而不能是分式或者是n 个整式的积与某项的和差形式..

考点2 提取公因式法

例2 ⑴y x y x y x 3234268-+-； ⑵23

()2()x x y y x --- 解：

注：提取公因式的关键是从整体观察，准确找出公因式，并注意如果多项式的第一项系数是负的一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数为正.提出公因式后得到的另一个因式必须按降幂排列.

[补例练习]1、⑴3222245954a b c a bc a b c +-； ⑵433()()()a b a a b b b a -+-+-

考点3、运用公式法

例3 把下列式子分解因式：

⑴22364a b -； ⑵22122

x y -

. 解：

注：能用平方差分解的多项式是二项式，并且具有平方差的形式.注意多项式有公因式时，首先考虑提取公因式，有时还需提出一个数字系数.

例4把下列式子分解因式：

⑴2244x y xy --+； ⑵543351881a b a b a b ++. 解：

注：能运用完全平方公式分解因式的多项式的特征是：有三项，并且这三项是一个完全平方式，有时需对所给的多项式作一些变形，使其符合完全平方公式.

注：整体代换思想：a b 、比较复杂的单项式或多项式时，先将其作为整体替代公式中字母.还要注意分解到不能分解为止.

考点4、分组分解法

例5分解因式：

（1）2

2244z y xy x -+-； （2）b a b a a 2322-+-

（3）32222

2--++-y x y xy x

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解，一般采用分组分解法，。四项式一

般采用“二、二”或“三、一”分组，五项式一般采用“三、二”分组，分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

★ 综合探究创新

例6 若25)4(22+++x a x 是完全平方式，求a 的值.

说明 根据完全平方公式特点求待定系数a ，熟练公式中的“a 、b ”便可自如求解.

例7 已知2=+b a ，求

222121b ab a ++的值. 说明 将所求的代数式变形，使之成为b a +的表达式，然后整体代入求值.

例8 已知1=-y x ，2=xy ，求32232xy y x y x +-的值.

说明 这类问题一般不适合通过解出x 、y 的值来代入计算，巧妙的方法是先对所求的代数式进行因式分解，使之转化为关于xy 与y x -的式子，再整体代入求值.