线性规划应用案例
线性规划应用举例
连续投资问题
例：人力资源分配的问题
例．某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人 员数如下： 班次 时间 所需人数 1 60 6：00 —— 10：00 2 70 10：00 —— 14：00 3 60 14：00 —— 18：00 4 50 18：00 —— 22：00 5 20 22： —— 2：00 6 30 2：00 —— 6：00 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续 工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员，既能 满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
假设 x1,x2,x3,x4,x5 分别为上面8种方案下料的原材料根数。这样我们建立 如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 + x6 ≥ 100 2x3 + 2x4 + x5 + x6 + 3x7 ≥ 100 3x1 + x2 + 2 x3 + 3x5 + x6 + 4x7 ≥ 100 x1,x2,x3,x4,x5 x6,x7 x8 ≥ 0
例：配料问题
例．某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不 同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂 应如何安排生产，使利润收入为最大？
产品名称 甲 乙 丙 原材料名称 1 2 3 规格要求 单价（元/kg） 50 原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超过 25% 35 原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超过 50% 25 不限 每天最多供应量 100 100 60 单价（元/kg） 65 25 35
线性规划应用案例分析
线性规划应用案例分析线性规划是一种在数学和运营管理中常见的优化技术。
它涉及到在一组线性不等式约束下，最大化或最小化一个线性目标函数。
这种技术可以应用于许多不同的领域，包括供应链管理、资源分配、投资组合优化等。
本文将探讨几个线性规划应用案例，以展示其在实际问题中的应用和价值。
某制造公司需要计划生产三种产品，每种产品都需要不同的原材料和生产时间。
公司的目标是最大化利润，但同时也受到原材料限制、生产能力限制以及每种产品市场需求限制的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的生产计划，即在满足所有约束条件下，最大化利润。
某物流公司需要计划将货物从多个产地运输到多个目的地。
公司的目标是最小化运输成本，但同时也受到运输能力、货物量和目的地需求的约束。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的运输方案，即在满足所有约束条件下，最小化运输成本。
某投资公司需要将其资金分配给多个不同的投资项目。
每个项目都有不同的预期回报率和风险水平。
公司的目标是最大化回报率，同时也要保证投资风险在可接受的范围内。
通过使用线性规划，该公司能够找到最优的投资组合，即在满足所有约束条件下，最大化回报率。
这些案例展示了线性规划在实践中的应用。
然而，线性规划的应用远不止这些，它还可以用于诸如资源分配、时间表制定、路线规划等问题。
线性规划是一种强大的工具，可以帮助决策者解决复杂的问题并找到最优解决方案。
线性规划是一种广泛应用的数学优化技术，适用于在多种资源限制下寻求最优解。
这种技术涉及到各种领域，包括工业、商业、运输、农业、金融等，目的是在给定条件下最大化或最小化线性目标函数。
下面我们将详细讨论线性规划的应用。
线性规划是一种求解最优化问题的数学方法。
它的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性方程组的求解，求得目标函数的最优解。
这里的约束条件通常表现为一组线性不等式或等式，而目标函数则通常表示为变量的线性函数。
工业生产：在工业生产中，线性规划可以用于生产计划、物料调配、人力资源分配等方面。
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例即两为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(的实际应用举例加以说明。
个变量的线性规划)1 物资调运中的线性规划问题万个40万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运1 A，B两仓库各有编织袋50例/元万个、180/万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元到甲地，20元／万个。
问如何调运，能150/万个、万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元? ?总运费的最小值是多少使总运费最小仓库调Bz元。
那么需从x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为解：设从A仓库调运40-x万个到甲地，调运运万个到乙地。
20-y从而有。
z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+70001)(图，即可行域。
作出以上不等式组所表示的平面区域z'=z-7000=20x+30y. 令：20x+30y=0，作直线l且与原点距离最小，0)，，l的位置时，直线经过可行域上的点M(30l把直线向右上方平移至l y=0时，即x=30，亦取得最小值，取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000z'=20x+30y 元)。
30+30×z=20×0+7000=7600(min万个到乙地，可使总万个到甲地，20B30万个到甲地，从仓库调运10A答：从仓库调运元。
运费最小，且总运费的最小值为76002 产品安排中的线性规划问题吨，麦麸0.4吨需耗玉米某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料2例1O.4吨，其余添加剂0.2．吨甲种1吨，其余添加剂0.2吨。
每吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3元。
可供饲料厂生产的玉米供应500元，每1吨乙种饲料的利润是饲料的利润是400吨。
问甲、乙300吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过量不超过600 ? ?最大利润是多少两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大1。
线性规划的实际应用举例
线性规划的实际应用举例为了便于同学们掌握线性规划的一般理论和方法，本文拟就简单的线性规划(即两个变量的线性规划)的实际应用举例加以说明。
1 物资调运中的线性规划问题例1 A，B两仓库各有编织袋50万个和30万个，由于抗洪抢险的需要，现需调运40万个到甲地，20万个到乙地。
已知从A仓库调运到甲、乙两地的运费分别为120元/万个、180元/万个；从B仓库调运到甲、乙两地的运费分别为100元/万个、150元／万个。
问如何调运，能使总运费最小?总运费的最小值是多少?解：设从A仓库调运x万个到甲地，y万个到乙地，总运费记为z元。
那么需从B仓库调运40-x万个到甲地，调运20-y万个到乙地。
从而有z=120x+180y+100(40-x)+150·(20-y)=20x+30y+7000。
作出以上不等式组所表示的平面区域(图1)，即可行域。
令z'=z-7000=20x+30y.作直线l：20x+30y=0，把直线l向右上方平移至l l的位置时，直线经过可行域上的点M(30，0)，且与原点距离最小，即x=30，y=0时，z'=20x+30y取得最小值，从而z=z'+7000=20x+30y+7000亦取得最小值，z min=20×30+30×0+7000=7600(元)。
答：从A仓库调运30万个到甲地，从B仓库调运10万个到甲地，20万个到乙地，可使总运费最小，且总运费的最小值为7600元。
2 产品安排中的线性规划问题例2某饲料厂生产甲、乙两种品牌的饲料，已知生产甲种饲料1吨需耗玉米0.4吨，麦麸0.2吨，其余添加剂O.4吨；生产乙种饲料1吨需耗玉米0.5吨，麦麸0.3吨，其余添加剂0.2吨。
每1吨甲种饲料的利润是400元，每1吨乙种饲料的利润是500元。
可供饲料厂生产的玉米供应量不超过600吨，麦麸供应量不超过500吨，添加剂供应量不超过300吨。
问甲、乙两种饲料应各生产多少吨(取整数)，能使利润总额达到最大?最大利润是多少?分析：将已知数据列成下表1。
线性规划应用案例
市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
线性规划应用案例
线性规划应用案例线性规划是一种在约束条件下寻找最优解的数学优化方法。
它在实际应用中广泛使用，涉及许多领域和行业。
本文将介绍两个典型的线性规划应用案例：运输问题和产能规划问题。
一、运输问题运输问题是线性规划最早发展起来的一个领域，它是指如何在各个供应地和需求地之间运输商品，以使得总运输成本最小。
一个典型的运输问题可以描述为：有m个供应地和n个需求地，每个供应地和需求地之间有一个固定的运输成本和一个固定的供应和需求量。
问题是如何确定每对供需地之间的运输量，以使得总运输成本最小。
举例来说，假设有三个供应地A、B、C，三个需求地X、Y、Z。
运输成本如下表所示：\begin{array}{ c c c c c c }&X&Y&Z&供应量\\A&10&12&8&100\\B&6&8&7&200\\C&9&10&11&300\\需求量&150&175&125&\\\end{array}求解此问题的线性规划模型如下：目标函数：minimize \quad Z = 10x_{11} + 12x_{12} + 8x_{13} + 6x_{21} + 8x_{22} + 7x_{23} + 9x_{31} + 10x_{32} + 11x_{33}约束条件：x_{11} + x_{12} + x_{13} \leq 100x_{21} + x_{22} + x_{23} \leq 200x_{31} + x_{32} + x_{33} \leq 300x_{11} + x_{21} + x_{31} \geq 150x_{12} + x_{22} + x_{32} \geq 175x_{13} + x_{23} + x_{33} \geq 125x_{ij} \geq 0, i = 1,2,3 \quad j = 1,2,3其中x_{ij}表示从供应地i到需求地j的运输量。
线性规划运用举例
线性规划运用举例线性规划是一种经济学和数学领域中的数学优化技术，其主要目的是将某些目标函数在满足一定的约束条件下最大或最小化。
线性规划在现代经济学、决策科学、制造业和生产管理等领域都有广泛的应用。
下面将举例说明线性规划在实际生产和管理中的应用。
1. 生产计划方案优化生产计划方案优化是一个很复杂的问题。
企业的目标是尽可能地减少生产和仓储成本，同时保证所生产的产品能满足市场需求。
线性规划可以帮助企业找到一个最优的计划方案，使得成本最小化，并能够满足市场需求。
例如，生产一种食品有两个不同的发酵温度可以选择。
这个决策需要考虑到提高产量的同时也要保证产品质量。
通过将这个问题转化为线性规划问题，可以确定最佳的温度条件，以最小化生产成本并且保证产品质量。
2. 资源分配问题企业在日常运营中需要管理各种资源，如员工，机器等。
为了确保资源的有效利用，企业需要通过资源分配来确保生产能力最优化。
线性规划可以帮助企业分配资源，使得资源利用更加高效，成本更加低廉和运营更加有效。
例如，在生产线上，可以通过线性规划算法来优化设备的分配和维护计划，使得设备的维护和使用更加平滑，减少因设备故障造成的损失和停机时间。
3. 市场销售策略线性规划也可以帮助企业确定最优的市场营销策略。
在一个竞争激烈的市场中，企业需要考虑产品的定价，销售渠道和营销推广策略等因素。
通过将这些因素转化为线性规划问题，企业可以找到最优的市场营销策略。
例如，在销售一种产品时，企业可以通过确定最优价格来最大化销售收入。
总之，线性规划在生产和管理中的应用非常广泛。
通过线性规划算法可以解决非常复杂的问题，帮助企业做出最优的决策，从而实现成本最小化和收益最大化。
线性规划 实际案例
线性规划是一种数学优化模型，用于解决在有一些约束条件下，如何使一个目标函数达到最优解的问题。
线性规划广泛应用于许多实际案例中，其中一些常见的案例如下：
1.生产规划：在生产过程中，企业可能需要在有限的生产资源和需求的限制下，决策
生产的数量、成本、产品组合等，以使生产效益最大化。
这就需要用到线性规划模
型来解决。
2.交通规划：在城市规划过程中，市政部门可能需要决策道路的建设、扩建、维护等，
以满足城市交通需求，并考虑到道路建设的成本和环境影响等因素。
这时候可以使
用线性规划模型来解决。
3.财务规划：在进行财务管理时，企业或个人可能需要在有限的资金和资产的限制下，
决策投资、储蓄、借贷等，以使财务效益最大化。
这时候可以使用线性规划模型来
解决。
4.供应链管理：在供应链管理过程中，企业可能需要决策采购、生产、运输、库存等
各个环节，以保证供应链的流畅运行并达到最优的效益。
这时候可以使用线性规划
模型来解决。
这些都是线性规划在实际案例中的应用，线性规划能够帮助企业和组织在有限的条件下，有效地规划和决策，并取得较好的效益。
线性规划案例(2)
饮食规划问题分析摘要本案例旨在解决一个与饮食规划相关的管理问题。
通过应用线性规划方法，我们将建立一个模型来帮助一个人根据营养需求和食材成本，制定最佳的饮食计划。
问题描述希望根据自己的营养需求，在预算限制下制定每日的饮食计划。
1确保摄入足够的蛋白质、碳水化合物、脂肪和维生素，并且希望最小化食材的总成本。
2已知不同食材的营养含量和价格，确定每种食材的最佳购买量，以满足所需的营养需求并节约成本。
模型的构建1. 变量定义：- Xi：购买的食材i的数量（单位：克）2. 目标函数：Minimize: ∑(i) Pi * Xi其中，Pi表示食材i的价格（单位：货币单位/克）3. 约束条件：蛋白质约束：∑(i) Ni * Xi ≥P碳水化合物约束：∑(i) Ci * Xi ≥C脂肪约束：∑(i) Fi * Xi ≥ F维生素约束：∑(i) Vi * Xi ≥V预算约束：∑(i) Pi * Xi ≤ B非负约束：Xi ≥0为了模拟数据，我们将使用一个简化的饮食规划问题来说明。
假设我们有以下食材和相关参数：4 变量确定鸡胸肉：价格0.3 货币单位/克，蛋白质含量20g/100g，碳水化合物含量0g/100g，脂肪含量2g/100g，维生素含量0g/100g米饭：价格0.1 货币单位/克，蛋白质含量7g/100g，碳水化合物含量28g/100g，脂肪含量0.3g/100g，维生素含量0g/100g鸡蛋：价格0.2 货币单位/克，蛋白质含量13g/100g，碳水化合物含量1.1g/100g，脂肪含量10g/100g，维生素含量0.2g/100g个人营养需求：蛋白质需求：每日需要摄入至少50g碳水化合物需求：每日需要摄入至少150g脂肪需求：每日需要摄入至少30g维生素需求：每日需要摄入至少0.5g预算限制：每日食材购买总成本不超过10 货币单位5建立线性规划模型（1）变量定义：X1：购买的鸡胸肉数量（单位：克）X2：购买的米饭数量（单位：克）X3：购买的鸡蛋数量（单位：克）（2）目标函数：Minimize: 0.3 * X1 + 0.1 * X2 + 0.2 * X3（3）约束条件：蛋白质约束：20/100 * X1 + 7/100 * X2 + 13/100 * X3 ≥50碳水化合物约束：0/100 * X1 + 28/100 * X2 + 1.1/100 * X3 ≥150脂肪约束：2/100 * X1 + 0.3/100 * X2 + 10/100 * X3 ≥30维生素约束：0/100 * X1 + 0/100 * X2 + 0.2/100 * X3 ≥0.5预算约束：0.3 * X1 + 0.1 * X2 + 0.2 * X3 ≤10非负约束：X1 ≥0, X2 ≥0, X3 ≥06 模型的spss求解与分析我们将根据上述数据和模型构建的线性规划模型来进行分析。
线性规划综合案例
X3 -1/2 -1/3 -4 -2/3 σ
2+(2/3)a 用 B-1 b= 11-(1/6)a 代替常数项
因为 a>6， 则1-(1/6) a<0，原始不可行， a>6， a<0，原始不可行， 但是对偶可行。用对偶单纯形法求解。 但是对偶可行。用对偶单纯形法求解。
cj
cB XB 19 X4
9 8 50 19 0 0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 b 2 4/3 0 1 2/3 -10/3 2+(2/3)a 0 -1/6 4/3 1-(1/6)a 0 -13/3 -10/3 88+(13/3)a
当 a >6 , a<-3时，原最优基改 a<变了。 情形： 变了。下面讨论 a >6 情形：原 问题最优基。 问题最优基。
cj
cB 19 50
XB X4
9 x1 2
8 50 19 0 0 x2 x3 x4 x5 x6 b 4/3 0 1 2/3 -10/3 2 1 0 0 -1/6 4/3 1 0 -13/3 -10/3 88
X3 -1/2 -1/3 -4+a -2/3 σ
仅当 -4 + a<0时，即a<4，原最优 a<0时 a<4， 解不变，最优利润值还是88万元。 解不变，最优利润值还是88万元。 88万元 说明每万件A产品的利润不超过13 说明每万件A产品的利润不超过13万 13万 元时，原最优决策方案不变。 元时，原最优决策方案不变。 当a>4时，即每万件A产品的利润超 a>4时 即每万件A 过13万元时，B 已经不是最优基， 13万元时， 已经不是最优基， 万元时 继续进行最优化。 继续进行最优化。
线性规划应用案例
的预算分配。列出广告的总宣传率并指出总的可以到达的潜在新客户 数。
2）如果广告预算增加10000美元，那么总的宣传率会怎么变化？ 3）讨论目标函数系数的变化范围。该变化范围揭示了推荐的解决方 案对HJ的宣传率系数有多敏感？ 4）在审阅了HJ的推荐方案后，火烈鸟烤肉饭店的管理层想要知道若 广告活动的目标变化最大化达到的潜在客户，则推荐方案会有什么变 化？在这个目标下构建媒体使用计划模型。 5）比较问题1和4中的推荐方案，你对于火烈鸟烤肉饭店的广告活动 有何建议？
火烈鸟公司管理层接受了最大化各种媒体总宣传率作为这次广告运
动的目标。由于管理层很在意吸引新的客户，因此希望这次广告活动至 少能达到100000个新客户。为了平衡广告宣传活动以及充分利用广告媒 体，火烈鸟公司管理团队还采纳了以下方针：
1） 广播广告运用的次数至少是电视广告的2倍； 2） 电视广告不能运用超过20次；
的不同。（目标函数系数的取值范围在这两种模型中的含义 有什么不同）
案例3 Cinergy煤分配
Cinergy公司为位于印第安纳、肯塔基及俄亥俄州的客户发电并配 送电力。该公司每年运作其燃煤及燃气发电厂所需的燃料花费为7.25亿 —7.5亿美元。发电厂所需的燃料中，92%—95%为煤炭。Cinergy公司 有10家燃煤发电厂，5家坐落在内陆，另外5家坐落在俄亥俄河上，有的 工厂不止一套发电设备。作为全美第7大燃煤单位，Cinergy公司每年使 用2800万—2900万吨煤，平均每天花费约200万元。
公司构造了一个模型，以确定每个发电单位需生产的电量【以百万 瓦时（mWh）为单位】及衡量发电单位的效率（以发热率为标准）。 发热率是指生产千瓦时（kWh）的电力所需的BTU总量。
线性规划问题应用举例
表5.19
5
6
1根
0根
5根
6根
0.12
0.32
巩固知识 典型例题
设采用第j种截法的钢管数为xj根(j=1,2,…6). 建立线性规划模型： 目标函数
min Z x j ,
利润为11250单位.
巩固知识 典型例题
案例3 环境保护问题 某河流旁设置有甲、乙两座化工厂，如图 5-11 所 示 ， 已 知 流 经 甲 厂 的 河 水 日 流 量 为 500×104m3, 在两厂之间有一条河水日流量为 200×104m3的支流. 甲、乙两厂每天生产工业 污水分别为2×104m3和1.4×104m3 ，甲厂排出 的污水经过主流和支流交叉点 P后已有20%被 自然净化 . 按环保要求，河流中工业污水的含 量不得超过 0.2% ，为此两厂必须自行处理一 部分工业污水，甲、乙两厂处理每万立方米污 水的成本分别为1 000元和800元.问：在满足 环保要求的条件下，各厂每天应处理多少污水， 才能使两厂的总费用最少？试建立规划模型， 并求解.
满足
利用Excel软件求解： 结果为：xA=0, xB=4, xC=16 总费用最少为44.
巩固知识 典型例题
案例 5 运输问题 设有两座铁矿山 A 、 B ，另有三个炼铁厂甲、 乙、丙需要矿石，各矿日产量和各厂日需量及对 应的运价（元）如表5.18给出，问怎样调运送矿 石才能使总费用最小？ 表5.18 铁矿山 A B 矿石需求量
0 x5 0 1 0
1 2
1 4 5 4
bi 8000 6000 0 5000 1500 7500 2500 250 11250
线性规划运用举例
3、排班问题 邮局一年356天都要有人值班，每天需要的职工人 数因业务忙闲而异，据统计邮局每天需要的人数按 周期变化，一周内每天需要的人数如下：
周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日
17
13
15
19
14
16
11
排班要符合每周连续工作五天，休息两天的规定， 如何排班可使用人最少？
4、背包问题 例：一登山队员做登山准备，需要携带的物品有： 食品、氧气、冰镐、绳索、帐篷、照相机和通讯设 备。每种物品的重要性系数和重量见下表：
大于等 于70 大于等 于80 大于等 于85
1200 1500
问题分析:最优调和方案 什么原料调入什么产品，调入的数量是多少 目标：调和方案的利润最大
利润=销售收入-调和成本
=产品价格*销售数量-原料成本*用量 变量：产品数量？原料数量？其他量？
j产品生产数量=各原料调入j产品数量和 i原料使用量=i原料调入各个产品的数量和
整数规划应用举例
• 整数变量
• 特殊约束处理
• 背包问题 • 集合覆盖问题 • 固定费用问题 • 旅行推销商问题
• 下料问题
…
1、整数变量 • 表示不可分割的数量； • 表示决策变量（0-1整数变量，具有很多优良特点）；
• 表示决策变量之间的逻辑关系，例如，决策i必须以决策
j的结果为前提；
• 描述互斥的选择，从多种方案中选择一个方案；
产品 普通洗衣粉 普通洗涤剂 浓缩洗衣粉 高级洗衣剂 销售价格 元/公斤 8 12 24 55 加工成本 元/公斤 3 3
3、多周期动态生产计划问题 例：华新机器制造厂专为拖拉机厂配套生产柴油机。今年 头四个月收到的订单数量分别为3000，4500,3500,5000 台柴油机，该厂正常生产每月可生产柴油机3000台，利用 加班还可生产1500台。正常生产成本为每台5000元，加 班生产还要追加1500元成本，库存成本为每台每月200元。 华新厂如何组织生产才能使其生产成本最低？
线性规划应用案例
市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体5.电台早8:00或晚5:00新闻3001003020（30秒）KNOP台REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
线性规划应用案例
板材下料优化方法案例本案例以上海某柴油机厂某车间某年某月所需3种2mm厚度的板材零件下料为例，说明线性规划在下料中的应用及其在提高材料利用率方面所能产生的显著经济效益。
同时，该案例所介绍的工作流程还是一种非常简单实用、便于操作、效果良好的板材下料优化方法，可供各企业在生产中参考运用。
一．板材下料优化方法的特点及其工作流程用线性规划求解最优下料方案，通常要求首先设计出所有可行合理的下料方式，然后建立LP模型求解最优下料方案。
由于板材下料是典型的二维下料，每一种下料方式对应一张排料图，在零件种类较多的情况下，要绘制出所有可行且合理的排料图，不仅工作量非常巨大，而且也是不现实的。
为减少绘制排料图的工作量，同时又能达到良好的效果，我们在此给出了一种高效的板材下料优化方法的工作流程。
该工作流程有如下特点：1.对绘制排料图的要求不高。
开始时，只需选作少量包含各种零件且材料利用率较高的排料图，这不仅可简化绘图工作量，还可简化模型。
2.对所得最优解进行最优化后分析。
若初始最优解效果不理想，则通过有针对性地再增绘少量排料图后重新求解，通常就可达到事半功倍的效果（该步骤属于将在第十一章介绍的敏感性分析中的“增加新的决策变量”，但我们是用计算机求解，故可不涉及敏感性分析的概念）。
3.通常板材下料问题中的变量应当是整数，若采用整数规划求解，则显然会使材料利用率降低。
这里我们先采用线性规划求解，对得到的最优解通过舍去小数部分取整，对取整后的零件短缺数，再绘制少量排料图解决。
此“取整修正”方法可比使用整数变量求解得到更高的材料利用率。
图1 板材下料优化方法工作流程二．实际操作中的几点注意事项1.绘制排料图时的注意事项为简化排料图的绘制，排料前应先将零件进行分类，一般可分为以下三类：（1）零件边长大于钢板短边的一类。
此类零件在钢板上只有一种排法，对材料利用率影响较大，应注意利用余料安排其他尺寸较小的零件。
（2）零件两边均小于钢板短边的一类。
运筹学线性规划案例
运筹学线性规划案例线性规划是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何利用数学模型来解决最优化问题。
在实际应用中，线性规划可以帮助企业做出最佳的决策，使资源得到最大化利用。
本文将通过一个实际案例来介绍线性规划的应用，以便读者更好地理解和掌握这一方法。
假设某公司生产两种产品A和B，它们分别需要机器加工和人工装配。
公司拥有的机器和人工资源分别为每周80小时和60人天。
产品A每单位需要机器加工2小时，人工装配3人天；产品B每单位需要机器加工3小时，人工装配2人天。
每单位产品A的利润为2000元，产品B的利润为3000元。
现在的问题是，如何安排生产计划，才能使得利润最大化呢？首先，我们可以将该问题建立成数学模型。
假设x1和x2分别表示生产产品A 和B的单位数，则该问题可以表示为：Max Z=2000x1+3000x2。
约束条件为：2x1+3x2≤80。
3x1+2x2≤60。
x1≥0，x2≥0。
接下来，我们可以通过线性规划的方法来求解最优解。
在这里，我们不妨使用单纯形法来进行求解。
首先，我们将约束条件转化成标准形式，得到：2x1+3x2+s1=80。
3x1+2x2+s2=60。
x1≥0，x2≥0。
然后，我们构造初始单纯形表，并进行单纯形法的迭代计算。
最终得到最优解为x1=20，x2=10，此时利润最大为80000元。
通过这个简单的案例，我们可以看到线性规划在实际中的应用。
通过建立数学模型和运用线性规划方法，我们可以很好地解决类似的最优化问题，使得资源得到最大化利用，从而帮助企业做出更加科学合理的决策。
总之，线性规划作为运筹学中的重要方法，具有广泛的应用前景。
通过不断地学习和实践，我们可以更好地掌握线性规划的原理和方法，为实际问题的解决提供更加科学的支持。
希望本文的案例能够帮助读者更好地理解线性规划的应用，从而在实际工作中能够更好地运用这一方法，取得更好的效果。
线性规划案例及应用
案例及应用：麦基油漆公司麦基油漆公司在新英格兰、太平洋西岸中部和中西部地区诸州经营4个工厂和5个仓库。
该公司生产的油漆，85%供国内外用户消费，其余的供应公司在纽约地区开设的15家商店，再由它们零售分配给600个独立的特许专营商。
最近几年，麦基公司的油漆占市场销售量的比例下降了6个百分点。
15家最好的零售商已转向经营其他公司的油漆。
店主们说售货盈利太少。
销售经理维恩在了解和认真研究了这种情况后，在一份报告中写道：“在产品质量和交货期方面，我们和多数竞争对手一样一直做得不错，或者说比他们还要好一些，但是在价格方面我们未能占上风。
在4种销售量最大的油漆中，我们有3种定价最高。
为了提高我们的市场占有率，我认为我们至少必须把各种油漆的定价削减5% ，能削减7% 则更好。
我还建议在各地多开设一些自己的零售商店，这将有助于补偿因削价造成的损失，同时能促使整个销售量达到应有的水平。
”T.A麦基是公司的常务付总经理，他的哥哥H.B麦基任总经理兼司库。
在研究维恩的报告时，T.A麦基说：“汉克，你关于推进降低成本的想法或许是对的。
我们的毛利已很微薄，而金融市场的行情你比我更清楚。
如果你认为我们无法以合适的条件获得资金在纽约市外增设联营零售店的话，我们就只能通过降低成本来弥补削价所造成的损失。
”麦基公司的4个工厂的设备都能生产公司销售的各种油漆。
因种种原因，各厂的平均直接单位成本并不一致。
有一个工厂的颜料粉碎机和调和装置已使用了20年之久，而其余3个厂的才分别使用了3年、5年和6年，因此，老厂的每工时劳动生产率和设备的运行与维修的劳动成本较高。
由于运输距离和费用的不同，各厂按离岸价格计算的原料（如颜料、化工产品和调和机械器具等，成本也不相同。
另外，各厂在工资方面也略有差异）。
麦基公司生产油漆的工艺简单地说包含三个过程。
首先，在两个旋转的大钢罐内把颜料彻底粉碎成糊状，使它们达到规定的颜色、浓度和均匀度。
其次，把粉碎后的颜料同选好的载色剂（通常用油或清漆）投入巨大的容器中，通过机械搅拌器进行调和。
（完整版）线性规划案例
（完整版）线性规划案例1.人力资源分配问题设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数最少？解：设x i 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6约束条件：s.t. x1 + x6 ≥60x1 + x2 ≥70x2 + x3 ≥60x3 + x4 ≥50x4 + x5 ≥20x5 + x6 ≥30x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥0运用lingo求解：Objective value: 150.0000ariable Value Reduced Cost X1 60.00000 0.000000X2 10.00000 0.000000X3 50.00000 0.000000X4 0.000000 0.000000X5 30.00000 0.000000X6 0.000000 0.000000例2．一家中型的百货商场，它对售货员的需求经过统计分析如下表所示。
为了保证售货人员充分休息，售货人员每周工作5天，休息两天，并要求休息的两天是连续的。
问应该如何安排售货人员的作息，既满足工作需要，又使配备的售货人员的人数最少？解：设x i ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。
目标函数：Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7约束条件：s.t. x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≥15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 ≥25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 ≥19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 ≥31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 ≥28x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7 ≥0lingo求解Objective value: 36.00000Variable Value Reduced Cost X1 12.00000 0.000000X2 0.000000 0.3333333 X3 11.00000 0.000000X4 5.000000 0.000000X5 0.000000 0.000000X6 8.000000 0.000000X7 0.000000 0.000000例3. 某储蓄所每天的营业时间为上午9:00到下午17:00，根据经验，每天不同时间段所需要储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。
线性规划算法的应用案例
线性规划算法的应用案例线性规划是应用最广泛的数学优化方法之一，也是一种非常有效的运筹学技术。
它的基本思想是将问题建模成一组线性方程和线性不等式的组合，通过寻找最优解来实现目标最大化或最小化。
线性规划算法广泛应用于制造业、金融、物流和交通等领域，以下将介绍几个重要的应用案例。
1. 生产计划和调度线性规划算法可以用于制造业的生产计划和调度。
例如，在一家造纸厂中，有若干个可用的生产线、仓库和运输车辆，需要考虑原材料的成本、工人的人工费用、工厂的能耗费用以及运输的成本等因素，制定出最佳的生产计划和调度方案。
对于这类问题，可以将目标函数设置为生产成本最小化或产出效率最大化，约束条件包括原材料的库存量、生产线的容量和物流的时间窗口等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的生产计划和调度方案，使得企业的生产效率和盈利能力得到提升。
2. 市场营销和广告投放线性规划算法可以帮助企业制定最佳的市场营销和广告投放方案。
例如，在一家快递公司中，需要制定如何调整价格策略、开拓市场份额、投放广告等方案，以达到最大化利润或最小化成本的目标。
对于这类问题，可以将目标函数设置为销售额最大化或成本最小化，约束条件包括市场份额的限制、广告投放预算的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的市场营销和广告投放方案，提高企业的营销效率和市场竞争力。
3. 交通运输和物流配送线性规划算法可以用于交通运输和物流配送领域。
例如，在一个物流中心中，需要规划配送路线和运输车辆的分配，以最小化交通堵塞和物流成本的影响。
对于这类问题，可以将目标函数设置为运输成本最小化或配送效率最大化，约束条件包括车辆数量的限制、货物配送时间的限制等。
通过使用线性规划算法，可以得到最佳的路线规划和车辆分配方案，提高企业的配送效率和物流运转效率。
4. 金融投资和风险管理线性规划算法可以用于金融投资和风险管理领域。
例如，在一个投资银行中，需要制定最佳的投资组合和股票交易策略，以最大化收益和降低风险。
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市场营销应用案例一：媒体选择在媒体选择中应用线性规划的目的在于帮助市场营销经理将固定的广告预算分配到各种广告媒体上，可能的媒体包括报纸、杂志、电台、电视和直接邮件。
在这些媒体中应用线性规划，目的是要使宣传范围、频率和质量最大化。
对于应用中的约束条件通常源于对公司政策、合同要求及媒体的可用性。
在下面的应用中，我们将介绍如何应用线性规划这一工具来建立模型进而解决媒体选择问题。
REL发展公司正在私人湖边开发一个环湖社区。
湖边地带和住宅的主要市场是距离开发区100英里以内的所有中上收入的家庭。
REL公司已经聘请BP&J 来设计宣传活动。
考虑到可能的广告媒体和要覆盖的市场，BP&J建议将第一个月的广告局限于5种媒体。
在第一个月末，BP&J将依据本月的结果再次评估它的广告策略。
BP&J已经收集到了关于受众数量、广告单价、各种媒体一定周期内可用的最大次数以及评定5种媒体各自宣传质量的数据。
质量评定是通过宣传质量单位来衡量的。
宣传质量单位是一种用于衡量在各个媒体中一次广告的相对价值的标准，它建立于BP&J在广告业中的经验，将众多因素考虑在内，如受众层次（年龄、收入和受众受教育的程度）、呈现的形象和广告的质量。
表4-1列出了收集到的这些信息。
表4-1 REL发展公司可选的广告媒体REL发展公司提供给BP&J第一个月广告活动的预算是30000美元。
而且，REL公司对BP&J如何分配这些资金设置了如下限制：至少要使用10次电视广告，达到的受众至少要有50000人，并且电视广告的费用不得超过18000美元。
应当推荐何种广告媒体选择计划呢？案例二：市场调查公司开展市场营销调查以了解消费者个性特点、态度以及偏好。
专门提供此种信息的市场营销调查公司，经常为客户机构开展实际调查。
市场营销调查公司提供的典型服务包括涉及计划、开展市场调查、分析收集数据、提供总结报告和对客户提出意见。
在调查设计阶段，应当对调查对象的数量和类型设定目标或限额。
市场营销调查公司的目标是以最小的成本满足客户要求。
市场调查公司（MSI）专门评定消费者对新的产品、服务和广告活动的反映。
一个客户公司要求MSI帮助确定消费者对一种近期推出的家具产品的反应。
在与客户会面的过程中，MSI统一开展个人入户调查，以从有儿童的家庭和无儿童的家庭获得回答。
而且MSI还同意同时开展日间和晚间调查。
尤其是，客户的合同要求依据以下限制条款进行1000个访问：●至少访问400个有儿童的家庭；●至少访问400个无儿童的家庭；●晚间访问的家庭数量必须不少于日间访问的家庭数量；●至少40%有儿童的家庭必须在晚间访问；●至少60%无儿童的家庭必须在晚间访问。
因为访问有儿童的家庭需要额外的访问时间，而且晚间访问者要比日间访问者获得更多收入，所以成本因访问的类型不同而不同。
基于以往的调查研究，预计的访问费用如下表所示：以最小总访问成本满足合同要求的家庭——时间访问计划是什么样的呢？财务应用案例一：投资组合投资组合选择问题所涉及的情况是财务经理从多种投资选择中选择具体的一些投资，如股票和债券、共有基金、信用合作社、保险公司等等，银行经理们经常会遇到这样的麻烦。
投资组合选择问题的目标函数通常是使预期收益最大化或使风险最小化。
约束条件通常表现为对准许的投资类型，国家法律，公司政策，最大准许风险等方面的限制。
对于此类问题，我们可以通过使用各种数学规划方法建立模型进而求解。
此节中，我们将把投资组合选择问题作为线性规划问题来求解。
假设现在有一家坐落于纽约的威尔特（Welte）共有基金公司。
公司刚刚完成了工业债券的变现进而获得了100,000美元的现金，并正在为这笔资金寻找其他的投资机会。
根据威尔特目前的投资情况，公司的上层财务分析专家建议新的投资全部投在石油、钢铁行业或政府债券上。
分析专家已经确定了5个投资机会，并预计了它们的年收益率。
表4-3是各种投资及它们的收益率。
威尔特的管理层已经设置了以下的投资方针：1.在任何行业（石油或钢铁）的投资不得多于50000美元。
2.对政府债券的投资至少相当于对钢铁行业投资的25%。
3.对太平洋石油这样高收益但高风险的投资项目，投资额不得多于对整个石油行业投资的60%。
可使用的100,000美元应该以什么样的投资方案（投资项目及数量）来投资呢？以预期收益最大化为目标，并遵循预算和管理层设置的约束条件，我们可以通过建立并解此问题的线性规划模型来回答它。
解决方案将为威尔特共有基金公司的管理层提供建议。
案例二：财务计划威尔特公司建立了一项提前退休计划，作为其公司重组的一部分。
在自愿签约期结束前，68位雇员办理了提前退休手续。
因为这些人的提前退休，在未来的8年里，公司将承担以下责任，每年年初支付的现金需求如下表所示：公司的财务人员必须决定现在应将多少数量的钱存放在一边，以便应付8年期的负债到期时的支付。
该退休计划的财务计划包括政府债券的投资及储蓄。
对于政府债券的投资限于以下3种选择：政府债券的面值是1000美元，这意味着尽管价格不同，在到期时，也都支付1000美元。
表中所示的比率是基于面值的。
为了制定这个计划，财务人员假设所有没投资于债券的资金都将用于储蓄，且每年可获得4%的利息。
我们定义如下决策变量：F=退休计划所形成的8年期债务所需第一年的总金额,B1=在第一年年初买入的债券1的单位数量,B2=在第一年年初买入的债券2的单位数量,B3=在第一年年初买入的债券3的单位数量,Si=在第i年年初投资于储蓄的金额（i=1，2……8）目标函数用于求出满足退休计划带来的8年期债务所需资金的最小值，即Min F。
这类财务计划问题的重要特点是必须为每年计划范围写出约束条件。
大体上，每个约束条件都采用下面的形式：年初可使用资金 - 投资于债券与储蓄的资金= 该年现金支付责任生产管理应用案例一：制造或购买决策我们利用线性规划来决定生产一些零配件时，一个公司每一种分别应该生产多少，又应该从外部购进多少。
像这样的决策叫做“制造或购买决策（产或购决策）”。
嘉德思（Janders）公司经营多种商用和工程产品。
现在，嘉德思公司正准备推出两款新的计算器。
其中一款是用于商用市场的，叫做“财务经理”；另一款用于工程市场，叫做“技术专家”。
每款计算器由3种零部件组成：一个基座、一个电子管和一个面板，即外盖。
两种计算器使用相同的基座，但电子管和面板则不相同。
所有的零部件生产都可以由公司自己生产或从外部购买。
零部件的生产成本和采购价格汇总见表4-5。
表4-5 嘉德思计算器零配件的生产成本和采购价格嘉德思的预测师们指出总共将需要3000台财务经理和2000台技术专家。
但是，因为这个公司生产能力有限，这个公司仅能安排200个小时的正常工作时间和50个小时的加班时间用于计算器的生产。
加班时间需要每小时多付给员工9美元的加班奖金，即额外成本。
表4-6显示了各零部件所分得的生产时间（以分钟计）。
嘉德思公司的问题是决定每种零部件有多少单位自己生产，多少单位从外部购买。
表4-6 嘉德思计算器各零配件每单位的生产时间案例二：生产计划线性规划方案最重要的应用是安排多个时期的计划，比如生产计划。
根据生产计划问题的解，经理能够在一定的时间段（几星期或几个月内）为一个或多个产品制定一个高效低成本的生产计划。
其实生产计划问题也可以看做是未来某个时期的生产调配问题。
经理必须决定生产水平，使公司能够满足生产需求，在收到产品生产量、劳动力生产量以及贮藏空间上有所限制的同时，还要使生产成本最小。
利用线性规划解决生产计划问题的一个好处就是它们是周期性的。
一个生产计划必定是为当月制定的，然后下个月又制定一次，再下个月又制定一次，如此周而复始。
看一看每个月的问题，生产经理就可以发现，虽然生产需求已经发生了变化，生产次数、产品生产量、贮藏空间等限制大致还是一样的。
因此，生产经理基本上可以按以前月份的管理方法解决同样的问题，而生产计划的一个总线性规划模型可能被频繁地使用。
一旦这个模型被固定下来，经理只需要在特定的生产时期提供当时的需求量、生产量等有关数据就可以了，并且可重复利用此线性规划模型构想出生产计划。
让我们来看看Bollinger Electronics公司的案例，该公司为一个重要的飞机引擎制造公司生产两种不同的电子组件。
飞机引擎制造商在下面3个月里每个月都会通知Bollinger Electronics公司的销售办公室，告诉他们每个星期对组件的需求量。
每个月对组件的需求量变化可能很大，这要视飞机引擎制造商正在生产哪种类型的引擎情况而定。
表4-7列出的是刚刚接到的订单，这批订单是下3个月的需求量。
表4-7 Bollinger Electronics公司3个月的需求一览表接到订单之后，需求报告就被送到生产控制部门。
生产控制部门则必须制定出3个月生产组件的计划。
为了制定出生产计划，生产经理需要弄清楚以下几点：总生产成本,存货成本。
改变生产力水平所需的经费。
接下来我们要介绍Bollinger Electronics公司如何建立公司的生产贮存线性规划，以使公司的成本最小。
为了制定出此模型，我们用Xim表示m月生产产品i的单位生产量。
在这里i=1或2，m=1、2或3；i=1指的是332A组件，i=2指的是802B组件，m=1指的是四月份，m=2指的是五月份，m=3指的是六月份。
双重下标的目的是规定一个更具描述性的符号。
我们可以简单地用X6来代表三月份生产的产品2的单位生产量。
但是X23更具描述性，它直接确定用变量代表的月份和产品。
如果生产一个332A组件的成本为20美元，生产一个802B组件的成本为10美元，那么目标函数中总成本部分是：总生产成本=20X11+20X12+20X13+10X21+10X22+10X23每个月每单位产品的生产成本是一样的，所以我们不需要在目标函数里涵盖生产成本。
也就是说，不管选择的生产一览表是什么样的，总生产成本将会保持相同的水平。
换句话说，生产成本不是相关成本，无需在制定生产计划时认真考虑。
但是，如果每个月单位产品成本是改变的，那么单位产品成本变量就必须包含在目标函数里。
对于Bollinger Electronics公司的问题来说，不管这些成本是不是包含在里面，它的解决方案将会是一样的。
我们把它们包括在里面，这样线性规划问题的目标函数将包含所有与产品有关的成本。
为了把相关库存成本合并到模型里面，我们用Sim来表示产品i在第m月月底的存货水平。
Bollinger Electronics公司已经决定，每月在基本存货上的成本占生产产品成本的1.5%。
也就是说，0.015×20=0.30（美元/332A组件），0.015×10=0.15（美元/802B组件）。