直线与圆题型及做题技巧

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圆的方程、直线与圆的位置关系题型归纳学生版

圆的方程、直线与圆的关系题型归纳一、学法指导与考点梳理1．圆的方程 (1)圆的方程①标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ②一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F >0)，圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2.(2)点与圆的位置关系①几何法：利用点到圆心的距离d 与半径r 的关系判断：d >r ⇔点在圆外，d ＝r ⇔点在圆上；d <r ⇔点在圆内．②代数法：将点的坐标代入圆的标准(或一般)方程的左边，将所得值与r 2(或0)作比较，大于r 2(或0)时，点在圆外；等于r 2(或0)时，点在圆上；小于r 2(或0)时，点在圆内． 2．直线与圆的位置关系直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)与圆：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)的位置关系如下表.3．圆与圆的位置关系二、重难点题型突破重难点1 圆的方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．例1．（1）当a 为任意实数时，直线(a －1)x －y ＋a ＋1＝0恒过定点C ，则以C 为圆心，5为半径的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2－2x ＋4y ＝0B ．x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0C ．x 2＋y 2＋2x －4y ＝0D ．x 2＋y 2－2x －4y ＝0（2）已知圆C 关于x 轴对称，经过点(0,1)，且被y 轴分成两段弧，弧长之比为2∶1，则圆的方程为( ) A ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝43B ．x 2＋⎝⎛⎭⎫y ±332＝13C.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝43D.⎝⎛⎭⎫x ±332＋y 2＝13【变式训练1】．圆心在曲线y ＝2x (x >0)上，与直线2x ＋y ＋1＝0相切，且面积最小的圆的方程为( )A ．(x －2)2＋(y －1)2＝25B ．(x －2)2＋(y －1)2＝5C ．(x －1)2＋(y －2)2＝25D ．(x －1)2＋(y －2)2＝5【变式训练2】．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：x 2＋y 2＋4x －2y ＋m ＝0与直线x －3y ＋3－2＝0相切． (1)求圆C 的方程；(2)若圆C 上有两点M ，N 关于直线x ＋2y ＝0对称，且|MN |＝23，求直线MN 的方程．重难点2 直线与圆的位置关系判定直线与圆位置关系的常用方法：（1）几何法：根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的大小关系判断．（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组的解的个数判断．（3）直线系法：若动直线过定点P ，则点P 在圆内时，直线与圆相交；当P 在圆上时，直线与圆相切或相交；当P 在圆外时，直线与圆位置关系不确定．例2．（1）直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]【变式训练1】．若直线x －y ＋m ＝0被圆(x －1)2＋y 2＝5截得的弦长为23，则m 的值为( ) A ．1 B ．－3 C ．1或－3D ．2【变式训练2】．已知圆C 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋8＝0，直线y ＝a (x －3)被圆C 截得的弦最短时，直线方程为________．【变式训练3】．在平面直角坐标系中，已知圆在轴上截得线段长为，在轴上截得线段长为（I ）求圆心的轨迹方程；（II ）若点到直线，求圆的方程．重难点3 直线、圆方程的综合应用（1）判断或处理直线和圆的位置的问题，一般有两种方法，一是几何法，利用圆的几何性质解题，二是代xOy P x y P P y x P数法，联立圆与直线的方程，利用判别式，根与系数关系来处理，在做题时要用心作图，很多题目要用到数形结合的思想．（2）若,()P x y 是定圆222()()C x a y b r -+-=：上的一动点，则mx ny +和yx这两种形式的最值，一般都有两种求法，分别是几何法和代数法．①几何法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，圆心(,)C a b 到直线mx ny t +=的距离为22d m n=+，由d r =即可解得两个t 值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：yx即点P 与原点连线的斜率，数形结合可求得斜率的最大值和最小值． ②代数法．mx ny +的最值：设mx ny t +=，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．y x 的最值：设yt x=，则y tx =，与圆的方程联立，化为一元二次方程，由判别式等于0，求得t 的两个值，一个为最大值，一个为最小值．例3．（1）已知点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，过点P 的直线l 与圆C ：x 2＋y 2＝14相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值是( )A ．2 6B ．4 C. 6 D ．2（2）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：（x －a ）2＋（y －b ）2可以转化为平面上点M (x ，y )与点N (a ，b )的距离．结合上述观点，可得f (x )＝x 2＋4x ＋20＋x 2＋2x ＋10的最小值为________．【变式训练1】．已知圆C ：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，点A (3，5)． (1)求过点A 的圆的切线方程；(2)O 点是坐标原点，连接OA ，OC ，求△AOC 的面积S .【变式训练2】．在平面直角坐标系xoy 中，曲线261y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上．（I ）求圆C 的方程；（II ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A ，B 两点，且,OA OB ⊥求a 的值．三、课堂定时训练（45分钟）1．（2020黑龙江黑河一中高二期中）已知A (3，－2)，B (－5,4)，则以AB 为直径的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝25 B ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝25 C ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝100 D ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝1002．（2020山东潍坊三中高二期中）已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．（2020福建莆田一中高二月考）过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（） A ．()()22314x y -++= B ．()()22314x y ++-= C ．()()22114x y -+-=D ．()()22114x y +++=4．（2020邢台市第八中学高二期末）方程220x y Dx Ey F ++++=表示以(2,3)-为圆心,4为半径的圆,则D,E,F 的值分别为（） A ．4,6,3-B ．4,6,3-C ．4,6,3--D ．4,6,3--5．（2020·全国高二课时练习）直线y=x+1与圆x 2+y 2=1的位置关系为（） A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离6．（2020山东泰安实验中学高二期中）0y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）A 或B ．C ．-D ．-7．（2020全国高二课时练）与圆()22:136C x y -+=同圆心，且面积等于圆C 面积的一半的圆的方程为_________.8．（2020·上海高二课时练习）若圆22(1)(4)5x y -+-=的圆心到直线0x y a -+=的距离为2，则a 的值为_________.9．（2020湖南师大附中高二期中）已知点()()1,2,1,4A B --，求（1）过点A,B 且周长最小的圆的方程；（2）过点A,B 且圆心在直线240x y --=上的圆的方程．10．已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方． (1)求圆C 的方程；(2)过点M (1，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。

直线与圆的高考常见题型总结

a-3 +2
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知识篇新高考名师护航
高二数学 2023 年 10 月
解得
5
a)≤ (
a-3)+2 ,
2
2
2
1
3
≤a≤ 。
3
2
(
2
0
2
3 年新高考 Ⅰ 卷 )过点 (
0,
例 6
与圆 x2 +y2 -4
-2)
x-1=0 相切的两条直
y -2)<1,
2
2
,
方程 xc
o
sθ+ (
s
i
nθ=1(
0≤θ≤2π)
θ
y-2)
无解。因此经过任意点的直线均为有限个。
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高二数学 2023 年 10 月
(
对于 B:
不在任一直线上。
0,
2)
对于 C:
做圆 x + (
y-2)=1 的外切正
2
故选 ABD。
2
n 边形即可。 (将正 n 边形的中心置于 (
0,
,
中心到边的距离设为 1,此正 n 边形即满
2)
足题意)
例 4
2
x-y-3=0 的距离为(
5
A.
5
对于 D:注意到任意三条直线若能围成
高考热点 2
2
(写出所有真
其中真命题的代号是
。
命题的代号)

高中数学直线与圆解题技巧

高中数学直线与圆解题技巧在高中数学中，直线与圆是常见的几何图形，解题时需要掌握一些技巧。

本文将围绕直线与圆的解题技巧展开讨论，并通过具体题目举例，帮助读者更好地理解和应用这些技巧。

1. 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种情况：直线与圆相切、直线与圆相交和直线与圆相离。

解题时，首先要确定直线与圆的位置关系，然后根据不同情况选择合适的方法解题。

例如，已知直线L的方程为y = 2x + 1，圆C的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 4，求直线L与圆C的位置关系。

解题思路：首先，我们可以将直线L的方程代入圆C的方程，得到一个关于x的二次方程。

如果二次方程有两个不相等的实根，则直线与圆相交；如果二次方程有两个相等的实根，则直线与圆相切；如果二次方程无实根，则直线与圆相离。

将直线L的方程代入圆C的方程：(x - 2)^2 + (2x + 1 - 3)^2 = 4化简得：5x^2 - 8x - 12 = 0解二次方程5x^2 - 8x - 12 = 0，得到两个实根x1 = -1，x2 = 2.4。

由于二次方程有两个不相等的实根，所以直线L与圆C相交。

2. 直线与圆的切线直线与圆相切时，我们需要求直线的斜率和切点坐标。

通过求解切线方程，可以得到直线与圆的切点和切线斜率，从而解题。

例如，已知圆C的方程为(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 9，求过点P(2, 1)的直线与圆C 的切点和切线方程。

解题思路：首先，我们可以计算点P到圆C的距离，如果点P到圆C的距离等于圆C的半径，则点P在圆C上，直线与圆C相切。

计算点P到圆C的距离：d = √[(2 - 3)^2 + (1 - 4)^2] = √10由于点P到圆C的距离等于圆C的半径3，所以点P在圆C上，直线与圆C 相切。

接下来，我们需要求直线的斜率和切点坐标。

直线的斜率可以通过点P和圆心的连线来求解。

直线的斜率：k = (1 - 4) / (2 - 3) = 3切点坐标可以通过直线的斜率和圆的方程来求解。

（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）

（完整版）直线与圆知识点及经典例题（含答案）圆的方程、直线和圆的位置关系【知识要点】一、圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标准方程222()()x a y b r -+-= 这个方程叫做圆的标准方程。

王新敞说明：1、若圆心在坐标原点上，这时0a b ==，则圆的方程就是222x y r +=。

2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要,,a b r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。

就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定,,a b r ，可以根据条件，利用待定系数法来解决。

（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得02222222=-++--+r b a by ax y x 。

可见，任何一个圆的方程都可以写成 :220x y Dx Ey F ++++= 问题：形如220x y Dx Ey F ++++=的方程的曲线是不是圆？将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：22224()()22D E D E Fx x +-+++=（1）当F E D 422-+＞0时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以(,)22D E--为圆 224D E F+-,（3）当F E D 422-+＜0时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。

圆的一般方程的定义：当224D E F +-＞0时，方程220x y Dx Ey F ++++=称为圆的一般方程. 圆的一般方程的特点：（1）2x 和2y 的系数相同，不等于零；（2）没有xy 这样的二次项。

（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离；(2)相切---求切线；（3）相交---求焦点弦长。

直线与圆的位置关系题型归纳

直线与圆的位置关系题型归纳引言在几何学中，直线和圆是基本的几何元素。

研究直线与圆的位置关系不仅有助于理解几何学基本原理，还可以应用到实际问题中。

本文将归纳总结几种常见的直线与圆的位置关系题型，并给出相应的解题方法。

一、直线与圆相交直线与圆相交通常有三种情况：直线与圆相切、直线穿过圆、直线既与圆相切又穿过圆。

1. 直线与圆相切当直线与圆只有一个交点时，称直线与圆相切。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以利用以下方法： - 根据已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点是否满足直线方程和圆的方程，从而确定直线与圆相切。

2. 直线穿过圆当直线与圆有两个交点时，称直线穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

3. 直线既与圆相切又穿过圆当直线与圆既有一个交点又有两个交点时，称直线既与圆相切又穿过圆。

这种情况下，需要进一步确定直线与圆的具体位置关系。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 将直线方程和圆的方程联立，求解交点的坐标。

- 判断交点的坐标与圆心的位置关系，从而确定直线与圆的位置关系。

二、直线与圆相离直线与圆相离是指直线与圆没有交点。

这种情况下，直线与圆的位置关系相对简单。

求解这类问题时，可以按照以下步骤进行： - 利用已知条件确定直线方程和圆的方程。

- 求解直线方程和圆的方程的解集。

- 判断解集是否为空集，从而确定直线与圆相离。

三、总结与应用对于直线与圆的位置关系题型，我们可以通过确定直线方程和圆的方程，求解交点的坐标，判断交点的坐标与圆心的位置关系来确定直线与圆的位置关系。

解答直线与圆的位置关系问题的三种方法

直线与圆的位置关系主要有三种：相切、相交、相离.判断直线与圆的位置关系问题的常见命题形式有：（1）根据直线与圆的方程判断二者的位置关系；（2）根据直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围.解题的关键在于明确直线与圆的位置关系，建立代数或几何关系.下面主要谈一谈解答直线与圆的位置关系问题的三种方法.一、几何法运用几何法求解直线与圆的位置关系问题，需先根据圆的方程确定圆心、半径；然后根据点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离，或根据圆的半径、弦心距、弦长之间的关系，利用勾股定理求得圆心到直线的距离；再判断圆心到直线距离d 与半径r 的大小关系.一般地，①当r >d 时，直线与圆相交；②当r =d 时，直线与圆相切；③当r <d 时，直线与圆相离.例1.直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y+3=0相切，则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是().A.相交B.相切C.相离D.不确定解：因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2，所以圆的圆心为(-2,1)，半径为2，因为直线l 与圆C 相切．所以||-2k -1+1k 2+1=2，解得k =±1，因为k <0，所以k =-1，所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离：d =2+0-1=3，所以直线l 与圆D 相交.故选A 项.由于直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切，所以可以直接根据圆心到直线的距离等于半径，来建立关系，求得k 的值，即可求得直线l 的方程.根据点到直线的距离公式，求得圆D :(x -2)2+y 2=3的圆心到直线l 的距离，比较该距离与圆D 的半径之间的大小，即可判断出直线l 与圆D 的位置关系.例2.若直线l :x -y +m =0与圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0恒有公共点，则m 的取值范围是().A.[-2，2]B.[-22，22]C.[-2-1，2-1]D.[-22-1,22-1]解：因为圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4，所以圆的圆心为(2，1)，半径为2，由点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d =||2-1+m 2，若直线与圆恒有公共点，则直线与圆相交或相切，所以||2-1+m 2≤2，解得-22-1≤m ≤22-1，故选D 项.要使直线与圆恒有公共点，需使直线与圆相交或相切，那么圆心到直线的距离需小于或等于半径，即d ≤r .根据点到直线的距离公式建立不等关系式，即可求得参数m 的取值范围.例3.已知圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，直线l :y =kx .下面四个命题：（1）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（2）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（3）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 和圆M 相切;（4）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 和圆M 相切.其中说法正确的有_______.解：因为圆M :()x +cos θ2+()y -sin θ2=1，所以圆的圆心M ()-cos θ,sin θ，半径为1，所以M 到直线l 的距离d M -l =||-k cos θ-sin θk 2+1，则d2M -l-1=()k cos θ+sin θ2-k 2-1k 2+1=k 2cos 2θ+2sin θcos θ⋅k +sin 2θ-k 2-1k 2+1刘艳林43。

关于圆的题型归纳和解题技巧

关于圆的题型归纳和解题技巧
一、圆的题型归纳
1. 直线与圆的位置关系：直线与圆可以相切、相交、外切、内切。

2. 圆的性质：取点到圆心的距离相等；圆两点到圆心的连线，长度相等，角度相等；圆周上的点，到圆心两条连线的比值相等。

3. 圆心角：圆心角及其扇形的面积，与圆上两点的距离有关。

4. 关于圆的全等：两个半径相等的圆，它们的圆心角两端的线段的角度也相等；重心相等的圆，它们的圆心角也是相等的。

5. 关于圆的切线：圆上的点到圆心连线，为切线；圆上两点连线为切线；任一点到圆心的连线与任一点到圆上另外一点的连线的夹角为切线。

二、解题技巧
1. 图形分析法：根据题意绘制出合理的几何图形，对圆形的部分应尽量详细地描绘出来，综合分析各个部分的相互关系，以此判断圆形的计算结果。

2. 数字分析法：根据数据来分析圆形的特性，比如圆的半径是给定的，那么可以根据圆的性质和圆心角来推算其他参数的值；又如圆心角的角度是已知的，则可以推算出其它参数的值。

3. 结论法：圆周上的点，所到圆心的连线的比值都是相同的；圆心角的扇形面积和它的的圆心角的角度有关。

这些基本性质可以在解题中灵活地运用，通过比较不同扇形的面积来判断其可行的解，从
而推断出解题的具体值。

直线与圆的位置关系( 切线的判定与性质,十大题型)( 原卷版)

A．相切B．相交C．相离D．不能判断
解题技巧提炼
本题主要考查了直线和圆的位置关系，解决此类问题的关键是根据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断．
①d＜r⇔直线和圆相交；②d＝r⇔直线和圆相切；③d＞r⇔直线和圆相离．
【变式1-1】（2023春•宁远县期中）已知⊙O的半径是10，圆心O到直线l的距离是13，则直线l与⊙O的位置关系是（）
【变式4-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，在等腰三角形ABC中，已知BC＝4，AB＝AC＝3，若⊙C的半径为1，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切考）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点
，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（）
（1）r＝4cm．（2）r＝4.8cm．（3）r＝6cm．
【例题2】（2022秋•江夏区校级期末）已知⊙O的半径等于5，圆心O到直线l的距离为4，那么直线l与⊙O的公共点的个数是（）
A．0B．1C．2D．无法确定
解题技巧提炼
直线和圆的位置关系与圆的公共点个数间的关系：
1、直线和圆相交⇔两个公共点，
【变式3-3】（2023•前郭县二模）如图，平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（﹣3，0），将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相交，则平移的距离d的取值范围是．
【变式3-4】Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB有唯一公共点，求半径r的取值范围．
【例题4】（2022秋•凉山州期末）点A是半径为2的⊙O上一动点，点O到直线MN的距离为3．点P是MN上一个动点．在运动过程中若∠POA＝90°，则线段PA的最小值是．
解题技巧提炼
本题主要考查了根据直线和圆的位置关系中的相切来解决问题，结合勾股定理，添加适当的辅助线是解题的关键．利用“过直线外一点与直线上的所有连线中垂线段最短”求最值.

专题07 直线与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(解析版)

专题07直线与圆的位置关系【知识梳理】1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l 与圆C 的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l 与圆C 有公共点．有两组实数解时，直线l 与圆C 相交；有一组实数解时，直线l 与圆C 相切；无实数解时，直线l 与圆C 相离．（2）几何法：由圆C 的圆心到直线l 的距离d 与圆的半径r 的关系判断：当d r <时，直线l 与圆C 相交；当d r =时，直线l 与圆C 相切；当d r >时，直线l 与圆C 相离．3、圆的切线方程的求法（1）点M 在圆上，如图．法一：利用切线的斜率l k 与圆心和该点连线的斜率OM k 的乘积等于1-，即1OM l k k ⋅=-．法二：圆心O 到直线l 的距离等于半径r ．（2）点()00,x y 在圆外，则设切线方程：00()y y k x x -=-，变成一般式：000kx y y kx -+-=，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k ．诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线方程：（1）过圆222x y r +=上一点()00,P x y 的切线方程是200x x y y r +=；（2）过圆()()222x a y b r -+-=上一点()00,P x y 的切线方程是()()()()200x a x a y b y b r --+--=．4、求直线被圆截得的弦长的方法（1）应用圆中直角三角形：半径r ，圆心到直线的距离d ，弦长l 具有的关系2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，这也是求弦长最常用的方法．（2）利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．（3）利用弦长公式：设直线:l y kx b =+，与圆的两交点()()1122,,,x y x y ，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数关系得弦长：12||l x x =-．【专题过关】【考点目录】考点1：直线与圆的位置关系考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用考点3：切线问题考点4：切点弦问题考点5：弦长问题考点6：面积问题考点7：直线与圆中的定点定值问题【典型例题】考点1：直线与圆的位置关系1．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定【答案】B【解析】圆心坐标为()1,1--，半径为2，圆心到直线的距离为341125-+=，所以直线43110x y -+=与圆()()22114x y +++=相切．故选：B2．（2020·四川·泸州老窖天府中学高二期中（理））已知点(,)P a b 在圆221x y +=上，则直线10ax by +-=与圆的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断【答案】B【解析】由题意得221a b +=，又1d r ===，即直线与圆相切故选：B3．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）直线:(1)(1)20()l a x a y a a R ++-+=∈与圆222270C x y x y +-+-=：的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相交或相切【答案】B【解析】圆222270x y x y +-+-=，即22(1)(1)9x y -++=，表示以(1,1)-为圆心、半径等于3的圆．圆心到直线的距离d =再根据2222248474799221a a a a d a a ++-+-=-=++，而27470a a -+=的判别式∆161961800=-=-<，故有29d >，即3d <，故直线和圆相交，故选：B ．4．（2022·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =恰有两个不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y 为以(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =．当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B5．（2021·浙江台州·高二期中）直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是（）A ．22m -≤≤B ．22m -<<C ．2m <-或2m >D ．2m ≤-或2m ≥【答案】B【解析】因为直线0x m +=与圆221x y +=有两个不同的交点所以圆心到直线的距离小于圆的半径圆心为()0,0，半径1r =1<，整理得：2m <解得：22m -<<故选：B ．6．（多选题）（2022·广东·汕头市潮南区陈店实验学校高二期中）已知直线:0l x y +=与圆22:(1)(1)4C x y -++=，则（）A ．直线l 与圆C 相离B ．直线l 与圆C 相交C ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有2个D ．圆C 上到直线l 的距离为1的点共有3个【答案】BD【解析】由圆22:(1)(1)4C x y -++=，可知其圆心坐标为(1,1)-，半径为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y +=的距离1d ==，所以可知选项B ，D 正确，选项A ，C 错误．故选：BD7．（2021·四川眉山·高二期中）圆222440x y x y +-+-=与直线2140()tx y t t R ---=∈的位置关系为__________．【答案】相交【解析】由2140()tx y t t R ---=∈得(24)10()x t y t R ---=∈，令240,10,2, 1.x y x y -=--=∴==-所以直线过定点(2,1)P -．把(2,1)P -的坐标代入圆的方程的左边得到414440+---<，所以点(2,1)P -在圆内，所以直线和圆相交．故答案为：相交8．（2021·辽宁实验中学高二期中）已知圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，则实数b 的取值范围是___________．【答案】(-【解析】根据题意得圆C 的圆心为()0,0，半径为2r =，因为圆22:4C x y +=上至少存在两点．．．．．．到直线0x y b +-=的距离为1，1r <+3<，解得b -<<所以实数b 的取值范围是(-故答案为：(-9．（2022·全国·高二课时练习）已知圆224x y +=上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则实数c 的取值范围是______．【答案】()13,13-【解析】由圆的方程知其圆心为()0,0，半径2r =，设圆心到直线1250x y c -+=的距离为d ，则13c d =；圆上有且仅有四个点到直线1250x y c -+=的距离为1，则1cd =<，解得：1313c -<<，所以实数c 的取值范围是()13,13-．故答案为：()13,13-．考点2：直线与圆相交的性质——韦达定理及应用10．（2021·安徽·马鞍山二中高二期中）已知一个动点P 在圆220432x y y -+=+上移动，它与定点(6,0)Q 所连线段的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）是否存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=，若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）设(,)M x y ，因M 是线段PQ 的中点，而点(6,0)Q ，则有点(26,2)P x y -，因P 在圆：22(2)36x y ++=上，于是得：22(26)(22)36x y -++=，化简得：22(3)(1)9x y -++=，所以点M 的轨迹方程是：22(3)(1)9x y -++=．（2）假定存在符合条件的直线l ，当l 斜率不存在时，直线:0l x =与圆M 相切，不符合题意，当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为：3y kx =-，由223(3)(1)9y kx x y =-⎧⎨-++=⎩消去y 并整理得：22(1(64))40k x k x +-++=，则()22(64)1610k k ∆=+-+>，解得512k >-，122641kx x k ++=+，12241x x k =+，由2121212212()4x x x x x x x x +=⇔+=，得2226416()11k k k +=++，解得512k =-，与512k >-矛盾，所以不存在过定点(0,3)-的直线l 与点M 的轨迹方程交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，且满足12212x x x x +=．11．（2021·云南大理·高二期中）已知圆C 的圆心C 在直线40x y +-=上，且圆C 经过()2,0M ，()0,2N 两点．（1）求圆C 的方程；（2）已知点()0,P m ，过原点的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，且PA PB ⊥．若13m <<，求直线l 的斜率k 的取值范围．【解析】（1）设(),C a b ，则222240(2)(2)a b a b a b +-=⎧⎨-+=+-⎩，解得2a =，2b =．从而圆C 的半径2r ==，故圆C 的方程为22(2)(2)4x y -+-=（或224440x y x y +--+=）．（2）设直线l ：y kx =，()11,A x y ，()22,B x y ．联立224440y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩，整理得()2214(1)40k x k x +-++=，则1224(1)1k x x k ++=+，12241x x k =+．因为A ，B 两点在直线l 上，所以11y kx =，22y kx =，所以212241ky y k =+，1224(1)1k k y y k ++=+．因为PA PB ⊥，所以1PA PB k k ⋅=-，所以12121y m y mx x --⋅=-，即()21212120x x y y m y y m +-++=，则22222444(1)0111k mk k m k k k ++-+=+++，即24(1)41k k m k m+=++．因为()1,3m ∈，所以[)44,5m m+∈，所以24(1)451k k k +≤<+，解得1k ³．12．（2021·浙江省象山县第二中学高二期中）已知圆G 过点()1,3M -，()6,4N 且圆心G 在x 轴．（1）求圆G 的标准方程；（2）圆G 与x 轴的负半轴的交点为A ，过点A 作两条直线分别交圆于B ，C 两点，且5AB AC k k ⋅=-，求证：直线BC 恒过定点．【解析】（1）由题意设圆心为(,0)G a=3a =，5r ==，所以圆G 方程为22(3)25x y -+=；（2）在圆方程中令0y =得2x =-或8x =，所以(2,0)A -，BC 斜率存在时，设BC 方程为y kx m =+，设1122(,),(,)B x y C x y ，由()22x 325y kx m y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩得222(1)2(3)160k x km x m ++-+-=，2224(3)4(1)(16)0km k m ∆=--+->，即22166250k m lm --+>（*），1222(3)1km x x k -+=-+，2122161m x x k -=+，12121212()()22(2)(2)AB ACy y kx m kx m k k x x x x ++=⨯=++++2212121212()52()4k x x km x x m x x x x +++==-+++，22222222(16)2(3)5(16)20(3)201111k m km km m km m k k k k ------+=+-++++，化简得223720m km k -+=，(2)(3)0m k m k --=，所以2m k =或3k m =，都满足（*）式．2m k =时，方程为2y kx k =+，过定点(2,0)-，舍去，3k m =时，方程为3y mx m =+，过定点1(,0)3-，BC 斜率不存在时，1111(,),(,)B x y C x y -，21152AB ACy k k x ⎛⎫=-=- ⎪+⎝⎭，22115(2)y x =+，又2211(3)25x y -+=，12x ≠-，解得113x =-，因此BC 也过点1(,0)3-．综上，直线过定点1(,0)3-．13．（2021·广东外语外贸大学实验中学高二期中）已知过点(0,2)A 且斜率为k 的直线l 与圆22:(2)(3)1C x y -+-=交于M ，N 两点．（1）求k 的取值范围；（2）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求||MN ．【解析】（1）圆22:(2)(3)1C x y -+-=，圆心(2,3)，半径1r =设直线l 的方程为2y kx =+，即20kx y -+=因为直线l 与圆C 1<，解得403k <<．所以k 的取值范围为40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）设()11,M x y ，()22,N x y ．联立()()222231y kx x y =+⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，整理得()()2212440k x k x +-++=，所以122241k x x k ++=+，12241x x k =+，所以()()()21212121224212481k k OM ON x x y y k x x k x x k +⋅=+=++++=++uuu r uuu r ．由题设得()2428121k k k ++=+，解得12k =，所以直线l 的方程为122y x =+，所以圆心(2,3)C 在直线l 上，所以2MN =．14．（2021·广东·广州市第七十五中学高二期中）已知圆C 经过两点A （2，2），B （3，3），且圆心C 在直线x －y +1=0上．（1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值．【解析】（1）设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+，0∆>，所以21212121224(1)64(1)()1851k k OM ON x x y y k x x k x x k+⋅=+=++++=+=+，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以||MN 考点3：切线问题15．（2021·安徽·合肥市第六中学高二期中（理））圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上（1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程．【解析】（1）因圆心C 在直线:20l x y --=上，则设(,2)C a a -，由||||CA CB =得：，解得0a =，因此，圆心(0,2)C -，半径||5r CA ==，所以圆C 的方程为：22(2)25x y ++=．（2）设过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为：(5)(8)0m x n y -+-=，220m n +≠，5=，整理得：2430mn n +=，解得0n =或34m n =-，当0n =时，切线方程为：50x -=，当34m n =-时，切线方程为：34170x y -+=，所以过点(5,8)P 的圆C 的切线方程为50x -=或34170x y -+=．16．（多选题）（2021·湖北·高二期中）设有一组圆()()()22:4k C x k y k k R -+-=∈，下列命题正确的是（）A ．不论k 如何变化，圆心k C 始终在一条直线上B ．存在圆kC 经过点()3,0C ．存在定直线与圆k C 都相切D ．经过点()2,2的圆k C 有且只有一个【答案】AC【解析】根据题意，圆22:()()4()k C x k y k k R -+-=∈，其圆心为(,)k k ，半径为2；依次分析选项：对于A ，圆心为(,)k k ，其圆心在直线y x =上，A 正确；对于B ，圆22:()()4k C x k y k -+-=，将(3,0)代入圆的方程可得22(3)(0)4k k -+-=，化简得22650k k -+=，364040=-=-<，方程无解，B 错误；对于C ，存在直线y x =±0x y -+=或0x y --=，圆心(,)k k 到直线0x y -+=或0x y --=的距离2d =，这两条直线始终与圆k C 相切，C 正确，对于D ，将(2,2)代入圆的方程可得22(2)()42k k -+=-，解得2k =D 错误；故选：AC ．17．（2021·安徽滁州·高二期中）过圆22:4O x y +=上一点(P -作圆O 的切线l ，则直线l 的方程是（）A ．40x -=B ．20x +-=C ．20x +=D ．40x +=【答案】D【解析】由题意点(P -为切点，所以1OP l k k ⋅=-，又OP k =l k =因此直线l 的方程为40x +=．故选：D18．（2021·天津市咸水沽第二中学高二期中）过点(3,1)M 作圆222620x y x y +--+=的切线l ，则l 的方程为（）A ．40x y +-=B ．40x y +-=或3x =C ．20x y --=D ．20x y +-=或3x =【答案】C【解析】根据题意，设圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0的圆心为C ，圆x 2+y 2﹣2x ﹣6y +2＝0，即()()22138-+-=x y ，其圆心为（1，3），又由点M 的坐标为（3，1），有()()2231138-+-=，即点M 在圆上，则13131-==--MC k ，则切线的斜率k ＝1，则切线的方程为y ﹣1＝（x ﹣3），即x ﹣y ﹣2＝0；故选：C ．19．（2021·山东济宁·高二期中）过点()2,3P -的直线l 与圆222230x y x y ++--=相切，则直线l 的方程是（）A ．2x =-或280x y -+=B ．280x y -+=C ．2x =-或210x y ++=D ．210x y ++=【答案】B【解析】把圆222230x y x y ++--=化为标准方程得：()()22115x y ++-=．因为()2,3P -在圆上，所以过P 的切线有且只有一条．显然过点()2,3P -且斜率不存在的直线：2x =-与圆相交，所以过P 的切线的斜率为k ．因为切线与过切点的半径垂直，所以()13112k -=----，解得：12k =，所以切线方程为：()1322y x -=+，即280x y -+=．故选：B20．（2022·四川·泸县五中高二期中（文））已知直线()10ax y a R -+=∈是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，过点()2,A a --向圆C 作切线，切点为B ，则AB =（）AB C D ．【答案】C【解析】由圆()()22:124C x y -+-=，可知该圆的圆心坐标为()1,2C ，半径为2，因为直线10ax y -+=是圆()()22:124C x y -+-=的一条对称轴，所以圆心()1,2在直线10ax y -+=上，所以有2101a a -+=⇒=，因为过点()2,1A --向圆C 作切线，切点为B ，所以AC ==所以AB ==故选：C21．（2022·甘肃·临泽县第一中学高二期中（理））直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ ==，故选：B ．22．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）经过圆22:25C x y +=上一点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为__________．【答案】43250x y --=【解析】由题意，圆22:25C x y +=，可得圆心坐标为(0,0)C ，因为()4,3A -，则303404CA k --==--，则过点()4,3A -且与圆相切的直线的斜率为43k =，根据直线的点斜式方程，可得直线的方程为4(3)(4)3y x --=-，即43250x y --=，即点()4,3A -且与圆相切的直线的一般式方程为43250x y --=．故答案为：43250x y --=23．（2021·湖南·常德市第二中学高二期中）已知圆C ：x 2＋y 2＝20，则过点P （4，2）的圆的切线方程是________．【答案】2100x y +-=【解析】由224220+=知P 在圆C 上，而(0,0)C ，2142PC k ==，所以所求切线斜率为2k =-，方程为22(4)y x -=--，即2100x y +-=．故答案为：2100x y +-=．24．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）过点()1,2且与圆221x y +=相切的直线的方程是______．【答案】1x =或3450x y -+=【解析】当直线l 的斜率不存在时，因为过点()1,2，所以直线:1l x =，此时圆心(0,0)到直线1x =的距离为1=r ，此时直线:1l x =与圆221x y +=相切，满足题意；当直线l 的斜率存在时，设斜率为k ，所以:l 2(1)y k x -=-，即20kx y k --+=，因为直线l 与圆相切，所以圆心到直线的距离1d r ===，解得34k =，所以直线l 的方程为3450x y -+=．综上：直线的方程为1x =或3450x y -+=故答案为：1x =或3450x y -+=25．（2021·四川省叙永第一中学校高二期中（文））过直线34140x y ++=上的动点P 作圆22(1)(2)4x y -+-=的切线，切点为A ，则切线长PA 的最小值为____________．【解析】根据题意，圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，其圆心(1,2)，半径2r =；设圆心为C ，即(1,2)C ；则有2222||||||||4PA PC AC PC =-=-，当||PC 取得最小值时，切线长||PA 最小，因为||PC 5=，则||PA=26．（2021·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高二期中）已知圆224470x y x y +-++=与直线20x ay --=相切，则=a ___________．【答案】33【解析】()()22224470221x y x y x y +-++=⇒-++=，圆的圆心为（2，－2），半径r ＝1，()()2222311a a a -⋅--=⇒=+-故答案为：33±．考点4：切点弦问题27．（2021·福建宁德·高二期中）过圆221x y +=外一点(2,1)P -引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是________．【答案】210x y --=【解析】设切点分别为()()1122,,,A x y B x y ，因为点,A B 在圆221x y +=上，所以以,A B 为切点的切线方程分别为：11221,1x x y y x x y y +=+=，而点()2,1P -在两条切线上，所以112221,21x y x y -=-=，即点P 满足直线21210x y x y -=⇒--=．故答案为：210x y --=．28．（2021·广东·广州市第六十五中学高二期中）过点()5,3P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程为_________．【答案】5390x y +-=【解析】根据题意，过点(5,3)P 作圆229x y +=的两条切线，设两切点分别为A 、B ，则2||||95PA PO =-，则以P 为圆心，PA 为半径为圆为22(5)(3)25x y -+-=，即圆2210690x y x y +--+=，AB 为两圆的公共弦所在的直线，则有2222910690x y x y x y ⎧+=⎨+--+=⎩，变形可得：5390x y +-=；即直线AB 的方程为5390x y +-=，故答案为：5390x y +-=29．（2021·安徽·合肥一中高二期中）已知圆22:4O x y +=，过动点(),4P a a +分别做直线PM 、PN 与圆O 相切，切点为M 、N ，设经过M 、N 两点的直线为l ，则动直线l 恒过的定点坐标为__________．【答案】()1,1-【解析】设点()00,Q x y 为圆O 上一点，当OQ 的斜率存在且不为零时，直线OQ 的斜率为0y x ，此时，圆O 在点()00,Q x y 处的切线方程为()0000x y y x x y -=--，即2200004x x y y x y +=+=，当OQ 与x 轴重合时，00y =，204x =，此时切线方程为0x x =，满足004x x y y +=，当OQ 与y 轴重合时，00x =，204y =，此时切线方程为0y y =，满足004x x y y +=．综上所述，圆O 在其上一点()00,Q x y 处的切线方程为004x x y y +=．设点()11,M x y 、()22,N x y ，则直线PM 的方程为114x x y y +=，直线PN 的方程为224x x y y +=，由题意可得()()11224444ax a y ax a y ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，所以，点M 、N 的坐标满足方程()440ax a y ++-=，故直线MN 的方程为()440ax a y ++-=，即()()440a x y y ++-=，由0440x y y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线l 恒过的定点坐标为()1,1-．故答案为：()1,1-．30．（2021·安徽·屯溪一中高二期中）已知直线:10()l x ay a +-=∈R 是圆22:4210C x y x y +--+=的对称轴．过点(4,)A a -作圆C 的两条切线，切点分别为B 、D ，则直线BD 的方程为（）A ．350x y +-=B ．250x y +-=C ．350x y -+=D ．250x y +-=【答案】A【解析】根据题意，圆C 的标准方程为()()22214x y -+-=，即圆心为C （2，1），半径为2．∴点（2，1）在直线10x ay +-=上，即2101a a +-=∴=-∴点A 的坐标为（-4，-1）AC ∴==∴过点A 作圆C 的切线所得切线长为6=∴以点A 为圆心，6为半径的圆A 的方程为()()224136x y +++=圆A 与圆C 的方程作差得350x y +-=，即直线BD 的方程为350x y +-=故选：A ．31．（2021·四川省绵阳第一中学高二期中）过点()1,1P 作圆C ：224470x y x y +--+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（）A ．30x y +-=B ．10x y --=C ．10x y -+=D ．10x y +-=【答案】A【解析】224470x y x y +--+=，即()()22221x y -+-=，圆心为()2,2，半径1r =．当斜率不存在时，直线1x =与圆相切，切点为()1,2；当斜率为0时，直线1y =与圆相切，切点为()2,1．故直线方程为斜率21112k -==--，直线方程为()12y x =--+，即30x y +-=．故选：A ．32．（2020·安徽·六安市城南中学高二期中（理））过原点 O 作圆2268200x y x y +--+=的两条切线，设切点分别为P 、 Q ，则线段PQ 的长为（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由题意，2268200x y x y +--+=可化为22(3)(4)5x y -+-=，∴圆心(3,4)C ，半径r =，则有5OC =，故切线段长l ==若线段PQ 的长为x ，则2xOC l r ⋅=⋅，得4x =．故选：B ．考点5：弦长问题33．（2021·广东·化州市第三中学高二期中）过点M （2，2）的直线l 与圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为_____；此时直线l 的方程为_______．【答案】4260x y +-=【解析】∵圆x 2+y 2﹣2x ﹣8＝0，即（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心C （1，0），半径为3，点M （2，2）在圆内，20221MC k -==-，要使|AB |的值最小，则MC ⊥AB ，此时|MC |=|AB |＝4=；直线l 的斜率为12-，则直线l 的方程为y ﹣2＝12-（x ﹣2），即x +2y ﹣6＝0．故答案为：4；260x y +-=．34．（2021·湖北黄冈·高二期中）已知直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，则t 的取值范围为______，所有的弦中，最长的弦的长度为______．【答案】403t <≤【解析】由于直线x y t +=与圆()2222x y t t t R +=-∈有公共点，所以220403t t t ⎧->⇒<≤≤；又弦长==23t =时，有最大值，其最大值为故答案为：403t <≤35．（2021·广东·潮州市湘桥区南春中学高二期中）已知三点(2,0),(1,3),(2,2)A B C 在圆C 上，直线:360l x y +-=，（1）求圆C 的方程；（2）判断直线l 与圆C 的位置关系；若相交，求直线l 被圆C 截得的弦长．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由题意得：24031002280D F DEF D E F ++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，消去F 得：362D E D E -=⎧⎨-+=-⎩，解得：02D E =⎧⎨=-⎩，∴F =-4，∴圆C 的方程为：22240x y y +--=．（2）由（1）知：圆C 的标准方程为：22(1)5x y +-=，圆心(0,1)C，半径r =；点(0,1)C 到直线l的距离2d r ==<，故直线l 与圆C 相交，故直线l 被圆C截得的弦长为=36．（2021·广东·新会陈经纶中学高二期中）已知圆22:240C x y y +--=，直线()10l mx y m m -+-∈R ：＝．（1）写出圆C 的圆心坐标和半径，并判断直线l 与圆C 的位置关系；（2）设直线l 与圆C 交于A 、B 两点，若直线l 的倾斜角为120°，求弦AB 的长．【解析】（1）由题设知圆C ：()2215x y +-=，∴圆C 的圆心坐标为C ()0,1，半径为r 又直线l 可变形为：()11y m x -=-，则直线恒过定点()1,1M ，∵()2211115+-=<，∴点M 在圆C 内，故直线l 必定与圆相交．（2）由题意知0m ≠，∴直线l 的斜率k m =tan120=︒=，∴圆心C ()0,1到直线l 10y +=的距离d ==，∴||AB ===．37．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点1,0,()(,2)1A B -．（1）求线段AB 的垂直平分线方程；（2）求圆C 的标准方程；（3）若过点(0,2)P 的直线l 与圆C 相交于M N 、两点，且MN =，求直线l 的方程．【解析】（1）设AB 的中点为D ，则(0,1)D ．由圆的性质，得CD AB ⊥，所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-．所以线段AB 的垂直平分线的方程是1y x =-+．（2）设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为()0r r >，由（1）得直线CD 的方程为1y x =-+，由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =，所以圆心()1,0C ，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y -+=．（3）由（1）设F 为MN 中点，则CF l ⊥，得||||FM FN ==圆心C 到直线l的距离||1d CF ==，当直线l 的斜率不存在时，l 的方程0x =，此时||1CF =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程2y kx =+，即20kx y -+=，由题意得d =34k =-；故直线l 的方程为324y x =-+，即3480x y +-=；综上直线l 的方程为0x =或3480x y +-=．38．（2021·湖北宜昌·高二期中）已知圆M 过点(1,2),(1,4),(3,2)A B C -．（1）求圆M 的方程；（2）若直线:340l x y b +-=与圆M相交所得的弦长为b 的值．【解析】（1）设圆M 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，因为圆M 过(1,2),(1,4),(3,2)A B C -三点，则1420,11640,94320,D E F D E F D E F +-++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩解得2,4,1D E F =-=-=，所以圆M 的方程为222410x y x y +--+=，即22(1)(2)4x y -+-=；（2）由题意，得圆心(1,2)到直线l的距离1d =，1=，即|11|5b -=，解得6b =或16．故所求b 的值为6或16．39．（2022·上海·华东师范大学附属东昌中学高二期中）直线10x y +-=被圆()()229114x y -+-=所截得的弦长为__________【解析】圆()()229114x y -+-=的圆心为()1,1，半径为32圆心()1,1到直线10x y +-=2=则直线10x y +-=被圆()()229112x y -+-=所截得的弦长为40．（2021·福建·晋江市第一中学高二期中）已知()3,0M 是圆228280x y x y +--+=内一点，则过点M 最短的弦长为（）A ．B C ．6D ．8【答案】A【解析】圆228280x y x y +--+=，即()()22419x y -+-=，则该圆的半径为3，圆心为()4,1，M∴过点M 最短的弦长为．故选：A41．（2022·全国·高二期中）若直线20x y --=与圆()224x a y -+=所截得的弦长为则实数a 为（）．A ．1-B ．1或3C ．3或6D ．0或4【答案】D【解析】圆()224x a y -+=的圆心坐标为(,0)a ，半径为2，圆心(,0)a 到直线20x y --=的距离为d =，又直线20x y --=被圆()224x a y -+=所截的弦长为故，即2(2)4a -=，解得0a =或4a =．故选：D ．42．（2022·江苏·淮阴中学高二期中）已知直线0x y m -+=与圆22:40C x y y ++=相交于A 、B 两点，若CA CB ⊥，则实数m 的值为（）A ．4-或0B ．4-或4C ．0或4D ．4-或2【答案】A【解析】圆C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()0,2C -，半径为2r =，因为CA CB ⊥且2CA CB ==，故ABC 为等腰直角三角形，且AB ==则圆心C 到直线AB 的距离为12d AB ==由点到直线的距离公式可为d ==4m =-或0．故选：A ．43．（2022·广东·仲元中学高二期中）已知直线l ：y kx =与圆22:20C x y y +--=相交于M ，N两点，若MN =k 的值为（）AB ．2CD ．3【答案】C【解析】圆22:20C x y y +--=，可化为(()2214x y -+-=，∴圆心C的坐标)，半径为21=，又圆心到直线的距离d =1=，解得0k =（舍去）或k 故选：C考点6：面积问题44．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）过直线:2l y x =-上任意点P 作圆22:1C x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，当切线长最小时，切线长为_________；同时PAB △的面积为_______．【答案】112【解析】依据题意，作出图形，如下图：因为直线l 过点P 且与圆221x y +=相切于点A ，所以PA OA ⊥，所以PA ==要使得PA 最小，则OP 要最小，由题可得：OP 的最小值就是点O 到直线:2l y x =-的距离d ==此时，min 1PA =，所以4OPA π∠=由切线的对称性可得：,12BPA PB π∠==所以PAB △的面积为111122PABS =⨯⨯=，故答案为：1；12．45．（2021·广西·防城港市防城中学高二期中）已知点()3,2A ，点()3,6B ，直线l 过定点()1,0．（1）求以线段AB 为直径的圆的标准方程；（2）记（1）中求得的圆的圆心为C ，（i ）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（ii ）若直线l 与圆C 交于，PQ 两点，求CPQ 面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】（1）依题可知线段AB 的中点为()3,4是圆心，半径122r AB ===．∴所求圆的标准方程为：()()22344x y -+-=；（2）（i ）由（1）知：圆心()3,4C ，半径2r =，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，是圆的切线，满足题意；当直线l 斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离2d =，解得：34k =，∴l ：3430x y --=；综上所述：直线l 的方程为1x =或3430x y --=；（ii ）由直线l 与圆C 交于P ，Q 两点知：直线l 斜率存在且不为0，设其方程为：()1y k x =-，即kx y k 0--=，∴圆心到直线l 距离d ==，∵()2222222144222CPQd d S PQ d d r d d d⎡⎤-+=⋅=-=-≤=⎢⎥⎣⎦△（当且仅当224d d -=，即22d =时取等号），由22d=得：()222421k k -=+，解得：1k =或7k =，∴CPQ 面积的最大值为2，此时l 方程为：10x y --=或770x y --=．46．（2020·四川省成都高新实验中学高二期中）已知直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=相交于A ，B 两点，求：（1）交点A ，B 的坐标（2）AOB 的面积．【解析】（1）直线:250l x y --=与圆22:50C x y +=的交点，由2225050x y x y --=⎧⎨+=⎩，可得55x y =-⎧⎨=-⎩，71x y =⎧⎨=⎩所以交点A ，B 的坐标为()5,5--，()7,1（2）设直线:250l x y --=与x 轴的交点为E ，则()5,0E 所以AOBAOEEOBSSS=+11||22A B y OE y OE =+‖()1||2A B y y OE =+1652=⨯⨯15=47．（2020·湖北·高二期中）直线:1l y x =+与圆22:430C x y y +-+=交于A 、B 两点，则ABC 的面积是_________．【答案】12【解析】圆()22:21C x y +-=，()0,2C 到直线l 的距离021222d -+=，∴22122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭∴111222ABC S AB d =⋅==△故答案为：1248．（2021·广东·佛山一中高二期中）已知圆的方程为222440x y x y +---=，设该圆过点()2,3M 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 面积为（）A ．6B ．C ．D ．【答案】C【解析】圆的标准方程为()()22129x y -+-=，圆心为()1,2E ，半径为3r =，()()2221329-+-<，故点M 在圆()()22129x y -+-=内，如下图所示：则ME 过点M 的弦过圆心时，弦长取最大值，即26AC r ==，当过M 的弦与ME 垂直时，弦长取最小值，即BD =此时AC BD ⊥，此时，四边形ABCD 的面积为11622S AC BD =⋅=⨯⨯=故选：C ．49．（2021·福建龙岩·高二期中）设直线20ax y ++=与圆()22:24C x y +-=相交于A 、B 两点，且ABC 的面积为2，则=a （）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得212sin 22ABC S ACB =⨯⨯∠=△，可得sin 1ACB ∠=，0ACB π<∠<，故2ACB π∠=，则ABC 为等腰直角三角形，所以，圆心C 到直线20ax y ++=的距离为2sin4d π==由点到直线的距离公式可得d=，解得a=故选：D．50．（2021·江西南昌·高二期中（理））已知圆的方程为222440x y x y+---=，设该圆过点()1,3M的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（）AB．C．8D．13【答案】B【解析】圆的方程为222440x y x y+---=，化为标准方程：()()22129x y-+-=，圆心为()1,2N，半径为3r=，当过点()1,3M的直线与NM垂直时，弦长最短，且AC==当过点()1,3M的直线且过圆心时，弦长最长，且26BD r==，此时，AC BD⊥，所以四边形ABCD面积为11622S AC BD=⋅=⨯=故选：B考点7：直线与圆中的定点定值问题51．（2021·山东潍坊·高二期中）已知圆M的圆心与点()1,4N-关于直线10x y-+=对称，且圆M与y轴相切于原点O．（1）求圆M的方程；（2）过原点O的两条直线与圆M分别交于,A B两点，直线,OA OB的斜率之积为12-，,OD AB D⊥为垂足，是否存在定点P，使得DP为定值，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）（1）设M（a，b）．则411141022baa b-⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩．解得3ab=⎧⎨=⎩．所以该圆的半径为3，．所以圆M的方程为()2239x y-+=；（2）设OA所在直线方程为()0y kx k=≠，联立()2239x y y kx ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩得226611A Ak x y k k =⋅=++，同理把k 换做－12k ，可得222412,1414B Bk kx y k k-==++所以AB 所在直线方程为222636(1121k k y x k k k -=-+-+）．当0y =时，可得4x =，故直线AB 过定点C （4，0）．由于OC 为定值，且△ODC 为直角三角形，OC 为斜边，所以OC 中点P 满足22OC DP ==为定值，由于O （0，0），C （4，0），故由中点坐标公式可得P （2，0），故存在点P （2，0），使得|DP |为定值．52．（2021·全国·高二期中）已知圆C经过点(0,，(及()3,0．经过坐标原点O 的斜率为k 的直线l 与圆C 交于M ，N 两点．（1）求圆C 的标准方程；（2）若点()3,0P -，分别记直线PM ､直线PN 的斜率为1k ､2k ，求12k k +的值．【解析】（1）设圆C 的方程为：220x y Dx Ey F ++++=，由圆C过(0,，(及()3,0．∴23030330F F D F ⎧+=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩可得203D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，∴圆C 的方程为：22230x y x +--=，其标准方程为()2214x y -+=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，直线l 为y kx =，与圆C ：()2214x y -+=联立得：()221230k x x +--=，∴()22443112160k k ∆=+⨯⨯+=+>，则12221x x k +=+，12231x x k =-+，∴12121212123333y y kx kx k k x x x x +=+=+++++()()()1212122333k x x x x x x ++⎡⎤⎣⎦=++()()22126611033k k k x x -⎛⎫+ ⎪++⎝⎭==++．53．（2020·浙江温州·高二期中）已知圆C ：2280x x y ++=，直线l ：20mx y m ++=．（1）当直线l 与圆C 相交于A ，B两点，且AB =l 的方程．（2）已知点P 是圆C 上任意一点，在x 轴上是否存在两个定点M ，N ，使得12PM PN=？若存在，求出点M ，N 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】（1）由已知可得圆心()4,0C -，4r =．圆心C 到直线l的距离d =因此AB ===．22421m m =+，解得1m =±，直线l 的方程为2y x =+或2y x =--．（2）设(),P x y ，()1,0M x ，()2,0N x 由已知可得228x y x +=-12=，化简得211222821824x x x x x x x x -+-=-+-．即()()221221241240x x x x x -++-=恒成立所以122221412040x x x x -+=⎧⎨-=⎩，解得12612x x =-⎧⎨=-⎩，或1224x x =-⎧⎨=⎩所以满足题意的定点M ，N 存在，其坐标为()6,0M -，()12,0N -或()2,0M -，()4,0N ．54．（2020·辽宁·大连八中高二期中）已知圆22:1O x y +=与x 轴的正半轴交于点P ，直线:30l kx y k --+=与圆O 交于不同的两点A ，B ．（1）求实数k 的取值范围；（2）设直线PA ，PB 的斜率分别是12,k k ，试问12k k +是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；【解析】∵圆221O x y +=：与x 轴的正半轴交于点P ，∴圆心00O (，)，半径1r =，()10，P ．（1）∵直线30l kx y k --+=：与圆O 交于不同的两点,A B ，∴圆心O 到直线l 的距离1d =<，即3k -43k >．（2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22301kx y k x y --+=⎧⎨+=⎩，可得2222(1)(26)680k x k k x k k +--+-+=，∴2122261k k x x k -+=+，2122681k k x x k-+=+，∴121212121212(1)3(1)3332111111y y k x k x k k k x x x x x x -+-++=+=+=++------221222212123(2)3[262(1)]22()168(26)1x x k k k k k x x x x k k k k k +---+=+=+-++-+--++1862293k k --=+=-为定值．∴12k k +是定值，定值为23-．55．（2021·吉林·长春外国语学校高二期中）已知圆1O过点P ，且与圆2222:(2)(2)(0)O x y r r ++-=>关于直线20x y -+=对称．（1）求圆1O 、圆2O 的方程；（2）过点Q 向圆1O 和圆2O 各引一条切线，切点分别为C ，D ，且2QD QC =，则是否存在一定点M ，使得Q 到M 的距离为定值λ？若存在，求出M 的坐标，并求出λ的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设圆1O 的圆心1(,)O a b ，因为圆1O 与圆2222:(2)(2)O x y r ++-=关于直线20x y -+=对称，可得2112222022b a a b -⎧⋅=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得0,0a b ==，设圆1O 的方程为222x y r +=，将点P ，代入可得2r =，所以圆1O 的方程为224x y +=，圆2O 的方程为22(2)(2)4x y ++-=．（2）由2QD QC ==设()00,Q x y ，则()()()2222000022444x y x y ++--=+-，化简得22002268339x y ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在定点22,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭使得Q 到M．56．（2021·湖南·怀化五中高二期中）已知圆C 的圆心坐标为(3,0)C ，且该圆经过点(0,4)A ．（1）求圆C 的标准方程；（2）直线n 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之积为2，求证：直线n 过一个定点，并求出该定点坐标．（3）直线m 交圆C 于M ，N 两点，若直线AM ，AN 的斜率之和为0，求证：直线m 的斜率是定值，并求出该定值．【解析】（1）依题意，圆C 的半径22||345CA =+，所以圆C 的标准方程是：()22325x y -+=．（2）当直线n 的斜率不存在时，设(,),(,)M a b N a b -，由直线AM ，AN 的斜率之积为2，得442b b a a ---⋅=，即22162b a =-，又由点M ，N 在圆C 上得()22325a b -+=，消去b 得：260a a +=，而0a ≠，则6a =-，此时20b <，因此，无解，当直线n 的斜率存在时，设其方程为y kx t =+，由22(3)25y kx t x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：222(1)2(3)160k x kt x t ++-+-=，设1122(,),(,)M x y N x y ，则1222(3)1kt x x k --+=+，2122161t x x k -=+，直线AM 斜率114AM y k x -=，直线AN 斜率224AN y k x -=，则()()221212121212444·4AM ANt kx t kx t x xk k k k t x x x x x x -+-+-+==+-⋅+2222222226(1)(4)(4)26(1)(4)(4)16164kt k t k t k t k k t k k t t t t -++-+-+++-=+-⋅+=--+6424k t t +-==+，整理得612t k =-，此时直线n ：(6)12y k x =+-过定点()6,12--，所以直线n 过一个定点，该定点坐标是()6,12--．（3）设直线AM 方程为：4y rx =+，由224(3)25y rx x y =+⎧⎨-+=⎩消去y 并整理得：22(1)2(43)0 r x r x++-=，则有点22268464(,)11r r rMr r--++++，而直线AN：4y rx=-+，同理22268464(,)11r r rNr r+--+++，于是得直线MN的斜率2222224644643116868411MNr r r rr rk r rr r-++--+-++==--+-++，所以直线m的斜率是定值，该定值为3 4-．。

九种直线和圆的方程的解题方法高考数学一轮复习(新高考专用原卷版)

九种直线和圆的方程的解题方法题型一：直接法求直线方程一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）直线l 经过两条直线10x y -+=和2320x y ++=的交点，且平行于直线240x y -+=，则直线l 的方程为（） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．220x y -+=D ．220x y +-=2．（2022·全国·高三专题练习（文））若经过点(1,2)P --的直线与圆225x y +=相切，则该直线在y 轴上的截距为( ) A ．52B ．5C ．52-D ．5-3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，圆1C 、2C 在第一象限，且与x 轴，直线:l y =均相切，则圆心1C 、2C 所在直线的方程为（）A ．y =B ．y x =C ．y =D ．y x =4．（2022·重庆·高三开学考试）若直线l 交圆22:420C x y x y +-+=于A 、B 两点，且弦AB 的中点为()1,0M ，则l 方程为（） A ．10x y --= B ．10x y -+=C ．10x y +-=D ．10x y ++=二、多选题5．（2022·全国·高三专题练习）过点()2,3A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为（） A ．320x y -=B ．230x y -=C ．5x y +=D ．1x y -=-6．（2022·全国·高三专题练习）已知(1,2)A ，(3,4)B -，(2,0)C -，则（） A ．直线0x y -=与线段AB 有公共点 B ．直线AB 的倾斜角大于135︒C ．ABC 的边BC 上的中线所在直线的方程为2y =D ．ABC 的边BC 上的高所在直线的方程为470x y -+=7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线l 过点P （－1，1），且与直线1:230l x y -+=以及x 轴围成一个底边在x 轴上的等腰三角形，则下列结论正确的是（） A ．直线l 与直线l 1的斜率互为相反数B ．所围成的等腰三角形面积为1C ．直线l 关于原点的对称直线方程为210x y +-=D ．原点到直线l 8．（2021·全国·模拟预测）已知平面上的线段l 及点P ，任取l 上一点Q ，称线段PQ 长度的最小值为点P 到线段l 的距离，记作(,)d P l .已知线段1:(122)l x y =--≤≤，21:()20l x y =-≤≤，点P 为平面上一点，且满足12(,)(,)d P l d P l =，若点P 的轨迹为曲线C ，A ，B 是第一象限内曲线C 上两点，点(10)F ，且54AF =，BF = ） A ．曲线C 关于x 轴对称 B ．点A 的坐标为1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．点B 的坐标为35,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．FAB 的面积为1916题型二：待定系数法求直线方程一、单选题 1．（2022·内蒙古·满洲里市教研培训中心模拟预测（理））已知抛物线C ：22y px =的焦点F 的坐标为()20，，准线与x 轴交于点A ，点M 在第一象限且在抛物线C 上，则当MAMF取得最大值时，直线M A 的方程为（） A ．24y x =+ B ．24y x =-- C ．y =x +2D ．2y x =--2．（2022·全国·高三专题练习）若直线1:2330l x y --=与2l 互相平行，且2l 过点(2,1)，则直线2l 的方程为（） A ．3270x y +-= B ．3240x y -+= C ．2330x y -+=D ．2310x y --=3．（2022·全国·高三专题练习）已知直线:20l ax y a +-+=在x 轴与y 轴上的截距相等，则实数a 的值是（） A ．1B ．﹣1C ．﹣2或1D ．2或14．（2022·全国·高三专题练习）过点()1,2作直线l ，满足在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l 有（）条. A ．1 B ．2C ．3D ．4二、多选题5．（2021·重庆梁平·高三阶段练习）已知直线l 10y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是3πB ．若直线m ：10x +=，则l m ⊥ C．点到直线l 的距离是2D ．过2)与直线l 40y --= 6．（2022·全国·高三专题练习）下列命题正确的是（）A ．已知点3(2,)A -，(3,2)B --，若直线(1)1y k x =-+与线段AB 有交点，则34k ≥或4k ≤-B ．1m =是直线1l ：10mx y +-=与直线2l ：()220m x my -+-=垂直的充分不必要条件C ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上的截距都相等的直线的方程为20x y +-=D ．已知直线1l ：10ax y -+=，2l ：10x ay ++=，R a ∈，和两点(0,1)A ，(1,0)B -，如果1l 与2l 交于点M ，则MA MB ⋅的最大值是1.7．（2022·全国·高三专题练习）下列说法错误．．的是（） A ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =- B ．直线sin 20x y α++=的倾斜角的取值范围是30,,)44[πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C ．()()()()0,1,2,1,3,4,1,2A B CD -四点不在同一个圆上D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=8．（2021·全国·高三专题练习）直线l 与圆22(2)2x y -+=相切，且l 在x 轴、y 轴上的截距相等，则直线l 的方程可能是A ．0x y +=B ．20x y +-=C ．0x y -=D ．40x y +-=三、填空题9．（2022·全国·高三专题练习（理））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，若21154x x -=，则直线AB 的方程为______． 10．（2020·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））若过点()1,1A 的直线l 将圆()()22:324C x y -+-=的周长分为2:1两部分，则直线l 的斜率为___________.四、解答题11．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：()()22214x y -+-=，直线l ：()()423360m x m y m ----=.(1)过点()4,2P -，作圆C 的切线1l ，求切线1l 的方程；(2)判断直线l 与圆C 是否相交，若相交，求出直线l 被圆截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；若不相交，请说明理由.12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，左右焦点分别为1F ，2F ，且12||2F F ，点3(1,)2在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过1F 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，且2AF B ∆，求以2F 为圆心且与直线l 相切的圆的方程.题型三：已知两直线位置关系求参数值或范围一、单选题 1．（2022·四川凉山·三模（理））已知直线1:210l x y -+=，2:10l x ay +-=，且12l l ⊥，点()1,2P 到直线2l 的距离d =（）A BC D 2．（2022·辽宁·二模）己知直线:0l ax y a ++=，直线:0m x ay a ++=，则l m ∥的充要条件是（） A ．1a =- B ．1a = C ．1a =± D ．0a =二、多选题3．（2021·重庆一中高三阶段练习）下列说法正确的有（）A ．若m ∈R ，则“1m =”是“1l ：330x my m -+=与2l ：()20m x y m +--=平行”的充要条件B ．当圆222110x y x +--=截直线l ：()1y kx k =+∈R 所得的弦长最短时，1k =-C ．若圆1C ：222x y t +=+与圆2C ：()()22349x y -++=有且仅有两条公切线，则()2,6t ∈D ．直线l ：tan 412022y x =-︒⋅+的倾斜角为139°4．（2021·广东·高三阶段练习）已知直线l 过点()1,2M 且与圆C ：()2225x y -+=相切，直线l 与x 轴交于点N ，点P 是圆C 上的动点，则下列结论中正确的有（） A ．点N 的坐标为()3,0- B ．MNP △面积的最大值为10C ．当直线l 与直线10ax y -+=垂直时，2a =D ．tan MNP ∠的最大值为43三、填空题5．（2022·陕西·安康市高新中学三模（理））若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线l 与直线:20g ax by a ++=平行，则直线l ，g 间的距离为______． 6．（2022·天津·二模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:(62)4560C x y m x my m m +---+-=，直线l 经过点(1,2)-，若对任意的实数m ，直线l 被圆C 截得的弦长都是定值，则直线l 的方程为___________.四、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限．(1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．8．（2020·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:(4)1C x y ++=，圆222:(4)4C x y -+=，A 是第一象限内的一点，其坐标为(,)t t ．（1）若1212AC AC →→⋅=-，求t 的值；（2）过A 点作斜率为k 的直线l ，①若直线l 和圆1C ，圆2C 均相切，求k 的值；①若直线l 和圆2C ，圆2C 分别相交于,A B 和,C D ，且AB CD =，求t 的最小值．题型四：求解直线的定点一、单选题1．（2022·山东滨州·二模）已知直线()22:1(32)250l m m x m y m +++---=，圆22:20C x y x +-=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2．（2022·陕西·榆林市教育科学研究所模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4i P i =，过动点Pi 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的取值范围为（） A ．4,3∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．4,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．(,7)(4,13)--∞--D ．4(7,)1)30(,---二、多选题3．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知O 为坐标原点，点()P a b ，在直线()40l kx y k --=∈R ：上，PA PB ，是圆222x y +=的两条切线，A B ，为切点，则（） A ．直线l 恒过定点()04，B ．当PAB △为正三角形时，OP =C ．当PA PB ⊥时，k 的取值范围为()7⎡-∞+∞⎣，，D．当14PO PA ⋅=时，a b +的最大值为4．（2022·江苏盐城·三模）设直线l ：()220mx y m m R --+=∈，交圆C ：()()22349x y -+-=于A ，B 两点，则下列说法正确的有（）A ．直线l 恒过定点()1,2B ．弦AB 长的最小值为4C ．当1m =时，圆C 关于直线l 对称的圆的方程为：()()22439x y -+-=D ．过坐标原点O 作直线l 的垂线，垂足为点M ，则线段MC 5．（2022·重庆·高三阶段练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i iP A PB ⋅=，则k 的值可能为（） A ．-7 B ．-5 C ．-2 D ．–1三、双空题6．（2022·北京房山·二模）已知圆()()22:121C x y -+-=和直线():1l y k x =+，则圆心坐标为___________；若点P 在圆C 上运动，P 到直线l 的距离记为()d k ，则()d k 的最大值为___________. 四、填空题7．（2022·河南焦作·三模（文））已知()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x ∈时，()f x =()(2)0f x k x --=的所有根的和为6，则实数k 的取值范围是______．五、解答题8．（2022·全国·高三专题练习）O 为坐标原点，动点M 在椭圆22:12x C y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =. (1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ =，直线l 过点P 且垂直于OQ ，求证：直线过定点.9．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F ，设过点(,)T t m 的直线TA 、TB 与此椭圆分别交于点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，其中0m >，10y >，20y <(1)设动点P 满足()()13PF PB PF PB +-=，求点P 的轨迹方程；(2)设12x =，213x =，求点T 的坐标；(3)若点T 在点P 的轨迹上运动，问直线MN 是否经过x 轴上的一定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.题型五：直线相关的对称问题一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习（理））集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为M .若集合(){}22,925A x y xy =≤+≤，(){},B x y y x m ==+，(){},2C x y y kx k ==+-则下列说法中不正确的有（）A ．若AB ⋂≠∅，则实数m 的取值范围为{m m -≤ B ．存在k ∈R ，使A C ⋂≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ⋂≠∅D ．A C 的最大值为42．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量12312312,,,1,,60e e e e e e e e ︒====.若对区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的三个任意的实数123,,λλλ,都有11223312312e e e e e e λλλ++++,则向量1e 与3e 夹角的最大值的余弦值为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题3．（2022·全国·模拟预测）已知直线:50l x y -+=，过直线上任意一点M 作圆()22:34C x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则有（）A ．四边形MACB 面积的最小值为B ．AMB ∠最大度数为60°C ．直线AB 过定点15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．AB 4．（2022·福建三明·模拟预测）已知直线l ：10kx y k --+=与圆C ：()()222216x y -++=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．AB 的最小值为B ．若圆C 关于直线l 对称，则3k =C ．若2ACB CAB ∠=∠，则1k =或17k =-D ．若A ，B ，C ，O 四点共圆，则13k =-三、填空题5．（2022·全国·模拟预测）已知平面内点,05n n A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，,05n n B ⎛⎫⎪⎝⎭()*n ∈N ，点n C 满足n n n n A C B C ⊥．设n C 到直线()3410x y n n +++=的距离的最大值为n a ，若数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n项和n S m <恒成立，则实数m 能取的最小值是______．6．（2022·天津·南开中学模拟预测）已知圆221:(1)(2)4C x y -+-=和圆222:(2)(1)2C x y -+-=交于,A B 两点，直线l 与直线AB 平行，且与圆2C 相切，与圆1C 交于点,M N ，则MN =__________．7．（2022·广东佛山·模拟预测）已知点1,0A ，()3,0B ，若2PA PB ⋅=，则点P 到直线l ：340x y -+=的距离的最小值为____________．四、解答题8．（2022·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22224x t ty t ⎧=-⎨=+⎩(t 为参数)． (1)求C 与坐标轴交点的直角坐标；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 与坐标轴的交点是否共圆，若共圆，求出该圆的极坐标方程；若不共圆，请说明理由.9．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线:sin cos 0l x y a θθ++=，圆()()221:324C x y a +--=，圆2222:340C x y a a +-+=(1)若4θ=，求直线l 的倾斜角；(2)设直线l 截两圆的弦长分别为12,d d ，当23πθ=时，求12d d ⋅的最大值并求此时a 的值.10．（2022·江西南昌·一模（理））已知面积为ABO （O 是坐标原点）的三个顶点都在抛物线()2:20E y px p =>上，过点(),2P p -作抛物线E 的两条切线分别交y 轴于M ，N 两点.(1)求p 的值；(2)求PMN 的外接圆的方程.题型六：几何法求圆的方程一、多选题 1．（2022·广东·模拟预测）三角形的外心、重心、垂心所在的直线称为欧拉线．已知圆O '的圆心在OAB 的欧拉线l 上，O 为坐标原点，点()4,1B 与点()1,4A 在圆O '上，且满足O A O B '⊥'，则下列说法正确的是（）A ．圆O '的方程为224430x y x y +--+=B ．l 的方程为0x y -=C ．圆O '上的点到l 的最大距离为3D ．若点(),x y 在圆O '上，则x y -的取值范围是⎡-⎣二、填空题2．（2022·河北·模拟预测）圆心为(1,2)C -，且截直线350x y ++=所得弦长为方程为___________.3．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知㮋圆1C ：()2221024x y b b+=<<的离心率为12，1F 和2F 是1C 的左右焦点，M 是1C 上的动点，点N 在线段1F M 的延长线上，2MN MF =，线段2F N 的中点为P ，则1F P 的最大值为______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知圆C 过点(0,1)(2,1)P Q 、两点，且圆心C 在x 轴上，经过点(1,0)M -且倾斜角为钝角的直线l 交圆C 于A ，B 两点，若0CA CB ⋅=(C 为圆心)，则该直线l 的斜率为________．5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C ：(x －2)2＋y 2＝2，直线l ：y ＝k (x ＋2)与x 轴交于点A ，过l 上一点P 作圆C 的切线，切点为T ，若|P A ||PT |，则实数k 的取值范围是______________．三、解答题6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））拋物线C 的顶点为坐标原点O ，焦点在x 轴上，直线l ：2x =交C 于P ，Q 两点，且OP OQ ⊥．已知点M 的坐标为()4,0，M 与直线l 相切．(1)求抛物线C 和M 的标准方程；(2)已知点()8,4N ，点1A ，2A 是C 上的两个点，且直线1NA ，2NA 均与M 相切．判断直线12A A 与M 的位置关系，并说明理由．7．（2022·江苏·南京市第五高级中学一模）已知O 为坐标原点，抛物线E ：22x py =（p ＞0），过点C （0，2）作直线l 交抛物线E 于点A 、B （其中点A 在第一象限），4OA OB ⋅=-且AC CB λ=（λ＞0）. (1)求抛物线E 的方程；(2)当λ=2时，过点A 、B 的圆与抛物线E 在点A 处有共同的切线，求该圆的方程8．（2022·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系上一动点(),P x y 到点()2,0A -的距离是点P 到点()10B ,的距离的2倍．（1）求点P 的轨迹方程：（2）若点P 与点Q 关于点()1,4-对称，求P 、Q 两点间距离的最大值；（3）若过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于E 、F 两点，()2,0M ，则是否存在直线l ，使BFM S △取得最大值，若存在，求出此时的方程，若不存在，请说明理由．题型七：待定系数法求圆的方程一、单选题 1．（2016·天津市红桥区教师发展中心高三学业考试）已知圆M 的半径为1，若此圆同时与 x轴和直线y = 相切，则圆M 的标准方程可能是（）A ．22((1)1x y +-=B ．22(1)(1x y -+-=C ．22(1)(1x y -+=D ．22((1)1x y ++=二、填空题2．（2022·四川眉山·三模（文））已知函数()()()2112819f x x x x =+--.过点()() 1,1A f --作曲线()y f x =两条切线，两切线与曲线()y f x =另外的公共点分别为B 、C ，则ABC 外接圆的方程为___________.3．（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知抛物线2:8C x y =，过点(2,2)N -作抛物线C 的两条切线NA ，NB ，切点分别为点A ，B ，以AB 为直径的圆交x 轴于P ，Q 两点，则PQ =_______．4．（2022·天津·高三专题练习）已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，抛物线C 上一点A 位于第一象限，且满足3AF =，则以点A 为圆心，AF 为半径的圆的方程为______. 三、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点A (0，2)，B (2，0)，圆C 的圆心在圆x 2＋y 2＝2的内部，且直线3x ＋4y ＋5＝0被圆C 所截得的弦长为点P 为圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A 与x 轴交于点M ，直线PB 与y 轴交于点N . (1)求圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋1与圆C 交于A 1，A 2两点，求12BA BA →→； (3)求证：|AN |·|BM |为定值.6．（2021·江西·高三阶段练习（理））已知圆C 过点(2,1)-，(6,3)，(2,3)-． (1)求C 的标准方程；(2)若点(,)P x y 在C 上运动，求34x y -的取值范围．7．（2021·全国·模拟预测）已知点()1,1P 在抛物线C ：()220y px p =>上，过点P 作圆E ：()()22220y x r r +=->的两条切线，切点为A ，B ，延长PA ，PB 交抛物线于C ，D .（1）当直线AB 抛物线焦点时，求抛物线C 的方程与圆E 的方程；（2）证明：对于任意()0,1r ∈，直线CD 恒过定点.8．（2019·云南·二模（理））已知O 是坐标原点，抛物线C ：2x y =的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，Q 为抛物线C 的准线上一点，且2AQB π∠=.（1）求Q 点的坐标；（2）设与直线l 垂直的直线与抛物线C 交于M 、N 两点，过点M 、N 分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，设直线1l 与2l 交于点P ，若OP OQ ⊥，求MON ∆外接圆的标准方程.题型八：几何法求弦长一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）已知直线 l 过点(A ，则直线 l 被圆O ：2212x y +=截得的弦长的最小值为（）A ．3B ．6C ．D ．2．（2022·全国·模拟预测）过点()2,2A ，作倾斜角为π3的直线l ，则直线l 被圆22:16O x y +=- ）A ．1B ．2C ．3D ．6-二、多选题3．（2022·广东·模拟预测）已知圆221:(1)1C x y ++=和圆222:(4)4C x y -+=，过圆2C 上任意一点P 作圆1C 的两条切线，设两切点分别为,A B ，则（）A ．线段ABB ．线段ABC ．当直线AP 与圆2C 相切时，原点O 到直线AP 的距离为65D ．当直线AP 平分圆2C 的周长时，原点O 到直线AP 的距离为45三、填空题4．（2022·河北唐山·三模）直线:0+-=l x m 与圆22:480+--=C x y x 交于A 、B 两点，且6⋅=-CA CB ，则实数m =_______．四、解答题5．（2022·全国·高三专题练习）已知点()()1,0M m m ->，不垂直于x 轴的直线l 与椭圆22:143x y C +=相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点.(1)若M 为线段AB 的中点，证明：212112y y x x ->-； (2)设C 的左焦点为F ，若M 在①AFB 的角平分线所在直线上，且l 被圆224x y +=截得的弦长为l 的方程.6．（2021·湖北·武汉市第六中学高三阶段练习）已知圆O ：x 2＋y 2=2，过点A （1，1）的直线交圆O，且与x 轴的交点为双曲线E ：2222x y a b-=1的右焦点F （c ，0）（c ＞2），双曲线E 的离心率为32．(1)求双曲线E 的方程； (2)若直线y =kx ＋m （k ＜0，k ≠m ＞0）交y 轴于点P ，交x 轴于点Q ，交双曲线右支于点M ，N 两点，当满足关系111||||||PM PN PQ +=时，求实数m 的值．7．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>0y -=过E 的上顶点A 和左焦点1F .(1)求E 的方程；(2)设直线l 与椭圆E 相切，又与圆22:4O x y +=交于M ，N 两点（O 为坐标原点），求OMN 面积的最大值，并求出此时直线l 的方程.题型九：利用点到直线的距离解决圆上点与直线上点的距离问题一、单选题 1．（2022·江苏扬州·模拟预测）已知直线():130l a x y -+-=，圆22:(1)5C x y -+=.则“32a =”是“l 与C 相切”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知圆2220x y x a +-+=上仅存在一个点到直线30x +=的距离为1，则实数a 的值为（）A ．-2B ．C ．-1D ．03．（2022·全国·高三专题练习（文））圆O ：222x y +=上点P 到直线l ：3410x y +=距离的最小值为（）A 1B ．2C ．2D ．04．（2022·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））过直线34110x y -+=上一动点P 作圆22:2210C x y x y +--+=的两条切线，切点分别为,A B ，则四边形PACB 的面积的最小值为（）AB C ．3D二、多选题5．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知点P 在圆22:4O x y +=上，点()3,0A ，()0,4B ，则（）A ．点P 到直线AB 的距离最大值为225B ．满足AP BP ⊥的点P 有2个C ．过点B 作圆O 的两切线，切点分别为M ､N ，则直线MN 的方程为1y =D ．2PA PB +的最小值是6．（2022·重庆·二模）已知点(),P x y 是圆()22:14C x y -+=上的任意一点，直线()):1130l m x y m ++-=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 与圆C 的位置关系只有相交和相切两种B ．圆C 的圆心到直线l C ．点P 到直线43160++=x y 距离的最小值为2D ．点P 可能在圆221x y +=上三、填空题7．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））过直线0x y m --=上动点P 作圆2:(2)(3)1M x y -+-=的一条切线，切点为A ，若使得1PA =的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．8．（2022·贵州遵义·三模（理））圆22:2O x y +=上点P 到直线3410:x y l +=距离的最小值为__________．四、解答题9．（2022·广东茂名·模拟预测）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线2y x =-与抛物线C 交于A ，B 两点. （1）求FAB 的面积；（2）过抛物线C 上一点Р作圆()22:34M x y -+=的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C 交于异于点P 的两点D ，E .证明：直线DE 与圆M 相切.。

直线与圆的位置关系题型很全

On the evening of July 24, 2021
练习1:已知圆
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x2 y2 ,4
直线 l: y=x+b, 求b的取值范围,使
(1)圆上没有一个点到直线l的距离等于1
(2)圆上恰有一个点到直线l的距离等于1
(3)圆上恰有两个点到直线l的距离等于1
(4)圆上恰有三个点到直线l的距离等于1
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例1、已知直线 y=x+1 与圆x2 y2 4 相交于A,B两点，求弦长|AB|的值
解法一：（求出交点利用两点间距离公式）
y
由
y x1
x
2
y2
消 4
去
y
B
得 2x2 2x 3 0
x1
1 2
7
, x2
1 2
7
A
O
x
1 7
1 7
y1 2 , y2 2
O
轮船 x
度．
On the evening of July 24, 2021
一.实例引入
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问题
这样，受台风影响的圆区域所对应的圆心为O的圆的方程为:
x2 y2 9
轮船航线所在直线 l 的方程为：
4x7y2 80
y 港口
问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点．
O
轮船 x
On the evening of July 24, 2021
二.直线与圆的位置关系
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问题
想一想，平面几何中，直线与圆有哪几种位置关系
平面几何中，直线与圆有三种位置关系：

直线与圆常考6种题型总结(解析板)--2024高考数学常考题型精华版

直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.设MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m -≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_______．题型五：圆中最值问题【例1】已知l：4y x=+，分别交x，y轴于A，B两点，P在圆C：224x y+=上运动，则PAB△面积的最大值为（）A．8-B．16-C．8+D．16+【答案】C【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则AB =PAB △面积的最大值为()1282⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为的交点以及点【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大PM 3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。