2020-2021学年上海市浦东新区八年级(上)期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年上海市浦东新区八年级第一学期期末数学试卷
（五四学制）
一、选择题（共6小题）.
1．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
2．下列方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣3x＝0B．x2﹣6x+10＝0C．x2﹣6x+9＝0D．x2＝1
3．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）都在反比例函数y＝的图象上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是（）
A．t＜n＜m B．t＜m＜n C．m＜t＜n D．m＜n＜t
4．下列命题中，是真命题的是（）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
5．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB 的距离是（）
A．4.8B．4C．3D．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：13
二、填空题（共12小题）.
7．﹣＝．
8．函数y＝的定义域是．
9．已知函数f（x）＝2x﹣，则f）＝．
10．在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3＝．
11．经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是．
13．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．14．直角坐标平面内的两点P（﹣4，﹣5）、Q（2，3）的距离为．
15．边长为6cm的等边三角形的面积是．
16．小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是米．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD ＝．
18．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为．
三、简答题。

（本大题共5小题，19～20每题5分，21-23每题6分。

满分28分）19．计算：（+2）﹣．
20．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x ＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．
22．作图：已知△ABC和线段r，请在△ABC内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证明过程需要批注理由）
四、解答题。

（本大题共3小题，每题8分，满分24分）
24．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．
25．如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA ＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P是AB上的动点，联结
CP．并以CP为边作等边△CPE（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
参考答案
一、选择题（共6小题）.
1．下列二次根式中，最简二次根式是（）
A．B．C．D．
解：A、原式＝2，故A不是最简二次根式．
B、原式＝，故B不是最简二次根式．
C、原式＝2，故C不是最简二次根式．
D、是最简二次根式，故D是最简二次根式．
故选：D．
2．下列方程中，没有实数根的是（）
A．x2﹣3x＝0B．x2﹣6x+10＝0C．x2﹣6x+9＝0D．x2＝1
解：A．此方程根的判别式△＝（﹣3）2﹣4×1×0＝9＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
B．此方程根的判别式△＝（﹣6）2﹣4×1×10＝﹣4＜0，没有实数根，符合题意；
C．此方程根的判别式△＝（﹣6）2﹣4×1×9＝0，有两个相等的实数根，不符合题意；
D．此方程根的判别式△＝02﹣4×1×（﹣1）＝4＞0，有两个不相等的实数根，不符合题意；
故选：B．
3．已知三点（a，m）、（b，n）和（c，t）都在反比例函数y＝的图象上，若a＜0＜b＜c，则m、n和t的大小关系是（）
A．t＜n＜m B．t＜m＜n C．m＜t＜n D．m＜n＜t
解：反比例函数y＝中，k＝2021＞0，图象位于一、三象限，
∵a＜0，
∴点（a，m）在第三象限，
∴m＜0；
∵0＜b＜c，
∴点（b，n）和点（c，t）在第一象限，
∴0＜t＜b，
∴m＜t＜b，
故选：C．
4．下列命题中，是真命题的是（）
A．三角形的外角大于三角形的任何一个内角
B．线段的垂直平分线上的任一点与该线段两个端点能构成等腰三角形
C．三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等
D．面积都相等的两个三角形一定全等
解：A、三角形的外角大于三角形的任何一个不相邻内角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B、线段的垂直平分线上的任一点（垂足除外）与该线段两个端点能构成等腰三角形，故
原命题错误，不符合题意；
C、三角形一边的两个端点到这边上的中线所在的直线的距离相等，正确，是真命题，符
合题意；
D、面积都相等的两个三角形不一定全等，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：C．
5．在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD平分∠BAC交BC于点D，那么点D到AB 的距离是（）
A．4.8B．4C．3D．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∴62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝ED，
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AE＝AC＝6，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝4，
设CD＝DE＝x，则BD＝8﹣x，
在Rt△BDE中，DE2+BE2＝BD2，
x2+42＝（8﹣x）2，
解得x＝3．
故DE的长为3．
故选：C．
6．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明△ABC是直角三角形的是（）
A．b2＝a2﹣c2B．∠C＝∠A+∠B
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．a：b：c＝5：12：13
解：A、b2＝a2﹣c2，即a2＝b2+c2，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意；
B、∠C＝∠A+∠B，此时∠C是直角，能够判定△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么∠A＝45°、∠B＝60°、∠C＝75°，△ABC不是
直角三角形，符合题意；
D、132＝52+122，符合勾股定理的逆定理，能够判定△ABC为直角三角形，不符合题意．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）
7．﹣＝．
解：原式＝3﹣2＝，
故答案为：．
8．函数y＝的定义域是x＞2021．
解：依题意有x﹣2021＞0，
解得：x＞2021．
故答案为：x＞2021．
9．已知函数f（x）＝2x﹣，则f）＝．
解：将x＝代入f（x）＝2x﹣
得：f（）＝2×﹣＝．
10．在实数范围内因式分解：2x2+4x﹣3＝2（x﹣）（x﹣）．解：2x2+4x﹣3＝0的解是x1＝，x2＝﹣，
所以可分解为2x2+4x﹣3＝2（x﹣）（x﹣）．
11．经过A、B两点的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
解：根据同圆的半径相等，则圆心应满足到点A和点B的距离相等，即经过已知点A和点B的圆的圆心的轨迹是线段AB的垂直平分线．
故答案为：线段AB的垂直平分线．
12．命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是两个角相等三角形是等腰三角形．解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”．13．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＞﹣1且k≠0．
解：由已知得：，
即，
解得：k＞﹣1且k≠0．
故答案为：k＞﹣1且k≠0．
14．直角坐标平面内的两点P（﹣4，﹣5）、Q（2，3）的距离为10．解：根据题意得PQ＝，
故答案为：10．
15．边长为6cm的等边三角形的面积是9cm2．
解：如图，等边三角形高线即中线，故D为BC中点，
∵AB＝6cm，
∴BD＝3cm，
∴AD＝＝3，
∴等边△ABC的面积＝BC•AD＝×6×3＝9（cm2）．
故答案为：9cm2．
16．小明的叔叔家承包了一个长方形的鱼池，这个长方形鱼池的面积为40平方米，其对角线长为10米．为建栅栏，那么这个长方形鱼池的周长是12米．
解：设矩形的长是a，宽是b，
根据题意，得：
，
②+①×2，得（a+b）2＝180，即a+b＝6，
∴2（a+b）＝6×2＝12（米）．
答：矩形的周长是12米．
故答案为：12．
17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，如果AC＝6，AD＝3，那么BD ＝9．
解：在Rt△ACD中，CD＝＝＝3，
在Rt△BCD中，BC＝＝，
在Rt△ABC中，BC＝＝，
∴＝，
解得，BD＝9，
故答案为：9．
18．如图，已知正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，点D、C、G、J、I在同一水平面上，则正方形BEFG的面积为7．
解：∵四边形ABCD、四边形FHIJ和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BCG＝∠BGF＝∠GJF＝90°，BG＝GF，
∴∠CBG+∠BGC＝90°，∠JGF+∠BGC＝90°，
∴∠CBG＝∠JGF，
在△BCG和△GJF中，
，
∴△BCG≌△GJF（AAS），
∴BC＝GJ，
∵正方形ABCD的面积为4，正方形FHIJ的面积为3，
∴BC2＝4，FJ2＝3，
∴GJ2＝4，
在Rt△GJF中，由勾股定理得：
FG2＝GJ2+FJ2＝4+3＝7，
∴正方形BEFG的面积为7．
故答案为：7．
三、简答题。

（本大题共5小题，19～20每题5分，21-23每题6分。

满分28分）19．计算：（+2）﹣．
解：原式＝3+2﹣2﹣2
＝3﹣2．
20．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
解：a＝1，b＝﹣2，c＝﹣4，
△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝36＞0，
方程有两个不等的实数根，x＝＝，
即x1＝+3，x2＝﹣3．
21．已知y＝y1+y2，y1与x﹣2成反比例，y2与x+2成正比例，并且当x＝1时，y＝3；当x ＝3时，y＝13．求：y关于x的函数解析式．
解：设y1＝，y2＝b（x+2），
∵y＝y1+y2，
∴y＝+b（x+2），
把x＝1，y＝3和x＝3，y＝13代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式是：y＝+2x+4．
22．作图：已知△ABC和线段r，请在△ABC内部作点P，使得点P到AC和BC的距离相等，并且点A到点P的距离等于定长r．（不写作法，保留痕迹）
解：如图，线段AP即为所求作．
23．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝15°，边AB的垂直平分线交边BC于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF．求证：AC＝DF．（说明：此题的证
明过程需要批注理由）
【解答】证明：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线（已知），
∴AE＝BE，∠EDB＝90°（线段垂直平分线的性质），
∴∠EAB＝∠EBA＝15°（等边对等角），
∴∠AEC＝30°（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
Rt△EDB中，∵F是BE的中点（已知），
∴DF＝BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
Rt△ACE中，∵∠AEC＝30°（已知），
∴AC＝AE（直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半），
∴AC＝DF（等量代换）．
四、解答题。

（本大题共3小题，每题8分，满分24分）
24．如图，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面积和∠C的度数．
解：作AD⊥BC于D，
设CD＝x，则BD＝8﹣x，
由勾股定理可得：，
解得：x＝2.5，
即CD＝2.5，
∴∠ACD＝60°，
∴AD＝，
∴．
25．如图，已知直线OA与反比例函数y＝（m≠0）的图象在第一象限交于点A．若OA ＝4，直线OA与x轴的夹角为60°．
（1）求点A的坐标；
（2）求反比例函数的解析式；
（3）若点P是坐标轴上的一点，当△AOP是直角三角形时，直接写出点P的坐标．
解：（1）如图1，过点A作AE⊥x轴于E，
∵∠AOE＝60°，AE⊥OE，
∴∠OAE＝30°，
∴OE＝OA＝2，AE＝OE＝2，∴点A（2，2）；
（2）∵反比例函数y＝的图象过点A，∴m＝2×2＝4，
∴反比例函数解析式为y＝；
（3）如图，
当点P1在y轴上时，且∠AP1O＝90°，又∵∠AOP1＝30°，
∴AP1＝2，OP1＝AP1＝2，
∴点P1（0，2）；
当点P2在x轴上，且∠AP2O＝90°，
又∵∠OAP2＝30°，
∴OP2＝2，
∴点P2（2，0）；
当点P3在y轴上，且∠P3AO＝90°，
又∵∠AOP3＝30°，
∴OP3＝2AP3，AO＝AP3＝4，
∴OP3＝，
∴点P3（0，）；
当点P4在x轴上，且∠P4AO＝90°，
∵∠AOP4＝60°，
∴∠AP4O＝30°，
∴OP4＝2OA＝8，
∴点P4（8，0）；
综上所述：点P的坐标为（0，2）或（2，0）或（0，）或（8，0）．
26．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，点P是AB上的动点，联结CP．并以CP为边作等边△CPE（点E在线段CP上方），M是线段AB的中点，联结EM．
（1）请猜想：线段EM与PB的数量关系？线段EM与CB的位置关系？
（2）请证明上题中你的猜想；
（3）请猜想：点P在BM上移动时，四边形ECPM的面积是否发生变化？并加以说明．
解：（1）猜想：EM＝PB，EM∥CB，
（2）连接CM，
∵△ECP是等边三角形，
∴EC＝CP，
在Rt△ACB中，M是斜边上的中点，∠A＝30°，∴∠B＝60°，△MCB是等边三角形，
∴CM＝CB，
∵∠ECM+∠MCP＝60°，∠MCP+∠PCB＝60°，∴∠ECM＝∠PCB，
在△CEM与△CPB中，
，
∴△CEM≌△CPB（SAS），
∴EM＝PB，
∴∠EMC＝∠B＝60°，
∵∠MCP+∠PCB＝60°，
∴∠EMC＝∠MCP+∠PCB，
∴EM∥CB；
（3）不发生变化，
∵△CEM≌△CPB，
∴．。