(完整版)数列例题(含答案)
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1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设数列{b n}的前n项和为T n且（λ为常数）．令c n=b2n（n∈N*）求数列
{c n}的前n项和R n．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由a2n=2a n+1，取n=1，得a2=2a1+1，即a1﹣d+1=0①
再由S4=4S2，得，即d=2a1②
联立①、②得a1=1，d=2．
所以a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）把a n=2n﹣1代入，得，则．
所以b1=T1=λ﹣1，
当n≥2时，=．
所以，．
R n=c1+c2+…+c n=③
④
③﹣④得：=
所以；
所以数列{c n}的前n项和．
2．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，
解得，
所以a n=3+（n﹣1）=n+2；
（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，
所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）
=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)
=+=2101．
3．已知数列{log2（a n﹣1）}（n∈N*）为等差数列，且a1=3，a3=9．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）证明++…+＜1．
【解答】（I）解：设等差数列{log2（a n﹣1）}的公差为d．
由a1=3，a3=9得2（log22+d）=log22+log28，即d=1．
所以log2（a n﹣1）=1+（n﹣1）×1=n，即a n=2n+1．
（II）证明：因为==，
所以++…+=+++…+==1﹣＜1，即得证．
4．已知{a n}是正数组成的数列，a1=1，且点（，a n+1）（n∈N*）在函数y=x2+1的图象
上．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）若列数{b n}满足b1=1，b n+1=b n+2an，求证：b n•b n+2＜b n+12．
【解答】解：解法一：
（Ⅰ）由已知得a n+1=a n+1、即a n+1﹣a n=1，又a1=1，
所以数列{a n}是以1为首项，公差为1的等差数列．
故a n=1+（n﹣1）×1=n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：a n=n从而b n+1﹣b n=2n．
b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1
=2n﹣1+2n﹣2+…+2+1
=
∵b n•b n+2﹣b n+12=（2n﹣1）（2n+2﹣1）﹣（2n+1﹣1）2
=（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）﹣（22n+2﹣2•2n+1+1）
=﹣2n＜0
∴b n•b n+2＜b n+12
解法二：
（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）∵b2=1
b n•b n+2﹣b n+12=（b n+1﹣2n）（b n+1+2n+1）﹣b n+12=2n+1•bn+1﹣2n•bn+1﹣2n•2n+1
=2n（b n+1﹣2n+1）
=2n（b n+2n﹣2n+1）
=2n（b n﹣2n）
=…
=2n（b1﹣2）
=﹣2n＜0
∴b n•b n+2＜b n+12
5．已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？
【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d．
∵a4﹣a3=2，所以d=2
∵a1+a2=10，所以2a1+d=10
∴a1=4，
∴a n=4+2（n﹣1）=2n+2（n=1，2，…）
（II）设等比数列{b n}的公比为q，
∵b2=a3=8，b3=a7=16，
∴
∴q=2，b1=4
∴=128，而128=2n+2
∴n=63
∴b6与数列{a n}中的第63项相等
6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，且a5+a13=34，S3=9．
（1）求数列{a n}的通项公式及前n项和公式；
（2）设数列{b n}的通项公式为，问：是否存在正整数t，使得b1，b2，b m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d．由已知得
即解得．
故a n=2n﹣1，S n=n2
（2）由（1）知．要使b1，b2，b m成等差数列，必须2b2=b1+b m，
即，（8分）．
移项得：=﹣=，
整理得，
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．
当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．
故存在正整数t，使得b1，b2，b m成等差数列．
7．设{a n}是等差数列，b n=（）an．已知b1+b2+b3=，b1b2b3=．求等差数列的通项a n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d．
∴
b1b3=•==b22．
由b1b2b3=，得b23=，
解得b2=．
代入已知条件
整理得
解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2
∴a1=﹣1，d=2或a1=3，d=﹣2．
所以，当a1=﹣1，d=2时
a n=a1+（n﹣1）d=2n﹣3．
当a1=3，d=﹣2时
a n=a1+（n﹣1）d=5﹣2n．