(天津)高考数学分项解析专题10立体几何文

第十章 立体几何一．基础题组1.【2005天津，文5】设,,αβγ为平面，,,m n l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是 （ ）（A ）,,l m l αβαβ⊥=⊥I （B ）,,m αγαγβγ=⊥⊥I （C ）,,m αγβγα⊥⊥⊥ (D) ,,n n m αβα⊥⊥⊥ 【答案】D2.【2005天津，文13】如图，PA ABC ⊥平面，90ACB PA AC BC a ∠====o 且， 则异面直线PB 与AC 所成的角的正切值等于 ．2【解析】将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小。

tan 2PDDBA DB∠== 23.【2006天津，文7】若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：PABC①,;αγβγαβ⊥⊥⇒⊥ ②,;αγβγαβ⊥⇒⊥∥ ③//,.l l αβαβ⊥⇒⊥ 其中正确的命题有( )（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个【答案】C【解析】若l 为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，下面三个命题：①,;αγβγαβ⊥⊥⇒⊥不正确； ②,;αγβγαβ⊥⇒⊥∥正确；③//,.l l αβαβ⊥⇒⊥正确，所以正确的命题有2个，选C.4.【2006天津，文13】如图，在正三棱柱111ABC A B C -中， 1.AB =若二面角1C AB C --的大小为60o，则点C 1到直线AB 的距离为 。

CBAA 1B 1C 1【答案】35.【2007天津，文6】设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥B ．若a α∥，b β∥， αβ∥，则a b ∥C ．若a α⊂，b β⊂，a b ∥，则αβ∥D ．若a α⊥，b β⊥，αβ⊥，则a b ⊥【解析】解：A 、直线a ，b 的方向相同时才平行，不正确；B 、用长方体验证．如图，设A 1B 1为a ，平面AC 为α，BC 为b ，平面A 1C 1为β，显然有a ∥α，b ∥β，α∥β，但得不到a ∥b ，不正确；C 、可设A 1B 1为a ，平面AB 1为α，CD 为b ，平面AC 为β，满足选项C 的条件却得不到α∥β，不正确； D 、∵a ⊥α，α⊥β， ∴a ⊂β或a ∥β 又∵b ⊥β ∴a ⊥b 故选D6.【2007天津，文13】一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为 ． 【答案】14π【解析】解：长方体外接球直径长等于长方体体对角线长， 即由S=4πR 2=14π． 故答案为：14π7.【2008天津，文5】设b a ,是两条直线，βα,是两个平面，则b a ⊥的一个充分条件是（A ）βαβα⊥⊥,//,b a （B ）βαβα//,,⊥⊥b a （C ）βαβα//,,⊥⊂b a （D ）βαβα⊥⊂,//,b a 【答案】C【解析】选C ，A 、B 、D 的反例如图．8.【2008天津，文13】若一个球的体积为π34，则它的表面积为________________．【解析】由34433R ππ=得3R =，所以2142S R ππ==．9.【2009天津，文12】如图是一个几何体的三视图.若它的体积是33,则a ＝_____________.【答案】3【解析】由三视图可知几何体是一个三棱柱,其底面三角形的一边长为2,其边上的高为a,依题3333221=⇒=•••=a a V 三棱柱. 10.【2010天津，文12】一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为__________．【答案】311.【2011天津，文10】一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为3m.【答案】4【解析】由三视图知,该几何体是由上、下两个长方体组合而成的,容易求得体积为4. 12.【2012天津，文10】一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为__________ m3．【答案】3013.【2013天津，文10】已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为9π2，则正方体的棱长为__________． 【答案】3 【解析】由题意知349ππ32V R ==球，32R =.设正方体的棱长为a ，则23a ＝2R ，a ＝3，所以正方体的棱长为3.14.【2014天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位：m ），则该几何体的体积为3m .【答案】20.3π考点：三视图【2016高考天津文数】将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为【答案】B【解析】试题分析：由题意得截去的是长方体前右上方的顶点，故选B.【考点】三视图【名师点睛】1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．2.三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何体中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．二．能力题组1.【2005天津，文19】如图，在斜三棱柱111ABC A B C -中，1111,,A AB A AC AB AC A A A B a ∠=∠===，侧面11B BCC 与底面ABC 所成的二面角为120o ，,E F 分别是棱111,B C A A 的中点 （I ）求1A A 与底面ABC 所成的角； （II ）证明1//A E 1平面B FC ； （III ）求经过1,,,A A B C 四点的球的体积．1【答案】（Ⅰ）60︒；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）V =【解析】1（II ） 证明：设EG 与1B G 的交点为P ，则点P 为EG 的中点，连结PF 。

在平行四边形1AGEA 中，因为F 是1A A 的中点，所以1//A E EP 而EP ⊂平面1B FC ，AE ⊄平面1B FC ，所以1//A E 平面1B FC （III ）解：连接1A C 。

在△1A AC 和△1A AB 中，1111AC AB A AC A AB A A A A =⎫⎪∠=∠⇒⎬⎪=⎭△1A AC ≅△111A AB AC A B ⇒= 又因为1A H ⊥平面ABC ，所以H 是△ABC 的外心 设球心为O ，则O 必在1A H 上，且1OF A A ⊥在Rt △1A FO 中，△111132cos cos30aA F AO AA H ===∠︒ 球的体积△3334434333a V R πππ⎫===⎪⎪⎝⎭2.【2006天津，文19】如图，在五面体ABCDEF 中，点O 是矩形ABCD 的对角线的交点，面CDE 是等边三角形，棱12EF BC ∥. （I ）证明FO ∥平面;CDE（II ）设3,BC CD =证明EO ⊥平面.CDFDCABEOF【答案】（I ）详见解析，（II ）详见解析 【解析】DCABEOFM（I ）证明：取CD 中点M ，连结OM 。

在矩形ABCD 中，1,2OM BC ∥又1,2EF BC ∥则.EF OM ∥连结EM ，于是 四边形EFOM 为平行四边形。

FO ∴∥EM.又FO ⊂Q 平面CDE ，且EM ⊂平面CDE ，FO ∴∥平面CDE 。

（II ）证明：连结FM 。

由（I）和已知条件，在等边CDE ∆中，,CM DM =EM CD ⊥且1.22EM CD BC EF === 因此平行四边形EFOM 为菱形，从而EO FM ⊥。

,,CD OM CD EM CD ⊥⊥∴⊥Q 平面EOM ，从而.CD EO ⊥而,FM CD M =I 所以EO ⊥平面.CDF3.【2007天津，文19】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD AC CD ⊥⊥，，60ABC ∠=°，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（Ⅰ）求PB 和平面PAD 所成的角的大小； （Ⅱ）证明AE ⊥平面PCD ； （Ⅲ）求二面角A PD C --的大小．【答案】（Ⅰ）45o ；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）． 【解析】（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，故PA AB ⊥．又AB AD ⊥，PA AD A =I ，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =o ∠． 所以PB 和平面PAD 所成的角的大小为45o ． （Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD PC ⊥，PA AC A =I ，CD ∴⊥面PAC ． 又AE ⊂面PAC ，AE CD ∴⊥．由PA AB BC =g ，60ABC =o ∠，可得AC PA =．E Q 是PC 的中点，AE PC ∴⊥，PC CD C ∴=I ．综上得AE ⊥平面PCD ．ABCDPEABCDPEM在Rt AEM △中，14sin 4AE AME AM ==所以二面角A PD C --的大小14arcsin4． 4.【2008天津，文19】如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形．已知3AB =，2AD =，2PA =，22PD =，60PAB =o ∠．（Ⅰ）证明AD ⊥平面PAB ；（Ⅱ）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （Ⅲ）求二面角P BD A --的大小．【答案】（I ）详见解析，（II ）7arctan2,（Ⅲ）39arctan 4【解析】（Ⅰ）证明：在PAD △中，由题设2PA =，2AD =，22PD =，可得222PA AD PD +=，于是AD PA ⊥．在矩形ABCD 中，AD AB ⊥，又PA AB A =I ，所以AD ⊥平面PAB ．A BCD P（Ⅲ）解：过点P 作PH AB ⊥于H ，过点H 作HE BD ⊥于E ，连结PE ．因为AD ⊥平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，所以AD PH ⊥．又AD AB A =I ，因而PH ⊥平面ABCD ，故HE 为PE 在平面ABCD 内的射影．由三垂线定理可知，BD PE ⊥．从而PEH ∠是二面角P BD A --的平面角．由题设可得，sin 603PH PA ==o g ，cos601AHPA ==o g ，2BH AB AH =-=，2213BD AB AD =+=，13AD HE BH BD ==g ． 于是在Rt PHE △中，39tan 4PH PEH HE ==． 所以二面角P BD A --的大小为39arctan4．5.【2009天津，文19】如图,在四棱锥P —ABCD 中,PD⊥平面ABCD,AD⊥CD,DB 平分∠ADC,E 为PC 的中点,AD ＝CD ＝1,22=DB .(1)证明PA∥平面BDE;(2)证明AC⊥平面PBD;(3)求直线BC与平面PBD所成的角的正切值.本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.满分12分.1【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）3【解析】(1)证明:设AC∩BD＝H,连结EH.在△ADC中,因为AD＝CD,且DB平分∠ADC,所以H 为AC的中点.又由题设,E为PC的中点,故EH∥PA.又EH⊂平面BDE且PA平面BDE,所以PA∥平面BDE.(2)证明:因为PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以PD⊥AC.由(1)可得,DB⊥AC.又PD∩DB＝D,故AC⊥平面PBD.6.【2010天津，文19】如图，在五面体ABCDEF中，四边形ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，BC∥AD，CD＝1，AD＝2，∠BAD＝∠CDA＝45°.(1)求异面直线CE与AF所成角的余弦值；(2)证明CD ⊥平面ABF ； (3)求二面角B-EF-A 的正切值． 【答案】(1)223， (2)详见解析， (3) 14.【解析】 (1)解：因为四边形ADEF 是正方形，所以FA∥ED.∠CED 为异面直线CE 与AF 所成的角．因为FA⊥平面ABCD ，所以FA⊥CD.故ED⊥CD.在Rt△CDE 中，CD ＝1，ED ＝22，CE ＝22CD ED +＝3， cos∠CED＝223ED CE =. 所以异面直线CE 与AF 所成角的余弦值为22.由NG∥FA，FA⊥GM，得NG⊥GM.在Rt△NGM 中，tan∠GNM＝14GM NG = 所以二面角B-EF-A 的正切值为14.三．拔高题组1.【2011天津，文17】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为平行四边形,45ADC ∠=o,AD=AC=1,O 为AC 的中点,PO ⊥平面ABCD,PO=2,M 为PD 的中点. (Ⅰ)证明PB ∥平面ACM ; (Ⅱ)证明AD ⊥平面PAC;(Ⅲ)求直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值.【答案】(1)详见解析，（2）详见解析，（3）45. 【解析】(Ⅰ)证明:连接BD,MO.在平行四边形ABCD 中,因为O 为AC 的中点,所以O 为BD 的中点,又M 为PD 的中点,所以PB∥MO,因为PB ⊄平面ACM ,MO ⊂平面ACM ,所以PB∥平面ACM .(Ⅱ)证明:因为45ADC ∠=o,AD=AC=1,所以AD⊥AC,又PO⊥平面ABCD,AD ⊂平面ABCD,所以PO⊥AD,而AC PO O ⋂=,所以AD⊥平面PAC.【命题意图】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.2.【2012天津，文17】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，AD ⊥PD ，BC =1，3PC =PD =CD =2．(1)求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； (2)证明平面PDC ⊥平面ABCD ；(3)求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）详见解析；39【解析】解：(1)如图，在四棱锥P －ABCD 中，因为底面ABCD 是矩形，所以AD=BC 且AD ∥BC ．又因为AD ⊥PD ，故∠PAD 为异面直线PA 与BC 所成的角．在Rt △PDA 中，tan 2PDPAD AD∠==． 所以，异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2．(2)证明：由于底面ABCD 是矩形，故AD ⊥CD ，又由于AD ⊥PD ，CD∩PD=D，因此AD ⊥平面PDC ，而AD 平面ABCD ，所以平面PDC ⊥平面ABCD ．3.【2013天津，文17】如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，且各棱长均相等，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．(1)证明EF ∥平面A 1CD ； (2)证明平面A 1CD ⊥平面A 1ABB 1；(3)求直线BC 与平面A 1CD 所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）55【解析】(1)证明：如图，在三棱柱ABC －A1B1C1中，AC ∥A1C1，且AC ＝A1C1，连接ED ，在△ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，所以DE ＝12AC 且DE ∥AC ， 又因为F 为A1C1的中点，可得A1F ＝DE ，且A1F ∥DE ，即四边形A1DEF 为平行四边形， 所以EF ∥DA1.又EF ⊄平面A1CD ，DA1⊂平面A1CD ， 所以EF ∥平面A1CD.(2)证明：由于底面ABC 是正三角形，D 为AB 的中点，故CD ⊥AB ， 又由于侧棱A1A ⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ， 所以A1A ⊥CD ， 又A1A∩AB＝A ，因此CD ⊥平面A1ABB1，而CD ⊂平面A1CD ， 所以平面A1CD ⊥平面A1ABB1.(3)解：在平面A1ABB1内，过点B 作BG ⊥A1D 交直线A1D 于点G ，连接CG. 由于平面A1CD ⊥平面A1ABB1，而直线A1D 是平面A1CD 与平面A1ABB1的交线， 故BG ⊥平面A1CD.由此得∠BCG 为直线BC 与平面A1CD 所成的角．设棱长为a ，可得A1D ，由△A1AD ∽△BGD ，易得BG .在Rt△BGC 中，sin ∠BCG ＝5BG BC.所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为55.4.【2014天津，文17】如图，四棱锥的底面是平行四边形，，,分别是棱的中点.（1）证明平面；（2）若二面角P-AD-B为，①证明：平面PBC⊥平面ABCD②求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析，(2)①详见解析，②211【解析】试题解析：证明(1)如图取PB中点M,连接MF,AM.因为F为PC中点，故MF//BC且MF=12 BC.由已知有BC//AD，BC=AD.又由于E为AD中点，因而MF//AE且MF=AE，故四边形AMFE为平行四边形，所以EF//AM,又AM⊂平面PAB,而EF⊄平面PAB,所以EF//平面PAB.(2)①连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E 为AD 中点，故PE ⊥AD,BE ⊥AD,所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角.在三角形PAD 中，由，可解得PE=2. 在三角形ABD 中，由,可解得BE=1. 在三角形PEB 中，PE=2, BE=1, 60PEB ∠=o ,由余弦定理，可解得PB=3，从而90PBE ∠=o ，即BE ⊥PB,又BC//AD,BE ⊥AD,从而BE ⊥BC,因此BE ⊥平面PBC.又BE ⊂平面ABCD ，所以平面PBC ⊥平面ABCD,②连接BF ，由①知BE ⊥平面PBC.所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角，由PB=3，PA=5,AB=2得∠ABP 为直角，而MB=12PB=3,可得AM=11,故EF=11,又BE=1，故在直角三角形EBF 中，211sin .BE EFB EF ∠==所以，直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为211 考点：线面平行判定定理，面面平行判定定理，直线与平面所成的角5. 【2015高考天津，文10】一个几何体的三视图如图所示（单位:m ）,则该几何体的体积为 3m .【答案】8π3【解析】该几何体是由两个高为1的圆锥与一个高为2的圆柱组合而成,所以该几何体的体积为318π2π1π2(m )33⨯⨯⨯+⨯= . 【考点定位】本题主要考查三视图及几何体体积的计算.6.【2016高考天津文数】(本小题满分13分) 如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF ∥AB ，AB =2，BC =EF =1，AE =6，DE =3，∠BAD =60º，G 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：FG ∥平面BED ；（Ⅱ）求证：平面BED ⊥平面AED ；（Ⅲ）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）65. 【解析】试题解析：（Ⅰ）证明：取BD 中点O ，连接OG OE ,，在BCD △中，因为G 是BC 中点，所以DC OG //且121==DC OG ，又因为DC AB AB EF //,//，所以OG EF //且OG EF =，即四边形OGFE 是平行四边形，所以OE FG //，又⊄FG 平面BED ，⊂OE 平面BED ，所以//FG 平面BED .（Ⅱ）证明：在ABD △中，1,2,60AD AB BAD ==∠=°，由余弦定理可得3=BD ，进而得90ADB ∠=°，即AD BD ⊥，又因为平面⊥AED 平面⊂BD ABCD ,平面ABCD ，平面I AED 平面AD ABCD =，所以⊥BD 平面AED .又因为⊂BD 平面BED ，所以，平面⊥BED 平面AED .（Ⅲ）解：因为AB EF //，所以直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所成的角.过点A 作DE AH ⊥于点H ，连接BH ，又平面I BED 平面ED AED =，由（Ⅱ）知⊥AH 平面BED ，所以直线AB 与平面BED 所成的角即为ABH ∠.在ADE △中，6,3,1===AE DE AD ，由余弦定理得32cos =∠ADE ，所以35sin =∠ADE ，因此，35sin =∠⋅=ADE AD AH ，在Rt AHB △中，65sin ==∠AB AH ABH ，所以，直线EF 与平面BED 所成角的正弦值为65. 【考点】直线与平面平行和垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角【名师点睛】垂直、平行关系的证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直.。