3.3三维转动群的覆盖群

三维转动群的覆盖群SU(2) 3.3 三维转动群的覆盖群
一、二维幺模幺正矩阵群SU(2) 二维幺模幺正矩阵群
二维幺模幺正矩阵（detR=1,R+R=RR+=1）的集合， 二维幺模幺正矩阵（ ）的集合， 按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群， 按照普通矩阵的乘法，满足群的四个条件，构成群，记 作SU(2)群 群 1. 群元素 对于群中任意元素u， 对于群中任意元素 ，它的矩阵元素满足
三、SO(3)与SU(2)同态关系 与 同态关系
1. 无迹厄米矩阵 无迹厄米矩阵X ♠泡利矩阵：无迹，厄米，幺正 泡利矩阵： 泡利矩阵 无迹，厄米， 泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，厄米矩阵 泡利矩阵的实线性组合，仍是无迹，
5
♠反之，任何二维无迹、厄米矩阵X，若只包含三个独立 反之，任何二维无迹、厄米矩阵 ， 反之 实参数， 实参数，则可展开为泡利矩阵的实线性组合 ♠现取：组合系数为三维空间任一点 的三个直角坐标，即 现取： 的三个直角坐标， 现取 组合系数为三维空间任一点P的三个直角坐标
各相似变换之间差一个+1因此， 各相似变换之间差一个_ 因此，即所有相似变换矩阵为 因此 +u _ ♠ 将X、X’按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，则 、 ’按泡利矩阵展开式代入它们的相似变换，
uσ b u = ∑ σ a R ab
−1 a =1 3
^ 具体表达式代入 具体表达式代入， 将u(n,ω)具体表达式代入，通过直接计算 可得R矩阵 正是前面给出的形式） 矩阵（ 可得 矩阵（正是前面给出的形式）
→ 其中， 的长度是ω,方向沿 方向沿n(θ,φ)方向 其中，ω 的长度是 方向沿^ 方向
ˆ n (θ, ϕ)
ω ω θω h 0 = cos , h1 = sin cos θ cos ϕ 2 2 ω ω h 3 = sin cos θ, h 2 = sin sin θ sin ϕ ϕ 2 2 ω ω r ˆ , ω) = 1⋅ cos − i (σ ⋅ n ) sin ˆ u (n 2 2 → 其中引入矢量σ代表 个泡利矩阵：无迹，幺正， 代表3个泡利矩阵 其中引入矢量 代表 个泡利矩阵：无迹，幺正，厄米 + + + 2 Trσ a = 0, σ a σ a = σ a σ a = 1, σ a = σ a , σ a = 1 r r 满足所有矢量的代数关系， 矢量 σ = ∑ ea σ a 满足所有矢量的代数关系，如矢量点乘
x a ' = ∑ R ab x b
b
→
→
→
→
det X ' = det X 3 ⇒ 2 det X = − ∑ x a a =1
R矩阵是实正交矩阵
detR = ± 1 保证两点间距离不变 （
）
因此 R∈O(3) ♠ 显然 重合， 重合，即R是恒元 u取恒元时，X’=uXu-1相当于无变换，则r与r’ 取恒元时， ’ 相当于无变换， 与 ’
a b a b a b u = c d ∈ SU (2), c d c d = I
aa * +cc* = bb * + dd* = ad − bc = 1 ⇒ ab * + cd* = 0
+
1
⇒ a = d*, b = −c*, | c |2 + | d |2 = 1 ⇔ d = a*, c = −b*, | a |2 + | b |2 = 1
连通度——单连通 单连通 连通度 SO(3)群空间 只有直径两端的点对应同一元素（ SO(3)群空间：只有直径两端的点对应同一元素（连线按 群空间： 跳跃次数的奇，偶分两组，双连通） 跳跃次数的奇，偶分两组，双连通） SU(2)群空间 外球表面对应同一个元素（ SU(2)群空间：外球表面对应同一个元素（球面上的跳跃 群空间： 可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化， 可以看成一条连续曲线，可通过曲线在群空间的连续变化， 消去跳跃，因此只有一组连线，单连通） 消去跳跃，因此只有一组连线，单连通） SU(2)群是紧致李群 （群空间是欧氏空间的闭空间） 群是紧致 群是紧致李群 群空间是欧氏空间的闭空间） 相同ω的元素 的元素u(n,ω)互相共轭，构成一类 互相共轭， 相同 的元素 ^ 互相共轭
r r x3 X = ∑ σa x a = σ ⋅ r = x + ix a =1 2 1
3
x 1 − ix 2 − x3
无迹矩阵与P点位置坐标 有一一对应关系， 无迹矩阵与P点位置坐标 r 有一一对应关系，可验证
xa = 1 Tr (Xσa ) 2
3 a =1
→
2 det X = −∑ x a
个实数中只有3个是独立的 则 4个实数中只有 个是独立的 个实数中只有
h 0 − ih 3 u = h − ih 1 2
− h 2 − ih 1 , h 0 + ih 3
h i2 = 1 ∑
i =0
3
→ 为了下面方便讨论，我们用实矢量ω 的球坐标ω,θ,φ来 为了下面方便讨论，我们用实矢量 的球坐标 来 代替上面实参数h 个独立的量） 代替上面实参数 i（3个独立的量） 个独立的量 2
−1 a =1 3
至此： 群空间： 至此：SO(3)群空间：半径为 的球体 群空间 半径为π的球体 SU(2) ： 2π 半径为π的球体内，SO(3)与SU(2)元素一一对应 半径为 的球体内， 的球体内 与 元素一一对应 SU(2)：π→2π间圆环所对应元素，等于半径为 的球体 间圆环所对应元素， ： 间圆环所对应元素 等于半径为π的球体 内相应元素的负值
u2
−1
→ →
u1
可于任意矩阵X对易 则它必为常数矩阵， 8 对易， （u2-1u1）可于任意矩阵 对易，则它必为常数矩阵，即
u −1 u 1 = λ ⋅ I ⇒ u 1 = λ u 2 2
u2、 u1为幺模矩阵： 为幺模矩阵： 、
det u1 = ±1 ⇒ λ det u 2 = det u1 = ±1 ⇒ λ = ±1 det u 2 = ±1
ˆ ˆ R (n , π) = R (− n , π)
ˆ ˆ R (n , ω) = R (−n ,2π − ω)
二、群空间
相比较， 与SO(3)相比较，矢量→ 的变化范围即为群空间： 相比较 矢量ω 的变化范围即为群空间： 半径为2 半径为2π的球体 球内的点与SU(2)群元素 群元素u 球内的点与SU(2)群元素u间有一一对应的关系 外部球面上的点对应同一个元素（ 外部球面上的点对应同一个元素（-1） 特点 SU(2)群的群空间是连通的；群中任一元素 都可以由 群的群空间是连通的 群的群空间是连通的；群中任一元素u都可以由 4 恒元出发，在群空间连续变化得到——简单李群 恒元出发，在群空间连续变化得到 简单李群
b d * − c * a u = ⇔ u = c − b * a * d 将复数c，d用4个实数表示出来，取 将复数 ， 用 个实数表示出来， 个实数表示出来
d = h 0 + ih 3 c = h 2 − ih 1
2 2 2 | c |2 + | d |2 = 1 ⇒ h 0 + h 1 + h 2 + h 3 = 1 2
四、群上的积分
1. 积分概念 有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群， 有限群中群函数对群元素取平均值，推广到李群，变成 群函数对群元素的积分， 群函数对群元素的积分，即对群参数的带权积分 11
1 ∑ F(G) → ∫ dRF(R ) → ∫ (dr)W(R )F(R ) g R∈G
权函数
权函数： 权函数： 1）群空间中，群元素 对应点的邻域 dr 体积内，元素 体积内， ）群空间中，群元素R对应点的邻域 的相对密度 2）要求权函数Ｗ(R)单值，可积，不小于零，不发散，在 单值， ）要求权函数Ｗ 单值 可积，不小于零，不发散， 群空间任何一个测度不为零的区域内不恒为零 3）要求权函数在整个群空间积分是归一化的 ）
2. 同态关系的建立 ♠设u∈SU(2)，是任意一个二维幺模幺正矩阵，X经过 -1 经过u 设 ∈ ，是任意一个二维幺模幺正矩阵， 经过 6 的相似变换仍是一个无迹厄米矩阵
X' = uXu −1 且有相同的行列式 detX'=detX
♠无迹矩阵 与 r ，则X’与r’ 一一对应关系，即X’对 无迹矩阵X与 无迹矩阵 ’ ’ 一一对应关系， ’ 应空间另一点P’ 应空间另一点 ’ ♠ r’ 的分量可以表示为 r 的分量的线性齐次函数 ’
2π − ω 2π − ω
ˆ ˆ u (n , ω) = − u (−n ,2π − ω)
这一对+u对应 这一对 _ 对应SO(3)群同一元素 对应 群同一元素
ω
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双连通， 单连通， 群SO(3) 双连通，SU(2) 单连通，则SU(2)是SO(3)的 是 的 覆盖群， 覆盖群，同态对应关系 2：1 ： SO(3) 群的真实表示，称为单值表示，却不是 群的真实表示，称为单值表示，却不是SU(2)群 群 的真实表示；（ ；（D(SO3)≈SO3~SU2） 的真实表示；（ SU(2)群的真实表示，严格说来不是 群的真实表示， 的表示， 群的真实表示 严格说来不是SO(3)的表示，通常 的表示 称为SO(3)群的双值表示，在物理上与自旋密切相关 群的双值表示， 称为 群的双值表示 只要找到了SU(2)群的全部不等价不可约表示，也就找到 群的全部不等价不可约表示， 只要找到了 群的全部不等价不可约表示 了SO(3)群的全部不等价不可约单值表示和双值表示 群的全部不等价不可约单值表示和双值表示
SO(3)群 由上面式子可以证明 群 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ u (n , ω1 )u (n , ω2 ) = u (n , ω1 + ω2 ) R (n , ω1 )R (n , ω2 ) = R (n , ω1 + ω2 )