02第二章简单力系
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i 1 n
2、汇交力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力
的矢量和等于零。
F 0
例题 2-1
水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方
向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链
支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
A C B
60º 30º 30º (b)
Fx F cos
Fy F cos
y
B
F Fx
O
a
b
x
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与 该轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向： Fy Fx 2 2 cos cos F Fx Fy F F
在空间情况下，力F 在x 轴上投影，与平面情
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的 投影的代数和分别等于零。 空间汇交力系的平衡方程:
F
x
0
F
x
y
0
F
y
z
0
平面汇交力系的平衡方程:
F
0
F
0
例题 2-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动 蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水 平，AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点 E在铅直线DA上，又B、C、D 都是光滑铰链，机构的自重不 计。
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等
效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
F
d d
源自文库
F
=
2. 平行平面内力偶的等效条件 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
三、力偶矩矢量 1、概念：
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。 2、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。
F2
F2 F3
O y
z
l1 l2
x
45° 45°
l3
y
F1
F3 F1
O
解：
x
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影：
Lx l1x l2 x l3x 0
Ly L1 y l2 y l3 y 0 10 30 cos 45 11 .2 N m
合力的大小
R R R R
2 x 2 y 2 z
F F F
2 2 x y z
2
合力R 的方向余弦
Ry Fy Rx Fx Rz Fz cos , cos , cos R R R R R R
汇交力系平衡的充要解析条件：
空间汇交力系和平面情形类似，在理论上也可 以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空 间图形。给实际作图带来困难。
1、汇交力系的合成结果 汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系 的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这 力系的力多边形的封闭边表示。 矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ·+ Fn Fi · ·
反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表 示原先假定的该力指向和实际指向相反。 解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设
的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程 ∑Fx=0，∑Fy=0， ∑Fz=0，求解。
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩 1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素 。 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
3、熟练运用平衡方程求解汇交力系的平衡问题
4、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件
求解力偶系的平衡问题
作 业
2.1、2.15、2.26
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41.2N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx
2 ly
2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, j
Lx cosL, i 0, L
L l1 l2 ln
l
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
l 0
平衡方程的投影形式
l l l
x y z
0 0 0
例题 2-6 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和 BD 上分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶，而使机构在 图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不计杆重，试求 l1 和 l2 间的关系。
Ly L 0.262 ,
l2
l1
45° 45°
l3
y
O
cosL, k
Lz 0.965 , L, k 15 12 ' L 需加一力偶，其矩矢为l4=-L
小结
1、掌握汇交力系合成与平衡的几何法与解析法 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴
上的投影。正确理解合力投影定理
A
24
P
A
P
C O B D
(a)
E
O
6
B
SB
ND
D
(b)
解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
(3)
列出平衡方程：
F F
y
x y
0 0
FD
O
45°
FB P cos 45 FD cos 0 FD sin P sin 45 0
FB
D
(b)
x
P
又
14 2' sin 0.243 , cos 0.969
A B
F2
C
A
F3
D
R
E
F4
F1、F2、F3、F4 为平面汇交力系：
表达式： R F1 F 2 F3 F4
2、力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称 为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称 为力多边形。
F1
A B
F2
C
F3
D
R
E
F4
F1
A
B
F2
C
F3
D
R
E
F4
a
a
30º
60º
解： (1) (2) (3) (4)
(a)
取梁AB 作为研究对象。 画出受力图。 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
§2–3
力的投影.力沿坐标轴的分解
y b´ F a´
一、力在坐标轴上的投影：
形相似，等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间 夹角α的余弦。
Fx F cos
F
A
α
B
x
a
b
x
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
Fx cos F Fy cos F Fz cos F
二、力在平面上的投影： 由力矢F 的始端A 和末端B向投影平面oxy引 垂线，由垂足A′到B′所构成的矢量A′ B′ ，就 是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。 即： Fxy F cos
第二章
简单力系
§2–1
汇交力系
力系的基本类型
力偶系
平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。 汇交力系——各力均作用于同一点的力系。
力 偶——作用线平行、指向相反而大小相等的
两个力。
力 偶 系——若干个力偶组成的力系。
§2–2 汇交力系合成与平衡的几何法
1、合成的几何法：
F1 F1 F2 F4 F3
F
A
y
B
Fxy
B′
x
A′
O
注意： 力在轴上投影是代数值。 力在平面上的投影是矢量。
三、力在坐标轴上的分解： 设将力F 按坐标轴x、y、z方向分解为空
间三正交分量：Fx、Fy、Fz。
则
F Fx Fy Fz
引入x、y、z 轴单位矢i、 j、k。则可写为：
Fx Fx i ,
Fy Fy j ,
3. 列出平衡方程：
y
F F
x y
0 S BC con 30 S AB Q sin 30 0 0 S BC cos 60 P Q cos 30 0
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
SBC
Q
30° P
S AB 54.5kN
S BC 74.5kN
b
工程实例
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线 之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大
d
小与力偶臂d 的乘积，加上
适当的正负号。
F2
F1
l Fd
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩 取正号；反之，取负号。 量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
D
ND
例题 2-6 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三 个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F1）的矩 l1=20N•m；力偶（F2 ，F2）的矩l2=20 N•m；力偶（F3 ，F3） 的矩l3=20 N•m。试求合力偶矩矢L。又问使这个刚体平衡，还 许施加怎样一个力偶。
z
F
l
F
(3)、力偶作用面的方位。
右手规则
3、力偶矩矢与力矢的区别 力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。 l 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。 4、力偶等效定理又可陈述为: 力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§2-7
一、力偶系的合成
力偶系的合成与平衡
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
联立求解，得
FB 750 N
例题 2-4 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物， 滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B (图(a) )。 不计铰车的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。
A
30°
30°
y
B
SAB P
B
30°
x
C
a
SBC
Q
30° P
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
B A A O
α
SAB
l1
SBA
B
l1
l2
NO D
O
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
Fy Fy k
F Fx i Fy j Fy k
§2–4
汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在 同一轴上的投影的代数和。
R y F1 y F2 y Fny
F
y
Rz F1z F2 z Fnz Fz
2、汇交力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力
的矢量和等于零。
F 0
例题 2-1
水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方
向与梁的轴线成60º角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链
支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
A C B
60º 30º 30º (b)
Fx F cos
Fy F cos
y
B
F Fx
O
a
b
x
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与 该轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向： Fy Fx 2 2 cos cos F Fx Fy F F
在空间情况下，力F 在x 轴上投影，与平面情
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的 投影的代数和分别等于零。 空间汇交力系的平衡方程:
F
x
0
F
x
y
0
F
y
z
0
平面汇交力系的平衡方程:
F
0
F
0
例题 2-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动 蹬上的力P=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水 平，AD 铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点 E在铅直线DA上，又B、C、D 都是光滑铰链，机构的自重不 计。
作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等
效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此，以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
F
d d
源自文库
F
=
2. 平行平面内力偶的等效条件 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
三、力偶矩矢量 1、概念：
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。 2、力偶的三要素： (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。
F2
F2 F3
O y
z
l1 l2
x
45° 45°
l3
y
F1
F3 F1
O
解：
x
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影：
Lx l1x l2 x l3x 0
Ly L1 y l2 y l3 y 0 10 30 cos 45 11 .2 N m
合力的大小
R R R R
2 x 2 y 2 z
F F F
2 2 x y z
2
合力R 的方向余弦
Ry Fy Rx Fx Rz Fz cos , cos , cos R R R R R R
汇交力系平衡的充要解析条件：
空间汇交力系和平面情形类似，在理论上也可 以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空 间图形。给实际作图带来困难。
1、汇交力系的合成结果 汇交力系可以合成为一个力，合力作用在力系 的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这 力系的力多边形的封闭边表示。 矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ·+ Fn Fi · ·
反力SAB 为负值，说明该力实际指向与图上假 定指向相反。即杆AB 实际上受拉力。
投影法的符号法则： 当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表 示原先假定的该力指向和实际指向相反。 解析法求解汇交力系平衡问题的一般步骤:
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设
的已知条件。
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程 ∑Fx=0，∑Fy=0， ∑Fz=0，求解。
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩 1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果：引起物体的转动。
F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素 。 力偶特性一： 力偶中的二个力，既不平衡，也不可能合成为 一个力。 力偶特性二： 力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
3、熟练运用平衡方程求解汇交力系的平衡问题
4、理解力偶和力偶矩的概念，并运用平衡条件
求解力偶系的平衡问题
作 业
2.1、2.15、2.26
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41.2N m
3、合力矩矢L的大小和方向：
L
2 lx
2 ly
2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, j
Lx cosL, i 0, L
L l1 l2 ln
l
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零，即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
l 0
平衡方程的投影形式
l l l
x y z
0 0 0
例题 2-6 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和 BD 上分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶，而使机构在 图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°，不计杆重，试求 l1 和 l2 间的关系。
Ly L 0.262 ,
l2
l1
45° 45°
l3
y
O
cosL, k
Lz 0.965 , L, k 15 12 ' L 需加一力偶，其矩矢为l4=-L
小结
1、掌握汇交力系合成与平衡的几何法与解析法 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴
上的投影。正确理解合力投影定理
A
24
P
A
P
C O B D
(a)
E
O
6
B
SB
ND
D
(b)
解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
(3)
列出平衡方程：
F F
y
x y
0 0
FD
O
45°
FB P cos 45 FD cos 0 FD sin P sin 45 0
FB
D
(b)
x
P
又
14 2' sin 0.243 , cos 0.969
A B
F2
C
A
F3
D
R
E
F4
F1、F2、F3、F4 为平面汇交力系：
表达式： R F1 F 2 F3 F4
2、力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称 为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称 为力多边形。
F1
A B
F2
C
F3
D
R
E
F4
F1
A
B
F2
C
F3
D
R
E
F4
a
a
30º
60º
解： (1) (2) (3) (4)
(a)
取梁AB 作为研究对象。 画出受力图。 应用平衡条件画出P、NA 和NB 的闭合力三角形。 解出：NA=Pcos30=17.3kN，NB=Psin30=10kN
§2–3
力的投影.力沿坐标轴的分解
y b´ F a´
一、力在坐标轴上的投影：
形相似，等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间 夹角α的余弦。
Fx F cos
F
A
α
B
x
a
b
x
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
Fx cos F Fy cos F Fz cos F
二、力在平面上的投影： 由力矢F 的始端A 和末端B向投影平面oxy引 垂线，由垂足A′到B′所构成的矢量A′ B′ ，就 是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。 即： Fxy F cos
第二章
简单力系
§2–1
汇交力系
力系的基本类型
力偶系
平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。 汇交力系——各力均作用于同一点的力系。
力 偶——作用线平行、指向相反而大小相等的
两个力。
力 偶 系——若干个力偶组成的力系。
§2–2 汇交力系合成与平衡的几何法
1、合成的几何法：
F1 F1 F2 F4 F3
F
A
y
B
Fxy
B′
x
A′
O
注意： 力在轴上投影是代数值。 力在平面上的投影是矢量。
三、力在坐标轴上的分解： 设将力F 按坐标轴x、y、z方向分解为空
间三正交分量：Fx、Fy、Fz。
则
F Fx Fy Fz
引入x、y、z 轴单位矢i、 j、k。则可写为：
Fx Fx i ,
Fy Fy j ,
3. 列出平衡方程：
y
F F
x y
0 S BC con 30 S AB Q sin 30 0 0 S BC cos 60 P Q cos 30 0
SAB
B
30°
x
4. 联立求解，得
SBC
Q
30° P
S AB 54.5kN
S BC 74.5kN
b
工程实例
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线 之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大
d
小与力偶臂d 的乘积，加上
适当的正负号。
F2
F1
l Fd
力偶矩正负规定： 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势，力偶矩 取正号；反之，取负号。 量纲：力×长度，牛顿•米（N•m）.
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
D
ND
例题 2-6 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三 个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F1）的矩 l1=20N•m；力偶（F2 ，F2）的矩l2=20 N•m；力偶（F3 ，F3） 的矩l3=20 N•m。试求合力偶矩矢L。又问使这个刚体平衡，还 许施加怎样一个力偶。
z
F
l
F
(3)、力偶作用面的方位。
右手规则
3、力偶矩矢与力矢的区别 力偶矩矢是自由矢量，而力矢是滑动矢量。 l 指向人为规定，力矢指向由本身所决定。 4、力偶等效定理又可陈述为: 力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§2-7
一、力偶系的合成
力偶系的合成与平衡
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
联立求解，得
FB 750 N
例题 2-4 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物， 滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B (图(a) )。 不计铰车的自重，试求杆AB 和BC 所受的力。
A
30°
30°
y
B
SAB P
B
30°
x
C
a
SBC
Q
30° P
b
解： 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图（b)。
B A A O
α
SAB
l1
SBA
B
l1
l2
NO D
O
l2
D ND
解： 杆AB为二力杆。
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
Fy Fy k
F Fx i Fy j Fy k
§2–4
汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在 同一轴上的投影的代数和。
R y F1 y F2 y Fny
F
y
Rz F1z F2 z Fnz Fz