02第二章简单力系
2简单力系
力偶与工程实例
工程实例
31
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线 之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大
d
小与力偶臂d 的乘积,加上
适当的正负号。
F2Leabharlann F1力偶矩正负规定: 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势,力偶矩 取正号;反之,取负号。 量纲:力×长度,牛顿•米(N•m).
32
三、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
A
24
P
A
P
I
C O B D
(a)
E
6
O
B
SB
J
P
ND
ND
K
D
(b)
SB
(c) 解: (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。 (2) 画出受力图。 (3) 应用平衡条件画出P、SB 和ND 的闭和力三角形。
9
(4)由几何关系得: OE EA 24 cm
A
24
P
A
P
tg
DE OE
(1)力的多边形规则: 把各力矢首尾相接,形成一条有向折线段(称 为力链)。加上一封闭边,就得到一个多边形,称 为力多边形。
F2
F1
B
C
汇交力系 合成
A
F3
D
R
E
F4
4
空间汇交 力系合成
F1
A
B
F2
C
F3
D
R
E
F4
空间汇交力系和平面情形类似,在理论上也可 以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为空 间图形。给实际作图带来困难。
于各分力偶矩的矢量和。
第二章力系的简化
A
x
i j k
y
F
MA r F l 2l 0 对点A的力矩: F sin 0 F cos 2Fl cosi Fl cosj 2Fl sin k
15
三.力偶 1.力偶定义 两个等值、反向、不共线的平行力。记为 ( F , F ) 力偶不能合成为一个力,故也不能与 一个力平衡,因此力和力偶都是基本力学 F 量。 F M 静止时力偶 M 与F 平衡吗? 力偶只能使物体转动,用力偶矩衡量
22
2.主矢与主矩——原力系的特征量 1)定义
' 主矢:(各力的矢量和)FR Fi Fi' ,与简化中心无关
主矩: (各力对O点取矩的矢量和)
MO MO (Fi ) ,与简化中心有关
2)简化结果 一般力系向某一点简化,可以得到一个力和一 个力偶,该力作用在简化中心,其大小,方向与原 力系主矢相同;该力偶矩等于原力系对简化中心的 主矩。
F
三要素:
大小、力偶作用面方位、转向.
16
F
2.力偶矩矢
A
rB A
F
F
B
h
rA
M
M
rB
O
定 义: 而
MO F ,F rA F rB F
F ' F
rA rB rB A
M0 F , F (rA rB ) F rBA F rAB F M
5
力矩的解析表达式:
由于F Fx i Fy j Fz k
M O (F ) r F x Fx i
r xi y j zk
第二章 力系的简化
大小: 大小 R' = R'x + R' y = (∑ X ) + (∑ Y )
2 2 2 2
主矢 R ′ (移动效应)方向 移动效应 方向:
α =tg−1
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
④ R ′ ≠0,MO ≠0,为最一般的情况。此种情况还可以继续 可以继续 简化为一个合力 R 。
合力 R 的大小等于原力系的主矢 合力 R 的作用线位置
MO d= R
综合上述, 综合上述,有:
合力偶M 平面任意力系的简化结果 :①合力偶 O ; ②合力 注意: (1)由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和, )由于力系向任一点简化其主失都等于诸力的矢量和, 故主失与简化中心的选择无关。 故主失与简化中心的选择无关。 (2)主矩一般与简化中心有关,故提到主矩,应说明是 )主矩一般与简化中心有关,故提到主矩, 对哪一点的主矩。 对哪一点的主矩。 (3)主失(大小、方向)与合力(三要素)是两个不同 )主失(大小、方向)与合力(三要素) 的概念。 的概念。
二、平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系(任意力系) 汇交力系+力偶系 一般力系(任意力系) 汇交力系 力偶系 (未知力系) (已知力系) 汇交力系 力偶系 力 , R'(主矢 , (作用在简化中心) 主矢) 主矢 力偶 ,MO (主矩 , (作用在该平面上) 主矩) 主矩
主 R' = F + F + F +…= ∑F 矢 1 2 3 i
第2章 平面简单力系
第2章 平面简单力系作用在物体上的力系是多种多样的,为了更好地研究这些复杂力系,应将力系进行分类。
若将力系按其作用线是否位于同一平面分类,则当力的作用线位于同一平面时,称此力系为平面力系,否则为空间力系;若将力系按作用线是否汇交或者平行分类,则可分为汇交力系、力偶力系、平行力系和任意力系。
力系的分类如图2.1所示。
图2.1 力系的分类这一章将学习两种简单力系,即平面汇交力系和平面力偶力系。
2.1 平面汇交力系2.1.1 平面汇交力系合成与平衡的几何法1. 平面汇交力系合成的几何法——力的多边形法则合成的理论依据是力的平行四边形法则或三角形法则。
设作用在刚体上汇交于O 点的力系1F 、2F 、3F 和4F ,如图2.2(a)所示,求其合力。
首先将1F 和2F 两个力进行合成,将这两个力矢量的大小利用长度比例尺转换成长度单位,依原力矢量方向将两力矢量进行首尾相连,得一折线abc ,再由折线起点向折线终点作有向线段ac ,即将折线abc 封闭,得合力12F ,有向线段ac 的大小为合力的大小,指向为合力的方向。
同理,力12F 与3F 的合力为123F ,依次得力系的合力R F ,如图2.2(b)所示,可以省略中间求合力的过程,将力矢量1F 、2F 、3F 和4F 依次首尾相连,得折线abcde ,由折线起点向折线终点作有向线段ae ,封闭边ae 表示其力系合力的大小和方向,且合力的作用线汇交于O 点,多边形abcde 称为力的多边形,此法称为力的多边形法则。
作图时力的顺序可以是任意的,力的多边形形状将会发生变化,但并不影响合力的大小和方向,如图2.2(c)所示。
(a) (b) (c)图2.2 平面汇交力系合成的几何法推广到由n 个力1F 、2F 、…、n F 组成的平面汇交力系,可得如下结论:平面汇交力系的合力是将力系中各力矢量依次首尾相连得折线,并将折线由起点向终点作有向线段,该有向线段(称封闭边)表示该力系合力的大小和方向,且合力的作用线通过汇交点。
第二章 力系的简化理论详解
2355 709.4
3.320m
d
x
M O FR
FR
三、力系简化结果分析
应用1 固定端受力
Fx
Fy
M
W
Fy
P
P
My
Fz
Mz
Fx
Mx
三、力系简化结果分析
应用2 合力矩定理
FR 0 M O 0
MO
FR M O 0
O
FR
O
d O
FR
MO(FR ) MO MO(Fi ) (i 1,2,,n)
此时主矩与简化中心无关,简化结果与简化中心无关。
4、FR 0 MO 0 FR M O 0 简化结果为合力。 FR FR
合力 作用线到简化中心O的距离
MO
d
MO FR
O
FR
FR
O
d
FR FR FR FR
O d O
FR
三、力系简化结果分析
5、FR 0
MO
0
FR // M O
0
简化结果为力螺旋
FRx Fix 50 44.7 76.8 82.1N
FRy Fiy 102.4N
FRz
Fiz
89.4 153.6
64.2N
M x M x (Fi ) 489.4 6102.4 256.8N m
M y M y (Fi ) 389.4 6 76.8 192.6N m
Fi yi , FR
zC
Fi zi FR
四、平行力系的中心、重心
重心坐标
xC
Pi xi Pi
yC
Pi yi Pi
zC
Pi zi Pi
均质物体
第2 章 力系的简化
n
rC
R'
ri Ci C1
Fi
F1
平衡、合力 平衡、 或力偶
O x
y
MO
若已知各力作用点,不仅可确定合力作用线, 若已知各力作用点,不仅可确定合力作用线,还可确定合力作用 合力作用线 且当力系方位改变时该点不变) 平行力系的中心 平行力系的中心。 平 点(且当力系方位改变时该点不变)──平行力系的中心。──平 行力系的重要特征。 行力系的重要特征。
1 R '· M O = − F 2 a < 0 2 所以,力系最终简化结果为左力螺旋。 所以,力系最终简化结果为左力螺旋。
⑤力螺旋中的力与力偶为: 力螺旋中的力与力偶为:
R = R' = −
∥ MO
2 F (i + j − 2 k ) 2
2 Fa = (i + j − 2 k ) 12
=
( R '· M O ) R ' R '2
B.合力作用线方程: M O = r × R 合力作用线方程: 合力作用线方程 其中 R = R '
8-19
M Ox = yRz − zR y M Oy = zRx − xRz M Oz = xR y − yRx
(二式独立)
(2) 第二不变量 R ' · M O ≠ 0
① R '∥ M O , ( R ' , M O ) 为力螺旋 力螺旋,最简力系之一。 力螺旋
3-19
§2 - 2
力偶系
力偶矩矢为自 由矢量(等效性 等效性) 由矢量 等效性
第2章 力系的简化 《建筑力学》教学课件
任
意
(3) R0,M O0
该力系等效一个力
力
(4) R0,M O0
仍然可以继续简化为一个合力,方法如下:系的
简
化
只要满足:
RR, dMO R
2.2.2 平 面 任 意 力 系 的 简 化
引例 解析
2.2.2
平
请看下面的案
面 任
意
例
力 系
的
简
化
【例2-2】图2-7所示的水平梁上作用有力及力偶。已知F=50 kN,P=10N,m=100 kN·mm,求此力系向A点简化的结果。
(1)平面汇交力系:力系中各力的作用线在同平面内且相交于 同一点。其中,共点力是汇交力系的一种特殊情况。
(2)平面平行力系:力系中各力的作用线在同平面内且互相平 行。
(3)平面任意力系:力系中各力的作用线共面,但既不完全平 行也不完全相交。平面任意力系也可称为平面一般力系。
2.1.1 力 系 的 分 类
定
。
理
力平移的逆过程
F2
B mA
BA
BA
d
md
F
F1
F1
F
2.1.2
m
力
图中:
d
的
F
平
移
一个力偶和一个作用于同一平面的力 定
F,可以进一步简化为一个力 。
理
1.几何法
R
F1
F1
F2
两个共点力的合成
R F2
2.2.1 平 面 汇 交 力 系 的 简 化
如图2-2(a)所示,在刚体上作用一汇交力系,汇交点为刚 体上的O点。根据力的可传性原理,将各力沿作用线移至汇交 点,成为共点力系,然后根据平行四边形法则,依次将各力两 两合成,求出作用在O点的合力R。实际上,也可以连续应用力 的三角形法则,逐步将力系的各力合成,求出合力R,如图22(b)所示。
第二章 力系的简化
M x = M 1 cos 30 = 5 3N m
0
O
M y = M 1 cos 600 = 5N m
M z = M 2 = 10 3N m
M = Mx i+ My j+ Mz k
x
F2
1m
60° 30°
F1
F2
y
§2-3 任意力系的简化
一、力的平移定理 FA
A B A
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS HOHAI UNIVERSITY HOHAI UNIVERSITY
合力在任一轴上的投影等于各分力在同一轴 上投影的代数和
试求该力系的合力。 例1:已知 1= F2 = F3= F4=100N,试求该力系的合力。 :已知F 试求该力系的合力 解: FR y 4 FRx = F1 cos 60° F2 cos 45° F3 + F4 F 2 5 F1 = 40.71N 60° x 45° 3 FRy = F1 sin 60° + F2 sin 45° F4 5 F3 O 3 4 F4 = 97.31N
空间力系
平面力系
若力系中各力作用线既不汇交于一点, 若力系中各力作用线既不汇交于一点,也不 全部互相平行, 全部互相平行,则该力系称为任意力系
第二章 力系的简化
4.2 平面任意力系的平衡 平面汇交力系平衡方程:
4.2.2 平面特殊力系平衡方程
平面汇交力系中,对汇交点建立力矩方程恒为零,所以, 平面汇交力系 平衡的充要条件
解析条件是:
Fx 0 F y 0
几何条件:
FR= 0 或 F =0
力系中所有各力在两个 坐标轴中每一轴上的投 影的代数和等于零。
力F3在各坐标轴上的投影: F3 y F3 cos30 cos 45 75 6 N
2.2 汇交力系的平衡
2.2.1 几何法
汇交力系平衡的几何条件:
汇交力系平衡的充分必要条件是:力系中各力矢构
成的力多边形自行封闭,或各力矢的矢量和等于零
FR Fi 0
i1 n
即
2.2 汇交力系的平衡
2.1.2 解析法
汇交力系的合力在某轴上的投
FR Fi
i1 n
影等于力系中各个分力在同一轴上投影的代数和。
由汇交力系合成的几何法知:
任取直角坐标系,则合力和分力的解析式为
FR FRxi FRy j FRz k
代入上式,得
Fi Fixi Fiy j Fizk
FRxi FRy j FRz k ( Fix )i ( Fiy ) j ( Fiz )k
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, Fx 0
条件: 连线AB不垂 直投影轴 x
4.2 平面任意力系的平衡 三矩式的平衡方程
4.2.1 平面任意力系平衡方程
M A F 0, M B F 0, M C F 0
P
第二章 简单力系
索中的拉力T
例3 已知:W=30KN
解:选反应塔为研究对象。
受力分析。 由汇交力系 的平衡条件,得:
求:Q和T
∑Fx 0, ∑Fy 0,
-Q T sin 300 0 -W T cos300 0
T =34.6 kN, Q =17.3kN
例4
已知:悬臂桁架(如图)。
简单力系 2.1 汇交力系的简化与平衡条件
如图所示之汇交力 系,Fi可表示为:
Fi = Fxii +Fyi j +Fzik (i =1,2,, n)
第2章 简单力系 2.1 汇交力系的简化与平衡条件
汇交力系的合力FR为:
∑ ∑ ∑ ∑ n
n
n
n
FR Fi ( Fxi )i ( Fyi ) j ( Fzi )k
力偶的性质
第2章
简单力系
2.2力偶 力偶系的简化与平衡条件
性质一
力偶不能简化为一个合力, F
即力偶不能与一个力等效。
F’
性质二
力偶对任一点之矩与矩心位置无关,且恒 等于力偶矩矢量,因此力偶对物体的转动效应 用力偶矩矢量来度量。
第一篇 静力学 第二章 简单力系
第2章 简单力系 2.1 汇交力系的简化与平衡条件
作用在物体上的各个力的作用线相交与一点时,
所组成的力系为汇交力系。
平面汇交力系
若各个力的作用线处与同一平面内。
第2章 简单力系 2.1 汇交力系的简化与平衡条件
空间汇交力系
第2章 简单力系 2.1 汇交力系的简化与平衡条件
力系简化
在等效的前提下,用最简单的结果来 代替原力系对刚体的作用,称为力系简 化。
工程力学——第2章(力系的简化)
1. FR 0 , M O 0 (为一合力偶,主矩与简化中心无关) 2. FR 0 , M O 0 (为一合力,合力矢 通过简化中心,且等于
3. F 0 , M 0 (为一平衡力系) R O
主矢)
4.
FR 0 , M O 0
FR
(为一般情况,可继续简化为一合力 )
y
(2) 求力系对点O的主矩MO
M O M O ( Fi )
3F1 1.5G1 3.9G2 2355kN m
9m
3m 1.5m
G1 F1
3.9m
G2
900 F2
3m
(3) 求合力作用线的位置
合力矢
FR FR
O
B
A
x
5.7m
FR
其作用线与基线OA的交点 到O点的距离x为
28
[例2-4] 均质平面薄板的尺寸如图所示,试求其重心坐标。
29
解:分割法:将截面分成三部分,坐标系如图所示。
因为该平面薄板关于y 轴对称,其重心必在y轴上,即
xC 0 ,因此只需求 y C 。
30
三部分面积和重心坐标分别为
A1 75 380 10 6 0.0285m 2 , A2 75 380 10 6 0.0285m 2 , A3 350 50 10 6 0.0175m 2 ,
结论:三角形分布力的合 力大小等于分布力三角形 的面积,其作用线通过三 角形的形心。 17
[例2-3] 求图中分布力系的合力。 解:⑴确定合力的大小及方向
FR1
q1=0.5 KN/m
合力的大小:
第2章 力系的简化(工程力学课件)
n
FR F1 F2 Fn Fi i1
2-3 平面力系的简化
机电系
❖对于平面汇交力系,在Oxy坐标系中,上式可以写成力的
② FR' =0, MO≠0,即简化结果为一合力偶, M=MO 此时
刚体等效于只有一个力偶的作用,(因为力偶可以在刚 体平面内任意移动,故这时,主矩与简化中心O无关。)
③ FR'≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时, 简化结果就是合力(这个力系的合力), FR FR。' (此时
与简化中心有关,换个简化中心,主矩不为零)
2-3平面力学简化
机电系
④ FR' ≠0,MO ≠0,为最任意的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR。
FR FR FR
FR'
M0 FR d
FR'
FR
FR
FR
合力的大小等于原力系的主矢 FR FR' F
合力的作用线位置
d MO
FR
结论:平面任意力系的简化结果 :①合力偶MO ; ②合力 FR
2.1.3 简化的概念
❖所谓力系的简化,就是将由若干个力和力偶所组成 的力系,变为一个力或一个力偶,或者一个力与一 个力偶的简单而等效的情形。这一过程称为力系的 简化。力系简化的基础是力向一点平移定理。
2-2 力系简化的基础—力向一点平移 2.2 力系简化的基础—力向一点平移
❖作用于刚体上的力可以平移到任一点,而不改变它对 刚体的作用效应,但平移后必须附加一个力偶,附加 力偶的力偶矩等于原来的力对新作用点之矩。此即为 力向一点平移定理(力的平移定理)。
第二章 力系的简化
【例3-2】 如图3-8(a)所示,在柱子的A点受有吊车梁传来的集中 】 力 F = 100kN。求将这力 F 平移到柱轴上O点时所应附加的力偶矩
M ,其中e=0.4m。
【解】 根据力的平移定理,力 F 由A点平移到O点,必须附加一力偶,
M = M B ( F ) = − F × e = −100kN × 0.4m = −40kN ⋅ m
又B处的支座反力垂直于支持面,要形成与已知力偶M反向的 力偶,B处的支座反力 FB 方向只能斜向上,A处的支座反力 FA 的方向斜向下,作用线与 FB 平行,且有 F = F A B 由平衡条件 ∑ M i = 0 ,得: i =1
n
FB × d − M = 0
FB × (4m × sin 30o ) − 20kN ⋅ m = 0
平面任意力系的平衡方程,除了这种基本形式以外,还有如 平面任意力系的平衡方程,除了这种基本形式以外, 下两种形式 。 二力矩式: 二力矩式:∑FX=0 ∑MA=0 条件: 连线不能垂直于X 条件:A、B连线不能垂直于X轴 ∑MB=0 三力矩式: 三力矩式: ∑MA=0 ∑MB=0 条件:A、B、C不能在一条直线上 条件: ∑MC=0 无论哪种形式的平衡方程,都只有三个独立的方程,所以,平 无论哪种形式的平衡方程,都只有三个独立的方程,所以, 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。 面任意力系的平衡方程只能求解三未知量。
)、平面任意力系平衡的情形 (3)、平面任意力系平衡的情形 )、 R′=0 ,M0′=0 则原力系是平衡力系, 则原力系是平衡力系,这种情形将在下一节中讨论
情况 向O点简化的结果 主矢R 主矩M 分类 主矢R′ 主矩MO 1 2 3 4 R′=0 R'=0 R′≠0 ′ R′≠0 ≠ MO=0 MO≠0 MO=0 MO≠0
理论力学 第二章 简单力系的合成与平衡
2.力偶矩 力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂 两个要素 a.大小:力与力偶臂乘积 a.大小: 大小 b.方向: b.方向:转动方向 方向 力偶矩
M = ±F ⋅ d = ±2∆ABC
3. 力偶与力偶矩的性质 性质1 力偶不与任何力等效,没有合力,本身 性质1 力偶不与任何力等效,没有合力, 不能平衡,是一个基本的力学量。 不能平衡,是一个基本的力学量。力偶在任意坐 标轴上的投影等于零. 标轴上的投影等于零.
FA
′ FD
D
a
a
∑M = 0, M − FAa = 0 M FA = FB = a
(2) 取BCD为研究对象 为研究对象 确定 D 处约束反力的方向
C
B
′ FC
FD
D
FB
(3) 取DE为研究对象 为研究对象
M
E
∑M = 0, FDasin 45o − M = 0
FE
2M FD = FE = a
E
∑Fi
i= 1
n
=0
F3 F2 F4
F1 A
FR
结论:平面汇交力系平衡的必 结论: 要和充分条件是: 要和充分条件是:该力系的力 多边形自行封闭。 多边形自行封闭。
例题 1
已知:P,a 已知:
P
C
2a
D
求:A、B处约束反力。 处约束反力。 、 处约束反力
a
解: (1)取刚架为研究对象 (2)画受力图 (3)按比例作图求解 由图中的几何关系得
解得
′ FBC
C M
F FBC = FBA = 2sin α
(2)取挡板 为研究对象 )取挡板C为研究对象
FCB
理论力学-第二章力系的简化PPT课件
2)三角形载荷 1
F 2 q0l
d 2l 3
-
44
§2–3 空间一般力系的简化
例2 在长方形平板的O,A,B,C点上分别作用着有四个力:
F1=1 kN,F2=2 kN,F3=F4=3 kN(如图),试求以上四个 力构成的力系对O点的简化结果,以及该力系的最后合成结
果。
y
F2
A 60°
B
F3
2m
的力系也应是一个空间力系。但可根据空间力系的简 化结果向某一点简化,得到一个力和一个力偶,由于 力和力偶矩矢的大小和方向都未知,可投影到三个坐 标轴上,用分量来表示。
-
39
§2–3 空间一般力系的简化
-
图
40
§2–3 空间一般力系的简化
-
图
41
§2–3 空间一般力系的简化
-
42
图
§2–3 空间一般力系的简化
F
F
F
2)M O 主矩M 的O 计x2 算M O y2M O z2M MO Oxy
[ [
MOz [
MO(Fi)]x MO(Fi)]y MO(Fi)]z
Mx(Fi ) My(Fi ) Mz (Fi )
cos'M O x,cos'M O y,cos'M O z
M O
- M O
M O
21
§2–3 空间一般力系的简化
简化结果和简化中心有关。
-
34
§2–3 空间一般力系的简化
4、若 F0,MO0,力系可合成为一合力。 合力不过简化中心,平移的距离为d=Mo / F , 合力的 大小和方向由主矢确定 。
合力作用线F 方程
F F
(最新整理)工程力学课件第2章(力系的简化)
2.1.3力系简化的概念
2021/7/26
21
2.1力系等效与简化的概念
2.1.3 力系简化的概念
所谓力系的简化,就是将由若干个力和 力偶所组成的力系,变为一个力或一个力 偶,或者一个力与一个力偶的简单而等效 的情形。这一过程称为力系的简化 (reduction of force system)。
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2.3 平面力系的简化
2.3.1平面一般力系向一点简化
2.3.2 平面汇交力系与平面力偶系的简化结 果
2.3.3平面力系的简化结果
2021/7/26
38
2.3平面力系的简化
2.3.1平面一般力系向一点简化
平面力系向一点简化的思想方法是: 应用力的平移定理,将平面力系分解成两
2.2力系简化的基础-力向一点平移定理
-F
F
F
M=Fd
F
2021/7/26
施加平衡力系后由3个力所组成的 力系,变成了由作用在O点的力和 作用在刚体上的一个力偶矩为M的 力偶所组成的力系。
30
2.2力系简化的基础-力向一点平移定理
力向一点平移定理
作用于刚体上的力可以平移到任一点,而不改 变它对刚体的作用效应,但平移后必须附加一个力 偶,附加力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩。此 即力向一点平移定理。
-F
对大小相等、方向相
反的平衡力系,这一 F 对力的数值与作用在
F A点的力数值相等,
2021/7/26
作用线与平行。27
2.2力系简化的基础-力向一点平移定理
-F
2021/7/26
根据加减平衡力
系原理,施加上述平
r
衡力系后,力对刚体
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应,但须附加一 个力偶,附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中:F1 = 200 N, y F2 = 300 N,F3 = 100 N,F4 = 250 N。 F2
解: 根据合力投影定理,得合力在轴
x,y上的投影分别为:
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR,但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接,连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR,力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形,称为力多边形,合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F,F',F''
力系的简化
j
k
MC(F) a·Sinθ a·CosθCosα a·Sinα =- a·CosθCosαi+FaSin θj
=
0
0
0
令CB=b 则CB =bSinαj + bSinαk
e CB CB
b sin j
sin j cos k
b2 sin 2 b2 cos2
故MC(F)在AB轴上得投影
MAB(F)=MC(F )eCB=FaSinαSinθ
三. 力系向一点的简化
(一). 空间汇交力系的简化(将其简化为一合力)
力的作用线在空间任意分布的力系成为空间任 意力系。各力作用线汇于一点的空间力系,成为空 间汇交力系。
空间汇交力系的合理等于各分力的矢量和(满足 平行四边形法则),合力作用线通过汇交点,即
FR=F1+F2+…… 又由于+FFni=xii+yij+zik
合力偶对各坐标轴得方向余弦:
cos(M,i)= Mx 0.6786 M cos(M,i)= M z 0.2811 M cos(M,i)= M z 0.6786 M
(三). 空间任意力系得简化
FacSinSin
a2 b2
例2.2 作用于手柄上的力F=100N,求①力F 对x轴的
矩 ②力F 对原点o的矩.
解:画出r , r =0.1i+0.4k
又有
z y
o
F = 100(Sin60°cos45°i+Sin60°sin45°j
-cos60°k)
x
100
2i 4
2 4
j
3k 4
0.4m
第二章 力系的简化
右手定则:
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作用在刚体内同一平面上的两个力偶相互等
效的充要条件是二者的力偶矩代数值相等。 因此,以后可用力偶的转向箭头来代替力偶。
F
d d
F
=
2. 平行平面内力偶的等效条件 空间力偶作用面的平移并不改变对刚体的效应。
三、力偶矩矢量 1、概念:
用来表示力偶矩的大小、转向、作用面的有向线段。 2、力偶的三要素: (1)、力偶矩的大小。 (2)、力偶的转向。
L l1 l2 ln
l
二、空间力偶系平衡的充要条件
合力矩等于零,即力偶系中各力偶矩矢的矢量
和等于零。
l 0
平衡方程的投影形式
l l l
x y z
0 0 0
例题 2-6 图示的铰接四连杆机构OABD,在杆OA 和 BD 上分别作用着矩为 l1 和 l2 的力偶,而使机构在 图示位置处于平衡。已知OA = r,DB = 2r,α= 30°,不计杆重,试求 l1 和 l2 间的关系。
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的 投影的代数和分别等于零。 空间汇交力系的平衡方程:
F
x
0
F
x
y
0
F
y
z
0
平面汇交力系的平衡方程:
F
0
F
0
例题 2-3 图所示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动 蹬上的力P=212N,方向与水平面成=45角。当平衡时,BC水 平,AD 铅直,试求拉杆所受的力。已知EA=24cm,DE=6cm点 E在铅直线DA上,又B、C、D 都是光滑铰链,机构的自重不 计。
工程实例
2、力偶臂——力偶中两个力的作用线 之间的距离。 3、力偶矩——力偶中任何一个力的大
d
小与力偶臂d 的乘积,加上
适当的正负号。
F2
F1
l Fd
力偶矩正负规定: 若力偶有使物体逆时针旋转的趋势,力偶矩 取正号;反之,取负号。 量纲:力×长度,牛顿•米(N•m).
二、力偶的等效条件 1. 同一平面上力偶的等效条件
合力的大小
R R R R
2 x 2 y 2 z
F F F
2 2 x y z
2
合力R 的方向余弦
Ry Fy Rx Fx Rz Fz cos , cos , cos R R R R R R
汇交力系平衡的充要解析条件:
D
ND
例题 2-6 图所示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三 个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶(F1 ,F1)的矩 l1=20N•m;力偶(F2 ,F2)的矩l2=20 N•m;力偶(F3 ,F3) 的矩l3=20 N•m。试求合力偶矩矢L。又问使这个刚体平衡,还 许施加怎样一个力偶。
z
形相似,等于这个力的模乘以这个力与x轴正向间 夹角α的余弦。
Fx F cos
F
A
α
B
x
a
b
x
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
F Fx2 Fy2 Fz2
Fx cos F Fy cos F Fz cos F
二、力在平面上的投影: 由力矢F 的始端A 和末端B向投影平面oxy引 垂线,由垂足A′到B′所构成的矢量A′ B′ ,就 是力在平面Oxy上的投影记为Fxy。 即: Fxy F cos
第二章
简单力系
§2–1
汇交力系
力系的基本类型
力偶系
平面力系——各力的作用线都在同一平面内的力系。
否则为空间力系。 汇交力系——各力均作用于同一点的力系。
力 偶——作用线平行、指向相反而大小相等的
两个力。
力 偶 系——若干个力偶组成的力系。
§2–2 汇交力系合成与平衡的几何法
1、合成的几何法:
F1 F1 F2 F4 F3
Ly L 0.262 ,
l2
l1
45° 45°
l3
y
O
cosL, k
Lz 0.965 , L, k 15 12 ' L 需加一力偶,其矩矢为l4=-L
小结
1、掌握汇交力系合成与平衡的几何法与解析法 2、能正确地将力沿坐标轴分解并求力在坐标轴
上的投影。正确理解合力投影定理
F
l
F
(3)、力偶作用面的方位。
右手规则
3、力偶矩矢与力矢的区别 力偶矩矢是自由矢量,而力矢是滑动矢量。 l 指向人为规定,力矢指向由本身所决定。 4、力偶等效定理又可陈述为: 力偶矩矢相等的两个力偶是等效力偶。
§2-7
一、力偶系的合成
力偶系的合成与平衡
空间力偶系可合成为一力偶。合力偶的矩矢等
于各分力偶矩的矢量和。
§2–6 力偶及其性质
一、 力偶和力偶矩 1、力偶——大小相等的二反向平行力。
d
⑴、作用效果:引起物体的转动。
F2
F1
⑵、力和力偶是静力学的二基本要素 。 力偶特性一: 力偶中的二个力,既不平衡,也不可能合成为 一个力。 力偶特性二: 力偶只能用力偶来代替(即只能和另一力偶 等效),因而也只能与力偶平衡。
Fy Fy k
F Fx i Fy j Fy k
§2–4
汇交力系合成与平衡的解析法
合力投影定理: 合力在任一轴上的投影,等于它的各分力在 同一轴上的投影的代数和。
R y F1 y F2 y Fny
F
y
Rz F1z F2 z Fnz Fz
B A A O
α
SAB
l1
SBA
B
l1
l2
NO D
O
l2
D ND
解: 杆AB为二力杆。
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程:
A O
α SAB l1
l 0,
l1 S ABr cos 0 l2 2S BAr cos 0
S AB S BA l2 2l1
NO
SBA
B
l2 α
F2
F2 F3
O y
z
l1 l2
x
45° 45°
l3yF1 F Nhomakorabea F1O
解:
x
1、画出各力偶矩矢。
2、合力偶矩矢的投影:
Lx l1x l2 x l3x 0
Ly L1 y l2 y l3 y 0 10 30 cos 45 11 .2 N m
A
24
P
A
P
C O B D
(a)
E
O
6
B
SB
ND
D
(b)
解: (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。
(3)
列出平衡方程:
F F
y
x y
0 0
FD
O
45°
FB P cos 45 FD cos 0 FD sin P sin 45 0
FB
D
(b)
x
P
又
14 2' sin 0.243 , cos 0.969
i 1 n
2、汇交力系平衡的充要几何条件: 该力系的力多边形自行闭合,即力系中各力
的矢量和等于零。
F 0
例题 2-1
水平梁AB 中点C 作用着力P,其大小等于20kN,方
向与梁的轴线成60º角,支承情况如图(a)所示,试求固定铰链
支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。
A C B
60º 30º 30º (b)
Lz l1z l2 z l3z 20 0 30 cos 45 41.2N m
3、合力矩矢L的大小和方向:
L
2 lx
2 ly
2 lz
42 .7 N m
L, i 90
L, j 74 48'
x
z
cosL, j
Lx cosL, i 0, L
联立求解,得
FB 750 N
例题 2-4 利用铰车绕过定滑轮B的绳子吊起一重P=20kN的货物, 滑轮由两端铰链的水平刚杆AB 和斜刚杆BC 支持于点B (图(a) )。 不计铰车的自重,试求杆AB 和BC 所受的力。
A
30°
30°
y
B
SAB P
B
30°
x
C
a
SBC
Q
30° P
b
解: 1. 取滑轮B 轴销作为研究对象。 2. 画出受力图(b)。
3、熟练运用平衡方程求解汇交力系的平衡问题
4、理解力偶和力偶矩的概念,并运用平衡条件
求解力偶系的平衡问题
作 业
2.1、2.15、2.26
Fx F cos
Fy F cos
y
B
F Fx
O
a
b
x
结论:力在某轴上的投影,等于力的模乘以力与 该轴正向间夹角的余弦。
反之,当投影Fx 、Fy 已知时,则可求出 力 F 的大小和方向: Fy Fx 2 2 cos cos F Fx Fy F F
在空间情况下,力F 在x 轴上投影,与平面情
F
A
y
B
Fxy
B′
x
A′
O
注意: 力在轴上投影是代数值。 力在平面上的投影是矢量。
三、力在坐标轴上的分解: 设将力F 按坐标轴x、y、z方向分解为空
间三正交分量:Fx、Fy、Fz。
则
F Fx Fy Fz
引入x、y、z 轴单位矢i、 j、k。则可写为:
Fx Fx i ,