二次曲线的定义PPT课件
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人教版九年级数学上册《二次函数y=ax2的图象与性质》二次函数PPT精品课件
课堂检测
巩固练习
对应训练
第二十二章 二次函数
《超越训练》 P34：例2+达标训练
课堂检测
基础巩固题
第二十二章 二次函数
1.函数y=2x2的图象的开口向上 , 对称轴y轴
是 (0,0) ; 在对称轴的左侧，y随x的增大而 减小 ,
,顶点 y
在对称轴的右侧, y随x的增大而 增大 .
O
x
2.函数y=-3x2的图象的开口 向下 ,对称 y轴
2
口大小与a的大小有什么关系？
的图象开
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
知识探究 归纳
y＝ax2 图象
位置开 口方向
对称性 顶点最值
增减性
第二十二章 二次函数
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
y y=x2
o
x
知识探究
第二十二章 二次函数
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交
流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线;
y
o
x
2.图象开口向下;
3.图象关于y轴对称;
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次曲线的定义PPT课件
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S
( x1 ,
x2 ,
x3
)
a12
a22
a23
x2
0,
a13 a23 a33 x3
或 S XAX 0. ( A A, 秩( A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。
u1 u2 u3 0
展开, 得 T Aijuiu j 0. 且Aij Aji,| Aij || aij |2 0.
这里Aij是aij的代数余子式.
注：本定理提供了二次曲线的点坐标、线坐标方程互化方法。
推论4 若 bij = αAij ( α ≠ 0 )，则 S ≡∑aijxixj= 0 与 T ≡∑bijuiuj = 0 表示同一条二次曲线。
分别以AM, BM截得
O(A, B, P, M ).
AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
注意到 M M , AM (A, B, K, M ) BM (A, B, K, M ).
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。
但是 S OAOB 为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即
解 令 A x1 0, B x3 0; A x2 0, B x3 0.
利用定理1的证明，此二射影线束
AB 0
A
B
0
生成的二阶曲线的方程为
aAA dBB bAB cAB 0
(2)
由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得
x1x3 x2x3 x32 0,
解析几何(五)精品PPT课件
Ⅰ中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 a22
Ⅱ非中心曲线 I2
a11 a21
a12 0 即 a11 a12
a22
a21 a22
ⅰ无心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
ⅱ线心曲线： a11 a12 a13 a21 a22 a23
3、二次曲线的渐进线 1、 定义（渐近线）：过中心具有渐进方向的直线叫做二次曲线的渐近线。
a22
a21 a22 a21 a22 a23
若 a11 a12 a13 无数多解，中心构成一条直线 a21 a22 a23
a11X a12Y a13 0 或 a21X a22Y a23 0 这条直线叫中心直线。
定义：有唯一中心的二次曲线叫做中心二次曲线，没有中心的二次曲线 叫无心二次曲线，有一条中心直线的二次曲线叫做线心二次曲线，无心 二次曲线与线心二次曲线统称为中心二，
X
:Y
为渐近方向，那么
FF12
( (
X X
,Y ,Y
) )
0 且 Q(X ,Y )
0
0
渐近线⑵与二次曲线⑴的交点由方程
Q( X ,Y )t2 2[ XF1(x , y ) YF2 (x , y )]t F (x , y ) 0 的根确定。当 F ( X ,Y ) 0 ，渐
因此二次曲线的渐进方向最多有两个，而非渐进方向有无数个。
⑶二次曲线按渐进方向分类 定义：没有实渐进方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐进方向的二次 曲线叫做抛物型的，有两个实渐进方向的二次曲线叫做双曲型的。 因此二次曲线⑴按其渐进方向可以分为三种类型：即
ⅰ椭圆型曲线： I2 0
ⅱ抛物型曲线： I2 0
2、
《二次曲线的切线》课件
要点一
二次曲线的切线在解析几何中的 应用
在解析几何中，二次曲线的切线可以用来研究曲线的性质 和关系。通过切线，我们可以更好地理解曲线的方程和参 数，从而更好地研究曲线的几何性质。
要点二
具体应用
在解析几何中，可以利用切线来研究曲线的对称性、中心 、顶点和焦距等性质，有助于我们更深入地理解曲线的结 构和性质。
在几何上，切线是唯一与曲线 在某一点既相切又平行的直线 。
03
二次曲线切线的求法
切线的点斜式方程
总结词
通过切点和斜率表示切线的方程。
详细描述
切线的点斜式方程是二次曲线切线的一种表示形式，它通过切点和该点的斜率 来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，斜率为$m$，则切线的点斜式方程为 $y - y_0 = m(x - x_0)$。
切线的点向式方程
总结词
通过切点和方向向量表示切线的方程。
详细描述
切线的点向式方程是另一种表示形式，它通过切点和方向向量来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，方向向 量为$(dx, dy)$，则切线的点向式方程为$(x - x_0)dx + (y - y_0)dy = 0$。
切线的参数式方程
在物理学中的应用
二次曲线的切线在物理学 中的应用
在物理学中，二次曲线的切线可以用来描述 物理现象和规律。例如，在力学中，物体的 运动轨迹可以看作是二次曲线的切线；在光 学中，光线通过透镜的路径也可以看作是二 次曲线的切线。
具体应用
在物理学中，可以利用切线来描述物体的运 动轨迹、光线的传播路径等物理现象，有助 于我们更准确地理解和描述物理规律和现象
《二次曲线的切线》ppt课件
• 二次曲线的基本概念 • 二次曲线的切线定义 • 二次曲线切线的求法 • 二次曲线切线的应用 • 二次曲线切线的扩展知识
二次曲线的切线在解析几何中的 应用
在解析几何中，二次曲线的切线可以用来研究曲线的性质 和关系。通过切线，我们可以更好地理解曲线的方程和参 数，从而更好地研究曲线的几何性质。
要点二
具体应用
在解析几何中，可以利用切线来研究曲线的对称性、中心 、顶点和焦距等性质，有助于我们更深入地理解曲线的结 构和性质。
在几何上，切线是唯一与曲线 在某一点既相切又平行的直线 。
03
二次曲线切线的求法
切线的点斜式方程
总结词
通过切点和斜率表示切线的方程。
详细描述
切线的点斜式方程是二次曲线切线的一种表示形式，它通过切点和该点的斜率 来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，斜率为$m$，则切线的点斜式方程为 $y - y_0 = m(x - x_0)$。
切线的点向式方程
总结词
通过切点和方向向量表示切线的方程。
详细描述
切线的点向式方程是另一种表示形式，它通过切点和方向向量来表示切线方程。设切点为$(x_0, y_0)$，方向向 量为$(dx, dy)$，则切线的点向式方程为$(x - x_0)dx + (y - y_0)dy = 0$。
切线的参数式方程
在物理学中的应用
二次曲线的切线在物理学 中的应用
在物理学中，二次曲线的切线可以用来描述 物理现象和规律。例如，在力学中，物体的 运动轨迹可以看作是二次曲线的切线；在光 学中，光线通过透镜的路径也可以看作是二 次曲线的切线。
具体应用
在物理学中，可以利用切线来描述物体的运 动轨迹、光线的传播路径等物理现象，有助 于我们更准确地理解和描述物理规律和现象
《二次曲线的切线》ppt课件
• 二次曲线的基本概念 • 二次曲线的切线定义 • 二次曲线切线的求法 • 二次曲线切线的应用 • 二次曲线切线的扩展知识
二次函数的图像与性质-完整版课件
二次函数与一元二次方程关系
一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a neq 0$）的解即为二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。
当 $Delta = b^2 - 4ac > 0$ 时，二次函数与 $x$ 轴有两个交点；当 $Delta = 0$ 时，有 一个交点；当 $Delta < 0$ 时，没有交点。
• 分析：根据题意设交点坐标为$(-1, y_1)$和$(3, y_2)$，代入直线方程可得两个方程。又因为这两个点也在抛 物线上，所以代入抛物线方程也可得两个方程。联立这四个方程即可求出二次函数的解析式。
• 示例2：已知二次函数$y = ax^2 + bx + c (a • eq 0)$的图像与直线$y = x + m (m • eq 0)$相交于两点，且这两点关于原点对称，求二次函数的解析式。 • 分析：根据题意设交点坐标为$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$，由于两点关于原点对称，所以有$x_1 = -x_2$和
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW ERA
二次函数的图像与性质-完
整版课件
汇报人：XXX
2024-01-29
• 二次函数基本概念 • 二次函数图像特征 • 二次函数性质探讨 • 典型例题分析与解答 • 实际应用场景举例说明 • 总结回顾与拓展延伸
目录
CONTENTS
零点存在性及个数判断方法
零点定义
二次函数零点存在 性判断方法
对于函数f(x)，若存在x0∈D， 使得f(x0)=0，则称x0为函数 f(x)的零点。
通过判别式Δ=b^2-4ac来判断 。当Δ>0时，二次函数有两个 不相等的零点；当Δ=0时，二 次函数有两个相等的零点（即 一个重根）；当Δ<0时，二次 函数无零点。
双曲线及其标准方程课件
音乐艺术
双曲线在音乐艺术中用于 创作优美的音乐旋律和和 声，特别是在处理音高和 音程时。
交通工程
双曲线在交通工程中用于 设计道路和轨道，特别是 在处理弯道和交叉口时。
04
双曲线的图像绘制
使用数学软件绘制双曲线
使用Ge双曲 线。用户只需在软件中输入双曲线的标准方程，即可自动生 成对应的双曲线图像。
05
双曲线的性质与方程 的关联
双曲线的性质与标准方程的关系
焦点距离
双曲线的标准方程中的系数与焦 点距离有关，决定了双曲线的开
口大小和方向。
渐近线
双曲线的标准方程中的系数决定了 渐近线的斜率和截距，反映了双曲 线的形状和位置。
离心率
双曲线的标准方程中的系数与离心 率有关，离心率决定了双曲线的开 口程度和形状。
推导结果
01
双曲线的标准方程为
$frac{x^2}{a^2}
-
frac{y^2}{b^2} = 1$。
02
其中$a > 0, b > 0$，且满足 $c^2 = a^2 + b^2$。
推导结论
双曲线是一种特殊的二次曲线，其标 准方程反映了双曲线的几何特性。
双曲线的焦点到曲线上任意一点的距 离之差为常数，这个常数等于两焦点 之间的距离的一半。
绘制双曲线
在工具箱中选择“双曲线”工具，然 后在绘图区域单击并拖动鼠标，即可 绘制出双曲线。用户可以根据需要调 整双曲线的参数和位置。
使用手工绘制双曲线
准备工具
准备一张纸、一支笔和一把直尺。
绘制过程
首先在纸上确定双曲线的中心和焦点，然后使用直尺和笔绘制出双曲线的渐近线。接着，使用笔和直尺在纸上绘 制出双曲线的上半部分。最后，使用对称性画出双曲线的下半部分。这种方法虽然比较传统，但对于理解双曲线 的几何意义非常有帮助。
二次曲线复习PPT课件
A2 B 2
圆的公式
图形
圆心在原点，半径为 r
圆心在(r,0),半径为r
直角坐标方程
参数方程
* x=rcosθ y=rsinθ
过圆上一点（ x0,y0)的切线 x0x+y0y=r2
x2+y2=r2
x2+y2=2rx
* x=r(1+cosθ) xox+yoy=r(x+xo) y=rsinθ * x=a+rcosθ (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 y=b+rsinθ x0x+y0y+D(x+x0)/2+E(y+y0)/ 2+F=0
顶点 对称轴
（-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b) x轴y轴，长轴长2a，短轴长2b
(0,-a)(0,a)(-b,0)(b,0) x轴y轴,长轴长2a，短轴长2b （0，0） （0，-c)(0,c),焦点在y轴
对称中心 （0，0） 焦点 （-c,0)(c,0),焦点在x轴
焦距
(离心率)
|F1F2|=2c,c2=a2-b2
• •
• • •
•
• •
直线与椭圆的位置关系： 把直线与椭圆的方程组消元后得 一元二次方程，它的判别式Δ>0 直线与椭圆相交 Δ=0直线与椭圆相切 Δ &的标准方程与性质
x2 y2 2 1(a b 0) 2 a b
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
e=c/a
|F1F2|=2c.c2=a2-b2
e=c/a
双曲线的学习要求和学习导航
• • 学习要求 知道双曲线的定义，理解双曲线 标准方程的参数a,b,c,e的几何意 义和相互关系，根据条件熟练写 出双曲线的标准方程，灵活应用 双曲线的定义，方程及性质解有 关问题。 学习导航 学习时，要与椭圆的标准方程进 行比较，加深这两种曲线之间的 区别和联系。 必须理解双曲线参数 a,b,c,e是双 曲线所固有的，与坐标的建立无 关。 双曲线有心但不封闭，所以存在 这样的特殊情况，直线平行 • 双曲线的渐进线但与双曲线仅有 一个交点，而并不相切。因此， 直线与双曲线只有一个交点，是 直线与双曲线相切的必要而非充 分条件。
12、二次函数的图象与性质PPT课件
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
11
(3)当b＝0时，抛物线的对称轴为y轴；当b>0，a>0时，对称轴在y轴左侧，b>0，
a<0时，对称轴在y轴右侧；b<0，a>0时，对称轴在y轴右侧，b<0，a<0时，对称轴在
y轴左侧． (4)c＝0时，抛物线经过⑭_原__点____；c＞0时，抛物线与y轴交于⑮__正__半__轴___；c
别为0，也可同时为0；(3)自变量的取值范围是④_全__体__实__数__．
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
2
2．二次函数的三种表达式 (1)一般式：y＝⑤__a_x_2＋__b_x_＋__c_(_a_≠_0_)__．这种情势只能看出二次函数图象的开口 方向．当知道三点坐标求解析式时，设出一般式． (2)顶点式：y＝⑥___a_(_x_－__b_)2_＋__k_(_a_≠_0_)_．这种情势不但能看出二次函数图象的开 口方向，还能看出它的对称轴x＝h，顶点坐标(h，k)，最值k.当知道顶点坐标和另一 点坐标求解析式时，设出顶点式．
中考新突破 · 数学(江西)
知识要点 · 归纳
三年中考 · 讲练
202X权威 · 预测
第一部分 教材同步复习
14
三年中考 ·讲练
二次函数解析式的确定
【例1】 (202X淄博)如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经 过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．
b2－4ac的符号
b2－4ac② > 0
抛物线y＝ax2＋bx＋c与 x轴的交点的个数
《I二次曲面介绍》课件
二次曲面的切线和法平面
1
切线
切线方程式是确定点切线方向的关键工具，可以帮助我们理解二次曲面的基本特 征。
2
法平面
法平面相切于曲面上的点，并垂直于该点的切线，是描述曲面矢量值和方向的基 本方法。
3
应用
对于计算两个表面之间的夹角和反射光线，有着应用上的力量，也是了解曲面空 间特征的重要手段。
二次曲面的焦点和准线
《二次曲面介绍》PPT课 件
欢迎来到《二次曲面介绍》课程！二次曲面是数学中一个重要的概念，也具 有广泛应用。在此课程中，我们将深入了解二次曲面的分类、性质、公式和 应用，希望你享受这次学习！
什么是二次曲面？
定义
由二元二次方程$x^2+y^2+z^2+ax+by+cz+d=0$所确定的曲面称为一般二次曲面。
工程领域
2
对于数学知识结构的完备和优化起着重 要的推进作用。
在多种物理和工程应用中，二次曲面有
着广泛的实际用途。谷歌、苹果等大型IT
公司也在开发利用二次曲面技术的产品。
3
学术研究
二次曲面仍然是数学与物理学研究领域 的重要研究对象，对未来科学教育的贡 献巨大。
二次曲面的实践应用案例分析
医学成像
二次曲面在体绘制和定义了新 的医学成像方法。它可以为医 师提供三维数据，从而进行更 高质量的检查和诊断。
二次曲面的思考与总结
1 对数学的重要性
了解二次曲面的形式，有助于人们理解和应用数学知识，可以使数学这一抽象的学科更 加形象化、通透化。
2 对科学的启示
二次曲面的理论和应用研究有助于开拓科学领域的新思路，推动科学的不断发展和进步。
3 对未来的期许
22.1《二次函数的图象和性质》课件(共5课时)
2．类比探究二次函数 y = ax2 + k 的图象和性质
归纳： 一般地，当 a＞0 时，抛物线 y = ax2 + k 的对称轴是 y 轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最 低点，a 越大，抛物线的开口越小．当 x＜0 时， y 随 x 的增大而减小，当 x＞0 时， y 随 x 的增大而增大．
3．练习、巩固二次函数的定义
练习2 填空： （1）一个圆柱的高等于底面半径，则它的表面积 S 与底面半径 r 之间的关系式是__S_=__4_π_r_2_； （2） n 支球队参加比赛，每两队之间进行两场比 赛，则比赛场次数 m 与球队数 n 之间的关系式是 ___m_=__n（__n_-_1__）____．
某种产品现在的年产量是 20 t ，计划今后两年增加 产量．如果每一年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两 年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定， y 与 x 之间的关系应该怎样表示？
y 20x2 40x 20
2．通过实例，归纳二次函数的定义
这三个函数关系式有什么共同点？
y 6x2 m 1 n2 1 n
2
4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）抛物线 y = ax2 + k 与抛物线 y = ax2 的区别与联 系是什么？
5．布置作业
教科书习题 22.1 第 5 题（1）.
九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质 （第4课时）
• 本课是在学生已经学习了二次函数 y = ax2，y = ax2+ k 的基础上，继续进行二次函数的学习，这是对二次函 数图象和性质研究的延续．
2．类比探究 y a（x h）2， y a（x h）2 k 的图 象和性质
二次曲线的一般理论课件
焦准距
焦半径
二次曲线上的任意一点到焦点的距离 称为焦半径，它等于该点到准线的距 离。
二次曲线上的焦点到准线的距离称为 焦准距，它是常数。
04 二次曲线的切线
二次曲线的切线定义
切线定义
切线是与二次曲线在某一点相切 的直线，该点称为切点。
切线的几何意义
切线是唯一一条与二次曲线在切 点处既相切又垂直的直线。
详细描述
二次曲线的一般方程为Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0，其 中A、B、C、D、E、F为常数，且A、C不同时为0。这个方 程描述了一个平面上的二次曲线，其中x和y是平面上的坐标， A、B、C、D、E、F是常数。
二次曲线的性质
总结词
二次曲线具有一些重要的性质，如对称性、中心性、离心率等。
详细描述
二次曲线具有对称性，即曲线关于x轴、y轴或原点对称。此外，二次曲线还有 一个中心，即曲线的离心率指向一个固定点（称为焦点）。离心率决定了曲线 的形状和大小。
二次曲线的分类
总结词
根据不同的分类标准，二次曲线可以分为不同的类型。
详细描述
根据形状和开口方向，二次曲线可以分为椭圆型、双曲线型和抛物线型。根据焦 点个数，二次曲线可以分为单焦点和双焦点二次曲线。此外，根据对称性，二次 曲线还可以分为中心对称和非中心对称二次曲线。
二次曲线的一般方程的推导
总结词
二次曲线的一般方程的推导基于多项式和代数的基本原理，通过将二次曲面进行参数化，可以得到一 般方程。
详细描述
推导二次曲线的一般方程通常采用参数化的方法，将二次曲面表示为参数t的函数 (x(t), y(t), z(t))，然 后通过代入和整理得到一般方程。这个过程需要一定的代数和微积分知识。
2.二次函数的图像与性质北师大PPT课件(北师大版)
探究
画二次函数 y x2 的图象。 描点法
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对 应值表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
（2）在平面直角坐标系中描点：
y -4 -3 -2 -1 o
12
视察函数 3 的4 图象x，
-2
它有什么
二次函数y=ax2 的 图象和性质
知识回顾
一次函数的图象 一条直线
反比例函数的图象 双曲线
二次函数的图象是 什么样子的？
探究
画二次函数 y x2 的图象。 描点法
解：（1）列表：视察表达式，选择适当的 x值， 并计算相应的函数值，完成下表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9…
当x=0时,函数 y的值最小， 最小值是0.
概念学习
二次函数 y = x2 的图像是一条抛物线，它
的开口向上，且关于y轴对称，对称轴与抛 物线的交点是抛物线的顶点，它是图象的最 低点。
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 y ax2 bx c的图 象叫做抛物线 y ax2 bx c。
特点?
-4
-6
-8
y = - x2
-10
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点 是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展， 当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
y
视察二次函数y = x2、y= - x2，
它们有什么关系？ y x2
最值
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
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命题 S = 0 退化 |aij| = 0.
3
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二次曲线的射影定义
二、二次曲线的几何结构
定理1 不同心的两个射影线束对应直线交点的全体构成一条 经过此二线束束心的二阶曲线 Γ.
注：若已知两个射影线束 A + λB ↔ A′ + λB′ 的对应式 a b c d 0 ( a d b c 0 ) 则由此构成的二阶曲线方程为
第五章 二次曲线的射影理论
本章是平面射影几何的精华, 也是最精彩的部分之一
二次曲线的定义
本 章
Pascal定理和Brianchon定理
主 要
二次曲线的配极原理
内
容
二次曲线的射影分类
每一部分都有丰富的内容、深刻1 的内涵和重要的应用.
பைடு நூலகம்
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二次曲线的射影定义
一、二次曲线的代数定义
定义1 坐标满足
定义1' 坐标满足
推论1′ 平面上五直线(其中 无三线共点)唯一确定一条非 退化二级曲线。
推论2′ 任一二级曲线可由 两个射影点列生成。
推论3′ 二级曲线上四条定 直线被其上任意一条直线所截 得四点的交比为定值。
注：推论3对于解析几何中的各种二次曲线都适用。
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二次曲线的射影定义
三、二次曲线的射影定义
由上述的两个定理及其推论，我们有
x1x3x2x3x3 20,
即
xx13
0 x2
x3
0
这是一条退化的二阶曲线。
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二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
本部分总假定：所论二次曲线为非退化的.
1. 定义 定义4 与二阶曲线 Γ 交于两个重合的点的直线称为 Γ 的切线。
外
相异的实切线
一般,点 地 P在上过P有的两重 条合的实切线
内
共轭的虚切线
但是 SO AO B为定点，故当 M 变动时，KK′ 经过定点 S，即
OP(K) OP(K).
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二次曲线的射影定义
推论1 平面上五点(其中无 三点共线)唯一确定一条非退 化二阶曲线。
推论2 任一二阶曲线可由 两个射影线束生成。
推论3 二阶曲线上四个定 点与其上任意一点连线所得四 直线的交比为定值。
Q O (P ) O (P ), O (A ,B ,P ,M ) O (A ,B ,P ,M ) .
分别以AM, BM截得
A M ( A ,B ,K ,M ) B M ( A ,B ,K ,M ) .
注意到 MM, A M ( A ,B ,K ,M ) B M ( A ,B ,K ,M ) .
从而对应点的连线共点，即 AA′, BB′, KK′ 共点于 S。
3
S aijxixj 0 (aij aji) (1)
3
T bijuiuj 0 (bij bji) (1')
i,j1
i,j1
的所有点 (x1, x2, x3) 的集合称 为一条二阶曲线. 其中 (aij) 为 三阶实对称阵, 秩 (aij)≧1。
的所有直线 [u1, u2, u3] 的集合称 为一条二级曲线. 其中 (bij) 为三 阶实对称阵, 秩 (bij)≧1。
定义2 如果 S 可以分解为两 个一次因式的乘积，则称 S = 0 为退化二阶曲线，否则称为非 退化二阶曲线。
定义2′ 如果 T 可以分解为 两个一次因式的乘积，则称 T = 0 为退化二级曲线，否则称为 非退化二级曲线。
2
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二次曲线的射影定义
注1. S, T 均为高等代数中的实三元二次型。从代数上看，S = 0和T = 0 为相同的代数对象；从几何上看，它们是同一几何对象 的不同描述，因此统称为二次曲线。
: a A A d B B b A B c A B 0 ( 4 . 2 )
定理2 设二阶曲线 Γ 由射影线束 O(P) 与 O′(P) 生成，则在 Γ 上任意取定相异二点 A和B，与 Γ 上的动点 M 连线可得两个射影 线束 A(M ) B(M).
注：由本定理, 一旦二阶曲线由两个射影线束生成，则其上点 的地位平等，以曲线上任意相异二点为束心与曲线上的点连线则 得到两个也生成此曲线的射影线束。
PQ 为 Γ 的切线 PQ 交 Γ 于两个重合的点 将 xi = pi + λqi 代入 Γ：S = 0 后只有一个解。代入得
a ij(p iq i) (p jq j) 0 ,
定义3 在射影平面上，称 两个射影线束对应直线交点的 集合为一条二阶曲线。
定义3′ 在射影平面上，称 两个射影点列对应点连线的集 合为一条二级曲线。
思考：试研究本定义是如何包含退化二次曲线的。
提示：考虑透视对应、射影变换的情况。
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二次曲线的射影定义
例1 求由两个射影线束 x1 – λx3 = 0, x2 – μx3 = 0 ( λ + μ = 1) 生 成的二阶曲线方程。
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二次曲线的射影定义
定理2的证明. 设 Γ 由 O(P) O′(P) 生成，需证
AM OP K
设 BM OP K
则有 A ( M ) OP ( K )
B ( M ) O P ( K )
所以只要证 O P ( K ) O P ( K ) .
A (M )
B (M ).
设 O A B M A ,O B A M B .
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二次曲线的射影定义
四、二阶曲线的切线
2、切线的方程
问题：已知二阶曲线
3
: S a ix jixj 0 (a ij a j)i i,j 1
求过定点 P(p1, p2, p3) 的 Γ 的切线方程。
(1 )
设 Q(q1,q2,q3)为平面上任一点，则直线 PQ 上任一点可表为
xi = pi + λqi 。
注2. 在需要时，S = 0和T = 0 均可写为矩阵格式：
a11 a12 a13 x1
S (x1, x2, x3)a12
a22
a23
x2
0,
a13 a23 a33 x3
或S XAX 0. (A A,秩(A) 1)
注3. 由对偶原则，我们一般仅讨论二阶曲线，其结论均可对 偶地适用于二级曲线。
解 令 A x 1 0 , B x 3 0 ; A x 2 0 , B x 3 0 .
利用定理1的证明，此二射影线束
AB 0
A
B
0
生成的二阶曲线的方程为
a A A d B B b A B c A B 0
( 2 )
由 λ + μ = 1 得 a = 0, b = c = 1, d = –1 , 代入上式得