运筹学运输问题

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4、对于产销平衡的运输问题：
特点 1：模型中最多只有m+n-1个约束条件方程独立。
证明：
mn
m
前m个约束条件方程之和为： xij ai
i1 j1
i 1
nm
n
后n个约束条件方程之和为： xij bj
m
n
j1 i1
j 1
而， ai bj，故模型中最多只有 m+n-1 个约束条
i 1
j 1
件方程独立，即系数矩阵的秩 ≤ m+n-1 。
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x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n ... xm1 xm2 ...xmn
1 1 ... 1


1 1 ... 1



m行

1 1 ... 1

1
1
1

1
--- ++

...
1 ...
1

n行
...

1
1
1
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x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n ... xm1 xm2 ...xmn
1 1 ... 1


1 1 ... 1

m行


1 1 ... 1

1
1
1

1

...
1 ...
j
1,..., n
为可行解。
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由此可知：产销平衡的运输问题，存在可行解。 又因为，产销平衡的运输问题的目标函数有下界 ，目标函数不会趋于 - ∞，由此可知，运输问题必 有有限最优解。
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例 判断题 运输问题是一种特殊的线性规划模型，因而求解结 果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解，无 穷多最优解，无界解，无可行解。 （×）
1 1 ... 1


1 1 ... 1





1 1 ... 1

1
1
1

1


...
1 ...
1


...

1
1
1
m行 n行
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该 系 数 矩 阵 中 对 应 于 变 量 xij 的 系 数 向 量 Pij= （0…1…0…1…0）T，其分量中除第 i 个和第 m+j 个为 1 以外，其余的都为 0。 （1）约束条件系数矩阵的元素等于 0 或 1 ； （2）约束条件系数矩阵的每一列有两个非 0 元素，对 应于每一个变量的前 m 个约束条件中出现一次，后 n 个约束条件中也出现一次。
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第二节 表上作业法
表上作业法是单纯型法在求解运输问题时的一种简 化方法，其实质是单纯型法。
表上作业法的步骤：
1. 找出初始基可行解：在（m×n）产销平衡表中给 出（m+n-1）个数字格；
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2. 求非基变量的检验数：在表上计算空格的检验数， 判别是否达到最优解； 3. 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解： 在表上用闭回路法调整； 4. 重复2、3直到最优解为止。
1 ...

n行
0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 0 ... 0
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特点 2 ：必有有限最优解。
m
n
证明：设 ai bj Q
i 1
j 1
令变量
xij

aibj Q
, i 1,..., m; j 1,..., n
n xij j 1
运输问题就属于这样一类特殊的线性规划问题。
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一、运输问题的提出
经济建设中，经常碰到大宗物资调运问题：利用现有 的交通运输网络，将煤炭、钢铁、木材、粮食等物资 ，从生产地运往消费地，使得总运费最小。
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二、运输问题的数学模型
用数学语言对上述问题进行描述：
1. 有 m个生产地 Ai ：i=1,2,…,m；供应量分别为：ai， i=1,2,…,m； 2. 有n个消费地 Bj ：j=1,2,…,n；需求量分别为：bj， j=1,2,…,n； 3. 单位物资从 Ai 到 Bj 的运价为 cij 。
运输问题
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第一节 运输问题的数学模型 第二节 表上作业法 第三节 产销不平衡的运输问题 第四节 有转运的运输问题 第五节 应用举例
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第一节 运输问题的数学模型
一般线性规划问题的求解方法：单纯形法。 实际工作当中，往往有些线性规划问题，它们的
约束方程组的系数矩阵具有特殊的结构，这就有 可能找到比单纯形法更为简便的求解方法。
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一、确定初始基可行解(初始调运方案)
1. 西北角法 思路：优先考虑位于运输表中西北角上空格的供 销业务。 步骤： （1）在（A1，B1）格中填入x11=min(a1,b1)；
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（2）若 x11=a1，则产地 A1 的可供物品已用完（划去 该元素所在的行），且 B1 的需求量由 b1 减少为 b1-a1； （3）若x11=b1，则销地B1的需求已全部满足（划去该 元素所在的列），且A1的可供量由a1减少为a1- b1。 （4）运输表中尚未划去的部分中，左上角格子为 （A1，B2）或（A2，B1）；

0

这就是运输问题的数学模型。
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如果运输问题中，总产量不等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
称为产销不平衡运输问题。第9页三、运输问题数学模型的特点
1、有 m×n 个变量。 2、（m + n）个约束条件，且都为等式。 3、其系数矩阵为：
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x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n ... xm1 xm2 ...xmn

n aibj j1 Q

ai Q
n
bj
j 1

ai Q

Q

ai
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m
xij
i 1

m aibj i1 Q
bj Q
m
ai
i 1

bj Q
Q

bj
xij

aibj Q
满足所有约束条件。
又因为
xij

aibj Q
0

xij

aibj Q
,i
1,..., m;
若用 xij 表示从 Ai 到 Bj 的运量，要得出总运费最小 的调运方案，可建立如下数学模型：
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij ai , i 1,....,m
j1
m

xij
bj , j 1,...,n
i1

x
ij
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销地 产地
A1
单位运价
B1
B2
…
c11
c12
x11
x12
…
产地产量
Bn
c1n
x1n
产量
a1
…
…
…
…
…
…
Am
cm1
xm1
cm2
xm2
…
cmn
xmn
am
销量
b1
b2
…
bn
销地销量
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如果运输问题中，总产量等于总销量，即有
m
n
ai bj
i 1
j 1
则称为产销平衡运输问题。
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