高等数学(电子版)
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高等数学（电子版）第一章函数与极限1.1 函数的概念函数是数学中最基本的概念之一，它描述了两个变量之间的依赖关系。
在高等数学中，我们主要研究实数集上的函数，即定义域和值域都是实数集的函数。
1.2 函数的性质函数具有许多重要的性质，如单调性、奇偶性、周期性等。
这些性质有助于我们更好地理解和分析函数的行为。
1.3 极限的概念极限是研究函数在某一点附近行为的一种方法。
当我们讨论一个函数的极限时，我们关注的是当自变量趋近于某个特定值时，函数值的变化趋势。
1.4 极限的运算法则极限运算法则是指对于一些基本函数的极限，我们可以通过简单的运算得到它们的极限。
这些运算法则包括极限的四则运算、复合函数的极限、数列的极限等。
1.5 无穷小与无穷大无穷小与无穷大是描述函数极限的两种特殊情况。
无穷小是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于0；无穷大是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值趋近于正无穷大或负无穷大。
1.6 连续性与间断点连续性是函数的一个重要性质，它描述了函数在某一点附近的行为。
如果一个函数在某个点连续，那么它在该点附近的极限存在且等于该点的函数值。
间断点是函数不连续的点，它们在函数图像上表现为跳跃或断开。
第二章导数与微分2.1 导数的概念导数是描述函数在某一点附近变化率的一种方法。
它表示了函数在该点的斜率，即函数图像在该点的切线斜率。
2.2 导数的运算法则导数运算法则是指对于一些基本函数的导数，我们可以通过简单的运算得到它们的导数。
这些运算法则包括导数的四则运算、复合函数的导数、幂函数的导数等。
2.3 高阶导数高阶导数是指函数的导数的导数。
它们描述了函数在某一点附近更复杂的变化率。
高阶导数在研究函数的凹凸性、拐点等方面具有重要意义。
2.4 微分的概念微分是导数的一种应用，它描述了函数在某一点附近的微小变化。
微分运算可以用来求解一些实际问题，如曲线的切线问题、最值问题等。
2.5 微分的应用微分在物理学、工程学等领域有广泛的应用。
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⑴、并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。记作 A∪B。 （在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即 A∪B＝｛x|x∈A，或 x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。记作 A∩B。 即 A∩B＝｛x|x∈A，且 x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作 U。 ②补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的 补集。简称为集合 A 的补集，记作 CUA。
B 有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A）。。
⑵相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此时集合 A 中的元素与集合 B 中的元 素完全一样，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B。
⑶、真子集：如何集合 A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于 B 但不属于 A，我们称集合 A 是集合 B 的真子集。
果 a 是集合 A 中的元素，就说 a 属于 A，记作：a∈A，否则就说 a 不属于 A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作 N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作 N+或 N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作 Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作 Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作 R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素，我们就说 A、
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章第1节函数
复合函数在数学、物理、工程等领域有广 泛的应用。
反函数
反函数的定义
反函数是原函数关于y=x对称的函数。
反函数的性质
反函数具有原函数的性质，如连续性、可导性等。
反函数的求导法则
反函数的求导法则与原函数有关，可以通过交换x和y的导数来实现。
反函数的应用
反函数在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，如解方程、优化问题等。
函数单调性的定义
如果对于函数的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$，当$x_1 < x_2$时，都 有$f(x_1) leq f(x_2)$（或$f(x_1) geq f(x_2)$），则称函数在该区间内单调递 增（或单调递减）。
单调性的判定方法
通过比较函数在不同区间内的增减性，可以判断函数的单调性。此外，导数也 是判断函数单调性的重要工具，如果函数在某区间内的导数大于0，则函数在该 区间内单调递增；如果导数小于0，则函数单调递减。
04
函数的图像与性质
函数的图像
函数图像的概念
函数图像是表示函数值的点在平面上 的集合。通过函数图像，我们可以直 观地了解函数的形态和变化趋势。
函数图像的绘制方法
绘制函数图像通常需要确定函数的定 义域和值域，然后根据函数的解析式 ，在坐标系上标出对应的点，最后用 光滑的曲线将它们连接起来。
函数的单调性
答案与解析
$|x|$ 是偶函数。
$x^3$ 是奇函数。
判断下列函数是否为奇函 数或偶函数
01
03 02
答案与解析
$frac{1}{x}$ 是奇函数。
解析：奇函数的定义是对于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = -f(x)$；偶函数的定义是对 于定义域内的任意 $x$，都有 $f(-x) = f(x)$。 根据这些定义，可以判断出 $x^3$、$|x|$ 和 $frac{1}{x}$ 的奇偶性。
《高等数学》电子课件(同济第六版)01第一章 第1节 函数
一、集合
二、函数概念 三、映射 四、函数的特性 五、反函数
六、基本初等函数 七、复合函数 初等函数
1
第一节 映射与函数
一.集合:
1、集合
M {x x具有特定性质}
有限集 如 M {0,1,2, ,9}
无限集 如 M2 {( x, y) x2 y2 1}
2、集合间的关系：
（1） 子 集 ；（2） 集 合 相 等 ；（3） 空 集 ；
2
故定义域为
D
[
0
,
1 2
)
12
3、几个特殊的函数举例
(1) 符号函数
1 当x 0
y
sgn
x
0
当x 0
1 当x 0
定义域 D (, ), 值域 W {1,0,1}
图形：
y
1
o
x
-1
x sgn x x 13
(2) 取整函数： y=[x] [x]表示不超过 x 的最大整数
如 [3] 0, [ 3] 1, [8] 8, [3.8] 4.
x, x 1
f
(x)
min{ x , x2}
x
2
,
1 x 1
三、映射（自学）x, x 1
19
四、函数的特性
1．函数的有界性:
若X D,M 0,x X,有 f (x) M 成立,
则称函数f ( x)在X上有界.否则称无界.
如 y cos x 在（ ， ）上有界， 2 x2
y
1 x2
作业
习题11 P21
4(1)(3)(5)(7)(9),5(2)(3),6,7(1),10,11, 12(1)(3)(5),14(1)(3)(5),16,17,18
高等数学(电子版)
线性微分方程线性微分方程这种微分方程的形式为：，其中，p,q与y,y'无关，但可以与x有关.它对y 与y'而言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。
当q=0时称为齐次线性微分方程；当q≠0时称为非齐次线性微分方程。
齐次线性微分方程的解法齐次线性微分方程的形式为：此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：，这就可以由我们前面所学的方法进行求解。
例题：求的一般解。
解答：由此方程可得，故因此该方程的一般解为：非齐次线性微分方程的解法非齐次线性微分方程的形式为：这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程的一般解，然后把c看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定c，使它能满足非齐次微分方程。
中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项：，所以中c作为x的函数代入微分方程就得到.所以只要，即就可使非齐次线性微分方程得到满足，即为所求的一般解。
上面我们说学的这种解法被称为Lagrange常数变易法。
例题：求解解答：相应齐次线性微分方程的一般解为：把c看成x的函数代入得：因此：c'=x(x+1)∴故：就是非齐次线性微分方程的一般解。
可降阶的高阶方程求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。
下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y"=f(x)对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程，再次积分，即可求出方程得通解。
例题：求方程y"=cosx的通解。
解答：一次积分得：二次积分即得到方程得通解：2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
例题：求方程的通解。
解答：令y'=p.，代入方程，得分离变量后，得积分，得.即再积分，即得原方程的通解：.3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有代入原方程，得这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
高等数学电子版 (2)
第一章极限与连续第一节 数列的极限 一、数列极限的概念按照某一法则,对于每一个+∈N n ,对应一个确定的实数n x ,将这些实数按下标n 从小到大排列,得到一个序列,,,,21n x x x称为数列,简记为数列}{n x ,n x 称为数列的一般项。
例如:,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n,21,,81,41,21n,)1(,,1,1,11+--n,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ,n 2,n 21,1)1(+-n ,n n n 1)1(--+数列}{n x 可瞧成自变量取正整数n 的函数,即)(n f x n =,+∈N n设数列nn x n n 1)1(--+=,来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100>n ,即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x , 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ,只需要100000>n ,即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x , 为使ε<=--+=--nn n x n n 11)1(|1|1(ε就是任意给定的小正数),只需要ε1>n ,即当ε1>n 以后,各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ,当N n >时,ε1>n ,因此有ε<-|1|n x ,即任意给定小正数ε,总存在正整数]1[ε=N ,当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ,则定义:设}{n x 为一数列,如果存在常数a ,对于任意给定的正数ε(不论它多么小),总存在正整数N ,使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 就是数列}{n x 的极限,或者说数列}{n x 收敛于a ,记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n如果不存在这样的常数a ,则说数列}{n x 没有极限,或者说数列}{n x 发散。
高等数学电子教案(大专版)(2024)
02
函数与极限
2024/1/28
8
函数概念及性质
2024/1/28
函数定义
设$x$和$y$是两个变量，$D$是一个数集。如果存在一种对应法则$f$，使得对于$D$中 的每一个数$x$，按照某种对应法则$f$，在数集$M$中都有唯一确定的数$y$与之对应， 则称$f$为从$D$到$M$的一个函数，记作$y = f(x), x in D$。
向量的坐标表示法
详细讲解向量的坐标表示法，包括向量在空间直角 坐标系中的表示方法、向量的模和方向余弦的坐标 计算公式等。
向量的运算与坐标计算
介绍向量的加法、减法、数乘和点积、叉积 等运算在坐标计算中的实现方法，以及这些 运算的几何意义和性质。
2024/1/28
30
平面与直线方程
2024/1/28
平面的方程
导数的定义
导数描述了函数在某一点处的切线斜 率，反映了函数值随自变量变化的快 慢程度。
导数的几何意义
导数在几何上表示曲线在某一点处的 切线斜率，即函数图像在该点的倾斜 程度。
13
导数的计算法则
基本初等函数的导数公式
包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数 、三角函数等的基本导数公式。
导数的四则运算法则
2024/1/28
全微分的定义
如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全 增量$Delta z=f(x+Delta x,y+Delta y)-f(x,y)$可以表示为$Delta z=ADelta x+BDelta y+o(rho)$，其 中$A$和$B$不依赖于$Delta x$和 $Delta y$而仅与$x$和$y$有关， $rho=(Delta x^2+Delta y^2)^{frac{1}{2}}$，则称函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处可微，而 $ADelta x+BDelta y$称为函数 $z=f(x,y)$在点$(x,y)$处的全微分。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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⑴、并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的并集。记作 A∪B。 （在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）
即 A∪B＝｛x|x∈A，或 x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合称为 A 与 B 的交集。记作 A∩B。 即 A∩B＝｛x|x∈A，且 x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。 通常记作 U。 ②补集：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的 补集。简称为集合 A 的补集，记作 CUA。
，则称函数
例题：函数
=x2 在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性
如果函数
对于定义域内的任意 x 都满足
=
，则
叫做偶函数；如果函数
对于
定义域内的任意 x 注：偶函数的图形关于 y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性
B 有包含关系，称集合 A 为集合 B 的子集，记作 A ⊆ B（或 B ⊇ A）。。
⑵相等：如何集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 是集合 A 的子集，此时集合 A 中的元素与集合 B 中的元 素完全一样，因此集合 A 与集合 B 相等，记作 A＝B。
⑶、真子集：如何集合 A 是集合 B 的子集，但存在一个元素属于 B 但不属于 A，我们称集合 A 是集合 B 的真子集。
一、函数与极限
1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定 集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成 集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母 A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母 a、b、c……表示集合中的元素。如
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解决方案
理解向量的基本概念和运算规则，掌握向量的数量积、 向量积、混合积的计算方法；理解空间曲线和曲面的几 何性质，掌握空间曲线和曲面的参数方程和一般方程。
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高等数学的重要性与应用
总结词
高等数学在科学、工程、经济等领域有 着广泛的应用，是许多学科的基础工具 。
VS
详细描述
高等数学在科学研究、工程技术和经济发 展等领域中发挥着重要的作用。它是许多 学科的基础工具，如物理、化学、工程学 、经济学等都需要用到高等数学的知识。 通过学习高等数学，人们能够更好地理解 和分析各种复杂的现象和问题，为科学研 究和技术创新提供支持。
不定积分与定积分
不定积分的概念与性质
不定积分是微分学的逆运算，用于求函数的原函数。不定积分具有一些重要的性质，如线性性质、积 分常数性质等。
定积分的概念与性质
定积分是积分学的核心概念，用于计算平面图形面积和体积等。定积分具有一些重要的性质，如可加 性、区间可加性等。
级数与幂级数
级数的概念与性质
级数是无穷序列的和，分为收敛级数和发散 级数。级数具有一些重要的性质，如正项级 数、交错级数、几何级数等。
重积分与线积分
• 总结词：重积分与线积分是高等数学中的重要概念，它研究的是对积分区域进行积分的方法。 • 详细描述：重积分主要研究的是对二维或更高维度的区域进行积分的方法，而线积分主要研究的是对一维曲线
进行积分的方法。这些积分方法在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的质量分布问题、工程学中的 流体动力学问题等都可以用重积分与线积分来解决。 • 总结词：重积分与线积分在解决实际问题中具有广泛的应用，如物理学中的力学和热学等问题；工程学中的机 械设计和流体动力学等问题；经济学中的成本和收益等问题。 • 详细描述：在物理学中，重积分与线积分被广泛应用于描述物体的运动轨迹和质量分布
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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高等数学电子教案（最新版）第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个非空数集A中的每一个元素在非空数集B中都有唯一确定的元素和它对应。
函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，函数f(x)趋向于某一数值L，我们称f(x)当x趋向于a时的极限为L，记作：lim(f(x),a)=L。
1.3 极限的运算极限的四则运算法则：1）lim(f(x)+g(x),a)=lim(f(x),a)+lim(g(x),a)2）lim(f(x)g(x),a)=lim(f(x),a)lim(g(x),a)3）lim(f(x)/g(x),a)=lim(f(x),a)/lim(g(x),a) （g(x)≠0）4）lim(cu(x),a)=lim(c,a)lim(u(x),a) （c为常数，u(x)可导）1.4 无穷小与无穷大无穷小的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|<M，则称f(x)为无穷小。
无穷大的定义：当自变量x趋向于某一数值a时，如果存在一个正数M，使得对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)|>M，则称f(x)为无穷大。
第二章：导数与微分2.1 导数的定义导数的定义：函数f(x)在x处的导数定义为f'(x)=lim(f(x+Δx)-f(x),Δx)=lim(Δx,0)f'(x+Δx)。
2.2 导数的运算导数的四则运算法则：1）(f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)2）(f(x)g(x))'=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)3）(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)4）(cu(x))'=c'u(x)+cu'(x) （c为常数，u(x)可导）2.3 微分微分的定义：函数f(x)在x处的微分定义为df(x)=f'(x)Δx。
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第一章 函数、极限与连续高等数学是一门研究变量的科学，它的内容和方法广泛应用于自然科学和社会科学的许多领域．函数是高等数学的研究对象，是高等数学中最基本的概念．极限是深入研究函数的基本方法，高等数学中的许多概念、性质和法则都是通过极限方法来建立的．函数的连续性与极限密切相关，连续函数是高等数学中着重研究的一类函数．本章主要介绍函数、极限和函数的连续性等基本概念．我们将在复习函数知识的基础上讨论函数的极限，进而讨论函数的连续性及连续函数的性质．1.1 函数1.1.1实数概述高等数学主要是在实数范围内研究函数，我们先学习一些必须具备的实数知识． 1．实数实数由有理数和无理数两大类组成．有理数包括整数和分数，可以用有限小数和无限循环小数表示．无限不循环的小数是无理数．全体实数构成的集合称为实数集，记作R ．实数通常用数轴上的点来表示，任一实数都对应数轴上唯一的一点；反之，数轴上的任一点都表示惟一的一个实数，即实数与数轴上的点是一一对应的．2．实数的绝对值实数a 的绝对值记作|a |，定义为|a |＝⎩⎨⎧a ， a ≥0－a ，a ＜0． 例如实数3（3＞0）的绝对值|3|＝3，实数0的绝对值|0|＝0，实数－3（－3＜0）的绝对值|－3|＝－（－3）＝3．|a |表示在数轴上对应a 的点到原点的距离，这就是绝对值的几何意义．由绝对值的定义及几何意义可知，绝对值有以下重要性质：(1) |x |≥0当且仅当x ＝0时等号成立； (2) |－x |＝|x |；(3) |x |≤a (a ＞0)等价于－a ≤x ≤a ； (4) |x |≥a (a ＞0)等价于x ≤－a 或x ≥a ．例1解绝对值不等式|x－1|≤2．解由绝对值的性质得－2≤x－1≤2，即－1≤x≤3．例2解绝对值不等式|x＋1|＞3．解由绝对值的性质得x＋1＜－3或x＋1＞3，则x＜－4或x＞2．3．区间区间可理解为实数集R的子集．区间分为有限区间和无限区间．(1)有限区间：设a，b∈R且a＜b，有限区间在数轴上可以用一条以a、b为端点的线段表示（表1-1），区间闭的一端用实心点表示，开的一端用空心点表示．表1-1以上的区间都是有限区间，实数a和b叫做区间的端点，区间长度为b－a．(2)无限区间：我们规定：符号“∞”表示无穷大，“＋∞”表示正无穷大，“－∞”表示负无穷大．这样不等式x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的解集也可用无限区间表示（表1-2）．表1-2需注意的是，这些区间只有一个端点，另一端对应数轴的无穷远处．实数集R 可以写成区间)(∞+-∞，． 1.1.2函数的概念1．函数的定义我们知道，半径为r 的和圆的面积A 为2πA r = )0(>r ，只要r 取定一个正数值，面积A 就有一个确定的数值与之对应．半径r 变化，面积A 也随之发生变化，上述公式表明了变量r 和A 之间的对应关系．函数就是描述变量之间的对应关系的，其定义如下：设x 、y 是两个变量，D 一个给定的非空数集．如果对于D 中的每一个数x ，按照某个对应法则f ，y 都有唯一确定的数值与之对应，则称y 是定义在数集D 上的x 的函数，记作()y f x =，x ∈D ，其中，x 称为自变量，y 称为因变量；数集D 称为函数的定义域．定义域D 是自变量x 的取值范围，也就是使函数()y f x =有意义的数集．当x 取数值0x ∈D 时，称函数()f x 在点0x 处有定义，与0x 对应y 的数值称为函数()f x 在点0x 处的函数值，记作)(0x f ．当x 取遍D 的一切数值时，对应的函数值的全体组成的数集M 称为函数的值域，即{}()M y y f x x D ==∈，．说明：函数)(x f y =中表示对应法则的符号f 也可改用其他字母，例如F 、ϕ等等． 由函数的定义可知，给定定义域D 和对应法则f ，值域M 就相应地被确定了，因此，函数的定义域和对应法则称为函数的两要素．只有当两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才能认为这两个函数是相同的函数．至于变量采用什么样的符号，那是无关紧要的，比如函数)(x f y =，x D ∈和)(t f s =，t D ∈ 表示同一个函数．例3 求下列函数的定义域． （1）211xy -=； （2）)2ln(x y -=．解 （1）要使函数有意义，须使012>-x ，即11<<-x ．则函数的定义域为(11)-， ．（2）要使函数有意义，须使02>-x ，即2<x ．则函数的定义域为(2)-∞， ．研究任何函数都要首先考虑其定义域，函数的定义域是使其有意义的一切实数组成的集合．求函数定义域时，一般需要考虑以下几个方面： （1）分式中，分母不能为零； （2）根式中，负数不能开偶次方根； （3）对数式中，真数大于零；（4）反三角函数式的x arcsin 或x arccos ，要满足1≤x ； （5）在实际问题中应根据问题的实际意义确定． 例4 判断下列每组的两个函数是否表示同一个函数．（1）2ln y x =，2ln x y =； （2）y x =，2t s =．解 （1）因为函数2ln y x =的定义域是)0()0(∞+-∞，， ，而函数2ln y x =的定义域是)0(∞+，，因此两个函数不相同． （2）函数x y =与2t s =的定义域均为)(∞+-∞，，且有相同的对应法则，所以，尽管两个函数的自变量、因变量所用的字母不同，但它们表示同一个函数．例5 设2()23f x x x =-+，求(0)f ，(1)f ，()f x -． 解 这是已知函数的表达式，求函数在指定点的函数值．(0)f 是自变量x 取0时函数()f x 的函数值，为求(0)f ，需将表达式中的换为数值0即可，则2(0)02033f =-⨯+=．同理可得2(1)12132f =-⨯+=，22()()2()323f x x x x x -=--⨯-+=++．例6 设x 为任一实数，不超过x 的最大整数称为x 的整数部分，记作[]x ，[]x y =为取整函数由定义可知，031=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，[]12=，[]π3=，151-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-． 其图形如图1-1所示．2．函数的表示法（1）列表法例7 下表是某家庭2014年每月的用水量，其中Y 表示某家庭月用水量，M 表示2014年间的月份．该表反映了某家庭一年的每月用水量与月份之间的函数关系．这种将一系列自变量x 的数值与对应的函数值y 列成表格表示函数的方法称为列表法．列表法的优点是直观，使用方便，在实际生活中经常使用．（2）图形法用图形表示函数的方法称为图形法．这种方法直观性强，函数的变化一目了然，且便于研究函数的几何性质．（3）公式法圆的面积A 与半径r 之间的函数关系用2πA r =来表示，这种用数学表达式表示函数的方法称为公式法（或解析法）．公式法便于理论分析和计算．在实际应用中，三种方法常常结合使用．例8 绝对值函数f (x )＝|x |＝⎩⎨⎧x ， x ≥0－x ，x ＜0，其图形如图1-2所示． 图1-1例9 符号函数10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，其图形如图1-3所示．上述两个函数，自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示，这样的函数称为分段函数．1.1.3函数的几种特性1．单调性观察图1-4及1-5中两个函数的图像．在区间)(∞+-∞，，沿着x 轴的正方向看，函数)(x f y =的图形是一条上升的曲线，也就是随着自变量的增加，函数值也增大；而函数()y g x =的图形是一条下降的曲线，也就是随着自变量的增加，函数值反而减小．由此，我们得到函数单调性的定义．设函数)(x f y =在区间I 上有定义．如果对I 内的任意两点1x 和2x ，当21x x <时，都有图1-4图1-3图1-2（1）)()(21x f x f <，则称函数)(x f y =在区间I 上是单调增加的； （2）)()(21x f x f >，则称函数)(x f y =在区间I 上是单调减少的．某区间内单调增加和单调减少的函数统称为该区间内的单调函数．若)(x f 在区间I 上是单调函数，则称区间I 为函数)(x f 的单调区间．由单调函数的定义可知，讨论函数的单调性时，必须指明自变量的所在区间．我们称函数2)(x x f =在)0(∞+，上是单调增加的，在)0(，-∞上是单调减少的． 对于较复杂的函数，如果利用单调函数的定义判断函数在某个区间上的单调性是比较困难的，我们将在第三章中介绍判断函数单调性的一般方法．2．奇偶性 观察函数x x f 1)(=的图像（图1-6）．从图中可以看到，曲线xx f 1)(=关于原点对称，也就是当自变量取一对相反数时，其对应的函数值也互为相反数．当我们观察函数2)(x x f =的图像（图1-7）时会发现，函数2)(x x f =的图像关于y 轴对称，当自变量取一对相反数时，其对应的函数值相等．由此，我们得到函数奇偶性的定义．设函数)(x f y =的定义域D 关于原点对称．如果对于任意的x D ∈，都有 （1）)()(x f x f -=-，则称)(x f y =为奇函数； （2）)()(x f x f =-，则称)(x f y =为偶函数．奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称．（图1-7图1-63．有界性观察函数x x f sin )(=的图像（图1-15）．从图中可以看到，函数x x f sin )(=的图像介于直线1y =-与1y =之间，也就是在区间)(∞+-∞，内， 对于任意的x ，都有1sin ≤x ，这时称x x f sin )(=在区间)(∞+-∞，上是有界函数．从图1-8中可以看到， 在区间)0(∞+，上，函数()ln f x x =的图像向上、向下 都无限延伸，这时称在()ln f x x =区间)0(∞+，上 是无界函数．设函数)(x f y =在区间I 定义，如果存在一个正数M ，使得对任意的I ∈x ，都有()f x M ≤，则称函数)(x f y =在区间I 上是有界函数；否则称函数)(x f y =在区间I 上是无界函数．讨论函数的有界性必须指明所在的区间．如函数xx f 1)(=在区间[]12，内有11≤x ，所以函数x x f 1)(=在[]12，内有界，但函数xx f 1)(=在)10(，内是无界的（图1-6）． 4．周期性我们知道，三角函数都是周期函数．一般地，设函数()f x 的定义域为D ，如果存在一个非零的实数T ，对于任意的x D ∈，都有()()f x T f x +=，则称()f x 是周期函数，T 为函数()f x 的周期．如果T 是函数()f x 的周期，那么2T ±，3T ±等都是它的周期．正周期中最小的周期为最小正周期．通常，我们所说的函数的周期，指的是最小正周期．如x y sin =的周期是π2；x y tan =的周期是π.1.1.4反函数对函数2y x =，x 是自变量，y 是因变量．如果从此式中解出x ，得到12x y =．在12x y =中，对于任一个实数y ，都有唯一的一个x 与之对应．因此，12x y =也是一个函数，称之为2y x =的反函数．设函数)(x f y =的定义域为D ，值域为M ．如果对于每一个y M ∈，在D 中有唯一的一个x ，使得()f x y =，这就确定了一个得到一个以y 为自变量，x 为因变量，定义在M 上的函数，这个函数称为)(x f y =的反函数，记作)(1y fx -=，y M ∈．因习惯上x 表示自变量，y 表示因变量，因此)(x f y =的反函数记作)(1x fy -=，x M ∈由反函数的定义可知，如果函数)(x f y =的定义域与值域之间按照对应法则f 建立了一一对应的关系，那么)(x f y =就有反函数．显然，单调函数一定有反函数．而且)(x f y =的定义域D 为其反函数)(1x fy -=的值域，值域M 为其反函数)(1x fy -=的定义域．从图像上看，在同一直角坐标系中，函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=的图象关于直线x y =对称（图1-9）．例10 求函数12-=x y ，)(∞+-∞∈，x解 先从12-=x y ，)(∞+-∞∈，x 中解出x )1(21+=y x ， 再交换x 与y 的位置，得所求的反函数为 )1(21+=x y ，)(∞+-∞∈，x ． 1(x )图1-9从上例可以总结出求反函数的步骤： （1）先由原解析式中解出x ；（2）再将x 、y 互换．习题1.11．解下列绝对值不等式：（1）21<-x ； （2）312<+x ； （3）12≥-x ； （4）25≥+x ． 2．判断下列每组的两个函数是否表示同一个函数：（1）1+=x y ，112--=x x y ； （2） 1-=x y ，2)1(-=x y ；（3） x y =，()2x y =； （4）1ln-=x y ，)1ln(21-=x y ． 3．求下列函数的定义域： （1）211x y -=； （2）312-+-=x x y ；（3）)4ln(22x x x y -+--=； （4）)5(log 313x xy -+-=. 4．设3()3f x x x =-，求(0)f ，(1)f ，(1)f -，()f x -． 5．判断下列函数的奇偶性：（1）x x y cos 2=； （2）3224+-=x x y ； （3）x x y sin 3+=； （4）xxy +-=11ln . 6．求下列函数的反函数：（1）13+=x y ； （2）3x y =.1.2 初等函数1.2.1基本初等函数我们学过的常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数，统称为基本初等函数．1．常数函数C y =（C 为常数），)(∞+-∞∈，x ． 其图形为一条平行或重合于x 轴的直线（图1-10）．2．幂函数a x y =（a 为实数）．幂函数的定义域随a 的取值不同而不同，但不论a 取何值，它在区间)0(∞+，内总是有定义的，且图形均过11(，)点．函数x y =，2x y =，xy 1=，21x x y ==的图形见图1-11．3．指数函数)10(≠>=a a a y x ，，)(∞+-∞∈，x ，)0(∞+∈，y ．如图1-12所示，指数函数的图像过定点)10(，．当1>a 时，是单调增加的；当10<<a 时，是单调减少的．图1-10=x图1-11y =1)4．对数函数)10(log ≠>=a a x y a ，，)0(∞+∈，x ，)(∞+-∞∈，y 对数函数和指数函数互为反函数．该函数过定点)01(，．当1>a 时，是单调增加的；当10<<a 时，是单调减少的, 如图1-13所示．5．三角函数三角函数是下列六个函数的统称，分别为：（1）正弦函数x y sin =，)(∞+-∞∈，x ，]11[，-∈y ，奇函数，周期为π2（图1-14）；（2）余弦函数x y cos =，)(∞+-∞∈，x ，]11[，-∈y ，偶函数，周期为π2（图1-15）；（3）正切函数x y tan =，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠∈Z k k x x x ，且2ππR )(∞+-∞∈，y ，奇函数，周期为π（图1-16）；图1-15图1-14图1-13图1-12（4）余切函数x y cot =，{}Z k k x x x ∈≠∈，且πR ，)(∞+-∞∈，y ，奇函数，周期为π（图1-17）；（5）正割函数x x y cos 1sec ==； （6）余割函数xx y sin 1csc ==． 6．反三角函数常用的反三角函数有以下四个：（1）反正弦函数x y arcsin =，]11[，-∈x ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈2π2π，y （图1-18）； （2）反余弦函数x y arccos =，]11[，-∈x ，π]0[，∈y （图1-19）；（3）反正切函数x y arctan =，)(∞+-∞∈，x ，⎪⎭⎫⎝⎛-∈2π2π，y （图1-20）； （4）反余切函数x y arccot =，)(∞+-∞∈，x ，π)0(，∈y （图1-21）． xx图1-191.2.2复合函数草原发生火灾，假设过火区域是一半径为r 的圆形．在没有开始采取救火措施之前，火势不断蔓延，假设半径r 为时间t 的函数，则被烧毁的草原面积A 通过半径r 成为时间t 的函数()222ππt +1A r ==．函数()22πt +1A =就是由2πA r =和21r t =+复合而成的函数．设函数)(u f y =的定义域为D f ，函数)(x u ϕ=的值域为M ϕ，若f M D ϕ≠∅，则[])(x f y ϕ=称为由)(u f y =与)(x u ϕ=复合而成的复合函数．其中()f u 为外层函数，()x ϕ为内层函数，u 为中间变量．如函数ln y u =，21u x =+，因为12+=x u 的值域)1[∞+，包含在u y ln =的定义域)0(∞+，内，所以u y ln =与12+=x u 可构成复合函数)1ln(2+=x y ．复合函数还可推广到由三个及以上函数的有限次复合．如函数uy e =、v u sin =和x v =可复合成xy sine =．需要指出的是，并不是任何两个函数都可以复合的．如函数u y ln =和12--=x u ，由于12--=x u 的值域)1(--∞，与u y ln =的定义域），（∞+0无公共部分，故u y ln =和12--=x u 不能构成复合函数．例1 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的？ （1）x y sin ln =； （2）xy -=e．解 （1）lnsin y x =是由u y ln =，x u sin =复合而成的； （2）xy -=e是由uy e =，x u -=复合而成的．1.2.3初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合，且可用一个解析式表示的函数，称为初等函数．例如：32ln x y =，xy 1arctan1+=等都是初等函数，而分段函数 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+<<--≤-=，，，，，，2122sin 21)(x x x x x x x f 就不是初等函数．例2 将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解：（1）)1ln(2x x y ++=； （2）121cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y ．解（1）令21x x u ++=，则u y ln =；又令21x v +=，则得到v x u +=，于是)1ln(2x x y ++=由下列函数构成：u y ln =，v x u +=，21x v +=．（2）令x x u 1cos 2=，则1-=u y ；令x v 1=，则v x u cos 2=，于是121cos -⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y 由下列函数构成：1-=u y ，v x u cos 2=，xv 1=．习题1.21．写出下列复合函数：（1）uy 3=，12+=x u ； （2）u y ln =，12-=x u ；（3）u y =，21x u +=； （4）u y sin =，xu 1=； （5）uy e =，2v u =，x v sin =； （6）u y arctan =，v u =，12+=x v ．2．指出下列函数是怎样复合而成的：（1）)1ln(-=x y ； （2）xy 32=； （3）5)12(+=x y ； （4）xy 1sine=．3．将下列函数按基本初等函数的复合与四则运算形式分解：（1）323x y +=； （2）32)21(x x y ++=；（3）31sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y x； （4）21cos x y -=．1.3 极限1.3.1数列的极限1．数列在《庄子·天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”之说．每天截下的木棰的长度为12，14，18，…，12n ，…．这样得到的一列数就构成一个数列．按正整数顺序排成的一列数称为数列，记作{}n x ．数列中的每一个数为数列的项，第n 项为通项．如上面数列的通项12n n x =，可记作数列12n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭．数列1，2，3，… n ，…的通项n x n =，记作{}n2．数列的极限 观察数列21，41，81，…，12n ，… 不难看到，当n 无限增大时，数列的通项12n 无限接近于0．由此，我们得到数列极限的定义．若当n 无限增大时，数列{}n x 无限接近于一确定的常数A ，则称常数A 为数列{}n x 的极限（或数列{}n x 收敛于A ），记作lim n n x A →∞= （∞→n 时，n x A →）．如果不存在这样的常数A ，则称该数列的极限不存在，亦称该数列发散．例1 观察下面数列{}n x 的变化趋势，并写出它们的极限．（1）nn x n 1+=； （2）(1)12n n x -+=；（3）4=n x ； （4）2nn x =． 解 （1）数列1n n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项依次为2，23，34，45……，当n 无限增大时，n x 无限接近于1，所以11lim=+∞→nn n ．（2）数列(1)12n ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的各项依次为0，1，0，1，……，当n 无限增大时，n x 在0与1之间来回摆动，不可能无限接近于一个常数， 所以lim n n x →∞不存在．（3）数列{}4为常数数列，无论n 取怎样的正整数，n x 始终为4，所以44lim =∞→n ．（4）数列{}2n各项依次为2，4，8，16……，当n 无限增大时，2n的值越来越大，不可能接近于一个常数，所以lim n n x →∞不存在．对数列{}2n来说，当n 无限增大时，数列{}2n的各项取正值且无限增大．这种数列虽无极限，却有一定的变化趋势．针对这种情况，我们借用极限的形式来表示数列的变化趋势，记作lim 2n n →∞=+∞（或∞→n 时，2n →+∞），并称称其极限为正无穷大从上面的例子可以看出： （1）并非所有数列都有极限．（2）一个常数数列的极限等于这个常数本身，即C C n =∞→lim （C 为常数）．1.3.2函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f y =的极限观察函数xx f 1)(=的图像（图1-7）,可以发现当x 的绝对值无限增大时，函数)(x f 无限接近于一个确定的常数0，这时我们称常数0为当∞→x 时函数xx f 1)(=的极限．（1）当∞→x 时，函数)(x f y =的极限设函数)(x f y =在a x >时有定义（0a >），如果当自变量x 的绝对值无限增大时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当∞→x 时函数)(x f y =的极限，记作lim ()x f x A →∞=(或当∞→x 时，()f x A →)．（2）当x →+∞及x →-∞时，函数)(x f y =的极限观察函数xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21和xy 2=的图像（图1-22）．当+∞→x 时，函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21无限地接近于一个确定的常数0，而当-∞→x 时，函1-22数xy 2=无限地接近于一个确定的常数0．由此，我们可以得到以下两个定义；设函数)(x f y =在x a >时有定义（0a >），如果当自变量x 无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当x →+∞时，函数)(x f y =的极限，记作lim ()x f x A →+∞=(或当x →+∞时，()f x A →)．设函数)(x f y =在x a <-时有定义（0a >），如果0x x <且无限增大时，函数)(x f y =无限趋近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当x →-∞时，函数)(x f y =的极限，记作lim ()x f x A →-∞=(或当x →-∞时，()f x A →)．由上述定义可得如下结论lim ()x f x →∞存在的充要条件是lim ()x f x →+∞与lim ()x f x →-∞都存在且相等，即lim ()x f x A →∞=⇔lim ()lim ()x x f x f x A →+∞→-∞==．例2 讨论下列函数当∞→x 时的极限．（1）xy 1=； （2）x y arctan =． 解：（1）当x 无限增大时，x1无限接近于0， 所以x x 1lim ∞→=0．（2）由x y arctan =的图形（图1-20）知：2πarctan lim =+∞→x x ，2πarctan lim -=-∞→x x ， 因x x x x arctan lim arctan lim -∞→+∞→≠，所以x x arctan lim ∞→不存在．2．当0x x →时，函数)(x f y =的极限 （1）当0x x →时，函数)(x f y =的极限先考察当1→x 时，函数xy 2=的变化趋势，当x 从1的左右两旁无限接近于1时，曲线x y 2=上无限接近于点(12)，，即函数xy 2=的值无限接近于常数2，所以22lim 1=→x x ．(如图1-23)设函数)(x f y =在0x 的附近有定义，如果当x 无限趋近于0x 时，)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 当0x x →时函数)(x f 的极限，记作lim ()x x f x A →=或当0x x →时，()f x A →．（2）当0x x -→ 及0x x +→时，函数)(x f y =的极限分段函数在分段点的左右两侧的表达式不同，还有些函数只在某个点的一侧有定义，函数在这样的点处的极限只能从单侧讨论．设函数)(x f y =在点0x 的附近有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）近旁无限接近于0x ，记作-→0x x （+→0x x ）时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作0lim ()x x f x A -→=或0(0)f x A -=（0lim ()x x f x A +→=或0(0)f x A +=）．左极限与右极限统称单侧极限．由函数)(x f y =在点0x 处的极限及在该点处的左右极限可得如下结论：lim ()x x f x A →=的充要条件是=-→)(lim 0x f x x 0lim ()x x f x A +→=．从定义中可以看出：（1）定义中不要求)(x f 在点0x 处有定义；（2）由于分段函数在分段点0x 的两侧往往有不同的表达式，因此在讨论分段函数)(x f 在0x x →的极限时，需要先讨论函数在0x 的左极限和右极限，然后再利用函数极限与左、右极限的关系，判定函数的极限是否存在．例3 考察当1x →时，函数211x y x -=-的变化趋势，并求1x →时的极限．解 从函数211x y x -=-的图形（图1-24）可知，当x 从1的左、右两旁无限趋近于1时，函数211x y x -=-的值无限趋近于常数2，所以2111lim lim(1)21x x x x x →→-=+=-． 例4 讨论下列函数当0→x 时的极限．（1）10()sgn 0010x f x x x x >⎧⎪===⎨⎪-<⎩，，，，，； （2）10()10x x f x x x +⎧=⎨<⎩，≥，-，．解 （1）由图1-3可以看出，11lim sgn lim 00==++→→x x x ，1)1(lim sgn lim 0-=-=--→→x x x ，所以x x sgn lim 0→不存在．（2）由图1-25可以看出，1)1(lim )(lim 00=+=++→→x x f x x ，1)1(lim )(lim 00=-=--→→x x f x x ，所以1)(lim 0=→x f x ．习题1.31．观察下面数列的变化趋势，并写出它们的极限：（1）ny 1011-=； （2）11+-=n n y ； （3）n y n 1)1(-=； （4）1+=n ny ．2．观察并写出下列函数的极限： （1）21limx x ∞→； （2）xx 2lim -∞→； 图1-24图1-25（3）xx ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→101lim ； （4）⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→x x 12lim ；（5）x x 4lim →； （6）24lim 2--→x x x ．3．设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤<-=，，，，，，111001)(2x x x x x x f（1）函数)(x f 在0=x 处的左、右极限是否存在？ （2）函数)(x f 在0=x 处的极限是否存在？ （3）函数)(x f 在1=x 处的极限是否存在？1.4 无穷小与无穷大在函数极限中，有两种特殊情形：一种是函数的绝对值“无限变小”；一种是函数的绝对值“无限变大”．由于它们在理论上和应用上的重要性，下面分别研究它们．1.4.1无穷小1．无穷小的概念当0x →时，函数2()0f x x =→；当∞→x 时，函数1()0f x x=→，这两个函数有一个共同的特点：在自变量的某种变化趋势下以0为极限，这时我们称之为无穷小．若函数)(x f 在自变量x 的某一变化过程中以零为极限，则称函数)(x f 为这一变化过程中的无穷小量，简称为无穷小．例如因0)1(lim 21=-→x x ，则函数2)1()(-=x x f 是当1→x 时的无穷小．理解无穷小量时应注意以下几点：（1）无穷小是用极限来定义的，因此，说某个函数是无穷小时，必须指明自变量的变化趋势．比如函数2x y =是当0→x 时的无穷小量，但1→x 当时，12→=x y ，不是无穷小量．（2）无穷小是极限为0的函数，不是一个很小的数．常数中只有“0”可以看成无穷小，这是因为lim00=．例1 指出下列函数在自变量怎样的变化趋势下是无穷小量？（1）()2xf x =； （2）()ln f x x =．解 （1）由()2x f x =的图像可知，lim 20x x →-∞=．所以，当x →-∞时，()2xf x =是无穷小量．（2）由()ln f x x =的图像可知，1limln 0x x →=．所以，当1x →时，()ln f x x =是无穷小量．2．无穷小的性质性质1 有限个无穷小的代数和为无穷小． 性质2 有限个无穷小的乘积为无穷小． 性质3 有界变量与无穷小的乘积为无穷小． 例2 求)sin (lim 3x x x +→．解：因为0→x 时，3x 和x sin 都是无穷小，由性质1知,x x sin 3+是0→x 的无穷小，所以0)sin (lim 30=+→x x x ．例3 求xxx sin lim∞→．解： 因为01lim =∞→xx ，而1sin ≤x 即x sin 有界, 由无穷小的性质2得0sin lim =∞→xx x ． 1.4.2无穷大我们知道，当x 从左右两侧无限趋近于0时，函数1()f x x=的绝对值无限增大；当x →-∞时，函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的绝对值也无限增大．如果在自变量x 的某一变化过程中，函数)(x f 的绝对值无限增大，则函数)(x f 称为在自变量x 的这一变化过程中的无穷大量，简称为无穷大，记为∞=∞→→)(lim )(0x f x x x ．例如因+∞=∞→2lim x x ，所以2)(x x f =是当∞→x 时的无穷大．理解无穷大量时，应注意以下几点：（1）无穷大是绝对值无限增大的函数，不是一个很大的数．（2）无穷大与自变量的变化趋势相关．因此，说某个函数是无穷大时，必须指明自变量的变化趋势．（3）我们借用了极限的符号来表示无穷大，并不表示无穷大量的极限存在．由极限的定义可知，无穷大量是极限不存在的情形．例4 指出下列函数在自变量怎样的变化趋势下是无穷大量？（1）()2xf x =； （2）()ln f x x =．解 （1）由()2x f x =的图像可知，lim 2x x →+∞=+∞．所以，当x →+∞时，()2xf x =是无穷大量．（2）由()ln f x x =的图像可知，0lim ln x x -→=-∞，lim ln x x →+∞=+∞．所以，当0x -→及x →+∞时，()ln f x x =都是无穷大量．2．无穷小与无穷大的关系由无穷小与无穷大的定义可知，二者之间有如下关系： 在自变量的同一变化过程中， （1）若)(x f 为无穷大，则)(1x f 为无穷小； （2）若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则)(1x f 为无穷大． 例如，0→x 时，2x 是无穷小，而21x 是无穷大；当+∞→x 时，x e 是无穷大，xxe 1e =-是无穷小．习题1.41．选择题：（1）当∞→x 时，下列变量中是无穷小量的是（ ）． （A ）x1； （B ）x cos ； （C ）22x ； （D ）xe ． （2）当0x →时，下列变量中是无穷大量的是（ ）．（A ）x1； （B ）sin x ； （C ）2x ； （D ）2e ． （3）=→xx x 1sin lim 0（ ）．（A ）0； （B ） 1； （C ）1-； （D ）不存在． 2．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？在自变量怎样变化时是无穷大？ （1）1)(2-=x x f ； （2）2)(+=x xx f ． 3． 求下列极限： （1）x x x sin lim ∞→； （2）xxx arctan lim ∞→．1.5 极限的运算法则我们已经讨论了函数极限的概念，本节先介绍极限的四则运算法则，以便求解较复杂函数的极限，后面我们还将介绍其他求极限的方法．定理 设lim ()f x A =，lim ()g x B =,则（1）[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x A B ±=±=±； （2）[]lim ()()lim ()lim ()f x g x f x g x AB ==；（3）lim ()()lim()lim ()f x f x Ag x g x B==(0)B ≠． 说明：1.上述运算法则对于其他情形也成立．2.法则（1）、（2）可以推广到有限个具有极限的函数的情形．3.对于数列极限也是有类似的四则运算法则． 推论 设)(lim x f 存在，C 为常数，n 为正整数，则 （1）[]lim ()lim ()Cf x C f x =；（2）[][]nnx f x f )(lim )(lim =．定理给极限求解带来极大方便，但运用定理时要注意定理的条件，尤其是在除法运算中，分母的极限不为零.例1 求)53(lim 22+-→x x x ．解 )53(lim 22+-→x x x 5lim 3lim lim 2222→→→+-=x x x x x ()5lim 3lim 222+-=→→x xx x52322+⋅-=3=． 由该题计算结果可知，一般地，对多项式n n n n n a x a x a x a x p ++++=--1110)( （其中n a a a ，，10是常数，n 为正整数），有)()(lim 00111000x P a x a x a x a x P n n n n n n x x =++++=--→ ．例2 求1532lim 231+-+-→x x x x ．解 因分母的极限07)15(lim 21≠=+--→x x x由商的运算法则，得71)15(lim )32(lim 1532lim2131231=+-+=+-+-→-→-→x x x x x x x x x ． 例3 求211lim23x x x x →++-． 解 易看出，分母的极限为0，不能用商的极限法则，但分子的极限为2≠0，可将分式取倒数后用商的极限法则，即21230lim 012x x x x →+-==+． 由无穷小与无穷大的关系可知211lim23x x x x →+=∞+-．一般地，设()f x 是有理分式mm m m nn n n m n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x f ++++++++==----11101110)()()( ， （1）若0)(0≠x Q m ，则有)()()()(lim )(lim )(lim 000000x f x Q x P x Q x P x f m n m x x n x x x x ===→→→；（2）若0()0m Q x =，则有lim ()x x f x →=∞．例4 求321lim 221-+-→x x x x ．分析 当1x →时，分子，分母的极限均为0，我们称它为00型未定式．00型未定式不能用商的极限的运算法则．观察分式的分子和分母，都有一个极限为0的公因子)1(-x ：)1)(1(12+-=-x x x ，)3)(1(322+-=-+x x x x ．因此，可通过约去这个不为零的公因子后再求极限．解 214231lim )3)(1()1)(1(lim 321lim 11221==++=+-+-=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ． 从上例可以看出，求00型未定式极限常用的方法是：先将函数的分子，分母因式分解，然后约去公共的“零因子”，最后代入求函数值．例5 求7552lim 22-+-∞→x x x x ．解 因为∞→x 时，分子与分母的极限都为无穷大，故不能用商的极限法则．可先将分子与分母同时除以2x ，再求解．52715lim 12lim 71512lim 7552lim 222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+-=-+-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x x x ．例6 求13572lim 252--++∞→x x x x x ．解 先将分子与分母同时除以5x ，再求极限，得13572lim 252--++∞→x x x x x 53543113572limxx x x x x --++=∞→030==． 例7 求573125lim 223+-+-∞→x x x x x ．解 用3x 除分子与分母，并利用例4的思路，573125lim 223+-+-∞→x x x x x 323573125lim xx x x x x +-+-=∞→∞=． 根据例5、例6、例7，可得如下一般结论：若mm m m nn n n m n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P x f ++++++++==----11101110)()()( ，则 )()(lim )(lim x Q x P x f mn x x ∞→∞→==⎩⎨⎧a 0b 0， n ＝m 0， n ＜m ∞， n ＞m．求分式的极限时，若分子、分母的极限都是无穷大∞，通常称这种极限为∞∞型未定式．例5、例6、例7都是∞∞型未定式． 例8 求⎪⎭⎫⎝⎛---→121lim 21x x xx ．分析 当1→x 时，∞→-1x x ，∞→-122x ．而∞-∞不能运算，此种极限称为∞-∞型未定式．对这种极限，可先通分化简，再求极限．解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛---→121lim 21x x xx 12)1(lim 21--+=→x x x x 12lim 221--+=→x x x x )1)(1()2)(1(lim 1+-+-=→x x x x x 12lim1++=→x x x 23=．习题1.51．求下列极限：（1）2lim(23)x x x →-+ （2）21lim(321)x x x →-+（3）212lim 3x x x →-+ （4）24lim 22--→x x x ；（5）223lim 22-+-→x x x x ； （6）64lim 222-+-→x x x x ；（7）32553lim 22-++-∞→x x x x x ； （8） 232lim 23x x x →+∞-+（9）21lim 3x x x →+∞-+； （10）xx x x x sin sin lim +-∞→；（11）2214lim 24x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； （12）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→1311lim 221x x x x ； （13）xx x --→11lim； （14）321lim3--+→x x x ．2．已知432lim23=-+-→x kx x x ，求k 值． 1.6 两个重要极限1.6.1第一重要极限1sin lim0=→xxx当x 的绝对值逐渐变小时，我们来考察x x sin 的变化趋势．当0→x 时，直接计算xxsin 的函数值得下表：表1-3函数sin ()xf x x=的图像如图（1-26）所示．可见，当0→x 时，xxsin 的值无限接近于1．根据极限的定义，有1sin lim0=→xxx ．例1 求xxx tan lim 0→．解 这是00型未定式．考虑到sin tan cos x x x=，可以利用第一重要极限与极限运算的乘积法则，有x x x tan lim0→0sin 1lim cos x x x x →=0sin 1lim cos x x x x →=00sin 1lim lim cos x x x x x →→=111==． 例2 求x xx 3sin lim 0→．解 由于xxx x 33sin 33sin =， 令t x =3，当0→x 时，0→t ．由第一个重要极限得x x x 3sin lim0→x x x 33sin 3lim 0→=3sin lim 30==→t t t ． 从上例可以看出，若将极限1sin lim 0=→xxx 中的自变量x 换成x 的函数)(x ϕ，则有公式1)()(sin lim0)(=→x x x ϕϕϕ．例3 求20cos 1limxxx -→． 解 20cos 1lim x x x -→2202sin 2limx x x →=22022sin lim 21⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 2022sin lim 21⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→x x x 21=． 例4 求330)(sin sin lim x x x →．解 330)(sin sin lim x x x →33330)(sin sin lim x x x x x →=330330)(sin lim sin lim x x x x x x →→=1=．。
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目录一、函数与极限 (2)1、会集的看法··············································22、常量与变量..............................................3 2、函数..................................................4 3、函数的简单性态............................................4 4、反函数...................................................5 5、复合函数..................................................6 6、初等函数..................................................6 7、双曲函数及反双曲函数......................................7 8、数列的极限..............................................8 9、函数的极限..............................................9 10、函数极限的运算规则. (11)一、函数与极限1、会集的看法一般地我把研究象称元素，把一些元素成的体叫会集（称集）。
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高等数学电子版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一章极限与连续第一节 数列的极限一、数列极限的概念按照某一法则，对于每一个+∈N n ，对应一个确定的实数n x ，将这些实数按下标n 从小到大排列，得到一个序列,,,,21n x x x称为数列，简记为数列}{n x ，n x 称为数列的一般项。
例如： ,1,,43,32,21+n n ,2,,8,4,2n ,21,,81,41,21n ,)1(,,1,1,11+--n ,)1(,,56,43,34,21,21n n n --+ 一般项分别为1+n n ，n 2，n 21，1)1(+-n ，n n n 1)1(--+ 数列}{n x 可看成自变量取正整数n 的函数，即)(n f x n =，+∈N n 设数列n n x n n 1)1(--+=，来说明数列}{n x 以1为极限。
为使100111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ，只需要100>n ，即从101项以后各项都满足1001|1|<-n x ， 为使100000111)1(|1|1<=--+=--n n n x n n ，只需要100000>n ，即从100001项以后各项都满足1000001|1|<-n x ， 为使ε<=--+=--n n n x n n 11)1(|1|1（ε是任意给定的小正数），只需要ε1>n ，即当ε1>n 以后，各项都满足ε<-|1|n x 。
令]1[ε=N ，当N n >时，ε1>n ，因此有ε<-|1|n x ，即任意给定小正数ε，总存在正整数]1[ε=N ，当N n >时的一切n x 都满足ε<-|1|n x ，则 定义：设}{n x 为一数列，如果存在常数a ，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N ，使得当N n >时的一切n x 都满足不等式ε<-||a x n则说常数a 是数列}{n x 的极限，或者说数列}{n x 收敛于a ，记为a x n n =∞→lim 或 a x n →)(∞→n 如果不存在这样的常数a ，则说数列}{n x 没有极限，或者说数列}{n x 发散。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作∅，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即A⊆A②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。
记作A ∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。
⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。
记作A ∩B。
即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。
⑶、补集：①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。
通常记作U。
②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。
简称为集合A的补集，记作C U A。
即C U A＝｛x|x∈U，且x∉A｝。
集合中元素的个数⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。
⑵、用card来表示有限集中元素的个数。
例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。
⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B)我的问题：1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C ＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。
学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。
⑴、A∪B；⑵、A∩B。
2、在平面直角坐标系中，集合C＝{(x,y)|y=x}表示直线y＝x，从这个角度看，集合D={(x,y)|方程组：2x-y=1,x+4y=5}表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。
3、已知集合A={x|1≤x≤3}，B＝{x|(x-1)(x-a)=0}。
试判断B是不是A的子集？是否存在实数a使A ＝B成立？4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数与交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无限集合A＝｛1，2，3，4，…，n，…｝，B＝｛2，4，6，8，…，2n，…｝，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、常量与变量⑴、变量的定义：我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。
注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。
⑵、变量的表示：如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。
在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。
区间的名称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间a≤x≤b[a，b]开区间a＜x＜b（a，b）半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：[a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞；(-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b；(-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。
⑶、邻域：设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x 的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。
2、函数⑴、函数的定义：如果当变量x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则f 总有确定的数值与它对应，则称y 是x 的函数。
变量x 的变化范围叫做这个函数的定义域。
通常x 叫做自变量，y 叫做函数值（或因变量），变量y 的变化范围叫做这个函数的值域。
注：为了表明y 是x 的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示。
这里的字母"f"、"F"表示y 与x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的。
如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。
这里我们只讨论单值函数。
⑵、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。
由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，我们就称两个函数相等。
⑶、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x 2+y 2=r2b)：表格法：将一系列的自变量值与对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。
例：在实际应用中，我们经常会用到的平方表，三角函数表等都是用表格法表示的函数。
c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。
一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。
例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简单性态⑴、函数的有界性：如果对属于某一区间I 的所有x 值总有│f(x)│≤M 成立，其中M 是一个与x 无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I 有界，否则便称无界。
注：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数cosx 在(-∞,+∞)内是有界的.⑵、函数的单调性：如果函数在区间(a,b)内随着x 增大而增大，即：对于(a,b)内任意两点x 1及x 2，当x 1＜x 2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调增加的。
如果函数在区间(a,b)内随着x 增大而减小，即：对于(a,b)内任意两点x 1及x 2，当x 1＜x 2时，有，则称函数在区间(a,b)内是单调减小的。
例题：函数=x2在区间(-∞,0)上是单调减小的，在区间(0,+∞)上是单调增加的。
⑶、函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x都满足=-，则叫做奇函数。
注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。
⑷、函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。
注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。
例题：函数是以2π为周期的周期函数；函数tgx是以π为周期的周期函数。
4、反函数时，变量x在函数的⑴、反函数的定义：设有函数，若变量y在函数的值域内任取一值y定义域内必有一值x与之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。
⑵、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为R，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：y=x2，其定义域为(-∞,+∞)，值域为[0,+∞).对于y取定的非负值,可求得x=±.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-∞,+∞)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。
如果我们加上条件，要求x≥0，则对y≥0、x=就是y=x2在要求x≥0时的反函数。
即是：函数在此要求下严格增(减).⑶、反函数的性质：在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x对称的。
例题：函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的。
如右图所示：5、复合函数复合函数的定义：若y是u 的函数：，而u又是x 的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。
注：并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。
例题：函数与函数是不能复合成一个函数的。
因为对于的定义域(-∞,+∞)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。
6、初等函数⑴、基本初等函数：我们最常用的有五种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。
下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值,y总为正数;b):当x=0时,y=1.对数函数a):其图形总位于y 轴右侧,并过(1,0)点b):当a＞1时,在区间(0,1)的值为负；在区间(-,+∞)的值为正；在定义域内单调增.幂函数a 为任意实数这里只画出部分函数图形的一部分。
令a=m/na):当m 为偶数n 为奇数时,y 是偶函数;b):当m,n 都是奇数时,y 是奇函数;c):当m 奇n 偶时,y 在(-∞,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数是以2π为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且反三角函数(反正弦函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在[-π/2,π/2]上,并称其为反正弦函数的主值.⑵、初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例题：是初等函数。