终边相同的角练习
第五章：三角函数 章末测试(解析版)
第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误 对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=， 即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=， 解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位 【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=， 所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦， 结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（ ）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ， 所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（ ） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确． 假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=， 由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴 【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈， 由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=， 所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=， 则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >， 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。
教师版__任意角和弧度制知识点和练习
9.一扇形半径长与弧长之比是3：，则该扇形所含弓形面积与该扇形的
面积之比为（ ）
（A）（B）（C） (D)
针对练习
1．下列角中终边与330°相同的角是（ ）
Α.30° B.-30° C.630° D.-630°
2．下列命题正确的是（ ）
A.终边相同的角一定相等 B.第一象限的角都是锐角。 C.锐角都是第一象
12．已知是第二象限角，且则的范围是
.
三、解答题
13. 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象
限角？
（1）
（2）
（3）
14．写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合（用弧度制表示）
（1）
（2）
（3）
于的角是锐角。
其中正确的命题序号是
。
例2：写出终边在直线上的角的集合；
练习：写出终边在直线上的角的集合。 例3： 求两个集合的交集 已知集合，， 练习：1、集合，，则等于（ ）
A、 B、 C、 D、 2、集合，，则等于（ ） （A） （B） （C） （D） 3、，求 例4：判断下列角的集合的关系： 已知集合集合,则（ ）
A．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B．第一象限的角是锐角
C．第二象限的角比第一象限的角大 D．角α是第四象限角的充要条件 是2kπ－
＜α＜2kπ(k∈Z) 14．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A．（2k+1）·180°与（4k±1）·180° B．k·90°与k·180°+90° C．k·180°+30°与k·360°±30° D．k·180°+60°与k·60° 15．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ） A．关于x轴对称 B．关于y轴对称 C．关于原点对称 D．以上 都不对 16．设集合M={α|α=
1.1.1 任意角(备作业)-【上好课】2020-2021学年高一数学同步备课系列(人教A版必修
第1章 1.1.1任意角（备作业）一．选择题1．与角2021︒终边相同的角是A ．221︒B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒【答案】A【解析】与角2021︒终边相同的角是：3602021k ︒+︒，k Z ∈，当5k =-时，与角2021︒终边相同的角是221︒．故选A ．2．2020︒角的终边在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒角的终边在第三象限．故选C ．3．把1485-︒转化为360(0360,)k k Z αα+︒︒<︒∈的形式是A ．454360︒-⨯︒B ．454360-︒-⨯︒C ．455360-︒-⨯︒D ．3155360︒-⨯︒【答案】D【解析】148518003155360315-︒=-︒+︒=-⨯︒+︒，故选D ．4．下面各组角中，终边相同的是A ．390︒，690︒B ．330-︒，750︒C ．480︒，420-︒D ．3000︒，840-︒【答案】B【解析】690390300︒-︒=︒，75033010803360︒+︒=︒=⨯︒，420480900-︒-︒=-︒，30008403840︒+︒=︒，∴只有B 选项中的两个角的差别是整数倍的周角，故选B ．5．下列说法正确的是A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．终边相同的角一定相等D ．不相等的角，终边必定不同【答案】A【解析】锐角的范围是(0,90)︒︒位于第一象限，故A 正确，360100460α=︒+︒=︒是第二象限，但α不是钝角，故B 错误，终边相同的角不一定相等，故C 错误，30α=︒和390α=︒的终边相同，两个角也不相等，故D 错误，故选A ．6．角60180()k k Z α=-︒+︒∈的终边落在A ．第四象限B ．第一、二象限C ．第一象限D ．第二、四象限【答案】D【解析】令0k =，60α=-︒，在第四象限；再令1k =，60180120=-︒+︒=︒，在第二象限，故选D ．7．189︒是A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【答案】C【解析】180189270︒<︒<︒，189∴︒是第三象限角．故选C ．8．下列叙述正确的是A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．钝角是第二象限角C ．第二象限角比第一象限角大D ．不相等的角终边一定不同【答案】B【解析】三角形的内角是第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上，故A 错误；钝角是第二象限角，故B 正确；第二象限角不一定比第一象限角大，如120︒是第二象限角，390︒是第一象限角，120390︒<︒，故C 错误； 不相等的角终边可能相同，如30︒与390︒不相等，但终边相同，故D 错误．故选B ．9．在0︒到360︒范围内，与角120-︒终边相同的角是A ．120︒B ．60︒C ．180︒D ．240︒【答案】D【解析】与120-︒终边相同角的集合为{|120360k αα=-︒+︒，}k Z ∈．取1k =，可得在0︒到360︒范围内，与角120-︒终边相同的角是240︒．故选D ．10．终边在直线y x =上的角α的集合是A ．{|36045k αα=︒+︒，}k Z ∈B ．{|360225k αα=︒+︒，}k Z ∈C ．{|18045k αα=︒+︒，}k Z ∈D ．{|18045k αα=︒-︒，}k Z ∈【答案】C【解析】设终边在直线y x =上的角的集合为P ，则{|36045P k αα==︒+︒，}{|36018045k Z k αα∈=︒+︒+︒，}k Z ∈{|18045k αα==︒+︒，}k Z ∈，故选C ．11．已知角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y 轴正半轴的夹角为30︒，则α的值为A ．480-︒B ．240-︒C ．150︒D ．480︒【答案】D【解析】角α在平面直角坐标系中如图所示，其中射线OA 与y 轴正半轴的夹角为30︒，则α的值为3609030480︒+︒+︒=︒，故选D ．12．与30︒角的终边关于x 轴对称的角的集合为A ．{|36030x x k =︒+︒，}k Z ∈B ．{|36030x x k =︒-︒，}k Z ∈C ．{|360150x x k =︒+︒，}k Z ∈D ．{|360210x x k =︒+︒，}k Z ∈ 【答案】B【解析】与30︒角的终边关于x 轴对称的角中绝对值最小的角为30-︒，又角度旋转一周即360︒后与原角度重合，故与30︒角的终边关于x 轴对称的角的集合为{|36030x x k =︒-︒，}k Z ∈， 故选B ． 二．填空题13．大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是 ．【答案】285-︒【解析】36075285-︒+︒=-︒，故答案为：285-︒．14．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是 ．【答案】960-︒【解析】40分23=小时，23602403⨯︒=︒，因为时针按顺时针旋转，故形成负角，3602240960-︒⨯-︒=-︒．故答案为：960-︒．15．已知990630α-︒<<-︒，且α与120︒角终边相同，则α= ．【答案】960-︒ 【解析】α与120︒角终边相同，360120k α∴=︒+︒，k Z ∈．990360120630k -︒<︒+︒<-︒，1110360750k ∴-︒<︒<-︒．又k Z ∈，3k ∴=-，此时(3)360120960α=-⨯︒+︒=-︒．故答案为：960-︒． 16．若角α的终边与240︒角的终边相同，则2α的终边在第 象限．【答案】二或四【解析】由题意知，240360k α=︒+︒，k z ∈，1201802k α=︒+︒，k z ∈故2α的终边在第二或四象限． 故答案为：二或四．三．解答题17．在360~360-︒︒之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限．（1）790︒（2）20-︒．【答案】（1）在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是70︒和290-︒，是第一象限角；（2）在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是340︒，是第四象限角．【解析】（1）790236070︒=⨯︒+︒，36070290-︒+︒=-︒，所以在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是70︒和290-︒，是第一象限角；（2）20360340-︒=-︒+︒，所以在360~360-︒︒之间与它终边相同的角是340︒，是第四象限角．18．已知角390α=︒（1）角α的终边在第几象限；（2）写出与角α终边相同的角的集合；（3）在360~720-︒︒范围内，写出与α终边相同的角．【答案】（1）角α的终边在第一象限；（2）{|36030k ββ=︒+︒，}k Z ∈;（3）330-︒，30︒，390︒.【解析】（1）39036030︒=︒+︒，30︒是第一象限角，∴角α的终边在第一象限；（2）所有和角α终边相同的角的集合为{|36030k ββ=︒+︒，}k Z ∈；（3）36030k β=︒+︒，∴当1k =-时，330β=-︒，当0k =时，30β=︒，当1k =时，390β=︒，∴在360~720-︒︒范围内，与α终边相同的角是330-︒，30︒，390︒．19．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．【答案】{|30180105180k k αα︒+︒<︒+︒，}k Z ∈． 【解析】如图，终边落在阴影部分的角为：30105α︒<︒或210285α︒<︒， ∴终边落在阴影部分的角的集合为：{|30360105360k k αα︒+︒<︒+︒或210360285360k k α︒+︒<︒+︒，}k Z ∈ {|30180105180k k αα=︒+︒<︒+︒，}k Z ∈．20．已知角β的终边在直线y x =-上．（1）写出角β的集合S ；（2）写出S 中适合不等式360360β-︒<<︒的元素． 【答案】（1）{|135180n ββ=︒+︒，}n Z ∈；（2）225-︒；45-︒；135︒；315︒.【解析】（1）直线y x =-过原点，它是第二、四象限角的平分线所在的直线，故在0~360︒︒范围内终边在直线y x =-上的角有两个：135︒，315︒．因此，终边在直线y x =-上的角的集合{|135360S k ββ==︒+︒，}{|315360k Z k ββ∈=︒+︒，}k Z ∈{|1352180k ββ==︒+︒，}{|135(21)180k Z k ββ∈=︒++︒，}k Z ∈{|135180n ββ==︒+︒，}n Z ∈．（2）由于360360β-︒<<︒，即360135180360n -︒<︒+︒<︒，n Z ∈．解得11544n -<<，n Z ∈．所以2n =-，1-，0，1．所以集合S 中适合不等式360360β-︒<<︒的元素为： 1352180225︒-⨯︒=-︒；135118045︒-⨯︒=-︒；1350180135︒+⨯︒=︒；1351180315︒+⨯︒=︒；21．如图，分别写出适合下列条件的角的集合：（1）终边落在射线OB 上；（2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．【答案】（1）{|60360k αα=︒+︒，}k z ∈；（2）{|30180k αα=︒+︒，}k z ∈;（3）{|3018060180k k αα︒+︒︒+︒，}k z ∈.【解析】由图形得，（1）终边落在射线OB 上的角的集合为：{|60360k αα=︒+︒，}k z ∈，（2）终边落在直线OA 上的角的集合为：{|30180k αα=︒+︒，}k z ∈，（3）终边落在阴影区域内（含边界）的角的集合为： {|3018060180k k αα︒+︒︒+︒，}k z ∈．22．已知9090α-︒<<︒，9090β-︒<<︒，求2βα-的范围．【答案】1351352βα-︒<-<︒【解析】由9090β-︒<<︒，45452β∴-︒<-<︒，那么：()22ββαα-=+-；9090α-︒<<︒，1351352βα∴-︒<-<︒．。
高一任意角与弧度制题型练习(全)
任意角知识梳理一、角的概念的推广1.角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角．①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．例如，画出下列各角：，，．2.在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角．二、终边相同的角的集合设表示任意角，所有与终边相同的角，包括本身构成一个集合，这个集合可记为．集合的每一个元素都与的终边相同，当时，对应元素为．例如，如图，角、角和角都是以射线为终边的角，它们是终边相同的角．特别提醒：为任意角，“”这一条件不能漏；与中间用“”连接，可理解成；当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍．终边不同则表示的角一定不同．三、区间角、区域角1.区间角、区域角的定义介于两个角之间的角的集合叫做区间角，如．终边介于某两角终边之间的角的几何叫做区域角，显然区域角包括无数个区间角．2.区域角的写法（1）若角的终边落在一个扇形区域内，写区域角时，先依逆时针方向由小到大写出一个区间角，然后在它的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．（2）若角的终边落在两个对称的扇形区域内，写区域角时，可以先写出终边落在一个扇形区域内的一个区间角，在此区间角的两端分别加上“”，右端末注明“”即可．例如，求终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合，可先求落在第一象限内的区间角，故终边落在图中阴影内（包括边界）的角的集合为．3.各象限角的集合象限角象限角的集合表示第一象限角第二象限角第三象限角第四象限角四、倍角和分角问题已知角的终边所在的象限，求的终边所在象限．1.代数法由的范围求出的范围．通过分类讨论把写成的形式，然后判断的终边所在的象限．2.几何法画出区域：将坐标系每个象限等分，得个区域．标号：自轴正向起，沿逆时针方向把每个区域依次标上、、、，如图所示（此时）．确定区域：找出与角的终边所在象限标号一致的区域，即为所求．题型训练题型一任意角的概念1.下列四个命题中，正确的是（）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角2.给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③锐角一定是第一象限的角；④小于的角一定是锐角；⑤终边相同的角一定相等．其中正确命题的个数是（）A．1B．2C．3D．43.设集合，，则?题型二终边相同的角的集合1.下列各个角中与2020°终边相同的是（）A．-150°B．680°C．220°D．320°2.写出终边在图中直线上的角的集合．3.写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．4.下列各组中，终边相同的角是（）A．和（）B．和C．和D．和5.若角与的终边关于轴对称，且，则所构成的集合为．6.与2021°终边相同的最小正角是．7.写出角的终边在阴影中的角的集合．题型三象限角的定义1.在，，，，这五个角中，属于第二象限角的个数是（）A．2B．3C．4D．52.若是第四象限角，则一定是第几象限角？3.已知，则所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第一或第二象限D．第三或第四象限题型四角所在象限的研究1.已知α为第二象限角，则所在的象限是（）A．第一或第二象限B．第二或第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限2.已知θ为第二象限角，那么是（）A．第一或第二象限角B．第一或四象限角C．第二或四象限角D．第一、二或第四象限角3.若是第二象限角，则，是第几象限角？弧度制知识梳理一、弧度制和弧度制与角度制的换算1.角度制角可以用度为单位进行度量，度的角等于周角的，这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2.弧度制①弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．②弧度制定义：以弧度作为单位来度量角的单位制．记法：用符号表示，读作弧度．特别提醒：（1）用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角可写成．而用度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略．（2）不管是以弧度还是以度为单位的角的大小都是一个与半径大小无关的定值．二、角度与弧度的换算1.弧度与角度的换算公式(1)关键:抓住互化公式rad=180°是关键;(2)方法：度数弧度数；弧度数度数2.一些特殊角的度数与弧度数的对应表：【注意】①在同一问题中，角度制与弧度制不能混用；②弧度制下角可以与实数可以建立一一对应的关系，所以弧度制表示的角的范围可以用区间表示，如，但角度制表示的角的范围一般不用区间表示，即不用表示，因为区间表示的是数集，但角度数不是实数．三、弧长公式、扇形面积公式如图，设扇形的半径为，弧长为，圆心角为．1.弧长公式：．注意：在应用弧长公式时，要注意的单位是“弧度”，而不是“度”，如果一直角是以“度”为单位的，则必须先把它化为以“弧度”为单位，再代入计算．2.扇形面积公式：．3.弧长公式及扇形面积公式的两种表示角度制弧度制弧长公式扇形面积公式注意事项是扇形的半径，是圆心角的角度数是扇形的半径，是圆心角的弧度数题型训练题型一弧度制与角度制互化1.与角终边相同的最小正角是？（用弧度制表示）2.若四边形的四个内角之比为，则四个内角的弧度数依次为．3.对应的弧度数为4.把化为弧度的结果是5.如图，用弧度制表示终边落在下列阴影部分的角．6.若θ=-3rad，则θ的终边落在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题型二扇形的弧长、面积、与圆心角问题1.半径为，中心角为的角所对的弧长为（）A．B．C．D．2.已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（）A．2B．4C．6D．83.已知扇形的周长为，圆心角为，则扇形的面积为？4.一个扇形的弧长与面积都是，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A．B．C．D．5.已知弧度的圆心角所对的弦长为，那么，这个圆心角所对的弧长是（）A．B．C．D．6.半径为，圆心角为的扇形的弧长为（）A．B．C．D．7.设扇形的弧长为，半径为，则该扇形的面积为?8.已知扇形的周长为，面积为，则扇形圆心角的弧度数为?。
(完整word版)角的概念的推广练习题
1、下列说法正确的是（ ）A 第一象限的角一定是锐角B 锐角一定是第一象限角C 、小于90︒的角一定是锐角D 第一象限的角一定是正角2、-50︒角是（ ）角A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3、与330︒角终边相同的角是（ ）A-60︒ B390︒ C-390︒ D-45︒4、)(30360Z k k ∈-•︒︒所表示的角是（ ）角A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限5、设∂是第二象限角，则2∂是（ ）角A 一或三象限角B 二或四象限角C 一或二象限角D 二或三象限角6.在0-360︒内，与角︒-1770终边相同的角是（ ）A210︒ B ︒150 C ︒60 D30︒7、已知下列各角：︒︒︒︒--495,180,240,120，其中第二象限角是（ ）A ︒︒--240,120B ︒︒-180,120C ︒︒-180,240D ︒︒-495,2408、下列各组角中，终边相同的是（ ）A ︒︒690,390B ︒︒-750,330C ︒︒-420,480D ︒︒-840,30009、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝10、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（）A．45°－4×360°B.－45°－4×360°C.－45°－5×360°D.315°－5×360°11、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．12、终边落在x轴上的角的集合为13、终边落在y轴上的角的集合为14、终边落在坐标轴上的角的集合为15、终边落在一、三象限角的平分线上的角的集合为16终边落在象限的角平分线上的角的集合为。
必修四第一章 三角函数 精选练习题(有答案和解析)
必修四第一章 三角函数精选练习题一、选择题1．在0°～360°的范围内，与－510°终边相同的角是( ) A ．330° B ．210° C ．150° D ．30°B [因为－510°＝－360°×2＋210°，因此与－510°终边相同的角是210°.] 2．cos 420°的值为( ) A ．12 B ．－12C ．32D ．－32A [cos 420°＝cos(360°＋60°)＝cos 60°＝12，故选A.]3．已知角θ的终边上一点P (a ，－1)(a ≠0)，且tan θ＝－a ，则sin θ的值是( ) A ．±22 B ．－22 C ．22 D ．－12B [由题意得tan θ＝－1a ＝－a ， 所以a 2＝1， 所以sin θ＝－1a 2＋（－1）2＝－22.] 4．一个扇形的弧长与面积的数值都是6，这个扇形中心角的弧度数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [设扇形的半径为r ，中心角为α，根据扇形面积公式S ＝12lr 得6＝12×6×r ，所以r ＝2， 所以α＝l r ＝62＝3.]5．已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．13 C ．－23 D ．－13 C [∵已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴1＋2sin θcos θ＝169，∴2sin θcos θ＝79，故sin θ－cos θ＝－（sin θ－cos θ）2 ＝－1－2sin θ·cos θ ＝－23，故选C.]6．函数y ＝tan(sin x )的值域是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22C ．[]－tan 1，tan 1D ．[]－1，1C [sin x ∈[－1，1]，又－π2＜－1＜1＜π2，且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，所以y min ＝tan(－1)＝－tan 1，y max ＝tan 1.]7．将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6.] 8．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2C [令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )，k ＝0时，x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8，故选C.]9．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图象如图所示，则函数的解析式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4或y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4C [由图可知A ＝2，4⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋π8＝2πω得ω＝2，且2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )∴φ＝2k π＋3π4(k ∈Z )， 又∵|φ|＜π， ∴φ＝3π4，故选C.]10．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )C [∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝π4.按逆时针转时间t 后得 ∠POP 0＝t ，∠POx ＝t －π4. 此时P 点纵坐标为2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4，∴d ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π4.当t ＝0时，d ＝2，排除A ，D ； 当t ＝π4时，d ＝0，排除B.]11．设α是第三象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 B [∵α是第三象限的角， ∴π＋2k π＜α＜3π2＋2k π，k ∈Z . ∴π2＋k π＜α2＜3π4＋k π，k ∈Z . ∴α2在第二或第四象限． 又∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，∴cos α2＜0.∴α2是第二象限的角．]12．化简1＋2sin （π－2）·cos （π－2）得( )A ．sin 2＋cos 2B ．cos 2－sin 2C ．sin 2－cos 2D ．±cos 2－sin 2 C [1＋2sin （π－2）·cos （π－2） ＝1＋2sin 2·（－cos 2） ＝（sin 2－cos 2）2， ∵π2＜2＜π，∴sin 2－cos 2＞0. ∴原式＝sin 2－cos 2.]13．同时具有下列性质的函数可以是( ) ①对任意x ∈R ，f (x ＋π)＝f (x )恒成立； ②图象关于直线x ＝π3对称； ③在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π6B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3D ．f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6B [依题意知，满足条件的函数的周期是π，图象以直线x ＝π3为对称轴，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上是增函数．对于A 选项，函数周期为4π，因此A 选项不符合；对于C 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－1，但该函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上不是增函数，因此C 选项不符合；对于D 选项，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3≠±1，即函数图象不以直线x ＝π3为对称轴，因此D 选项不符合．综上可知，应选B.]14．已知函数f (x )＝－2tan(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，9π16C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π16，5π16D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π16，5π16 A [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π16＝－2得－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝－2，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋φ＝1，又|φ|＜π，所以φ＝π8，f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π8， 令k π－π2＜2x ＋π8＜k π＋π2，k ∈Z 得 k π2－5π16＜x ＜k π2＋3π16，k ∈Z .可得f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－5π16，k π2＋3π16，k ∈Z ，令k ＝1，可得f (x )的一个单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫3π16，11π16.]二、填空题15．对于锐角α，若tan α＝34，则cos 2α＋2sin 2α＝________． 6425 [由题意可得：cos 2α＋2sin 2α＝cos 2α＋4sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋4tan α1＋tan 2α＝6425.]16．已知sin α＝13，且α是第二象限角，那么cos(3π－α)的值为________． 223[cos(3π－α)＝－cos α＝－(－1－sin 2α)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223.] 17．函数y ＝3－tan x 的定义域是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z ) [作出三角数线如图，由函数可知3－tan x ≥0中tan x ≤3，而3对应角为π3，由图中阴影部分可得定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π2，k π＋π3(k ∈Z )．]18．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z .]19．若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图象如图所示，则ω＝________．4 [观察图象可知函数y ＝sin(ωx ＋φ)的半个周期为π4， 所以2πω＝π2，ω＝4.]20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)，若将f (x )的图象向左平移π3个单位长度所得的图象与将f (x )的图象向右平移π6个单位长度所得的图象重合，则ω的最小值为________．4 [由条件可知，图象变换后的解析式分别为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋φ和y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ6＋φ，由于两图象重合，所以ωπ3＋φ＝－ωπ6＋φ＋2k π(k ∈Z )． 即ω＝4k (k ∈Z )，由ω＞0，∴ωmin ＝4.]21．一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C ，面积为S ，则C －1S 的最大值为________．4 [由已知可得弧长l ＝2r ，周长C ＝4r ，面积S ＝12×lr ＝r 2，∴C －1S ＝4r －1r 2＝－1r 2＋4r ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1r －22＋4，故C －1S 的最大值为4.] 22．已知角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角α的最小正值是________．5π3 [角α终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32， tan α＝－3212＝－3，且α为第四象限角，所以角α的最小正值是5π3.]23．函数y ＝2＋cos x2－cos x(x ∈R )的最大值为________．3 [由题意有y ＝42－cos x－1，因为－1≤cos x ≤1，所以1≤2－cos x ≤3，则43≤42－cos x ≤4，由此可得13≤y ≤3，于是函数y ＝2＋cos x 2－cos x (x ∈R )的最大值为3.]24．对于函数f (x )＝⎩⎨⎧sin x ，sin x ≤cos x ，cos x ，sin x ＞cos x ，给出下列四个命题：①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时，该函数取得最小值－1； ③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，0＜f (x )≤22. 其中正确命题的序号是________． ③④ [作出函数f (x )的图象如图所示：由图象可知f (x )为周期函数，T ＝2π，①错误；当x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋3π2时，取最小值－1，故②错误；x ＝π4＋2k π(k ∈Z )和x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )都是该图象的对称轴，故③正确； 当2k π＜x ＜π2＋2k π(k ∈Z )时，f (x )图象在x 轴上方且f (x )max ＝22. 故0＜f (x )≤22.故④正确．]三、解答题25．已知sin(π－α)·cos(－8π－α)＝60169，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，求sin α与cos α的值．[解] 由已知条件可得sin αcos α＝60169，∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋120169＝289169， (sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－120169＝49169. ∵x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴sin α＞cos α， ∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝1713，sin α－cos α＝713，解方程组得sin α＝1213，cos α＝513.26．(1)已知角α的终边经过点P (4，－3)，求2sin α＋cos α的值； (2)已知角α的终边经过点P (4a ，－3a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值； (3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3∶4，求2sin α＋cos α的值．[解] (1)∵α终边过点P (4，－3)，∴r ＝|OP |＝5，x ＝4，y ＝－3， ∴sin α＝y r ＝－35，cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＋45＝－25.(2)∵α终边过点P (4a ，－3a )(a ≠0)， ∴r ＝|OP |＝5|a |，x ＝4a ，y ＝－3a . 当a >0时，r ＝5a ，sin α＝y r ＝－35， cos α＝x r ＝45， ∴2sin α＋cos α＝－25；当a <0时，r ＝－5a ，∴sin α＝y r ＝35， cos α＝x r ＝－45， ∴2sin α＋cos α＝25.综上，2sin α＋cos α＝－25或25. (3)当点P 在第一象限时，sin α＝35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝2； 当点P 在第二象限时，sin α＝35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝25；当点P 在第三象限时，sin α＝－35， cos α＝－45，2sin α＋cos α＝－2； 当点P 在第四象限时，sin α＝－35， cos α＝45，2sin α＋cos α＝－25.27．是否存在角α，β，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－β，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．[解] 假设存在角α，β满足条件，则{sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β， ② 由①2＋②2得sin 2α＋3cos 2α＝2. ∴cos 2α＝12， ∴cos α＝22.∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴α＝±π4.当α＝π4时，代入②得：cos β＝32， ∵0＜β＜π，∴β＝π6，代入①可知成立； 当α＝－π4时，代入②得cos β＝32，∵0＜β＜π，∴β＝π6，此时代入①式不成立，故舍去． ∴存在α＝π4，β＝π6满足条件．28．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋1. (1)求函数f (x )的最大值，并求取得最大值时x 的值； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)当2x ＋π3＝2k π＋π2，则x ＝k π＋π12(k ∈Z )时，f (x )max ＝3. (2)当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12时，函数f (x )为增函数．故函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 29．如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象．(1)求此函数解析式；(2)分析一下该函数是如何通过y ＝sin x 变换得来的？ [解] (1)由图象知A ＝－12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝12，k ＝－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝－1，T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－π6＝π，∴ω＝2πT ＝2.∴y ＝12sin(2x ＋φ)－1. 当x ＝π6，2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6. ∴所求函数解析式为y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1.(2)把y ＝sin x 向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，然后纵坐标保持不变、横坐标缩短为原来的12倍，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，再横坐标保持不变，纵坐标变为原来的12倍，得到y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最后把函数y ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向下平移1个单位，得到y＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1的图象．30．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象向右平移π3个单位，得到函数g (x )的图象，写出函数g (x )的解析式，并用五点作图的方法画出g (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)由f (x )＝A sin(ωx ＋φ)在y 轴上的截距为1，最大值为2，得1＝2sin φ，所以sin φ＝12.又|φ|＜π2，所以φ＝π6.由题意易知T ＝2[(x 0＋3π)－x 0]＝6π， 所以ω＝2πT ＝13， 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π6.(2)将f (x )的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象；再把所得图象向右平移π3个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的图象．列表：。
必修4--任意角三角函数(提高练习)
1．下列各组角中，终边相同的角是 （ ）A ．π2k与)(2Z k k ∈+ππ B ．)(3k3Z k k ∈±πππ与C ．ππ)14()12(±+k k 与 )(Z k ∈D ．)(66Z k k k ∈±+ππππ与2．设角α和β的终边关于y 轴对称，则有（ ）A ．)(2Z k ∈-=βπαB ．)()212(Z k k ∈-+=βπαC ．)(2Z k ∈-=βπαD ．)()12(Z k k ∈-+=βπα3．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．44．已知扇形的半径为R ，所对圆心角为α，该扇形的周长为定值c ，则该扇形最大面积为 5．已知集合},3604536090|{},,360150360|{Z k k k B Z k k k A ∈︒⋅+︒<<︒⋅+︒-=∈︒⋅+︒<<︒⋅=ββαα求A ∩B ；B A Y6设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限7．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有A ．① B ．② C ．③ D ．④ 8．若角0600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值A ．34 B ．34- C ．34± D ．3 9．函数xxx x x x y tan tan cos cos sin sin ++=的值域是（ ） A ．{}3,1,0,1- B ．{}3,0,1- C ．{}3,1- D ．{}1,1- 10．若α为第二象限角，那么α2sin ，2cosα，α2cos 1，2cos1α中，其值必为正的有（ ）A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个11．已知)1(,sin <=m m α，παπ<<2，那么=αtan （ ）．A ．21m m -B ．21m m-- C ．21mm-± D ． m m 21-±12．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则ααααcos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（ ）． A ．2 B ．2- C ．2-或2 D ．013．已知3tan =α，23παπ<<，那么ααsin cos -的值是（ ）． A ．231+-B ．231+-C ．231-D ．231+14 若54sin =α，且α是第二象限角，则αtan 的值为（ ） 15化简4cos 4sin 21-的结果是（ ）A 、4cos 4sin +B 、4cos 4sin -C 、4sin 4cos -D 、4cos 4sin -- 16、在△ABC 中，若最大角的正弦值是22，则△ABC 必是（ ） A 、等边三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、锐角三角形 17、若θsin 、θcos 是关于x 的方程0242=++m mx x 的两个实根，则m 值为（ ）A 、⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈0,34mB 、51-=mC 、51±=mD 、51+=m 19、已知αsin 、αcos 是方程06242=++m x x 的两实根，求:(1) m 的值； （2）αα33cos sin +的值.20、若点P 在32π的终边上，且OP=2，则点P 的坐标（ ）A ． )3,1(B ．)1,3(-C ．)3,1(--D ．)3,1(-αααααααcos cos sin sin sin ,+-++-1111cos 19化简是第二象限角已知，21 ( )A ．cos160︒B ．cos160-︒C ．cos160±︒D ．cos160±︒ 22，计算，10cos270°+4sin0°+9tan0°+15cos360°=_____________23 定义在R 上的函数f （x ）既是偶函数又是周期函数.若f （x ）的最小正周期是π，且当x ∈［0，2π］时，f （x ）=sin x ，求f （3π5）的值。
1.2角的概念推广基础练习题
1.2角的概念推广基础练习题一、单选题1．1000︒是以下哪个象限的角（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列各角中，与27︒角终边相同的是（ ） A ．63︒B ．153︒C ．207︒D ．387︒3．若角α为第二象限角，则角2α为（ ）象限角A ．第一B ．第一或第二C ．第二D ．第一或第三 4．下列说法正确的是（ ） A ．第一象限角一定小于90︒ B ．终边在x 轴正半轴的角是零角C ．若360k αβ+=⋅︒（k Z ∈），则α与β终边相同D ．钝角一定是第二象限角5．若角α与角β的终边关于y 轴对称，则必有（ ） A ．90αβ︒+=B ．36090()k k Z αβ︒︒+=⋅+∈C ．360()k k Z αβ︒+=⋅∈D ．(21)180()k k Z αβ︒+=+⋅∈6．下列各角中，与角330°的终边相同的是( ) A ．150°B ．－390°C ．510°D ．－150°7．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角}D ．以上都不对8．与角2021︒终边相同的角是（ ） A ．221°B ．2021-︒C ．221-︒D ．139︒9．若α是第四象限角，则180°＋α一定是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角二、填空题 10．若角2θ的终边与4π的终边重合，且3θ∈[0,2)π，则4θ=_______________.11．2020是第______象限角.12．已知角α的终边在图中阴影所表示的范围内（不包括边界），那么α∈________.13．终边在x 轴上的角α的集合是______.14．已知：①1240︒，②300-︒，③420︒，④1420-︒，其中是第一象限角的为_________(填序号).15．在0°到360°范围内与角380°终边相同的角α为________．三、解答题16．若角α是第二象限角，试确定2,2αα的终边所在位置．17．写出与α＝－1910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．18．如图，分别写出适合下列条件的角的集合．（1）终边落在射线OB 上； （2）终边落在直线OA 上；（3）终边落在阴影区域内（含边界）．参考答案1．D 【分析】首先写出终边相同的角的集合，再判断 【详解】10002360280=⨯+，280角的终边在第四象限，所以1000角的终边也是第四象限.故选：D 2．D 【分析】写出与27︒终边相同角的集合，取k 值得答案. 【详解】与27︒角终边相同的角的集合为{}27360,k k Z αα=︒+⋅︒∈， 取1k =，可得387α=︒. ∴与27︒角终边相同的是387︒. 故选：D 【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题. 3．D 【分析】根据α的范围，求出2α的范围即可. 【详解】因为角α为第二象限角， 所以()22,2k x k k Z ππππ+<<+∈， 所以(),422x k k k Z ππππ+<<+∈，当2k n =()n Z ∈时，()22,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第一象限角；当21k n =+()n Z ∈时，()5322,422x n n n Z ππππ+<<+∈，此时2α是第三象限角； 所以2α是第一或第三象限角，【点睛】本题主要考查了象限角的范围，属于基础题. 4．D 【分析】分别由钝角、终边相同的角及象限角的概念逐一判断四个命题得答案． 【详解】A.第一象限角范围是2k πx 2k π,2k z π<<+,所以不一定小于90°.所以A 错误.B. 终边在x 轴正半轴的角α2k π,k z =.不一定是零角 . .所以B 错误C.若360,k αβ+=⋅︒则360,?k k z αβ=⋅︒-. 则α应与β-终边相同. .所以C 错误D.因为钝角的取值范围为,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以钝角一定是第二象限角. .所以D 正确. 故答案为D. 【点睛】本题考查了任意角的概念，象限角，是基础的概念题． 5．D 【分析】根据角α与角β的终边关于y 轴对称，有12129036090360,,k k k k Z αβ，即可得解.【详解】角α与角β的终边关于y 轴对称， 所以12129036090360,,k k k k Z αβ，21129036090360360180k k k k αβ，12,k k Z ∈即360180(21)180,kkkZ αβ，故选：D 【点睛】此题考查根据两个角的终边的对称关系求解角的关系，关键在于准确将对称关系转化成代数6．B 【解析】分析：由终边相同的角的公式，表示出与角330的终边相同的角，再进行验证即可. 详解：与角330的终边相同的角为()360330k k Z α=⋅+∈， 令2k =-，可得390α=-，故选B.点睛：本题主要考查终边相同的角，考查了终边相同的角的表示方法，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题. 7．D 【分析】先根据题意得出A ∩B ，再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【详解】解：∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°； 对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ． 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念，交集及其运算，熟练掌握基本概念是解本题的关键． 8．A 【分析】根据终边相同的角相差360的整数倍，逐个判断即可. 【详解】2021360=5︒÷余221，故A 正确，B 、 C 、 D 中的角均不与角2021︒终边相同.故选：A . 【点睛】本题考查了终边相同角的概念，考查了简单的计算，属于概念题，本题属于基础题. 9．B 【分析】通过α是第四象限角，写出其对应角的集合，然后求出180°+α对应角的集合即可得到答案． 【详解】∵α是第四象限角，∴k ·360°－90°<α<k ·360°.∴k ·360°＋90°<180°＋α<k ·360°＋180°. ∴180°＋α在第二象限， 故选B. 【点睛】本题考查了象限角和轴线角，基本知识的考查，深刻理解基本概念是解题的关键． 10．24π或38π 【分析】由终边相同角的关系得出4,363k k Z θππ=+∈，再由3θ的范围确定θ，进而得出4θ.【详解】 由题意可知，2,24k k Z θππ=+∈，则4,363k k Z θππ=+∈ 3θ∈[0,2)π，6πθ=或32πθ=则348θπ=或424θπ= 故答案为：24π或38π【点睛】本题主要考查了终边相同的角性质的应用，属于基础题. 11．三 【分析】把2020︒写成360k α+︒,)0,360,k Z α⎡∈∈⎣，然后判断α所在的象限，则答案可求． 【详解】20205360220︒=⨯︒+︒，2020∴︒与220︒角的终边相同，为第三象限角．故答案为三． 【点睛】本题考查了象限角，考查了终边相同的角，是基础题． 12．{}|180********,n n n αα⋅︒+︒<<⋅︒+︒∈Z . 【分析】 首先确定0360范围内角α的范围，根据终边相同角的定义可求得满足题意的角α的范围. 【详解】 在0360范围内，终边落在阴影内的角α满足：30150α<<或210330α<<∴满足题意的角α为：{}{}30360150360210360330360k k k k αααα+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅{}{}302180150218021021803302180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃+⋅<<+⋅ {}()(){}3021801502180302118015021180k k k k αααα=+⋅<<+⋅⋃++⋅<<++⋅{}30180150180n n αα=+⋅<<+⋅，k Z ∈，n Z ∈本题正确结果：{}30180150180,n n n Z αα+⋅<<+⋅∈ 【点睛】本题考查根据终边位置确定角所处的范围，重点考查了终边相同的角的定义，属于基础题. 13．{}|,k k Z ααπ=∈ 【分析】直接利用终边相同角的概念得到答案. 【详解】解：终边在x 轴上的角α的集合是{}|,k k Z ααπ=∈，故答案为：{}|,k k Z ααπ=∈ 【点睛】本题考查了角的终边，属于简单题. 14．②③④ 【分析】利用终边相同的角转化到0360︒︒判断.【详解】因为12401080160︒=︒+︒，30036060-︒=-︒+︒，42036060︒=︒+︒，1420436020-=-⨯+︒︒︒.所以②300-︒，③420︒，④1420-︒是第一象限角， 故答案为：②③④ 【点睛】本题主要考查象限角以及终边相同的角的应用，属于基础题 15．20° 【详解】与角380°终边相同的角α为380360,()k k Z α=+⋅∈， 又α在0°到360°，所以1,20.k α=-= 【点睛】1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为)22()(0k k Z πααπ+≤<∈的形式，然后再根据α所在的象限予以判断．2．利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角． 16．角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上,2α的终边在第一象限或第三象限. 【分析】写出第二象限角的集合，然后利用不等式的基本性质得到2α，2α．【详解】 ∵角是第二象限角，∴ 22,2k k k Z ππαππ+<<+∈，（1）4242,k k k Z ππαππ+<<+∈，∴ 角2α的终边在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上． （2）,422k k k Z παπππ+<<+∈，当2,k n n Z =∈时， ∴ 22,422n n n Z παπππ+<<+∈，∴2α的终边在第一象限． 当21,k n n Z =+∈时， ∴5322,422n n n Z παπππ+<<+∈， ∴2α的终边在第三象限． 综上所述，2α的终边在第一象限或第三象限．【点睛】本题考查了象限角和轴线角，关键是写出第二象限角的集合，是基础题 17．{β|β＝k ·360°－1 910°，k ∈Z }；元素β见解析 【分析】把α＝－1 910°加上360k ⋅︒可得与α＝－1 910°终边相同的角的集合，分别取k ＝4，5，6，求得适合不等式－720°≤β＜360°的元素β. 【详解】与α＝－1 910°终边相同的角的集合为{β|β＝k ·360°－1910°，k ∈Z }． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k ·360°－1 910°＜360°(k ∈Z )，∴1111363636k ≤< (k ∈Z )，故取k ＝4,5,6.k ＝4时，β＝4×360°－1910°＝－470°； k ＝5时，β＝5×360°－1910°＝－110°； k ＝6时，β＝6×360°－1910°＝250°. 【点睛】该题考查的是有关角的概念的问题，涉及到的知识点有终边相同的角的集合，终边确定，落在某个范围内的角的大小的确定，属于简单题目.18．（1）{}160360,S k k Z αα==+⋅∈；（2）{}230180,S k k Z αα==+⋅∈；（3）{}33018060180,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈【分析】（1）可得出终边落在射线OB 上的一个角为60，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（2）可得出终边落在射线OB 上的一个角为30，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线OB 上的角的集合；（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结果. 【详解】（1）终边落在射线OB 上的角的集合为{}160360,S k k Z αα==+⋅∈； （2）终边落在直线OA 上的角的集合为{}230180,S k k Z αα==+⋅∈； （3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为{}3036060360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为{}210360240360,k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈{}3018036060180360,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈()(){}30211806021180,k k k Z αα=++⋅≤≤++⋅∈，因此，终边落在阴影区域内的角的集合为{}33036060360,S k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈⋃()(){}30211806021180,k k k Z αα++⋅≤≤++⋅∈ {}3018060180,k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈.【点睛】本题考查角的集合的表示，解题的关键就是要找出阴影部分区域边界线对应的角的集合，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.答案第9页，总9页。
三角函数
三角函数【考点讲解】1..终边相同的角的公式: 终边相同的角相差()0360k k Z ∈练习1. 写出终边在y 轴上的角的集合．练习2.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： ⑴ 405°； ⑵ -165°； ⑶ 1563°． 2.角度与弧度的换算 :0180π= L rα=练习1： 把下列各角从角度化为弧度：15°= ；30°= ；45°= ； 60°= ；90°= ；120°= ；180°= ；270°=练习2： 把下列各角从弧度化为角度：．π= ；π2= ；π4= ； π8= ； 2π3= ； π3= ； π6= ； π12= ．练习3．填空：⑴ 若扇形的半径为10cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长l = ，扇形面积S = ．练习4. 已知1°的圆心角所对的弧长为1m ，那么这个圆的半径是 m ． 3.三角函数的概念 :例题1、已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值．练习1、已知角α的终边上的点P 的座标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值：⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；⑶ 1,2P ⎛ ⎝⎭． 4.各象限角的三角函数值的正负号口诀：一全正二正弦三正切四余弦练习1. 判定下列角的各三角函数正负号：（1）4327º ；（2）-235 º； （3）275π．（4）3π-4{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈{|2,}k k Z ββαπ==+∈练习2．根据条件sin 0θ<且tan 0θ<,确定θ是第几象限的角.． 练习3、已知α为第三象限角，则所在的象限是A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限 5.界限角的三角函数值练习1. 求值：5cos1803sin902tan 06sin 270-+-； 练习2.计算：213cos tan tan sin cos 24332ππππ-+-+π． 练习3．求下列三角函数的值：（1）sin 1485°（2）cos9π4 （3）tan （- 11π6） (09 湖南)4.的值为（ ）A.B. C.D. (12 湖南)14．已知角α的终边与单位圆的交点坐标为（23,21），则αcos = ．6.sin120的值为 B.1-(14 湖南)6.sin120的值为（） A.2 B.1- C. 2 D. 2-6. 同角三角函数的基本关系式 商数关系 sin tan cos y x ααα== 平方关系 222sin cos 1r αα+==． 例题1. 已知4sin 5α=，且α是第二象限的角, 求cos α和tan α．练习1．已知1cos 2α=，且α是第四象限的角， 求sin α和tan α．练习2．已知3sin 5α=-，且α是第三象限的角， 求cos α和tan α．练习3 已知tan 5α=，求sin 4cos 2sin 3cos αααα--的值．4cos4sinππ2122422(10 湖南)7.化简：()2sin cos a a +=（ ）.A. 1sin 2a +B. 1sin a -C. 1sin 2a -D. 1sin a + 7.三角函数的诱导公式练习1.求下列各三角函数值：(1) 9cos4π； (2) sin 780； (3) 11tan()6π-．练习2 求下列三角函数值：(1) sin(60)-； (2) 19cos()3π-； (3) tan(30)-． 练习3 求下列各三角函数值：(1) 9cos 4π； (2) 8tan 3π； (3) cos870； (4) sin 690． 8.三角函数的图像与性质 ①三角函数的图像sin y x =图像cos y x =图像②.定义域(R)、值域、单调性与最值sin y x =当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =；当22x k ππ=- ()k ∈Z 时，min 1y =-．sin y x = 在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是减函数． cos y x =当()2x k k π=∈Z 时， max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =- cos y x = 在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+()k ∈Z 上是减函数．练习1、利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小： （1）)18sin(π-与)10sin(π-； （2）)523cos(π-与)417cos(π-； （3）85sin π与9cos π2、函数sin 1y a x =+的最大值是3，则它的最小值______________________ 1. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ） A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,11. 函数x x y sin cos 2-=的值域是 （ ）A 、[]1,1-B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡45,1C 、[]2,0D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-45,1公式1 απαsin )2sin(=+k απαcos )2cos(=+k απαt an )2t an(=+k 公式2：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+）ααπt an t an(=+）公ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-）ααπt an t an(-=-）公αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-）ααt an t an(-=-）③.周期性与奇偶性 周期：奇偶性：sin y x =是奇函数；cos y x =是偶函数1、下列函数中，周期是，又是偶函数的是A ．y=sinxB ．y=cosxC ．y=sin2xD ．y=cos2x 2、函数的最小正周期为2，则实数3、函数的最小正周期是____________________．4、函数在其定义域上是A.奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 减函数10、函数的图象①、由函数的图象通过变换得到的图象。
(完整版)三角函数基础练习题答案
三角函数基础练习题1．如果，那么与终边相同的角可以表示为21α=-αA ． B ．{}36021,k k ββ=⋅+∈Z {}36021,k k ββ=⋅-∈Z C ．D ．{}18021,k k ββ=⋅+∈Z {}18021,k k ββ=⋅-∈Z 参考答案：B考查内容：任意角的概念，集合语言（列举法或描述法）认知层次：b 难易程度：易2．一个角的度数是，化为弧度数是405A ．B ．C ．D ．π3683π47π613π49解：由，得，所以180π=1180π=94054051804ππ=⨯=参考答案：D考查内容：弧度制的概念，弧度与角度的互化认知层次：b 难易程度：易3．下列各数中，与cos1030°相等的是A ．cos50°B ．-cos50°C ．sin50°D ．- sin50°解：，1030336050=⨯- cos1030cos(336050)cos(50)cos50=⨯-=-=参考答案：A考查内容：任意角的概念，的正弦、余弦、正切的诱导公式（借助单位圆）πα±认知层次：c 难易程度：易4．已知x ∈[0，2π]，如果y = cos x 是增函数，且y = sin x 是减函数，那么A ．B ．02x π≤≤xππ≤≤2C ．D ．32x ππ≤≤23x ππ≤≤2解：画出与的图象sin y x =cos y x =参考答案：C考查内容：的图象，的图象，正弦函数在区间上的性质，余弦sin y x =cos y x =[0,2π]函数在区间上的性质[0,2π]认知层次：b难易程度：易5．cos1，cos2，cos3的大小关系是（ ）．A ．cos1>cos2>cos3B ．cos1>cos3>cos2C ．cos3>cos2>cos1D ．cos2>cos1>cos3解：，而在上递减，01232ππ<<<<<cos y x =[0,]π参考答案：A考查内容：弧度制的概念，的图象，余弦函数在区间上的性质cos y x =[0,2π]认知层次：b 难易程度：易6．下列函数中，最小正周期为的是（）．πA ． B ．cos 4y x =sin 2y x =C ． D ． sin2xy =cos4xy =解：与的周期为sin y x ω=cos y x ω=2T πω=参考答案：B考查内容：三角函数的周期性认知层次：a 难易程度：易7．，，的大小关系是（ ）．）（ 40tan -38tan56tan A ． B ．>-）（ 40tan > 38tan56tan >38tan >-）（40tan56tan C ． D ．>56tan >38tan ）（40tan ->56tan >-）（40tan38tan 解：在上递增,而tan y x =(,22ππ-9040<38<56<90-<-参考答案：C考查内容：的图象，正切函数在区间上的性质tan y x =ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭认知层次：b 难易程度：易8．如果，，那么等于（ ）．135sin =α),2(ππα∈tan αrA ．B ．C ．D ．125-125512-512解：由，得,135sin =α),2(ππα∈12cos 13α==-sin 5tan cos 12ααα==-参考答案：A考查内容：同角三角函数的基本关系式：，同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=sin tan cos xx x=认知层次：b 难易程度：中9．函数图象的一条对称轴方程是)62sin(5π+=x y A ． B ． C ． D ．12x π=-0x =6x π=3x π=解：函数图象的对称轴方程是,即(),)62sin(5π+=x y 262x k πππ+=+26k x ππ=+Z k ∈令得0k =6x π=参考答案：C考查内容：正弦函数在区间上的性质[0,2π]认知层次：b 难易程度：易10．函数y = sin 的图象是中心对称图形，它的一个对称中心是34x π⎛⎫-⎪⎝⎭A ．B ．, 012π⎛⎫-⎪⎝⎭7, 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．D ． 7, 012π⎛⎫⎪⎝⎭11, 012π⎛⎫⎪⎝⎭解：设得函数图象的对称中心是(),34x k ππ-=sin(3)4y x π=-(,0)312k ππ+Z k ∈ 令得，2k =-7, 012π⎛⎫- ⎪⎝⎭参考答案：B考查内容：正弦函数在区间上的性质[0,2π]难易程度：中11．要得到函数y = sin 的图象，只要将函数y = sin2x 的图象（ ）．23x π⎛⎫+⎪⎝⎭A ．向左平移个单位 B ．向右平移个单位3π3πC ．向左平移个单位 D ．向右平移个单位6π6π解：，sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭6x x π→+参考答案：C考查内容：参数，，对函数图象变化的影响A ωϕsin()y A x ωϕ=+认知层次：a 难易程度：易12．已知tan ( 0 << 2)，那么角等于（ ）．ααπαA ．B ．或C ．或D ．6π6π76π3π43π3π解：，，令或可得tan α=6k παπ⇒=+Z k ∈0k =1k =参考答案：B考查内容：任意角的正切的定义（借助单位圆）认知层次：b 难易程度：易13．已知圆的半径为100cm ，是圆周上的两点，且弧的长为112cm ，那么O ,A B AB 的度数约是（ ）．（精确到1）AOB ∠︒A ． B ．C ．D ．646886110解：11211218064100100απ==⨯≈参考答案：A考查内容：弧度与角度的互化认知层次：b14．如图，一个半径为10米的水轮按逆时针方向每分钟转4圈．记水轮上的点P 到水面的距离为米（P 在水面下则为负数）d d ，如果（米）与时间（秒）之间满足关系式：d t ，且当P 点()sin 0,0,22d A t k A ππωϕωϕ⎛⎫=++>>-<< ⎪⎝⎭从水面上浮现时开始计算时间，那么以下结论中错误的是A ．B ．C ．D ．10=A 152πω=6πϕ=5=k 解：周期（秒），角速度，振幅，上移60154T ==215πω=10A =5k =参考答案：C考查内容：用三角函数解决一些简单实际问题，函数的实际意义，三角sin()y A x ωϕ=+函数是描绘周期变化现象的重要函数模型认知层次：b 难易程度：难15．sin(-)的值等于__________．196π解：，19534666πππππ-=--=-+1951sin(sin(4)662πππ-=-+=参考答案：12考查内容：的正弦、余弦、正切的诱导公式πα±认知层次：c 难易程度：易16．如果< θ < π，且cos θ = -，那么sin 等于__________．2π353πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不做考查内容：同角三角函数的基本关系式：，两角和的正弦公式22sin cos 1x x +=认知层次：c 难易程度：中17．已知角的终边过点，那么的值为__________．α(4, 3)P -2sin cos αα+10m d5mP解: , 5r OP ===3422sin cos 2()555αα+=⨯-+=-参考答案：52-考查内容：任意角的正弦的定义（借助单位圆），任意角的余弦的定义（借助单位圆）认知层次：b 难易程度：中18．的值等于__________．75tan 175tan 1-+不做参考答案：3-考查内容：两角和的正切公式认知层次：c 难易程度：易19．函数y = sin(x +)在[-2π，2π]内的单调递增区间是__________．124π解：令，解得，令得1222242k x+k πππππ-≤≤+34422k x k ππππ-≤≤+0k =参考答案：[-，]32π2π考查内容：正弦函数在区间上的性质，不等关系，子集[0,2π]认知层次：b 难易程度：中20．已知sin +cos =，那么sin 的值是__________．αα532α参考答案：-1625考查内容：同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=认知层次：b 难易程度：易21．函数y = sin x cos x 的最小正周期是__________．参考答案：2π考查内容：两角和的正弦公式，三角函数的周期性认知层次：c 难易程度：易22．已知，，那么tan2x 等于__________．(, 0)2x π∈-4cos 5x =参考答案：247-考查内容：同角三角函数的基本关系式：，二倍角的正切公式22sin cos 1x x +=认知层次：c 难易程度：易23．已知 ,．π02α<<4sin 5α=（1）求的值；tan α（2）求的值．（不做）πcos 2sin 2αα⎛⎫++⎪⎝⎭参考答案：（1）因为，， 故，所以．π02α<<4sin 5α=3cos 5α=34tan =α（2）．πcos 2sin 2αα⎛⎫+-=⎪⎝⎭212sin cos αα-+=3231255-+=825考查内容：同角三角函数的基本关系式：，同角三角函数的基本关系式：22sin cos 1x x +=，的正弦的诱导公式，二倍角的余弦公式sin tan cos x x x =π2α+认知层次：c难易程度：中24．某港口海水的深度（米）是时间（时）（）的函数，记为：．y t 024t ≤≤)(t f y =已知某日海水深度的数据如下：（时）t 03691215182124（米）y 10．013．09．97．010．013．010．17．010．0经长期观察，的曲线可近似地看成函数的图象．)(t f y =sin y A t b ω=+（1）试根据以上数据，求出函数的振幅、最小正周期和表达式；()sin y f t A t b ω==+（2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为米或米以上时认为是安全的55（船舶停靠时，船底只需不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离水面的距离）为米，5.6如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间（忽略进出港所需时间）？参考答案：（1）依题意，最小正周期为：，振幅：，，12=T 3A =10=b ．2ππ6T ω==所以．π()3sin 106y f t t ⎛⎫==⋅+⎪⎝⎭（2）该船安全进出港，需满足：．即：．6.55y ≥+π3sin 1011.56t ⎛⎫⋅+≥⎪⎝⎭所以．π1sin 62t ⎛⎫⋅≥⎪⎝⎭所以．ππ5π2π2π()666k t k k +≤⋅≤+∈Z 所以．121125()k t k k +≤≤+∈Z 又 ，024t ≤≤所以或．15t ≤≤1317t ≤≤所以，该船至多能在港内停留：（小时）．16117=-考查内容：三角函数是描绘周期变化现象的重要函数模型，正弦函数在区间上的性[0,2π]质，用三角函数解决一些简单实际问题认知层次：b 难易程度：难。
《数学 基础模块》上册 5.1.2 终边相同的角
5.2弧度制【教学目标】知识与技能：理解弧度制的定义，建立弧度制的概念；掌握角度制与弧度制的换算公式并能熟练地进行角度制与弧度制之间的换算.过程与方法：通过弧度制定义的学习过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神.情感态度价值观：通过弧度制与角度制之间的联系及转化，渗透广泛联系及由特殊到一般的数学思想方法.【教学重点】弧度与角度的换算．【教学难点】弧度角的含义．【教学备品】教学课件．【课时安排】1课时．【教学过程】由于运算进制非十进制，总给我们带来不少困难。
那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加减运算与十进制下的加减法运算一样呢？今天我们就来常识研究这种新单位制---弧度制. 概念：弧度制：就是以“弧度”为单位来度量角的制度.弧度又是怎样的一种单位呢？我们规定 ： 在一个圆中，长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记做rad.若AB =r ，则∠AOB=1(rad),；若AC =2r ，则∠AOC=2(rad),；若AD =1/2r ，则∠AOB=1/2(rad), 归纳发现：公式 |α|=lr规定：正角的弧度数为正数；负角的弧度数为负数；零角的弧度数为零所以360°=2π rad 180°= π rad 弧度与度的换算公式：1o =π180rad; 1rad =180oπ应用：填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表： 度 0o 30o 45o 60o 90o 180o 270o 360o 弧度π6π4π3π2π3π22π2,r r π半径为的圆的周长为故周角的弧度为)(2)(2rad rad rrππ=。
三角函数第一节任意角练习含答案
《任意角》评测练习1下列命题：（1）始边和终边都相同的角一定相等 （2）始边相同而终边不同的角一定不相等（3）始边相同、终边相同且旋转方向也相同的两个角一定相等 （4）始边想通过、终边相同而旋转方向不相同的两个角一定不相等 其中正确的命题是 2、下列命题中，正确的是（1）第一象限的角都是锐角 （2）第二象限的角都是钝角 （3）小于90的角都是锐角 （4）锐角都是第一象限角3、在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角 （1）26-： （2）118524'： （3）900： （4）83710'-：4、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式360360α-≤<的元素表示出来。
（1）25- (2)83436'- (3)455 (4)05、（1）若角α的终边为第二象限的角平分线，则角α的集合是 ； （2）若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α的集合是 。
6、设,αβ满足180180αβ-<<<，则αβ-的范围是：7、根据下列条件写出角α与角β之间的关系式： （1）两角,αβ的终边关于原点对称；（2）两角,αβ的终边关于x 轴对称；（3）两角,αβ的终边关于y 轴对称；（4）两角,αβ的终边关于直线y x =对称；8、自上午7点整到校至中午11点40分放学，时钟的时针和分针各转了多少度上午7点整和中午11点40分两针所成的最小正角各是多少度9、将下列落在图示部分的角（阴影部分）135 135第一章 三角函数 § 任意角和弧度制1． 任意角一、选择题1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈ZB ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M PC ．MPD ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限二、填空题7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在________． 8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．能力提升13．如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角第一章三角函数§任意角和弧度制1．任意角答案1．C 2..A 3．D 4．C 5．B6．D7．x轴的正半轴8．－609．{α|k·360°－45°≤α≤k·360°＋120°，k∈Z}10．－110°或250°11．解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．12．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|k·180°＋30°≤α<k·180°＋105°，k∈Z}．13．解终边落在y＝3x (x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，终边落在y＝3x (x≤0) 上的角的集合是S2＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，于是终边在y＝3x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．14．解当α为第二象限角时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，∴30°＋k 3·360°<α3<60°＋k3·360°，k ∈Z .当k ＝3n 时，30°＋n ·360°<α3<60°＋n ·360°，此时α3为第一象限角；当k ＝3n ＋1时，150°＋n ·360°<α3<180°＋n ·360°，此时α3为第二象限角；当k ＝3n ＋2时，270°＋n ·360°<α3<300°＋n ·360°，此时α3为第四象限角．综上可知α3是第一、二、四象限角．任意角和弧度制练习题一选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 5、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角 C ．不相等的角终边一定不同{}Z k k ∈±⋅=,90360|αα={}Z k k ∈+⋅=,90180| αα6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )A.①B.①②C.①②③D.①②③④8.若α是第一象限的角，则2α是( ) A.第一象限的角B.第一或第四象限的角C.第二或第三象限的角D.第二或第四象限的角9.下列结论中正确的是( )A.小于90°的角是锐角B.第二象限的角是钝角C.相等的角终边一定相同D.终边相同的角一定相等10角α的终边落在y=-x(x ＞0)上，则sin α的值等于( )22 B.22 C.±22D.±2111.集合A={α｜α=k ·90°,k ∈N +}中各角的终边都在( )轴的正半轴上轴的正半轴上轴或y 轴上轴的正半轴或y 轴的正半轴上12.α是一个任意角，则α与-α的终边是( )A.关于坐标原点对称B.关于x 轴对称C.关于直线y=x 对称D.关于y 轴对称 13.集合X={x ｜x=(2n+1)·180°,n ∈Z}，与集合Y={y ｜y=(4k ±1)·180°,k ∈Z}之间的关系是( C )C.Ｘ=Y≠Y14.设α、β满足-180°＜α＜β＜180°，则α-β的范围是( )°＜α-β＜0° °＜α-β＜180° °＜α-β＜0°°＜α-β＜360°15．下列命题中的真命题是（ ）A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角B ．第一象限的角是锐角C ．第二象限的角比第一象限的角大D ．角α是第四象限角的充要条件是2k π－2π＜α＜2k π(k ∈Z )16．设k ∈Z ，下列终边相同的角是 （ ）A ．（2k +1）·180°与（4k ±1）·180°B ．k ·90°与k ·180°+90°C ．k ·180°+30°与k ·360°±30°D ．k ·180°+60°与k ·60°17．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是 （ ）A ．2B ．1sin 2C ．1sin 2D ．2sin18．一钟表的分针长10 cm ，经过35分钟，分针的端点所转过的长为：（ ）A ．70 cmB ．670cm C ．(3425-3π)cm D ．3π35 cm 19．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．以上都不对20．设集合M ={α|α=5-2ππk ，k ∈Z }，N ={α|－π＜α＜π}，则M ∩N 等于 （ ） A ．{－105ππ3,} B ．{－510ππ4,7} C ．{－5-105ππππ4,107,3,} D ．{07,031-1ππ } 21．某扇形的面积为12cm ，它的周长为4cm ，那么该扇形圆心角的度数为 （ ）A ．2°B ．2C ．4°D ．422．设集合M ={α|α=k π±6π，k ∈Z }，N ={α|α=k π+(－1)k6π，k ∈Z }那么下列结论中正确的是（ ） A ．M =NB ．M NC ．N MD ．M N 且N M二、填空题（每小题4分，共16分，请将答案填在横线上） 23．若角α是第三象限角，则2α角的终边在 2α角的终边在_____________ 24．与－1050°终边相同的最小正角是 . 25．已知α是第二象限角，且,4|2|≤+α则α的范围是 . 26．已知扇形的周长为20 cm ，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积，最大面积是 27. 在半径为12 cm 的扇形中, 其弧长为5π cm, 中心角为θ. θ=__________ (用角度制表示)．28. 已知一扇形在圆的半径为10cm ，扇形的周长是45cm ，那么这个扇形的圆心角为 弧度.任意角的三角函数一、选择题1.有下列命题：①终边相同的角的三角函数值相同； ②同名三角函数的值相同的角也相同；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相同； ④不相等的角，同名三角函数值也不相同. 其中正确的个数是( )B.12.若角α、β的终边关于y 轴对称，则下列等式成立的是( )α=sin β α=cos βα=tan βα=cot β3.角α的终边上有一点P （a ，a ），a ∈R ，a ≠0，则sin α的值是( ) A.22 B.－22 C. 22或－224.若x x sin |sin |+|cos |cos x x +xx tan |tan |=－1，则角x 一定不是( )A.第四象限角B.第三象限角C.第二象限角D.第一象限角·cos3·tan4的值( ) A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在6.若θ是第二象限角，则( )2θ＞02θ＜02θ＞02θ＜0 二、填空题7.若角α的终边经过P （－3，b ），且cos α=－53，则b =_________，sin α=_________. 8.在（0，2π）内满足x 2cos =－cos x 的x 的取值范围是_________. 9.已知角α的终边在直线y =－3x 上，则10sin α+3cos α=_________. 10.已知点P （tan α，cos α）在第三象限，则角α的终边在第_________象限.三、解答题11.已知角α的顶点在原点，始边为x 轴的非负半轴.若角α的终边过点P （－3，y ），且sin α=43y （y ≠0），判断角α所在的象限，并求cos α和tan α的值.1．下列说法正确的是 [ ]A ．小于90°的角是锐角B ．大于90°的角是钝角C ．0°～90°间的角一定是锐角D ．锐角一定是第一象限的角2．设A={钝角}，B=｛小于180°的角}，C={第二象限的角}， D={小于180°而大于90°的角}，则 下列等式中成立的是 [ ]A ．A=CB ．A=BC ．C=D D ．A=DA ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一象限角或第三象限角D ．第一象限角或第二象限角A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称5．若α，β的终边互为反向延长线，则有 [ ]A ．α=-βB ．α=2k π+β(k ∈Z)C ．α=π+βD ．α=(2k+1)π+β(k ∈Z)6已知集合()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+=⋃⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⋅-+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈±==Z k k a a Z k k a a B Z k k a a A k k ,31,31,,3ππππππ则A 、B 的关系A ．A=B B B A ⊃C B A ⊂D ．以上都不对7．在直角坐标系中，若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系一定是 [ ]A ．α+β=πB ．α+β=2k π(k ∈Z)C ．α+β＝n π(n ∈Z)D ．α+β＝(2k+1)π(k ∈Z)8．终边在第一、三象限角的平分线上的角可表示为 [ ]A ．k ·180°+45°(k ∈Z)B ．k ·180°±45°(k ∈Z)C ．k ·360°+45°(k ∈Z)D ．以上结论都不对9．一条弦的长等于半径，则这条弦所对的四周角的弧度为 [ ] A 1 B 2 C 6π或65π D 3π或35π 10．若1弧度的圆心角，所对的弦长等于2，这圆心角所对弧长 [ ] A 21sin B 6π C 1/21sin D 221sin答案：BDDDD BCDCA CBCAD ABDBCBC第二或第四象限；第一或第二象限或终边在y 轴的非负半轴。
《任意角》同步练习及答案(共四套)
《5.1.1 任意角》分层同步练习（一）基础巩固1．下列说法中正确的是（）A.第一象限的角是锐角B.锐角是第一象限的角C.小于90°的角是锐角D.第二象限的角必大于第一象限的角2．下面各组角中，终边相同的是（ ）A ．390，690B ．，750C ．480，D ．3000，3．若角的终边在轴的负半轴上，则角的终边在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．轴的正半轴上D ．轴的负半轴上4．终边在直线上的角的取值集合是（ ）A.B.C. D. 5．给出下列四个结论： ①角是第四象限角；②185角是第三象限角；③475角是第二象限角；④角是第一象限角.其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．将角的终边按顺时针方向旋转所得的角等于________．7．已知，则与角终边相同的最小正角为_______，最大负角为________.8．已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x 轴的非负半轴上，在范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角．（1）；（2）；（3）能力提升9．在~0范围内所有与30角终边相同的角为（ ）︒︒330-︒︒︒420-︒︒840-︒αy α150-︒y x y x =-α{}360135,n n Z αα=⋅+∈{}36045,n n Z α=⋅-∈{}180225,n n Z αα=⋅+∈{}18045,n n Z αα=⋅-∈15-︒︒︒350-︒90︒30︒2015α=-︒α0360α︒≤<︒750795-'95020720-︒︒︒A ．B ．C ．或D ．或10．若角是第三象限角，则角的终边所在的区域是如图所示的区域（不含边界）（ ）A ．③⑦B ．④⑧C ．②⑤⑧D ．①③⑤⑦11．在直角坐标系中，终边在坐标轴上的角的集合是__________．12．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．素养达成13．写出终边在第一象限角平分线与轴的正半轴之间（包括两条边界线）的角的集合（分别用角度和弧度制来表示），并在直角坐标系中用阴影部分表示出来。
5.1.2终边相同的角-学生用卷
5.1.2终边相同的角一、选择题（本大题共50小题，共250.0分）1.与−60∘角的终边相同的角是()A. 300∘B. 240∘C. 120∘D. 60∘2.下面表述不正确的是()A. 终边在x轴上角的集合是{α|α=kπ,k∈Z}B. 终边在y轴上角的集合是{α|α=π2+kπ,k∈Z}C. 终边在坐标轴上的角的集合是{α|α=k⋅π2,k∈Z}D. 终边在直线y=−x上角的集合是{α|α=π4+2kπ,k∈Z}3.下列角与α=36∘终边相同的角为()A. 324∘B. −324∘C. 336∘D. −336∘4.下列说法正确的是()A. 小于90∘的角是锐角B. 钝角是第二象限的角C. 第二象限的角大于第一象限的角D. 若角α与角β的终边相同，那么α=β5.与−420∘终边相同的角是()A. −120∘B. 420∘C. 660∘D. 280∘6.与角315∘终边相同的角是()A. 495∘B. −45∘C. −135∘D. 450∘7.下列各角中，与60∘角终边相同的角是( )A. −300∘B. −60∘C. 600∘D. 1380∘8.下列各角中，与126∘角终边相同的角是()A. −126∘B. 486∘C. −244∘D. 574∘9.与−150∘终边相同的最小正角是()．A. 2π3B. 5π6C. 4π3D. 7π610.与角53∘终边相同的角是()A. 127∘B. 233∘C. −307∘D. −127∘11.与2019∘终边相同的角是()A. 37∘B. 141∘C. −37∘D. −141∘12.与角−390∘终边相同的最小正角是()A. −30∘B. 30∘C. 60∘D. 330∘13.下列角中与80∘终边相同的是( )A. 260∘B. 460∘C. 1160∘D. 1280∘14.与−420∘终边相同的角是( )A. −120∘B. 420∘C. 660∘D. 280∘15.下列角中与80∘终边相同的是()A. 260∘B. 460∘C. 1160∘D. 1280∘16.下列角与α=36∘终边相同的角为( )A. 324∘B. −324∘C. 336∘D. −336∘17.下列角与−750∘角终边不同的是( )A. 330∘B. −30∘C. 680∘D. −110∘A. 120∘B. 60∘C. 180∘D. 240∘19.下列各角中，与−400角终边相同的角是()A. −4000B. 2200C. 3000D. 40020.下列各角中，与50∘的角终边相同的角是()A. −310∘B. −50∘C. 140∘D. 40∘21.410∘角的终边落在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限22.下列角中终边与330∘相同的角是( )A. −30∘B. 30∘C. −630∘D. 630∘23.与−60∘角的终边相同的角是()A. 300∘B. 240∘C. 120∘D. 60∘24.已知α为第二象限角，则α在()2A. 第一、二象限B. 第一、三象限C. 第二、四象限D. 第二、三象限25.与−420∘终边相同的角是( )A. −120∘B. 420∘C. 660∘D. 280∘26.与角1650∘终边相同的角是()A. 30∘B. 210∘C. −30∘D. −210∘27.与2018∘终边相同的角是()A. 38∘B. 142∘C. −38∘D. −142∘28.与−60∘角的终边相同的角是()A. 300∘B. 240∘C. 120∘D. 60∘29.与501∘终边相同的角是()A. −141∘B. −37∘C. 37∘D. 141∘30.与−263o角终边相同的角的集合是( )A. {α|α=k·3600+2500,k∈Z}B. {α|α=k·3600+1970,k∈Z}C. {α|α=k·3600+630,k∈Z}D. {α|α=k·3600−2630,k∈Z}31.下列各角中，与30∘的角终边相同的角是()A. 60∘B. 120∘C. −30∘D. 390∘32.下列各角中，与126∘角终边相同的角是()A. −126∘B. 486∘C. −244∘D. 574∘33.下列各角中与225∘角终边相同的是()A. 585∘B. 315∘C. 135∘D. 45∘34.若角520∘的始边为x轴非负半轴，则它的终边落在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限35.是()角A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限36.下列角中终边与−225∘相同的是A. 45∘B. 135∘C. 225∘D. 315∘37.下列角中终边与330∘相同的角是( )．A. −630∘B. −1830∘C. 30∘D. 990∘38.与−265∘终边相同的角为( )．A. 95∘B. −95∘C. 85∘D. −85∘39.−1000∘角的终边在( )A. 第一象限．B. 第二象限．C. 第三象限．D. 第四象限．40.与−420∘终边相同的角是( )A. −120∘B. 420∘C. 660∘D. 280∘A. 150∘．B. 210∘．C. 30∘．D. 330∘．42.375∘角所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限43.−390∘角是()A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角44.与−670∘角终边相同的最小正角是()A. 40∘B. 50∘C. 70∘D. 80∘45.与角315∘终边相同的角是A. 495∘B. −45∘C. −135∘D. 450∘46.与−330∘角终边相同的角的集合是A. {α|α=k·360∘+30∘,k∈Z}B. {α|α=k·360∘−30∘,k∈Z}C. {α|α=k·360∘−60∘,k∈Z}D. {α|α=k·360∘+60∘,k∈Z}47.435∘角的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限48.下列角终边位于第二象限的是( )A. 420∘B. 860∘C. 1060∘D. 1260∘49.在0∘～360∘范围内，与−390∘终边相同的角是()A. 30∘B. 60∘C. 210∘D. 330∘50.角−870∘的终边所在的象限是( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题（本大题共20小题，共100.0分）51.在0∘～180∘范围内，与−950∘终边相同的角是______ ．52.已知角α的终边经过点P(3,√3)，则与α终边相同的角的集合是______ ．53.α与角150∘终边相同，则α是______ 象限角．254.与−2014∘终边相同的最小正角是______ ．55. 1.与−840∘角的终边相同的最小正角为．56.20200是第______________象限角．57.与−1050∘终边相同的最小正角是________．58.在0∘到360∘范围内，与角−60∘的终边相同的角为______．59.2021∘是第象限角.60.在0∘∼360∘范围内，与−30∘角终边相同的角是__________．61.与−2018∘角终边相同的最小正角是______62.与−660∘角终边相同的最小正角是______．63.与−20020终边相同的最小正角是_______________64.与−1050∘终边相同的最小正角是________．65.角1405∘是第________象限角．66.在0∘～360∘到之间与−120∘终边相同的角是____________．67.与250∘角终边相同的角表示为__________________．68.与−2010∘终边相同的最小正角是__________．69.与2018∘角的终边相同，且在0∘～360∘内的角是____．70.与30∘角终边相同的角α=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）71.已知角β的终边在直线y=−x上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360∘<β<360∘的元素．72.写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式−360∘≤β<720∘的元素β写出来：(1)60∘；(2)−21∘．73.已知角β的终边在直线√3x−y=0上．(1)写出角β的集合S；(2)写出S中适合不等式−360∘≤β<360∘的元素．74.在与角−2013∘终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)−720∘～720∘内的角．75.在与530∘终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)−720∘到−360∘的角．。
[三角函数试题]任意角弧度制共3组题
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课下能力提升(1)--任意角题组1终边相同的角及区域角的表示1．与－457°角的终边相同的角的集合是A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z} 2．终边在直线y＝－x上的所有角的集合是A．{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°－45°，k∈Z}C．{α|α＝k·180°＋225°，k∈Z}D．{α|α＝k·180°－45°，k∈Z}3．与角－1 560°终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是________．4．已知－990°<α<－630°，且α与120°角的终边相同，则α＝________.5．(1)写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来：①60°；②－21°.(2)试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α写出来．题组2象限角的判断6．－1 120°角所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7．下列叙述正确的是()A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小8．若α是第四象限角，则180°＋α一定是() A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角题组3nα或αn所在象限的判定9．已知角2α的终边在x轴上方，那么α是() A．第一象限角B．第一或第二象限角C．第一或第三象限角D．第一或第四象限角[能力提升综合练]1．已知集合A＝{α|α小于90°}，B＝{α|α为第一象限角}，则A∩B＝()A．{α|α为锐角}B．{α|α小于90°}C．{α|α为第一象限角}D．以上都不对2．终边在第二象限的角的集合可以表示为() A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k ∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}3．若集合M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{x|x ＝90°＋k·45°，k∈Z}，则()A．M＝N B．M⊇NC．M⊆N D．M∩N＝∅4．角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系为()A．α＋β＝k·360°，k∈ZB．α＋β＝k·360°＋180°，k∈ZC．α－β＝k·360°＋180°，k∈ZD．α－β＝k·360°，k∈Z5．如果将钟表拨快10分钟，则时针所转成的角度是_____度，分针所转成的角度是_______度．6．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，则角α＝________．7．写出终边在如下列各图所示阴影部分内的角的集合．8．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．课下能力提升2 弧度制题组1弧度的概念1．下列叙述中正确的是()A．1弧度是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位2．与角－π6终边相同的角是()A.5π6 B.π3 C.11π6 D.2π33．角－2912π的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限题组2角度与弧度的换算4．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是π3B．－103π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－76πD.π12化成度是15°5．把角－690°化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式为________．6．已知角α＝2 010°.(1)将α改写成θ＋2kπ(k∈Z，0≤θ＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角；(3)在区间[0，5π)上找出与α终边相同的角．题组3 扇形的弧长公式和面积公式的应用 7．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对的弧长为( )A.403πB.203πC.2003D.4003π 8．若扇形的面积为3π8，半径为1，则扇形的圆心角为( )A.3π2B.3π4C.3π8D.3π169．一个扇形的面积为1，周长为4，则圆心角的弧度数为________．10.如图，已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB 的面积．[能力提升综合练]1．角α的终边落在区间⎝⎛⎭⎫－3π，－5π2内，则角α所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )A.1sin 0.5B ．sin 0.5C ．2sin 0.5D ．tan 0.53．圆弧长度等于其所在圆内接正三角形的边长，则该圆弧所对圆心角的弧度数为( )A.π3B.2π3C. 3 D ．2 4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}C ．{α|－4≤α≤4}D ．{α|0≤α≤π}5．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为________．6．若角α的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]上，终边与α4角的终边相同的角是________．7．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限角；(2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.8．如图所示，已知一长为3dm ，宽为1 dm 的长方体木块在桌面上做无滑动的翻滚，翻滚到第四次时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A 走过的路径长及走过的弧所在扇形的总面积．§1.1 任意角和弧度制练习一、选择题1.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是( )(A) 90°-α (B) 90°+α (C)360°-α(D)180°+α2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 (A){α|α=k ·360°，k ∈Z} (B){α|α=k ·180°+90°，k ∈Z}(C){α|α=k ·180°，k ∈Z} (D){α|α=k ·90°，k ∈Z}3.若角α、β的终边关于y 轴对称，则α、β的关系一定是（其中k ∈Z ）( ) (A) α+β=π（B) α-β=2π(C) α-β=(2k +1)π(D) α+β=(2k +1)π4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( ) (A)3π (B)32π(C)3 (D)25.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是 (A)3π (B)－3π(C)6π (D)－6π *6.已知集合A ={第一象限角}，B ={锐角}，C ={小于90°的角}，下列四个命题：①A =B =C ②A ⊂C ③C ⊂A ④A ∩C =B , 其中正确的命题个数为(A)0个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二.填空题7.终边落在x 轴负半轴的角α的集合为，终边在一、三象限的角平分线上的角β的集合是. 8. -1223πrad 化为角度应为. 9.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的倍.*10.若角α是第三象限角，则2α角的终边在，2α角的终边在.三.解答题11.试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合，并指出上述集合中介于-1800和1800之间的角.12.已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.13.已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？*14.如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.任意角答案1.解析：选C由于－457°＝－1×360°－97°＝－2×360°＋263°，故与－457°角终边相同的角的集合是{α|α＝－457°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}．2.解析：选D因为直线过原点，它有两个部分，一部分出现在第二象限，一部分出现在第四象限，所以排除A、B.又C项中的角出现在第一、三象限，故选D.3.解析：－1 560°＝(－5)×360°＋240°，而240°＝360°－120°，故最小正角为240°，而最大负角为－120°.答案：240°－120°4.解析：∵α与120°角终边相同，故有α＝k·360°＋120°，k∈Z.又－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，即－1 110°<k·360°<－750°.当k＝－3时，α＝(－3)·360°＋120°＝－960°.答案：－960°5.解：(1)①S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－300°，60°，420°；②S＝{α|α＝－21°＋k·360°，k∈Z}，其中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α为：－21°，339°，699°.(2)终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k ∈Z}，其中适合不等式－180°≤α＜180°的元素α为：－60°，120°.6.解析：选D由题意，得－1 120°＝－4×360°＋320°，而320°在第四象限，所以－1 120°角也在第四象限．7.解析：选B90°的角是三角形的内角，它不是第一、二象限角，故A错；280°的角是第四象限角，它是正角，故C错；－100°的角是第三象限角，它比钝角小，故D错．8.解析：选B∵α是第四象限角，∴k·360°－90°<α<k·360°.∴k·360°＋90°<180°＋α<k·360°＋180°.∴180°＋α在第二象限，故选B.9.解析：选C由条件知k·360°<2α<k·360°＋180°，(k∈Z)，∴k·180°<α<k·180°＋90°(k∈Z)，当k为偶数时，α在第一象限，当k为奇数时，α在第三象限．[能力提升综合练]1.解析：选D小于90°的角包括锐角及所有负角，第一象限角指终边落在第一象限的角，所以A∩B是指锐角及第一象限的所有负角的集合，故选D.2.解析：选D终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z}，而选项D是从顺时针方向来看的，故选项D正确．3.解析：选C M＝{x|x＝45°＋k·90°，k∈Z}＝{x|x＝(2k＋1)·45°，k∈Z}，N＝{x|x＝90°＋k·45°，k∈Z}＝{x|x＝(k＋2)·45°，k∈Z}．∵k∈Z，∴k＋2∈Z，且2k＋1为奇数，∴M N.4.解析：选B法一：特殊值法：令α＝30°，β＝150°，则α＋β＝180°.法二：直接法：∵角α与角β的终边关于y轴对称，∴β＝180°－α＋k·360°，k∈Z，即α＋β＝k·360°＋180°，k∈Z.5.解析：将钟表拨快10分钟，则时针按顺时针方向转了10×360°12×60＝5°，所转成的角度是－5°；分针按顺时针方向转了10×360°60＝60°，所转成的角度是－60°.答案：－5 －606.解析：∵角5α与α具有相同的始边与终边， ∴5α＝k ·360°＋α，k ∈Z .得 4α＝k ·360°， 当k ＝3时，α＝270°. 答案：270°7.解：先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得(1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }；(2){α|150°＋k ·360°≤α≤390°＋k ·360°，k ∈Z }．8.解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k ·360°，k ∈Z .∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°. 取k ＝1，得α＋β＝80°.①∵α－β＝670°＋k ·360°，k ∈Z ，α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.取k ＝－2，得α－β＝－50°.② 由①②，得α＝15°，β＝65°.弧度制答案1.解析：选D 由弧度的定义知，选项D 正确．2.解析：选C 与角－π6终边相同的角的集合为{α|α＝－π6＋2k π，k ∈Z }，当k ＝1时，α＝－π6＋2π＝11π6，故选C.3.解析：选D －2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限，故选D.4.解析：选C 对于A ，60°＝60×π180＝π3；对于B ，－10π3＝－103×180°＝－600°；对于C ，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D ，π12＝112×180°＝15°.5.解析：法一：－690°＝－⎝⎛⎫690×π180＝－236π.∵－236π＝－4π＋π6，∴－690°＝－4π＋π6.法二：－690°＝－2×360°＋30°，则－690°＝－4π＋π6.答案：－4π＋π66.解析：(1)2 010°＝2 010×π180＝67π6＝5×2π＋7π6.又π<7π6<3π2，角α与角7π6的终边相同，故α是第三象限角．(2)与α终边相同的角可以写为β＝7π6＋2k π(k ∈Z )．又－5π≤β＜0，∴k ＝－3，－2，－1.当k ＝－3时，β＝－29π6；当k ＝－2时，β＝－17π6；当k＝－1时，β＝－5π6.(3)与α终边相同的角可以写为γ＝7π6＋2k π(k ∈Z )． 又0≤γ＜5π，∴k ＝0，1.当k ＝0时，γ＝7π6；当k ＝1时，γ＝19π6.7.解析：选A 240°＝240180π＝43π，∴弧长l ＝43π×10＝403π，选A.8.解析：选B S 扇形＝12lR ＝12(αR )·R ＝12αR 2，由题中条件可知S 扇形＝3π8，R ＝1，从而α＝2S 扇形R 2＝3π41＝3π4，故选B. 9.解析：设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4.根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12l ·R . 联立⎩⎪⎨⎪⎧2R ＋l ＝4，12l ·R ＝1.解得R ＝1，l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2.答案：210.∵120°＝120180π＝23π，∴l ＝6×23π＝4π，∴AB ︵的长为4π.∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，如图所示，有S △OAB ＝12×AB ×OD (D 为AB 中点)＝12×2×6cos 30°×3＝9 3. ∴S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12π－9 3. ∴弓形ACB 的面积为12π－9 3.[能力提升综合练]1.解析：选C －3π的终边在x 轴的非正半轴上，－5π2的终边在y 轴的非正半轴上，故角α为第三象限角．2.解析：选A 连接圆心与弦的中点，则弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角三角形．弦长的一半为1，弦所对的圆心角也为1，所以圆的半径为1sin 0.5，所以该圆心角所对的弧长为1×1sin 0.5＝1sin 0.5，故选A. 3.解析：选C 如图，设圆的半径为R ，则圆的内接正三角形的边长为3R ，所以圆弧长度为3R 的圆心角的弧度数α＝3RR＝ 3.4.解析：选B 如图，在k ≥1或k ≤－2时，[2k π，(2k ＋1)π]∩[－4，4]为空集，分别取k ＝－1，0，于是A ∩B ＝{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}．5.解析：A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝π5，B ＝π3，C ＝7π15.答案：π5，π3，7π156.解析：由题意，得α＝8π5＋2k π，∴α4＝2π5＋k π2(k ∈Z )． 令k ＝0，1，2，3，得α4＝2π5，9π10，7π5，19π10.答案：2π5，9π10，7π5，19π107.解：(1)∵－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，∴α＝－800°＝14π9＋(－3)×2π. ∵α与14π9角终边相同，∴α是第四象限角．(2)∵与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z的形式，而γ与α的终边相同，∴γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，∴－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，∴γ＝－2π＋14π9＝－4π9.8.解：AA 1︵所在的圆半径是2 dm ，圆心角为π2；A 1A 2︵所在的圆半径是1 dm ，圆心角为π2；A 2A 3所在的圆半径是3dm ，圆心角为π3，所以点A 走过的路径长是三段圆弧之和，即2×π2＋1×π2＋3×π3＝（9＋23）π6(dm)．三段圆弧所在扇形的总面积是12×π×2＋12×π2×1＋12×3π3×3＝7π4(dm 2)． §1.1 任意角和弧度制练习答案 一、CDDCBA 二、7.{x |x =k ·3600+1800, k ∈Z },{x |x =k ·1800+450,k ∈Z } ; 8.-345°; 9.31; 10.第二或第四象限,第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上 三、11.{ α|α=k ·3600+1200或α=k ·3600+3000, k ∈Z } -60° 120°12.由7θ=θ+k ·360°，得θ=k ·60°（k ∈Z ）∴θ=60°，120°，180°，240°，300°13.∵l =20－2r ,∴S =21lr =21(20-2r )·r =－r 2+10r =-(r -5)2+25∴当半径r =5 cm 时，扇形的面积最大为25 cm 2,此时，α=rl=55220⨯-=2(rad) 14.A 点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜23π,14分钟后回到原位，∴14θ=2k π,θ=72πk ，且2π<θ<43π，∴θ=74π或75π。
习题《任意角》
任意角练习1．下列命题中，正确的是()A．第一象限角必是锐角B．终边相同的角必相等C．相等角的终边位置必相同D．不相等的角其终边位置必不相同2．－215°是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角3．下列各组角中，终边相同的是() A．390°，690°B．－330°，750°C．480°，－420°D．3000°，－840°4．与－457°角终边相同角的集合是() A．{α|α＝k·360°＋457°，k∈Z}B．{α|α＝k·360°＋97°，k∈Z}C．{α|α＝k·360°＋263°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°－263°，k∈Z}5．将射线OM 绕端点O 按逆时针方向旋转120°所得的角为( )A ．120°B ．－120°C ．60°D ．240°6．－30°是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角7．已知A ＝{第一象限角}，B ＝{锐角}，C ＝{小于90°的角}，那么A 、B 、C 的关系是( )A ．B ＝A ∩CB ．B ∪C ＝CC ．A CD ．A ＝B ＝C8．已知角α是第二象限角，α2是( )。
A ．第一象限角的集合B ．第一或第二象限角的集合C ．第一或第三象限角的集合D ．第一或第四象限角的集合9．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为( )A ．k ·360°＋β(k ∈Z)B ．k ·360°－β(k ∈Z)C ．k ·180°＋β(k ∈Z)D ．k ·180°－β(k ∈Z)10．若φ是第二象限角，那么φ2和90°－φ都不是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角答案解析1．C解析：锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，因此A错误；由终边相同角的概念知C正确．故选：C.2．B解析：由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．故选：B.3．B解析：由于－330°=﹣3×360°+750°，故这两个角的终边相同.故选：B.4．C解析：与－457°角终边相同的角是α＝k·360°－457°，k∈Z，而α＝k·360°＋263°＝(k＋2)·360°＋263°－720°＝(k＋2)·360°－457°，k∈Z.∴与－457°角终边相同角的集合是C.故选：C.5.A解析：由角的定义可知：逆时针旋转120°，可得角的度数为120°，故选：A.解析：﹣30°=﹣360°+330°，所以﹣30°和330°是同一个终边所对的角，故是第四象限角.故选：D.7. B解析：A ＝{第一象限角}＝{θ|k ·360°<θ<90°＋k ·360°，k ∈Z}，B ＝{锐角}＝{θ|0<θ<90°}，C ＝{小于90°的角}＝{θ|θ<90°}，故选：B.8. C解析：角α是第二象限角即{α|90°+k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z}，则45°+k ·180°<2<90°＋k ·180°.故选：C.9．B解析：因为角α和角β的终边关于x 轴对称，所以α＋β＝k ·360°(k ∈Z)，所以α＝k ·360°－β(k ∈Z)．故选：B.10. B解析：∵φ是第二象限角，∴k ·360°＋90°<φ<k ·360°＋180°，k ∈Z ，∴k ·180°＋45°<φ2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，即φ2终边是第一或第三象限角，而－φ显然是第三象限角，∴90°－φ是第四象故选：B.。