三角形全等的判定：角边角、角角边

居安思危
——洪水未到先筑堤,豺狼未来先磨刀. 一只野狼卧在草上勤奋地磨牙,狐狸看到了,就对它说:天气这么好,大 家在休息娱乐,你也加入我们队伍中吧!野狼没有说话,继续磨牙,把它的牙 齿磨得又尖又利.狐狸奇怪地问道:森林这么静,猎人和猎狗已经回家了,老 虎也不在近处徘徊,又没有任何危险,你何必那么用劲磨牙呢?野狼停下来回 答说:我磨牙并不是为了娱乐,你想想,如果有 一天我被猎人或老虎追逐,到 那时,我想磨牙也来不及了.而平时我就把牙磨好,到那时就可以保护自己了.
等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
用符号语言表达为：
A D
在△ABC与△DEF中 AC=DF
∠C=∠F BC=EF
B
C F E
∴△ABC≌△DEF（SAS）
知识回顾:
A
B SSA不能 判定全等
A
C A
B
D
C
B
D
1.若AB=AC，则添加一个什么条件可得 A △ABD≌ △ACD?
△ABD≌ △ACD
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA）
你能吗?
B A
AB=DE可以吗？
×
C
F
1、如图∠ACB=∠DFE， BC=EF，那么应补充一个条 件 ------------------------- ，才 能使△ABC≌△DEF （写出 一个即可）。 ∠B=∠E AB ∥DE （ASA）
E
F
在△ABC和△DEF中 ∠B=∠E BC=EF ∠C=∠F ∴△ABC≌△DEF（ASA）
两角及一角的对边对应相等的 你能从上题中得到什么结论？ 两个三角形全等（AAS）。
如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
C
′ C
B
A
′ A
B′
证明:在△ABC与△A′ B′ C′ 中
∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′
BC=B′ C′
∴△ABC≌△A’B’C’（AAS）
?
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等， 简写成“角边角”或“ASA”。
（ASA）
两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形 全等，简写成“角角边”或“AAS”
两个三角形全等 的判定方法
（AAS）
试一试 下列条件能否判定△ABC≌△DEF. （1）∠A=∠E AB=EF ∠B=∠D （2）∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E
1、如图，已知AB=DE， ∠A =∠D， ,∠B=∠E，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角边角（ASA）
2、如图，已知AB=DE ,∠A=∠D，,∠C=∠F，则 △ABC ≌△DEF的理由是： 角角边（AAS） C F
A
B
D
E
例1 、如图 ，AB=AC,∠B=∠C,那么△ABE和 △ACD全等吗？为什么？ A D E 证明: 在△ABE与△ACD中 ∠B=∠C （已知）
D E
或∠A=∠D （AAS）
或 AC=DF
（SAS）
拓展 1.根据题目条件，判别下面的两个三 角形是否全等，并说明理由.
（不全等，因 为BC虽然是公 共边，但不是 对应边。）
2.要使下列各对三角形全等，需要增加什 么条件？ （1） （2）
∠ A=∠ D, ∠ B=∠ F, _________;
′ B′ AB=A ∠B=∠B′
∠A=∠A′
∴△ABC≌△A’B’C’（ASA）
?
探索2
A
在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D, ∠B=∠E,BC=EF, △ABC和 △DEF全等吗？为什么？
分析：能否转化为ASA? 证明：∵ ∠A=∠D, ∠B=∠E(已知) C
∴∠C=∠F(三角形内角和定理)
B D
请先画图试试看
如图,小明不慎将一块三角形模具打碎为两块,他是否可 以只带其中的一块碎片到商店去,就能配一块与原来一 样的三角形模具吗? 如果可以,带哪块去合适? 你能说明其中理由吗?
利用“角边角定理”可知 ,带 B 怎么办？可以帮帮 我吗？ 块去，可以配到一个与原来全 等的三角形玻璃。
A
B
考考你
∴ ∠BAD =∠ABE
∴△ABD≌△BAE (A.S.A)
知识要点： (1) 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角边角”或“ASA”. (2) 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等. 简写成“角角边”或“AAS”. （3）探索三角形全等是证明线段相等（对应边相等）， 角相等（对应角相等）等问题的基本途径。
两角及其中一角的对边。
探索1
观察下图中的△ABC，画一个△A ′ B′ C′ ，使 A′ B′ =AB , ∠A ′= ∠A， ∠B′= ∠B
画法: 1.画 A′B′=AB； 2.在A′ B′ 的同旁画∠DA′B ′= ∠A ,∠EB′A ′= ∠B,
A′ D′、B ′E交于点C′
C E ′ C B A ′ D
温馨提示:做事应该未雨绸缪,居安思危,这样在危险突然降 临时,才不至于手忙脚乱.书到用时方恨少,平常若不充实学问, 临时抱佛脚是来不及的.也有人抱怨没有机会,然而当升迁机会 来临时,再叹自己平时没有积蓄足够的学识与能力,以致不能胜 任,也只好后悔莫及
知识回顾:
三角形全等判定方法
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全
A
A'
）
ABE ∴△____ ≌△A’CD ____（ ASA）
E B
D C
考考你
1、如图：已知AB∥DE，AC∥DF， BE=CF。求证：△ABC≌△DEF。
A D B E C F
证明：∵ BE=CF(已知) ∴BC=EF(等式性质) ∵ AB∥DE
AC∥DF (已知) ∴ ∠B=∠DEF , ∠ACB=∠F
A
B′
观察：△A′ B′ C′ 与 △ABC 全等吗？怎么验证？ 思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？
结论:两角及夹边对应相等的两个三角形全等(A等(ASA). 如 何 用 符 号 语 言 来 表 达 呢
C
′ C
B
A
′ A
B′
证明:在△ABC与△A′ B′ C′ 中
AB=AC （已知）
∠A= ∠A （公共角） C ∴ △ABE ≌△ACD （ASA）
B
变一变
1.如图，AD=AE,∠B=∠C，那么BE和CD相等 么？为什么？ BE=CD A 证明:你还能得出其他 在△ABE与△ACD中
什么结论？ ∠B=∠C （已知）
D
O
E
∠A= ∠A
AE=AD C ∴ △ABE
∠A=∠D, AB=DE, _________;
3. 已知：如图，△ABC ≌△A’B’C’， AD、A’D’ 分别是△ABC 和△A’B’C’ 的高。试说明AD＝ A’D’ ，并用一句话说 出你的发现。
A
A’
B
D
C
B’
D’ C’
全等三角形对应边上的高也相等。
4、△ABC是等腰三角形，AD、BE 分别是∠A、 ∠B 的角平分线，△ABD和△BAE 全等吗？试 说明理由. 解 ∵ △ABC是等腰三角形 ∴ AC=BC ∠A＝∠B 又∵ AD、BE 分别是 ∠A、∠B 的角平分线 1 ∴ ∠BAD＝ ∠A ∠BAD =∠ABE 2 ∵ AB为公共边 1 ∠ABE＝ 2 ∠B ∠EAB=∠DBA
D
4
(2)∠1=∠2
O
1 2
B
C
练习1 已知：如图，AB=A′ C ，∠A=∠A′，
∠B=∠C 求证：△ABE≌ △ A′ CD
证明：在 △ABE 和 △A’CD中 ∠ A=∠A’ （ 已知 ________ AB=A’C ________ （ 已知 ∠ B=∠C （ 已知 ________ ） ）
D C
B S A S AD=AD ∠BAD= ∠CAD AB=AC
继续探讨三角形全等的条件： 两角一边
思考：已知一个三角形的两个角和一条边，那么两个角 与这条边的位置上有几种可能性呢？ A A
B
图1
C
B
C
图2
在图1中， 边AB是∠A与∠B 的夹边，我们称这种位置关系 为两角夹边
在图2中， 边BC是∠A的对 边， 我们称这种位置关系为
（公共角）
（已知） ≌△ACD（AAS）
B
∴ BE=CD （全等三角形对应边相等）
例2. 如图,O是AB的中点， A = B ， AOC 与 BOD 全等吗? 为什么？
C
两角和夹 边对应相 等
A
O
B
D
例3
如图：已知∠ABC=∠DCB， A ∠3=∠4，求证: (1)△ABC≌△DCB。
3