2014挑战中考数学压轴题_1.3因动点产生的直角三角形问题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

如图1，抛物线213

442

y x x =

--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧）

，与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个

动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．

请打开超级画板文件名“13山西26”，拖动点P 在线段OB 上运动，可以体验到，当P 运动到OB 的中点时，四边形CQMD 和四边形CQBM 都是平行四边形．拖动点P 在线段EB 上运动，可以体验到，∠DBQ 和∠BDQ 可以成为直角．

思路点拨

1．第（2）题先用含m 的式子表示线段MQ 的长，再根据MQ ＝DC 列方程．

2．第（2）题要判断四边形CQBM 的形状，最直接的方法就是根据求得的m 的值画一个准确的示意图，先得到结论．

3．第（3）题△BDQ 为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形．

满分解答

（1）由2131

4(2)(8)424

y x x x x =

--=+-，得A (－2,0)，B (8,0)，C (0,－4)． （2）直线DB 的解析式为1

42

y x =-+．

由点P 的坐标为(m , 0)，可得1(,4)2M m m --，213

(,4)42

Q m m m --．

所以MQ ＝221131

(4)(4)82424

m m m m m -+---=-++．

当MQ ＝DC ＝8时，四边形CQMD 是平行四边形． 解方程21884

m m -++=，得m ＝4，或m ＝0（舍去）． 此时点P 是OB 的中点，N 是BC 的中点，N (4,－2)，Q (4,－6)．

所以MN ＝NQ ＝4．所以BC 与MQ 互相平分． 所以四边形CQBM 是平行四边形．

图2 图3

（3）存在两个符合题意的点Q ，分别是(－2,0)，(6,－4)．

考点伸展

第（3）题可以这样解：设点Q 的坐标为1(,(2)(8))4

x x x +-．

①如图3，当∠DBQ ＝90°时， 12QG BH GB HD ==．所以1

(2)(8)

1

482

x x x -+-=-．

解得x ＝6．此时Q (6,－4)．

②如图4，当∠BDQ ＝90°时， 2QG DH GD HB ==．所以1

4(2)(8)

42x x x

-+-=-． 解得x ＝－2．此时Q (－2,0)．

图3 图4

例1 2012年广州市中考第24题

如图1，抛物线233

384

y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y

轴交于点C ．

（1）求点A 、B 的坐标；

（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；

（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．

三个时，求直线l 的解析式．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

请打开超级画板文件名“12广州24”，拖动点M 在以AB 为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

思路点拨

1．根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D 有两个．

2．当直线l 与以AB 为直径的圆相交时，符合∠AMB ＝90°的点M 有2个；当直线l 与圆相切时，符合∠AMB ＝90°的点M 只有1个．

3．灵活应用相似比解题比较简便．

满分解答

（1）由2333

3(4)(2)848

y x x x x =--+=-+-，

得抛物线与x 轴的交点坐标为A (－4, 0)、B (2, 0)．对称轴是直线x ＝－1．

（2）△ACD 与△ACB 有公共的底边AC ，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，点B 、D 到直线AC 的距离相等．

过点B 作AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D ，在AC 的另一侧有对应的点D ′． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为G ，与AC 交于点H ．

由BD //AC ，得∠DBG ＝∠CAO ．所以

3

4

DG CO BG AO ==． 所以3944DG BG ==，点D 的坐标为9

(1,)4

-．

因为AC //BD ，AG ＝BG ，所以HG ＝DG ．

而D ′H ＝DH ，所以D ′G ＝3DG 274=．所以D ′的坐标为27

(1,)4

．

图2 图3

（3）过点A 、B 分别作x 轴的垂线，这两条垂线与直线l 总是有交点的，即2个点M ． 以AB 为直径的⊙G 如果与直线l 相交，那么就有2个点M ；如果圆与直线l 相切，就只有1个点M 了．