中考数学压轴题(对称问题、双动点对称问题)

y —x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、B (- 1, 0)两

点，过点A 作直线AC 丄x 轴，交直线y =2 x 于点C ; (1 )求该抛物线的解析式;

(2)求点A 关于直线y =2x 的对称点A '的坐标，判定点A '是否在抛物线上，并说明理由;

(3 )点P 是抛物线上一动点，过点 P 作y 轴的平行线，交线段 CA '于点M ，是否存在这样的点 P ,

使四边形PACM 是平行四边形？若存在，求出点

P 的坐标；若不存在，请说明理由.

/

\

/

/.

r 习

O /A

x

分析： (1、利用待定系数法求出抛物线的解析式;

(2 )首先求出对称点 A '的坐标，然后代入抛物线解析式，即可判定点 A '是否在抛物线上•本问关 键在于求出A '的坐标•如答图所示，作辅助线，构造一对相似三角形

Rt △A t A“Rt △OAC ，禾U 用相

似关系、对称性质、勾股定理，求出对称点 A '的坐标；

(3)本问为存在型问题•解题要点是利用平行四边形的定义，列出代数关系式求解•如答图所示， 平行四边形的对边平行且相等，因此 PM = AC =10 ;利用含未知数的代数式表示出 PM 的长度，然

后列方程求解.

可+5b 心0

1 ，

解得

丄-b+c=O 4

(2014 ?济宁，第22题11分)如图，抛物线 解答：解：(1 )：y =

—x 2+ bx + c 与 x 轴交于 A (5, 0)、 B (- 1 , 0、两点, 抛物线的解析式为

(2、如答图所示，过点A '作A'E丄x轴于E, AA '与OC交于点D ,

•••点 C 在直线 y =2x 上，「.c ( 5, 10 )

•••点A 和A '关于直线y =2x 对称，••• OC 丄AA ' , D = AD .

••OA =5 , AC =10 ,

•••°c=J OA ' + A 严珂5? +1*= 5诉.•••S ^OAC =3OC ?AD =2OA ?AC , ••AD U Q 诉.-AA =^5,

在 Rt △A t A 和 Rt △OAc 中，T /A'AE + ZA'A C =90 °,A CD + ZA A C =90 ° ,

•••zA 'AE = /ACD .又 vZ A 'EA = Z°AC =90 ° , 『F AK •••Rt △A EA“Rt

ZOAC .••••

••A 'E =4 , AE =8 .•••°E =AE - °A =3 .•••点 A '的坐标为(-3 , 4),

••PM //AC,

•要使四边形PACM 是平行四边形，只需 PM = AC •又点M 在点P 的上方,

會-x -

》=10 .

解得X 1=2 , X 2=5 （不合题意，舍去） 当 x =2 时，y =-

OA AC OC

当 x = - 3 时，y =-x( -3) 2+3

4 --=4 •所以，点A '在该抛物线上.

4

（3）存在•理由：设直线 CA A 的解析式为y =kx + b ,

5出丸

-3k+b=4

x ，gx 2

-x -

斗），则点M 为（x ,

3 25 —x+—

4 4

4 4

•当点P 运动到（2 ,

）时，四边形 PACM 是平行四边形.

4

，解得

设点P 的坐标为（ ).

•直线CA '的解析式为y 宀讨…9分）

点评：本题是二次函数的综合题型，考查了二次函数的图象及性质、待定系数法、相似、平行四边形、勾股定理、对称等知识点，涉及考点较多，有一定的难度.第( 2)问的要点是求对称点 A '的坐标，

第(3)问的要点是利用平行四边形的定义列方程求解.

.(2014 ?贵州黔西南州，第26题16分)如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx + c经过A (- 3, 0 )、B (1 , 0 )、C (0 , 3 )三点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点

(不与A、D重合)，过点P作y轴的垂线，垂足点为E,连接AE.

(1 )求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；

(2 )如果P点的坐标为(x, y), APAE的面积为S,求S与x之间的函数关系式，直接写出自变量

x的取值范围，并求出S的最大值；

(3 )在(2)的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F,连接EF,把厶PEF沿

实用文案

直线EF折叠，点P的对应点为点

第1题图

分析： (1 )由抛物线y = ax 2+ bx + c 经过A (- 3 , 0 )、B (1 , 0 )、C (0, 3)三点，则代入求得 a , b ，c ,进而

得解析式与顶点 D .

(2) 由P 在AD 上，则可求 AD 解析式表示P 点•由S/APE =?PE ?y p ，所以S 可表示，进而由 函数最值性质易得 S 最值.

(3) 由最值时，P 为(-,3),贝U E 与C 重合•画示意图，P '过作P 'M 丄y 轴，设边长通过

解直角三角形可求各边长度，进而得 P '坐标•判断P '是否在该抛物线上，将X P '坐标代入解析

式，判断是否为y p '即可.

解答： 解：(1 )•••抛物线 y = ax 2+bx +c 经过 A (- 3, 0)、B (1, 0)、C (0, 3)三点,

• -X 2 - 2x +3= -( x +1 ) 2+4 , •••抛物线顶点坐标 D 为(-1 , 4).

(2) v A (- 3, 0), D (- 1 , 4),

vP 在 AD 上，「.P (x , 2x +6 ),

•S ZAPE = ?PE ?y P = ?( - x )?(2x +6 ) = - x 2 - 3x (- 3 v x v- 1 ),

(3) 如图1，设P'F 与y 轴交于点N ，过P '作PM 丄y 轴于点M ,

9a - 3b-^c=0

a=- 1

丿 a+b+c=O ，解得 b=- 2

、c-3

•••解析式为 y = - x 2 -

2x +3

•••设AD 为解析式为 y = kx + b ，有 (-3k+b=0 (-k+b=4

，解得

•AD 解析式: y =2 x +6 ,

S 取最大值.

当x =