压电铁电物理-王春雷yd(1)
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机电耦合系数 electro-mechanical coupling
factor
➢一般情况下的压电方程组 ➢机电耦合因子
wangcl@sdu.edu.cn
1
一般情况下的压电方程组
在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数 之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之 间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及 各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详 细地重复讨论。
i 1
n 1
6
3
Dm
emi xi
x mn
En
i 1
n 1
X cE x et E
D e x xE
wangcl@sdu.edu.cn
4
第三类压电方程组（Xj，Dm）
6
3
xi siDj X j gmi Dm
j 1
m 1
6
3
Em
gmj X j
X mn
Dn
j 1
n 1
x sD X gt D
x6 s1E6 X1 s2E6 X 2 s3E6 X 3 s4E6 X 4 s5E6 X 5 s6E6 X 6 d16E1 d26E2 d36E3
D1
d11 X 1
d12 X 2
d13 X 3
d14 X 4
d15 X 5
d16 X 6
X 11
E1
X 12
E2
X 13
E3
D2
（2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。 （3）表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应
变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比。
wangcl@sdu.edu.cn
7
压电常数dni=(xi/En)X =(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量En变化引起应 变分量xi的变化与电场分量En的变化之比；或者短路时，由于应力分量Xi变化 引 起 电 位 移 分 量 Dn 的 变 化 与 应 力 分 量 Xi 的 变 化 之 比 。 介 电 常 数 Xmn=(Dm/En)X为机械自由时，由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变 化与电场分量En的变化之比。其它常数与此类似。
3
6
gmi
d x mn ni
siDj hmj
g h sD
X d
n 1
j 1
h g cD x e
3
6
hmi
e x mn ni
ciDj gmj
n 1
j 1
wangcl@sdu.edu.cn
11
举例说明: 第一类压电方程组分量表达式
x1 s1E1X1 s1E2 X 2 s1E3 X 3 s1E4 X 4 s1E5 X 5 s1E6 X 6 d11E1 d21E2 d31E3 x2 s1E2 X1 s2E2 X 2 s2E3 X 3 s2E4 X 4 s2E5 X 5 s2E6 X 6 d12E1 d22E2 d32E3
d 21 X 1
d22 X 2
d23 X 3
d24 X 4
d25 X 5
d26 X 6
X 12
E1
X 22
E2
X 23
E3
D3
d31 X 1
d32 X 2
d33 X 3
d34 X 4
d35 X 5
d36 X 6
X 13
E1
X 23
E2
X 33
E3
wangcl@sdu.edu.cn
12ห้องสมุดไป่ตู้
可见压电方程组共包括九个方程式， 前六个称为弹性方程， 后三个称为介电方程。
et xe ht xh
cE (sE )1 cD (sD )1
wangcl@sdu.edu.cn
10
各类压电常数之间的关系
3
6
dmi
g X mn ni
siEj emj
n 1
j 1
d e sE X g
3
6
emi
h x mn ni
ciEj dmj
n 1
j 1
e d cE x h
每个方程又包括九项，前六项与应力 有关，后三项与电场强度有关。
wangcl@sdu.edu.cn
13
第一类压电方程组的矩阵形式为：
X1
X
2
s1E1 s1E2
X3 X4
x3 s1E3 X1 s2E3 X 2 s3E3 X 3 s3E4 X 4 s3E5 X 5 s3E6 X 6 d13E1 d23E2 d33E3
x4 s1E4 X1 s2E4 X 2 s3E4 X 3 s4E4 X 4 s4E5 X 5 s4E6 X 6 d14E1 d24E2 d34E3 x5 s1E5 X1 s2E5 X 2 s3E5 X 3 s4E5 X 4 s5E5 X 5 s5E6 X 6 d15E1 d25E2 d35E3
wangcl@sdu.edu.cn
8
压电方程组中各常数之间的关系
介电常数与压电常数之间的关系
6
X mn
x mn
dniemi
i 1
6
x mn
X mn
g ni hmi
i 1
X x d et e dt
dcEdt esEet
x X g ht h gt
gcD gt hsDht
x ( x )1 X ( X )1
wangcl@sdu.edu.cn
9
压电方程组中各常数之间的关系
弹性常数与压电常数之间的关 系
3
s
E ij
s
D ij
d mig mj
m1
3
c
D ij
c
E ij
emih mj
m1
sE sD dt g gt d
dt X d gt X g
cD cE et h ht e
E gX XD
wangcl@sdu.edu.cn
5
第四类压电方程组（xi，Dm）
6
3
X i ciDj x j hmiDm
j 1
m 1
6
3
Em hmj x j
x mn
Dn
j 1
n 1
X cD x ht D
E h x xD
wangcl@sdu.edu.cn
6
（1）表中i、j=1、2、3、4、5、6，m、n=1、2、3；
wangcl@sdu.edu.cn
2
第一类压电方程组（Xj，En）
6
3
xi siEj X j dniEn
j 1
n 1
6
3
Dm
dmj X j
X mn
En
j 1
n 1
x sE X dt E
DdX XE
wangcl@sdu.edu.cn
3
第二类压电方程组（xi，En）
6
3
X j ciEj xi enj En
factor
➢一般情况下的压电方程组 ➢机电耦合因子
wangcl@sdu.edu.cn
1
一般情况下的压电方程组
在上节中以z切割的钛酸钡晶片为例，分别讨论了压电方程组以及各常数 之间的关系。下面将进一步给出一般情况下的压电方程组以及各常数之 间的关系。虽然一般情况下的压电方程组比较复杂，但是处理方法以及 各常数之间的关系，基本上与节中一致。所以这里只给出结果，不作详 细地重复讨论。
i 1
n 1
6
3
Dm
emi xi
x mn
En
i 1
n 1
X cE x et E
D e x xE
wangcl@sdu.edu.cn
4
第三类压电方程组（Xj，Dm）
6
3
xi siDj X j gmi Dm
j 1
m 1
6
3
Em
gmj X j
X mn
Dn
j 1
n 1
x sD X gt D
x6 s1E6 X1 s2E6 X 2 s3E6 X 3 s4E6 X 4 s5E6 X 5 s6E6 X 6 d16E1 d26E2 d36E3
D1
d11 X 1
d12 X 2
d13 X 3
d14 X 4
d15 X 5
d16 X 6
X 11
E1
X 12
E2
X 13
E3
D2
（2）表中dt矩阵是d矩阵的转置矩阵，et、gt和ht是e、g和h的转置矩阵。 （3）表中短路弹性柔顺常数sEij=(xi/Xj)E为短路时由于应力分量Xj变化引起应
变分量xi的变化与应力分量Xj的变化之比。
wangcl@sdu.edu.cn
7
压电常数dni=(xi/En)X =(Dn/Xi)E为机械自由时由于电场分量En变化引起应 变分量xi的变化与电场分量En的变化之比；或者短路时，由于应力分量Xi变化 引 起 电 位 移 分 量 Dn 的 变 化 与 应 力 分 量 Xi 的 变 化 之 比 。 介 电 常 数 Xmn=(Dm/En)X为机械自由时，由于电场分量En变化引起电位移分量Dn的变 化与电场分量En的变化之比。其它常数与此类似。
3
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gmi
d x mn ni
siDj hmj
g h sD
X d
n 1
j 1
h g cD x e
3
6
hmi
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n 1
j 1
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举例说明: 第一类压电方程组分量表达式
x1 s1E1X1 s1E2 X 2 s1E3 X 3 s1E4 X 4 s1E5 X 5 s1E6 X 6 d11E1 d21E2 d31E3 x2 s1E2 X1 s2E2 X 2 s2E3 X 3 s2E4 X 4 s2E5 X 5 s2E6 X 6 d12E1 d22E2 d32E3
d 21 X 1
d22 X 2
d23 X 3
d24 X 4
d25 X 5
d26 X 6
X 12
E1
X 22
E2
X 23
E3
D3
d31 X 1
d32 X 2
d33 X 3
d34 X 4
d35 X 5
d36 X 6
X 13
E1
X 23
E2
X 33
E3
wangcl@sdu.edu.cn
12ห้องสมุดไป่ตู้
可见压电方程组共包括九个方程式， 前六个称为弹性方程， 后三个称为介电方程。
et xe ht xh
cE (sE )1 cD (sD )1
wangcl@sdu.edu.cn
10
各类压电常数之间的关系
3
6
dmi
g X mn ni
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n 1
j 1
d e sE X g
3
6
emi
h x mn ni
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n 1
j 1
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每个方程又包括九项，前六项与应力 有关，后三项与电场强度有关。
wangcl@sdu.edu.cn
13
第一类压电方程组的矩阵形式为：
X1
X
2
s1E1 s1E2
X3 X4
x3 s1E3 X1 s2E3 X 2 s3E3 X 3 s3E4 X 4 s3E5 X 5 s3E6 X 6 d13E1 d23E2 d33E3
x4 s1E4 X1 s2E4 X 2 s3E4 X 3 s4E4 X 4 s4E5 X 5 s4E6 X 6 d14E1 d24E2 d34E3 x5 s1E5 X1 s2E5 X 2 s3E5 X 3 s4E5 X 4 s5E5 X 5 s5E6 X 6 d15E1 d25E2 d35E3
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8
压电方程组中各常数之间的关系
介电常数与压电常数之间的关系
6
X mn
x mn
dniemi
i 1
6
x mn
X mn
g ni hmi
i 1
X x d et e dt
dcEdt esEet
x X g ht h gt
gcD gt hsDht
x ( x )1 X ( X )1
wangcl@sdu.edu.cn
9
压电方程组中各常数之间的关系
弹性常数与压电常数之间的关 系
3
s
E ij
s
D ij
d mig mj
m1
3
c
D ij
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E ij
emih mj
m1
sE sD dt g gt d
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cD cE et h ht e
E gX XD
wangcl@sdu.edu.cn
5
第四类压电方程组（xi，Dm）
6
3
X i ciDj x j hmiDm
j 1
m 1
6
3
Em hmj x j
x mn
Dn
j 1
n 1
X cD x ht D
E h x xD
wangcl@sdu.edu.cn
6
（1）表中i、j=1、2、3、4、5、6，m、n=1、2、3；
wangcl@sdu.edu.cn
2
第一类压电方程组（Xj，En）
6
3
xi siEj X j dniEn
j 1
n 1
6
3
Dm
dmj X j
X mn
En
j 1
n 1
x sE X dt E
DdX XE
wangcl@sdu.edu.cn
3
第二类压电方程组（xi，En）
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X j ciEj xi enj En