高等工程数学-05
高等工程数学 PPT
( p, q) 在 Re p>0,Re q>0 内为全纯函数.
18
函数满足如下重要性质:
性质4.对称性 ( p, q) (q, p) 性质5. 与 的关系
( p, q) ( p ) ( q ) ( p q )
19
(1.8)
(1.9)
Section 3. 误差函数
了解特殊函数的定义，熟悉特
殊函数的基本性质
为后续学习打下基础 特殊函数也广泛应用于工程科
学中。
5
内容简介
积分变换理论包括
F－氏变换 L－氏变换 其它变换。如：小波变换等。
6
内容简介
积分变换理论意义
直接用来求解微分方程 广泛应用于其它工程科学。如
振动力学、电工学、无线电技 术等等。
C1
2 (t z )
2
dt
1
(1.15)
4i sin
(t 1)
C2
2 ( z t)
dt
(1.16)
其中,C1为沿(- ,-1)切开的t平面上的一条正向闭 曲线,且含1, z为内点. C2为在t平面上沿负向 绕1一周,沿正向绕点-1一周的8字形闭曲线.
23
本章参考书目
个领域中常用的应用数 学方法
为今后学习其它工程课
程奠定必要的数学基础
2
内容简介
特殊函数(高等函数)
积分变换理论
泛函与变分法
曲线与曲面造型
3
内容简介
特殊函数(高等函数)定义
某些特定形式含参数积分
某些偏微分方程的特征函数 椭圆函数
4
内容简介
高等工程数学
线性方程组
本讲重点 1、线性方程组的解法,解的情况的判定 2、齐次和非齐次方程组解的结构,特别是基础解系的概 念
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
高等工程数学
机电工程系 郭隐彪
目 录
Precision Engineering Lab., Xiamen Univ.
第一部分 矩阵论 第二部分 数值计算方法
第一部分 矩阵论
第一章 线性代数基本知识 第二章 方阵的相似化简 第三章 向量范数和矩阵范数 第四章 方阵函数与函数矩阵 第五章 矩阵分解 第六章 线性空间和线性变换
第二部分 数值计算方法
第一章 误差的基本知识 第二章 线性方程组的数值解法 第三章 方阵特征值和特征向量的数值计算 第四章 计算函数零点和极值点的迭代法 第五章 函数的插值与最佳平方逼近 第六章 数值积分与数值微分 第七章 常微分方程数值解法
第一章 线性代数基本知识
§1.1 向量和向量空间 §1.2 矩阵及其运算 §1.3 矩阵的初等变换及其应用 §1.4 线性方程组 §1.5 特征值与特征向量
第五章 矩阵分解
§5.1 方阵的三角分解 §5.2 方阵的正交（酉）三角分解 §5.3 矩阵的奇异值分解
第六章 线性空间和线性变换
§6.1 线性空间 §6.2 线性变换 §6.3 内积空间及两类特殊的线性变换
向量和向量空间
1、向量的内积、长度、夹角和正交等 2、关于向量组的线性相关性 3、关于向量组的极大无关组和向量组的秩
《高等工程数学》科学出版社版习题答案(第五章)
《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第五章）（此习题答案仅供学员作业时参考。
因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：yangwq@ ） P113 1．11100110210010103050010110101010111()()010305010035201011101500152022T TT T T TA A FG F F GG A M P A G GG F F F +--⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(1)的满秩分解是： 的广义逆是：111210301012121062565105652101()()0161021211432541621438T TT T T TB B FG F F GG B M P B G GG F F F +---⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦(2) 的满秩分解是： 的广义逆是：2．11111010,,0100011000101111()000100P A Q PAQ A A Q A P PAQ +-+-+-⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤===⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤==≠⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦取则有：3． （1）自己验证M-P 广义逆的四个条件即可(2) 因为rank(A)= rank(AA +A)≤rank(AA +)≤rank(A +)= rank(A +A A +)≤rank(A +A) ≤rank(A) 所以命题成立4．（1）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组1111112110111001211033211()3611362121()212622002111()()2226011211()031H H H H H HA A FG GG F F A G GG F F F x A b I A A t ----+--++⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥==⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢=+-=⎢⎢⎣⎦的满秩分解为：通解为：124123134134222321226223t t t t t t t t t t t t --⎡⎤⎢⎥-++⎢⎥⎥+⎢⎥⎥+-⎢⎥⎥--+⎣⎦ （2）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组[]111111101201()551()551021()()204255211()102525H H H H H H A A FG GG F F A G GG F F F c x A b I A A t c ----+--++⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦====⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=+-=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦的满秩分解为：通解为：（3）因为rank （A|b ）＝rank （A ）所以是相容方程组11123()()10545652101101626102121141432381396311()10642141419321H H H HA G GG F F F t x A b I A A t t t +--++=⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦通解为：5． 自己验证广义逆的四个条件 6．1111111000(1)000000000000000000000000(2)000000000000000HH H HH HH H HG V UAGA U V V U U V U V U V A GAG V U U V V U V -------⎡⎤∑=⎢⎥⎣⎦∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑⎡⎤∑⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑⎡⎤⎡∑∑⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣记1111110000000(3)000000000()000000(4)000000000()00000H HH H H r H HH H Hr H HU V U G AG U V V U U U I U U AG GA V U U V V V I V V GA A V ------+⎤⎡⎤∑==⎢⎥⎢⎥⎦⎣⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦∑∑⎡⎤⎡⎤∑∑⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎡∑=⎣所以HU⎤⎢⎥⎦。
《高等工程数学》习题一参考答案
2 1 1 1 3 1 0 0 1 4 ，可得基础解系为 1 1 1 0 1 0 1 1 1 5
f1 (0,1,1,0,0) , f 2 (1,1,0,1,0) ， f 3 (4,5,0,0,1) ，Schmidt 正交化得，
1
13.按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证， 1） 不满足第 （2 ） 条， （4） 条， 故不是欧氏空间; 不满足第（4）条，故不是欧氏空间；3）都满足，故是欧氏空间。 14. 按 P21 欧氏空间定义 2.1，逐条验证，都满足，故是欧氏空间。 15. 设向量 ( x1 , x2 , x3 , x4 ) 与三个向量正交，则有
所以对两组基有相同坐标的非零向量可取为 (c, c, c,c)(c 0). 5. 由第 7 页子空间定义可得，1）向量满足加法和数乘封闭，是子空间；2）向量不满足加 法或数乘封闭，故而不是子空间。 注：从几何上看，子空间过原点，而不过原点的都不是。 6. 两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价， 即可以互相线性表示。 解：因对应分量不成比例，故 α1 (1,1,0,0), α2 (1,0,1,1) ， β1 (1,1,0,0), β2 (1,0,1,1) 线性
2
T1T2 ( x1 , x2 ) T1[T2 ( x1 , x2 )] T1 ( x1 , x2 ) ( x2 , x1 ) T2T1 ( x1 , x2 ) T2 [T1 ( x1 , x2 )] T2 ( x2 , x1 ) ( x2 , x1 )
11.略。 12. 解：1）因为 T ( x1 , x2 , x3 ) ( 2 x1 x2 , x2 x3 , x1 ) ，按照 P18 (1.21)，可知
高等工程数学课后习题答案
第六章7、设X 1，X 2，…X n 为总体X~N （μ，σ2）的样本，求E[21)(x x ni i-∑=]，D[21)(∑=-ni ix x ]。
解：E[21)(x x ni i -∑=]=（n-1)E[11-n 21)(x x ni i-∑=]=(n-1)σ2因为)1(~)(2212--∑=n X x xni iσ所以 D[21)(∑=-ni ix x ]=])([212σ∑=-ni ix xD =σ22（n-1)8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本，（1）试确定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ；（2）试确定常数c 2、d 2，使得),(~)()(2543222212n m F x x x d x x c +++。
解：（1）212)(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=31因为2χ分布具有可加性，即若X i ~2χ（i=1，……k ），且各样本相互独立，则)(~121∑∑==ki i ki in xχ，所以n=2。
（2）因为)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++，)1,0(~221N x x +， )1,0(~3543N x x x ++且相互独立， 所以221]2[x x ++2543]3[x x x ++)2(~2χ 因为)2(~22221χx x +，)1(~3)(22543χx x x ++ 所以)1,2(~)(2)(325432221F x x x x x +++，所以)1,2(,2322F d c =10、设X 1，X 2，…X n ，X n+1为总体X~N （μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，)(11~,1221x x n s x n x i n i i --==∑=试证：（1）)1(~~1ˆ1---=+n t sxx n n T n （2）)1,0(~21σn n N x x n +-+ （3）)1,0(~21σnn N x x -- 证明：（1）因为),(~),1(~~)1(),,(~212222σμχσσμN x n s n n N x n +-- 所以)1,0(~1),1,0(~121N nn xx n n N x x n n +-+-++σσ 所以)1(~)1(~)1(1221---+-+n t n sn n n x x n σσ，即)1(~~1ˆ1---=+n t s x x n n T n （2）因为),(~),,(~212σμσμN x nN x n + 所以)1,0(~21σnn N x x n +-+ （3）因为∑∑==--=-=-ni i n i i x n x n n x n x x x 21111111，011)(1)(1)11(22121=--=--=--∑∑∑===ni n i i n i i n n n x E n x E n n x n x n n E μμ2222221121)1()11(σσσnn nn n x n x n n D ni n i i -=+-=--∑∑== 所以)1,0(~21σnn N x x --15、设X 1，X 2，…X n ，1为总体X 的样本，如果X 具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。
高等工程数学课后答案
第六章7、设X 1，X 2，…X n 为总体X~N （μ，σ2）的样本，求E[21)(x x ni i-∑=]，D[21)(∑=-ni ix x ]。
解：E[21)(x x ni i -∑=]=（n-1)E[11-n 21)(x x ni i-∑=]=(n-1)σ2因为)1(~)(2212--∑=n X x xni iσ所以 D[21)(∑=-ni ix x ]= ])([212σ∑=-ni ix xD =σ22（n-1)8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本，（1）试确定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ；（2）试确定常数c 2、d 2，使得),(~)()(2543222212n m F x x x d x x c +++。
解：（1）212)(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=31因为2χ分布具有可加性，即若X i ~2χ（i=1，……k ），且各样本相互独立，则)(~121∑∑==ki i ki in xχ，所以n=2。
（2）因为)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++，)1,0(~221N x x +， )1,0(~3543N x x x ++且相互独立， 所以221]2[xx ++2543]3[x x x ++)2(~2χ 因)2(~22221χx x +，)1(~3)(22543χx x x ++,所)1,2(~)(2)(325432221F x x x x x +++，所以)1,2(,2322F d c =10、设X 1，X 2，…X n ，X n+1为总体X~N （μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，)(11~,1221x x n s x n x i n i i --==∑=试证：（1）)1(~~1ˆ1---=+n t sx x n n T n （2）)1,0(~21σn n N x x n +-+（3）)1,0(~21σn n N x x -- 证明：（1）因为),(~),1(~~)1(),,(~212222σμχσσμN x n s n n N x n +-- 所以)1,0(~1),1,0(~121N nn xx n n N x x n n +-+-++σσ 所以)1(~)1(~)1(1221---+-+n t n sn n n x x n σσ，即)1(~~1ˆ1---=+n t s x x n n T n （2）因为),(~),,(~212σμσμN x nN x n + 所以)1,0(~21σnn N x x n +-+ （3）因为∑∑==--=-=-ni i n i i x n x n n x n x x x 21111111，011)(1)(1)11(22121=--=--=--∑∑∑===ni n i i n i i n n n x E n x E n n x n x n n E μμ2222221121)1()11(σσσnn nn n x n x n n D ni n i i -=+-=--∑∑== 所以)1,0(~21σnn N x x --15、设X 1，X 2，…X n ，1为总体X 的样本，如果X 具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。
高等工程数学教学大纲
课程编号：A080007课程名称：高等工程数学英文名称：Advanced Engineering Mathematics开课单位：理学院开课学期：秋课内学时：32 教学方式：讲授适用专业及层次：工科各专业硕士考核方式：考试预修课程：线性代数、高等数学一、教学目标与要求λ矩阵与矩本课程较全面、系统地介绍矩阵的基本理论、方法和某些应用，基本内容有-阵的Jordan标准形、初等矩阵与矩阵的因子分解、Hermite矩阵与正定矩阵、向量与矩阵的范数、矩阵函数与矩阵值函数、广义逆矩阵与线性方程组的解，算子范数等概念。
通过本课程基本概念和基本定理的阐述和论证，培养研究生的抽象思维与逻辑推理能力，提高研究生的数学素养。
在重视数学论证的同时，强调数学概念的物理、力学等实际背景，培养研究生应用数学知识解决实际工程技术问题的能力。
通过本课程的学习，要求研究生掌握矩阵的基本理论和方法，为学习后继课程、开展科学研究打好基础。
二、课程内容与学时分配第一章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形（8学时）1．1 一元多项式1．2 λ-矩阵及其在相抵下的标准形1．3 λ-矩阵的行列式因子和初等因子1．4 矩阵相似的条件1．5 矩阵的Jordan标准形1．6 Cayley-Hamilton定理与最小多项式第二章矩阵的因子分解（5学时）2．1 初等矩阵2．2 满秩分解2．3 三角分解2．4 QR分解2．5 Schur 分解与正规矩阵2．6 奇异值分解及其推广第三章Hermite矩阵与正定矩阵（6学时）3．1 Hermite矩阵与Hermite二次型3．2 Hermite正定（非负定）矩阵3．3 矩阵不等式3．4 Hermite矩阵的特征值* 第四章范数与极限（6学时）4．1 向量范数4．2 矩阵范数4．3 矩阵序列与矩阵级数第五章矩阵函数与矩阵值函数（2学时）5．1 矩阵函数5．2 矩阵值函数5．3 矩阵值函数在微分方程组中的应用第六章广义逆矩阵（5学时）6．1 广义逆矩阵的概念6．2 广义逆矩阵A-与线性方程组的解A-与相容方程组的极小范数解6．3 极小范数广义逆mA-与矛盾方程组的最小二乘解6．4 最小二乘广义逆l6．5 广义逆矩阵A+与线性方程组的极小最小二乘解三、教材戴华，矩阵论，科学出版社，2001主要参考书1．北京大学，高等代数，高等教育出版社，第二版，19882．Lancaster P. and Tismenetsky M. The Theory of Matrices with Applications，Academic Press, 1985.3．史荣昌，矩阵分析，北京理工大学出版社，19964．罗家洪，矩阵分析引论，华南理工大学出版社，19925．张明淳，工程矩阵理论，东南大学出版社，19956．程云鹏，矩阵论，西北工业大学出版社，1999大纲撰写负责人：杨秀绘杨熙授课教师：杨秀绘杨熙。
高等工程数学知识点
高等工程数学是一门非常重要的数学课程，它主要涉及到微积分、线性代数、偏微分方程和数值计算等方面。
下面我们将对这些知识点进行详细的介绍。
1. 微积分微积分是高等工程数学中最基础的内容之一，它包括单变量微积分和多变量微积分两个部分。
在单变量微积分中，我们主要研究函数的导数和积分，其中导数可以用来求函数的极值和切线，积分可以用来求函数的面积、体积和平均值等。
在多变量微积分中，我们则需要涉及到偏导数和多重积分等概念，这些内容对于工程领域的模拟和优化非常重要。
2. 线性代数线性代数是一门研究向量空间和线性变换的学科，它主要涉及到矩阵、行列式、特征值和特征向量等内容。
在工程领域中，线性代数被广泛应用于控制理论、信号处理和图像处理等方面。
比如说，在机器人控制中，我们需要利用矩阵运算来计算机器人的位置和速度等参数。
3. 偏微分方程偏微分方程是研究物理现象中的变化规律的一种数学工具，它主要涉及到波动方程、热传导方程和扩散方程等内容。
在工程领域中，偏微分方程被广泛应用于流体力学、电磁学和结构力学等方面。
比如说，在飞机设计中，我们需要利用偏微分方程来模拟空气的流动情况，以此来预测飞机的飞行性能。
4. 数值计算数值计算是一门研究将数学理论转化为计算机程序的学科，它主要涉及到数值逼近、数值积分和数值求解等内容。
在工程领域中，数值计算被广泛应用于模拟和优化问题，比如说，在车辆设计中，我们需要利用数值计算来模拟车辆的运动和碰撞情况，以此来优化汽车的安全性能。
综上所述，高等工程数学是一门非常重要的数学课程，它涉及到微积分、线性代数、偏微分方程和数值计算等方面。
这些知识点对于工程领域的模拟和优化非常重要，因此掌握这些知识点对于工程师来说非常必要。
高等工程数学
高等工程数学1.设α1=(1,1,-2,1),α2=(2,7,1,4), α3=(-3,2,11,-1), β1=(1,0,0,1), β2=(1,6,3,3)，令V 1=L(α1,α2, α3)，V 2=L(β1, β2)，(1)求dim(V 1+V 2)及V 1+V 2的一个基； (2)求)V dim(V 21 。
解：(1)对下列矩阵施行如下初等行变换⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==0000010*******113210100002000101101132151550525501011011321'20220525505155011321311413011126027111321)(21321TT T T T A ββααα∴r(A)=3∴r(α1, α2, α3, β1, β2)=3 ∴dim(V 1+V 2)=3可选{α1, α2, β1}为V 1+V 2的基(2)∵dim V 1=r{α1, α2, α3}=2,dimV 2=r{β1, β2}=2∴dim(V 1∩V 2)=dimV 1+dimV 2-dim(V 1+V 2)=2+2-3=1.2.在R2×2中，求矩阵12A=03⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在基111B =11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，211B =10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，311B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦，410B =00⎡⎤⎢⎥⎣⎦下的坐标。
解：其坐标为：x ＝( 3, －3, 2，－1 )T3. 设V=R 2中线性变换T 1在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=12,2121αα下的矩阵为1223⎛⎫⎪⎝⎭， 线性变换T 2在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21,1121ββ下的矩阵为3324⎛⎫⎪⎝⎭ (1)求T 1+T 2对基β1,β2下对应矩阵； (2)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=33δ，求δ1T 在基α1,α2下的坐标；(3)求δ2T 在基β1,β2下的坐标。
高等工程数学-01
高等工程数学Advanced Engineering Mathematics学习目标1掌握一定的数学理论基础2具有比较宽广的数学知识面为进一步学习和解决工作中遇3到的实际问题打下坚实的基础数值分析数理统计矩阵理论⏹线性空间与线性变换⏹内积空间⏹矩阵的标准形⏹矩阵函数及其应用主要内容⏹数值分析绪论.⏹线性代数方程组的解法⏹插值方法⏹数值积分和数值微分公式⏹方程求根⏹常微分方程的数值解法⏹矩阵特征值和特征向量计算⏹数理统计的基本概念与抽样分布⏹参数估计⏹假设检验⏹回归分析⏹方差分析线性代数高等数学概率统计高等工程数学，华南理工大学出版社，2007/435644高等工程数学，电子科技大学出版社，2008/975022高等工程数学(第三版)，华中科技大学出版社，2001 /25667像读侦探小说一样学习数学Advanced Engineering Mathematics, 2nd EditionMichael D. Greenberg，Addison Wesley/Pearson ，2004Advanced Engineering Mathematics, 5th EditionPeter V.O'Neil，Thomson ，2004书不过语。
语之所贵者意也，意有所随。
意之所随者，不可以言传也。
《庄子·天道》形而上谓之道，形而下谓之器。
《周易·系辞》囧的事情共勉什么是真正的教育？德国二百年前的教育宣言曾经如此说道：教育的目的，不是培养人们适应传统的世界，不是着眼于实用性的知识和技能，而要去唤醒学生的力量，培养他们自我学习的主动性，抽象的归纳力和理解力，以便使他们在目前无法预料的种种未来局势中，自我做出有意义的选择。
教育是以人为最高的目的，接受教育是人的最高价值的体现。
------《一名大学毕业生的反思》矩阵理论在自然科学、工程技术、控制理论和社会经济学等领域的应用日趋深广，应用矩阵的理论和方法来解决工程技术和社会经济领域中的实际问题也越来越普遍。
《高等工程数学》12级硕士研究生
国防科技大学12级硕士研究生高等工程数学试题一、填空题（本题共10小题，每小题3分，满分30分. 把答案填在题中的横线上）1． 设1234A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则A 在基： 1011000000001011⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭，，， 下的坐标为________．2． 设12αα，是欧氏空间n V 中两个线性无关向量，记{|,0,1,2}i W i ξαξ=<>==．则dim() W =3． 若矩阵T A =⋅11，其中[1,1,,1]T n =∈1 ，则+=A ．4． 设10i 012i 25A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，则12||||||||A A ⋅= ． 5． 将[2,1,2]T x =变换为[3,0,0]T y =的Householder 矩阵H = ．6． 设1210,,,X X X 是来自总体总体(10,10)N 的样本，样本均值101110i i X X ==∑，则1~X X - ． 7． 设总体X 的概率密度函数为0.75, 1,()0.25, 1,0, x f x x others θθθθ<≤+⎧⎪=-<≤⎨⎪⎩1210,,,X X X 是来自该总体的样本，则未知参数θ的矩估计量ˆθ= ．8． 对一批电子元件随机抽取5只进行寿命试验，测得寿命的样本平均值116()x h =，样本标准差10()s h =.设寿命服从正态分布2(,)N μσ，则该批电子元件寿命均值μ的置信度为95%的单侧置信区间下限为________. 9． 已知随机向量123[,,]T X x x x =的协方差矩阵为5353225210V -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦且1233)y x x x =+-是X 的一个主成分，则主成分y 的贡献率为 . 10．今有某型号的电池3批，它们分别是A 、B 、C 三个工厂所生产，为了考察其质量，分别从3批电池中各抽取5个测量其寿命值，从3组样本观测值算得方差分析表的部分数据如下：在显著性水平0.05下，因为 ，故可认为三批电池存在显著差异.二（10分）设矩阵311221220A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，问A 是否可以对角化？请说明理由，并写出A 的相似标准形.三（10分）定义2222⨯⨯→ 的线性变换如下：2211, 11TA A A ⨯-⎡⎤=∈⎢⎥-⎣⎦（1） 求T 在基123410010000,,,00001001E E E E ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵； （2） 求值空间()R T 的一个基.四（10分）已知5117A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求k A (k 为正整数)，并计算A e .五（10分）已知矩阵110111002A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （1） 求矩阵A 的三角分解； （2） 求矩阵A 的正交三角分解.六（10分）设总体X 服从几何分布，其分布律：1{}(1), 1,2,3,k P X k p p k -==-=其中 (01)p p <<为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本. （1） 求未知参数1p θ- 的极大似然估计量ˆθ； （2） 证明ˆθ是θ的最小方差无偏估计.七（10分）从城市的A 区中抽取16名小学生测试器智商，平均值为112，修正的样本方差为100，而该城市的B 区中抽取的16名小学生的智商平均值为107，修正的样本方差为64，在显著性水平0.10α=下，可否认为这两组学生来自同一个总体？假设学生的智商服从正态分布.八（10分）设有正态线性回归模型：11234121232312434124222222~(0,),cov(,),,1,2,3,4i i j ij y y y y N i j ββββεβββεβββεββεεσεεδσ=++++⎧⎪=+-+⎪⎪=+-+⎨⎪=-+⎪⎪==⎩其中1234,,,y y y y 是已知的观测值.（1） 求参数1234,,,ββββ的最小二乘估计1234ˆˆˆˆ,,,ββββ； （2） 12ˆˆ(,)ββ与34ˆˆ(,)ββ是否独立？为什么？。
辽宁工程技术大学05级高等数学(下)(工科)A1答案
6．若级数收敛，则 、必收敛；、；、数列有界；、以上都不正确
7．函数的极大值点为 、；、；、；、
8．设，因为有所以 、在任意简单闭曲线C所围区域内不含原点时，I=0； 、在任意简单闭曲线C所围区域内含原点时I=0，不含原点时
I≠0； 、对任意简单闭曲线C，I=0； 、因在原点不存在，故对任意简单闭区域C，I≠0
-----------------------------------------------------------------------------------4 可得： -----------------------------------------------------------------------------------5
15．，为上半球面 的上侧. 解：设为平面，法向量指向下方-------------------------------1
=---------------3 =--------------------------------------------5 =--------------------------------------------------7 =-----------------------------------------------------------------8 七、（本题8分） 16．求的收敛区间与和函数. 解： ------------------------------------------------------------------------------2
= =--------------------------------------------------------------------------7 =---------------------------------------------------------------------------------------8 八、（本题8分） 17．将函数展开成的幂级数. 解：=----------------------------------------2
《高等工程数学》试题+解答
《高等工程数学》试题解答 （工程硕士及进修生用 2003.1）考生注意：1、可不抄题,答案必须写在统一配发的专用答题纸上； 2、本试题可能用到的常数：5752961 64199509750950 . ,. ,....===u u u . 一、填空题 (每空3分,共30分)。
(1) ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=010100001H ；(2) 1)(Cond 2=U ；(3) 7 3 , ；(4) )1 1 (~)()(221221,F X X X X -+；(5) X 2ˆ=θ； (6) 664≥n ；(7) e A SS SS SS +=.二、(10分)[解] 记)(21A A diag A ,=，则21A A ,的特征多项式为2)1()()(21-==λλλA A f f ， ∵ O I A ≠21 -，O I A ≠22 -，∴ 2)1()()(21-==λλλA A m m ， 取)( )(21λλA A m m ,的最小公倍式，得 2)1()(-=λλA m ，故A 的Jordan 标准形为⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 111111 , diag . 三、(10分)[解一] 记⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=πππ021 A ,其特征值为πλ-=1 (二重根),记 则令 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=-=-⇒⎩⎨⎧'='=t t a t t t a t t a t a a g f g f 1 0 1 101 1 1 1 c o s sin cos cos sin )()()()(πππππππλλλλ ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==t t t t t A f g A g g A g At sin 00cos sin 000sin )()()()()(sin 2 11πππππππ[解二] ∵ J A 2 2001200022ππ∆⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--= ∴ . ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---==t t t t t t t t t t J t At sin 00cos 2sin 000sin )2(2sin 00)2(2cos 2)2(2sin 00022sin )2sin(sin πππππππππππ 四、(10分)[解] 对A 进行行初等变换故⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-==--21 12 121 1 211 121)(11 R L L , 从而A 有Doolittle 分解：五、(10分)[证] 将ω扩充为nV 的一个标准正交基 B } {n ααω,,,2 =则∴ T B =-==} {} {n n T T T ααααωω,,,,,,22 B P 其中} 1 1 1 {,,, -=diagP 为对称和正交矩阵，故T 是对称变换和正交变换。
高等工程数学课后习题答案
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第七天堂2013.12.24。
长沙理工大学高等工程数学第5章课件
范数有多种定义形式, 只要满足上述定义即可定义一个范数.
常用向量范数： Euclid范数
n
|| x ||1 | x i |
i1
n
|| x ||
| x |2
2
i1
i
例：（见教材p94 例5.1）
||
x
||
max
1 i n
|
xi
|
Lp范数 （Hölder范数）
11..9979
精确解为
x
11
.
计算cond (A)2 。
求方程组的A解1 =即求0两.010条01直 线00.的9.989
0.99 1
解：考察 A 的特征根 交点, 条件数大表明这两条直线
det(I A) 0 接近1 平1行.9,8求00解5中05对04误差敏感
|| I || 1
常用矩阵范数：
n
特别有： || A || max | aij | （行和范数） 1in j1 n || A ||1 max | aij | （列和范数） 1 jn i 1
|| A ||2 max( AT A) （谱范数 ）
如果A是对称矩阵，有
(4)* || AB || || A || ·|| B || （相容 /* consistent */ 当 m = n 时)
nn
Frobenius 范数 || A ||F | aij |2 — 向量|| ·||2的直接
i 1 j1
推广, 易于计算.
对方阵 A Rnn
以及
x
量
x0
使得
Ax0
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插值方法 方程求根 矩阵特征值和特征向量的计算
第五章：数值分析绪论
1
误差的来源
2
误差的度量
3
有效数字
4 选用算法时应遵循的几个原则
误差的来源
1
误差的来源
2
误差的度量
3
有效数字
4 选用算法时应遵循的几个原则
误差的来源
进 行 数 值 计 算
法
方
算
计
似
近
立
建
Rou舍nd入ing误差 Tru截nca断tio误n 差 Obse观rv测atio误n 差
高等工程数学
Advanced Engineering Mathematics
当今科学研究的三大方法
实验研究
理论研究
科学计算
伽利略
牛顿
冯·诺依曼
实际问题
数学模型
数值方法
计算结果分析
数值分析
数值分析就是研究各种数学问题的数
值计算的方法和理论的学科
数值分析绪论
线性代数方程组的解法 数值积分和数值微分公式
有效数字
选用算法时应遵循的几个原则
例
选用算法时应遵循的几个原则
例
选用算法时应遵循的几个原则
例
选用算法时应遵循的几个原则
例
误差的来源
总结
选用算法时应遵 循的几个原则
数值分析 绪论
误差的度量
有效数字
第五章：数值分析绪论
思考题 （10分）
M模od型el 误差
据
数
取
获
并
数
立
建
模型误差 观测误差 截断误差（方法误差）
误差的来源
例 舍入误差
误差的来源
误差的来源
例
模型误差 观测误差 截断误差 舍入误差
定义5.1 绝对误差 定义5.2 相对误差
误差的度量
定义5.3 有效数字
有效数字
例5.1 解：