N阶魔阵问题数据结构课程设计

N阶魔阵问题2011年6月14日

数据结构课程设计

一、实验题目

给定一奇数n，构造一个n阶魔阵。n阶魔阵是一个n阶方阵，其元素由自然数1，2，3，…，n2组成。魔阵的每行元素之和，每列元素之和以及主、副对角线之和均相等。既对于给定的奇数n以及i=1，2，3，…，n。魔阵a满足以上条件。

要求：要求输出结果的格式要具有n阶方阵的形式。

提示：依次将自然数填入方阵中，共填n轮，每轮填n次。第一轮的第一次，将1填入方阵的中间一行的最后一列位置。设前一次填入的位置是a ij。

（1）每轮中第2至第n次将数填入a i+1,j+1,若遇到下列情况之一，则填写位置按以下规则调整：

①. a ij是最后一列（即j=n）位置，则将下一个数填入a i+1，1；

②. a ij是最后一行（即i=n）位置，则将下一个数填入a1，j+1；

（2）新一轮的第一次填入a

.

1,j-1

二、实验目的

一、了解并掌握数据结构与算法的设计方法，具备初步的独立分析和设计能力；

二、初步掌握软件开发过程的问题分析、系统设计、程序编码、测试等基本方法和技能；

三、提高综合运用所学的理论知识和方法独立分析和解决问题的能力；

四、训练用系统的观点和软件开发一般规范进行软件开发，培养软件工作者所应具备的科学的工作方法和作风；

五、输出一个奇数N阶的具有矩阵形式魔阵。

三、实验内容

（一）需求分析

1. 定义一个整形变量order存放魔术矩阵的阶数

order为一整形变量，是通过键盘来进行输入的阶数，也是进行分析的条件，可通过形参的值传递到子函数中，再对魔术矩阵按照进行排列，要求如下：

n阶魔方矩阵是将自然数2,

放置在一个n

3,2,1n

n 的方阵中，同时要保证该矩阵

每行﹑每列及两条主对角线（即主对角线和副对角线）上的数值之和相等的要求。这似乎是一件比较复杂的事情，其实，求解“魔方矩阵”（奇数阶）有一个很巧 妙的算法，这个算法的 描述如下：

（1）初始化“魔方矩阵”，即将所有元素置为0； （2）首先将1放置在第1行的中间位置。

（3）将2

2n 之间的整数按照下列规则依次放置在方阵中：

如果上一个数值所放置的位置的右上方为空（该位置还没有放置数值），则当前数值被放置在一个数值的右上方；否则被放置在上一个数的正下方。

很显然，“魔方矩阵”中的数据具有明显的二维排列关系，因此应该选用二维数组表示待求解的“魔方矩阵”。

（4）对于给定的奇数n 以及1,2,3,i n =，魔方矩阵满足的条件用数学表示

如下：

∑∑∑∑=--======n

k k n k n

k kk n

k n

k ki ik a a a a 1

1,1

1

1

定义为整型，将其返回，在主程序中打印出来。 （5）显示“魔方矩阵”； 2. 算法流程图

在主函数中定义order 为整型，由键盘输入； 定义整型变量row ，column 来描述数组插入的位置；

（二） 概要设计

（1）定义的存储结构描述：

首先在函数首部定义：#define MAXSIZE 31

定义一个数组matrix[MAXSIZE][MAXSIZE];对n 阶魔术矩阵进行存储；其中matrix[MAXSIZE][MAXSIZE]的参数类型为整型，此数组的最大值定义为31，如果超出则会发生错误，

定义一个整型变量order ，将order 的值传到形参，在算法中对order 阶的矩阵排列，使其满足下列条件：

∑∑∑∑=--======n

k k n k n k kk n k n k ki ik a a a a 1

1,1

1

1

因此称这样的矩阵为魔术矩阵；在算法程序中定义matrix[MAXSIZE][MAXSIZE];其中定义为整型，将其返回，在主程序中打印出来。 算法分析：

①．下面一段程序是用来限制输入的魔方矩阵的阶数所用： if (order>MAXSIZE)

{printf("\n 取值超出范围：\n");

printf("\n*******************************"); }

else if (order%2==0)

{printf("\n 输入有错误，请重新输入：\n"); printf("\n*******************************"); }

②．下面一段程序是求解N 阶魔方矩阵最关键的部分：首先将1放置在第1行的中间位置。将22n 之间的整数按照下列规则依次放置在方阵中：

如果上一个数值所放置的位置的右上方为空（该位置还没有放置数值），则当前数值被放置在一个数值的右上方；否则被放置在上一个数的正下方。

row=0; /* start of from the middle */ column=order/2; /* of the first row. */

for (count=1;count<=order*order; count++)

{

matrix[row][column] = count; /* put next # */

if (count % order == 0) /* move down ? */

row++; /* YES, move down one row */

else

{ /* compute next indices */

row = (row == 0) ? order - 1 : row - 1;

column = (column == order-1) ? 0 : column + 1;

}

}

printf("\n\n%d阶魔方阵如下:\n\n", order);

for (row=0; row < order; row++)

{

for (column = 0; column < order; column++)

printf("%4d", matrix[row][column]);

printf("\n");

}

（三）详细设计

利用数组构造N阶魔阵，其N为奇数，并且取一定的范围。然后对该魔阵的正确性进行检验。根据魔阵的特性，需要对列、行、主对角线、副对角线进行检验，看是否相等。

1、设计函数输出所要求的魔阵即构造满足

∑

∑

∑∑

=

--

= ===

=

=

n

k

k n

k

n

k kk

n k

n

k

ki

ik

a

a

a

a

1

1

,

1

11

的矩阵：row=0; /* start of from the middle */ column=order/2; /* of the first row. */ for (count=1;count<=order*order; count++) {