高中数学基础知识归纳汇总教学内容

高中数学基础知识归纳汇总高中数学基础知识归纳汇总（主要是文科）第一部分、集合与逻辑用语1、集合①．定义：一组对象的全体形成一个集合；②．表示方法有：列举法{1,2,3,…}、描述法{x|P}、图示法；③．常用数集：正整数集N *、空集φ；几种数集的关系：N Z Q R C Z Q⎧⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎨⎪⎩⎨⎪⎪⎨⎪⎩⎪⎪⎩⎪⎪⎩Q R 自然数集整数集有理数集负整数集实数集复数集分数集无理数集虚数集ðð④．集合元素的特征：确定性、互异性、无序性；⑤．元素与的关系有：属于∈、不属于∉；⑥集合这间的关系有：包含于⊆ 、真包含于Ø 、相等=；⑦、集合的运算：交集 ：A ∩B ＝{x|x ∈A 且x ∈B}； 并集 ：A ∪B ＝{x|x ∈A 或x ∈B}；补集 ：A C U＝{x|x A ∉ 且x ∈U}，U 为全集。

⑧若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有真子集的个数是21n -，非空真子集的个数是22-n。

2、充分（必要）条件：（1）前⇒后（顺推）则前是后的充分条件：（2）后⇒前（倒推）则前是后的必要条件；前⇔后（互推）则前是后的充分且必要条件（简称充要条件）。

3、（1）数学上的命题是指能判断真假的陈述句，其中判断为真的语句叫真命题；判断为假的语句叫假命题。

（2）命题都可以写成“若p 则q ”的形式，其中p 叫条件，q 叫结论；（3）“若p 则q ”是原命题，则它逆命题是若q 则p ；否命题是⌝p 则⌝q ；逆否命题是若⌝q 则⌝p 。

（4）原命题和它的逆否命题同真同假（等价），逆命题和否命题同真同假（等价）。

4、且（∧）、或（∨）、非（⌝）、存在（∃）、任意（∀），存在与任意互为否定。

5、一些常用词的否定形式有：第二部分、不等式与线性规划1、不等式的性质：（1）a b >且c>d 则有a c b d +>+；（若相减则变成加它的相反数）（2）0a b >>且c>d>0则有a c b d •>•；（若相除则变为乘以它的倒数） （3）a b >•且a b>0（同号时）则有11a b <； ab >•且a b<0（异号时）则有11a b>；（4）0a b >>则有nn ab >。

（特别注意,a b 都为正数才成立）2、均值不等式：（1）对任意实数,a b ，都有222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；（2,a b，都有a b +≥，当且仅当a b =时取等号。

（3）应用—-求最值：一正二定三相等（得最值）。

3、一元二次不等式的求解：（1）特殊情况特殊处理：若根的判别式0∆≤则配方处理（或用图象法处理）；（2）一般情况：若根的判别式0∆>2x的系数要为正，若2x 的系数为负则先化为正再求解）。

4、线性规划问题的处理：方法：（1况；（2（3可行域的面积）。

第三部分、函数与函数的应用1、函数的主要性质：（112x x D <∈，有12()()f x f x <()0f x '>。

12x x D <∈，有12()()f x f x >()0f x '<。

（2）奇偶性：（定义域必须关于原点对称） )()(x f x f -=-)()(x f x f =-Y 轴对称。

（3）周期性：若函数()()f x T f x +=，则()f x 称为以T为周期的周期函数（kT 也是周期，通常周期指的是最小正周期）。

（4）函数图象的三种变换（基本口诀是：x ---左增右减，乘缩除伸；y ---上增下减，乘伸除缩）①平移变换：()y f x =X −−−−−−−−−−→沿轴方向向左,向右平移a 个单位()y f x a =±(0)a > ()y f x =X −−−−−−−−−−→沿轴方向向上,向下平移b 个单位()y f x b =±(0)b > ②伸缩变换：()y f x =−−−−−−−−−−→1当0<k<1时,横坐标伸长到原来的倍k 1当k>1时,横坐标缩短到原来的倍k()y f kx =(0)k > ()y f x =−−−−−−−−−−→当0<k<1时,横坐标缩短到原来的k 倍当k>1时,横坐标伸长到原来的k 倍()y kf x =(0)k > ③对称变换：()y f x =Y ←−−−−→关于轴对称()y f x =-；()y f x =X ←−−−−→关于轴对称()y f x =- ()y f x =←−−−−→关于原点对称()y f x =--；()y f x =x a =←−−−−−→关于直线对称()()f a x f a x -=+ 2、二次函数（1）二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴方程是a bx 2-=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 4422，。

（2）用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式：一般式：2()f x ax bx c =++， 零点式：12()()()f x a x x x x =-⋅-，顶点式：n m x a x f +-=2)()(。

（3）二次函数c bx ax y ++=2图象：①当240bac ∆=->时，图象与X 轴有2个交点；若20axbx c ++=有两根12,x x ，则1212;b cx x x x a a+=-=；变化：22121212()()4x x x x x x -=+-。

②当240b ac ∆=-=时，图象与X 轴只有1个交点。

③当240bac ∆=-<时，图象与X 轴没有交点。

3、指数运算与指数函数：①指数的性质与运算法则：mn m naa a+⋅=； m m n n a a a-=；()n m mn a a =；()n n nab a b =；nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭。

② 指数函数的定义：函数(0,1)x y a a a =>≠叫做指数函数。

③指数函数的图象和性质：1>a 10<<a图 象性 质（1）定义域为R ，值域为(0,)+∞。

（2）图象都经过点(0,1)，即当=x0时，=y 1。

当0>x 时，1y >；当0<x 时，01y <<。

当0>x 时，01y <<； 当0<x 时，1y >。

在()+∞∞-,上是 增 函数。

在()+∞∞-,上是 减 函数。

4、对数运算与对数函数 ①指数与对数的相互转化：N ab=⇔log a b N =（其中0a >且1a ≠）。

②对数基本性质： log 10a =； log 1a a =；零和负数没有对数。

③运算性质：(0,1,0,0)aa M N >≠>>log log log a a a MN M N=+； log log log aa a MM N N=-； log log n a a M n M=； 1log log naa M Mn=。

④指数、对数式的恒等变形：（0>a 且1≠a ，1,0,0,0≠>>>b b N M ）log b a Na N =⇔ ， log a N a N =；log log (log c a c bb a=≠换底公式)(c>0,c 1)⑤对数函数：函数log (0,1)a y x a a =>≠叫做对数函数。

⑥对数函数的图象和性质：5、幂函数①幂函数的定义，形如y xα=的函数叫做幂函数（α为常数）。

②性质：当0α>时，幂函数图象都过点(0,0),(1,1)点、且在第一象限都是增函数；当0α<时，幂函数图象总是经过点(1,1)点、且在第一象限都是减函数。

6、反函数的知识： （1）、指数函数x y a =与对数函数log a y x =（对底数a 的要求都是0,1a a >≠）互为反函数；（27、函数与方程的关系：（1）、函数的零点的概念：对于函数()y f x =，我们把使方程()0f x =的实数x叫做函数()y f x =的零点。

即函数()y f x =有零点⇔方程()0f x =有解⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点。

（结合函数的图象用数形结合法求解）（2）零点存在的条件：如果函数()y f x =在区间[],a b 上的图象是连续的曲线，则函数()y f x =在区间[],a b第四部分、导数1、基本初等函数的导数公式：（c 为常数） ①()'c =0 ②()'nx =1n nx - ③(sin )'x =cos x ④(cos )'x =sin x -⑤()'xa=ln x a a •(a>0) ⑥()'x e =x e ⑦(log )'a x =1ln x a•(01)a a 且>≠）⑧(ln )'x =1x⑨1x '= ⑩21(tan )cos x x'=2、导数运算法则：（1）'''()u v u v ±=±. （2）'''()uv u v uv =+. （3）'''2()(0)u u v uv v v v-=≠. 3、导数的应用：（1）求曲线的切线的斜率和方程：000()()():()y f x f x f x K y y K x x ''=⇒⇒=⇒-=•-切线切线切线的方程为，其中切点为00(,)x y ；（2）求函数的单调区间：:()0()():()0f x y f x f x f x '>⇒⎧'=⇒⇒⎨'<⇒⎩增函数递增区间减函数递减区间（3）求函数的极值（注：导数为0的点不一定就是极值点但极值点的导数一定为0）()()()0y f x f x f x ⇒⎧''=⇒⇒=⇒⇒⎨⇒⎩左增右减极大值极值点左减右增极小值（4）求函数的最值：()()()0y f x f x f x ''=⇒⇒=⇒极值点(判断极值点是否在所给的区间内)将在所给区间内的极值点连同区间的端点代入函数求值后找出最大值和最小值。

第五部分、三角函数1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为22y x r +=，则sin α=ry ，cos α=r x ，tan α=xy ，yx=αcot 。