初中数学二次函数图像性质练习题

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人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质

增减性：【a>0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值：【a>0】二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最低点为（0，0）
）
A．-6 或1 B.-3或2 或-1 或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐标__________ _
二次函数
图像与性质一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（）
x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
对称轴：直线x=h(y轴)
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0

湘教版九年级下册数学二次函数y=ax2(a＞0)的图象与性质测试题

湘教版九年级数学下册测试题测试题湘教版初中数学1.2 二次函数的图象与性质第1课时二次函数)0y的图象和性质ax(2>=a1.填空：（1）y＝x2的图像是；开口向；对称轴是；顶点坐标是；（2）在抛物线y＝x2的对称轴左侧y随x的减小而；而在对称轴的右侧是y随着x的增大而；此时函数y＝x2当x＝时的值最是.2.若点A（-5，y1）、B（2，y2）都在y=2x2上，则y____2y（填“>”1或“<”）3.关于函数2y=的性质的叙述,错误的是( )．3xA．对称轴是y轴 B．顶点是原点C．当0x时,y随x的增大而增大 D．y有最大值>4.已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y=x与y=x2的图象有可能是（）A．B．C．D．5.已知正方形的边长为ccm，面积为Scm2.(1)求S与c之间函数关系式；(2)画出图象；(3)根据图象，求出S＝1cm2时，正方形的边长；(4)根据图象，求出c取何值时，S≥4cm2.6.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积初中生提高做题效率的方法厚薄读书法：复习课本要厚薄结合著名数学家华罗庚先生说:“书要能从薄读到厚,还要能从厚读到薄。

”这就是厚薄读书法。

我们在复习功课时,也可以用这种方法,具体来说分为“由薄到厚”和“由厚读薄”两个部分由薄到厚第一步要“由薄到厚”地复习课本。

这就是说,我们在复习过程中对书本中的某些原理、定律、公式,不仅应该记住它的结论,而且还应该思考一下,这个定律是怎样发现的,这个公式是怎样推导的。

在阅读过程中对书中的每个概念、原理和观点要有自己的理解,对自己不懂的地方,还要查阅参考资料,通过充实书本的有关内容,使自己获得比书本上内容更为丰富、更为深刻的认识和见解,也就是把书“越读越厚”。

初中数学二次函数的图象与性质基础练习题A1(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质基础练习题1（附答案详解）1．将二次函数2y x 的图像向上平移1个单位，则所得的二次函数表达式为（） A ．2(1)y x =- B ．21y x =+ C ．2(1)y x =+ D ．21y x =-2．如图，二次函数243y x x =-+的图象交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，则ABC的面积为（）A ．6B ．4C ．3D ．13．在平面直角坐标系中，二次函数y=2（x ﹣1）2+3的顶点坐标是（）A ．（1，3）B ．（1，﹣3）C ．（﹣1，3）D ．（﹣1，﹣3） 4．将二次函数y=x 2-4x+2化为顶点式，正确的是（）A ．2y (x 2)2=--B ．2y (x 2)3=-+C ．2y (x 2)2=+-D ．2y (x 2)2=-+5．二次函数2y 3x 4=-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是（） A ．抛物线开口向下B ．抛物线经过点()3,4C ．抛物线的对称轴是直线x 1=D ．抛物线与x 轴有两个交点6．抛物线y ＝－2x 2经过平移后得到抛物线y ＝－2x 2－4x －5，平移方法是（）A ．向左平移1个单位，再向下平移3个单位B ．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C ．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D ．向右平移1个单位，再向上平移3个单位7．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝c x的大致图象是( ) A ． B ． C ． D ．8．若点()111,P y -，()222,P y -，()331,P y ，都在函数223y x x =-+的图象上，则（）A ．213y y y << B ．123y y y << C ．213y y y >>D ．123y y y >>9．已知二次函数y=x 2﹣bx+2（﹣2≤b≤2），当b 从﹣2逐渐增加到2的过程中，它所对应的抛物线的位置也随之变动，下列关于抛物线的移动方向的描述中，正确的是（） A ．先往左上方移动，再往左下方移动B ．先往左下方移动，再往左上方移动C ．先往右上方移动，再往右下方移动D ．先往右下方移动，再往右上方移动10．如图，抛物线与x 轴交于点()1,0-和()3,0，与y 轴交于点()0,3-则此抛物线对此函数的表达式为（）A ．223y x x =++B ．223y x x =--C ．223y x x =-+D ．223y x x =+- 11．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x 2-4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是__________。

初中数学：二次函数的性质练习(含答案)

初中数学：二次函数的性质练习（含答案）知识点1 二次函数的最大(小)值1．当x＝________时,二次函数y＝x2－2x＋6有最小值________．2．函数y＝(x－2)(3－x)取得最大值时,x＝________．3．求下列函数的最大值(或最小值)以及对应的自变量的值：(1)y＝2x2－3x－5；(2)y＝－x2＋2x＋3；(3)y＝x2－4x－5.知识点2 二次函数图象与坐标轴的交点4．二次函数y＝x2－2x＋1的图象与x轴的交点情况是( )A．有一个交点 B．有两个交点C．没有交点 D．无法确定5．抛物线y＝x2－5x－6与x轴的两个交点坐标分别为________________．6．已知二次函数的图象经过点(－1,－8),顶点为(2,1)．(1)求这个二次函数的表达式；(2)分别求这个二次函数图象与x轴、y轴的交点坐标．7．将抛物线y＝x2－4x＋4沿y轴向下平移9个单位,所得新抛物线与x轴正半轴交于点B,与y轴交于点C,顶点为D.求：(1)点B,C,D的坐标；(2)△BCD的面积．知识点3 抛物线的对称性及增减性8．对于二次函数y＝12(x－2)2,当x________时,函数值y随x的增大而减小；当x________时,函数值y随x的增大而增大；当x＝________时,函数取得最________值为________．9．已知抛物线y＝ax2(a>0)过A(－2,y1),B(－1,y2)两点,则下列关系式一定正确的是( )A．y1>0>y2 B．y2>0>y1C．y1>y2>0 D．y2>y1>010．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：x …－3－2－101…y …－3－2－3－6－11…则该函数图象的对称轴是( )A．直线x＝－3 B．直线x＝－2C．直线x＝－1 D．直线x＝011．已知二次函数y＝x2＋(m－1)x＋1,当x＞1时,y随x的增大而增大,则m的取值范围是________．图1－3－112．某广场有一喷水池,水从地面喷出(如图1－3－1所示),以水平地面为x轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－12x 2＋2x 的一部分,则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米13．点P 1(－1,y 1),P 2(3,y 2),P 3(5,y 3)均在二次函数y ＝－x 2＋2x ＋c 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( )A ．y 3>y 2>y 1B ．y 3>y 1＝y 2C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1＝y 2>y 314．若一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数y ＝ax 2－ax ( )A ．有最大值a 4B ．有最大值－a4C ．有最小值a 4D ．有最小值－a415．已知a ,b ,c 为实数,点A (a ＋1,b ),B (a ＋2,c )在二次函数y ＝x 2－2ax ＋3的图象上,则b ,c 的大小关系是b ________c (用“＞”或“＜”填空)．16．如图1－3－2所示,已知函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A (2,0),B (0,－6)两点．(1)设该二次函数的图象的对称轴与x 轴交于点C ,连结BA ,BC ,求△ABC 的面积； (2)若该函数自变量的取值范围是－1≤x ≤8,求函数的最大值和最小值．图1－3－217．已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ,B (点A ,B 在原点O 两侧),与y 轴相交于点C ,且点A ,C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上,线段AB 长为16,线段OC 长为8,当y 1随着x 的增大而减小时,求自变量x 的取值范围．18．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q 图象的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点．(1)用含m 的代数式来表示顶点M 的坐标(直接写出答案)；(2)当x ≥2时,二次函数y ＝x 2＋px ＋q 与y ＝12x ＋12的值均随x 的增大而增大,求m 的取值范围；(3)若m ＝6,当x 取值为t －1≤x ≤t ＋3时,二次函数的最小值为2,求t 的取值范围．详解详析1．1 5 [解析] ∵y ＝x 2－2x ＋6＝(x －1)2＋5,∴当x ＝1时, y 最小值＝5. 2.523．解：(1)二次函数y ＝2x 2－3x －5中的二次项系数2>0,因此抛物线y ＝2x 2－3x －5有最低点,即函数有最小值．∵y ＝2x 2－3x －5＝2⎝⎛⎭⎪⎫x －342－498,∴当x ＝34时,函数y ＝2x 2－3x －5取得最小值－498.(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4,－1<0, ∴当x ＝1时,函数y ＝－x 2＋2x ＋3取得最大值4. (3)∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9,1>0,∴当x ＝2时,函数y ＝x 2－4x －5取得最小值－9. 4．A [解析] 二次函数y ＝x 2－2x ＋1, ∵b 2－4ac ＝4－4＝0,∴二次函数图象与x 轴有一个交点．故选A.5．(－1,0),(6,0)6．解：(1)设y ＝a (x －2)2＋1, 把(－1,－8)代入,得－8＝9a ＋1,解得a＝－1,所以这个二次函数的表达式为y＝－(x－2)2＋1.(2)令y＝0,则－(x－2)2＋1＝0,解得x1＝3,x2＝1,所以这个二次函数图象与x轴的交点坐标是(1,0),(3,0)．令x＝0,则y＝－3.所以这个二次函数图象与y轴的交点坐标是(0,－3)．7．解：(1)抛物线y＝x2－4x＋4沿y轴向下平移9个单位后所得抛物线的函数表达式是y ＝x2－4x＋4－9,即y＝x2－4x－5.y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9,则点D的坐标是(2,－9)．在y＝x2－4x－5中,令x＝0,则y＝－5,则点C的坐标是(0,－5),令y＝0,则x2－4x－5＝0,解得x＝－1或5,则点B的坐标是(5,0)．(2)如图,过点D作DA⊥y轴于点A.则S △BCD ＝S 梯形AOBD －S △BOC －S △ADC ＝12×(2＋5)×9－12×5×5－12×2×4＝15.8．≤2 ≥2 2 小 09．C [解析] ∵y ＝ax 2(a >0),∴抛物线的开口向上,对称轴为y 轴,在对称轴左侧,y 随x 的增大而减小．∵－2＜－1,∴y 1>y 2>0,因此选择C 选项．10．B11．m ≥－1 [解析] 抛物线的对称轴为直线x ＝－m －12＝1－m 2,∵当x ＞1时,y 的值随x 值的增大而增大, ∴1－m2≤1,解得m ≥－1.12．C [解析] ∵水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－12x 2＋2x 的一部分,∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y ＝－12x 2＋2x 的顶点的纵坐标．∵y ＝－12x 2＋2x ＝－12(x －2)2＋2,∴抛物线的顶点坐标为(2,2),故喷水的最大高度为2米．13．D [解析] 抛物线的对称轴是直线x ＝1,开口向下,根据“点到对称轴的水平距离越近,函数值越大”的原则,应选D.14．B [解析] 因为一次函数y ＝(a ＋1)x ＋a 的图象过第一、三、四象限,所以⎩⎨⎧a ＋1＞0，a ＜0，因此－1＜a ＜0,而y ＝ax 2－ax ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122－14a ,所以二次函数有最大值－a 4. 15．＜ [解析] ∵对称轴为直线x ＝a , ∴A (a ＋1,b ),B (a ＋2,c )在对称轴右侧． ∵1＞0,∴抛物线开口向上,∴在对称轴右侧,y 随x 的增大而增大, ∴b ＜c .16．解：(1)将点A (2,0),B (0,－6)代入y ＝－12x 2＋bx ＋c ,得⎩⎨⎧0＝－12×4＋2b ＋c ，c ＝－6.解得⎩⎨⎧b ＝4，c ＝－6.∴对称轴是直线x ＝4,∴AC ＝2,BO ＝6, ∴△ABC 的面积为12×2×6＝6.(2)由(1)知函数表达式为y ＝－12x 2＋4x －6.当x ＝－1时,y ＝－10.5；当x ＝8时,y ＝－6.又由(1)知函数图象的顶点坐标为(4,2),∴当x ＝4时,函数取得最大值2；当x ＝－1时,函数取得最小值－10.5. 17．解：根据OC 长为8可得一次函数中的n 的值为8或－8. 分类讨论：(1)当n ＝8时,易得A (－6,0)．∵抛物线经过点A ,C ,且与x 轴的交点A ,B 在原点的两侧,∴抛物线开口向下,则a <0,如图①.∵AB ＝16,且A (－6,0),∴B (10,0),而点A ,B 关于对称轴对称,∴对称轴为直线x ＝－6＋102＝2.要使y 1随着x 的增大而减小,∴x ≥2；(2)当n ＝－8时,易得A (6,0)．∵抛物线过A ,C 两点,且与x 轴的交点A ,B 在原点两侧,∴抛物线开口向上,则a >0,如图②.∵AB ＝16,且A (6,0),∴B (－10,0),而点A ,B 关于对称轴对称,∴对称轴为直线x ＝6－102＝－2.要使y 1随着x 的增大而减小,∴x ≤－2.综上所述,自变量x 的取值范围为x ≥2或x ≤－2.18．解：(1)由⎩⎨⎧y ＝12x ＋12，y ＝－x ＋m －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2m －33，y ＝m 3，即交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －33，m 3. (2)∵二次函数y ＝x 2＋px ＋q 图象的顶点M 为直线y ＝12x ＋12与y ＝－x ＋m －1的交点,坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －33，m 3,且当x ≥2时,二次函数y ＝x 2＋px ＋q 与y ＝12x ＋12的值均随x 的增大而增大, ∴2m －33≤2,解得m ≤92.(3)∵m ＝6,∴顶点M 的坐标为(3,2),∴二次函数的表达式为y ＝(x －3)2＋2,∴函数y 有最小值为2.∵当x 取值为t －1≤x ≤t ＋3时,二次函数的最小值为2,∴t －1≤3,t ＋3≥3,解得0≤t ≤4.。

初中数学《二次函数图像与系数的六种关系》含解析

二次函数图像与系数的六种关系题型01a与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·河北保定·期末)二次函数y=ax2的图象如图所示，则a的值可能为()A.2B.0C.-1D.-2【答案】A【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象的开口方向求解即可．【详解】解：由图象知，二次函数y=ax2的图象开口向上，则a>0，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意，故选：A2(2024九年级·全国·专题练习)在同一个平面直角坐标系中，二次函数y1=a1x2，y2=a2x2，y3=a3x2的图象如图所示，则a1，a2，a3的大小关系为．【答案】a3>a2>a1#a1<a2<a3【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定的，a 越大，开口越小，掌握抛物线的开口方向和开口大小由a的值决定是解题的关键．【详解】解：由抛物线开口方向可知，a1、a2、a3为正数，又由开口大小可得，a3>a2>a1，故答案为：a3>a2>a13(23-24九年级上·福建厦门·阶段练习)已知y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．求k的值，并画出它的图象；【答案】k=-3【分析】根据二次函数定义以及当x<0时，y随x的增大而增大．可得出函数解析式，再描点画图即可；【详解】解：由y=k+2x k2+k-4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得k2+k-4=2，k+2<0解得：k=-3或k=2(舍去)；二次函数的解析式为y=-x2，如图所示：【变式演练】1(23-24九年级上·山东青岛·阶段练习)图中与抛物线y=13x2，y=2x2，y=-13x2，y=-2x2，的图象对应的是()A.①②④③B.②①④③C.①②③④D.②①③④【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象．抛物线的形状与a和a 有关，根据a 的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．【详解】解：∵①②开口向上，则a>0，∵②的开口最宽，∴y=13x2是②，y=2x2是①，∵③④开口向下，则a<0，∵④的开口最宽，∴y=-13x2是④，y=-2x2是③，综上，依次②①④③，故选：B2(23-24九年级上·吉林松原·阶段练习)二次函数y=k+2x2的图象如图所示，则k的取值范围是．【答案】k>-2【分析】由图示知，该抛物线的开口方向向上，则系数k+2>0，据此易求k的取值范围．【详解】解：如图，抛物线的开口方向向上，则k+2>0，解得k>-2．故答案为：k>-2．【点睛】本题考查了二次函数的图象．二次函数y=ax2的系数a为正数时，抛物线开口向上；a为负数时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，抛物线开口越小3(24-25九年级上·全国·假期作业)已知函数y=(m+3)x m2+3m-2是关于x的二次函数．(1)求m的值；(2)当m为何值时，该函数图像的开口向下？(3)当m为何值时，该函数有最小值？(4)试说明函数的增减性．【答案】(1)m=-4或m=1(2)当m=-4时，该函数图像的开口向下(3)当m=1时，原函数有最小值(4)见解析【分析】(1)由二次函数的定义可得m2+3m-2=2m+3≠0故可求m的值．(2)图像的开口向下，则m+3<0，结合(1)中的结果，即可得m的值；(3)函数有最小值，则m+3>0，结合(1)中的结果，即可得m的值；；(4)根据(1)中求得的m的值，先求出抛物线的解析式，函数的增减性由函数的开口方向及对称轴来确定．【详解】(1)根据题意，得m2+3m-2=2 m+3≠0，解得m1=-4,m2=1 m≠-3，∴当m=-4或m=1时，原函数为二次函数．(2)∵图像开口向下，∴m+3<0，∴m<-3，∴m=-4，∴当m=-4时，该函数图像的开口向下．(3)∵函数有最小值，∴m+3>0，则m>-3，∴m=1，∴当m=1时，原函数有最小值．(4)当m=-4时，此函数为y=-x2，开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小；当m=1时，此函数为y=4x2，开口向上，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的增减性．二次函数的最值是顶点的纵坐标，当a>0时，开口向上，顶点最低，此时纵坐标为最小值；当a<0时，开口向下，顶点最高，此时纵坐标为最大值．考虑二次函数的增减性要考虑开口方向和对称轴两方面的因素，因此最好画图观察．题型02b与图像的关系【典例分析】1(21-22九年级上·安徽合肥·开学考试)已知二次函数y=-x2+2m-1x-3，当x>1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是()A.m<32B.m≤32C.m≤12D.m<-12【答案】B【分析】本题主要考查二次函数图象对称轴，增减性，解一元一次不等式的问题，根据题意可得二次函数图象的对称轴为x=2m-22，结合函数图象的增减性可得2m-12≤1，由此即可求解，掌握二次函数图象的性质，解不等式的方法是解题的关键．【详解】解：二次函数y=-x2+2m-3x-3中，a=-1<0，b=2m-1，c=-3，∴图象开口向下，对称轴为x=-2m-12×-1=2m-12，∵当x>1时，y随x的增大而减小，∴2m-12≤1，解得，m≤3 2，故选：B2(2023·九年级上·西藏日喀则·)已知抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线x=2．则m的值是() A.-4 B.1 C.4 D.-1【答案】A【分析】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质，对于二次函数y=ax2+bx+c，其对称轴为直线x=-b2a，据此即可求解．【详解】解：由题意得：抛物线γ=x²+mx的对称轴为直线：x=-b2a=-m2×1=-m2，∴-m2=2解得：m=-4故选：A3(23-24九年级上·安徽淮北·阶段练习)抛物线y=-x2+2ax+3的对称轴位于y轴的右侧，与x轴交于点A，B(点B在点A的右边)，且AB=4．(1)此抛物线的顶点坐标为．(2)当-1≤x≤m时，-5≤y≤4，则m的值为．【答案】1,44【分析】(1)令y=0，则x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．根据AB=4，得出x2-x1=4，结合完全平方公式得出x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，求出a的值，即可求解；(2)根据二次函数的性质可得当x=1时，y取得最大值4．求出当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，得出m>1，则当x=m时，y=-5，即可求解．【详解】解：(1)令y=0，则-x2+2ax+3=0，即x2-2ax-3=0．设A x1,0，B x2,0，则x1+x2=2a，x1x2=-3．∵AB=4，∴x2-x1=4，∴x2-x12=x1+x22-4x1x2=16，∴4a2+12=16，∴a=±1．∵抛物线的对称轴位于y轴的右侧，即a=1，∴y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴抛物线的顶点坐标为1,4．(2)∵y=-x2+2x+3=-x-12+4，∴当x=1时，y取得最大值4．∵当x=-1时，y=0>-5，且-5≤y≤4，∴m>1，∴当x=m时，y=-5，∴-m2+2m+3=-5，∴m=4或m=2(舍去)．故答案为：1,4，4．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴交点坐标的求法，将二次函数表达式化为顶点式的方法和步骤，以及二次函数的增减性【变式演练】1(22-23九年级上·福建厦门·期中)已知抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，当x >2时，y的值随着x值的增大而减小，则m的取值范围是()A.m≥1B.m<3C.-3<m≤1D.1≤m<3【答案】D【分析】先得出抛物线对称轴为直线x=3-m，根据抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，可得m<3，根据当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，得出m≥1，即可求解．【详解】解：∵抛物线y=-x2+6-2mx-3的对称轴在y轴的右侧，∴x=-b2a =6-2m2=3-m>0，解得：m<3，又∵a=1<0，抛物线开口向下，当x>2时，y的值随着x值的增大而减小，则3-m≤2，解得：m≥1，综上所述，1≤m<3，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键2(23-24九年级上·重庆合川·期末)关于x的二次函数y=x2+a-1x-1在y轴的右侧，y随x的增大而增大，且使得关于y的分式方程a-12-y+1y-2=2有非负数解的所有整数a的值之和．【答案】19【分析】本题主要考查了二次函数的性质、分式方程的解以及解一元一次不等式，依据题意，解分式方程可先确定出a的取值范围，再由二次函数的性质可确定出a的范围，从而可确定出a的取值，可求得答案．【详解】解分式方程a-12-y+1y-2=2可得y=6-a2，∵关于y的分式方程a-12-y +1y-2=2有非负数解，∴y=6-a2≥0且y=6-a2≠2，∴a≤6且a≠2，∵y=x2+a-1x-1，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1-a2，∴当x>1-a2，时，y随x的增大而增大．∵在x>0时，y随x的增大而增大，≤0，解得a≥1．∴1-a2综上1≤a≤6且a≠2，∴满足条件的整数a的值为1，3，4，5，6．∴所有满足条件的整数a的值之和是1+3+4+5+6=19．故答案为：19．3(23-24九年级上·浙江宁波·期末)如图，已知二次函数y=x2+ax+2的图象经过点E1,5．(1)求a的值和图象的顶点坐标．(2)若点F m,n在该二次函数图象上．①当m=-2时，求n的值．②若n≤2，请根据图象直接写出m的取值范围．【答案】(1)a=2；-1,1(2)①n=2；②-2≤m≤0【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，即可求出a；(2)①把m=-2代入解析式即可求n的值；②由n≤2，在此范围内求m即可．【详解】(1)把点E(1,5)代入y=x2+ax+2中，∴a=2，∴y=x2+2x+2=(x+1)2+1，∴顶点坐标为(-1,1)；(2)①把m=-2代入n=m2+2m+2=(m+1)2+1，可得：n=2，②∵n≤2，对称轴为x=-1，∴-2≤m≤0．【典例分析】1(23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习)关于二次函数y=x2-6x+5下列说法中错误的是()A.用配方法可化成y=x-32-4 B.将它的图象向下平移5个单位，会经过原点C.函数有最小值，最小值为5D.当x<3时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象和几何变换，掌握二次函数的图象与坐标轴交点的求法是解题的关键．运用配方法把一般式化为顶点式，由二次函数的顶点式可判断其开口方向、对称轴、顶点坐标；令x=0可求得与y轴的交点坐标；则可得出答案．【详解】解：y=x2-6x+5=x-32-4，故A正确，不符合题意；2-9+5=x-3∴其对称轴为直线x=3，开口向上，顶点坐标为3，-4，∴函数有最小值，最小值为-4，当x<3时，y随x的增大而减小，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意；令x=0可得y=5，∴与y轴的交点坐标为0，5，∴将它的图象向下平移5个单位，会经过原点，故B正确，不符合题意；故选：C2(2023·九年级上·上海杨浦·)将抛物线y=x2-2x+3向下平移m个单位后，它的顶点恰好落在x轴上，那么m=．【答案】2【分析】将抛物线解析式改为顶点式，即可求出平移后的解析式，进而可求出平移后的顶点坐标，最后根据它的顶点恰好落在x轴上，即顶点的纵坐标为0，可求出答案．【详解】解：∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2，∴该抛物线向下平移m个单位后的解析式为y=(x-1)2+2-m，∴此时顶点坐标为(1，2-m)．∵此时它的顶点恰好落在x轴上，∴2-m=0，解得：m=2．故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，二次函数的图象和性质．掌握二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键3(23-24九年级上·四川泸州·期中)写出抛物线y=-2x2-4x+5的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出抛物线y=-2x2-4x+5可由抛物线y=-2x2怎样平移得到．【答案】抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，抛物线y=-2x2-4x+5可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到．【分析】本题考查的知识点是二次函数的图像与性质、二次函数图像的平移，解题关键是理解抛物线y=ax2+bx+c的性质及掌握抛物线平移规律．先将抛物线y=-2x2-4x+5经配方转换为y=-2x+12+7，即可直接根据表达式判断抛物线开口方向、对称轴和顶点坐标；另根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”即可得出y=-2x2到y=-2x2-4x+5=-2x+12+7的平移过程．【详解】解：依题得抛物线y=-2x2-4x+5=-2x+12+7，则可根据抛物线性质得：抛物线y=-2x2-4x+5开口向下，对称轴为x=-1，顶点坐标为-1,7，∵根据抛物线平移规律“上加下减，左加右减”，∴y=-2x2-4x+5=-2x+12+7可由y=-2x2向上平移7个单位长度，向左平移1个单位长度得到【变式演练】1(23-24九年级上·安徽合肥·期末)若将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，则函数y=bx+c的图象可能是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数及一次函数的图象，熟练掌握图象与系数的关系是关键．先根据题意判断 b<0,c>0，再判断经过的象限．【详解】∵将抛物线y=ax2(a>0)向右平移h(h>0)个单位，得到抛物线y=ax2+bx+c，∴y=ax2+bx+c对称轴在y轴的右侧，且交于y轴的正半轴，∴b<0,c>0，∴y=bx+c的图象过第一、二、四象限．故选：C2(22-23九年级上·浙江宁波·期末)将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，则m的值可能是()A.1B.3C.5D.7【答案】D【分析】根据将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限可知-6+m≥0，即可得出结果．【详解】解：∵将抛物线y=x2+3x-6向上平移m个单位后，得到的图象不经过第四象限，∴-6+m≥0，∴m≥6，∴m的值可能是7，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键3(21-22九年级上·广东中山·阶段练习)已知二次函数y=x2-2x-3．(1)请写出函数图象顶点坐标和对称轴∶(2)当函数值y为正数时，自变量x的取值范围∶(3)将该函数图象向右平移1个单位，再向上平移4个单位后，求所得图象的函数表达式．【答案】(1)1,-4，直线x=1(2)x<-1或x>3(3)y=x-22【分析】本题考查了二次函数的顶点式，对称轴，平移，不等式解集的确定，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)化成顶点式，确定对称轴和顶点坐标即可．(2)求得x2-2x-3=0的两个根，进而即可求解．(3)根据右减上加的平移规律，即可求解．【详解】(1)∵y=x2-2x-3=x-12-4．∴对称轴为直线x=1，顶点为1,-4．(2)根据题意，得x2-2x-3=0，解得x1=-1,x2=3，∵y=x2-2x-3=x-12-4开口向上，故当x<-1或x>3时，y>0．(3)∵y=x2-2x-3=x-12-4．平移后的解析式为y=x-1-122-4+4即y=x-2题型04a，b与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·浙江金华·期末)已知二次函数y=-mx2+2mx+4m>0，点经过点A-2,y1 B1,y2，那么y1，y2，y3的大小关系为()，点C3,y3A.y1<y2<y3B.y1<y3<y2C.y2<y3<y1D.y3<y1<y2【答案】B【分析】本题考查利用二次函数性质比较函数值大小，涉及二次函数图像与性质、比较二次函数值大小等知识，根据二次函数图像与性质，利用图像上点到对称轴距离比较函数值大小即可得到答案，熟练掌握利用距离比较二次函数值大小的方法是解决问题的关键．【详解】解：由二次函数y=-mx2+2mx+4m>0可知抛物线开口向下，对称轴为x=-2m-2m=1，∴抛物线上点到对称轴距离越近，函数值y越大，∵二次函数y=-mx2+2mx+4m>0经过点A-2,y1，点B1,y2，点C3,y3，∴三个点A、B、C到对称轴的距离为3、0、2，∴y1<y3<y2，故选：B．2(23-24九年级上·广东广州·期中)若点A-134,y1B-1,y2，C53,y3为二次函数y=-ax2-4ax+5a<0图象上的三个点，则y1，y2，y3的大小关系是．【答案】y3>y1>y2【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得抛物线开口向上，对称轴为直线x=-2，则点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，根据二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．【详解】解：∵y=-ax2-4ax+5a<0，∴-a>0，对称轴为直线x=--4a2×-a=-2，∴抛物线开口向上，∴点A-134,y1关于直线x=-2的对称点54,y1在抛物线y=-ax2-4ax+5a<0上，∵-2<-1<54<53，∴y3>y1>y2，故答案为：y3>y1>y23(23-24九年级上·云南昆明·阶段练习)已知关于x的二次函数y=mx2+3m+1x+3．(1)求证：不论m为任何实数，方程mx2+3m+1x+3=0总有实数根；(2)若抛物线与x轴交于两个不同的整数点，m为正整数，点P x1,y1与Q x1+n,y2在抛物线上(点P, Q不重合)，且y1=y2，求代数式4x21+12x1n+5n2+16n+8的值．【答案】(1)证明见解析；(2)24【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系以及二次函数的图象与性质等知识；(1)用根的判别式可以直接证明；(2)令y=0，方程可以化为mx+1x+3=0，解得x=-3或x=-1m，又m为正整数，可以求解m的值，进而可求出函数解析式；点P、Q在抛物线上，且y1=y2，可将x1、x1+n代入解析式联立方程，用含n的式子表示出x1，然后带入代数式化简求解即可．【详解】(1)解：由题意可知m≠0，∵Δ=b2-4ac=(3m+1)2-4m×3=(3m-1)2≥0∴此方程总有实数根；综上，不论m为任何实数时，方程总有实数根．(2)解：令y=0，则有mx+1x+3=0解得：x1=-3，x2=-1 m，因为抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，所以m=1，所以抛物线为y=x2+4x+3．∵点P、Q在抛物线上，且y1=y2，∴x12+4x1+3=(x1+n)2+2(x1+n)+3∴2x1n+n2+4n=0即：n(2x1+n+4)=0，∵P、Q不重合，∴n≠0，∴2x1=-n-4∴4x12+12x1n+5n2+16n+8=(2x1)2+2x1∙6n+5n2+16n+8=(n+4)2+6n(-n-4)+5n2+16n+8=24所以代数式 4x21+12x1n+5n2+16n+8的值为24【变式演练】1(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知关于x的二次函数y=ax2-4ax a>0．若P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，且n>b，则m的取值范围为()A.m<-1B.m>5C.m<-1或m>5D.-1<m<5【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，由抛物线的解析式可知开口方向和对称轴为直线x=2，根据函数的对称性和增减性即可求解；熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键．【详解】解：∵二次函数y=ax2-4ax a>0．∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=--4a2a=2，∵P m,n和Q5,b是抛物线上的两点，∴当n=b时，m=-1，∵抛物线上的点到对称轴的距离越远，函数值越大，∴n>b时，m的取值范围为m<-1或m>5；故选：C．2(23-24九年级上·浙江杭州·期末)已知二次函数y=ax2-4ax+2(a为常数，且a≠0) (1)若函数图象过点1,0，求a的值；(2)当2≤x≤5时，函数的最大值为M，最小值为N，若M-N=18，求a的值．【答案】(1)a=2 3(2)a=±2【分析】本题考查了求二次函数的表达式、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．(1)将点1,0的坐标代入表达式求解即可；(2)分类讨论a的正负，结合对称轴和图象的增减性即可得出答案．【详解】(1)解：函数图象过点1,0得a-4a+2=0解得：a=2 3(2)由y=ax2-4ax+2可知对称轴为直线x=2①当a>0时，开口方向向上，当2≤x≤5时当x=2时取最小值，当x=5时取最大值∴M=5a+2，N=-4a+2∵M-N=5a+2--4a+2=9a=18解得a=2，满足题意．②当a<0时，开口方向向下，当2≤x≤5时当x=2时取最大值，当x=5时取最小值∴M=-4a+2，N=5a+2∴M-N=-4a+2-5a+2=-9a=18解得a=-2 满足题意．综上所述：a=±2．3(23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习)如图所示，抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)经过点A(-1，0)，点B(4，0)，与y轴交于点C，连接AC，BC．点M是线段OB上不与点O、B重合的点，过点M作DM⊥x 轴，交抛物线于点D，交BC于点E．(1)求抛物线的表达式；(2)过点D作DF⊥BC，垂足为点F．设M点的坐标为M(m，0)，请用含m的代数式表示线段DF的长，并求出当m为何值时DF有最大值，最大值是多少？【答案】(1)抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4(2)当m=2时，DF有最大值为22【分析】(1)利用待定系数法求函数解析式．(2)先求出B,C所在直线解析式可得∠OBC=∠OCB=45°，通过DF=22DE可表示DF长度的代数式，再配方求解即可．【详解】(1)把点A(-1，0)，点B(4，0)分别代入y=ax2+bx+4a≠0中，得：a-b+4=016a+4b+4=0解得：a=-1 b=3∴抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4．(2)把x=0代入y=-x2+3x+4中，得：y=4∴C0,4设BC所在直线解析式为y=kx+b,把B4,0,C0,4代入y=kx+b中，得：0=4k+b 4=b解得k=-1 b=4∴y=-x+4设M m,0,则D(m,-m2+3m+4)，E m,-m+4∴DE=-m2+3m+4+m-4=-m2+4m ∵OB=OC=4,OC⊥OB∴∠OBC=∠OCB=45°∵DM⊥x轴∴∠DEF=∠BEM=45°又∵DF⊥BC∴DF=22DE=22-m2+4m=-22(m-2)2+22∵-22<0∴当m=2时，DF有最大值为22．【点睛】本题考查二次函数与图形的结合，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握配方法求代数式的最值题型05a，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·广东梅州·期末)如图所示是二次函数y=ax2-x+a2-1的图象，则a的值是()A.a=-1B.a=12C.a=1D.a=1或a=-1【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象．由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2 -1=0，解得a的值．【详解】解：由图象得，此二次函数过原点0,0，把点0,0代入函数解析式得a2-1=0，解得a=±1；又因为此二次函数的开口向上，所以a>0；所以a=1．故选：C．2(23-24九年级上·浙江丽水·期末)已知二次函数y=ax²+2x+c a≠0的图象如图所示．(1)写出c的值；(2)求出函数的表达式．【答案】(1)3(2)y=-x²+2x+3【分析】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式，综合利用已知条件求出抛物线的解析式是解题的关键．(1)将点0,3即可求出c；代入y=ax²+2x+c a≠0(2)把点A3,0即可求出函数表达式．代入y=ax²+2x+3a≠0【详解】(1)解：∵二次函数y=ax²+2x+c a≠0；的图象经过点0,3∴将点0,3得；代入y=ax²+2x+c a≠0c=3．(2)解：设函数的表达式为y=ax²+2x+3a≠0；∵函数图象经过点A3,0；∴把点A3,0得；代入y=ax²+2x+3a≠0a=-1；∴函数的表达式为：y=-x²+2x+33(23-24九年级上·广东广州·阶段练习)如图，二次函数y=ax2-2x+c的图象与x轴交于点A-3,0和点B，点y轴交于点C0,3．(1)求二次函数的解析式；(2)求B点坐标，并结合图象写出y<0时，x的取值范围；【答案】(1)y=-x2-2x+3；(2)B1,0，x<-3或x>1．【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．(1)利用待定系数解答，即可求解；(2)根据当y=0时，-x2-2x+3=0，求出点B1,0，进而根据图象可得出答案．【详解】(1)解：∵二次函数y=ax2-2x+c的图象经过点A-3,0，C0,3，∴9a+6+c=0 c=3，解得：a=-1 c=3，∴该二次函数的解析式为y=-x2-2x+3；(2)解：由(1)可知，二次函数的解析式为y=-x2-2x+3，当y=0时，-x2-2x+3=0，解得x1=1，x2=-3，∴B1,0，根据图象可知，当y<0时，x的取值范围为x<-3或x>1【变式演练】1(23-24九年级上·广西崇左·期末)已知二次函数y=m+2x2+m2-9有最大值，且图象经过原点，则m的值为()A.±3B.3C.-3D.±4.5【答案】C【分析】本题考查二次函数的基本性质，根据二次函数有最大值得出m<-2，根据二次函数图象经过原点得出m=±3，即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键．【详解】解：∵二次函数的解析式为：y=m+2x2+m2-9有最大值，∴m+2<0，∴m<-2，∵二次函数y=m+2x2+m2-9的图象经过原点，∴m2-9=0，∴m=-3或m=3，∵m<-2，∴m=-3．故选：C2(20-21九年级上·全国·单元测试)如图所示，抛物线y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2两点．1 求此抛物线的解析式；2 求此抛物线的顶点坐标和对称轴；3 观察图象，求出当x取何值时，y>0？【答案】1 y=x2-x-2；2 抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94；3当x取x<-1或x>2时，y>0．【分析】(1)把A点和B点坐标代入y=ax2-x+c得到关于a、c的方程组，然后解方程组求出a、c即可得到抛物线解析式；(2)把一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解；(3)先通过解方程x2-x-2=0 得到抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．然后写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可．【详解】1 ∵二次函数y=ax2-x+c的图象经过A-1,0、B0,-2，∴a+1+c=0c=-2，解得a=1c=-2∴此二次函数的解析式是y=x2-x-2；2 ∵y=x2-x-2=x-122-94，∴抛物线的对称轴是直线x=12；顶点坐标是12,-94 ；3 当y=0时，x2-x-2=0，解得x1=-1，x2=2，即抛物线y=x2-x-2与x轴的另一个交点的坐标为2,0．所以当x取x<-1或x>2时，y>0．【点睛】待定系数法求二次函数解析式, 二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系等，掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键3(23-24九年级上·江苏扬州·期末)如图，已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点A1，0，B-2，3(1)求a+b的值；(2)用无刻度直尺画出抛物线的对称轴l；(用虚线表示画图过程，实线表示画图结果)(3)结合图象，直接写出当y≤3时，x的取值范围是．【答案】(1)a+b=-3(2)见解析(3)x≤-2或x≥0【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键．(1)利用待定系数法求解即可；(2)根据二次函数图象的对称性可得出抛物线的对称轴；(3)观察函数图象，结合方程，即可得出结论．【详解】(1)解：将A1，0，B-2，3代入二次函数y=ax2+bx+3得：a+b+3=0 4a-2b+3=3，解得：a=-1 b=-2，∴a+b=-1+-2=-3；(2)解：如图，直线l为所求对称轴，，由(1)得二次函数的解析式为y=-x2-2x+3=-x+12+4，∴可以得出顶点坐标为-1，4，对称轴为直线x=-1；(3)解：令y=3，则-x2-2x+3=3，解得：x=0或x=-2，结合图象得：x≤-2或x≥0时，y≤3，故答案为：x≤-2或x≥0题型06a，b，c与图像的关系【典例分析】1(23-24九年级上·山东济南·期末)二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图像如图所示，则下列结论中：①abc<0；②2a-b=0；③当-2<x<3时，y<0；④当x≥1时，y随x的增大而减小，正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【答案】A【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系，二次函数的性质．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图像确定y<0时，x的范围，根据二次函数的性质确定增减性．掌握二次函数的图像和性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．【详解】解：①∵二次函数的图像开口向上，∴a>0，∵二次函数图像的对称轴在y轴的右侧，∴-b>0，2a∴b<0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，故结论①不正确；②∵a>0，b<0，∴2a-b>0，故结论②不正确；③∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，该图像与x轴的位于对称轴左边的交点的坐标为-2,0，∴该图像与x轴的位于对称轴右边的交点的坐标为4,0，∴当-2<x<4时，y<0，∴当-2<x<3时，y<0，故结论③正确；④∵二次函数的图像开口向上，对称轴为：x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而增大，故结论④不正确，∴正确的个数是1个．故选：A2(23-24九年级上·湖北随州·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示抛物线的顶点坐标是1,1在该抛物线上，则am2+bm ，有下列结论①a>0；②b2-4ac>0；③4a+b=1；④若点A m,n+c≥a+b+c．其中正确的结论是．【答案】①③④【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，开口方向判断①，与x轴的交点个数，判断②，特殊点判断③，最值判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向上，∴a>0；故①正确；∵抛物线与x轴没有交点，∴b2-4ac<0；故②错误；∵顶点坐标为1,1，，图象过3,3∴a+b+c=1,9a+3b+c=3，两式相减，得：8a+2b=2，∴4a+b=1；故③正确；∵当x=1时y=a+b+c=1值最小，∴am2+bm+c≥a+b+c，故④正确；故答案为：①③④3(23-24九年级上·河南洛阳·期末)已知二次函数y=ax2+2ax-m．(1)当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；(2)若二次函数y=ax2+2ax-m的部分图象如图所示，①求二次函数y=ax2+2ax-m图象的对称轴；②求关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解．【答案】(1)m>-1(2)①直线x=-1；②x1=1，x2=-3【分析】(1)将a=1代入二次函数y=ax2+2ax-m中，然后根据当a=1时，二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴有两个交点，可知 22-4×1×-m>0，然后即可求得m的取值范围；(2)①将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴；②根据图象与x轴的一个交点和二次函数的性质，可以写出该函数图象与x轴的另一个交点，然后即可写出关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解；本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合熟练掌握以上知识的应用．【详解】(1)当 a=1时，y=ax2+2ax-m，∵当a=1时，二次函数y=ax²+2ax-m的图象与x轴有两个交点，∴22-4×1×-m>0，解得m>-1；(2)①∵y=ax2+2ax-m=a x+12-a-m，∴二次函数y=ax2+2ax-m的图象的对称轴是直线x=-1；②由图象可知：二次函数y=ax2+2ax-m的图象与x轴交于点(1,0),由①知，该函数的对称轴为直线x=-1，∴该函数与x轴的另一个交点为-3,0，∴关于x的一元二次方程ax2+2ax-m=0的解是x1=1，x2=-3【变式演练】1(23-24九年级上·云南昭通·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是()A.b<0B.当x>0时，y>0C.a-3=cD.2a+b=0【答案】D【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点、二次函数的性质．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据函数图象的开口方向，对称轴，与y轴的交点位置，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可得，A．该函数图象的开口向下，∴a<0，∵对称轴位于y轴右侧，∴-b>0，2a∴b>0，故此选项不符合题意；B．由图象可得：当x>0时，y不一定大于0，故此选项不符合题意；C．该函数图象与y轴交于正半轴，∴c>0，而a<0，∴a-c<0，∴a-c=3错误，即a-3=c错误；故此选项不符合题意；D．该函数的对称轴为直线x=1，=1，∴x=-b2a∴b=-2a，即2a+b=0，故选项符合题意．故选：D2(23-24九年级上·宁夏吴忠·阶段练习)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac<0；②a+b=0；③a+b+c>0；④b2-4ac<0．其中正确的是．(填序号)。

专题06二次函数的图象与性质(1)(5个知识点4种题型1个易错点)原卷版-初中数学北师大版9年级上册

专题06二次函数的图象与性质（1）（5个知识点4种题型1个易错点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数2x y =与2x y -=的图象及性质知识点2.二次函数)0(2≠=a ax y 的图象及性质（重点）知识点3.二次函数)0(2≠+=a k ax y 的图象及性质（重点）知识点4.二次函数)0()(2≠-=a h x a y 的图象与性质（重点）知识点5.二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象与性质（重点）【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小题型2.二次函数与一次函数的综合题型3.画二次函数的图象题型4.二次函数与几何图形的综合【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数a 的作用【方法四】成果评定法【学习目标】1.掌握二次函数)0(),0(,222≠+=≠==a c ax y a ax y x y 图象的画法及性质，并了解三个函数之间的关系。

2.掌握二次函数)0()(),0()(22≠+-=≠-=a k h x a y a h x a y 图象的画法及性质，并了解)0()()0(22≠+-=≠=a k h x a y a ax y 与图象之间的关系。

3.能灵活运用二次函数)0(2≠=a ax y 与)0()(2≠+-=a k h x a y 图象之间的关系解决问题。

4.重点：二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 图象的画法及性质5.难点：二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y性质的应用【倍速学习四种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二次函数2x y =与2x y -=的图象及性质二次函数y ＝±x 2的图象与性质抛物线y ＝x 2y ＝－x2顶点坐标(0，0)(0，0)对称轴y 轴y 轴开口方向向上向下增减性在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而增大在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小最值当x ＝0时，有最小值0当x ＝0时，有最大值0【例1】已知二次函数y ＝x 2的图象与直线y ＝x ＋2的图象如图所示.(1)判断y ＝x 2的图象的开口方向，并说出此抛物线的对称轴、顶点坐标；(2)设直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝x 2的交点分别为A ，B ，如图所示，试确定A ，B 两点的坐标；(3)连接OA ，OB ，求△AOB 的面积.【变式】已知二次函数y ＝x 2，当－1≤x ≤2时，求函数y 的最小值和最大值.小王的解答过程如下：解：当x＝－1时，y＝1；当x＝2时，y＝4；所以函数y的最小值为1，最大值为4.小王的解答过程正确吗?如果不正确，写出正确的解答过程.【例2】观察二次函数y＝－x2的图象，请问：(1)什么时候y随x的增大而增大?什么时候y随x的增大而减小?(2)什么时候函数有最大值或最小值?其最大值或最小值是多少?【变式】函数y＝ax2(a≠0)与直线y＝x－2交于点(1，b).(1)求a，b的值.(2)x取何值时，y随x的增大而增大?知识点2.二次函数)0axy的图象及性质（重点）=a(2≠二次函数y=ax2（a≠0）的图象的性质，见下表：顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.│a│相同，抛物线的开口大小、形状相同.│a│越大，开口越小，图象两边越靠近y 轴，│a│越小，开口越大，图象两边越靠近x 轴.【例3】．（2023秋•普陀区期末）下列关于抛物线y ＝2x 2和抛物线y ＝﹣2x 2的说法中，不正确的是（）A ．对称轴都是y 轴B ．在y 轴左侧的部分都是上升的C ．开口方向相反D ．顶点都是原点【变式】．（2023秋•琼山区校级期中）已知抛物线y ＝（3m ﹣1）x 2的开口向下，则m 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．知识点3.二次函数)0(2≠+=a k ax y 的图象及性质（重点）关于二次函数2(0)y ax c a =+≠的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：函数2(0,0)y ax c a c =+>>2(0,0)y ax c a c =+<>图象开口方向向上向下顶点坐标(0，c)(0，c)对称轴y轴y轴函数变化当0x>时，y随x的增大而增大；当0x<时，y随x的增大而减小.当0x>时，y随x的增大而减小；当0x<时，y随x的增大而增大.最大（小）值当0x=时，y c=最小值当0x=时，y c=最大值【例4】．（2023秋•日喀则市期末）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2+m的图象可能是（）A．B．C．D．知识点4.二次函数)0()(2≠-=ahxay的图象与性质（重点）一般地，二次函数()2y a x m=+的图像是抛物线，称为抛物线()2y a x m=+，它可以通过将抛物线2y ax=向左（0m>时）或向右（0m<时）平移m个单位得到．抛物线()2y a x m=+（其中a、m是常数，且0a≠）的对称轴是过点（-m，0）且平行（或重合）于y轴的直线，即直线x=-m；顶点坐标是（-m，0）．当0a>时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a<时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例5】．（2023秋•西昌市校级期末）y＝ax+b与y＝a（x+b）2在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．知识点5.二次函数)0()(2≠+-=a k h x a y 的图象与性质（重点）二次函数()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的图像即抛物线()2y a x m k =++，可以通过将抛物线2y ax =进行两次平移得到．这两次平移可以是：先向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位，再向上（0k >时）或向下（0k <时）平移k 个单位．利用图形平移的性质，可知：抛物线()2y a x m k =++（其中a 、m 、k 是常数，且0a ≠）的对称轴是经过点（m -，0）且平行于y 轴的直线，即直线x =m -；抛物线的顶点坐标是（m -，k ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．【例6】．（2022秋•环江县期末）二次函数y ＝2（x +2）2﹣1的图象是（）A ．B ．C ．D ．【变式1】．（2023•长兴县一模）抛物线y ＝2（x +9）2﹣3的顶点坐标是（）A ．（9，3）B ．（9，﹣3）C ．（﹣9，3）D ．（﹣9，﹣3）【变式2】．（2023秋•西山区校级月考）在直角坐标系中，将抛物线y ＝﹣2x 2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，所得新抛物线的解析式为（）A ．y ＝﹣2（x +1）2﹣2B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+2C ．y ＝﹣2（x +2）2﹣1D ．y ＝﹣2（x ﹣2）2+1【方法二】实例探索法题型1.判断二次函数图象的开口大小1.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数212y x =、22y x =的图像；（2）函数212y x =、22y x =的图像与函数2y x =的图像，有何异同？2.（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像；（2）函数2y x =-、212y x =-、22y x =-的图像与函数2y x =、212y x =、22y x =的图像有何异同？题型2.二次函数与一次函数的综合3.已知直线423y x =+上有两个点A 、B ，它们的横坐标分别是3和-2，若抛物线2y ax =也经过点A ，试求该抛物线的表达式．该抛物线也经过点B 吗？请说出你的理由．4.物线2=与直线23y ax=-交于点（1，b）．y x（1）求a和b的值；（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；（3）当x取何值时，二次函数的y值随x的增大而增大．题型3.画二次函数的图象(1)根据已知的图像部分画出这个函数图象的另一部分（直接在网格中作图即可）--，是否在这个函数图象上，说明理由．(2)判断点(24)y=时对应的函数图象在第一象限的点的坐标．(3)求当4题型4.二次函数与几何图形的综合6.有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P（如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m．求灯与点B的距离．【方法三】差异对比法易错点：忽略了二次函数二次项系数a 的作用7.抛物线2y ax =与225y x =的形状相同，则a 的值为______．【方法四】成果评定法一．选择题（共9小题）1．（2023秋•长春期末）若点A 在二次函数2(5)4y x =--图象的对称轴上，则点A 的坐标可能是()A ．(5,0)-B ．(5,0)C ．(0,4)D ．(0,4)-2．（2023秋•新宾县期末）抛物线221y x =-+通过变换可以得到抛物线22(1)3y x =-++，以下变换过程正确的是()A ．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位B ．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位C ．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位D ．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位3．（2023秋•西城区校级月考）已知点1(3,)A y -，2(1,)B y ，3(4,)C y 在抛物线2(2)y x k =--+上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是()A ．123y y y <<B ．231y y y <<C ．132y y y <<D ．312y y y <<4．（2023秋•绿园区期末）二次函数24(2)5y x =---的顶点坐标是()A ．(2,5)-B ．(2,5)C ．(2,5)--D ．(2,5)-5．（2022秋•上虞区期末）已知二次函数22y ax c =+，当2x =时，函数值等于8，则下列关于a ，c 的关系式中，正确的是()A ．28a c +=B ．24a c +=C ．28a c -=D ．24a c -=6．（2022秋•东阿县期末）已知1a >，点1(1,)A a y -，2(,)B a y ，3(1,)C a y +都在二次函数22y x =-的图象上，则()A ．123y y y <<B ．132y y y <<C ．321y y y <<D ．213y y y <<7．（2022秋•柯城区期末）将抛物线23y x =-向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，得到的新的抛物线的解析式为()A ．23(1)2y x =-++B ．23(1)2y x =---C ．23(1)2y x =-+-D ．23(1)2y x =--+8．（2023秋•明光市期中）抛物线23y x =--的顶点坐标为()A ．(3,1)--B ．(1,3)--C ．(0,3)-D ．(2,3)-9．（2022秋•抚松县期末）已知二次函数2()1y x a =-+，当12x -时，y 的最小值为1a +，则a 的值为()A ．0或1B ．0或4C ．1或4D ．0或1或4二．填空题（共8小题）10．（2023秋•日喀则市期末）抛物线2(1)2y x =++的顶点坐标为．11．（2023秋•西城区校级月考）将二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位，再向下平移5个单位，得到的函数图象的表达式是．12．（2023秋•普陀区期末）如图，抛物线24y x x =-+的顶点为P ，M 为对称轴上一点，如果PM OM =，那么点M 的坐标是．13．（2023秋•普陀区期末）已知点A 在抛物线2(1)2y x =-+上，点A '与点A 关于此抛物线的对称轴对称，如果点A 的横坐标是1-，那么点A '的坐标是．14．（2023秋•徐汇区期末）将抛物线2y x =-向右平移后，所得新抛物线的顶点是B ，新抛物线与原抛物线交于点A （如图所示），联结OA 、AB ，如果AOB ∆是等边三角形，那么点B 的坐标是．15．（2023秋•宣化区期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为(1,1)、(1,4)、(4,4)．若抛物线2y ax =的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．16．（2022秋•松北区校级期末）二次函数2(1)5y x =-++的最大值是．17．（2022秋•凤山县期末）如图，把抛物线22y x =向左平移2个单位长度，再向下平移8个单位长度得到抛物线l ，抛物线l 的顶点为P ，它的对称轴与抛物线22y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为．三．解答题（共5小题）18．（2022秋•东阿县期末）如图，A ，B ，C ，D 四点在抛物线2y ax =上，且////AB CD x 轴，与y 轴的交点分别为E ，F ，已知20AB =，10CD =，3EF =，求a 的值及OF 的长．19．（2023秋•琼山区校级期中）已知如图所示，直线l 经过点(4,0)A 和(0,4)B ，它与抛物线2y ax =在第一象限内交于点P ，且AOP ∆的面积为4．（1）求直线AB 的表达式；（2）求a 的值．20．（2023秋•安庆期中）平移抛物线212y x =，使顶点坐标为2(,)t t ，并且经过点(2,4)，求平移后抛物线对应的函数表达式．21．（2022秋•运城期末）探究二次函数22(3)1y x =--及其图象的性质，请填空：①图象的开口方向是；②图象的对称轴为直线；③图象与y 轴的交点坐标为；④当x =时，函数y 有最小值，最小值为．22．（2022秋•霍邱县期末）已知抛物线2(1)y a x h =-+，经过点(0,3)-和(3,0)．（1）求a 、h 的值；（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．。

北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质同步练习(含答案)

初中数学北师大版九年级下册2.2二次函数的图像与性质同步练习（含答案）一、单选题（共15题；共30分）1.由抛物线y=x2平移得到抛物线y=(x+2)2，下列平移方法可行的是( )A. 向上平移2个单位长度B. 向下平移2个单位长度C. 向左平移2个单位长度D. 向右平移2个单位长度2.已知二次函数y=﹣（x﹣h）2（h为常数），当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为﹣1，则h的值为（）A. 3或6B. 1或6C. 1或3D. 4或63.如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（）A. B.C. D.4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2﹣4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个5.描点法画函数图象是研究陌生函数的基本方法．对于函数，下列说法：①图象经过；②当时，有最小值；③ 随的增大而增大；④该函数图象关于直线对称；正确的是（）A. ①②B. ①②④C. ①②③④D. ②③④6.已知抛物线过、、、四点，则与的大小关系是（）A. >B. =C. <D. 不能确定7.把抛物线向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度，所得抛物线是（）A. B. C. D.8.若对于任意非零实数a，抛物线y=ax2+ax﹣2a总不经过点P（x0﹣3，x02﹣16），则符合条件的点P（）A. 有且只有1个B. 有且只有2个C. 至少有3个D. 有无穷多个9.二次函数y=kx2+2x+1（k＜0）的图象可能是（）A. B. C. D.10.如果二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）A. a＞0，c＞0B. a＜0，c＞0C. a＞0，c＜0D. a＜0，c＜011.函数y=ax2与函数y=ax+a，在同一直角坐标系中的图象大致是图中的（）A. B. C. D.12.下列二次函数的图象中，其对称轴是x=1的为（）A. B. C. D.13.当时，二次函数有最大值，则实数的值为( )A. B. 或 C. 或 D. 2或或14.对于代数式，下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA. ①B. ③C. ②④D. ①③15.已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x －1 0 1 3y －3 1 3 1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为x=1；③当x<1时，函数值y随x的增大而增大；④方程ax2+bx+c=0有一个根大于4，其中正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题（共6题；共7分）16.二次函数的顶点坐标是________．17.将二次函数的图象先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到函数的图象的表达式是________．18.已知抛物线y=x2+（m-4）x-4m的顶点在y轴上，则m=________；19.已知二次函数有最大值，则，的大小关系为________．20.若二次函数的图象关于轴对称，则的值为：________．此函数图象的顶点和它与轴的两个交点所确定的三角形的面积为：________.21.已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，，试比较和的大小：________ ．（填“ ”，“ ”或“ ”）三、解答题（共8题；共124分）22.若二次函数y=﹣x2图象平移后得到二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的图象．（1）平移的规律是：先向________（填“左”或“右”）平移________个单位，再向________平移________个单位．（2）在所给的坐标系内画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+4的示意图．23.已知抛物线y=－x2＋2x＋3．（1）求该抛物线的对称轴和顶点P的坐标．（2）在图中的直角坐标系内用五点法画出该抛物线的图象（3）将该抛物线向下平移2个单位，向左平移3个单位得到抛物线y1，此时点P的对应点为P′，试求直线PP′与y轴的交点坐标24.已知二次函数y=x2+2x﹣3．（1）写出它的顶点坐标；（2）当x取何值时，y随x的增大而增大；（3）求出图象与x轴的交点坐标．（4）当x取何值时y的值大于0．25.二次函数的图象如图所示，根据图象回答：（1）当时，写出自变量的值．（2）当时，写出自变量的取值范围．（3）写出随的增大而减小的自变量的取值范围．（4）若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围（用含、、的代数式表示）．26.已知一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同，顶点与抛物线y=(x+2)2相同.（1）求这条抛物线的解析式；（2）将上面的抛物线向右平移4个单位会得到怎样的抛物线解析式？（3）若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，求符合此条件的抛物线解析式.27.如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；（2）设点P的纵坐标为y P，求y P的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．28.已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0（其中k为常数）.（1）求证无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值.29.如图，若抛物线的顶点在抛物线上，抛物线的顶点也在抛物线上（点与点不重合），我们定义：这样的两条抛物，互为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有多条．（1）如图，已知抛物线与轴交于点，试求出点关于该抛物线对称轴对称的点的坐标；（2）请求出以点为顶点的的友好抛物线的解析式，并指出与中同时随增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物线的任意一条友好抛物线的解析式为 ℎ，请写出与的关系式，并说明理由．答案解析部分一、单选题1.【答案】C2.【答案】B3.【答案】D4.【答案】B5.【答案】B6.【答案】A7.【答案】B8.【答案】B9.【答案】C10.【答案】C11.【答案】B12.【答案】B13.【答案】C14.【答案】B15.【答案】B二、填空题16.【答案】 17.【答案】或18.【答案】4.19.【答案】20.【答案】1；121.【答案】三、解答题22.【答案】（1）右；2；上；4（2）解：抓住顶点（2，4），与y轴（0，0），x轴的交点（4，0）（0，0）等关键点来画．23.【答案】（1）解：∵抛物线y=－x2＋2x＋3，∴y=－x2＋2x＋3=-（x-1）2+4，∴对称轴为直线x=1，顶点P(1，4).（2）解：列表得：图像如图：（3）解：依题可得：平移后抛物线为y1=－(x+2)2+2，∴P′(－2，2)，设直线PP′的函数解析式为：y=kx+b，依题可得：，解得：，∴直线PP′的函数表达式为y=x+∴直线PP′与y 轴的交点为(0，).24.【答案】（1）解: y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，∴顶点坐标为：（﹣1，﹣4）（2）解: ∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4的对称轴为：x=﹣1，开口向上，∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大（3）解: 令y=x2+2x﹣3=0，解得：x=﹣3或x=1，∴图象与x轴的交点坐标为（﹣3，0），（1，0）．（4）解: 其大致图象如图：由图象可知：当x＞1或x＜-3时，y的值大于025.【答案】（1）解：当时，或（2）解：当时，；（3）解：∵抛物线的开口向下，对称轴为．∴当时，随的增大而减小（4）解：方程变形为，∴方程有两个不相等的实数根可看作二次函数与直线有两个交点，如图，∴，即26.【答案】（1）解：∵一条抛物线的开口方向和大小与抛物线y=3x2都相同,顶点与抛物线y=(x+2)2相同，∴这条抛物线的解析式为：y=3(x+2)2（2）解：将抛物线向右平移4个单位会得到的抛物线解析式为：y=3(x−2)2（3）解：若(2)中所求抛物线的顶点不动，将抛物线的开口反向，则符合此条件的抛物线解析式为：y=−3(x−2)227.【答案】（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，解得，m=﹣1，∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1（2）解：当x=﹣2时，y p=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，∴当m=﹣2时，y p的最小值﹣2，此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∵x1＜x2≤﹣2，∴y1＞y2（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），∴或，解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤428.【答案】（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根（2）解：∵二次函数（﹣）﹣的图象不经过第三象限，∵二次项系数a=1，∴抛物线开口方向向上，∵△=（k﹣3）2+12＞0，∴抛物线与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，解得k≤1，即k的取值范围是k≤1（3）解：设方程的两个根分别是x1，x2，根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，解得k＜．则k的最大整数值为2．29.【答案】（1）解：∵抛物线L3：y=2x2﹣8x+4，∴y=2（x﹣2）2﹣4，∴顶点为（2，－4），对称轴为x=2，设x=0，则y=4，∴C（0，4），∴点C关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标为：（4，4）；（2）解：∵以点D（4，4）为顶点的L3的友好抛物线L4还过点（2，﹣4），∴L4的解析式为y=﹣2（x﹣4）2+4，由图象可知，当2≤x≤4时，抛物线L与L4中y同时随x增大而增大；3（3）解：a1与a2的关系式为a1+a2=0．理由如下：∵抛物线y=a1（x﹣m）2+n的一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，∴y=a2（x﹣h）2+k过点（m，n），且y=a1（x﹣m）2+n过点（h，k），即k=a1（h﹣m）2+n…①n=a2（m﹣h）2+k…②由①+②得：（a1+a2）（h﹣m）2=0．又“友好”抛物线的顶点不重合，∴h≠m，∴a1+a2=0．。

【初中数学】22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质 [人教版九年级上册] (练习题)

22.1.2 二次函数y=ax^2的图象和性质[人教版九年级上册] (2912)1.关于二次函数y=3x2，下列说法不正确的是（）A.其图象是抛物线B.其图象的对称轴是y轴C.其图象的开口向上D.其图象的最高点坐标是(0，0)2.如图，函数y=−2x2的图象是（）A.①B.②C.③D.④3.若二次函数y=ax2的图象过点P(−2，4)，则该图象必经过点（）A.(2，4)B.(−2，−4)C.(−4，2)D.(4，−2)4.已知二次函数y=(m−2)x2的图象开口向下，则m的取值范围是5.根据题意完成下列题目(1)在同一直角坐标系中，画出函数y=2x2,y=12x2,y=−2x2与y=−12x2的图象．(2)观察(1)中所画的图象，回答下列问题:①由图象可知抛物线y=2x2与抛物线的形状相同，且关于轴对称；同样，抛物线y=12x2与抛物线的形状相同，也关于轴对称．②当|a|相同时，开口大小；当|a|变大时，抛物线的开口；当|a|变小时，抛物线的开口6.已知抛物线y=ax2经过点A(−2，−8).(1)求此抛物线的函数解析式；(2)写出这个抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向；(3)判断点B(−1，−4)是否在此抛物线上；(4)求出此抛物线上纵坐标为−6的点的坐标7.已知二次函数y=x2，当x>0时，y随x的增大而(填“增大”或“减小”)．8.已知抛物线y=ax2过点(−1，3)，则a的值是，当x<0时，y随x的增大而9.已知点(−1，y1)，(−3，y2)都在函数y=x2的图象上，则（）A.y1<y2<0B.y2<y1<0C.0<y2<y1D.0<y1<y210.已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y=(m−3)x2的图象上的两点，且当0<x1<x2时，有y1>y2，则m的取值范围是（）A.m>3B.m≥3C.m≤3D.m<311.在同一直角坐标系内，函数y=kx2和y=kx−2(k≠0)的图象大致是（）A. B. C. D.12.关于抛物线y=−x2，给出下列说法：①抛物线开口向下，顶点是原点；②当x>10时，y随x的增大而减小；③当1<x<2时，−4<y<−1；④若点(m，p)，(n，p)是该抛物线上的两点，则m+n=0.其中正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.已知关于x的二次函数y=mx m2−2m−6，当x>0时，y随x的增大而增大，则m=．14.当−1≤x≤2时，二次函数y=x2的最大值和最小值分别为15.如图，各抛物线所对应的函数解析式分别为：①y=ax2;②y=bx2;③y=cx2;④y=dx2.比较a，b，c，d的大小，用“>”连接为．16.如图，已知一次函数y=kx+b的图象与二次函数y=ax2的图象交于点A(1，m)和B(−2，4).(1)求两个函数的解析式；(2)求△AOB的面积17.如图，正方形四个顶点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3，3)，(1,3).若抛物线y=ax2与正方形有公共点，求实数a的取值范围.参考答案1.【答案】:D2.【答案】:C3.【答案】:A【解析】:二次函数y=ax2的图象是轴对称图形，且对称轴是y轴，观察各选项可知，点(2，4)和点(−2，4)关于y轴对称，故点(2，4)也在该函数的图象上．故选 A4.【答案】:m<25(1)【答案】【解析】:利用描点法在平面直角坐标系中画出各个函数的图象x2；x；相同；变小；变大(2)【答案】y=−2x2；x；y=−12【解析】:通过观察图象填空6(1)【答案】解：∵抛物线y=ax2经过点A(−2，−8)，∴a·(−2)2=−8，解得a=−2，∴此抛物线的函数解析式为y=−2x2.(2)【答案】这个抛物线的顶点坐标为(0，0)，对称轴为y轴，开口向下.(3)【答案】把x=−1代入y=−2x2，得y=−2×(−1)2=−2.∵−2≠−4，∴点B(−1，−4)不在此抛物线上.(4)【答案】把y=−6代入y=−2x2，得−6=−2x2，解得x1=√3，x2=−√3，∴此抛物线上纵坐标为−6的点的坐标分别为(√3，−6)，(−√3，−6).7.【答案】:增大【解析】:解：∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，∴当x>0时，y随x的增大而增大．8.【答案】:3；减小9.【答案】:D10.【答案】:D【解析】:因为当0<x1<x2时，有y1>y2，所以在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，所以抛物线开口向下，所以m−3<0，所以m<3.故选D.11.【答案】:B【解析】:A.一次函数解析式为y=kx−2，其图象应该与y轴负半轴相交，故此选项错误；B.两函数图象符合题意；C.二次函数图象开口向上，所以k>0，一次函数图象经过第二、四象限，所以k<0，矛盾，故此选项错误；D.一次函数解析式为y=kx−2，其图象应该与y轴负半轴相交，故此选项错误. 故选B.12.【答案】:D13.【答案】:4【解析】:由题意，得m2−2m−6=2且m≠0，解得m=4或m=−2.∵当x>0时，y随x的增大而增大，∴m>0，故只取m=414.【答案】:4，0【解析】:因为二次函数y=x2中，a=1>0，所以图象开口向上.因为−1≤x≤2,所以当x=0时，y取得最小值0，当x=2时，y取得最大值4.15.【答案】:a>b>d>c【解析】:因为直线x=1与这四条抛物线的交点从上到下依次为(1，a)，(1，b)，(1，d)，(1，c)，所以a>b>d>c16(1)【答案】把点B(−2，4)代入二次函数y=ax2，得4a=4，解得a=1，所以二次函数的解析式为y=x2.把点A(1，m)代入y=x2,得m=1，所以点A的坐标为(1，1).把点A(1，1)，B(−2，4)代入一次函数y=kx+b，得{k+b=1,−2k+b=4，解得{k=−1b=2，故一次函数的解析式为y=−x+2.(2)【答案】设一次函数图象与y轴交于点C，则C(0，2)，所以S△AOB=S△AOC+S△COB=12×2×1+12×2×2=3.17.【答案】:解：当抛物线y=ax2经过点(1,3)时，a=3；.当抛物线y=ax2经过点(3，1)时，a=19≤a≤3.由图象可知19。

人教版初中九年级数学上册第二十二章《二次函数》经典练习题(含答案解析)(3)

一、选择题1．抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象大致如图所示，下列说法：①2a+b＝0；②当﹣1＜x＜3时，y＜0；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；④9a+3b+c＝0，其中正确的是（）A．①②④B．①④C．①②③D．③④A解析：A【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】①由图示知，对称轴是直线x＝3122ba-=-，则2a+b＝0，故说法正确；②由图示知，当﹣1＜x＜3时，y＜0，故说法正确；③若（x1，y1）（x2，y2）在函数图象上，当1＜x1＜x2时，y1<y2，故说法错误；④由图示知，当x＝3时，y＝0，即9a+3b+c＝0，故说法正确．综上所述，正确的说法是①②④．故选：A．【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．2．如图，一条抛物线与x轴相交于M，N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，点A，B的坐标分别为（﹣2，﹣3），（1，﹣3），点N的横坐标的最大值为4，则点M的横坐标的最小值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．﹣5 D．﹣7C 解析：C【分析】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，求出a＝13；当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，求出x值，即可求解．【详解】当图象顶点在点B时，点N的横坐标的最大值为4，则此时抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣3，把点N的坐标代入得：0＝a（4﹣1）2﹣3，解得：a＝13，当顶点在点A时，M点的横坐标为最小，此时抛物线的表达式为：y＝13（x＋2）2﹣3，令y＝0，则x＝﹣5或1，即点M的横坐标的最小值为﹣5，故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数与x轴的交点，涉及到函数基本性质和函数的最值，其中确定坐标取得最值时，图象所处的位置是本题的关键．3．如图等边ABC的边长为4cm，点P，点Q同时从点A出发点，Q沿AC以1cm/s 的速度向点C运动，点P沿A B C--以2cm/s的速度也向点C运动，直到到达点C时停止运动，若APQ的面积为()2cmS，点Q的运动时间为()s t，则下列最能反映S与t之间大致图象是（）．A ．B ．C ．D ．D解析：D 【分析】当点P 在AB 边运动时，S=12AQ×APsinA ，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，S=12×AQ×PCsinC ，即可求解．【详解】解：当点P 在AB 边运动时，21133sin 22222S AQ AP A t t t =⨯=⨯⨯⨯=，图象为开口向上的抛物线，当点P 在BC 边运动时，如下图，1133sin 2(6)(6)2222S AQ PC C t t t t =⨯⨯=⨯⨯-⨯=-，图象为开口向下的抛物线，故选：D ．【点睛】本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程． 4．下列函数关系式中，属于二次函数的是（） A ．21y x =+ B ．21y x x=+C ．()()221y x x x=+-- D ．21y x =-D解析：D 【分析】利用二次函数定义进行解答即可．【详解】A 、21y x =+是一次函数，故A 不符合题意；B 、2y x =+1x不是二次函数，故B 不符合题意； C 、()()2222122y x x x x x x x =+--=+--=-，此函数是一次函数，故C 不符合题意；D 、21y x =-是二次函数，故D 符合题意；故答案为：D ．【分析】本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．5．函数221y x x =--的自变量x 的取值范围为全体实数，其中0x ≥部分的图象如图所示，对于此函数有下列结论：①函数图象关于y 轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当1x <-时，y 随x 的增大而减小；④当21a -<<-时，关于x 的方程221x x a --=有4个实数根．其中正确的结论个数是（） A ．3 B ．2C ．1D ．0A解析：A 【分析】根据函数解析式画出函数图象，结合函数图象进行判断．解：如图：①如图所示，函数图象关于y 轴对称，故①符合题意． ②如图所示，函数没有最大值，有最小值，故②不符合题意． ③如图所示，当x ＜-1时，y 随x 的增大而减小，故③符合题意．④如图所示，当-2＜a ＜-1时，关于x 的方程x 2-2|x|-1=a 有4个实数根，故④符合题意．综上所述，正确的结论有3个．故选：A ．【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程问题．6．如图为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，与x 轴交点为()()3,0,1,0-，则下列说法正确的有（）①a ＞0 ②20a b +=③a b c ++＞0 ④当1-＜x ＜3时，y ＞0A ．1B ．2C ．3D ．4C解析：C 【分析】由开口方向可判断①；由对称轴为直线x=1可判断②；由x=1时y ＞0可判断③；由1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方可判断④．【详解】解：∵抛物线的开口向下 ∴a ＜0，故①错误； ∵抛物线的对称轴x=2b a-=1 ∴b=-2a ，即2a+b=0，故②正确；由图像可知x=1时，y=a+b+c ＞0，故③正确；由图像可知，当1-＜x ＜3时，函数图像位于x 轴上方，即y ＞0，故④正确；【点睛】本题主要考查图像与二次函数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．7．如图，已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示，则下列结论：①0abc >；②关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的根是-1，3；③2a b c +=；④y 最大值43c =；其中正确的有（）个．A ．4B ．3C ．2D ．1C解析：C 【分析】利用抛物线开口方向得到a ＜0，利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a ＞0，利用抛物线与y 轴的交点在x 轴上方得到c ＞0，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），则根据抛物线与x 轴的交点问题可对②进行判断；由于x=-1时，a-b+c=0，再利用b=-2a 得到c=-3a ，则可对③④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a ＜0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣b2a=1， ∴b=-2a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴c ＞0，∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0）， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的根是-1，3，所以②正确； ∵当x=-1时，y=0， ∴a-b+c=0，而b=-2a ，∴a+2a+c=0，即c=-3a ， ∴a+2b-c=a-4a+3a=0，即a+2b=c ，所以③正确； a+4b-2c=a-8a+6a=-a ，所以④错误；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．8．已知点1(1,)y -，(,)23y ，31(,)2y 在函数22y x x m =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（） A ．123y y y >> B ．213y y y >> C ．231y y y >> D ．312y y y >>C解析：C 【分析】由抛物线222(1)1y x x m x m =++=++-，可知抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y 1，y 2，y 3的大小．【详解】∵222(1)1y x x m x m =++=++-， ∴抛物线对称轴为x ＝-1，开口向上，又∵点（(,)23y 离对称轴最远，点1(1,)y -在对称轴上， ∴231y y y >>．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．若关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，则函数21(3)4y x x a =--+-图象与x 轴的交点个数为（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．1或2个C解析：C 【分析】根据解不等式组的一般步骤得到a 的取值范围，然后求出函数21(3)4y x x a =--+-的判别式，根据根的判别式的正负即可得到图象与x 轴的交点个数．【详解】解：∵关于x 的不等式组232x a x a ≥+⎧⎨<-⎩有解，∴3a-2＞a+2，即a ＞2，令y=0，21(3)4x x a --+-=0，△=（-1）2-4×（a-3）×（-14）=a-2，∵a ＞2， ∴a-2＞0，∴函数图象与x 轴的交点个数为2．故选：C ．【点睛】解答此题要熟知以下概念：（1）解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．（2）一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的解与二次函数y=ax 2+bx+c 的关系．10．已知二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9．设该函数图象与 x 轴的一个交点的横坐标为1x ，若15x >则a 的取值范围是（） A ．3a 1-<<- B ．2a 1-<< C ．1a 0-<< D ．2a 4<<C解析：C 【分析】根据二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，可以写出该函数的顶点式，得到0a <，再根据该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，可知，当5x =时，0y >，即可得到a 的取值范围，本题得以解决．【详解】解：二次函数2y ax bx c =++，当2x =时，该函数取最大值9，0a ∴<，该函数解析式可以写成2(2)9y a x =-+，设该函数图象与x 轴的一个交点的横坐标为1x ，15x >，∴当5x =时，0y >，即2(52)90a -+>，解得，1a >-，a ∴的取值范围时10a -<<，故选：C ．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、抛物线与x 轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题11．抛物线2y x x =+向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，得到的抛物线表达式为____．【分析】先把配成顶点式再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式【详解】此抛物线的顶点坐标为()把点()向下平移个单位长度再向左平移个单位长度所得对应点的坐标为()即()所以平移后得到的抛物线的解析式为解析：2710y x x =++【分析】先把2y x x =+配成顶点式，再利用顶点式写出平移后的抛物线的解析式．【详解】2211()24y x x x =+=+-，此抛物线的顶点坐标为(12-，14-)，把点(12-，14-)向下平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得对应点的坐标为(132--，124--)，即(72-，94-)，所以平移后得到的抛物线的解析式为279()24y x =+-，即2710y x x =++．故答案为：2710y x x =++．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 12．二次函数2y ax bx c =++的部分对应值如下表：利用二次函数的图象可知，当函数值时，的取值范围是______．表格给出的信息可看出对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向上与x 轴交于（−10）（30）两点则y>0时x 的取值范围即可求出【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息对称轴为直线x ＝1a ＞0开口向解析：1x <-或3x > 【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则y>0时，x 的取值范围即可求出．【详解】根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x ＝1，a ＞0，开口向上，与x 轴交于（−1，0）、（3，0）两点，则当函数值y>0时，x 的取值范围是x<-1或x>3．故答案为：x<-1或x>3．【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，正确掌握才能灵活运用．13．如图，抛物线224y x x =-+与x 轴交于点O ，A ，把抛物线在x 轴及其上方的部分记为1C ，将1C 以y 轴为对称轴作轴对称得到2C ，2C 与x 轴交于点B ，若直线y = m 与1C ，2C 共有4个不同的交点，则m 的取值范围是_______________．【分析】首先求出点A 和点B 的坐标然后求出解析式分别求出直线过抛物线顶点时m 的值以及直线过原点时m 的值结合图形即可得到答案【详解】令解得：或则A （20）B （-20）∵与关于y 轴对称：顶点为(12)∴的解析：02m <<【分析】首先求出点A 和点B 的坐标，然后求出2C 解析式，分别求出直线y m =过抛物线顶点时m的值以及直线y m =过原点时m 的值，结合图形即可得到答案．【详解】令2240y x x =-+=，解得：0x =或2x =，则A （2，0），B （-2，0），∵1C 与2C 关于y 轴对称，1C ：()2224212y x x x =-+=--+，顶点为(1，2)， ∴2C 的解析式为()2221224y x x x =-++=--（20x -≤≤），顶点为(-1，2)，当直线y m =过抛物线顶点时，它与1C ，2C 共有2个不同的交点，此时2m =；当直线y m =过原点时，它与1C ，2C 共有3个不同的交点，此时0m =； ∴当02m <<时，直线y m =与1C ，2C 共有4个不同的交点．故答案为：02m <<．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点、二次函数的图象与几何变换、一次函数与二次函数的关系，数形结合是解题的关键．14．如图是二次函数2(0)y ax bx c a =++≠图象的一部分，有下列4个结论：①0abc >；②240b ac ->；③关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根是12x =-，23x =；④关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集是2x >-．其中正确的结论是___________．②③【分析】根据抛物线开口方向对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断【详解】解：∵抛物线开口解析：②③【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y 轴的交点可对①减小判断；利用抛物线与x 轴的交点个数可对②进行判断；根据二次函数的性质可对③进行判断；利用图象则可对④进行判断．【详解】解：∵抛物线开口向下，交y 轴的正半轴，∴a ＜0，c ＞0，∵-2b a =12， ∴b =-a ＞0， ∴abc ＜0，所以①错误；∵抛物线与x 轴有2个交点，∴△=b 2-4ac ＞0，即b2＞4ac ，所以②正确；∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（-2，0），而抛物线的对称轴为直线x=12， ∴点（-2，0）关于直线x =12的对称点（3，0）在抛物线上，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的两根是x 1=-2，x 2=3，所以③正确．由图象可知当-2＜x ＜3时，y ＞0，∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是-2＜x ＜3，所以④错误；故答案为②③．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由△决定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac =0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间有下列关系：那么()b a b c a ++的值为______．＝2再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3然后利用整体代入的方法计算（a ＋b ＋c ）的值【详解】解：∵抛物线解析：6【分析】利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x ＝−1，则−2b a ＝−1，所以b a＝2，再利用x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等得到a ＋b ＋c ＝3，然后利用整体代入的方法计算b a （a ＋b ＋c ）的值．【详解】解：∵抛物线经过点（−2，−1.68），（0，−1.68），∴抛物线的对称轴为直线x ＝−1，即−2b a ＝−1， ∴b a＝2， ∴x ＝−3和x ＝1对应的函数值相等，∵x ＝−3时，y ＝3，∴x ＝1时，y ＝3，即a ＋b ＋c ＝3，∴b a（a ＋b ＋c ）＝2×3＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．16．若抛物线256y x x =--与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为_______________．7【分析】根据抛物线y=x2-5x-6与x 轴分别交于AB 两点可以令y=0求得点AB 的坐标从而可以求得AB 的长【详解】解：∵y=x2-5x-6∴y=0时x2-5x-6=0解得x1=-1x2=6∵抛物线解析：7【分析】根据抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，可以令y=0求得点A 、B 的坐标，从而可以求得AB 的长．【详解】解：∵y=x 2-5x-6，∴y=0时，x 2-5x-6=0，解得，x 1=-1，x 2=6．∵抛物线y=x 2-5x-6与x 轴分别交于A 、B 两点，∴点A 的坐标为(-1，0)，点B 的坐标为(6，0)，∴AB 的长为：6-(-1)=7．故答案为：7．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x 轴相交时，y=0．17．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，则代数式a 2﹣ab +b 2的最小值为_____．【分析】由韦达定理得出ab 与m 的关系式由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围再对代数式a2﹣ab+b2配方并将a+b 和ab 整体代入化简然后再配方结合m 的取值范围可得出答案【详解】∵关于x 的解析：916【分析】由韦达定理得出a ，b 与m 的关系式、由一元二次方程的根与判别式的关系得出m 的取值范围，再对代数式a 2﹣ab +b 2配方并将a +b 和ab 整体代入化简，然后再配方，结合m 的取值范围可得出答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣（2m +1）x +m 2﹣1＝0有实数根a ，b ，∴a +b ＝2m +1，ab ＝m 2﹣1，△≥0，∴△＝[﹣(2m +1)]2﹣4×1×(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣4m 2+4＝4m +5≥0，∴m ≥54-． ∴a 2﹣ab +b 2 ＝(a +b )2﹣3ab＝(2m +1)2﹣3(m 2﹣1)＝4m 2+4m +1﹣3m 2+3＝m 2+4m +4＝(m +2)2，∴a 2﹣ab +b 2的最小值为：2592416⎛⎫-+= ⎪⎝⎭．故答案为：916．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及利用二次函数的性质求解代数的最值，灵活利用韦达定理及根的判别式，是解决本题的关键，熟悉用函数的思想解决最值问题也是关键点．18．已知二次函数()210y ax bx a =++≠的图象与x 轴只有一个交点．请写出一组满足条件的,a b 的值：a =__________，b =_________________【分析】根据判别式的意义得到△=b2-4a=0然后a 取一个不为0的实数再确定对应的b 的值【详解】解：∵二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点∴△=b2-4a=0若a=1则b 可解析：12【分析】根据判别式的意义得到△=b 2-4a=0，然后a 取一个不为0的实数，再确定对应的b 的值．【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+1（a≠0）的图象与x 轴只有一个交点，∴△=b 2-4a=0，若a=1，则b 可取2．故答案为1，2（答案不唯一）．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．19．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为直线1x =-，与x 轴的一个交点B的坐标为()1,0其图象如图所示，下列结论：①0abc <；②20a b -=；③当0y >时，1x >；④320b c +>；⑤当0x <时，y 随x 的增大而减小；其中正确的有____．（只填序号）①②【分析】根据开口向上故；对称轴再y 轴的的左边根据同左异右故抛物线交y 轴的下方；对称轴为故有即抛物线与x 轴的交点有两个根据对称性可以得到交点为等信息利用这些信息进行答题【详解】解：根据开口向上故；解析：①②【分析】根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方；对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a =，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==-等信息，利用这些信息进行答题．【详解】解：根据开口向上，故0a > ；对称轴再y 轴的的左边，根据“同左异右”，故0b > ,抛物线交y 轴的下方，故0c < ，因此0abc <①正确对称轴为1x =-，故有12b a-=- 即2b a = 故②20a b -=也正确由抛物线知道，抛物线与x 轴的交点有两个，根据对称性可以得到交点为121,3x x ==- 当当0y >时，图形上是在x 轴的上方，有1x >或者3x <- 故③错误当x=1是，由图可以知道0a b c ++= 即2220a b c ++= 由2b a =，便有320b c += 故④错误由图形可以知道当1x <-时，y 随x 的增大而减小，当1x ≥-时，y 随x 的增大而增大，故⑤错误故答案为①②【点睛】本题考查二次函数图像，从图像中获取信息是关键，20．如图，抛物线 y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =1，与x 轴的一个交点坐标为(-1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①2a +b =0；②b 2-4ac ＜0；③当y ＞0时，x 的取值范围是 -1＜x ＜3；④当 x ＞0时，y 随x 增大而增大；⑤若t 为任意实数，则有a+b≥at 2+bt ．其中结论正确的是_________．①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（30）∵对称轴为x=−＝1从而可知：2a+b=0故①正确；∵抛物线与x解析：①③⑤【分析】根据二次函数的图象及性质即可判断．【详解】解：由图象可知：该抛物线的对称轴为x=1，∴抛物线与x 轴的另外一个交点为：（3，0）∵对称轴为x=−2b a＝1，从而可知：2a+b=0，故①正确；∵抛物线与x 轴有两个交点（-1，0），（3，0）∴△=b 2-4ac ＞0，而②b 2-4ac ＜0，故②错误；由图象可知：当y ＞0时，x 的取值范围是-1＜x ＜3，故③正确；由图象可知：当x ＜1时，y 随x 增大而增大，故④错误；若t 为任意实数，x=1时，函数取得最大值，故a+b+c≥at 2+bt+c ，∴a+b≥at 2+bt ，故⑤正确，所以，结论正确的是①③⑤．故答案为：①③⑤．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练正确理解二次函数图象与系数的关系，本题属于中等题型．三、解答题21．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，……，n A 和1C ，2C ，3C ，……，n C 均在抛物线2y x 上，点1B ，2B ，3B ，……，n B 在y 轴的正半轴上，若四边形111OA B C ，四边形1222B A B C ，四边形2333B A B C ，……，四边形1n n n n B A B C 都是正方形.（1）分别写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）分别求出正方形2333B A B C 和正方形1n n n n B A B C -的面积.解析：（1）1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)（2）223⨯ ，22n ⨯．【分析】（1）直接根据图象以及二次函数的解析式求出点的坐标即可；（2）表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律即可；【详解】解：（1）∵四边形111A OC B 是正方形且关于y 轴对称，∴ ∠11AOB =45°，又∵点1A 在二次函数图象上，设1A (x ，x)，∴2x x = 且x ＞0，∴x=1即点1A (1，1)，∴1OA 2 ，12OB = ，∴1A (1，1)，1B (0，2)，1C (-1，1)；（2）根据正方形的性质，1OA 与y 轴的夹角为45°，故直线1OA 解析式为y x =，∵1B (0，2)，求得直线11C B 的解析式为2y x =+，进而求得2A (2，4)，2C (-2，4)，2B (0，6)，同时求得3B (0，12) ，于是12OB =，124B B =，236B B =，正方形111OA B C 面积=12222⨯⨯=，正方形1222B A B C 面积=21448=222⨯⨯=⨯，正方形2333B A B C 面积=216618=232⨯⨯=⨯，正方形1n n n n B A B C -的面积=212222n n n ⨯⨯=⨯；【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形所在的直线解析式，求出每一个正方形的面积，找出规律是解题的关键；22．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？解析：（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x 346760 当x 34=时，W 有最大值6760元因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知210346760W x∴函数图像开口向下，对称轴为34x =，∵最高销售单价不得超过30元，∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时210303467606600W，因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 23．已知二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）（m 为常数）（1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点；（2）当m 的值变化时，该函数图象的顶点在下列哪个函数的图象上? ． A ．y ＝x ﹣1 B ．y ＝﹣x ﹣1 C ．y ＝﹣（x+1）2 D ．y ＝﹣（x ﹣1）2解析：（1）见解析；（2）D【分析】（1）根据已知函数解析式得到抛物线与x 轴的两点交点横坐标：x 1=1，x 2=m ，据此证得结论；（2）根据顶点式先得到抛物线的顶点坐标为（-m ，m ），然后分别代入四个解析式中看是否满足解析式，再进行判断．【详解】（1）证明：当y ＝0时，（x ﹣1）（x ﹣m ）＝0．解得x 1＝1，x 2＝m ．当m ＝1时，方程有两个相等的实数根；当m≠1时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）由二次函数y ＝（x ﹣1）（x ﹣m ）＝（x ﹣12m +）2+m ﹣2(1)4m +得到该抛物线的顶点坐标是（12m +，m ﹣2(1)4m +），而点（12m +，m ﹣2(1)4m +）满足y ＝﹣（x ﹣1）2，不满足y ＝x ﹣1，y ＝﹣x ﹣1，y ＝﹣（x+1）2，∴点（12m +，m ﹣2(1)4m +）在函数y ＝﹣（x ﹣1）2上．故答案是：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质等知识点，需要掌握二次函数与一元二次方程间的关系，二次函数三种形式．24．如图，Rt △OAB 中,∠OAB=90°，O 为坐标原点，边OA 在x 轴上，OA=AB=2个单位长度，把Rt △OAB 沿x 轴正方向平移2个单位长度后得△11AA B ．(1)求以A 为顶点，且经过点1B 的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB 交于点C ，与y 轴交于点D ，求点D 、 C 的坐标．解析：（1）()2122y x =-；（2）()0,2D ，(35,35C 【分析】（1）根据三角形的边长求出点A 和点1B 的坐标，设抛物线解析式为()22y a x =-，代入点1B 坐标求出解析式；（2）令0x =，求出y 的值，得到点D 的坐标，再求出直线OB 的解析式和抛物线联立求出点C 的坐标．【详解】解：∵2OA =，∴()2,0A ，∵14OA =，112A B =，∴()14,2B ，设抛物线解析式为()22y a x =-，把点()14,2B 代入，得42a =，解得12a =， ∴()2122y x =-；（2）令0x =，得1422y =⨯=， ∴()0,2D ，设直线OB 解析式为y kx =，把点()2,2B 代入，得到22k =，解得1k =，∴直线OB 解析式为y x =，联立直线和抛物线的解析式，得()2122x x -=，解得35x =±，根据点C 的位置，取35x =-，∴()35,35C --．【点睛】本题考查二次函数，解题的关键是掌握求二次函数的解析式的方法，求抛物线和直线交点的方法．25．如图已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(1,0)A -，(3,0)B 两点与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）如图，连接BC ，PB ，PC ，设PBC 的面积为S ．①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标．解析：（1）2y x 2x 3=-++；（2）①23922S t t =-+；②最大值928，此时P 坐标315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由点A 、B 坐标，利用待定系数法求解抛物线的表达式即可；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，设点P 坐标为(t ，223t t -++)，由PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形即可表示出S 关于t 的函数表达式；②由于BC 为定值，所以点P 到直线BC 的距离最大时即为S 最大，根据二次函数的性质求出S 的最大值，利用勾股定理求出线段BC 的长，再利用等面积法求出点P 到直线BC 的距离的最大值，进而可求出此时的点P 坐标．【详解】解：（1）将点A （﹣1，0）、B （3，0）代入2y x bx c =-++中，得：10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴，抛物线的表达式为2y x 2x 3=-++；（2）①过点P 作PH ⊥x 轴于H ，如图，当x=0时，y=3，∴C （0，3），OC=3，∵点P 的坐标为（t ，223t t -++）且点P 在第一象限，∴PH=223t t -++，OH=t ，BH=3﹣t ，∴PBC PHB BOC OCPH S S S S ∆∆∆=+-梯形=22111(233)(3)(23)33222t t t t t t ⋅-+++⋅+⋅-⋅-++-⨯⨯ =23922t t -+， ∴S 关于t 的函数关系式为S=23922t t -+(t ＞0)；②由S=23922t t -+= 23327()228t --+，且32-＜0，得：当t= 32时，S 有最大值，最大值为278， ∵OB=3，OC=3，∴BC= 2232OB OC +=，∵当t=32时，223t t -++=23315()23224-+⨯+= ∴点P 到直线BC 的距离的最大值为272928832⨯=，此时，点P 的坐标为（32，154）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223=+-y mx mx 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，4AB =．（1）直接写出抛物线的对称轴为直线____，点A 的坐标为___．（2）求抛物线的解析式（化为一般式）；（3）若将抛物线223=+-y mx mx 沿x 轴方向平移()0n n >个单位长度，使得平移后的抛物线与线段AC 恰有一个公共点，结合函数图象，回答下列问题：①若向左平移，则n 的取值范围是______．②若向右平移，则n 的取值范围是______．解析：（1）1x =-，()3,0-；（2）223y x x =+-；（3）①04n <≤，②02n <≤ 【分析】（1）由对称轴为直线x=-2b a，可求解；（2）将点B 坐标代入可求解；（3）设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，利用特殊点代入可求解．【详解】解：（1）∵抛物线y =mx 2+2mx -3的对称轴为直线x =22m m=-1，AB=4， ∴点A （-3，0），点B （1，0），故答案为：x =-1，（-3，0）；（2）∵抛物线y =mx 2+2mx -3过点B （1，0），∴0=m +2m -3，∴m =1，∴抛物线的解析式：y =x 2+2x -3，（3）如图，∵y =x 2+2x -3=（x +1）2-4，∴设向左平移后的解析式为：y =（x +1+n ）2-4，把x =-3，y =0代入解析式可得：0=（-3+1+n ）2-4，∴n =0（舍去），n =4，∴向左平移，则n 的取值范围是0＜n ≤4；设向右平移后的解析式为：y =（x +1-n ）2-4，把x =0，y =-3代入解析式可得：-3=（1-n ）2-4，∴n =0（舍去），n =2，∴向右平移，则n 的取值范围是0＜n ≤2，故答案为：0＜n ≤4；0＜n ≤2．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，平移的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．27．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货。

2020-2021初中数学二次函数的图象与性质能力达标训练题3(附答案详解)

15．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3，当自变量x取两个不同的值x1、x2时函数值相等，则当自变量x取时的函数值与x＝_____时的函数值相等．
16．如图为二次函数图象，直线与抛物线交于两点, 两点横坐标分别为根据函数图象信息有下列结论:
① ;
②若对于的任意时若变大,则线段变长
【分析】
根据二次函数的图象与性质进行判断即可得解.
【详解】
解：抛物线开口向下，因此①正确，
对称轴为，可知a、b异号，由a＜0，可知b＞0，因此②不正确；
抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，故③不正确；
抛物线的顶点坐标为，又顶点坐标为，则，因此④正确；
抛物线与x轴的一个交点在x轴的负半轴，对称轴为x＝，因此当x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此⑤不正确；
（2）观察图象，当取何值时，？
23．已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2与y轴交于点C．
（1）抛物线的顶点坐称为，点C坐标为；（用含m的代数式表示）
（2）当m＝1时，抛物线上有一动点P，设P点横坐标为n，且n＞0．
①若点P到x轴的距离为2时，求点P的坐标；
②设抛物线在点C与点P之间部分（含点C和点P）最高点与最低点纵坐标之差为h，求h与n之间的函数关系式，并写出自变量n的取值范围；
（1）若二次函数是闭区间上的“闭函数”，求k的值；
（2）若一次函数是闭区间上的“闭函数”，求此函数的解析式(用含m，n的代数式表示)．
29．设都是实数，且．我们规定：满足不等式的实数的所有值的全体叫做闭区间、表示为．对于一个函数，如果它的自变量与函数值满足：当时，有，我们就称此函数是闭区间上的“闭函数”．

二次函数的图象和性质备战2023年中考数学考点微专题

考向3.5 二次函数的图象和性质例1、（2021·四川德阳·中考真题）已知函数y 21213x 583x 8x ≤⎧=⎨-+≤≤⎩（＜）（）（）的图象如图所示，若直线y ＝kx ﹣3与该图象有公共点，则k 的最大值与最小值的和为 _____．解：当直线经过点（1，12）时，12=k -3，解得k =15；当直线与抛物线只有一个交点时，（x -5）2+8=kx -3，整理得x 2-（10+k ）x +36=0，∴10+k =±12，解得k =2或k =-22（舍去）， ∴k 的最大值是15，最小值是2， ∴k 的最大值与最小值的和为15+2=17．故答案为：17．1、二次函数抛物线位置与a ，b ，c 的关系：（1）a 决定抛物线的开口方向⎩⎨⎧⇔<⇔>开口向下开口向上00a a（2）c 决定抛物线与y 轴交点的位置：c>0⇔图像与y 轴交点在x 轴上方；c=0⇔图像过原点；c<0⇔图像与y 轴交点在x 轴下方；（3）a ，b 决定抛物线对称轴的位置：a ，b 同号，对称轴在y 轴左侧；b ＝0，对称轴是y 轴； a ，b 异号。

对称轴在y 轴右侧；1、本题考查分段函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标特征，结合图象求出k 的最大值和最小值是解题的关键；2、二次函数的性质是中考必考点，熟悉并运用二次函数性质解决问题是考前学生必须掌握的内容；例 2、（2021·山东泰安·中考真题）如图是抛物线2y ax bx c =++的部分图象，图象过点(3,0)，对称轴为直线1x =，有下列四个结论：①0abc >；②0a b c -+=；③y 的最大值为3；④方程210ax bx c +++=有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．解：∵抛物线的开口向下，与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴a ＜0，c ＞0，∵抛物线的对称轴为直线x =1， ∴﹣2ba=1，即b =﹣2a ＞0 ∴abc ＜0，故①错误；∵抛物线与x 轴的一个交点坐标为（3，0），∴根据对称性，与x 轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）， ∴a ﹣b +c =0，故②正确；根据图象，y 是有最大值，但不一定是3，故③错误；由210ax bx c +++=得2=1ax bx c ++﹣，根据图象，抛物线与直线y =﹣1有交点， ∴210ax bx c +++=有实数根，故④正确，综上，正确的为②④，故答案为：②④．理解并熟练运用二次函数的图象与性质，会利用数形结合思想解决问题是解答的关键。

初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质基础过关测试题3（附答案详解）1．将抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（） A ．2(2)3y x =-- B ．2(2)3y x =+- C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =++2．如图，已知抛物线y ＝x 2+bx +c 与直线y ＝x 交于（1，1）和（3，3）两点，现有以下结论：①b 2﹣4c ＞0；②3b +c +6＝0；③当x 2+bx +c ＞2x时，x ＞2；④当1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x +c ＜0，其中正确的序号是（）A ．①②④B ．②③④C ．②④D ．③④3．二次函数y ＝2x 2－8x ＋9的图象可由y ＝2x 2的图象怎样平移得到（） A ．先向右平移2个单位再向上平移1个单位 B ．先向右平移2个单位再向下平移1个单位 C ．先向左平移2个单位再向上平移1个单位 D ．先向左平移2个单位再向下平移1个单位4．若点（﹣2，y 1），（﹣1，y 2），（3，y 3）在二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是（） A ．y 3＝y 1＜y 2B ．y 3≤y 2≤y 1C ．y 2＜y 1＝y 3D ．y 1＜y 2＜y 35．对于每个自然数n ，抛物线()()221111n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B ，两点，以n n A B 表示该两点间的距离，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +值为（）. A ．20142015B ．20162015C ．20152014D ．201520166．已知点A(-3,y 1),B(-1,y 2),C(2,y 3)在函数y=-x 2的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系为( ) A ．y 1<y 2<y 3B ．y 1<y 3<y 2C ．y 3<y 2<y 1D ．y 2<y 1<y 37．抛物线y=﹣x 2经过平移得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3，平移的方法是（） A ．向左平移2个，再向下平移3个单位 B ．向右平移2个，再向下平移3个单位 C ．向左平移2个，再向上平移3个单位D ．向右平移2个，再向上平移3个单位9．把抛物线y ＝ax 2+bx+c 图象先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得的图象的解析式是y ＝x 2+5x+6，则a ﹣b+c 的值为（） A ．2B ．3C ．5D ．1210．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c +2的图象如图所示，顶点为（﹣1，0），下列结论：①abc ＞0；②b 2﹣4ac ＝0；③a ＞2；④ax 2+bx +c ＝﹣2的根为x 1＝x 2＝﹣1；⑤若点B （﹣14，y 1）、C （﹣12，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＞y 2．其中正确的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．511．将抛物线y ＝x 2﹣6x +5化成y ＝a （x ﹣h ）2﹣k 的形式，则hk ＝_____． 12．如图，ABC ∆的顶点坐标分别为()()()0,4,2,0,4,2A B C ，若二次函数22y x bx =++的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是__________．13．若抛物线y=x 2+bx(b>2)上存在关于直线y=x 成轴对称的两个点，则b 的取值范围是______.14．已知抛物线的顶点坐标为(1,8)--，且过点(0,6)-，则该抛物线的表达式为________．15．二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是______.16．抛物线2(0)y ax a =≠沿某条直线平移一段距离，我们把平移后得到的新抛物线叫做原抛物线的“同簇抛物线”．如果把抛物线2yx 沿直线y x =向上平移，平移距离2时，那么它的“同簇抛物线”的表达式是_____．17．在平面直角坐标系 xOy 中，函数 y = x 2 的图象经过点M (x 1 , y 1 ) ，N (x 2 , y 2 ) 两点，若- 4< x 1< -2， 0< x 2 <2 ，则 y 1 ____ y 2 . （用“ < ”，“=”或“>”号连接） 18．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的_____． 19．已知抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，—1），则b 的值为______.20．某同学利用描点法画二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象时，列出的部分数据如下表：经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出该二次函数的解析式：_____ x 0 1 2 3 4 y3﹣2321．已知二次函数y ＝﹣x 2﹣2x+3．（1）把函数关系式配成顶点式并求出图象的顶点坐标和对称轴．（2）若图象与x 轴交点为A ．B ，与y 轴交点为C ，求A 、B 、C 三点的坐标；（3）在图中画出图象．并求出△ABC 面积．22．已知抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-．()1求此抛物线的顶点D 的坐标；()2将此图象沿x 轴向左平移2个单位长度，直接写出当y 0<时x 的取值范围．23．已知二次函数y ＝x 2﹣6mx+9m 2+n （m ，n 为常数）（1）若n ＝﹣4，这个函数图象与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，试求△ABC 面积的最大值；（2）若n ＝4m+4，当x 轴上的动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，求点Q 的坐标．24．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2:23c y ax ax =-+与直线:l y kx b =+交于A ，B 两点，且点A 在y 轴上，点B 在x 轴的正半轴上.（1）直接写出点A 的坐标；（2）若1a =-，求直线l 的解析式；（3）若31k -≤≤-，求a 的取值范围.25．如图，是一块三角形材料，∠A ＝30°，∠C ＝90°，AB ＝6．用这块材料剪出一个矩形DECF ，点D ，E ，F 分别在AB ，BC ，AC 上，要使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在何处？26．如图，已知二次函数21:22(0)L y ax ax a a =++->和二次函数22:(2)2(0)=--+>L y a x a 图象的顶点分别为M 、N ，与x 轴分别相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边）和C 、D 两点（点C 在点D 的左边），(1))函数222(0)y ax ax a a =++->的顶点坐标为；当二次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围是；(2)当AD=MN 时，求a 的值，并判断四边形AMDN 的形状（直接写出，不必证明）； (3)当B ，C 是线段AD 的三等分点时，求a 的值.27．在如图的平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1（a ＜0）与x 轴交于点A 和点B ，点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，顶点是D ，且∠DAB ＝45°．（1）填空：点C 的纵坐标是（用含a 、m 的式子表示）；（2）求a 的值；（3）点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，当﹣12≤m ≤52时，求BC ′的长度范围．28．如图，直线y =－x +4与x 轴，y 轴分别交于点B ，C ，点A 在x 轴负半轴上，且OA =12OB , 抛物线y =ax 2+bx +4经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，设点P的横坐标为m，过点P作PD⊥BC，垂足为D，用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD的最大值；（3）设点E为抛物线对称轴与直线BC的交点，若A，B，E三点到同一直线的距离分别是d1，d2，d3，问是否存在直线l，使得d1= d2=12d3? 若存在，请直接写出d3的值，若不存在，请说明理由．参考答案1．D 【解析】【分析】根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”进行判断即可. 【详解】解：抛物线24y x =+先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线的函数关系式是：2(2)3y x =++. 故选D. 【点睛】本题考查了抛物线的平移，属于基础题型，熟知抛物线的平移规律是解题的关键. 2．C 【解析】【分析】由函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点，可得b 2﹣4c ＜0；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，3b +c +6＝0；利用抛物线和双曲线交点（2，1）得出x 的范围；当1＜x ＜3时，二次函数值小于一次函数值，可得x 2+bx +c ＜x ，继而可求得答案．【详解】∵函数y ＝x 2+bx +c 与x 轴无交点， ∴b 2﹣4ac ＜0； ∴b 2﹣4c ＜0 故①不正确；当x ＝3时，y ＝9+3b +c ＝3，即3b +c +6＝0；故②正确；把（1，1）（3，3）代入y ＝x 2+bx +c ，得抛物线的解析式为y ＝x 2﹣3x +3，当x ＝2时，y ＝x 2﹣3x +3＝1，y ＝2x＝1，抛物线和双曲线的交点坐标为（2，1）第一象限内，当x＞2时，x2+bx+c＞2x；或第三象限内，当x＜0时，x2+bx+c＞2x；故③错误；∵当1＜x＜3时，二次函数值小于一次函数值，∴x2+bx+c＜x，∴x2+（b﹣1）x+c＜0．故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．3．A【解析】【分析】先将二次函数y＝2x2－8x＋9变形为顶点式，再利用函数平移规则：上加下减，左加右减，即可解答.【详解】y＝2x2－8x＋9=2（x-2）2+1所以由y＝2x2的图象先向右平移2个单位再向上平移1个单位得到二次函数y＝2x2－8x＋9的图象.故选A【点睛】本题考查二次函数平移，熟练掌握二次函数平移规律“上加下减，左加右减”是解题关键. 4．A【解析】【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为x＝12，再根据抛物线的增减性以及对称性可得y1，y2，y3的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+x ﹣3＝﹣（x ﹣12）2﹣114，∴对称轴为x ＝12， ∵a ＜0， ∴x ＜12时，y 随x 增大而增大， ∵（3，y 3）关于对称轴的对称点为（﹣2，y 3） ∴y 3＝y 1＜y 2．故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，关键是掌握二次函数的增减性． 5．D 【解析】【分析】首先求出抛物线与x 轴两个交点坐标，然后由题意得到n n A B 111n n =-+，进而求出1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +的值．【详解】令y =x 2()211n n n +-+x ()11n n +=+0，即x 2()211n n n +-+x()11n n +=+0，解得：x 1n =或x 11n =+，故抛物线y =x 2()211n n n +-+x ()11n n ++与x 轴的交点为（1n ，0），（11n +，0），由题意得：n n A B 111n n =-+，则1122A B A B ++⋅⋅⋅20152015A B +=11111122320152016-+-++-=11201520162016-=．故选D ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴交点的知识，解答本题的关键是求出n n A B ． 6．B 【解析】【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征，把三个点的坐标分别代入二次函数解析式，计算出y 1、y 2、y 3的值，然后比较它们的大小．【详解】当x=-3时，y 1=-x 2=-9；当x=-1时，y 2=-x 2=-1；当x=2时，y 3=-x 2=-4，所以y 1＜y 3＜y 2．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 7．A 【解析】【分析】先确定两个抛物线的顶点坐标，再利用点平移的规律确定抛物线平移的情况．【详解】解：抛物线y=-x 2的顶点坐标为（0，0），抛物线y=﹣（x+2）2﹣3的顶点坐标为（-2，-3），而点（0，0）向左平移2个，再向下平移3个单位可得到（-2，-3），所以抛物线y=-x 2向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=﹣（x+2）2﹣3．故选A ．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 8．C【解析】【分析】根据图上给出的条件是与x 轴交于（1，0），叫我们加个条件使对称轴是x=2，意思就是抛物线的对称轴是x=2是题目的已知条件，这样可以求出a 、b 的值，然后即可判断题目给出四个人的判断是否正确．【详解】解：∵抛物线过（1，0），对称轴是x=2，3022a b b a++=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩ 解得a=1，b=-4，∴y=x 2-4x+3，当x=3时，y=0，所以小华正确；当x=4时，y=3，小彬也正确，小明也正确；抛物线被x 轴截得的线段长为2，已知过点（1，0），则可得另一点为（-1，0）或（3，0），所以对称轴为y 轴或x=2，此时答案不唯一，所以小颖错误．故选：C ．【点睛】本题是开放性题目，要把题目的结论作为题目的条件，再推理出四个人说的结论的正误．难度较大．9．B【解析】【分析】求得平移后抛物线的顶点坐标，根据平移规律求得原抛物线的顶点坐标，写出原抛物线解析式，即可取得a 、b 、c 的值．【详解】y ＝x 2+5x+6＝（x+）2﹣．则其顶点坐标是（﹣，﹣），将其右左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到（﹣，）．故原抛物线的解析式是：y ＝（x+）2+＝x 2+x+3．所以a ＝b ＝1，c ＝3．所以a ﹣b+c ＝1﹣1+3＝3．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．10．D【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【详解】解：①由抛物线的对称轴可知：02b a -<， ∴0ab >，由抛物线与y 轴的交点可知：22c +>，∴0c >，∴0abc >，故①正确；②抛物线与x 轴只有一个交点，∴0∆=，∴240b ac -=，故②正确；③令1x =-，∴20y a b c =-++=， ∵12b a-=-， ∴2b a =，∴220a a c -++=，∴2a c =+，∵22c +>，∴2a >，故③正确；④由图象可知：令0y =，即202ax bx c =+++的解为121x x ==-,∴22ax bx c ++=-的根为121x x ==-，故④正确； ⑤∵11124-<-<-， ∴12y y >，故⑤正确；故选D ．【点睛】考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用数形结合的思想.11．﹣12．【解析】【分析】将抛物线化成顶点式，可得h ，k 的值，代入计算即可.【详解】解：∵y ＝x 2﹣6x +5＝x 2﹣6x +9﹣4＝（x ﹣3）2﹣4，∴h ＝3，k ＝﹣4，∴hk ＝3×（﹣4）＝﹣12．故答案是：﹣12．【点睛】本题考查了抛物线的顶点式，熟练掌握顶点式的转化是解题关键.12．b≥-4【解析】【分析】因为a=1＞0，根据左同右异可知，对称轴在y 轴的左侧时，b ＞0，对称轴在y 轴右侧时，b ＜0，对称轴x=-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点．【详解】抛物线y=x 2+bx+2与y 轴的交点为（0，2），∵C （4，2），当对称轴在y 轴的右侧时当C 与（0，2）是对称点时，抛物线的对称轴的位置在最右边，∴对称轴0＜-2b ≤2时，二次函数y=x 2+bx+2的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点， ∴-4≤b ＜0．当对称轴在y 轴或y 轴的右侧时，都满足条件则有-02b ≤ 解得：b ≥0，故有b≥-4故答案为b≥-4．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解题时，利用了二次函数对称轴的位置列不等式来求b 的取值范围，并利用数形结合的思想．13．b>3【解析】【分析】可设出对称的两个点P ，Q 的坐标，利用两点关于直线y=x 成轴对称，可以设直线PQ 的方程为y=-x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx =-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去b ，建立关于a 的函数关系，求出变量a 的范围．【详解】解：设抛物线上关于直线l 对称的两相异点为P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），线段PQ 的中点为M （x 0，y 0），设直线PQ 的方程为y=x+a ，由于P 、Q 两点存在，所以方程组2y x a y x bx=-+⎧⎨=+⎩有两组不同的实数解，即得方程x 2+（1+b ）x -a=0．①判别式△=21b （）+-41a ⨯⨯-（）＞0．② 由①得x 0=x1x22+=-1b 2+，y 0=-x 0+a=1b 2++a ∵M （x 0，y 0）在y=x 上，x 0=y 0∴-1b 1b 22++=+a ∴a=-b-1代入②解得b ＞3或b <-1 ∵b>2，∴b ＞3故答案为b ＞3【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，属于难题，有一定的计算量． 14．22(1)8y x =+-【解析】【分析】利用顶点式求解即可，设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入求解.【详解】设y=a （x+1）2-8，把(0,6)-代入，得-6=a ×（0+1）2-8，∴a=2，∴22(1)8y x =+-.故答案为：22(1)8y x =+-.【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法,关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y=ax 2+bx+c （a≠0）；顶点式y=a （x-h ）2+k ，其中顶点坐标为（h ，k ）；交点式y=a （x-x 1）（x-x 2），抛物线与x 轴两交点为（x 1，0），（x 2，0）．15．(-1,-4)【解析】【分析】根据抛物线的顶点式直接得到答案.【详解】二次函数22(1)4y x =-+-图象的顶点坐标是(1,4)--.【点睛】本题考查二次函数的顶点式，二次函数的顶点式为y=a （x-h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ），解决此题需注意坐标的符号问题.16．()211y x =-+【解析】【分析】沿直线y=x y=ax 2 (a≠0)向右平移1个单位，向上平移1个单位，即可得到平移后抛物线的表达式．【详解】解:∵抛物线2y x =沿直线y x =向上平移，相当于抛物线()2y ax a 0=≠向右平移1个单位，向上平移1个单位，∴根据平移的规律得到:“同簇抛物线”的表达式是()2y x 11=-+．故答案为:()2y x 11=-+．【点睛】本题考查了二次函数的几何变换:由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．17．>【解析】【分析】通过比较点M 和点N 到y 轴的距离的远近判断y 1与y 2的大小．【详解】解：抛物线y=x 2的对称轴为y 轴，而M （x 1，y 1）到y 轴的距离比N （x 2，y 2）点到y 轴的距离要远，所以y 1＞y 2．故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便．18．丙【解析】【分析】设甲乙正确，利用顶点时写出抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，然后计算自变量为-1和2对应的函数值，从而判断丙错误．【详解】若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x-1）2+3，当x=-1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．19．8【解析】【分析】根据公式法可求对称轴，可得关于b 的一元一次方程，解方程即可．【详解】∵抛物线y=2x 2-bx+3的对称轴经过点（2，-1），∴对称轴x=-22b =2，解得：b=8．故答案为8．【点睛】此题考查二次函数的性质，掌握利用公式法求对称轴是解决问题的关键．20．y＝x2﹣4x+3．【解析】【分析】由图表的信息知：第一、二、四、五个点的坐标都关于x=2对称，所以错误的一组数据应该是（2，-2）；可选取其他四组数据中的任意三组，用待定系数法求出抛物线的解析式．【详解】解：选取（0，3）、（1，0）、（3，0）；设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），则有：a（0﹣1）（0﹣3）＝3，a＝1；∴y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3．故答案为y=x2﹣4x+3【点睛】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，能够正确的判断出错误的一组数据是解答此题的关键．21．（1）y=﹣（x+1）2+4（2）抛物线与 y 轴的交点 C（0，3）（3）6【解析】【分析】（1）根据配方法步骤将解析式配成顶点式可得；（2）求出y=0时x的轴可得点A、B的坐标，求出x=0时y的值可得点C的坐标；（3）根据抛物线的顶点坐标及其与坐标轴的交点可画出抛物线的图象，再由三角形的面积公式可得答案．【详解】（1）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），对称轴为直线 x ＝﹣1；（2）当 y ＝0 时，﹣x 2﹣2x+3＝0，解得：x ＝1 或 x ＝﹣3，∴抛物线与 x 轴的交点 A （﹣3，0）、B （1，0），当 x ＝0 时，y ＝3，∴抛物线与 y 轴的交点 C （0，3）；（3）其函数图象如下图所示：S △ABC ＝ AB•y C ＝ ×4×3＝6．【点睛】本题考查的知识点是抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式，解题的关键是熟练的掌握抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数的三种形式.22．(1) D 的坐标为125,24⎛⎫-⎪⎝⎭；(2) 4x 1-<<. 【解析】【分析】 ()1根据抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-，可以求得该抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可求得点D 的坐标；()2根据平移的特点，可以得到平移后抛物线的解析式，从而可以写出当y 0<时x 的取值范围．【详解】解：()1抛物线2y x bx c =++与y 轴交于点()C 0,6-与x 轴的一个交点坐标是()A 2,0-， {c 642b c 0=-∴-+=，得{b 1c 6=-=-， ∴抛物线的解析式为22125y x x 6(x )24=--=--， ∴此抛物线的顶点D 的坐标为125,24⎛⎫- ⎪⎝⎭； ()2抛物线的解析式为2125y (x )24=--， ∴此图象沿x 轴向左平移2个单位长度后对应的函数解析式为：22125325y (x 2)(x )2424=-+-=+-， ∴平移后抛物线的对称轴为直线3x 2=-，当y 0=时，1x 4=-，2x 1=， ∴当y 0<时x 的取值范围是4x 1-<<．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．23．（1）当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【解析】【分析】（1）把n ＝﹣4代入得到带有m 的解析式解析式y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，再用带有m 的值表示出A 、B 、C 的坐标，然后得出三角形面积判断最大值；（2）把n ＝4m+4代入原解析式得到y ＝（x ﹣3m ）2+4m+4，得出顶点P 的坐标，再根据动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小时为PQ 的横坐标相同，即可得出Q 的坐标.【详解】解：（1）若n ＝﹣4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2﹣4，当x ＝0时，y ＝9m 2﹣4，∴C （0，9m 2﹣4），∵这个函数图象开口向上，与x 轴交于A ，B 两点（点A ，B 分别在x 轴的正、负半轴），与y 轴交于点C ，∴9m 2﹣4＜0，当y ＝0时，x 2﹣6mx+9m 2﹣4＝0，x 1＝3m+2，x 2＝3m ﹣2，∴A （3m+2，0），B （3m ﹣2，0），∵3m+2﹣（3m ﹣2）＝4，∴AB ＝4，∴S △ABC ＝1•2C AB y ＝12×4•（﹣9m 2+4）＝﹣2m 2+8， ∵﹣2＜0，∴当m ＝0时，△ABC 的面积最大为8；（2）若n ＝4m+4，则y ＝x 2﹣6mx+9m 2+4m+4＝（x ﹣3m ）2+4m+4，∴P （3m ，4m+4），当动点Q 到抛物线的顶点P 的距离最小值为4时，则Q 为（3m ，0）且4m+4＝±4，解得m ＝﹣2或m ＝0，∴Q 点的坐标为（﹣6，0）或（0，0）．【点睛】本题是二次函数的动点题型，此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用.24．（1）()0,3A ；（2）3y x =-+；（3）a<−1或a>3【解析】【分析】（1）抛物线C ：y=ax 2-2ax+3与y 轴交于点A ，令x=0，即可求得A 的坐标；（2）令y=0，解方程即可求得B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线l 的解析式；（3）当a=3时，抛物线C 过点B （1，0），此时k=-3．当a=-1时，抛物线C 过点B （3，0），此时k=-1．结合图象即可求得．【详解】(1)∵抛物线C:y=ax 2−2ax+3与y 轴交于点A ，∴点A 的坐标为(0,3).(2)当a=−1时,抛物线C 为y=−x 2+2x+3.∵抛物线C与x轴交于点B，且点B在x轴的正半轴上，∴点B的坐标为(3,0).∵直线l:y=kx+b过A，B两点，∴330bk b=⎧⎨+=⎩.解得13kb=-⎧⎨=⎩.∴直线l的解析式为y=−x+3.(3)如图，当a>0时，当a=3时,抛物线C过点B(1,0)，此时k=−3.结合函数图象可得a>3.当a<0时，当a=−1时,抛物线C过点B(3,0)，此时k=−1.结合函数图象可得a<−1.综上所述，a的取值范围是a<−1或a>3.【点睛】本题考查一次函数和二次函数综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式.25．使剪出的矩形DECF面积最大，点D应该选在AB的中点．【解析】【分析】根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理求出AC，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC ＝12AB ＝3，由勾股定理得，AC ==在Rt △ADF 中，∠A ＝30°，∴AD ＝2DF ，AF DF ，∴CF ＝AC ﹣AF ＝，则矩形DECF 面积＝DF ×（）2=23)24DF -+当DF ＝32时，剪出的矩形DECF 面积最大，则AD ＝2DF ＝3，∴使剪出的矩形DECF 面积最大，点D 应该选在AB 的中点．【点睛】本题考查的是勾股定理、二次函数的性质、矩形的性质，根据勾股定理、矩形的面积公式列出二次函数解析式是解题的关键．26．（1）顶点坐标为M （-1，-2），12x -<<；（2）四边形AMDN 是矩形，理由见解析；（3）a =329 【解析】【分析】（1）把222(0)y ax ax a a =++->化为顶点式()212y a x =+-，即可求出顶点坐标；根据图像即可求出次函数L 1 ，L 2 的y 值同时随着x 的增大而增大时，x 的取值范围；（2）由两点间的距离公式求出MN 的长，用含a 的代数式表示出AD 的长，根据AD =MN列方程即可求出a 的值；由两点间的距离公式可求AN =MD ，AM =DN ，从而可证四边形AMDN是平行四边形，又AD =MN ，所以可证四边形AMDN 是矩形；（3）当B ，C 是线段AD 的三等分点时，分两种情况，根据两点间的距离公式求解：①点C 在点B 的左边，②点B 在点C 的左边.【详解】（1）∵222(0)y ax ax a a =++->∴()212y a x =+-，∴顶点坐标为M （-1，-2）；∵M （-1，-2），N （2，2），∴当1x >-时， L 1 的y 值随着x 的增大而增大，当2x <时，L 2的y 值随着x 的增大而增大. ∴x 的取值范围是12x -<< .（2）如图1，MN =，当y=0时，即()2120a x +-=，解得1A x =--1B x =-+当y=0时，即()2220a x --+=，2C x =-2D x =+∴AD=（2+-（1--=3+当AD=MN 时，即3+，解得a =2. 当 a =2时，1A x =--2，2D x =3，∵==∴AN=DM,∵==,∴AM=DN,∴四边形AMDN 是平行四边形，∵AD=3-(-2)=5,MN=5,∴AD=MN,∴四边形AMDN 是矩形 ;（3）当B，C是线段AD的三等分点时，存在以下两种情况：①点C在点B的左边，如图2，BC=（21a-+-（22a-=232a-+AC=BD=3 ，即232a-+，解得29a=;②点B在点C的左边，如图3，CB=（22a--（21a-+=23a-AB=CD=22a，即22a23a-329a= .【点睛】本题考查了二次函数一般式与顶点式的互化，二次函数的图像与性质，两点间的距离公式，矩形的判定，数形结合及分类讨论的数学思想.掌握一般式化顶点式的方法是解（1）的关键；灵活运用两点间的距离公式是解（2）的关键；分两种情况求解是解（3）的关键.27．（1）am2+1；（2）a＝﹣1；（3）0≤BC′≤94．【解析】【分析】（1）代入0x =求出y 值，此问得解；（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，由二次函数的对称性可得出ABD 为等腰直角三角形，进而可得出2AB DE =，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B 、D 的坐标，由2AB DE =可得出关于a 的无理方程，解之即可得出a 值；（3）由（1）（2）可得出点B 、C 的坐标，由旋转的性质可得出点'C 的坐标，利用两点间的距离公式可求出2'2BC m m =-++，再利用二次函数的性质即可求出：当1522m -≤≤时，'BC 的长度范围. 【详解】解：（1）当x ＝0时，y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝am 2+1，∴点C 的纵坐标为am 2+1．故答案为am 2+1．（2）设抛物线对称轴与x 轴交于点E ，如图1所示．∵DA ＝DB ，∠DAB ＝45°，∴△ABD 为等腰直角三角形，∴AB ＝2DE ．∵y ＝ax 2﹣2amx +am 2+1＝a （x ﹣m ）2+1，∴点D 的坐标为（m ，1）．当y ＝0时，ax 2﹣2amx +am 2+1＝0，即a （x ﹣m ）2＝﹣1，解得：x 1＝m x 2＝m∴AB ＝2，解得：a ＝﹣1．（3）由（1）（2）可知：点C 的坐标为（0，1﹣m 2），点B 的坐标为（m +1，0）．∵点C 绕O 逆时针旋转90°得到点C ′，∴点C ′的坐标为（m 2﹣1，0），∴BC ′＝|m +1﹣（m 2﹣1）|＝|﹣m 2+m +2|．∵﹣m 2+m +2＝﹣（m ﹣12）2+94，﹣12≤m ≤52，∴当m＝52时，﹣m2+m+2取得最小值，最小值为﹣74；当m＝12时，﹣m2+m+2取得最大值，最大值为94，∴当﹣12≤m≤52时，﹣74≤﹣m2+m+2≤94，∴当﹣12≤m≤52时，0≤BC′≤94．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形、解无理方程、两点间的距离公式以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）代入0x 求出y值；（2）利用等腰直角三角形的性质找出关于a的无理方程；（3）利用二次函数的性质找出'BC的长度范围.28．（1）y=－12x2+ x+4；（2）当m=2时，PE2；（3）存在，满足题意的d3的值为2或665．【解析】【分析】（1）由直线y=-x+4得出B（4，0），C（0，4），即可得出A（-2，0），将A与B坐标代入抛物线解析式求出a与b的值，即可确定出抛物线解析式；（2）已知P点横坐标，根据直线AB、抛物线的解析式，求出C、P的坐标，由此得到线段PC的长；在Rt△OBC中，∠OCB=45°，根据平行线的性质得出∠PFD=45°，解直角三角形即可求出PD的表达式，利用二次函数的性质求出PD的最大值即可．（3）见解析.【详解】解:（1）由y=－x+4得当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴B (4，0) ，C (0，4)， ∴ OB =4．∴ OA =12OB =2， ∴ 点 A (－2，0)．把A (－2，0)，B (4，0)分别代入抛物线y =ax 2+bx +4中，得4230,16430.a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得1,21.a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴ 抛物线的解析式为 y =－12x 2+ x +4．（2）∵ 点P 的横坐标为m ，则P (m ，－12m 2+ m +4)．过点P 作PF ∥y 轴交BC 于点F ，则F (m ，－m +4) ．∴ PF =－12m 2+ m +4－(－m +4)=－12m 2+2m ．在Rt △OBC 中，OB =4，OC =4．又 PF ∥y 轴， ∴ ∠PFD =∠OCB=45°．∴ PD =PF ·sin ∠PFD = PF ·sin ∠OCB =22(－12m 2+2m )=－24(m －2)22 ∵ 0＜m ＜4，－24＜0，∴ 当m =2时，PE 2 （3）存在，∵y =－12x 2+ x +4=－12（x-1）²+92， ∴C 点坐标为（1,3），如图，d 1= d 2=12d 3 ，满足题意的d3的值为2或6或655．【点睛】本题考查了二次函数的应用以及解析式的确定、解直角三角形等知识，主要考查学生数形结合思想的应用能力，。

初中数学专题练习-二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质

《二次函数》专题第三讲：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象与性质一、二次函数2y ax bx c =++的图象和性质1．如何画216212y x x =-+的图象？2．用配方法推导顶点坐标公式二次函数2y ax bx c =++的图象是抛物线,其顶点坐标是（2b a -, 244ac b a -）,对称轴是平行于y 轴的一条直线2b x a=-．列表小结=2++ （≠0）的图象和性质示意图 a >0a <0开口方向a >0时,开口向上 a <0时,开口向下形状 ①a 相同⇔抛物线的形状、大小相同; ②a 越大, 开口越小; a 越小, 开口越大．二次函数2y ax bx c =++的图像与性质：顶点坐标24(,)24b ac b a a --,是抛物线最高（或最低）点对称轴直线2b x a =- 函数最值若a >0,当2b x a =-时,y 最小值=244ac b a-．若a <0,当2b x a =-时, y 最大值244ac b a -．增减性若a>0,当2b x a ≤-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大．若a<0,当2b x a≤-时,y 随x 的增大而增大; 当2b x a>-时,y 随x 的增大而减小．二、过特殊位置的抛物线：对于抛物线2y ax bx c =++,（1）若顶点是原点,则（2）若经过原点,则（3）若顶点在y 轴上,则（4）若顶点在x 轴上,则（5）若经过（1,0）点,则若经过（－1,0）点,则练习（1）抛物线223y x x =--的顶点坐标是 ,对称轴是．（2）若二次函数2221y ax x a =++-（0a ≠）的图象如图所示, 则a 的值是．（3）二次函数22y x bx c =++的顶点坐标是（1,－2）,则 b = ,c = ．（4）已知二次函数2y ax bx c =++（其中a >0,b >0,c <0）,关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上;xyO②图象的顶点一定在第四象限;③图象与x轴的交点至少有一个在y轴的右侧．以上说法正确的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3。

初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题2(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质能力达标测试题2（附答案详解）1．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象交x 轴于点A （﹣2，0）和点B ，交y 轴负半轴于点C ，且OB ＝OC ，下列结论： ①﹣2b a ＜0；②a b c+＞0；③ac ＝b ﹣1；④4a+c ＝2b 其中正确的结论个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．已知函数y ＝2x 与y ＝x 2﹣c(c 为常数，﹣1≤x≤2)的图象有且仅有一个公共点，则常数c 的值为( )A ．0＜c≤3或c ＝﹣1B ．﹣l≤c ＜0或c ＝3C ．﹣1≤c≤3D ．﹣1＜c≤3且c≠03．若二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣m 与x 轴无交点，则一次函数y ＝（m+1）x+m ﹣1的图象不经过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知1(1)A y -，，2(2)B y ，是抛物线2(2)3y a x =++(0)a <上的两点，则1y ，2y 的大小关系为 A ．12y y > B ．12y y < C ．12y y = D ．不能确定5．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图所示，则顶点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 6．如图，二次函数223y x x =--的图象与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（）A ．4AB = B ．45OCB ∠=C ．当3x >时，0y >D ．当0x >时，y 随x 的增大而减小7．函数y ＝－2x 2，当x ＞0时图象位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．二次函数2y ax bx =-的图象如图，若方程20ax bx m -+=有实数根，则m 的最大值为（）A ．-3B ．3C ．-6D ．09．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴相交于A .B 两点，点A 在点B 左侧，顶点在折线M ﹣P ﹣N 上移动，它们的坐标分别为M （﹣1，4）.P （3，4）.N （3，1）．若在抛物线移动过程中，点A 横坐标的最小值为﹣3．则a ﹣b +c 的最小值是（）A ．﹣15B ．﹣12C ．﹣4D ．﹣2 10．对于题目“当21x -≤≤时，二次函数()221y x m m =--++有最大值4，求实数m的值.”甲的结果是23374-，则（） A ．甲的结果正确B ．乙的结果正确C ．甲、乙的结果合在一起才正确D ．甲、乙的结果合在一起也不正确 11．已知二次函数()()2131y a x x a a =-++-的图象过原点，则a 的值为_______.12．已知二次函数2y ax bx c =++中，其函数y 与自变量x 之间的部分对应值如下表所示： x ……0 1 2 3 4 …… y…… 4 1 0 1 4 …… 点()11,A x y 、()22,B x y 在函数的图象上，当112x <<，234x <<时，1y 与2y 的大小关系是_______.13．把二次函数y ＝2x 2﹣8x +9，化成y ＝a （x ﹣h ）2+k 的形式是：___．14．已知y ＝﹣x 2﹣3x+4，则x+y 的最大值为_____．15．将抛物线24y x x =-的图象向左平移3个单位后得到的抛物线是_________． 16．反比例函数1y x =-与二次函数2y x =的共同性质有______.(写出一条符合题意的即可)17．写出一个开口向上，且顶点为()1,2-的抛物线解析式为__________________。

初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题1(附答案详解)

初中数学二次函数的图象与性质基础过关训练题1（附答案详解）1．在同一直角坐标系中，函数y ＝ax 2+b 与y ＝ax +b (a ，b 都不为0)的图象的相对位置可以是( )A ．B ．C ．D ．2．在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax 2+c 的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3．对于二次函数y ＝﹣（x ﹣2）2﹣3，下列说法中正确的是（） A ．当x ＝﹣2时，y 的最大值是﹣3 B ．当x ＝2时，y 的最小值是﹣3 C ．当x ＝2时，y 的最大值是﹣3 D ．当x ＝﹣2时，y 的最小值是﹣34．下列m 的取值中，能使抛物线y =x 2+（2m ﹣4）x +m ﹣1顶点在第三象限的是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 5．二次函数2616y x x =++的顶点坐标是（） A ．（-3，7）B ．（3，7）C ．（-3，-7）D ．（3，-7）6．已知抛物线y ＝ax 2+bx+c(a ＞0)过(﹣2，0)、(2，3)两点，那么抛物线的对称轴( ) A ．只能是x ＝﹣1B ．可能是y 轴C ．在y 轴右侧且在直线x ＝2的左侧D ．在y 轴左侧7．抛物线y ＝（x －2）2－3的顶点坐标为（）A ．（2，3）B ．（2，－3）C ．（－2，－3）D ．（－2，3）8．如图，二次函数y ＝x 2﹣2x ﹣3的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，则下列说法错误的是（）A ．AB ＝4 B ．∠ABC ＝45° C ．当x ＞0时，y ＜﹣3D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大9．若将抛物线y ＝x 2向下平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（） A ．y ＝（x ﹣1）2 B ．y ＝（x+1）2 C ．y ＝x 2﹣1 D ．y ＝x 2+1 10．若抛物线y ＝ax 2+2ax+4a(a ＞0)上有A(32-，y 1)、B(2，y 2)、C(32，y 3)三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系为( ). A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 2＜y 3＜y 111．已知（1，y 1），（2，y 2），（3，y 3）是抛物线y ＝﹣2x 2+6x+c 上的点，则（） A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＞y 2＞y 3C ．y 1＝y 2＜y 3D ．y 1＝y 2＞y 312．已知二次函数(1)(3)y x x =+-，则该二次函数的对称轴为_________________. 13．把抛物线y=x 2+4先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为__________.14．二次函数2(1)3y x =--的图象与y 轴的交点坐标是________．15．已知二次函数212y x x =--和一次函数21y x =+的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,4)，当12y y >时，自变量x 的取值范围是___. 16．反比例函数1y x=-与二次函数2y x =的共同性质有______.(写出一条符合题意的即可)17．抛物线y ＝x 2﹣6x +11的顶点为_____________．18．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出它们的一些特点：甲：对称轴是4x =；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写出满足上述全部特点的一个二次函数的解析式：______.19．已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，顶点为(1,0)-，有下列结论：①0abc <；②240b ac -=；③2a >；④420a b c -+>，其中，正确结论有________.20．将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是_____．（写成顶点式）21．如果函数y＝x2+4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是_____．22．已知点A（1，y1），B（-2，y2），C（-2，y3）在y=2(x+1)2-0.5的函数图像上，请用“<“号比较y1，y2， y3的大小关系_______________.23．二次函数y＝4（x﹣3）2+7，开口_____，对称轴为_____，顶点坐标为_____．24．定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数y＝x﹣2，它的相关函数为()202(0)x xyx x⎧-+< =⎨-≥⎩（1）已知点A（﹣3，8）在一次函数y＝ax﹣5的相关函数的图象上，求a的值；（2）已知二次函数y＝﹣x2+4x﹣1．当点B（m，2）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值；25．已知二次函数y＝﹣x2+bx+c，函数值y与自变量x之间的部分对应值如下表：x …﹣4 ﹣1 0 1 …y …﹣2 ﹣1 ﹣2 ﹣7 …（1）此二次函数图象的对称轴是直线，此函数图象与x轴交点个数为．（2）求二次函数的函数表达式；（3）当﹣5＜x＜﹣1时，请直接写出函数值y的取值范围．26．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．27．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 图象的一部分,图象过点A(−5,0),对称轴为直线x=−2,给出四个结论：①b 2>4ac ；②4a+b=0；③函数图象与x 轴的另一个交点为(2,0)；④若点(−4,y 1)、(−1,y 2)为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确结论是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个28．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2﹣6mx +9m +1（m ≠0）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B 点（点A 在点B 的左侧），且AB ＝4，求m 的值．（3）已知四个点C （2，2）、D （2，0）、E （5，﹣2）、F （5，6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．29．如图，已知直角坐标平面上的ΔABC ，AC=CB ，∠ACB=90°，且A(-1，0)，B(m ，n)，C(3，0)．若抛物线23y ax x =+-经过A 、C 两点．(1)求a 、b 的值；(2)将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点B ，求新抛物线的解析式. 30．已知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），且经过点（0，4），求该函数的解析式． 31．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），函数y 与自变量x 的部分对应值如下表： x …… ﹣1 0 1 4 …… y……12622……（1）求二次函数的解析式；（2）直接写出不等式ax 2+bx +c ﹣2＞0的解集是．32．设函数y =k 1x +2k x，且k 1•k 2≠0，自变量x 与函数值y 满足以下表格： x…… -4-3-2-1-12 121 2 3 4 ……y …… -334 -223 -1120 112 -1120 112m n ……（1）根据表格直接写出y 与x 的函数表达式及自变量x 的取值范围______（2）补全上面表格：m =______，n =______；在如图所示的平面直角坐标系中，请根据表格中的数据补全y 关于x 的函数图象；（3）结合函数图象，解决下列问题： ①写出函数y 的一条性质：______； ②当函数值y ≥32时，x 的取值范围是______； ③当函数值y =-x 时，结合图象请估算x 的值为______（结果保留一位小数）33．小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图象，下表与图是他所完成的部分表格与图象：（1）补全表格与图象；（2）直接写出此抛物线顶点坐标． x … ﹣1 0 2 4 _____ … y …59_____…34．如图，已知抛物线2123y x x =--与x 轴相交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，直线2y kx b =+经过点B ，C .（1）求直线BC 的函数关系式；（2）当12y y >时，请直接写出x 的取值范围.35．我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y 轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y ＝2x 2+4x ﹣5的友好同轴二次函数为y ＝﹣x 2﹣2x ﹣5．（1）请你写出y ＝13x 2+x ﹣5的友好同轴二次函数；（2）如图，二次函数L 1：y ＝ax 2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L 2都与y 轴交于点A ，点B 、C 分别在L 1、L 2上，点B ，C 的横坐标均为m （0＜m ＜2）它们关于L 1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C ，CB ．若a ＝3，且四边形BB′C′C 为正方形，求m 的值．参考答案1．A【解析】【分析】根据一次函数图象和二次函数图象性质,再根据每一选项中a、b的符号是否相符,逐一判断．【详解】解：A选项,由抛物线可知,a＜0,b＜0,由直线可知,a＜0,b＜0,故本选项正确,B选项,由抛物线可知a＜0,由直线可知a＞0,相矛盾,故本选项错误,C选项,由抛物线可知,a＞0,b＜0,由直线可知,a＞0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,D选项,由抛物线可知,a＞0，b＞0,由直线可知,a＜0,b＞0,相矛盾,故本选项错误,故选A．【点睛】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象,解决本题的关键是要熟练掌握一次函数,二次函数的图象与系数的关系．2．D【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A错误，D选项正确；故选D．【点睛】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．3．C 【解析】【分析】根据抛物线的性质由a=-1得到图象开口向下，据此根据二次函数的性质解答可得．【详解】解：对于二次函数y=-（x-2）2-3，由于-1＜0，所以，当x=2时，y 取得最大值，最大值为-3. 故选：C ．【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是熟练掌握二次函数的图象和性质． 4．B 【解析】【分析】对于.y =ax ²+bx +c （a ≠0）中，顶点坐标是（24,24b ac b a a--）,顶点坐标在第三象限，那么顶点坐标特点（-，-），即横纵坐标都小于0。

初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)

初中数学二次函数图像性质练习题(附答案)1、函数y=a(x-h)²的图像与性质：顶点坐标为(h,0)，当x=h时，y有最小值。

2、抛物线y=3x²经过下列平移后得到的抛物线的解析式及对称轴和顶点坐标：1）y=3(x-2)²，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0)；2）y=3(x+1)²，对称轴为x=-1，顶点坐标为(-1,0)；3）y=3(x-3)²+1，对称轴为x=3，顶点坐标为(3,1)。

3、函数y=(x+1)²和y=x²+1具有的共同性质：对称轴都为x轴，顶点坐标都为(-1,1)。

4、已知a=1/2，OA=OC，抛物线的解析式为y=1/2(x-1)²。

5、抛物线y=3(x-3)²与x轴交点为(3,0)，与y轴交点为(0,27)，△AOB的面积为27.6、二次函数y=a(x-4)²，当自变量x由增加到2时，函数值y增加6.解得a=3/4，关系式为y=3/4(x-4)²，函数值y随x值的变化情况为随着x的减小而增加。

7、顶点在坐标轴上的抛物线y=x²-(k+2)x+9的顶点坐标为(1,k+6)，由对称性可知对称轴为x=1，即k+2=2，解得k=0.22、y=a(x-h)²+k的图像与性质：顶点坐标为(h,k)，开口方向由a的正负决定，当x=h时，y有最小值或最大值。

1、以(2,3)为顶点，开口向上的二次函数为y=a(x-2)²+3.2、二次函数y=(x-1)²+2，当x=1时，y有最小值为2.3、函数y=(x-1)²+3，当x增大时，y也随之增大。

4、函数y=(x+3)²-2的图像可由函数y=x²的图像向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到。

5、已知抛物线顶点坐标为(2,1)，过点(3,5)，则抛物线的关系式为y=(1/2)(x-2)²+1.6、抛物线顶点坐标为P(1,3)，函数y随自变量x的增大而减小的x的取值范围是x<1.7、函数y=-3(x-2)²+9的开口方向向下，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,9)；当x=2时，抛物线有最值9；当x增大时，y随之减小；当x减小时，y随之增大。

人教版初中数学九年级二次函数(经典例题含答案)

二次函数经典例题答案班级小组姓名成绩（满分120）一、二次函数（一）二次函数的定义（共4小题，每题3分，共计12分）例 1.下列函数：①225y xz =++；②258y x x =-+-；③2y ax bx c =++；④()()2324312y x x x =+--；⑤2y mx x =+；⑥21y bx =+（b 为常数，0b ≠）；⑦220y x kx =++，其中y 是x 的二次函数的有②⑥.例1.变式1.函数24233y x x =--中，a =3-，b =34，c =2-.例1.变式2.若()232my m x -=-是二次函数，且2m >，则m 等于（B）A.C. D.5例1.变式3.已知函数()22346mm y m m x -+=+-是二次函数，求m 的值.2122342:1,2602,31m m m m m m m m m -+===+-≠∴≠≠-∴ 解：由题意得：解得的值为（二）列二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例2.一台机器原价60万元，每次降价的百分率均为x ,那么连续两次降价后的价格y (万元)为（C ）A.()601y x =-B.()601y x =+ C.()2601y x =- D.()2601y x =+例2.变式1.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动,通过仪器观察得到小球滚动的距离s (米)与时间t (秒)的数据如下表:写出用t 表示s 的函数关系式:22t s =.例2.变式2.矩形的长为x cm，宽比长少2cm，请你写出矩形的面积y (2cm )与x (cm)之间的关系式xx y 22-=.时间t (秒)1234…距离s (米)281832…例2.变式3.某商场将进价为每套40元的某种服装按每套50元出售时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装销售单价每提高1元，销量就减少5套.如果商场将销售单价定为x 元,请你写出每天销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数表达式.[]2200075055)50(300)40(2-+-=⨯---=x x y x x y 即解：由题意得：二、二次函数的图象和性质（一）形如2y ax =和2y ax c =+的二次函数的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例3.对于二次函数2y x =-的图象，在y 轴的右边，y 随x 的增大而减小.例3.变式1.二次函数2y ax =的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内.（1）22y x =如图（D ）；（2）212y x =如图（C ）；（3）2y x =-如图（A）；（4）213y x =-如图（B）；（5）219y x =如图（F）；（6）219y x =-如图（E）.例3.变式2.与抛物线222y x =-+开口方向相同,只是位置不同的是（D）A.22y x =B.2211y x =- C.221y x =+ D.221y x =--例3.变式3.坐标平面上有一函数22448y x =-的图象,其顶点坐标为（C ）A.()0,2- B.()1,24- C.()0,48- D.()2,48（二）二次函数()2y a x h =-与()2y a x h k =-+的图像和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例4.将抛物线2y x =-向左平移2个单位长度后,得到的抛物线的表达式是(A )A.()22y x =-+ B.22y x =-+ C.()22y x =-- D.22y x =--例4.变式1.二次函数()221y x =-，当x 1<时,y 随着x 的增大而减小，当x 1>时,y 随着x 的增大而增大.例4.变式2.已知二次函数()2231y x =-+.有下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3x =-；③其图象顶点坐标为(3，-1)；④当3x <时,y 随着x 的增大而减小.则其中说法正确的有（A ）A.1个B.2个C.3个D.4个例4.变式3.将抛物线21y x =+先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，那么所得抛物线的表达式是（B ）A.()222y x =++ B.()222y x =+- C.()222y x =-+ D.()222y x =--（三）二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象和性质（共4小题，每题3分，共计12分）例5.二次函数225y x x =+-有(D)A.最大值为-5B.最小值-5C.最大值-6D.最小值-6例5.变式1.如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是（D ）A.13x -≤≤B.1x ≤-C.1x ≥ D.13x x ≤-≥或例5.变式2.抛物线2y x bx c =++向右平移2个单位长度再向下平移3个单位长度，所得图象的表达式为223y x x =--，求b ，c 的值.,2234)21(:32324)1(3222222==∴+=+-+-=--=--=--=c b x x x y x x y x x x y 得个单位个单位，再向上平移向左平移将抛物线解：例5.变式3.如图，已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，下列4个结论：①0abc <；②b a c <+；③420a b c ++>；④240b ac ->，其中正确结论的有（B）A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④三、确定二次函数的表达式（共4小题，每题3分，共计12分）例6.已知二次函数的图象的顶点坐标是（-2，-3），且经过点（0,5），求这个函数表达式.5823)2(22:53)20()5,0(3)2()3,2(),0()(22222++=-+=∴==-+∴-+=∴--≠++=x x x y a a x a y a k h x a y 解得此二次函数图象经过点又坐标为此二次函数图象的顶点达式为解：设此二次函数的表例6.变式1.已知抛物线与y 轴交点的纵坐标为52-，且还经过（1，-6）和（-1,0）两点，求抛物线的表达式.22(0)5(0,),(1,6),(1,0)251226305215322y ax bx c a c a a b c b a b c c y x x =++≠---⎧⎧=-=-⎪⎪⎪⎪++=-=-⎨⎨⎪⎪-+=⎪⎪=-⎩⎩∴=---解：设抛物线表达式为将代入得：解得：抛物线表达式为：例6.变式2.已知，一抛物线与x 轴的交点是A（-2,0），B（1,0），且经过点C（2,8）.（1）求该抛物线的函数表达式；4224228240024)8,2(),0,1(),0,2()0(22-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧-===⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=+--≠++=x x y c b a c b a c b a c b a C a c bx ax y 抛物线表达式为：解得：代入得：将解：设抛物线表达式为（2）求该抛物线的顶点坐标.)29,21(2921(242222---+=-+=顶点坐标为：x x x y 例6.变式3.已知抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A(-1,0),B(3,0),C (0,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴.（1）求抛物线的函数表达式;321)3,0()1)(3(2++-=∴-=+-=x x y a C x x a y 抛物线表达式为：代入，解得：将点线表达式为：解：由题意得：设抛物（2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△PAC 的周长最小时，求点P 的坐标.:,(2,3,,(1,0),(2,30123111,2(1,2)l C C C AC l P PAC AC y kx m A C k m k k m m AC y x x y P ''∴'∆''=+--+==⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩'∴=+==解过直线作点的对称点）连接交直线于点此时的周长最小设直线表达式为将）代入得：解得：直线表达式为：令则点的坐标为：四、二次函数的应用（一）利用二次函数解决“面积最大问题”（共4小题，每题3分，共计12分）例7.小敏用一根长为8cm 的细铁丝围成一个矩形，则矩形的最大面积是（A）A.24cm B.28cm C.216cm D.232cm 例7.变式1.在Rt ABC ∆中，∠A=90°，AB=4,AC=3，D 在BC 上运动(不与B,C 重合),过点D 分别向AB,AC 作垂线,垂足分别为E,F,则矩形AEDF 的面积最大值为3.例7.变式2.如图,正方形ABCD 的边长为2cm,E,F,G,H 分别从A,B,C,D 向B,C,D,A 同时以0.5cm/s的速度移动,设运动时间为t(s).(1)求证:△HAE≌△EBF；)90,,:SAS EBF HAE B A EB HA BF AE （由题意得：解∆≅∆∴=∠=∠==(2)设四边形EFGH 的面积为S(2cm ),求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；)40(4221)5.02()5.0(901,5.02,5.0222222222≤≤+-=-+=+==∴∴=∠+∠∆≅∆+=∆-===t t t t t AE AH HE S HEFG AHE DHG EBF HAE AE AH HE AEH Rt t AH t AE DH 是正方形四边形可得）又由（中则解：由题意得 (3)t 为何值时,S 最小？最小是多少？222)2(21422122最小，最小为时，当S t t t t S =∴+-=+-=例7.变式3.在青岛市开展的创建活动中，某小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长度为40m 的栅栏围成(如图所示).若设花园BC 边的长为x m ，花园的面积为y 2m .(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；）（解：由题意得：15020212402≤<+-=-⋅=x x x x x y (2)满足条件的花园面积能达到2002m 吗?若能，求出此时的x 的值；若不能，请说明理由；.20015020,2002m x x x y 到此时花园的面积不能达的取值范围是而，时当∴≤<==(3)根据(1)中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？.5.18715150,20202122m y x x y x x x x y 有最大值，最大值为时，当的增大而增大随范围内，在对称轴为直线线图象是开口向下的抛物=∴≤<=+-=（二）二次函数的综合运用（共4小题，每题3分，共计12分）例8.一件工艺品进价为100元，标价135元出售，每天可售出100件.根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（A）A.5元B.10元C.0元D.3600元例8.变式1.小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线213.55y x =-+的一部分(如图)，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l 是（B ）A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m例8.变式2.某民俗旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元，则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是多少元?元租金高，每张床收费则为使租出的床位少且时，时，为整数，则又因为有最大值时，当则有元元，每天收入为个解：设每张床位提高1602031001120031120025.22100001000200)10100)(20100(202=⨯+======-=++-=-+=y x y x x y abx x x x x y y x 例8.变式3.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台.(1)假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；(不要求写自变量的取值范围)3200242525048)(20002400(2++-=+--=x x x x y 由题意得：（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元?元即每台冰箱应降价降价越多越好要使百姓得到实惠，则解得：得：代入将200200200,1004800320024252,30002425248002122=∴===++-++-==x x x x x x x y y (3)每台冰箱降价多少元时,商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？元。

初中数学二次函数图象性质与应用

二次函数图象性质与应用一．选择题（共26小题）1．（2020•株洲）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．【解析】∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴y1=ax12+bx1+c，y2=ax22+bx2+c=ax12−bx1+c．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．2．（2020•襄阳）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．其中正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．【解析】①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，结论①正确；②∵抛物线对称轴为直线x＝1，∴−b2a=1，∴b＝﹣2a，∵抛物线经过点（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；③∵抛物线与x轴由两个交点，∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；故选：B．3．（2020•鄂州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C．下列结论：①abc＜0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＞0，其中正确的结论个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴求出2a与b的关系．【解析】①∵由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，∴b＜0．∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0；故错误；②对称轴为x=−b2a＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，故错误；③如图，当x＝﹣2时，y＞0，4a﹣2b+c＞0，故正确；④∵当x＝﹣1时，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0．故正确．综上所述，有2个结论正确．故选：B．4．（2020•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0，c＞1）经过点（2，0），其对称轴是直线x=12．有下列结论：①abc＞0；②关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；③a＜−1 2．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由题意得到抛物线的开口向下，对称轴−b2a=12，b＝﹣a，判断a，b与0的关系，得到abc＜0，即可判断①；根据题意得到抛物线开口向下，顶点在x轴上方，即可判断②；根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0）以及b＝﹣a，得到4a﹣2a+c＝0，即可判断③．【解析】∵抛物线的对称轴为直线x=1 2，而点（2，0）关于直线x=12的对称点的坐标为（﹣1，0），∵c＞1，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=1 2，∴−b2a=12，∴b＝﹣a＞0，∴abc＜0，故①错误；∵抛物线开口向下，与x轴有两个交点，∴顶点在x轴的上方，∵a＜0，∴抛物线与直线y＝a有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c＝a有两个不等的实数根；故②正确；∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（2，0），∴4a+2b+c＝0，∵b＝﹣a，∴4a﹣2a+c＝0，即2a+c＝0，∴﹣2a＝c，∵c＞1，∴﹣2a＞1，∴a＜−12，故③正确，故选：C．5．（2020•广东）把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的的数解析式为（）A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3 【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．【解析】二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的顶点坐标为（1，2），∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），∴所得的图象解析式为y＝（x﹣2）2+2．故选：C．6．（2020•菏泽）一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】先由二二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数y ＝acx+b的图象相比较看是否一致．【解析】A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误；B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，c＞0，则ac＞0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项正确；C、由抛物线可知，a＜0，b＞0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＜0，b＜0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，c＞0，则ac＜0，由直线可知，ac＞0，b＞0，故本选项错误．故选：B．7．（2020•凉山州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③3b﹣2c＜0；④am2+bm≥a+b（m为实数）．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c；然后由图象顶点坐标确定am2+bm与a+b的大小关系．【解析】①∵对称轴在y轴右侧，∴a、b异号，∴ab＜0，∵c＜0∴abc＞0故①正确；②∵对称轴x =−b 2a=1， ∴2a +b ＝0；故②正确；③∵2a +b ＝0， ∴a =−12b ， ∵当x ＝﹣1时，y ＝a ﹣b +c ＞0，∴−12b ﹣b +c ＞0 ∴3b ﹣2c ＜0故③正确；④根据图象知，当x ＝1时，y 有最小值；当m 为实数时，有am 2+bm +c ≥a +b +c ，所以am 2+bm ≥a +b （m 为实数）．故④正确．本题正确的结论有：①②③④，4个；故选：D ．8．（2020•陕西）在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m （m ＞1）沿y 轴向下平移3个单位．则平移后得到的抛物线的顶点一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据平移规律得到平移后抛物线的顶点坐标，然后结合m 的取值范围判断新抛物线的顶点所在的象限即可．【解析】∵y ＝x 2﹣（m ﹣1）x +m ＝（x −m−12）2+m −(m−1)24， ∴该抛物线顶点坐标是（m−12，m −(m−1)24）， ∴将其沿y 轴向下平移3个单位后得到的抛物线的顶点坐标是（m−12，m −(m−1)24−3）， ∵m ＞1，∴m ﹣1＞0，∴m−12＞0，∵m −(m−1)24−3=4m−(m 2−2m+1)−124=−(m−3)2−44=−(m−3)24−1＜0， ∴点（m−12，m −(m−1)24−3）在第四象限；故选：D ．9．（2020•枣庄）如图，已知抛物线y ＝ax 2+bx +c 的对称轴为直线x ＝1．给出下列结论： ①ac ＜0；②b 2﹣4ac ＞0；③2a ﹣b ＝0；④a ﹣b +c ＝0．其中，正确的结论有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与x 轴、y 轴的交点，综合进行判断即可．【解析】抛物线开口向下，a ＜0，对称轴为x =−b 2a =1，因此b ＞0，与y 轴交于正半轴，因此c ＞0，于是有：ac ＜0，因此①正确；由x =−b 2a =1，得2a +b ＝0，因此③不正确，抛物线与x 轴有两个不同交点，因此b 2﹣4ac ＞0，②正确，由对称轴x ＝1，抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），对称性可知另一个交点为（﹣1，0），因此a ﹣b +c ＝0，故④正确，综上所述，正确的结论有①②④，故选：C ．10．（2020•齐齐哈尔）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝l，结合图象给出下列结论：①ac＜0；②4a﹣2b+c＞0；③当x＞2时，y随x的增大而增大；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．【解析】抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；综上所述，正确的结论有：①③④，故选：C．11．（2020•泸州）已知二次函数y＝x2﹣2bx+2b2﹣4c（其中x是自变量）的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B（2b+c，m），且该二次函数的图象与x轴有公共点，则b+c 的值为（）A．﹣1 B．2 C．3 D．4【分析】求出抛物线的对称轴x＝b，再由抛物线的图象经过不同两点A（1﹣b，m），B （2b +c ，m ），也可以得到对称轴为1−b+2b+c 2，可得b ＝c +1，再根据二次函数的图象与x 轴有公共点，得到b 2﹣4c ≤0，进而求出b 、c 的值．【解析】由二次函数y ＝x 2﹣2bx +2b 2﹣4c 的图象与x 轴有公共点，∴（﹣2b ）2﹣4×1×（2b 2﹣4c ）≥0，即b 2﹣4c ≤0 ①，由抛物线的对称轴x =−−2b 2=b ，抛物线经过不同两点A （1﹣b ，m ），B （2b +c ，m ）， b =1−b+2b+c 2，即，c ＝b ﹣1 ②， ②代入①得，b 2﹣4（b ﹣1）≤0，即（b ﹣2）2≤0，因此b ＝2，c ＝b ﹣1＝2﹣1＝1，∴b +c ＝2+1＝3，故选：C ．12．（2020•绥化）将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（）A ．y ＝2（x ﹣6）2B ．y ＝2（x ﹣6）2+4C ．y ＝2x 2D ．y ＝2x 2+4 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解析】将将抛物线y ＝2（x ﹣3）2+2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y ＝2（x ﹣3+3）2+2，即y ＝2x 2+2；再向下平移2个单位为：y ＝2x 2+2﹣2，即y ＝2x 2．故选：C ．13．（2020•滨州）对称轴为直线x ＝1的抛物线y ＝ax 2+bx +c （a 、b 、c 为常数，且a ≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc ＜0，②b 2＞4ac ，③4a +2b +c ＞0，④3a +c ＞0，⑤a +b ≤m （am +b ）（m 为任意实数），⑥当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大．其中结论正确的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解析】①由图象可知：a＞0，c＜0，∵−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＜0，故①错误；②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，故②正确；③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，∴3a+c＞0，故④正确；⑤当x＝1时，y的值最小，此时，y＝a+b+c，而当x＝m时，y＝am2+bm+c，所以a+b+c≤am2+bm+c，故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，故选：A．14．（2020•德州）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（）A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2B．3a+c＝0C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根D．当x≥0时，y随x的增大而减小【分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．【解析】∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，故A选项不符合题意；把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，①×3+②得：12a+4c＝0，∴3a+c＝0，故B选项不符合题意；当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，故C选项不符合题意；∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，∴当x≤1时，y随x的增大而增大；当x≥1时，y随x的增大而减小；故D选项符合题意；故选：D．15．（2020•成都）关于二次函数y＝x2+2x﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的对称轴在y轴的右侧B．图象与y轴的交点坐标为（0，8）C．图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0）和（4，0）D．y的最小值为﹣9【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解析】∵二次函数y＝x2+2x﹣8＝（x+1）2﹣9＝（x+4）（x﹣2），∴该函数的对称轴是直线x＝﹣1，在y轴的左侧，故选项A错误；当x＝0时，y＝﹣8，即该函数与y轴交于点（0，﹣8），故选项B错误；当y＝0时，x＝2或x＝﹣4，即图象与x轴的交点坐标为（2，0）和（﹣4，0），故选项C错误；当x＝﹣1时，该函数取得最小值y＝﹣9，故选项D正确；故选：D．16．（2020•哈尔滨）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（）A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解析】由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；故选：D．17．（2020•河北）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，甲：若b＝5，则点P的个数为0；乙：若b＝4，则点P的个数为1；丙：若b＝3，则点P的个数为1．下列判断正确的是（）A．乙错，丙对B．甲和乙都错C．乙对，丙错D．甲错，丙对【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．【解析】y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴抛物线的顶点坐标为（2，4），∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，∴甲、乙的说法正确；若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，∴丙的说法不正确；故选：C．18．（2020•南充）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的三个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个，则−43＜a≤﹣1或1≤a＜43；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a＜−54或a≥1．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】由题意可求次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=−−4a2a=2，由对称性可判断①；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式，可求解，可判断②；分a＞0或a＜0两种情况讨论，由题意列出不等式组，可求解，可判断③；即可求解．【解析】∵二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5的对称轴为直线x=−4a2a=2，∴x1＝2+m与x2＝2﹣m关于直线x＝2对称，∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；故①正确；当x＝3时，y＝﹣3a﹣5，当x＝4时，y＝﹣5，若a＞0时，当3≤x≤4时，﹣3a﹣5＜y≤﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴1≤a＜4 3，若a＜0时，当3≤x≤4时，﹣5≤y＜﹣3a﹣5，∵当3≤x≤4时，对应的y的整数值有4个，∴−43＜a≤﹣1，故②正确；若a＞0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≥0，∴{16a2+20a＞0 5a−5≥0，∴a≥1，若a＜0，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，∴△＞0，25a﹣20a﹣5≤0，∴{16a2+20a＞0 5a−5≤0，∴a＜−5 4，综上所述：当a＜−54或a≥1时，抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6．故选：D．19．（2020•甘孜州）如图，二次函数y＝a（x+1）2+k的图象与x轴交于A（﹣3，0），B两点，下列说法错误的是（）A．a＜0B．图象的对称轴为直线x＝﹣1C．点B的坐标为（1，0）D．当x＜0时，y随x的增大而增大【分析】根据二次函数的性质解决问题即可．【解析】观察图形可知a＜0，由抛物线的解析式可知对称轴x＝﹣1，∵A（﹣3，0），A，B关于x＝﹣1对称，∴B（1，0），故A，B，C正确，故选：D．20．（2020•安顺）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（）A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．【解析】∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，∴这两个整数根是﹣4或2，故选：B．21．（2020•遂宁）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，下列结论不正确的是（）A．b2＞4acB．abc＞0C．a﹣c＜0D．am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．【解析】由图象可得：a＞0，c＞0，△＝b2﹣4ac＞0，−b2a=−1，∴b＝2a＞0，b2＞4ac，故A选项不合题意，∴abc＞0，故B选项不合题意，当x＝﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，∴﹣a+c＜0，即a﹣c＞0，故C选项符合题意，当x＝m时，y＝am2+bm+c，当x＝﹣1时，y有最小值为a﹣b+c，∴am2+bm+c≥a﹣b+c，∴am2+bm≥a﹣b，故D选项不合题意，故选：C．22．（2020•南充）如图，正方形四个顶点的坐标依次为（1，1），（3，1），（3，3），（1，3）．若抛物线y ＝ax 2的图象与正方形有公共点，则实数a 的取值范围是（）A ．19≤a ≤3B ．19≤a ≤1C ．13≤a ≤3D ．13≤a ≤1【分析】求出抛物线经过两个特殊点时的a 的值即可解决问题．【解析】当抛物线经过（1，3）时，a ＝3，当抛物线经过（3，1）时，a =19，观察图象可知19≤a ≤3，故选：A ．23．（2020•常德）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【分析】先由抛物线与x 周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x ＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a ＜0，进而判断出b ＞0，再用抛物线与y 轴的交点的位置判断出c ＞0，判断出结论③，最后用x ＝﹣2时，抛物线在x 轴下方，判断出结论④，即可得出结论．【解析】由图象知，抛物线与x 轴有两个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4ac ＞0，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，∴−b2a=2，∴4a+b＝0，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵4a+b＝0，∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0，∴abc＜0，故②正确，由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，即正确的结论有3个，故选：B．24．（2020•嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（）A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值【分析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan∠ABC＝n﹣m，再判断出45°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围，当a，b异号时，m＝0，当a=−12，b=12时，n最小=14，即可得出n﹣m的范围；②当n﹣m＝1时，当a，b同号时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN=1b−a，再判断出45°≤∠MNH＜90°，当a，b异号时，m＝0，则n＝1，即可求出a，b，即可得出结论．方法2、根据抛物线的性质判断，即可得出结论．【解析】方法1、①当b﹣a＝1时，当a，b同号时，如图1，过点B 作BC ⊥AD 于C ，∴∠BCD ＝90°，∵∠ADE ＝∠BED ＝90°，∴∠ADD ＝∠BCD ＝∠BED ＝90°，∴四边形BCDE 是矩形，∴BC ＝DE ＝b ﹣a ＝1，CD ＝BE ＝m ，∴AC ＝AD ﹣CD ＝n ﹣m ，在Rt △ACB 中，tan ∠ABC =AC BC =n ﹣m ，∵点A ，B 在抛物线y ＝x 2上，且a ，b 同号，∴45°≤∠ABC ＜90°，∴tan ∠ABC ≥1，∴n ﹣m ≥1，当a ，b 异号时，m ＝0，当a =−12，b =12或时，n =14，此时，n ﹣m =14， ∴14≤n ﹣m ＜1，即n ﹣m ≥14，即n ﹣m 无最大值，有最小值，最小值为14，故选项C ，D 都错误；②当n ﹣m ＝1时，如图2，当a ，b 同号时，过点N 作NH ⊥MQ 于H ，同①的方法得，NH ＝PQ ＝b ﹣a ，HQ ＝PN ＝m ，∴MH ＝MQ ﹣HQ ＝n ﹣m ＝1，在Rt △MHN 中，tan ∠MNH =MH NH =1b−a ，∵点M ，N 在抛物线y ＝x 2上，∴m ≥0，当m ＝0时，n ＝1，∴点N （0，0），M （1，1），∴NH＝1，此时，∠MNH＝45°，∴45°≤∠MNH＜90°，∴tan∠MNH≥1，∴1b−a≥1，当a，b异号时，m＝0，∴n＝1，∴a＝﹣1，b＝1，即b﹣a＝2，∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为2，故选项A错误；故选：B．方法2、当n﹣m＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b都越大时，a﹣b越接近于0，但不能取0，即b﹣a没有最小值，当a，b异号时，当a＝﹣1，b＝1时，b﹣a＝2最大，当b﹣a＝1时，当a，b在y轴同侧时，a，b离y轴越远，n﹣m越大，但取不到最大，当a，b在y轴两侧时，当a=−12，b=12时，n﹣m取到最小，最小值为14，因此，只有选项B正确，故选：B．25．（2020•衢州）二次函数y＝x2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（）A．向左平移2个单位，向下平移2个单位B．向左平移1个单位，向上平移2个单位C．向右平移1个单位，向下平移1个单位D．向右平移2个单位，向上平移1个单位【分析】求出平移后的抛物线的解析式，利用待定系数法解决问题即可．【解析】A、平移后的解析式为y＝（x+2）2﹣2，当x＝2时，y＝14，本选项不符合题意．B、平移后的解析式为y＝（x+1）2+2，当x＝2时，y＝11，本选项不符合题意．C、平移后的解析式为y＝（x﹣1）2﹣1，当x＝2时，y＝0，函数图象经过（2，0），本选项符合题意．D、平移后的解析式为y＝（x﹣2）2+1，当x＝2时，y＝1，本选项不符合题意．故选：C．26．（2020•宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1．则下列选项中正确的是（）A．abc＜0B．4ac﹣b2＞0C．c﹣a＞0D．当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y≥c【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故A错误；根据一次函数y＝ax2+bx+c （a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2﹣4ac＞0，求得4ac﹣b2＜0，故B错误；根据对称轴方程得到b＝2a，当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，于是得到c﹣a＜0，故C 错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，于是得到y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确．【解析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，又对称轴方程为x＝﹣1，所以−b2a＜0，所以b＞0，∴abc＞0，故A错误∵；∴一次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，故B错误；∵−b2a=−1，∴b＝2a，∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，∴a﹣2a+c＜0，∴c﹣a＜0，故C错误；当x＝﹣n2﹣2（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a（﹣n2﹣2）+b（﹣n2﹣2）＝an2（n2+2）+c，∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0，∴y＝an2（n2+2）+c≥c，故D正确，故选：D．二．填空题（共11小题）27．（2020•青岛）抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴交点的个数是2．【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质可以求得抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x ﹣k（k为常数）与x轴交点的个数，本题得以解决．【解析】∵抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数），∴当y＝0时，0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k，∴△＝[2（k﹣1）]2﹣4×2×（﹣k）＝4k2+4＞0，∴0＝2x2+2（k﹣1）x﹣k有两个不相等的实数根，∴抛物线y＝2x2+2（k﹣1）x﹣k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2．28．（2020•南京）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．【解析】①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，故答案为①②④．29．（2020•连云港）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x ﹣2，则最佳加工时间为 3.75min．【分析】根据二次函数的性质可得．【解析】根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，当x=−1.52×(−0.2)=3.75时，y取得最大值，则最佳加工时间为3.75min．故答案为：3.75．30．（2020•泰安）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的y与x的部分对应值如下表：x﹣5 ﹣4 ﹣2 0 2y 6 0 ﹣6 ﹣4 6下列结论：①a＞0；②当x＝﹣2时，函数最小值为﹣6；③若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＜y2；④方程ax2+bx+c＝﹣5有两个不相等的实数根．其中，正确结论的序号是①③④．（把所有正确结论的序号都填上）【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式，再根据二次函数的图象与系数之间的关系进行判断即可．【解析】将（﹣4，0）（0，﹣4）（2，6）代入y ＝ax 2+bx +c 得，{16a −4b +c =0c =−44a +2b +c =6，解得，{a =1b =3c =−4， ∴抛物线的关系式为y ＝x 2+3x ﹣4，a ＝1＞0，因此①正确；对称轴为x =−32，即当x =−32时，函数的值最小，因此②不正确；把（﹣8，y 1）（8，y 2）代入关系式得，y 1＝64﹣24﹣4＝36，y 2＝64+24﹣4＝84，因此③正确；方程ax 2+bx +c ＝﹣5，也就是x 2+3x ﹣4＝﹣5，即方x 2+3x +1＝0，由b 2﹣4ac ＝9﹣4＝5＞0可得x 2+3x +1＝0有两个不相等的实数根，因此④正确；正确的结论有：①③④，故答案为：①③④．31．（2020•哈尔滨）抛物线y ＝3（x ﹣1）2+8的顶点坐标为（1，8）．【分析】已知抛物线顶点式y ＝a （x ﹣h ）2+k ，顶点坐标是（h ，k ）．【解析】∵抛物线y ＝3（x ﹣1）2+8是顶点式，∴顶点坐标是（1，8）．故答案为：（1，8）．32．（2020•无锡）请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y 轴： y ＝x 2 ．【分析】根据形如y ＝ax 2的二次函数的性质直接写出即可．【解析】∵图象的对称轴是y 轴，∴函数表达式y ＝x 2（答案不唯一），故答案为：y ＝x 2（答案不唯一）．33．（2020•上海）如果将抛物线y ＝x 2向上平移3个单位，那么所得新抛物线的表达式是y＝x2+3．【分析】直接根据抛物线向上平移的规律求解．【解析】抛物线y＝x2向上平移3个单位得到y＝x2+3．故答案为：y＝x2+3．34．（2020•黔东南州）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，则当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．【分析】根据物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．【解析】∵物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x＝﹣1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为：﹣3＜x＜1．35．（2020•灌南县一模）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为（﹣1，4）．【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．【解析】∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3＝﹣（x+1）2+4，∴顶点坐标为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．36．（2020•无锡）二次函数y ＝ax 2﹣3ax +3的图象过点A （6，0），且与y 轴交于点B ，点M 在该抛物线的对称轴上，若△ABM 是以AB 为直角边的直角三角形，则点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．【分析】把点A （6，0）代入y ＝ax 2﹣3ax +3得，0＝36a ﹣18a +3，得到y =−16x 2+12x +3，求得B （0，3），抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32，设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD ⊥对称轴于D ，当∠M ′AB ＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．【解析】把点A （6，0）代入y ＝ax 2﹣3ax +3得，0＝36a ﹣18a +3，解得：a =−16， ∴y =−16x 2+12x +3， ∴B （0，3），抛物线的对称轴为x =−122×(−16)=32，设点M 的坐标为：（32，m ），当∠ABM ＝90°，过B 作BD ⊥对称轴于D ，则∠1＝∠2＝∠3，∴tan ∠2＝tan ∠1=63=2， ∴DM BD =2，∴DM ＝3，∴M （32，6），当∠M ′AB ＝90°，∴tan ∠3=M′N AN =tan ∠1=63=2， ∴M ′N ＝9，∴M ′（32，﹣9），综上所述，点M 的坐标为（32，﹣9）或（32，6）．37．（2020•乐山）我们用符号[x ]表示不大于x 的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x ]≤2时，x 的取值范围是 0≤x ≤2 ；（2）当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方．则实数a 的范围是 a ＜−1或a ≥32．【分析】（1）根据[x ]表示不大于x 的最大整数，解决问题即可．（2）由题意，构建不等式即可解决问题．【解析】（1）由题意∵﹣1＜[x ]≤2，∴0≤x ≤2，故答案为0≤x ≤2．（2）由题意：当﹣1≤x ＜2时，函数y ＝x 2﹣2a [x ]+3的图象始终在函数y ＝[x ]+3的图象下方，则有x ＝﹣1时，1+2a +3＜﹣1+3，解得a ＜﹣1，或x ＝2时，4﹣2a +3≤1+3，解得a ≥32，故答案为a ＜﹣1或a ≥32．三．解答题（共13小题）38．（2020•临沂）已知抛物线y ＝ax 2﹣2ax ﹣3+2a 2（a ≠0）．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；（2）根据顶点式求得得到坐标，根据题意得到关于a的方程解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式；（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值．【解析】（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．∴抛物线的对称轴为直线x＝1；（2）∵抛物线的顶点在x轴上，∴2a2﹣a﹣3＝0，解得a=32或a＝﹣1，∴抛物线为y=32x2﹣3x+32或y＝﹣x2+2x﹣1；（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），∴当a=32，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＝﹣1，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．39．（2020•衡阳）在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝x2+px+q的图象过点（﹣1，0），（2，0）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当﹣2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；（3）一次函数y＝（2﹣m）x+2﹣m的图象与二次函数y＝x2+px+q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a＜3＜b，求m的取值范围．【分析】（1）由二次函数的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，组成方程组再解即可求得二次函数的表达式；（2）求得抛物线的对称轴，根据图象即可得出当x＝﹣2，函数有最大值4；当x=1 2是函数有最小值−94，进而求得它们的差；（3）由题意得x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0，因为a＜2＜b，a≠b，△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜−1 2．【解析】（1）由二次函数y＝x2+px+q的图象经过（﹣1，0）和（2，0）两点，∴{1−p+q=04+2p+q=0，解得{p=−1q=−2，∴此二次函数的表达式y＝x2﹣x﹣2；（2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x=−1+22=12，∴在﹣2≤x≤1范围内，当x＝﹣2，函数有最大值为：y＝4+2﹣2＝4；当x=12是函数有最小值：y=14−12−2=−94，∴的最大值与最小值的差为：4﹣（−94）=254；（3）∵y＝（2﹣m）x+2﹣m与二次函数y＝x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为a和b，∴x2﹣x﹣2＝（2﹣m）x+2﹣m，整理得x2+（m﹣3）x+m﹣4＝0∵a＜3＜b∴a≠b∴△＝（m﹣3）2﹣4×（m﹣4）＝（m﹣5）2＞0 ∴m≠5∵a＜3＜b当x＝3时，（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，把x＝3代入（2﹣m）x+2﹣m＞x2﹣x﹣2，解得m＜−1 2∴m的取值范围为m＜−1 2．40．（2020•贵阳）2020年体育中考，增设了考生进入考点需进行体温检测的要求．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y（人）与时间x（分钟）的变化情况，数据如下表：（表中9～15表示9＜x≤15）时间x（分钟）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9～15 人数y（人）0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810 （1）根据这15分钟内考生进入考点的累计人数与时间的变化规律，利用初中所学函数知识求出y与x之间的函数关系式；（2）如果考生一进考点就开始测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，考生排队测量体温，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？（3）在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？【分析】（1）分两种情况讨论，利用待定系数法可求解析式；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x ＝7时，w 的最大值＝490，当9＜x ≤15时，210≤w ＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解．【解析】（1）由表格中数据的变化趋势可知，①当0≤x ≤9时，y 是x 的二次函数，∵当x ＝0时，y ＝0，∴二次函数的关系式可设为：y ＝ax 2+bx ，由题意可得：{170=a +b 450=9a +3b，解得：{a =−10b =180， ∴二次函数关系式为：y ＝﹣10x 2+180x ，②当9＜x ≤15时，y ＝810，∴y 与x 之间的函数关系式为：y ={−10x 2+180x(0≤x ≤9)810(9＜x ≤15)；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由题意可得：w ＝y ﹣40x ={−10x 2+140x(0≤x ≤9)810−40x(9＜x ≤15)， ①当0≤x ≤9时，w ＝﹣10x 2+140x ＝﹣10（x ﹣7）2+490，∴当x ＝7时，w 的最大值＝490，②当9＜x ≤15时，w ＝810﹣40x ，w 随x 的增大而减小，∴210≤w ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810﹣40x ＝0，解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m +2）≥810，解得m ≥118，∵m是整数，∴m≥118的最小整数是2，∴一开始就应该至少增加2个检测点．41．（2020•南京）小明和小丽先后从A地出发沿同一直道去B地．设小丽出发第xmin 时，小丽、小明离B地的距离分别为y1m、y2m．y1与x之间的函数表达式是y1＝﹣180x+2250，y2与x之间的函数表达式是y2＝﹣10x2﹣100x+2000．（1）小丽出发时，小明离A地的距离为250m．（2）小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近？最近距离是多少？【分析】（1）根据题意和函数解析式，可以计算出小丽出发时，小明离A地的距离；（2）根据题目中的函数解析式和题意，利用二次函数的性质，可以得到小丽出发至小明到达B地这段时间内，两人何时相距最近，最近距离是多少．【解析】（1）∵y1＝﹣180x+2250，y2＝﹣10x2﹣100x+2000，∴当x＝0时，y1＝2250，y2＝2000，∴小丽出发时，小明离A地的距离为2250﹣2000＝250（m），故答案为：250；（2）设小丽出发第xmin时，两人相距sm，则s＝（﹣180x+2250）﹣（﹣10x2﹣100x+2000）＝10x2﹣80x+250＝10（x﹣4）2+90，∴当x＝4时，s取得最小值，此时s＝90，答：小丽出发第4min时，两人相距最近，最近距离是90m．42．（2020•成都）在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y（单位：件）与线下售价x（单位：元/件，12≤x＜24）满足一次函数的关系，部分数据如下表：x（元/件）12 13 14 15 16y（件）1200 1100 1000 900 800（1）求y与x的函数关系式；。

初中数学【二次函数的图象与性质】练习题

初中数学【二次函数的图象与性质】练习题一．选择题1．若y＝（m+1）x是关于x 的二次函数，则m的值为（）A．﹣2B．1C．﹣2或1D．2或12．已知抛物线y＝x2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣3），则抛物线对应的函数解析式为（）A．y＝x2﹣2x+2B．y＝x2﹣2x﹣2C．y＝﹣x2﹣2x+1D．y＝x2﹣2x+1 3．二次函数y＝x2﹣ax+b的图象如图所示，对称轴为直线x＝2，下列结论不正确的是（）A．a＝4B．当b＝﹣4时，顶点的坐标为（2，﹣8）C．当x＝﹣1时，b＞﹣5D．当x＞3时，y随x的增大而增大4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中正确的是（）①abc＜0②b2﹣4ac＜0③2a＞b④（a+c）2＜b2A．1个B．2个C．3个D．4个5．抛物线y＝x2+6x+7可由抛物线y＝x2如何平移得到的（）A．先向左平移3个单位，再向下平移2个单位B．先向左平移6个单位，再向上平移7个单位C．先向上平移2个单位，再向左平移3个单位D．先向右平移3个单位，再向上平移2个单位6．将二次函数y＝x2﹣4x+a的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位．若得到的函数图象与直线y＝2有两个交点，则a的取值范围是（）A．a＞3B．a＜3C．a＞5D．a＜57．抛物线y＝﹣x2+4x﹣4与坐标轴的交点个数为（）A．0B．1C．2D．38．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：x﹣10234y50﹣4﹣30下列结论：①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y ＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则x1＜x2，其中正确的个数是（）A．2B．3C．4D．59．已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（）A．x1＜﹣1＜2＜x2B．﹣1＜x1＜2＜x2C．﹣1＜x1＜x2＜2D．x1＜﹣1＜x2＜2 10．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现给以下结论：①abc＜0；②c+2a＜0；③9a﹣3b+c＝0；④a﹣b≥m（am+b）（m为实数）；⑤4ac﹣b2＜0．其中错误结论的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．将二次函数y＝x2﹣4x+3通过配方可化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x+2）2+3D．y＝（x+2）2﹣1 12．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为（）A．1或﹣5B．﹣1或5C．1或﹣3D．1或313．抛物线y＝﹣2（x﹣1）2的图象上有三个点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1二．填空题14．已知二次函数的图象经过点P（2，2），顶点为O（0，0）将该图象向右平移，当它再次经过点P时，所得抛物线的函数表达式为．15．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△P AB的周长最小时，S△P AB＝．16．若二次函数y＝x2+bx﹣5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2+bx﹣5＝2x﹣13的解为．三．解答题17．一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，2），另一个交点是该二次函数图象的顶点（1）求k，a，c的值；（2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y＝ax2+c的图象相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W＝OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W 的最小值．答案一．选择题1----5CBCAA 6----10DCBAA 11----13ABD二．填空题y＝（x﹣4）214.15.16.x1＝2，x2＝417.解：（1）由题意得，k+4＝2，解得k＝﹣2，又∵二次函数顶点为（0，4），∴c＝4把（1，2）代入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则，∴W＝OA2+BC2＝∴当m＝1时，W取得最小值7。

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数学二次函数图像性质练习题
1、函数()2h x a y -=的图象与性质
1、抛物线()2321--=x y ，顶点坐标是，当x 时，y 随x 的增大而减小，函数有最值。

2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。

（1）右移2个单位；（2）左移3
2个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

3、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个）。

4、二次函数()2h x a y -=的图象如图：已知2
1=a ，OA=OC ，试求该抛物线的解析式。

5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为A ，与y 轴交点为B ，求A 、B 两点坐标及⊿AOB 的面积。

6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时，函数值增加6。

求：（1）求出此函数关系式。

（2）说明函数值y 随x 值的变化情况。

7、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上，求k 的值。

()k h x a y +-=2
的图象与性质 1、请写出一个以（2， 3）为顶点，且开口向上的二次函数：。

2、二次函数 y ＝(x －1)2＋2，当 x ＝时，y 有最小值。

3、函数 y ＝1
2 (x －1)2＋3，当 x 时，函数值 y 随 x 的增大而增大。

4、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向平移3个单位，再向平移2个单位得到。

5、已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0，则抛物线的关系式是
6、如图所示，抛物线顶点坐标是P （1，3），则函数y 随自变量x 的增大而减小的x 的取值范围是（）
A 、x>3
B 、x<3
C 、x>1
D 、x<1
7、已知函数()9232+--=x y 。

（1）确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）当x= 时，抛物线有最值，是。

（3）当x 时，y 随x 的增大而增大；当x 时，y 随x 的增大而减小。

（4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标及两交点间距离；
（5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标；
（6）该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的？
8、已知函数()412-+=x y 。

（1）指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（2）若图象与x 轴的交点为A 、B 和与y 轴的交点C ，求△ABC 的面积；
（3）指出该函数的最值和增减性；
（4）若将该抛物线先向右平移2个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式；
（5）该抛物线经过怎样的平移能经过原点。

（6）画出该函数图象，并根据图象回答：当x 取何值时，函数值大于0；当x 取何值时，函数值小于0。

c bx ax y ++=2的图象和性质
1、抛物线942++=x x y 的对称轴是。

2、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是，顶点坐标是。

3、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=-2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式。

4、将 y ＝x 2－2x ＋3 化成 y ＝a (x －h)2＋k 的形式，则 y ＝。

5、把二次函数215322
y x x 的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象的关系式是
6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为_______ __；
7、函数x x y +-=22有最__ __值，最值为______ _；
8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则b 与c 分别等于（）
A 、6，4
B 、－8，14
C 、－6，6
D 、－8，－14
9、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为（）
A 、22
B 、23
C 、32
D 、33
10、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）122
12+-=x x y ；（2）2832-+-=x x y ；（3）4412-+-=x x y
11、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。

12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和y 轴的交点坐标。

13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点，回答：（1）求一次函数的关系式；（2）判断点
2,5是否在这个一次函数的图象上。