七年级数学 整式的乘法平方差公式完全平方公式
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式
1. 完全平方公式：
完全平方公式是一个用于计算平方数的公式，它的形式为：
(a + b)²= a²+ 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出一个由两个实数a和b相加的数的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相加。
接着，你需要计算2ab，这个2ab的意思是a和b的乘积的两倍。
最后，将这些结果相加就得到了(a + b)²的值。
2. 平方差公式：
平方差公式是一个用于计算两个实数之差的平方的公式，它的形式为：
(a - b)²= a²- 2ab + b²
其中，a和b是任意实数。
这个公式的意思是，如果你想求出两个实数a和b之间的差的平方，那么你可以使用这个公式。
首先，将a²和b²分别计算出来，然后将它们相减。
接着，你需要计算-2ab，这个-2ab的意思是a和b的乘积的两倍的相反数。
最后，将这些结果相加就得到了(a - b)²的值。
这两个公式在数学中非常有用，它们可以帮助我们在计算中快速求出平方数和差的平方。
了解它们的含义和用法可以帮助我们更好地理解数学的基本概念。
初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22 23（1（24由（由5（a+b（a－a n－b n能被a－b整除,a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2n－b2n能被a+b及a－b整除。
二．例题精选例1．已知x、y满足x2+y2+54=2x+y,求代数式xyx y的值。
例2．整数x,y满足不等式x2+y2+1≤2x+2y,求x+y的值。
例3．同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:•第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b; 乙商场:两次提价的百分率都是2a b+(a>0,•b>0); 丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,•则哪个商场提价最多?说明理由. 例4．计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452.例5222()例6例7例8数.12A.x 3A 45(2)19492-19502+19512-19522+……+19972-19982+19992=_________。
6．已知a+1a=5,则=4221a a a ++=_____。
7．已知两个连续奇数的平方差为•2000,•则这两个连续奇数可以是______.8．已知a 2+b 2+4a -2b+5=0,则a ba b +-=_____.9．若代数式b x x +-62可化为1)(2--a x ，则b ﹣a 的值是． 10．已知a 、b 、c 均为正整数,且满足a 2+b 2=c 2,又a 为质数.证明:(1)b 与c 两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数. 参考答案： 一．例题精选例1．提示:由已知得(x-1)2+(y-12)2=0,得x=1,y=12,原式=13例2．原不等式可化为(x-1)2+(y-1)2≤1,且x 、y 为整数,(x-1)2≥0,(y-1)2≥0,•10x -=11x -=±10x -=解得x y =⎧⎨⎩例3例4．(2)设例5． 例6．P ＜Q ；差值法：P -例7．例8因(x 12+x 22+…+x 102)-(y 12+y 22…+y 102)=(x 12-y 12)+(x 22-y 22)+…+(x 102-y 102) =(x 1+y 1)(x 1-y 1)+(x 2+y 2)(x 2-y 2)+…+(x 10+y 10)(x 10-y 10) =9[(x 1+x 2+…+x 10)-(y 1+y 1+…+y 10)]=0二．同步练习9．121)(222-+-=--a ax x a x ，这个代数式于b x x +-62相等，因此对应的系数相等，即﹣2a ＝﹣6，解得a ＝3，b a =-12，将a ＝3代入得b ＝8，因此b ﹣a ＝5． 10．解:(1)因(c+b)(c-b)=a 2,又c+b 与c-b 同奇同偶,c+b>c-b,故a•不可能为偶质数2,a应为奇质数,c+b与c-b同奇同偶,b与c必为一奇一偶.(2)c+b=a2,c-b=1,两式相减,得2b=a2-1,于是2(a+b+1)=2a+2b+2=2a+a2-1+2=(a+1)2,为一完全平方数.。
7年级整式乘法——平方差与完全平方公式(二)
7年级整式乘法——平方差与完全平方公式（二）完全平方公式1．完全平方公式：①()2222a b a ab b +=++；②()2222a b a ab b -=-+．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 3．公式的推广：①()()()222a b a b a b --=-+=+⎡⎤⎣⎦；②()()()222a b a b a b -+=--=-⎡⎤⎣⎦； ③()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+；④()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++．平方差公式：(a+b)(a-b)＝a 2-b 22. （1）（3x+2）（3x-2） （2）（b+2a ）（2a-b ）3.()()()()4422b aba b a b a +++-＝ ；4.)32)(32(22y x y x -+5.)32)(32(n m n m ---6.)3)(3(xy z z xy ---7. （1） ； （2） ；公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。
(3) 公式中的 a 和b 可以是数，也（3） ；（4） ；8.先化简，再求值，其中9. (a －b ＋c)(a ＋b ＋c)10．已知()()227,4a b a b +=-=，求22a b +和ab 的值．11.计算：（1）()()x y z x y z +--+ （2）()22x y z +-13.1 ．计算：①()221m -- ②()()()22a b a b a b -+-③()2a b c +- ④()2220.43m n-（1）已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值．（2）已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值．（3）已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值．拓展小组1．已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值。
中山市七中七年级数学下册第2章整式的乘法2.2乘法公式2.2.3运用乘法公式进行计算课件新版湘教版3
学习目标
（1）会利用合并同类项的方法解一元一次方程，体 会等式变形中的化归思想.
（2）能够从实际问题中列出一元一次方程，进一步 体会方程模型思想的作用及应用价值.
推进新课 知识点1 合并同类项
数学小资料
约公元820年 , 中亚细亚数学家阿尔-花拉子米 写了一本代数书 , 重点论述怎样解方程.这本书的 拉丁文译本取名为【対消与还原]. 〞対消”与〞 还原”是什么意思呢 ？
探究新知
〔1〕(x+1)(x2+1)(x-1); 〔2〕(x+y+1)(x+y-1).
你能用简单的方法计算上面的式子吗？
(x + y + 1)(x + y-1) =[(x + y) + 1][(x + y)-1] = (x + y)2-1 = x2 + 2xy + y2-1
把 x+y 看做一个整体
运用乘法公式计算 : ( a + b + c )2 . 解: ( a + b + c )2
= [(a + b) + c]2 = (a + b)2 + 2c(a + b) + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 遇到多项式的乘法时 , 我们要先观察式子的特征 , 看 能否运用乘法公式 , 以到达简化运算的目的.
第一个数为x , 第二个数为 x
9
方程 x xx1701
3
93
七年级平方差、完全平方知识点与讲义
树人阁教育一对一个性化辅导教案第三讲、乘法公式知识点讲义知识点：(一）、平方差公式:（a+ｂ）(ａ-b)=b a 22- 两数 与这两 差的积,等于它们的 。
1、即:(a ＋b ）(a-b) = 相同符号项的平方 － 相反符号项的平方2、平方差公式可以逆用，即：b a 22-=（ａ＋b)（ａ-b ）。
3、能否运用平方差公式的判定①有两数和与两数差的积 即:(ａ+b ）(a －ｂ)或(ａ+b)(b-ａ)②有两数和的相反数与两数差的积 即:（－ａ-b)(a-ｂ)或(a+b)(ｂ－a) ③有两数的平方差 即:b a 22- 或a b 22+-(二）、完全平方公式：)(2b a +=a 2＋2ab+b 2 )(2b a -=a 2-２ab+b 2 两数和（或差）的平方，等于它们的 ，加上(或减去）它们的积的 。
1、完全平方公式也可以逆用，即a 2+2ab+b 2＝)(2b a + a 2－2ab+b 2=)(2b a - 2、能否运用完全平方式的判定①有两数和(或差）的平方即:)(2b a +或 )(2b a -或 )(2b a --或)(2b a +-②有两数平方,加上(或减去)它们的积的2倍,且两数平方的符号相同。
即:a 2+2ａｂ+b 2或a 2－2ab+b 2 a -2-2a ｂb -2或 a -2＋2a ｂ－b 2 基础训练:一、选择题1、下列各式中,能用平方差公式计算的是（ )ﻩA 、()()p q p q +--ﻩﻩ B 、()()p q q p -- Ｃ、(5)()x y y x +-335ﻩ D 、()()2332a b a b +- 2、与()72x y -之积等于y x4249-的因式为 （ ） ﻩＡ、(７x －y 2)ﻩﻩＢ、（7x ＋ｙ2） Ｃ、(－７ｘ-y ２) D 、(y 2－7x )3、下列等式能够成立的是 （ ）ﻩA 、()242222x y x x y y -=-+ﻩB 、()x y x y +=+222 ﻩＣ、()1214222a b a a b b -=-+ﻩＤ、()11222x x x x +=+ ４、要使式子4ａ2—12ａ 成为一个完全平方式的结果,则应加上 ( ）Ａ、3 ﻩ Ｂ、９ﻩﻩ C 、２．25 D 、1.55、()73322x +等于 ( ) A 、737322x x ++ﻩ B 、49972942x x ++ ﻩC 、4997942x x ++ﻩﻩﻩD 、7372942x x ++ ６、[][]()()()()x y x y x y x y +-+-所得结果是 ( ） ﻩＡ、x y 44- ﻩﻩ B 、x x y y 4224-+ C 、x ４+y 4 D 、x x yy 42242-+7、()a b -2加上如下哪一个后得()a b +2 ( ) A 、2ab ﻩﻩB 、３abﻩ C 、４ａb ﻩﻩ D 、0 ８、()()x y x x y y +++222等于( ） A 、x y 33+ﻩﻩＢ、x y 33- C 、()x y +3ﻩﻩD 、以上答案都不对 ９、下列各式不能用立方差公式计算的 ( )A 、()()-+-+aa a 112ﻩﻩB 、()(5)a a a 212552-++ C 、()()312932142a a a -++ D 、()()3312aa a +-+ 10、下面四个式子与(ａ-b )相乘所得的积中是二项式的有 （ ）①a +b ﻩ②a a b b 22++ ﻩ③a a b b 22-+ ﻩ④a a b b222-+ ﻩA 、①和④ﻩＢ、②和③ﻩ C 、①和② ﻩＤ、③和④ 二、填空题1、()()x y x y+=+33 2、a a b b a b 2223-+=-() 3、()()ab b a -=-121422 ４、()+=++m n 2245、()()4144983432233x x y y x y++=- ６、()()x x x -++=112227、()()x y x x y y n m n n m m +-+=22 8、(.)0222a a +=++9、()()()343422x y x y -+=+10、()()---+=x y x x y y 22解答题、1、四个连续偶数a 、b 、c 、d 中最后一个数是第m ＋2个正偶数,如果b d a c -=412,求这四个数2、已知x y x y +=-=1016，求下列各式的值ﻩ求①x y 22+ﻩ ②()x y -2ﻩﻩ③()()x y ++22④x x yy 22-+3、13122a a a a +=+求４、1)1)(1)(1)(12(222842+++++5、b ab b 22a .6,5a +-=-=+求已知：。
整式运算——平方差与完全平方
整式之平方差和完全平方整式的加减 同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方幂 同底数幂的除法、零指数和负整数指数幂单项式乘以单项式 整式及其运算乘法分配律 整式的乘法 单项式乘以多项式乘法分配律多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方公式 单项式除以单项式整式的除法乘法分配律多项式除以单项式平方差公式与完全平方公式 一、 公式透析平方差公式：22))((b a b a b a -=-+特点是相乘的两个二项式中，a 表示的是完全相同的项，+b 和-b 表示的是互为相反数的两项。
所以说，两个二项式相乘能不能用平方差公式，关键看是否存在两项完全相同的项，两项互为相反数的项。
完全平方公式：2222)(b ab a b a +±=±注意不要漏掉2ab 项 例1. 填空题： (1)()()a a +-=11 (2)()()33a b a b -+= (3)()()mbm b -+=22(4)()()x x +=-392(5)()()a a+=-5252(6)()()---=3535x y x y(7)()()---=a b b a 2332例2. 计算题： (1)()a212-(2)()-+25232a b(3)()--34222m n(4) ()()231231a b a b --++(5)()()()x y x y x y --+24222(6)()232a b --例3. 计算()()x x 252522+--例4. 化简()()()()212121211248+++++________________。
注意：由乘法公式我们不难得出下面几个公式变形的式子 ①a b ab a b 2222+=+-() ②a b ab a b 2222+=-+() ③()()ab ab a b+--=224④()()ab ab a b+=-+224 这些式子可使许多有关多项式乘法的解题过程变得简捷巧妙，提高思维的创造力。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
平方差公式与完全平方公式
平方差公式与完全平方公式首先介绍平方差公式。
平方差公式是指两个数之差的平方可以表示为两个数的平方的差。
具体而言，如果有两个数a和b，那么它们的平方差公式可以表示为(a-b)(a+b)=a^2-b^2、即一个数的平方减去另一个数的平方等于这两个数之差的乘积。
(a-b)(a+b) = a(a+b) - b(a+b) = a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 -b^2例如，如果我们要计算64和25之间的差的平方，我们可以利用平方差公式：(64-25)(64+25)=64^2-25^2=3999下面我们来介绍完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以表示为一个平方的形式。
具体而言，如果有一个二次多项式ax^2+bx+c，其中a、b、c都是实数，并且a不等于0，那么它可以表示为一个完全平方的形式，即(a^2(x+d)^2)+e，其中d和e是实数。
完全平方公式的推导可以通过配方法来证明。
具体而言，我们有：ax^2+bx+c = a(x^2+(b/a)x+(c/a)) = a((x^2+(b/a)x+(b/2a)^2) + (c/a-(b/2a)^2)) = a(x+(b/2a))^2 + (c/a-(b/2a)^2)例如，如果我们有一个二次多项式x^2+6x+9，我们可以使用完全平方公式将其表示为(x+3)^2、因为(x+3)^2=x^2+6x+9，所以这两个表达式是等价的。
完全平方公式在高等数学和代数运算中也有广泛的应用。
在求解二次方程的根时，我们可以使用完全平方公式来简化计算，将二次方程表示为一个平方的形式。
它还可以用于求解三角恒等式和简化代数表达式。
综上所述，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个公式，它们在代数运算和高等数学中有广泛的应用。
掌握这两个公式可以帮助我们简化计算过程，解决问题，并扩展数学思维的能力。
七年级数学下册第一章整式的乘除知识归纳
第一章整式的运算单项式 整 式多项式同底数幂的乘法幂的乘方 积的乘方幂运算 同底数幂的除法零指数幂负指数幂 整式的加减单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法 多项式与多项式相乘整式运算 平方差公式完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法：整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质：1、同底数幂的乘法：a m ﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（a m ）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n =a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：a m ÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂：1、零指数幂：a 0=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：1(0)p p a a a -=≠p 是正整数。
七、整式的乘除法：1、单项式乘以单项式：整 式 的 运 算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
整式及乘法公式
第一讲 整式及乘法公式第一部分 知识梳理一、基本概念1．同底数幂乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即n m n m a a a +=⋅（m 、n 都是正整数） 2．幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即()mn nm a a =（m 、n 都是正整数）3．积的乘方积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即()nn nb a ab = （n为整数）二、平方差公式及完全平方公式（1）平方差公式：（a+b ）（a-b ）=a 2-b 2；（2）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2;（a-b ）2=a 2-2ab+b 2，其中a 、b 可以是正数，也可以是负数，既可以是单项式，也可以是多项式。
三、整式的乘法1．单项式相乘，把它们的________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则________．2．单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘________，再把所得的积________． 3．多项式与多项式相乘，先用________乘以________，再把所得的积________．第二部分 例题与解题思路方法归纳【例题1】 阅读下列材料：一般地，n 个相同的因数a 相乘个n a a a ⋯⋅记为a n ．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 28（即log 28=3）．一般地，若a n=b （a ＞0且a ≠1，b ＞0），则n 叫做以a 为底b 的对数，记为log a b （即log a b=n ）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 381（即log 381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=，log216=，log264=．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．〖选题意图〗本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．〖解题思路〗首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．〖参考答案〗解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．【课堂训练题】1．已知2a•5b=2c•5d=10，求证：（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．〖参考答案〗证明：∵2a•5b=10=2×5，∴2a﹣1•5b﹣1=1，∴（2a﹣1•5b﹣1）d﹣1=1d﹣1，①同理可证：（2c﹣1•5d﹣1）b﹣1=1b﹣1，②由①②两式得2（a﹣1）（d﹣1）•5（b﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1）•5（d﹣1）（b﹣1），即2（a﹣1）（d﹣1）=2（c﹣1）（b﹣1），∴（a﹣1）（d﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）．2．若a m=a n（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m=n．你能利用上面的结论解决下面的2个问题吗？试试看，相信你一定行！①如果2×8x×16x=222，求x的值；②如果（27﹣x）2=38，求x的值．〖参考答案〗解：（1）∵2×8x×16x=21+3x+4x=222，∴1+3x+4x=22，解得，x=3（2）∵（27﹣x）2=3﹣6x=38，∴﹣6x=8，解得x=﹣【例题2】设m=2100，n=375，为了比较m与n的大小。
七年级数学8.3平方差公式与完全平方公式讲解与例题
8.3 完全平方公式与平方差公式1．了解乘法公式的几何背景，掌握公式的结构特征，并能熟练运用公式进行简单的计算．2．感受生活中两个乘法公式存在的意义，养成“观察—归纳—概括”的数学能力，体会数形结合的思想方法，提高学习数学的兴趣和运用知识解决问题的能力，进一步增强符号感和推理能力．1．完全平方公式(1)完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a－b)2＝a2－2ab＋b2.上式用语言叙述为：两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和加(或减)这两个数乘积的2倍．(2)完全平方公式的证明：(a±b)2＝(a±b)(a±b)＝a2±ab±ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2±2ab＋b2(合并同类项)．(3)完全平方公式的特点：①左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．可简单概括为“首平方，尾平方，积的2倍夹中央”．②公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式．③对于符合两数和(或差)的平方的乘法，均可用上述公式计算．【例1－1】用完全平方公式计算(1)(x＋2y)2；(2)(2a－5)2；(3)(－2s＋t)2；(4)(－3x－4y)2；(5)(2x＋y－3z)2.分析：第(1)、(2)两题可直接用和、差平方公式计算；第(3)题可先把它变成(t－2s)2，然后再计算，也可以把－2s看成一项，用和平方公式计算；第(4)题可看成－3x与4y差的平方，也可以看成－3x与－4y和的平方；(5)可把2x＋y看成一项，用差平方公式计算，然后再用和平方公式计算，也可以把它看成2x与y－3z的和平方，再用差平方公式计算．解：(1)(x＋2y)2＝x2＋2·x·2y＋(2y)2＝x2＋4xy＋4y2；(2)(2a－5)2＝(2a)2－2·2a·5＋52＝4a2－20a＋25；(3)(－2s ＋t )2＝(t －2s )2＝t 2－2·t ·2s ＋(2s )2＝t 2－4ts ＋4s 2；(4)(－3x －4y )2＝(－3x )2－2·(－3x )·4y ＋(4y )2＝9x 2＋24xy ＋16y 2；(5)(2x ＋y －3z )2＝[2x ＋(y －3z )]2＝(2x )2＋2·2x ·(y －3z )＋(y －3z )2＝4x 2＋4xy －12xz ＋y 2－2·y ·3z ＋(3z )2＝4x 2＋y 2＋9z 2＋4xy －12xz －6yz .(1)千万不要与公式(ab )2＝a 2b 2混淆，发生类似(a ±b )2＝a 2±b 2的错误；(2)切勿把“乘积项”2ab 中的2漏掉；(3)计算时，应先观察所给题目的特点是否符合公式的条件，如符合，则可以直接套用公式进行计算；如不符合，应先变形，使其具备公式的结构特点，再利用公式进行计算，如变形后仍不具备公式的结构特点，则应运用乘法法则进行计算．此外，在运用公式时要灵活，如第(4)题，由于(－3x －4y )2与(3x ＋4y )2是相等关系，故可以把(－3x －4y )2转化为(3x ＋4y )2，再进行计算，再如(5)题，也有许多不同的方法．(4)完全平方公式的几何解释．如图是对(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2几何意义的阐释．大正方形的面积可以表示为(a ＋b )2，也可以表示为S ＝S Ⅰ＋S Ⅱ＋S Ⅲ＋S Ⅳ，又S Ⅲ，S Ⅰ，S Ⅳ，S Ⅱ分别等于a 2，ab ，ab ，b 2，所以S ＝a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2.如图是对(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2几何意义的阐释．正方形Ⅰ的面积可以表示为(a －b )2，也可以表示为S Ⅰ＝S 大－S Ⅱ－S Ⅳ＋S Ⅲ，又S 大，S Ⅱ，S Ⅲ，S Ⅳ分别等于a 2，ab ，b 2，ab ，所以SⅠ＝a 2－ab －ab ＋b 2＝a 2－2ab ＋b 2.从而验证了完全平方公式(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.【例1－2】下图是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中的空白部分面积的不同表示方法，写出一个关于a ，b 的恒等式：__________________.解析：根据图中的面积写一个恒等式，需要用两种方法表示空白正方形的面积．首先观察大正方形是由四个矩形和一个空白正方形组成，所以空白正方形的面积等于大正方形的面积减去四个矩形的面积，即(a ＋b )2－4ab ，空白正方形的面积也等于它的边长的平方，即(a－b )2，根据面积相等有(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2.答案：(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )22．平方差公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.上式用语言叙述为：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．(2)平方差公式的证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab＋b2(多项式乘多项式)＝a2－b2(合并同类项)．(3)平方差公式的特点：①左边是两个二项式相乘，这两项中有一项完全相同，另一项互为相反数；②右边是乘式中两项的平方差(相同项的平方减去互为相反数项的平方)；③公式中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．利用此公式进行乘法计算时，应仔细辨认题目是否符合公式特点，不符合平方差公式形式的两个二项式相乘，不能用平方差公式．如(a＋b)(a－2b)不能用平方差公式计算．【例2－1】计算：(1)(3x＋2y)(3x－2y)；(2)(－m＋n)(－m－n)；(3)(－2x－3)(2x－3)．分析：(1)本题符合平方差公式的结构特征，其中3x对应“a”，2y对应“b”；(2)题中相同项为－m，互为相反数的项为n与－n，故本题也符合平方差公式的结构特征；(3)利用加法交换律将原式变形为(－3＋2x)(－3－2x)，然后运用平方差公式计算．解：(1)(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2.(2)(－m＋n)(－m－n)＝(－m)2－n2.(3)(－2x－3)(2x－3)＝(－3＋2x)(－3－2x)＝(－3)2－(2x)2＝9－4x2.利用公式计算，关键是分清哪一项相当于公式中的a，哪一项相当于公式中的b，通常情况下，为防止出错，利用公式前把相同项放在前面，互为相反数的项放在后面，然后套用公式．(4)平方差公式的几何解释如图，阴影部分的面积可以看成是大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2－b2；若把小长方形Ⅲ旋转到小长方形Ⅳ的位置，则此时的阴影部分的面积又可以看成SⅠ＋SⅢ＝SⅠ＋SⅣ＝(a＋b)(a－b)．从而验证了平方差公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2.【例2－2】下图由边长为a和b的两个正方形组成，通过用不同的方法，计算图中阴影部分的面积，可以验证的一个乘法公式是____________________．分析：要表示阴影部分的面积，可以从两个方面出发：一是观察阴影部分是由边长为a的正方形除去边长为b 的正方形得到的，所以它的面积等于a 2－b 2；二是阴影部分是由两个直角梯形构成的，所以它的面积又等于两个梯形的面积之和．这两个梯形的面积都等于12(b＋a )(a －b )，所以梯形的面积和是(a ＋b )(a －b )，根据阴影部分的面积不变，得(a ＋b )(a－b )＝a 2－b 2.因此验证的一个乘法公式是(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2.答案：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b23．运用乘法公式简便计算平方差公式、完全平方公式不但是研究整式运算的基础，而且在许多的数字运算中也有广泛地运用．不少数字计算题看似与平方差公式、完全平方公式无关，但若根据数字的结构特点，灵活巧妙地运用平方差公式、完全平方公式，常可以使运算变繁为简，化难为易．解答此类题，关键是分析数的特点，看能否将数改写成两数和的形式及两数差的形式，若改写成两数和的形式乘以两数差的形式，则用平方差公式；若改写成两数和的平方形式或两数差的平方形式，则用完全平方公式．【例3】计算：(1)2 0132－2 014×2 012；(2)1032；(3)1982.分析：(1)2 014＝2 013＋1,2 012＝2 013－1，正好符合平方差公式，可利用平方差公式进行简便运算；(2)可将1032改写为(100＋3)2，利用两数和的平方公式进行简便运算；(3)可将1982改写为(200－2)2，利用两数差的平方公式进行简便运算．解：(1)2 0132－2 014×2 012＝2 0132－(2 013＋1)×(2 013－1)＝2 0132－(2 0132－12)＝2 0132－2 0132＋1＝1.(2)1032＝(100＋3)2＝1002＋2×100×3＋32＝10 000＋600＋9＝10 613.(3)1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204. 4．利用乘法公式化简求值求代数式的值时，一般情况是先化简，再把字母的值代入化简后的式子中求值．在化简的过程中，合理地利用乘法公式能使整式的运算过程变得简单．在代数式化简过程中，用到平方差公式及完全平方公式时，要特别注意应用公式的准确性．【例4】先化简，再求值：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2，其中m ＝－2，n ＝15.解：5(m ＋n )(m －n )－2(m ＋n )2－3(m －n )2＝5(m 2－n 2)－2(m 2＋2mn ＋n 2)－3(m 2－2mn ＋n 2)＝5m 2－5n 2－2m 2－4mn －2n 2－3m 2＋6mn －3n 2＝－10n 2＋2mn .当m ＝－2，n ＝15时，原式＝－10n2＋2mn ＝－10×⎝ ⎛⎭⎪⎫152＋2×(－2)×15＝－65.5．乘法公式的运用技巧一些多项式的乘法或计算几个有理数的积时，表面上看起来不能利用乘法公式，实际上经过简单的变形后，就能直接运用乘法公式进行计算了．有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便．在运用平方差公式时，注意以下几种常见的变化形式：①位置变化：(b＋a)(－b＋a)＝a2－b2.②符号变化：(－a＋b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2.③系数变化：(0.5a＋3b)(0.5a－3b)＝(0.5a)2－(3b)2.④指数变化：(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a4－b4.⑤增项变化：(a－b－c)(a－b＋c)＝(a－b)2－c2，(a＋b－c)(a－b＋c)＝a2－(b－c)2.⑥增因式变化：(a＋b)(a－b)(－a－b)(－a＋b)＝(a2－b2)(a2－b2)＝(a2－b2)2.⑦连用公式变化：(a－b)(a＋b)(a2＋b2)(a4＋b4)＝a8－b8.【例5－1】计算：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)；(2)(m－2n＋p)2；(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2.解：(1)(a＋b＋1)(a＋b－1)＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝(a＋b)2－1＝a2＋2ab＋b2－1.(2)(m－2n＋p)2＝[(m－2n)＋p]2＝(m－2n)2＋2·(m－2n)·p＋p2＝m2－4mn＋4n2＋2mp－4np＋p2.(3)(2x－3y)2(2x＋3y)2＝[(2x－3y)(2x＋3y)]2＝(4x2－9y2)2＝(4x2)2－2×4x2×9y2＋(9y2)2＝16x4－72x2y2＋81y4.在运用平方差公式时，应分清两个因式是否是两项之和与差的形式，符合形式才可以用平方差公式，否则不能用；完全平方公式就是求一个二项式的平方，其结果是一个三项式，在计算时不要发生：(a＋b)2＝a2＋b2或(a－b)2＝a2－b2这样的错误；当因式中含有三项或三项以上时，要适当的分组，看成是两项，从而应用平方差公式或完全平方公式．【例5－2】计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)的值．分析：为了能便于运用平方差公式，观察到待求式中都是和的形式，没有差的形式，可设法构造出差的因数，于是可乘以(2－1)，这样就可巧妙地运用平方差公式了．解：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝(24－1)(24＋1)(28＋1)…(22n＋1)＝…＝(22n－1)(22n＋1)＝24n－1.6．乘法公式的实际应用 在解决生活中的实际问题时，经常把其中的一个量或几个量先用字母表示，然后列出相关式子，进而化简，这往往涉及到整式的运算．解题时，灵活运用乘法公式，往往能事半功倍，使问题得到快速解答．【例6】一个正方形的边长增加3 cm ，它的面积就增加39 cm 2，这个正方形的边长是多少？分析：如果设原正方形的边长为x cm ，根据题意和正方形的面积公式可列出方程(x ＋3)2＝x 2＋39，求解即可．解：设原正方形的边长为x cm ，则(x ＋3)2＝x 2＋39，即x 2＋6x ＋9＝x 2＋39，解得x ＝5(cm)． 故这个正方形的边长是5 cm. 7．完全平方公式的综合运用学习乘法公式应注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”，注意为使用公式创造条件．(1)完全平方公式变形后可得到以下一些新公式： ①a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b )2＋2ab ；③(a ＋b )2＝(a －b )2＋4ab ；④(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ；⑤(a ＋b )2＋(a －b )2＝2(a 2＋b 2)；⑥(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab 等．在公式(a ±b )2＝a 2±2ab ＋b 2中，如果把a ＋b ，ab 和a 2＋b 2分别看做一个整体，则知道了其中两个就可以求第三个．(2)注意公式的逆用不仅会熟练地正用公式，而且也要求会逆用公式，乘法公式均可逆用，特别是完全平方公式的逆用——a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2，a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2.【例7－1】已知a 2＋b 2＋4a －2b ＋5＝0，则a ＋b a －b的值是__________．解析：原等式可化为(a 2＋4a ＋4)＋(b 2－2b ＋1)＝0，即(a ＋2)2＋(b －1)2＝0，根据非负数的特点知a ＋2＝0且b －1＝0，从而可知a ＝－2且b ＝1.然后将其代入求a ＋ba －b的值即可．答案：13【例7－2】已知a ＋b ＝2，ab ＝1，求a 2＋b 2的值．分析：利用完全平方公式有(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，把2ab 移到等式的左边，可得(a ＋b )2－2ab ＝a 2＋b 2，然后代入求值即可．解：∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2aB ．∵a ＋b ＝2，ab ＝1，∴a 2＋b 2＝22－2×1＝2.涉及两数和或两数差及其乘积的问题，就要联想到完全平方公式．本题也可从条件出发解答，如因为a ＋b ＝2，所以(a ＋b )2＝22，即a 2＋2ab ＋b 2＝4.把ab ＝1代入，得a 2＋2×1＋b 2＝4，于是可得a 2＋b 2＝4－2＝2.。
平方差公式和完全平方公式
平方差公式和完全平方公式在数学中，平方差公式和完全平方公式是两个重要的公式，它们在代数中的运用频繁，能够帮助我们简化计算和解决问题。
本文将介绍这两个公式的定义、应用以及推导过程。
一、平方差公式平方差公式是指两个数的平方差等于它们的积与和的差。
具体表达如下：a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)其中，a、b为任意实数。
平方差公式的应用可以帮助我们快速计算平方差，以及解决一些与平方差相关的问题。
例如，考虑以下例子：例1：计算 16^2 - 9^2 的值。
根据平方差公式，我们可以将该式转化为 (16 + 9)(16 - 9)。
进一步计算可得= 25 × 7= 175因此，16^2 - 9^2 的值为 175。
平方差公式也可以用于因式分解和方程求解等问题。
通过将平方差公式进行变形，可以将复杂的表达式进行简化。
二、完全平方公式完全平方公式是指一个二次多项式能够被写成两个平方项的和的形式。
具体表达如下：(a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2其中，a、b为任意实数。
完全平方公式的应用范围广泛，涉及到二次函数、方程、因式分解等等。
以下是一些例子：例2：将 x^2 - 6x + 9 表示为完全平方形式。
我们可以观察到该式可以写成 (x - 3)^2 的形式，其中 a = x，b = -3。
这样，我们就可以利用完全平方公式进行简化和计算。
例3：解方程 x^2 + 6x + 9 = 0同样地，我们可以将该方程改写为 (x + 3)^2 = 0 的形式。
根据完全平方公式，这意味着 x + 3 = 0 或 x = -3。
因此，方程的解为 x = -3。
总结：平方差公式和完全平方公式在代数中起到了重要的作用，能够帮助我们简化计算和解决问题。
我们可以通过灵活运用这两个公式来化简表达式、因式分解、解方程等。
熟练掌握平方差公式和完全平方公式，对理解和应用代数知识都有很大帮助。
七年级数学平方差与完全平方公式
1、 有些多项式的乘法不能直接应用此公式()()22a b a b a b +-=-进行计算，需经简单变形后方可应用，常用的变形有： ①位置变化：如：12212332a b b a ⎛⎫⎛⎫+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=21213232b a b a ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭= ②符号变化：如：()()()()32323232x y x y x y x y ---=-+- ③系数变化：如：()()()()1144422a b a b a b a b +-=⨯+-④相同项结合，相反项结合：如()()()()23232323x y z x y z x y z x y z +--+=+---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⑤根据题目特点，创造条件，灵活变形，巧妙应用公式： 如：()()()()()()35235835353535a b c a b c a c c b c b a b ----+=-+----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦2、对()2222a b a ab b +=++ 或 ()2222a b a ab b -=-+常见的恒等变形、：①()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+②()()224a b a b ab +=-+ ③()()224a b a b ab -=+-④()()224a b a b ab +--=3、乘法公式也可以逆用，逆用后的计算可能更为简便。
如：()()()()()()22232323232323x x x x x x +--=++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ =4x 6=24x例1、计算：(1) ()()22222323xyxy+-(2) 22112222x x ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整式的乘法公式平方差公式 完全平方公式(3)、22421113a b 3a b 9a b 224⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）、()()()2222x 1x 1x 1+-+例2、利用乘法公式计算： (1)19992001⨯ (2)21997199719981996-⨯ ⑵ 20032例3、 化简求值：(1)()()()()()()222222x x y x y x x y y ⎡⎤-+--++---⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中11,2x y =-=检测、作业1、填空题（1） (b + a)(b －a) = _______________, (x －2) (x + 2) = _________________；（2） (3a + b) (3a －b) =________________, (2x 2－3) (－2x 2－3) = ______________________； （3） 2294)3)(______3(______________,__________)2132)(2132(b a b b a a -=-+=-+（4） (x + y)2=_________________，(x －y)2=______________________； （5）______________________)2(_________,__________)3(22=+-=-b a b a（6）41________)21(22+=-x x（7）(3x + ________)2=__________+ 12x + ____________；（8）_________________________)2(__,__________)()(222=--+-=+y x b a b a ； （9） (x 2－2)2－(x 2 + 2)2 = _________________________；2、计算题(写过程)（1）)5)(5(33m n n m -+ （2）)2.02)(22.0(x y y x -+ （3）)1)(1(---xy xy（4）2)2332(y x -（5）22)2()2(a b b a -++ （6）)1)(1)(1(2--+m m m（7）22)2()2(n m n m -+ （8）22)23()32(+-+x x （9）2)32(z y x +-3、用简便方法计算(写过程) ⑴ 92×88 ⑵ 32593160⨯ ⑶225.365.38- ⑷2220012003-（5） 982（6） 13.42－2×13.4 + 3.424、计算)13)(13)(13)(13)(13(16842+++++5、已知x + y = a , xy = b ,求(x －y) 2 ，x 2 + y 2 ，x 2－xy + y 2的值6、已知3)()1(2-=+-+y x x x ，求xy y x -+222的值第二课时：（一）、复习整式的乘法公式 （二）、随堂练习、讲评： 1、填空题（1） (x + y) (－x + y) = ______________, (－7m －11n) (11n －7m) = ____________________； （2） _____________________)2)(4)(2(___,__________)2)(2(2=++-=---a a a y x x y ；2、计算(1))23)(23(2222b a ab b a ab ++- (2) )1)(1)(1(2++-a a a(3) )132)(132(++--y x y x (4)()()x y z x y z ++--(5) ()()2525x y z x y z +-+-++ (6)22222210099989721-+-++-(7)()()()()243221212121++++ (8)22221111111123410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（三）、拓展提高例1()()323388418841x x x x x x +++-+- 其中12x =例2解不等式：()()()()3434923x x x x +-≤-+例3、解方程组：()()()()223223x y x y x y x y -=⎧⎪⎨+--=+-⎪⎩例4、设m 、n 为自然数，且满足：2222221299n m =++++，求n 的值。
初中数学 什么是整式的完全平方公式
初中数学什么是整式的完全平方公式完全平方公式是指将一个二次整式表示为一个平方的形式。
这个公式在解决整式的乘法分解、因式分解和求根等问题时非常有用。
下面是一个详细的解释和推导完全平方公式的过程。
假设我们有一个二次整式f(x)，表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c是实数常数。
要将f(x)表示为一个平方的形式，我们可以使用完全平方公式。
完全平方公式的一般形式是：(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2我们可以将这个公式推广到二次整式的情况，得到完全平方公式：f(x) = (mx + n)^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2其中m和n是实数常数。
现在，我们来推导完全平方公式的过程。
我们希望将二次整式f(x) = ax^2 + bx + c表示为一个平方的形式。
我们将f(x)视为一个平方的形式，即f(x) = (px + q)^2，其中p和q是实数常数。
展开右边的平方形式，我们得到：(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2我们可以观察到，f(x)和(px + q)^2有相同的二次项和常数项。
根据二次项的系数，我们可以得到：a = p^2根据常数项，我们可以得到：c = q^2根据一次项的系数，我们可以得到：b = 2pq通过联立解这些方程，我们可以求解出p和q的值，进而得到完全平方公式的形式。
例子：考虑二次整式f(x) = x^2 + 6x + 9。
我们希望将它表示为一个平方的形式。
我们尝试将f(x)表示为(px + q)^2，其中p和q是实数常数。
展开(px + q)^2，我们得到：(px + q)^2 = p^2x^2 + 2pqx + q^2我们可以观察到，f(x)和(px + q)^2有相同的二次项和常数项。
根据二次项的系数，我们得到：1 = p^2根据常数项，我们得到：9 = q^2根据一次项的系数，我们得到：6 = 2pq通过联立解这些方程，我们可以求解出p和q的值：p = 1q = 3所以，f(x) = x^2 + 6x + 9可以表示为一个平方的形式：f(x) = (x + 3)^2这就是完全平方公式的应用。
初中数学乘法公式
乘法公式概念总汇1、平方差公式平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，即 （a+b ）（a-b ）=a 2-b 2说明：（1）几何解释平方差公式如右图所示：边长a 的大正方形中有一个边长为b 的小正方形。
第一种：用正方形的面积公式计算：a 2－b 2；第二种：将阴影部分拼成一个长方形，这个长方形长为（a ＋b ），宽为（a －b ）， 它的面积是：（a ＋b ）（a －b ）结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一块阴影部分的面积。
所以：a 2－b 2＝（a ＋b ）（a －b ）。
（2）在进行运算时，关键是要观察所给多项式的特点，是否符合平方差公式的形式，即只有当这两个多项式它们的一部分完全相同，而另一部分只有符合不同，才能够运用平方差公式。
平方差公式的a 和b ，可以表示单项式，也可以表示多项式，还可以表示数。
应用平方差公式可以进行简便的多项式乘法运算，同时也可以简化一些数字乘法的运算 2、完全平方公式完全平方公式：两个数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们积的两倍，即（a+b ）2=a 2+2ab+b 2，（a-b ）2=a 2-2ab+b 2这两个公式叫做完全平方公式。
平方差公式和完全平方公式也叫做乘法公式 说明：（1）几何解释完全平方（和）公式 如图用多种形式计算右图的面积 第一种：把图形当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a ＋b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的长方形来看，其中大正方形的的边长是a ，小正方形 的边长是b ，长方形的长是a ，宽是b ，所以它的面积就是：a 2＋ab ＋ab ＋b 2＝a 2＋2ab ＋b 2结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积 所以：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b2 （2）几何解释完全平方（差）公式 如图用多种形式计算阴影部分的面积 第一种：把阴影部分当做一个正方形来看，所以 它的面积就是：（a-b ）2第二种：把图形分割成由2个正方形和2个相同的 长方形来看，长方形小正方形大正方形阴影S S S S ⨯=2--其中大正方形的的边长是a ，小正方形的边长是b ，长方形的长是（a-b ），宽是b ，所以 它的面积就是：()222222b ab a b b a b a +-=⋅-⋅--结论：第一种和第二种相等，因为表示的是同一个图形的面积所以：()2222bab a b a +-=-（3）在进行运算时，防止出现以下错误：（a+b ）2=a 2+b 2，（a-b ）2=a 2-b 2。
(完整版)完全平方公式和平方差公式
新瑞英无忧晚托七年级数学考试必备讲义
一、课程回顾
完全平方公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍。
222()2a b a ab b +=++
222()2a b a ab b -=-+
例：计算22()(2)a b a b +--
完全平方公式逆运算: 2222()a ab b a b ±+=±
例:计算2816x
x -+
平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差。
22()()a b a b a b +-=-
平方差公式逆运算：
22()()a b a b a b -=+- 例：1、计算2249x y -
= + + +
练习：
1、若241x kx ++是一个完全平方式，则k= ；若2412x x k -+是一个完全平方式,则
k= .
2、计算
（1）281x - (2)4416x y - （3）2412x x --
（4）21(99)2- （5）（2-b ）（-2-b ） （6)
248(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)+1
3、从前有一个很狡猾的地主把一块边长是a 米的正方形地租给一个农民，到了第二年他告诉这个农民说：“我把这块地的一边去掉4米，另一边加上4米，这样你租的地面积并没有变，所以你没有吃亏。
"这个农民想了想，觉得并没有吃亏就答应了。
你同意地主的说法吗?。
2020版七年级数学下册 第2章 整式的乘法 2.2 乘法公式 2.2.2 完全平方公式课件 (新版
2.观察上述各式和计算结果,发现的规律是: (1)两个数的和的平方,等于它们的___平__方____和 ___加____上它们的___积____的___2___倍.用字母表示为 (a+b)2=____a_2+_2_a_b_+__b_2 _.
(2)两个数的差的平方,等于它们的___平__方____和 ___减____去它们的___积____的___2___倍.用字母表示为 (a-b)2=____a_2-_2_a_b_+_b_2__.
1252 123127 1252 （125 2）（125 2）
1002 400 4 10 404 1252 1252 4 4 2 601.
【题组训练】 1.用完全平方公式计算1.9992的最佳选择是( C ) A.(1+0.999)2 B.(10-8.001)2 C.(2-0.001)2 D.(1+0.001)×(1-0.001)
2.2.2 完全平方公式
【知识再现】 1.平方差公式:两个数的___和____与这两个数的___差____ 的积等于这两个数的___平__方__差____. 2.平方差公式用字母表示为:(a+b)(a-b)=___a_2-_b_2___.
【新知预习】阅读教材P44【动脑筋】和【做一做】, 解决以下问题: 1.计算下列各题,并把结果按字母的降幂排列: (1)(a+3)2=(a+3)(a+3)=___a_2+_6_a_+_9___. (2)(1+4m)2=(1+4m)(1+4m)=___1_6_m_2+__8_m_+_1__. (3)(2-3x)2=(2-3x)(2-3x)=___9_x_2-_1_2_x_+__4__. (4)(2y-5)2=(2y-5)(2y-5)=___4_y_2_-_2_0_y_+_2_5__.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2．单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即
注：这里 、 、 和 都表示单项式．
3．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项．再把所得的积相加，如：
【典型例题】
例1．计算
2．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的完全平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍．
3．公式的推广：①
② ③
④
【典型例题】
例1．计算：
（1） （2）
例2．已知 ，求 和 的值．
例3 计算：（1） （2）
例4 用简单方法计算
（1） （2）
老师姓名
黄剑
学生姓名
教材版本
北师大版
学科名称
数学
年级
七年级
上课时间
月日:00–:00
课题名称
整式的乘法,平方差公式，完全平方公式
教学重点
整式乘法的规则，平方差公式，完全平方公式灵活应用
教
学
过
程
【知识要点】
1．单项式与单项式相乘，把它们的系数﹑相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
5．用平方差公式计算．
（1） （2）
（3） （4）
【题型四】平方差公式的综合运用
6．计算：
（1） （2）
【题型五】利用平方差公式进行化简求值与解方程
7．化简求值： ，其中 ．
【题型六】逆用平方差公式
8.已知 ，求 的值．
【知识要点】
1．完全平方公式：① ；② ．即：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍，这个公式叫做乘法的完全平方公式．
课后需再巩固的内容：
配合需求：家长__________________________
学管师__________________________
A、 B、 C、 D、
二、填空题
1．（ ） = ．
2． -
3． =
4．
5．若 则
三、解答题
1．计算：① ②
2．已知 ，求 的值和 的值．
3．已知 是一个完全平方式，求 的值．
4．若 ，求 的值．5．已知 ，求 的值．
6．已知多项式 ，求当 、 为何值时，多项式有最小值，最小值是多少？
课后小结
上课情况：
（1） （2）
例2．化简
（1） （2） （3）
例3．解方程：
例4．已知 的结果不含 的一次项，求 的值．
【精典练习】
1．计算
（1） （2） （3） 为偶数）
二．选择题
1．如果 成立，则a、b的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
2．如果M、N分别是关于 的72次多项式B、一定是35次多项式C、大于12次的多项式 D、无法确定积的次数
例5 已知 ，求 和 的值．
例6 已知 ，求 、 的值．
【经典练习】
一、选择题
1．下列等式不成立的是（）
A、 B、
C、 D、
2．下列各式中计算结果是 的是（）
A、 B、 C、 D、
3．计算： 的结果等于（）
A、 B、 C、 D、
4．要使等式 成立，代数式M应是（）
A、 B、 C、 D、
5．要使 成为一个完全平方式，则（）
一．基础部分
【题型一】利用平方差公式计算
1．位置变化：（1） （2）
符号变化：（3） （4）
系数变化：（5） （6）
指数变化：（7） （8）
2．增项变化
（1） （2）
3．增因式变化
（1） （2）
【题型二】利用平方差公式判断正误
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【题型三】运用平方差公式进行一些数的简便运算例
四．解答题
1．若 展开后不含 ， 两项，求 、 的值．
【知识要点】
1.平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。这个公式叫做乘法的平方差公式
2.公式的结构特征
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数
②右边是乘式中两项的平方差（相同项的平方减去相反项的平方）