常数与幂函数的导数、导数公式表 PPT

已知函数 y＝(－x)8，求 y′. [误解] y′＝8(－x)7＝－8x7. [辨析] 错用幂函数导数公式，导致结果错误． [正解] ∵y＝(－x)8＝x8，∴y′＝8x7.
导数运算y基＝本c，初y等＝函x，数y的＝导x2，数y＝1x的导数的推导 基本初等函数导数的几何意义
大家学习辛苦了，还是要坚持
继续保持安静
以上几个常见幂函数的导数，由它们的形式可以推测出幂
函数的导数公式：(xn)′＝nxn－1(n∈Q)．
注意：(1)y＝xn 中，x 为自变量，n 为常数．
(2)公式中 n∈Q，对于 n∈R 公式也成立．
(3)特别注意 n 为负数或分数时，求导不要搞错，如(1x)′＝
曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线斜率为( )
A．1
B．2
C．e [答案] A
D．1e
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[解析] ∵y＝ex，∴y′＝(ex)′＝ex，
∴曲线 y＝ex 在点(0,1)处的切线的斜率 k＝e0＝1.
• 5．三角函数的导数 • (1)正弦函数的导数：(sinx)′＝cosx. • (2)余弦函数的导数：(cosx)′＝－sinx.
[解析] (1)y′＝3x2.
3
(2)y＝x2
，y′＝32x12
＝23
x.
(3)∵y＝sinx，∴y′＝cosx.
(4)∵y＝x－2，∴y′＝－2x－3＝－x23.
• [方法总结] (1)应用导数的定义求导，是求 导数的基本方法，但运算较繁琐，而利用导 数公式求导数，可以简化求导过程，降低运 算难度，是常用的求导方法．
• (2)利用导数公式求导，应根据所给问题的特 征，恰当地选择求导公式．有时还要先对函 数解析式进行化简整理．这样能够简化运算 过程．
求下列函数的导数． (1)y＝ax(a>0 且 a≠1)；(2)y＝log3x； (3)y＝ex；(4)y＝lnx. [解析] (1)y′＝axlna. (2)y′＝xl1n3. (3)y′＝ex. (4)y′＝1x.
[方法总结] (1)利用导数求曲线上某点处的切线方程的步 骤：①先求出函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)，即切线斜率 k＝f′(x0)．②根据直线方程的点斜式得切线方程为 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)．
(2)求过不在曲线上的点的切线方程的一般方法：先设出切 点的坐标，切点在曲线上，再利用导数的几何意义求解即可．
曲线 y＝cosx 在点 P(π3，12)处的切线的斜率为____________．
[答案]
－
3 2
[解析] ∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
∴y′|x＝π3＝－sinπ3＝－
3 2.
基本初等函数的导数公式总结如下： (1)若 y＝C，则 y′＝0； (2)若 y＝xn(n∈N)，则 y′＝nxn－1； (3)若 y＝xu(x>0，μ∈Q，μ≠0)，则 y′＝μxμ－1； (4)若 y＝ax(a>0，a≠1)，则 y′＝axlna； (5)若 y＝ex，则 y′＝ex；
第三章 导数及其应用
第三章 3.2 导数的运算
第1课时 常数与幂函数的导数、导数公式表
1 课前自主预习 2 课堂典例探究 3 课时作业
课前自主预习
在 17 世纪 60 年代，牛顿就已经发现利用导数能解决数学 和物理学科的许多问题．但是运用定义法求解导数运算太复杂， 有时甚至无法完成．是否有更简单的求导方法呢？
[解题提示] 要求与切线垂直的直线方程，关键是确定切 线的斜率，从已知条件分析，求切线的斜率是可行的途径，可 先通过求导确定曲线在点 P 处切线的斜率，再根据点斜式求出 与切线垂直的直线方程．
[解析] ∵y＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.
∴y′|x＝π4＝cosπ4＝
2 2.
∴经过这点的切线的斜率为 22，从而可知适合题意的直线 的斜率为－ 2.
•求切线方程
求双曲线 y＝1x在点(2，12)处的切线方程． [解题提示] 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求 出切线的斜率，再通过点斜式求切线方程．
[解析] ∵y′＝(1x)′＝－x12， 点(2，12)在双曲线 y＝1x上， ∴双曲线 y＝1x在点(2，12)处的切线斜率为 y′|x＝2＝－212＝ －14， 由直线方程的点斜式，得切线方程为 y－12＝－14(x－2)，即 y＝－14x＋1.
求曲线 y＝4 x3在点 A(16,8)处的切线方程．
[解析]
4
3
y′＝( x3)′＝(x4
)′＝34·x－14
＝
3
4
，
4x
∴经过点 A(16,8)的切线的斜率
k＝y′|x＝16＝
3
4
＝38，
4 16
∴曲线的切线方程为 y－8＝38(x－16)
即 3x－8y＋16＝0.
•导数公式的应用
求过曲线 y＝sinx 上的点 Pπ4， 22且与在这点处 的切线垂直的直线方程．
答案：1.ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 函数的平均变化率 2．曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线斜率 y－y0＝ f′(x0)(x－x0)
1.常数函数的导数 常数函数 f(x)＝C 是导数 f′(x)＝(C)′＝0. 其几何意义可以理解为：曲线 f(x)＝C 在任意点处的切线与 x 轴平行或重合． 2．幂函数的导数 (1)函数 f(x)＝x 的导数 f′(x)＝1. (2)函数 f(x)＝x2 的导数为 f′(x)＝2x. (3)函数 f(x)＝1x的导数为 f′(x)＝－x12.
(6)若 y＝logax(a>0，a≠1，x>0)，则 y′＝xl1na； (7)若 y＝lnx，则 y′＝1x； (8)若 y＝sinx，则 y′＝cosx； (9)若 y＝cosx，则 y′＝－sinx.
课堂典例探究
• 求导函数
求下列函数的导数． (1)y＝x3；(2)y＝x x；(3)y＝2sin2xcos2x；(4)y＝x12. [解题提示] 求函数的导数，首先搞清楚函数的结构，若 式子能化简则可先化简再求导．
∴由点斜式得适合题意的直线方程为
y－ 22＝－ 2(x－π4)，即 2x＋y－ 22－ 42π＝0.
[方法总结] 在确定与切线垂直的直线方程时，应注意考 察函数在切点处的导数 y′是否为零，当 y′＝0 时，切线平行 于 x 轴，过切点 P 垂直于切线的直线斜率不存在．
求曲线 y＝cosx 在点 A(π6， 23)处的切线方程． [解析] ∵y＝cosx，∴y′＝－sinx. y′|x＝π6＝－sinπ6＝－12，∴k＝－12. ∴在点 A 处的切线方程为 y－ 23＝－12(x－π6)． 即 6x＋12y－6 3－π＝0.
－x12，(
x)′＝21
等． x
• 函数f(x)＝0的导数是( ) • A．0 B．1 • C．不存在 D．不确定 • [答案] A • [解析] 常数函数的导数为0.
3．指数函数的导数 (ax)′＝axlna，特别地(ex)′＝exlne＝ex. 4．对数函数的导数 f(x)＝logax 的导数 f′(x)＝xl1na. 特别地，自然对数函数 f(x)＝lnx 的导数为(lnx)′＝1x.
• 1.割线的斜率
• 已知y＝f(x)图象上两点A(x0，f(x0))，B(x0＋ Δx，f(x0＋Δx))，过A、B两点割线的斜率是 ________________________，即曲线割线 的斜率就是__________________．
• 2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意 义是 ___________________________________ _．相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的 切线方程为__________________．