经典单方程计量经济学模型一元线性回归模型
计量经济学的2.2 一元线性回归模型的参数估计
基于样本数据，所得到的总体回归函数的一个估 计函数称为样本回归函数。
问题：当我们设定总体回归模型的函数形式后， 如何通过样本数据得到总体回归函数的一个估计 （即样本回归函数）？--参数估计问题
E (Y | X i ) 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi f ( X i ) 0 1 X i
Xi确定
作此假设的理由：当我们把PRF表述为 时，我们假定了X和u(后者代表所有被省略的变量的影 响)对Y有各自的（并且可加的)影响。但若X和u是相关 25 的，就不可能评估它们各自对Y的影响。
线性回归模型的基本假设（4）
假设4、服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 i~N(0, 2 ) i=1,2, …,n 意为：ui服从正态分布且相互独立。因为对两个正态 分布的变量来说，零协方差或零相关意为这两个变量 独立。 作该假设的理由：i代表回归模型中末明显引进的许多解释
Yi 0 1 X i i
i=1,2,…,n
Y为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估 参数， 为随机干扰项
3
回归分析的主要目的是要通过样本回归函 数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函 数（模型）PRF。
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i
ˆ ˆ ˆ Yi 0 1 X i ui
同方差假设表明：对应于不同X值的全部Y值具有同 样的重要性。
22
线性回归模型的基本假设（2-3）
假设2、随机误差项具有零均值、同方差和不自相关 性(不序列相关)： (2.3) 不自相关： Cov(i, j|Xi, Xj)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 或记为 Cov(i, j)=0 i≠j i,j= 1,2, …,n 意为：相关系数为0， i, j非线性相关。 几何意义如下
2.1回归分析概述
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元） 800 每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元） 561 594 627 638 1100 638 748 814 847 935 968 1400 869 913 924 979 1012 1045 1078 1122 1155 1188 1210 1700 1023 1100 1144 1155 1210 1243 1254 1298 1331 1364 1408 1430 1485 2000 1254 1309 1364 1397 1408 1474 1496 1496 1562 1573 1606 1650 1716 2300 2600 2900 1969 1991 2046 2068 2101 2189 2233 2244 2299 2310 3200 2090 2134 2178 2266 2354 2486 2552 2585 2640 3500 2299 2321 2530 2629 2860 2871 1408 1650 1452 1738 1551 1749 1595 1804 1650 1848 1672 1881 1683 1925 1716 1969 1749 2013 1771 2035 1804 2101 1870 2112 1947 2200 2002 4950 11495 16445 19305 23870 25025
2、回归分析的基本概念 、 回归分析(regression analysis) 回归分析(regression analysis)是研究一个 变量关于另一个（些）变量的具体依赖关系 的计算方法和理论。 其目的 其目的在于通过后者的已知或设定值，去估 计和（或）预测前者的（总体）均值。 被解释变量 被解释变量（Explained Variable）或应变 应变 量（Dependent Variable）。 解释变量 解释变量（Explanatory Variable）或自变 自变 量（Independent Variable）。
计量经济学 第二章 一元线性回归模型
第二章 一元线性回归模型2.1 一元线性回归模型的基本假定2.1.1一元线性回归模型有一元线性回归模型（统计模型）如下， y t = β0 + β1 x t + u t上式表示变量y t 和x t 之间的真实关系。
其中y t 称被解释变量（因变量），x t 称解释变量（自变量），u t 称随机误差项，β0称常数项，β1称回归系数（通常未知）。
上模型可以分为两部分。
（1）回归函数部分，E(y t ) = β0 + β1 x t ,（2）随机部分，u t 。
图2.1 真实的回归直线这种模型可以赋予各种实际意义，居民收入与支出的关系；商品价格与供给量的关系；企业产量与库存的关系；身高与体重的关系等。
以收入与支出的关系为例。
假设固定对一个家庭进行观察，随着收入水平的不同，与支出呈线性函数关系。
但实际上数据来自各个家庭，来自同一收入水平的家庭，受其他条件的影响，如家庭子女的多少、消费习惯等等，其出也不尽相同。
所以由数据得到的散点图不在一条直线上（不呈函数关系），而是散在直线周围，服从统计关系。
“线性”一词在这里有两重含义。
它一方面指被解释变量Y 与解释变量X 之间为线性关系，即1tty x β∂=∂220tt y x β∂=∂另一方面也指被解释变量与参数0β、1β之间的线性关系，即。
1ty x β∂=∂，221ty β∂=∂0 ，1ty β∂=∂，2200ty β∂=∂2.1.2 随机误差项的性质随机误差项u t 中可能包括家庭人口数不同，消费习惯不同，不同地域的消费指数不同，不同家庭的外来收入不同等因素。
所以在经济问题上“控制其他因素不变”是不可能的。
随机误差项u t 正是计量模型与其它模型的区别所在，也是其优势所在，今后咱们的很多内容，都是围绕随机误差项u t 进行了。
回归模型的随机误差项中一般包括如下几项内容： （1）非重要解释变量的省略， （2）数学模型形式欠妥， （3）测量误差等，（4）随机误差（自然灾害、经济危机、人的偶然行为等）。
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2．下列计量经济学方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？
（1）Yi＝α＋βXi，i＝1，2，…，n；
（2）Yi＝α＋βXi＋μi，i＝1，2，…，n；
∧∧
（3）Yi＝α＋βXi＋μi，i＝1，2，…，n；
∧
∧∧
（4）Yi＝α＋βXi＋μi，i＝1，2，…，n；
∧∧
（5）Yi＝α＋βXi，i＝1，2，…，n；
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假定随机扰动项满足条件零均值、条件同方差、条件序列丌相关性以及服从正态分布。 （2）违背基本假设的计量经济学仍然可以估计。虽然 OLS 估计值丌再满足有效性，但 仍然可以通过最大似然法等估计方法或修正 OLS 估计量来得到具有良好性质的估计值。
4．线性回归模型 Yi＝α＋βXi＋μi，i＝1，2，…，n 的零均值假设是否可以表示为
1
n
n i 1
i
0 ？为什么？
n
1 0 答：线性回归模型 Yi＝α＋βXi＋μi 的零均值假设丌可以表示为
i
。
n i1
原因：零均值假设 E（μi）＝0 实际上表示的是 E（μi∣Xi）＝0，即当 X 取特定值 Xi 时，
3．一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设的计量经济学模型是否就 丌可以估计？
答：（1）针对普通最小二乘法，一元线性回归模型的基本假设主要有以下三大类： ①关于模型设定的基本假设： 假定回归模型的设定是正确的，即模型的变量和函数形式均为正确的。 ②关于自变量的基本假设： 假定自变量具有样本变异性，且在无限样本中的方差趋于一个非零的有限常数。 ③关于随机干扰项的基本假设：
第二章 一元线性回归模型(本科生计量经济学)
即：正规方程组揭示的是残差的性质。
26
普通最小二乘估计有关 的其他性质（课后习题）
Y Y
^
e Y e y
i ^ i
^
i
0 0
27
i
2、由普通最小二乘估计系数的性质可证
得普通最小二乘估计与参数的关系如下：
1 1 k i u i
^
0 0 wi ui
（ 1） （ 2）
（ 1）
0 Y 1 X
^
^
Y
1 n
Y , X X
i 1 i 1 n i 1
n
n
i
18
参数的普通最小二乘估计量
ˆ ˆ X )0 (Yi 0 1 i ˆ ˆ X )X 0 ( Y i 0 1 i i
^
33
三、一元线性回归模型参数的最大似 然法(Maximum Likehood,ML)估计
• 基本原理：似然原理
• 一元线性回归模型ML使用的条件：已知随机扰动 项的分布。
34
Y1 , Y2 ,...,Yn
1 f (Yi ) e 2
1 2
1 2
2
Yi ~ N (0 1 X i , 2 )
w 1
i
22
普通最小二乘估计的例
年份
1991 1992 1993 1994
ED(X)
708 793 958 1278
FI(Y)
3149 3483 4349 5218
ed(x)
-551 -466 -301 19
fi(y)
-2351 -2017 -1151 -282
第二章经典单方程计量经济模型：一元线性回归模型
二、总体回归函数
例2.1：一个假想的社区由100户家庭组成，要研 究该社区每月家庭消费支出Y与每月家庭可支配收 入X的关系。
即如果知道了家庭的月收入，能否预测社区该类 家庭的平均月消费支出水平？
为达此目的，将该100户家庭依据每月可支配收入 划分为10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。
每 月 家 庭 消 费 支 出 Y （元）
单方程计量经济学模型 理论与方法
Theory and Methodology of SingleEquation Econometric Model
第二章 经典单方程计量经济学模型： 一元线性回归模型
• 回归分析概述 • 一元线性回归模型的参数估计 • 一元线性回归模型检验 • 一元线性回归模型预测 • 实例
为了得到良好的估计量需要哪些条件？
2、无偏性，即估计量ˆ0 、 ˆ1 的均值（期望）等于总体回归
参数真值0 与1
证： ˆ1 kiYi ki (0 1 X i i ) 0 ki 1 ki X i ki i
易知 故
ki
xi 0 xi2
ki Xi 1
ˆ1 1 ki i
2、回归分析的基本概念
回归分析是研究一个变量关于另一个（些） 变量的统计依赖关系(因果关系X)的计算方法和 理论。
其用意：在于通过后者的已知或设定值，去 估计前者的总体均值。
回归分析主要内容包括： （1）根据样本观察值对 经济计量模型参数进行估计，求得回归方程；
（2）对回归方程、参数估计值进行显著性检验； （3）利用回归方程进行分析、评价及预测。
一、参数的普通最小二乘估计（OLS）
给定一组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）要 求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.
计量经济学2.1 回归分析概述
（*）式称为总体回归函数（方程）PRF的随机设 定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影 响外，还受其他因素的随机性影响。 由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型， 因此也称为总体回归模型。
28
引入随机误差项的主要原因（1）
1）存在未知的影响被解释变量的因素
理论模糊性使得无法知道或确定所有影响因素
9
相关分析与回归分析的区别
对变量间统计依赖关系的考察有两种易混淆的分析方法： （1）相关分析(correlation analysis)：测度两个变量之 间的线性关联力度。（可通过相关系数来判定）
（2）回归分析(regression analysis)：考察一个变量如何 依赖于另一个变量而变化。从而试图根据一个变量的设定值来 估计或预测另一变量的平均值。
例2.1中，个别家庭的消费支出为：
(*) 即，给定收入水平Xi ,个别家庭的支出可表示为两部分之和: （1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为 系统性（systematic）或确定性（deterministic)部分。 （2）其他随机或非确定性（nonsystematic)部分i。
30
回归分析概念--样本回归函数（SRF）
总体的信息往往无法掌握，现实的情况只能是在 一次观测中得到总体的一个样本。
ห้องสมุดไป่ตู้
问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？ 如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？ 例2.2：在例2.1的总体中有如下一个样本，
问：能否从该样本估计总体回归函数PRF？
表 2.1.3 家庭消费支出与可支配收入的一个随机样本 Y X 800 594 1100 638 1400 1122 1700 1155 2000 1408 2300 1595 2600 1969 2900 2078 3200 2585 3500 2530
2 一元线性回归模型
负线性相关
不相关
正线性相关
3、常用的两种相关关系的分析方法 对变量间（不确定性的）相关关系（统计依赖关系）
的考察主要是通过相关分析(correlation analysis)或
回归分析(regression analysis)来完成的。
• ……
• E(Y|X=3500)=2585
• 问题4：收入X与平均消费支出E（Y|X）之 间是什么关系？如何用方程式来表现这两种 关系？
图形说明：平均来说，随着收入的增加，消费支出也
在线性增加。即每一个消费支出的（条件）期望均落
在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归线。
3500
每 月 消 费 支 出 Y （元） 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 每月可支配收入X（元）
答：E(Y|X=800)=2420/4=561×1/4＋ 594 ×1/4＋ 627 ×1/4＋ 638 ×1/4＝605 • 知识点及注意点4： • 期望也称均值，描述一个随机变量的平均值 • 条件期望（条件均值）：给定X的Y的期望值， 记为E(Y|X)。
• 对于每一个给定的X，都对应有且只有一个Y 的条件均值。 • E(Y|X=800)=561×1/4＋ 594 ×1/4＋ 627 ×1/4＋ 638 ×1/4＝605 • E(Y|X=1100)=825 • E(Y|X=1400)=1045
量。 • 记为
Y E (Y | X )
• 随机误差项主要包括下列因素（P27书中 六点综合为四点） –在解释变量中被忽略的因素的影响 P27； 说明：模型中被省略了的影响Y的那些 因素包含在随机扰动项中。
单方程计量经济学模型
• 6、企业规模、现金流比率与总资产收益率。
• 7、主营业务收入与股权结构。
• 8、新产品开发经费和专利申请数与高技术产业自主创 新能力
• 9、人均收入差异、市场规模、对外贸易依存度、农产 品贸易不平衡等与农产品产业内贸易。
• 10、本币汇率与本币利率、外汇储备、外币资产和负 债 等。
王中昭制作
• 3、回归分析
共计
表 2.1.1 某社区家庭每月收入与消费支出统计表 每月家庭可支配收入X（元）
800 1100 1400 1700 2000 2300 2600 2900 3200 3500 561 638 869 1023 1254 1408 1650 1969 2090 2299 594 748 913 1100 1309 1452 1738 1991 2134 2321 627 814 924 1144 1364 1551 1749 2046 2178 2530 638 847 979 1155 1397 1595 1804 2068 2266 2629
• 王中昭制作 设样本回归函数的函数形式记为：
Yˆi E(Y / Xi ) ˆ0 ˆ1Xi .......(21. .8)
把上式看作 Yi 0 1X i i 近似替代，则有：
Yi Yˆi ˆi ˆ0 ˆ1Xi ei , i 1,2,..., n
ei为μi的估计值。 ei=实际值-模型的拟合值。
1000 1500 2000 2500 500
1000
1500 y
2000 x
2500
Fitted values
3000
3500
王中昭制作 概念：在给定解释变量Xi条件下被解释变量Yi的期 望轨迹称为总体回归线。
回归分析概述——计量经济学
•
重于泰山，轻于鸿毛。10:25:5710:25:5 710:25 Tuesday , November 10, 2020
•
安全在于心细，事故出在麻痹。20.11. 1020.1 1.1010:25:5710 :25:57 November 10, 2020
•
加强自身建设，增强个人的休养。202 0年11 月10日 上午10 时25分2 0.11.10 20.11.1 0
•
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 1月10 日星期 二上午1 0时25 分57秒1 0:25:57 20.11.1 0
•
严格把控质量关，让生产更加有保障 。2020 年11月 上午10 时25分2 0.11.10 10:25N ovember 10, 2020
935 1012 1210 1408 1650 1848 2101 2354 2860 968 1045 1243 1474 1672 1881 2189 2486 2871
1078 1254 1496 1683 1925 2233 2552 1122 1298 1496 1716 1969 2244 2585 1155 1331 1562 1749 2013 2299 2640 1188 1364 1573 1771 2035 2310 1210 1408 1606 1804 2101
相应的函数：
E(Y | X i ) f ( X i )
称为（双变量）总体回归函数（population regression function, PRF）。
• 含义：
计量经济学【一元线性回归模型——参数估计】
ˆ0计量ˆ1 和
可以分别表示为被解释变量观测Y值i
的线
性组合（线性函数）；
ˆ证1 明
如( X下i ： X )(Yi (Xi X )2
Y
)
(Xi X) (Xi X )2
(Yi
Y
)
ki (Yi Y )
其中ki ：
(Xi X) (Xi X )2
ki
对ki于引0 进的 ki (X容i 易X证) 明有k如i X下i 的1 特性k：i2
2
,
,
,
,
,
,
,
,
i
1,
2,
n
假设3：随机误差项在不同样本点之间是独立的，不
存
Cov(i , j ) 0,,,,,,,i j,,,,i, j 1, 2, n
在序列相关，即：
一、一元线性回归模型的基本假设
假设 4：随机误差项与解释变量之间不相关， 即：
Cov( Xi , i ) 0,,,,,,,,,,,i 1, 2, n
：待估
E(Y
总样体本回回归归函函数数形形式式：：Yˆi
| Xi)
ˆ0
0 ˆ1X i
1X i
其 计
中 估
方
ˆ0 , ˆ1 法ˆ0，, ˆ1求
是ˆ00,,ˆ11 出
的估计值，我们需要找到一种参数 ， 并0 ,且1 这 种 参 数 估 计 方 法 保 证 了 估
计值 数
与总体真值
尽可能地接近；这种参
i
根据微 小，
积
分中
ˆ0 , ˆ1
求
极
值
的
原
理
，
要
使 i
ei2
待定系数
第二章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型
同学问题(西经教材55页)：21()()00,d d d d d dd d d d TE TE TE P P Q Q PQ P Q P Q P Q P Q P Q dTE dP Q P dQ ∆=-=+∆+∆-=∆+∆+∆∆∆→∆→∆∆∴=+ 时，也，为更高阶无穷小抹掉高阶无穷小F X Y ,()X 2Y2-:=F华尔街200809-10月流行语：假设去年您有1000美元,如果买了达美航空的股票,现在还能剩下49美元; 如果买了AIG 的股票,剩下约12美元; 如果买了房地美股票,剩下约2.5美元; 如果买1000美元的啤酒,喝光后再把易拉罐送去回收站,还能换回214美元！美国经济学家克鲁格曼获得2008年诺贝尔经济学奖 08-10-13 斯德哥尔摩１０月１３日电 瑞典皇家科学院１３日宣布，将２００８年诺贝尔经济学奖授予美国普林斯顿大学经济学家保罗·克鲁格曼，以表彰他在分析国际贸易模式和经济活动的地域等方面所作的贡献。
瑞典皇家科学院发表声明说，克鲁格曼整合了此前经济学界在国际贸易和地理经济学方面的研究，在自由贸易、全球化以及推动世界范围内城市化进程的动因方面形成了一套理论。
根据瑞典著名化学家、硝化甘油炸药发明人阿尔弗雷德·伯恩哈德·诺贝尔（１８３３－１８９６）１８９５年立下的遗嘱，诺贝尔奖项只包括化学奖、物理学奖、文学奖、医学奖与和平奖。
诺贝尔经济学奖是瑞典中央银行在１９６８年为纪念诺贝尔而增设的，１９６９年首次颁奖。
诺贝尔经济学奖可以颁发给单个人，也可以最多由３人分享，其主要目的是表彰有关人员在宏观经济学、微观经济学、新经济分析方法等领域所作的贡献。
今年诺贝尔奖每项奖金仍(金融危机对奖金没有影响)为１０００万瑞典克朗（约合１４０万美元）。
信计03吴丽然：苏老师：你好，我是03信计的吴丽然，现在在西南交大读研，我现在学的是交通运输，跨专业考得好多铁路专业知识都不懂，好在数学基础还有学起什么来都不太难，尤其是一些模型看起来要比本专业的容易懂些，现在发现咱们以前学的好多课都很有用。
计量经济学 第二章 经典单方程计量模型简化内容
• 3．拟合优度（拟合度） • ①R2指标是判断回归模型优劣的一个最基 本的指标，但比较笼统，不精细。 • ②在Eviews中就是回归结果中的第一个R2， 判断时要注意，其越接近1，说明模型总体 拟合效果越好。 • ③R2的正式名称是“决定系数”，但通常 称其为拟合度。
• 具体的，拟合优度的计算公式如下：
• 3．计量模型的设定 • （1）基本形式： • y x （2.3） • 这里是一个随机变量，称作随机扰动项， 它的数学期望为0，即 注意：上式中条件数学期望的含义是，在给 定x时，ε的平均值为0。试举现实中的例子 予以说明。 回归直线、回归模型概念说明
• 二．一个完美计量经济模型的假设 • 1．对模型提出一些假设（限制）的原因 • 保证模型设定具有较高的合理性，从而可用其进 行经济分析并有利于统计分析的进行。 • 2．基本假定 • （1）在x给定的条件下，ε的数学期望为0 • （2）在x给定的条件下， x与ε不相关 • （3）在x给定的条件下， ε的方差是一个常数 • （4）在x给定的条件下， ε的样本之间不存在序 列相关 • （5） N (0, 2 )
R
2
2 (Yi Y )
n
(Y Y )
i 1 i
i 1 n
1.它的直观的含义是：估计 出来的被解释变量的每个 值跟平均值的偏差之和与 真实的被解释变量样本值 跟平均值的偏差之和的比 例。 2.现实当中的理解：如果我们在做模型时 希望最有效的解释被解释变量的波动，那 么比较好的一个指标就是让R2最大。 但一定要注意，在实际应用当中，大部分 情况下，我们并不是关注整个模型，而只 是关注一个解释变量对被解释变量的影响。
12 1 L , , exp 2 2 2 2 2 2
(NEW)李子奈《计量经济学》(第3版)课后习题详解
目 录第1章 绪 论第2章 经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型第3章 经典单方程计量经济学模型：多元线性回归模型第4章 经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型第5章 经典单方程计量经济学模型：专门问题第6章 联立方程计量经济学模型：理论与方法第7章 扩展的单方程计量经济学模型第8章 时间序列计量经济学模型第9章 计量经济学应用模型第1章 绪 论1什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？答：（1）计量经济学是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的数量关系为主要内容，是由经济理论、统计学和数学三者结合而成的交叉学科。
（2）计量经济学方法通过建立随机的数学方程来描述经济活动，并通过对模型中参数的估计来揭示经济活动中各个因素之间的定量关系，是对经济理论赋予经验内容；而一般经济数学方法是以确定性的数学方程来描述经济活动，揭示的是经济活动中各个因素之间的理论关系。
2计量经济学的研究对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？答：（1）计量经济学的研究对象是经济现象，主要研究的是经济现象中的具体数量规律，即是利用数学方法，依据统计方法所收集和整理到的经济数据，对反映经济现象本质的经济数量关系进行研究。
（2）计量经济学的内容大致包括两个方面：一是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用计量经济学。
任何一项计量经济学研究和任何一个计量经济学模型赖以成功的三要素是理论、方法和数据。
（3）计量经济学模型研究的经济关系的两个基本特征是随机关系和因果关系。
3为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位？当代计量经济学发展的基本特征与动向是什么？答：（1）计量经济学自20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和60年代的扩张阶段，使其在经济学科占据重要的地位，主要表现在：①在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程表中最具有权威的一部分；②从1969～2003年诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位是与研究和应用计量经济学有关；③计量经济学方法与其他经济数学方法结合应用得到了长足的发展。
李子奈《计量经济学》课后习题详解(经典单方程计量经济学模型：放宽基本假定的模型)【圣才出品】
估计可以写成
1
y1 xi1
xi22
yi xi2
xi21 xi22 1 r 2
xi1 xi 2
4 / 31
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2
y2 xi2
xi21
yi xi1
xi21 xi22 1 r 2
xi1 xi 2
其中，r 为 X1 不 X2 的相关系数。讨论 r 等于或接近 1 时，该模型的估计问题。
∧
∧
证明：可以将原模型记为：yi＝β1Xi1＋β2Xi2＋ei。
＿
＿
e ˆ ˆ 其中，yi＝Yi－Y，xi＝Xi－X， i
E 1 E 1
xi xi2
E i
1
Var
ˆ1
Var 1 Var
xi i xi 2
0
xi
xi2
2 Var
i
i j
xi xi2
x j Cov
x2 ，显然，当 Ki＞1 时则该乘子大于 1，则有 i
Var 1 Var ˆ1
当 0＜Ki＜1 时，则有
Var 1 Var ˆ1
2 / 31
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2．对习题 1 中的一元线性回归模型，如果已知 Var（μi）＝σi2，则可对原模型以权 1/σi
i1 i1
i1
n
xi12
n
xi
2 2
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经典单方程计量经济学模型一元线性回归模型第二章经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一、内容提要本章介绍了回归分析的基本思想与基本方法。
首先，本章从总体回归模型与总体回归函数、样本回归模型与样本回归函数这两组概念开始，建立了回归分析的基本思想。
总体回归函数是对总体变量间关系的定量表述，由总体回归模型在若干基本假设下得到，但它只是建立在理论之上，在现实中只能先从总体中抽取一个样本，获得样本回归函数，并用它对总体回归函数做出统计推断。
本章的一个重点是如何获取线性的样本回归函数，主要涉及到普通最小二乘法（OLS）的学习与掌握。
同时，也介绍了极大似然估计法（ML）以及矩估计法（MM）。
本章的另一个重点是对样本回归函数能否代表总体回归函数进行统计推断，即进行所谓的统计检验。
统计检验包括两个方面，一是先检验样本回归函数与样本点的“拟合优度”，第二是检验样本回归函数与总体回归函数的“接近”程度。
后者又包括两个层次：第一，检验解释变量对被解释变量是否存在着显著的线性影响关系，通过变量的t检验完成；第二，检验回归函数与总体回归函数的“接近”程度，通过参数估计值的“区间检验”完成。
本章还有三方面的内容不容忽视。
其一，若干基本假设。
样本回归函数参数的估计以及对参数估计量的统计性质的分析以及所进行的统计推断都是建立在这些基本假设之上的。
其二，参数估计量统计性质的分析，包括小样本性质与大样本性质，尤其是无偏性、有效性与一致性构成了对样本估计量优劣的最主要的衡量准则。
Goss-markov定理表明OLS估计量是最佳线性无偏估计量。
其三，运用样本回归函数进行预测，包括被解释变量条件均值与个值的预测，以及预测置信区间的计算及其变化特征。
二、典型例题分析例1、令kids表示一名妇女生育孩子的数目，educ表示该妇女接受过教育的年数。
生育率对教育年数的简单回归模型为μβ+βkids+=educ1（1）随机扰动项μ包含什么样的因素？它们可能与教育水平相关吗？（2）上述简单回归分析能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响吗？请解释。
解答：（1）收入、年龄、家庭状况、政府的相关政策等也是影响生育率的重要的因素，在上述简单回归模型中，它们被包含在了随机扰动项之中。
有些因素可能与增长率水平相关，如收入水平与教育水平往往呈正相关、年龄大小与教育水平呈负相关等。
（2）当归结在随机扰动项中的重要影响因素与模型中的教育水平educ相关时，上述回归模型不能够揭示教育对生育率在其他条件不变下的影响，因为这时出现解释变量与随机扰动项相关的情形，基本假设4不满足。
例2．已知回归模型μα+βE，式中E为某+=N类公司一名新员工的起始薪金（元），N为所受教育水平（年）。
随机扰动项μ的分布未知，其他所有假设都满足。
（1）从直观及经济角度解释α和β。
（2）OLS估计量αˆ和βˆ满足线性性、无偏性及有效性吗？简单陈述理由。
（3）对参数的假设检验还能进行吗？简单陈述理由。
解答：（1）Nβα+为接受过N年教育的员工的总体平均起始薪金。
当N为零时，平均薪金为α，因此α表示没有接受过教育员工的平均起始薪金。
β是每单位N变化所引起的E的变化，即表示每多接受一年学校教育所对应的薪金增加值。
（2）OLS估计量αˆ和仍βˆ满足线性性、无偏性及有效性，因为这些性质的的成立无需随机扰动项μ的正态分布假设。
（3）如果μ的分布未知，则所有的假设检验都t是无效的。
因为t检验与F检验是建立在μ的正态分布假设之上的。
例3、在例2中，如果被解释变量新员工起始薪金的计量单位由元改为100元，估计的截距项与斜率项有无变化？如果解释变量所受教育水平的度量单位由年改为月，估计的截距项与斜率项有无变化？解答：首先考察被解释变量度量单位变化的情形。
以E*表示以百元为度量单位的薪金，则μβα++=⨯=N E E 100*由此有如下新模型)100/()100/()100/(*μβα++=N E或 ****μβα++=N E这里100/*αα=，100/*ββ=。
所以新的回归系数将为原始模型回归系数的1/100。
再考虑解释变量度量单位变化的情形。
设N*为用月份表示的新员工受教育的时间长度，则N*=12N ，于是μβαμβα++=++=)12/*(N N E或 μβα++=*)12/(N E可见，估计的截距项不变，而斜率项将为原回归系数的1/12。
例4、对没有截距项的一元回归模型ii i X Y μβ+=1称之为过原点回归（regrission through the origin ）。
试证明（1）如果通过相应的样本回归模型可得到通常的的正规方程组∑∑==00ii i X e e 则可以得到1β的两个不同的估计值： X Y =1~β， ())∑∑=21ˆii i X Y X β。
（2）在基本假设0)(i =μE 下，1~β与1ˆβ均为无偏估计量。
（3）拟合线X Y 1ˆˆβ=通常不会经过均值点),(Y X ，但拟合线X Y 1~~β=则相反。
（4）只有1ˆβ是1β的OLS 估计量。
解答：（1）由第一个正规方程 0=∑te 得0)~(1=-∑tt X Y β 或 ∑∑=t t X Y 1~β求解得 X Y /~1=β 由第2个下规方程0)ˆ(1=-∑tt t X Y X β得∑∑=21ˆtt t X Y X β 求解得)/()(ˆ21∑∑=t t t X Y X β （2）对于X Y /~1=β，求期望11111)](){[1)](1[1)()~(ββμβμββ==+=+==XX E nX E X X nE X X Y E E t t t t 这里用到了t X 的非随机性。
对于)/()(ˆ21∑∑=t t t X Y X β，求期望 )/()ˆ(21∑∑=t t t X Y X E E β 12212122)()1()()1()]([)1()()1(βμβμβ=+=+==∑∑∑∑∑∑∑∑t t tt t t t t t t t t E X X X X X X E X Y X E X （3）要想拟合值X Y 1ˆˆβ=通过点),(Y X ，X 1ˆβ必须等于Y 。
但X X Y X X t tt ∑∑=21ˆβ，通常不等于Y 。
这就意味着点),(Y X 不太可能位于直线X Y 1ˆˆβ=上。
相反地，由于Y X =1~β，所以直线X Y 1~ˆβ=经过点),(Y X 。
（4）OLS 方法要求残差平方和最小 Min ∑∑-==212)ˆ(tt t X Y e RSS β 关于1ˆβ求偏导得 0))(ˆ(2ˆ11=--=∂∂∑t t t X X Y RSS ββ即 0)ˆ(1=-∑tt t X Y X β()()∑∑=21ˆii i X Y X β 可见1ˆβ是OLS 估计量。
例5．假设模型为t t t X Yμβα++=。
给定n 个观察值),(11Y X ，),(22Y X ，…，),(n n Y X ，按如下步骤建立β的一个估计量：在散点图上把第1个点和第2个点连接起来并计算该直线的斜率；同理继续，最终将第1个点和最后一个点连接起来并计算该条线的斜率；最后对这些斜率取平均值，称之为βˆ，即β的估计值。
（1）画出散点图，给出βˆ的几何表示并推出代数表达式。
（2）计算βˆ的期望值并对所做假设进行陈述。
这个估计值是有偏的还是无偏的？解释理由。
（3）证明为什么该估计值不如我们以前用OLS 方法所获得的估计值，并做具体解释。
解答：（1）散点图如下图所示。
（X 2,Y 2）（X n ,Y n ）（X 1,Y 1）首先计算每条直线的斜率并求平均斜率。
连接),(11Y X 和),(t t Y X 的直线斜率为)/()(11X X Y Y t t --。
由于共有n －1条这样的直线，因此][11ˆ211∑==---=n t t t t X X Y Y n β（2）因为X 非随机且0)(=t E μ，因此βμμβμβαμβα=--+=-++-++=--][])()([][1111111X X E X X X X E X X Y Y E t t t t t t t这意味着求和中的每一项都有期望值β，所以平均值也会有同样的期望值，则表明是无偏的。
（3）根据高斯－马尔可夫定理，只有β的OLS 估计量是最付佳线性无偏估计量，因此，这里得到的βˆ的有效性不如β的OLS 估计量，所以较差。
例6．对于人均存款与人均收入之间的关系式t t t Y S μβα++=使用美国36年的年度数据得如下估计模型，括号内为标准差： )011.0()105.151(067.0105.384ˆtt Y S +=2R ＝0.538023.199ˆ=σ（1）β的经济解释是什么？（2）α和β的符号是什么？为什么？实际的符号与你的直觉一致吗？如果有冲突的话，你可以给出可能的原因吗？（3）对于拟合优度你有什么看法吗？（4）检验是否每一个回归系数都与零显著不同（在1%水平下）。
同时对零假设和备择假设、检验统计值、其分布和自由度以及拒绝零假设的标准进行陈述。
你的结论是什么？解答：（1）β为收入的边际储蓄倾向，表示人均收入每增加1美元时人均储蓄的预期平均变化量。
（2）由于收入为零时，家庭仍会有支出，可预期零收入时的平均储蓄为负，因此α符号应为负。
储蓄是收入的一部分，且会随着收入的增加而增加，因此预期β的符号为正。
实际的回归式中，β的符号为正，与预期的一致。
但截距项为负，与预期不符。
这可能与由于模型的错误设定形造成的。
如家庭的人口数可能影响家庭的储蓄形为，省略该变量将对截距项的估计产生影响；另一种可能就是线性设定可能不正确。
（3）拟合优度刻画解释变量对被解释变量变化的解释能力。
模型中53.8%的拟合优度，表明收入的变化可以解释储蓄中53.8 %的变动。
（4）检验单个参数采用t检验，零假设为参数为零，备择假设为参数不为零。
双变量情形下在零假设下t 分布的自由度为n-2=36-2=34。
由t分布表知，双侧1%下的临界值位于2.750与2.704之间。
斜率项计算的t值为0.067/0.011=6.09，截距项计算的t值为384.105/151.105=2.54。
可见斜率项计算的t 值大于临界值，截距项小于临界值，因此拒绝斜率项为零的假设，但不拒绝截距项为零的假设。
三、习题（一）基本知识类题型2-1．解释下列概念：1)总体回归函数2)样本回归函数3)随机的总体回归函数4)线性回归模型5)随机误差项（u i）和残差项（e i）6)条件期望7)非条件期望8)回归系数或回归参数9)回归系数的估计量10)最小平方法11)最大似然法12)估计量的标准差13)总离差平方和14)回归平方和15)残差平方和16)协方差17)拟合优度检验18)t检验19)F检验2-2．判断正误并说明理由：1)随机误差项u i和残差项e i是一回事2)总体回归函数给出了对应于每一个自变量的因变量的值3)线性回归模型意味着变量是线性的4)在线性回归模型中，解释变量是原因，被解释变量是结果5)随机变量的条件均值与非条件均值是一回事2-3．回答下列问题：1)线性回归模型有哪些基本假设？违背基本假设的计量经济学模型是否就不可估计？2)总体方差与参数估计误差的区别与联系。