(整理)函数的奇偶性与单调性

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函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型

要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间，函数是减函数；在区间，函数是增函数；
若a<0，在区间，函数是增函数；在区间，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
(2)若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减)函数；
(3)若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；若且为减函数，则函数为减函数，为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知当的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数，x∈[―5，5]，
(2) 存在，使得，那么，我们称是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量，使等于最值；
②对于定义域内的任意元素，都有（或），“任意”两字不可省；
③使函数取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.

高中数学专题学习：函数的单调性与奇偶性

第3讲函数的单调性与奇偶性一、知识梳理1．奇偶性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x f -＝－)(x f ，那么这个函数叫做奇函数．设函数y ＝)(x g 的定义域为D ，如果对于D 内任意一个x ，都有D x ∈-，且)(x g -＝)(x g ，那么这个函数叫做偶函数．（2）如果函数)(x f 不具有上述性质，则)(x f 不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则)(x f 既是奇函数，又是偶函数．函数是奇函数或是偶函数的性质称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质．（3）由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则x -也一定在定义域内．即定义域是关于原点的对称点集．（4）图象的对称性质：一个函数是奇函数当且仅当它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的当且仅当它的图象关于y 轴对称．（5）奇偶函数的运算性质：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．（6）奇（偶）函数图象对称性的推广：若函数)(x f 的图象关于直线a x =对称，则)2()(a x f x f +=-；若函数)(x f 的图象关于点)0,(a 对称，则)2()(a x f x f +-=-． 2．单调性（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆．如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数；当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数．如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．（3）设复合函数))((x g f y =，其中)(x g u =，A 是))((x g f y =定义域的某个区间，B 是映射g :x →)(x g u = 的象集．①若)(x g u =在 A 上是增（或减）函数，)(u f y =在B 上也是增（或减）函数，则函数))((x g f y =在A 上是增函数；②若)(x g u =在A 上是增（或减）函数，而)(u f y =在B 上是减（或增）函数，则函数))((x g f y =在A 上是减函数．（4）奇偶函数的单调性①奇函数在其对称区间上的单调性相同； ②偶函数在其对称区间上的单调性相反． ③在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数．3．最值（1）定义：设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M ，那么，称M 是函数y ＝)(x f 的最大值．设函数y ＝)(x f 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：①对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≥m ；②存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝m ，那么，称m 是函数y ＝)(x f 的最小值．（2）函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得)(0x f ＝M （m ）；函数最大（小）值应该是所有函数值中的最大（小）者，即对于任意的x ∈I ，都有)(x f ≤M （)(x f ≥m ）．二、方法归纳1．利用定义判断函数奇偶性的方法（1）首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；（2）确定)(x f -与)(x f 的关系；（3）作出相应结论：若)(x f -＝)(x f 或)(x f -－)(x f ＝ 0，则)(x f 是偶函数；若)(x f -＝－)(x f 或)(x f -＋)(x f ＝ 0，则)(x f 是奇函数．2．利用定义证明或判断函数单调性的步骤（1）任取1x ，2x ∈D ，且1x ＜2x ；（2）作差)()(21x f x f y -=∆；（3）变形（通常是因式分解和配方）；（4）定号（即判断差)()(21x f x f y -=∆的正负）；（5）下结论（即指出函数)(x f 在给定的区间D 上的单调性）． 3．求函数最大（小）值的一般方法（1）求值域进而得到最大（小）值．求函数的值域的常见方法：直接法、配方法、换元法、判别式法、数形结合法、反函数法、单调性法等等．（2）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值．（3）利用函数的图象求函数的最大（小）值；三、典型例题精讲【例1】判断下列函数的奇偶性．（1）x x x x f -+-=11)1()(；（2）22)1lg()(2---=x x x f ．【错解分析】（1）∵x x x x f -+-=11)1()(xxx -+⋅-=11)1(2 1)1)(1(2-=+-=x x x ．显然有)(x f -＝)(x f∴)(x f 为偶函数．（2）∵22)1lg(22)1lg()(22-+-=----=-x x x x x f ，于是)(x f -≠)(x f 且)(x f -≠－)(x f ． ∴)(x f 为非奇非偶函数．解析：（1）∵)(x f 的定义域为xx-+11≥０，即－1≤x ＜1．定义域不是关于原点对称的数集，∴)(x f 为非奇非偶函数．（2）∵)(x f 的定义域为012>-x 且22--x ≠０，即－1＜x ＜1且x ≠0，此时02<-x ．∴xx x x x f --=---=)1lg(22)1lg()(22 ∴)(x f 为奇函数．【技巧提示】正确判定函数的奇偶性，必须先考虑函数的定义域．又例:判断下列函数的奇偶性．（1）551)(2-+-=x x x f ；（2）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f ；（3）33)(22-+-=x x x f ．解析：（1）∵ 21x -≥0，即－1≤x ≤1．此时x x =-+55，∴xx x f 21)(-=，为奇函数．（2）当x ＞0，－x ＜0时，)(x f ＝x x +-2，)(x f -＝x x x x -=-+-22)()()(x f ＝－)(x f -；当x ＜0，－x ＞0时，)(x f ＝x x +2，)(x f -＝x x x x --=-+--22)()()(x f ＝－)(x f -； ∴ )(x f 为奇函数．（3）∵33)(22-+-=x x x f的定义域为{|x x =．此时函数化为)(x f ＝0，{|x x =． ∴ )(x f 既是奇函数又是偶函数．【例2】讨论函数xxx x f 22116)(++=的奇偶性．解析：函数定义域为R ，且11161222116)(++=++=----xxx x x x f ＝)(22116141612x f xxx x x x=++=++⋅． ∴)(x f 为偶函数．【技巧提示】判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变）．如本题亦可先化简：14412116)(++=++=-xx xx x f ，显然)(x f 为偶函数．从这可以看出，化简后再解决要容易得多．又例：证明函数)1(1)(22x x og x f ++=为奇函数．解析：∵)(x f ＋)(x f -＝)1(122x x og ++＋)1(122x x og -+＝)]1)(1[(1222x x x x og -+++ ＝112og ＝0∴)(x f 为奇函数．再例：讨论函数aa x x a x f -+-=||)(22 （a ≠0）的奇偶性．解析： ∵ 2x ≤2a ，∴ 要分a ＞0与a ＜0两类讨论．（i ）当a ＞0时，由⎩⎨⎧≠+≤≤-aa x ax a ||，函数的定义域为 ],0()0,[a a -，∵a x +≥0， ∴xx a x f 22)(-=，)(x f 为奇函数；（ii ）当a ＜0时，由⎩⎨⎧≠+-≤≤aa x ax a ||，函数的定义域为[][],00,a a -，∵a x +≤0， ∴ax x a x f 2)(22---=，)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．【例3】求函数20.7log (32)y x x =-+的单调区间．【错解分析】设41)23(23)(22--=+-=x x x x t ，∴)23,(-∞为函数)(x t 的单调递减区间；),23(+∞为函数)(x t 的单调递增区间．又t x x y 7.027.0log )23(log =+-=为t 的减函数，∴)23,(-∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递增区间；),23(+∞为函数20.7log (32)y x x =-+的单调递减区间．解析：设23)(2+-=x x x t ，由0232>+-x x 得函数的定义域为),2()1,(+∞-∞ ，区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数23)(2+-=x x x t 的单调递减区间和单调递增区间．又t y 7.0log =，根据复合函数的单调性的规则，得区间)1,(-∞和),2(+∞分别为函数t y 7.0log =的单调递增区间和单调递减区间．【技巧提示】函数的单调区间是包含在定义域内的某个区间，因此，求函数的单调区间必须考虑函数的定义域．运用复合函数的单调性规则求函数的单调区间时，要考虑各个基本函数都要有意义．又例：设函数)(x f ＝bx ax ++（a ＞b ＞0），求)(x f 的单调区间，并证明)(x f 在其单调区间上的单调性．解析：在定义域内任取1x ＜2x ， ∴)()(21x f x f -＝1212x a x ax b x b++-++ ))(())(())((212121b x b x a x b x b x a x ++++-++=))(())((2121b x b x x x a b ++--=， ∵a ＞b ＞0，∴b －a ＜0，1x －2x ＜0，只有当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时函数才单调．当1x ＜2x ＜－b 或－b ＜1x ＜2x 时)()(21x f x f -＞0．∴（－b ，＋∞）和（－∞，－b ）都是函数)(x f 的单调减函数区间．【例4】设0a >，()x xe af x a e =+是R 上的偶函数．（1）求a 的值；（2）证明()f x 在(0,)+∞上为增函数．解析：（1）依题意，对一切x R ∈，有()()f x f x -=，即1x xx x e a ae ae a e+=+． ∴11()()xx a e ae--0= 对一切x R ∈成立，则10a a-=，即1a =±． ∵0a >，∴1a =．（2）设120x x <<，则12121211()()x xx x f x f x e e e e -=-+- 2121121122111()(1)(1)x x x x x x x x x x x e e e e ee e+-++-=--=-，由12210,0,0x x x x >>->，得21120,10x x x x e -+>->，2110x x e +-<，∴12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，∴)(x f 在(0,)+∞上为增函数．【技巧提示】两小题都只要抓住偶函数、增函数的定义解决问题就不难．两小题中变形的都是因式分解，第（2）小题的变形以容易判别符号为目标．又例：已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在),0[+∞上为减函数，若)12()2(2->--a f a a f ，求实数a 的取值范围．解析：)(x f 是R 上的偶函数且在),0[+∞上为减函数．∴由)12()2(2->--a f a a f ，有|12||2|2-<--a a a ，⎩⎨⎧-<--≥--222)12(202a a a a a ，解得a ≤－1或a ≥2．再例：二次函数)(x f 的二次项系数为正，且对任意实数x ，恒有)2(x f +＝)2(x f -，若)21(2x f -＜)21(2x x f -+，则x 的取值范围是_________．解析：由二次函数)(x f 的二次项系数为正，知函数的图象为开口向上的抛物线，由)2(x f +＝)2(x f -，知x ＝2为对称轴，于是有结论：距对称轴较近的点的纵坐标较小． ∴22122122--+<--x x x 即22)1(12-<+x x ,22)1(12-<+x x ∴－2＜x ＜0．答案：－2＜x ＜0．【例5】已知)(x f 是定义在R 上的增函数，对x ∈R 有)(x f ＞0，且)5(f ＝1，设)(x F ＝)(x f ＋)(1x f ，讨论)(x F 的单调性，并证明你的结论．解析：在R 上任取1x 、2x ，设1x ＜2x ，∴)(1x f ＜)(2x f ，],)()(11)][()([])(1)([])(1)([)()(2112112212x f x f x f x f x f x f x f x f x F x F --=+-+=-∵)(x f 是R 上的增函数，且)5(f ＝1，∴当x ＜5时0＜)(x f ＜1，而当x ＞5时)(x f ＞1； ① 若1x ＜2x ＜5，则0＜)(1x f ＜)(2x f ＜1， ∴0＜)(1x f )(2x f ＜1， ∴)()(1121x f x f -＜0，∴)(2x F ＜)(1x F ；②若2x ＞1x ＞5，则)(2x f ＞)(1x f ＞1 ， ∴)(1x f )(2x f ＞1, ∴)()(1121x f x f -＞0，∴)(2x F ＞)(1x F ．综上，)(x F 在（－∞，5）为减函数，在（5，＋∞）为增函数．【技巧提示】该题属于判断抽象函数的单调性问题．抽象函数问题是函数学习中一类比较特殊的问题，其基本能力是变量代换、换元等，应熟练掌握它们的这些特点．又例：已知函数)(x f 的定义域关于原点对称，且满足：（1）)()(1)()()(122121x f x f x f x f x x f -+⋅=-；（2）存在正常数a ，使)(a f ＝1．求证：（Ⅰ）)(x f 是奇函数；（Ⅱ）)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a ．解析：（Ⅰ）设21x x t -=，则)()()()(1)()()()(1)()()()(211221211212t f x x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f t f -=--=-+⋅-=-+⋅=-=-所以函数)(x f 是奇函数．（Ⅱ）令a x a x ==212，，则)2()(1)()2()(a f a f a f a f a f -+⋅=即)2(11)2(1a f a f -+=，解得：)2(a f ＝0．于是有 )()2(1)2()()2(x f a f a f x f a x f --+-⋅=+)(1)()2(1)]2([)(x f x f a f a f x f -=--+-⋅=．所以)()(11)2(1)4(x f x f a x f a x f =--=+-=+．因此，函数)(x f 是周期函数，并且有一个周期为4a ．【例6】设函数)(x f ＝xx 1-．对任意),1[+∞∈x ，有0)()(<+x mf mx f 恒成立，则实数m 的取值范围是．解析：方法一显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0．当m ＜0时，函数)()()(x mf mx f x h +=在),1[+∞∈x 上是减函数，因此，当1=x 时，)(x h 取得最大值mm h 1)1(-=，于是，0)()()(<+=x mf mx f x h 恒成立等价于)(x h 在),1[+∞∈x 上的最大值小于零，即01)1(<-=m m h ，解⎪⎩⎪⎨⎧<<-01m m m ，得m ＜－1．于是实数m 的取值范围是)1,(--∞．方法二显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0．若xm mx mx mx x mf mx f -+-=+1)()( ＝mx m mx 212+-＝mxm x m 22212--＜0恒成立，因为),1[+∞∈x ，m ＜0，则需22212m x m --＞0恒成立，设函数22212)(m x m x g --=，则)(x g 在),1[+∞∈x 时为增函数，于是1=x 时，)(x g 取得最小值1)1(2-=m g ．解 ⎩⎨⎧<>-012m m ，得m ＜－1．于是实数m 的取值范围是)1,(--∞．方法三显然m ≠0，由于函数)(x f ＝xx 1-在),1[+∞∈x 上是增函数，则当m ＞0时，0)()(<+x mf mx f 不恒成立，因此m ＜0．因为对任意),1[+∞∈x ，0)()(<+x mf mx f 恒成立，所以对1=x ，不等式0)()(<+x mf mx f 也成立，于是0)1()(<+mf m f ，即01<-mm ，解 ⎪⎩⎪⎨⎧<<-001m m m ，得m ＜－1．于是实数m 的取值范围是)1,(--∞．【技巧提示】函数)(x f ＝xx 1-在)0,(-∞和),0(+∞上都是增函数．在)1,(-∞和)1,0(上小于零；在)0,1(-和),1(+∞上大于零．又例：已知函数)(x f ＝xax +2),0(R a x ∈≠，（1）判断函数)(x f 的奇偶性；（2）若)(x f 在区间),2[+∞是增函数，求实数a 的取值范围。

第3讲函数的奇偶性与单调性

第3讲函数的奇偶性与单调性考点梳理一．奇、偶函数的概念一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．如果对于任意的x∈A都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称．二．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)在公共定义域内①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；②两个偶函数的和、积都是偶函数；③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．(3)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(4)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.但f(0)＝0不能说f(x)为奇函数。

(5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”．考点自测1．(2012·海安中学)设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x ＋b(b为常数)，则f(－1)的值是________．解析由f(0)＝0，得b＝－1，所以f(－1)＝－f(1)＝－(2＋2－1)＝－3.答案－32．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________．解析由f(x)是偶函数知，f(x)＝f(－x)，即ax2＋bx＝a(－x)2－bx，∴2bx＝0，∴b＝0.又f(x)的定义域应关于原点对称，即(a－1)＋2a＝0，∴a＝13，故a＋b＝1 3.答案1 33．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是________．解析 f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13⇔|2x －1|＜13⇔13＜x ＜23.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23三．函数的单调性 (1)单调函数的定义设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1＜x 2时，①若f (x 1)＜f (x 2)，则f (x )在区间D 上是增函数； ②若f (x 1)＞f (x 2)，则f (x )在区间D 上是减函数． (2)单调性、单调区间的定义若函数f (x )在区间D 上是增函数或减函数，则称函数f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f (x )的单调区间．四. 函数单调性的四种判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：（复合函数中）同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．（高二内容） (4)图象法：利用图象研究函数的单调性．考点自测1．(2013·南京鼓楼模拟)函数f (x )＝1＋x －1－x 的最大值为M ，最小值为m ，则Mm ＝________.解析由⎩⎨⎧1＋x ≥0，1－x ≥0得－1≤x ≤1.因为f (x )在[－1,1]上是单调增函数，所以M＝f (1)＝2，m ＝f (－1)＝－2，所以Mm ＝－1. 答案－12．(2012·连云港模拟)已知函数f (x )＝x －kx (k >0，x >0)，则f (x 2＋1)与f (x )的大小关系是________．解析因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且x 2＋1≥2x >x (x >0)，所以f (x 2＋1)>f (x )．答案 f (x 2＋1)>f (x )3．(2013·济南外国语学校检测)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析 f (x )在[a ，＋∞)上是减函数，对于g (x )，只有当a >0时，它有两个减区间为(－∞，－1)和(－1，＋∞)，故只需区间[1,2]是f (x )和g (x )的减区间的子集即可，则a 的取值范围是0＜a ≤1. 答案 (0,1]考向一函数单调性的判断【例1】试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．审题视点可利用定义或导数法讨论函数的单调性．解设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a x －1＋1x －1＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x －1， f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 2－1＝a x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，函数f (x )在(－1,1)上递增．[方法总结] 证明函数的单调性用定义法的步骤：取值—作差—变形—确定符号—下结论．【训练1】已知f (x )＝xx －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． (1)证明任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)解任设1<x 1<x 2，则 f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a )， ∵a >0，x 2－x 1>0， ∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知0<a ≤1.考向二函数单调性的应用【例2】 (2013·鞍山模拟)已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f (a )＋f (b )a ＋b >0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2，则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)·(x 1－x 2)，由已知得f (x 1)＋f (－x 2)x 1＋(－x 2)>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12<1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x ＜－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1.问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]成立．下面来求m 的取值范围．设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须g (－1)≥0，且g (1)≥0， ∴m ≤－2，或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.[方法总结] 函数单调性的应用，主要有两个方面，即应用单调性求字母取值范围，二是应用单调性比较数值大小或解函数不等式．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ，x ≥0，2x －x 2，x <0，若f (1－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2－axa －1(a ≠1)是区间(0,1]上的减函数，则实数a 的取值范围为________．解析 (1)画图象或求导，可知函数f (x )是R 上的增函数，于是由f (1－a 2)>f (a )，得1－a 2>a ，即a 2＋a －1<0，解得－1－52<a <－1＋52. (2)由题意，当x ＝1时，2－ax ＝2－a ≥0，所以a ≤2且a ≠1，a ≠0. 若a <0，则2－ax 是增函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1<0，即a <1.所以a <0.若a >0，则2－ax 是减函数，要使f (x )是区间(0,1]上的减函数，必有a －1>0，即a >1.所以1<a ≤2.综上，得a 的取值范围是(－∞，0)∪(1,2]．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－52，－1＋52 (2)(－∞，0)∪(1,2]高考经典题组训练1．(2012·陕西卷改编)下列函数：①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x ；④y ＝x |x |，其中既是奇函数又是增函数的序号是________．解析 y ＝－x 3；y ＝1x ，y ＝x |x |是奇函数，仅y ＝x |x |是增函数．答案 ④3．(2012·上海卷)已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)．若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________．解析因为y ＝e x 是增函数，所以由题意，y ＝|x －a |在区间[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1. 答案 (－∞，1]4．(2010·天津卷改编)设f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x m －4m 2f (x )≤f (x－1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围．解由题意，得x 2m 2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上恒成立．因为y ＝－3x 2－2x ＋1在⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增，所以当x ＝32时，y min ＝－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2013·南京金陵中学检测)下列函数中：①f (x )＝1x ；②f (x )＝(x －1)2；③f (x )＝e x ；满足“对任意x 1x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的函数序号是________．解析由题意，即判断哪些函数是(0，＋∞)内的减函数．仅f (x )＝1x 符合题意．答案 ①2．下列函数中：①y ＝－x ＋1；②y ＝x ；③y ＝x 2－4x ＋5；④y ＝2x ，在区间(0,2)上为增函数的是________(填所有正确的编号)．解析 y ＝－x ＋1在R 上递减；y ＝x 在R ＋上递增；y ＝x 2－4x ＋5在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增，y ＝2x 在R ＋上递减．答案 ②3．(2012·镇江调研)若函数f (x )＝x 2＋(a 2－4a ＋1)x ＋2在区间(－∞，1]上是减函数，则a 的取值范围是________．解析因为f (x )是二次函数且开口向上，所以要使f (x )在(－∞，1]上是单调递减函数，则必有－a 2－4a ＋12≥1，即a 2－4a ＋3≤0，解得1≤a ≤3.答案 [1,3]4．(2011·新课标全国卷)下列函数：①y ＝x 3；②y ＝|x |＋1；③y ＝－x 2＋1；④y ＝ 2－|x |.既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数序号是________．解析 y ＝x 3是奇函数，y ＝－x 2＋1与y ＝2－|x |在(0，＋∞)上是减函数．答案 ②5．已知f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (x )在(－1,1)上是减函数，则不等式f (1－x )＋f (1－x 2)＜0的解集为________．解析由f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数，及f (1－x )＋f (1－x 2)＜0，得f (1－x )＜－f (1－x 2)，所以f (1－x )＜f (x 2－1)．又因为f (x )在(－1,1)上是减函数，所以⎩⎨⎧－1＜1－x ＜1，－1＜1－x 2＜1，解得0＜x ＜1.1－x ＞x 2－1.故原不等式的解集为(0,1)．答案 (0,1)6．(2012·南师附中检测)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≤0时，y ＝f (x )是减函数，若|x 1|＜|x 2|，则结论：①f (x 1)－f (x 2)＜0；②f (x 1)－f (x 2)＞0；③f (x 1)＋f (x 2)＜0；④f (x 1)＋f (x 2)＞0中成立的是________(填所有正确的编号)．解析由题意，得f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f (x 1)＝f (|x 1|)，f (x 2)＝f (|x 2|)，从而由0≤|x 1|＜|x 2|，得f (|x 1|)＜f (|x 2|)，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x 1)－f (x 2)＜0，只能①是正确的．答案 ①二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值．(1)证明法一设x 2>x 1>0，则x 2－x 1>0，x 1x 2>0.因为f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2>0，所以f (x 2)>f (x 1)，因此f (x )在(0，＋∞)上是增函数．法二因为f (x )＝1a －1x ，所以f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1x ′＝1x 2>0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)解因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，f (2)＝2，故a ＝25.8．已知函数f (x )对于任意x ，y ∈R ，总有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，且当x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－23.(1)求证：f (x )在R 上是减函数．(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．(1)证明法一因为函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，所以令x＝y＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1＞x2，则x1－x2＞0，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．因此f(x)在R上是减函数．法二设x1＞x2，则f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．又由x＞0时，f(x)＜0，而x1－x2＞0，所以f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在R上为减函数．(2)解因为f(x)在R上是减函数，所以f(x)在[－3,3]上也是减函数，所以f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.所以f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.。

函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性一、基本概念(1)函数的奇偶性：前提：函数的定义域原点对称．．．．．．．．．．。

()()()(),x D f x f x f x f x ∈-=-=-任意则为偶函数；若，则为奇函数。

变式：()()()()()()0;10f x f x f x f x f x --±==±=的情况单独验证(整体性质)(2)函数的单调性：(局部性质)()()()()()12121212,,,x x D x x f x fx f x D f x fx D ∈<<>任意若能得到，则在上为增函数；得到，则在上为减函数。

()()()()1212121200f x f x fx f x D D x x x x --><--变式：，函数在上为增函数，，则函数在上为减函数。

y f x ±±⨯⨯⨯±=注：1.关于奇偶性，两函数的公共定义域存在且关于原点对称的前提下奇奇＝奇函数，偶偶＝偶函数，奇奇＝偶函数，偶偶＝偶函数,奇偶＝奇函数奇偶＝非奇非偶函数2.关于单调性：增+增＝增函数，减+减＝减函数，增-减＝增函数，减-增＝减函数；在的函数值全为正数(全为负数)的前提下，＝减函数，＝增函数增减()113.复合函数奇偶性与单调性的结论：()()()()()()(),,y fx y g x y g x y f x yf g x y fx y g x =====⎡⎤⎣⎦==的值域与的定义域有公共部分，则函数存在,其中是外层函数，是内层函数。

内偶外偶、内偶外奇、内奇外偶均为偶函数，只有内奇外奇才为奇函数。

内增外增、内减外减均为增函数，内增外减、内减外增均为减函数。

(3)函数的凹凸性(局部性质)：()[]()()()[]()[]()121212,,,,,,22,f x f x x x y f x x a b x x f y f x a b a b ++⎛⎫=∈≠<= ⎪⎝⎭若任意都有则称在上为凹函数如图1,2；反之则称它在上为凸函数如图3,4。

函数的单调性和奇偶性

函数的单调性知识要点1、函数单调性定义：如果对于任意的 x 1、x 2∈（a,b)，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）＜f （x 2）〔或f （x 1）＞f （x 2）〕，那么就说f （x ）在这个区间(a,b)上是增函数（或减函数）,(a,b)叫这个函数的单调递增（或递减）区间，说f （x ）在这一区间上具有（严格的）单调性。

2、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一部分；要说函数是增函数则必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如正切函数，y = -1/x 等；3、复合函数单调性：同增异减4、判断函数单调性的方法：①定义法，即比较法；②图象法；③复合函数单调性判断法则；6、一些常用的结论：①在公共定义域内:增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数②函数(0)k y x k x=+>是奇函数，在(,-∞和)+∞上递增；在)⎡⎣和(0上是递减，进而可确定k y ax x =+型函数的的单调区间。

题型归类题型一：判断或证明函数的单调性例1 利用单调性的定义证明函数3()1f x x =-+在（-∞，+∞）上是减函数。

变式训练：讨论函数y =x +a x，（a >0)的单调性。

题型二：利用单调性求参数的值或取值范围例2（2004湖南）若f (x )= -x 2+2ax 与1)(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是题型三：函数单调性的应用例3 已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞。

当1>x 时，,0)(>x f 且).()()(y f x f xy f +=（1）求)1(f ；（2）证明)(x f 在定义域上是增函数；（3）如果1)31(-=f ，求满足不等式2)21()(≥--x f x f 的x 的取值范围。

(整理)函数的奇偶性与单调性.

函数的奇偶性与单调性一.知识总结1.函数的奇偶性（首先定义域必须关于原点对称）(1)为奇函数;为偶函数;(2)奇函数在原点有定义(3)任一个定义域关于原点对称的函数一定可以表示成一个奇函数和一个偶函数之和即（奇）（偶）.2.函数的单调性(注:①先确定定义域;②单调性证明一定要用定义)(1)定义:区间上任意两个值,若时有,称为上增函数,若时有,称为上减函数.(2)奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.判断函数单调性的方法:①定义法,即比差法;②图象法;③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）;④复合函数单调性判断法则.3.周期性:周期性主要运用在三角函数及抽象函数中,是化归思想的重要手段.求周期的重要方法:①定义法;②公式法;③图象法;④利用重要结论:若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x),f(b-x)=f(b+x),a≠b,则T=2|a-b|.二.例题精讲【例1】已知定义域为的函数是奇函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围.解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即又由f（1）= -f（-1）知（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又由题设条件得：，即：，整理得上式对一切均成立，从而判别式【例2】设函数在处取得极值－2,试用表示和,并求的单调区间.解：依题意有而故解得从而。

令，得或。

由于在处取得极值，故，即。

（1）若，即，则当时，；（2）当时，；当时，；从而的单调增区间为；单调减区间为若，即，同上可得，的单调增区间为；单调减区间为【例3】(理)设函数,若对所有的,都有成立,求实数的取值范围.(文)讨论函数的单调性（理）解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x＝e a－1－1，(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，即当a≤1时，对于所有x≥0，都有f(x)≥ax．(ii)当a＞1时，对于0＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，e a－1－1)是减函数，又g(0)＝0，所以对0＜x＜e a－1－1，都有g(x)＜g(0)，即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．综上，a的取值范围是（－∞，1]．解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立．对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a令g′(x)＝0，解得x ＝e a－1－1，当x＞e a－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，当－1＜x＜e a－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数，所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为e a－1－1≤0．由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．（文）解：设，则∵∴，，，当时，，则为增函数当时，，则为减函数当时，为常量，无单调性【例4】(理)已知函数,其中为常数.(Ⅰ)若,讨论函数的单调性;(Ⅱ)若,且=4,试证:.(文)已知为定义在上的奇函数，当时，，求的表达式.（理）（文）解：∵为奇函数，∴当时，∵为奇函数∴∴∴三.巩固练习1.已知是上的减函数,那么的取值范围是( )A. B. C. D.2.已知是周期为2的奇函数,当时,,设则( )A. B. C. D.3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( )A. B. C. D.4.若不等式对于一切 (0,)成立,则的取值范围是A.0B. –2C.-D.-35.设是上的任意函数,则下列叙述正确的是( )A.是奇函数B.是奇函数C.是偶函数D.是偶函数6.已知定义在上的奇函数满足,则的值为( )A.－1B.0C.1D.27.已知函数的图象与函数（且）的图象关于直线对称,记.若在区间上是增函数,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.8.(理)如果函数在区间上是增函数,那么实数的取值范围是( )Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.9.对于上可导的任意函数,若满足,则必有( )A. B. C.D.10.已知,则( )A. B. C. D.11.已知函数,若为奇函数,则 .12.已知函数是定义在上的偶函数. 当时,,则当时, .13.是定义在上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间（0,6）内解的个数的最小值是( )A.5B.4C.3D.214.下列函数既是奇函数,又在区间上单调递减的是( )A. B. C. D.15.若函数, 则该函数在上是( )A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值16.若函数在区间内单调递增,则的取值范围是( )A. B. C. D.17.设是定义在上的奇函数,且的图象关于直线对称,则______.18.设函数在上满足,,且在闭区间［0，7］上,只有.(Ⅰ)试判断函数的奇偶性;(Ⅱ)试求方程=0在闭区间［-2005,2005］上的根的个数,并证明你的结论.19. (理)已知,函数(1)当为何值时,取得最小值？证明你的结论;(2)设在[ -1，1]上是单调函数,求的取值范围.(文)已知为偶函数且定义域为,的图象与的图象关于直线对称,当时,,为实常数,且.(1)求的解析式;(2)求的单调区间;(3)若的最大值为12,求.20.已知函数的图象过点（0,2）,且在点处的切线方程为.(1)求函数的解析式;(2)求函数的单调区间.21.已知向量若函数在区间（－1,1）上是增函数,求的取值范围.22. (理)已知函数,,.若,且存在单调递减区间,求的取值范围.(文)已知函数在区间上是减函数,且在区间上是增函数,求实数的值.巩固练习参考答案1. C2. D3. A4. C5. D6. B7. D8. B9. C 10. A 11. a=12. -x-x4 13. B 14. D 15. A 16. B 17. 018 .解:由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(II)由(II) 又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数在[-2005,2005]上有802个解.19. (理) 解：（I）对函数求导数得令得［+2(1－)－2］=0从而+2(1－)－2=0解得当变化时，、的变化如下表∴在=处取得极大值，在=处取得极小值。

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。

2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。

注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；（2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。

（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。

（4）利用函数的图象分别指出：一次函数y=kx+b 、反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）．（7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法（3导数法）二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。

函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性)(含答案)

函数的基本性质一、知识点1．对函数单调性的理解(1)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论,所以求函数的单调区间,必须先求函数的定义域；(2) 一些单调性的判断规则：①若f (x)与g(x)在定义域内都是增函数(减函数)，那么f (x) + g(x)在其公共定义域内是增函数(减函数)即“同加异减”减时和第一个单调性相同。

②复合函数的单调性规则是“同增异减”。

2．函数的奇偶性的定义：(1)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = —f (x)，则称f (x)为.奇函数的图象关于对称。

(2)对于函数f (x)的定义域内任意一个x，都有f (-x) = f (x)，则称f (x)为.偶函数的图象关于对称。

(3)通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)。

3．奇偶函数图象的对称性(1)若y = f (a + x)是偶函数，则 f (a + x) = f (a - x) o f (2a - x) = f (x) o f (x)的图象关于直线x= a对称；(2)若y = f (b + x)是偶函数，则 f (b - x) = - f (b + x) o f (2b - x) = - f (x) o f (x)的图象关于点(b,0)中心对称；4.若函数满足f Q + a)= f Q)，则函数的周期为T=a。

二、例题讲解1.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,+ 8)上单调递减的函数是()A. y = 2|x|B. y = x3C. y = -x2+1D. y=cosx【答案】C【解析】试题分析：偶函数需满足f (-x) = f (x)，由此验证可知A,C,D都是偶函数，但要满足在区间(0,+ 8) 上单调递减，验证可知只有C符合.考点：偶函数的判断，函数的单调性.2. f (x) = x2-2x + 4的单调减区间是.【答案】(fl) 【解析】试题分析：将函数进行配方得/(，) =，2—2x + 4 = (x —1)2+3,又称轴为x = l,函数图象开口向上，所以函数的单调减区间为(-8,1) . 考点：二次函数的单调性.3 .函数y = log (%2 +2% —3)的单调递减区间为()2A. (— °°, —3)B. (— °°, — 1)C. (1, +°°)D. ( — 3, — 1) 【答案】A 【解析】试题分析：由x2 + 2x —3>0,得％<—3或x>l, .♦./(%)的定义域为(―8,—3)U(L+8).y = log (%2 + 2% —3)可看作由 y = log 沈和 M = %2 + 2% — 3 复合而成的，u - X2 +2x-3 = (x +1)2 -4 2 2在(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，又y = log "在定义域内单调递增，.・.y = log (%2+2%-3)在2 2(—8,—3)上递减，在(1,+8)上递增，所以y = log (%2+ 2% —3)的单调递减区间是(―叫—3),故选A.2考点：复合函数的单调性.4 .已知丁 = %2+2(〃 — 2)% + 5在区间(4,+8)上是增函数，则a 的范围是( )【答案】B 【解析】试题分析：函数y = %2+2(〃-2)% + 5的图像是开口向上以x = 2-a 为对称轴的抛物线，因为函数在区间(4,+8)上是增函数，所以2 —a V 4,解得“之―2 ,故A 正确。

函数的单调性与奇偶性

函数的单调性与奇偶性一、函数的单调性初中时我们学过，对于一次函数y＝x+1，y随着x的增大而增大，我们称之为增函数；y＝-x+l，y随着x的增大而减小，我们称之为减函数。

那么如何定义呢?用数学符号语言如何叙述呢?1．定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D：在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＜f(x2)，则称f(x)是单调增函数；在定义域内的某个区间上任取x1，x2，且x1＜x2，若都有f(x1)＞f(x2)，则称f(x)是单调减函数；若函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有单调性，这一区间叫做y＝f(x)的单调区间。

理解：初中的说法是描述性的语言，通俗易懂；而高中的定义体现了自变量的变化关系决定因变量的变化关系。

分为两个层次，一是在哪个范围上研究，二是符号语言是怎么样的。

今后学习奇偶性，周期性都是这样定义的。

注：(1)单调函数是对整个定义域而言的，单调性是一个局部概念，是针对定义域内某个区间而言的，通常谈到单调性都会注明单调区间。

(2)单调区间能写闭区间的最好写闭区间，若在区间的端点处没有定义，则写成开区间。

比如，反比例函数不是单调函数，但是它在(-∞,0)上是减函数，在(0，+∞)上也是减函数。

我们把(-∞，0)和(0，+∞)叫的单调减区间。

若表示为(-∞,0)∪(0,+∞)是不对的。

如右图所示的函数，单调区间是R，它是单调函数。

若去掉点(0，1)，则单调区间是(-∞，0)∪(0，+∞)。

例1．证明函数在[0，+∞）上是增函数。

分析：判断函数在某一区间上的单调性，从图象上观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格证明，需要从单调函数的定义入手。

证明：设x1≥0，x2＞0，且x1＜x2，则，∵0≤x1<x2, ∴x1-x2<0,∴f(x1)-f(x2)<0 即f(x1)<f(x2)由定义知，在[0，+∞)上是增函数。

函数的奇偶性与单调性

减↓ 增↑ 减↓ 减↓ 增↑
对于复合函数f[g(x)]：“同号得增，异号得减”
三、函数的奇偶性
1、如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)叫做奇函数.
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)＝f(x)，
那么f(x)叫做偶函数.
2、奇函数的图像关于原点对称；偶函数的图像关于y 轴对称.
函数图像能直观地显示函数的单调性.在单调区间上的增函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐上升的；在单调区间上的减函数，它的图像是沿x轴正方向逐渐下降的.
单调性性质规律: 若函数f(x)，g(x)在给定的区间上具有单调性，利用增(减)函数的定义容易证得，在这个区间上：
(1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有相同的单调性.
1 ]，单增区间是[2，+∞） 2
单减区间是（-∞，-
例5：求函数y=f(x)在R上是减函数，求y=f（|1 - x|）的单调递增区间。
单调递增区间是（ -∞，1] 例6：求函数y=18+2(2-x2)-(2-x2)2的单调区间单增区间是（-∞，- 1]，[ 0，1）单减区间是（-1，0）， [ 1，+∞）
(3)f(x)= (x-1) .
1 x 1 x
评析用定义判断函数的奇偶性的步骤与方法如下： (1)求函数的定义域，并考查定义域是否关于原点对称. (2)计算f(-x)，并与f(x)比较，判断f(-x)＝f(x)或f(-x)＝-f(x)
之一是否成立.f(-x)与-f(x)的关系并不明确时，可考查其
3、奇函数
4、奇函数
5、定义在实数集上的函数f(x)，对任意x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，且f(x)不等于0 求证：f(0)=1；f(x)为偶函数

(整理)函数的单调性奇偶性与周期性

函数的单调性、奇偶性与周期性基础知识一、函数的单调性 1．单调性概念如果函数y= f (x )对于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、、x 2，当x 1、<x 2时， ①都有f (x 1)< f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是增函数（或单调递增），而这个区间称函数的一个单调递增区间；②都有f (x 1)> f (x 2)，则称f (x )在这个区间上是减函数（或单调递减），而这个区间称函数的一个单调减区间.注意，若函数f (x )在整个定义域I 内只有唯一的一个单调（递增或递减）区间，则f (x )称单调函数.2．函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(,)a b 内，如果/()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递增；如果/()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内是单调递减。

二、函数的奇偶性 3．奇偶性概念如果对于函数f (x )定义域内的任意x ，①都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；②都有f (－x )= f (x )，则称f (x )为偶函数；③如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.④如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

注意：函数f (x )具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。

4．性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称。

5．函数f (x )为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =三、函数的周期性 6．周期性概念如果存在一个非零常数T ，使得对于函数定义域内的任意x ，都有f (x+T )= f (x )，则称f (x )为周期函数。

T 是f (x )的一个周期。

若f (x )的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f (x )的最小正周期。

函数的单调性与奇偶性

函数的单调性与奇偶性①增函数的定义：如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2（a,b ）,当x 1<x 2时，都有f(x 1)<f(x 2),那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递增。

即函数f(x)在区间（a,b ）上是增函数。

函数f(x)在区间（a,b ）上严格递增，其图像是上升的。

②减函数的定义：如果函数f(x)在区间（a,b ）上有定义，对于任意的x 1,x 2（a,b ）,当x 1<x 2时，都有f(x 1)>f(x 2),那么函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减。

即函数f(x)在区间（a,b ）上是减函数。

函数f(x)在区间（a,b ）上严格递减，其图像是下降的。

注意：（1）函数的单调性离不开区间。

（2）单调函数是指在定义域上单调递增或单调递减的函数例1、用函数单调性的定义证明（1）在上是增函数。

（2）在上是减函数。

【课堂练习】1、证明在上是增函数。

∈∈32)(2++-=x x x f )41,(-∞1)(3+-=x x f ,0)(-∞x x xf 4)(+=),2(+∞2、证明在上是减函数。

例2、指出下列函数的单调区间（先考虑函数的定义域，再确定要研究的区间）（1）（2）例3、求复合函数的单调性（1）（2）X k b 1 . c o m注意某些判断函数单调性的逆向思维例4：已知函数在上是减函数，求实数的取值范围。

问题：如果该函数的递增区间是，怎样求解。

4)(2-=x xx f ,2)2(-11+=x y 123+-=x x y 245x x y --=1||-=x y 122--=ax x y )41,(-∞a )41,(-∞例5、求对勾函数)0k (>+=x k x y 的单调区间，画这些函数的图象。

问题：已知函数在上是增函数，求实数的取值范围。

奇函数、偶函数的定义：奇函数：如果函数f(x)对于定义域内的任意x 的值，都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。

函数的奇偶性与单调性

函数的奇偶性与单调性1.函数的奇偶性的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x, (1)都有f(-x)= ,那么称函数f(x)为奇函数;{或f(-x)+f(x)=0} (2)都有f(-x)= ,那么称函数f(x)为偶函数.{或f(-x)-f(x)=0}2.函数的奇偶性的性质：(1)奇、偶函数的定义域关于对称; (2)若奇函数的定义域包含数0,则f(0)= (3)奇函数的图象关于对称; (4)偶函数的图象关于对称. 3.函数单调性的定义：如果函数f(x)对区间D 内的任意,,当<时, (1)都有f()<f(),则称f(x)是区间D 上的函数; (2)都有f()>f(),则称f(x)是区间D 上的函数.1、下列函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的为（）A. B. C. D.2、下列函数既不是奇函数，也不是偶函数，且在上单调递增的是（）A. B. C. D.3、下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是（）A ．B ．C ．D ．1x 2x 1x 2x 1x 2x 1x 2x (0,)+∞1y x =+21y x =-+||1y x =+12xy =-4、函数的递减区间是__________．5、函数，设，则有（） A. B. C.D. 6、已知偶函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（） A.B. C. D.7、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x≥0时，f （x ）=+2x ，若f （）＞f （a ），则实数a 的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B. （﹣2，1）C. （﹣1，2）D. （﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）8当时，，则的取值范围是（）9且满足对任意的实数成立，则实数的取值范围是（） A. B. C. D.10、函数在上是增函数，则的范围是_____．2x 22a -12x x ≠a 12x x ≠a ()48，[)48，()1+∞，()18，。

函数的单调性和奇偶性

函数的单调性和奇偶性一、单调性一般地，设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A 如果对于区间I 内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )<f(x2 )，那么就说y=f(x)在区间I 上是增函数。

I 称为y=f(x)的单调增区间。

如果对于区间I 内的任意两个值x1,x2，当x1<x2时，都有f(x1 )>f(x2 )，那么就说在这个区间I 上是减函数。

I 称为y=f(x)的单调减区间。

●作差法证明单调性（作差法的基本步骤：设元→作差→化简→判断符号→下结论）例证明函数x x x f 2)(+=在),2(+∞上是增函数．●（重点）二次函数单调性判断（关键是看准对称轴） ① 定区间，定对称轴例说明函数242-+-=x x y 在区间]3,0[的单调性及最值.② 定区间，动对称轴例已知函数3)24(2-++=x a x y 在区间]3,1[单调递增，求a 的取值范围.③ 定对称轴，动区间例已知22)(2++=x x x f ，当],2[a a x -∈时，讨论该函数的单调性.④ 动区间，动对称轴例已知函数4)13(2+--=x a x y ，讨论函数在区间]1,[+a a 的单调性.（难点）复合函数的单调性判断复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”① 外层函数单调性确定例求下列函数的单调性y=log4(x 2－4x+3)② 外层函数调性不确定例已知函数g(x)=(log a x)2+(log a 2-1)log a x 在[1/2,2]上为增函数，求a 的取值范围？课后练习1．下述函数中，在)0,(-∞上为增函数的是（）A ．y=x2－2B ．y=x 3C ．y=x --21D ．2)2(+-=x y2．下述函数中，单调递增区间是]0,(-∞的是（）A ．y=－x 1B ．y=－(x －1)C ．y=x 2－2D ．y=－|x|3．函数)(2∞+-∞-=，在x y 上是（） A ．增函数 B ．既不是增函数也不是减函数 C ．减函数 D ．既是减函数也是增函数4．若函数f(x)是区间[a,b ）上的增函数，也是区间（b,c]上的增函数，则函数f(x)在区间[a,c]上是（）A ．增函数B ．是增函数或减函数C ．是减函数D ．未必是增函数或减函数5．已知函数f(x)=8+2x-x 2，如果g(x)=f(2-x 2)，那么g(x) ( ) A.在区间（-1，0）上单调递减 B.在区间（0，1）上单调递减C.在区间（-2，0）上单调递减 D 在区间（0，2）上单调递减6．函数),2[,32)(2+∞-∈+-=x mx x x f 当时是增函数，则m 的取值范围是（） A ． [－8，+∞） B ．[8，+∞） C ．（－∞，－ 8] D ．（－∞，8] 7．如果函数f(x)=x 2+bx+c 对任意实数t 都有f(4-t)=f(t),那么（）A ．f(2)<f(1)<f(4)B ．f(1)<f(2)<f(4)C ．f(2)<f(4)<f(1)D ．f(4)<f(2)<f(1) 8．（11年真题）已知二次函数2()1f x ax bx =++ 是偶函数，且(1)0f =．（1）求a ，b 的值；（2）设()(2)g x f x =+．若()g x 在区间[2,]m - 上的最小值为3-，求实数m 的值． .二、奇偶性一般地，如果对于函数的定义域内任意一个x ，都有，)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就称偶函数；偶函数的图像关于Y 轴对称，且对称轴左右两边的单调性相反（常数函数除外）。

函数的奇偶性和单调性

函数y=x 的图象关于y轴对称，y=x 的图象关于原点对称
对函数y=x 来说，f(-x)=f(x) 对函数y=x 来说，f(-x)=-f(x)
(3)反应在图象上有何特点？
(2)从函数的本性说，其特点是什么？
(1)函数y=x (y=x )图象的对称性是怎样的？
如果点(x,y)在函数y=x 的图象上，那么它关于y轴的对称点(-x,y)也在函数y=x 的图象上
2
2
(3) f(x)=√x-1 +√1-x (4) f(x)= √x -1 +√1-x
例2：设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=2x(1-x), 求：当x<0时，f(x)的表达式.
设x<0,则-x>0
解：
于是f(-x)=2(-x)[1-(-x)]
= -2x(1+x)
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，就说函数f(x)具有奇偶性
图象关于原点对称奇函数
图象关于y轴对称偶函数
注：（1）函数的奇偶性是对函数的整个定义域而言的，要与单调性区别开来.
（2）奇，偶函数的定义域关于原点对称－－－必要条件
（3）判断函数奇偶性的方法：①定义法②图象法
例1：判断下列函数的奇偶性
函数的奇偶性
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增函数，减函数的定义：
设函数f(x)的定义域为I
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x ,x ,当x < x 时，都有f(x )<f(x ),那么就说f(x)在这个区间上是增函数.
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x ,x ,当x < x 时，都有f(x )＞f(x ),那么就说f(x)在这个区间上是减函数.

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)

专题07 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性（知识梳理）一、函数的单调性(一)函数的单调性和单调区间定义：1、增函数与减函数的定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A M ⊆，如果取区间M 中的任意两个值1x 、2x ，改变量012>-=∆x x x ，则当0)()(12>-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是增函数；当0)()(12<-=∆x f x f y 时，就称函数)(x f y =在区间M 上是减函数。

2、函数的单调性与单调区间：如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性(区间M 称为单调区间)。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的。

[多选]例1-1．下列给定函数中，在区间)10(，上单调递减的函数是( )。

A 、x x f =)(B 、)1(log )(21+=x x g C 、|1|)(-=x x h D 、12)(+=x x w【答案】BC【解析】x x f =)(在)0[∞+，上是增函数，)1(log )(21+=x x g 在)1(∞+-，上是减函数，|1|)(-=x x h 在]1(，-∞上是减函数，12)(+=x x w 在R 上是增函数，则)(x g 和)(x h 在区间)10(，上单调递减的函数，选BC 。

(二)对函数单调性定义的理解1、函数的单调性是局部性质：从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，即单调区间是定义域的子集，是函数的局部特征。

函数的单调性只在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个子区间；如果一个函数在某个区间上是单调的，那么在这个区间的子区间上也是单调的。

但在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。

如函数2x y =的定义域为R ，当)0[∞+∈，x 时是增函数，当]0(，-∞∈x 时是减函数。

函数的单调性和奇偶性精品讲义

第三讲函数的单调性、奇偶性一、知识点归纳函数的单调性〔1〕定义：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)〔f (x 1)>f (x 2)〕，那么就说f (x )在区间D 上是增函数〔减函数〕，区间D 为函数y =f (x )的增区间〔减区间〕概括起来，即1212121212121212()()()()()()()()x x x x f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x ⎧⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨<>⎪⎩⎪⎩⎨⎧<>⎧⎪⎪⎨⎨⎪><⎪⎩⎩⎩增函数或“同增异减”减函数或〔2〕函数单调性的证明的一般步骤：①设1x ，2x 是区间D 上的任意两个实数，且12x x < ②作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、通分、有力化等方法使其转化为易于判断正负的式子；③确定12()()f x f x -的符号；④给出结论证明函数单调性时要注意三点：①1x 和2x 的任意性，即从区间D 中任取1x 和2x ，证明单调性时不可随意用量额特殊值代替；②有序性，即通常规定12x x <；③同区间性，即1x 和2x 必须属于同一个区间。

〔3〕设复合函数()[]x g f y =是定义区间M 上的函数，假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相反，那么()[]x g f y =在区间M 上是减函数；假设外函数f(x)与内函数g(x)的单调性相同，那么()[]x g f y =在区间M 上是增函数。

概括起来，即“同增异减II 号〞〔4〕简单性质： ①()f x()f x 与()f x -及1()f x 单调性相反 ②在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。