(完整word版)数列求和常见的7种方法

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数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法在数学中，数列是一系列按一定规律排列的数值，求和则是将数列中的所有数值相加的运算。

数列求和是数学中非常重要的一部分，它不仅在数学中具有广泛的应用，也在其他学科如物理学、经济学等中发挥着重要的作用。

在数列求和问题中，有许多种基本的方法可以帮助我们解决问题。

一、综合物理方法（高中物理方法）：物理学中，我们经常遇到等差数列求和的问题，例如计算平均速度。

我们可以利用物理公式来求解数列的和。

假设一个运动物体在时间t内以a的加速度匀加速运动，初速度为v0，则末速度v= at + v0。

利用等差数列的思想，将时间划分为无穷小时间片段dt，则位移ds= (at + v0)dt。

将位移累加起来，即可得到整个时间段内的位移S。

我们可以通过对时间积分求和来解决这个问题。

二、找到规律在数列求和的问题中，我们常常需要根据数列的规律来进行求和。

数列的规律可以通过观察数列的前几项，并进行逻辑推理来得出。

有时，根据数列的规律，我们可以将数列拆分成若干个简单的数列，从而方便我们进行求和。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 + (n-1)d)，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an - (n-1)d)。

我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等差数列的和。

同样地，对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，我们可以将其拆分为两个数列，一个是由首项、末项构成的数列(an = a1 * q^(n-1))，另一个是由末项、首项构成的数列(a1 = an / q^(n-1))。

我们可以对这两个数列进行求和，然后将结果相加，即可得到等比数列的和。

三、利用前缀和前缀和也叫做累加和，是指从数列的第一项开始，逐项进行求和，得到的数列。

求和前缀和的过程可以通过递推公式来表示。

对于一个数列{a1, a2, a3, ..., an}，它的前缀和表示为{S1, S2, S3, ..., Sn}，其中Si表示数列的前i项的和。

数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法数列求和是数学中常见的问题之一，它在各个领域都有广泛的应用。

本文将介绍数列求和的七种基本方法，包括等差数列求和、等比数列求和、算术平方平均数列求和、等差等比混合数列求和、调和数列求和、几何级数求和和级数求和。

通过了解和掌握这些方法，相信读者能更好地解决数列求和问题。

一、等差数列求和等差数列是指一个数列中的每两个相邻的项之差都相等。

求和等差数列的公式为：Sn = n(a1+an)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数。

二、等比数列求和等比数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比都相等。

求和等比数列的公式为：Sn=a1(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a1是第一个数，q是公比，n是项数。

三、算术平方平均数列求和算术平方平均数列是指一个数列中的每两个相邻的项的算术平方平均数都相等。

求和算术平方平均数列的公式为：Sn=n(2a1+(n-1)d)/2，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，d是公差。

四、等差等比混合数列求和等差等比混合数列是指一个数列中的每两个相邻的项之比和差都相等。

求和等差等比混合数列的公式为：Sn = (a1+an)/2*n+(q^n-1)/(q-1)，其中Sn是数列的和，n是项数，a1是第一个数，an是最后一个数，q是公比。

五、调和数列求和调和数列是指一个数列中的每一项的倒数都与它的序号之比都相等。

求和调和数列的公式为：Sn=Hn/a，其中Sn是数列的和，Hn是调和数列的第n项，a是常数。

六、几何级数求和几何级数是指一个数列中的每个数都与前一项的比值都相等。

求和几何级数的公式为：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)，其中Sn是数列的和，a是第一个数，q是比值，n是项数。

七、级数求和级数是无穷多个数连加的结果，求和级数的公式为：Sn=a/(1-r)，其中Sn是级数的和，a是第一个数，r是比值。

这七种基本的数列求和方法能够解决大部分数列求和问题。

求数列求和的方法

求数列求和的方法数列求和是数学中的一个重要问题，它涉及到数列的性质和求解方法。

在数学中，数列求和有多种方法，下面将为您介绍最常用的数列求和方法。

一、等差数列求和等差数列是指数列中相邻两项之差都相等的数列。

等差数列求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示等差数列的前n项和，a1表示等差数列的第一项，an表示等差数列的第n项，n表示等差数列的项数。

二、等比数列求和等比数列是指数列中相邻两项之比都相等的数列。

等比数列求和的公式如下：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示等比数列的前n项和，a1表示等比数列的第一项，q表示等比数列的公比，n表示等比数列的项数。

三、算术级数求和算术级数是指数列中每一项与前一项的差为一个固定的数d的数列，它可以看作是等差数列的变形。

算术级数求和的公式如下：Sn = (a1 + an) * n / 2其中，Sn表示算术级数的前n项和，a1表示算术级数的第一项，an 表示算术级数的第n项，n表示算术级数的项数。

四、几何级数求和几何级数是指数列中每一项与前一项的比为一个固定的数q的数列，它可以看作是等比数列的变形。

几何级数求和的公式如下：Sn=a*(1-q^n)/(1-q)其中，Sn表示几何级数的前n项和，a表示几何级数的第一项，q表示几何级数的公比，n表示几何级数的项数。

五、调和级数求和调和级数是指数列的每一项都是倒数数列的项的数列，它的求和公式如下：Sn=1/1+1/2+1/3+...+1/n其中，Sn表示调和级数的前n项和，n表示调和级数的项数。

六、费马数列求和费马数列是一个特殊的数列，它的每一项都是前一项的平方。

费马数列求和的公式如下：Sn=(a1^(n+1)-1)/(a1-1)其中，Sn表示费马数列的前n项和，a1表示费马数列的第一项，n 表示费马数列的项数。

七、斐波那契数列求和斐波那契数列是一个经典的数列，它的每一项都是前两项的和。

(完整word版)数列求和的各种方法

教学目标1熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2 •掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法.3•能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题. 教学内容知识梳理1求数列的前n 项和的方法 (1) 公式法①等差数列的前n 项和公式n n 1 ,=na i + d .2②等比数列的前n 项和公式 (I )当 q = 1 时，S n = na i ;(2) 分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (3) 裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项. (4) 倒序相加法这是推导等差数列前 n 项和时所用的方法，将一个数列倒过来排序，如果原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和.(5) 错位相减法这是推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法，主要用于求｛a n • b n ｝的前n 项和，其中｛a n ｝和｛b n ｝分别是等差数列和等比数列.⑹并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如 a n = (— 1)n f (n)类型，可采用两项合并求解.例如，S n = 1002— 992+ 982 — 972+…+ 22 — 12= (100 + 99) + (98 + 97)+…+ (2 + 1) = 5 050.数列求和的方法n a i a n Si=—2(n )当q 丰1时,a i 1 q n 1 qa 1 — a n q 1 - q③常见的数列的前 n 项和：1+n=垃 1) , 1+3+5+••…+(2r — 1)= n 22122232+n 2n(n 罟,13 23 33+n 32n(n 1)等22. 常见的裂项公式 1 (1)-n n=1 _1 ______ 1 ；⑶ 2n 1 2n 12(2n—1 2n +1⑷ =2 -nn1n2 2nn1 n1n21 1 1 1⑹设等差数列｛an ｝的公差为d ,则站=歳-齐).数列求和题型考点一公式法求和一 11. (2016新课标全国I)已知｛a n ｝是公差为3的等差数列，数列｛b n ｝满足b 1= 1 , b 2 = 3 , a n b n + 1 + b n +1 = nb n . (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求｛b n ｝的前n 项和.2. (2013新课标全国I, 17)已知等差数列｛a n ｝的公差不为零，a 1= 25,且a 1, an , a 13成等比数列 (1) 求｛a n ｝的通项公式； (2) 求 a 1+ a 4+ a 7+ …+ a 3n — 2.变式训练 1.(2015四川，16)设数列｛a n ｝(n = 1, 2, 3,…)的前n 项和S n满足S n = 2a n — a 1，且a 1, a 2+1, a 3成等差数列.(1)求数列｛ a n ｝的通项公式；1⑵设数列 a 的前n 项和为T n ，求T n .2. （2014 福建，17）在等比数列｛a n ｝中，a 2= 3, a 5= 81. （1）求 a n ；⑵设b n = log 3a n ,求数列｛b n ｝的前n 项和S n .1⑵-n n k11 1 k (n n + k )；(5) n + . n + kn).考点二错位相减法1.（山东）已知数a的前n项和S n=3n2+8n, b n是等差数列，且a n b n b n（I）求数列b n的通项公式；（I）令C n(a n1）n 1求数列c n的前n项和T n.(b n2)n2.（2015 天津，18）已知数列｛a n｝满足a n+ 2= qa n（q 为实数，且q丰1,）n I N*, a1= 1,a2 = 2,且a2+ a3, a3+ a4,a4 + a5成等差数列.（1）求q的值和｛a n｝的通项公式；⑵设b n=lpg d, n I N*,求数列｛b n｝的前n项和.a2n-1变式训练1. （2014 江西，17）已知首项都是1 的两个数列｛a n｝, ｛b n｝（b n M0 n IN*）满足a n b n+ 1-a n + 1b n+ 2b n+ 1b n= 0.（1）令C n=严，求数列｛C n｝的通项公式；b n⑵若b n= 3旷1，求数列｛a n｝的前n项和S n.2. (2014四川，19)设等差数列｛a n｝的公差为d，点(a n, b n)在函数f(x)= 2x的图象上(n I N*).(1) 若a i = - 2,点(a8, 4b7)在函数f(x )的图象上，求数列｛a n｝的前n项和S n；1 a n(2) 若a1= 1,函数f(x)的图象在点(a2, b2)处的切线在x轴上的截距为2-应，求数列恳的前n项和T n.3. (2015湖北，18)设等差数列｛a n｝的公差为d，前n项和为S n,等比数列｛b n｝的公比为q，已知b1= a1, b2 =2, q = d, S10 = 100.(1) 求数列｛a n｝, ｛b n｝的通项公式；(2) 当d>1时，记C n= b n求数列｛C n｝的前n项和T n.4. (2015 •东，18)设数列｛a n｝的前n项和为S.已知2S n= 3n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；(2) 若数列｛ b n｝满足a n b n= log3a n，求｛ b n｝的前n项和T n.* 11 15. (2015 浙江，17)已知数列｛a n｝和｛ b n｝满足a1= 2, 3= 1, a n+1 = 2a n( n I N), 3 + qb2 +§b3+…+：b n= b n+1 —1(nI N*).(1)求a n与b n ；⑵记数列｛ a n b n｝的前n项和为T n，求T n.6. (2015 湖南，19)设数列｛a n｝的前n 项和为S n,已知a i= 1, a2= 2,且a n+2= 3S n—S n+1 + 3, n I N .(1)证明：a n+ 2= 3a n ；⑵求S n.考点三分组求和法1. (2015 福建，17)在等差数列｛a n｝中，a2= 4, a4+ a7= 15.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= 2an 2+ n,求b1 + b2 + b3+…+ b10 的值.n2+ n *2. (2014湖南，16)已知数列｛a n｝的前n项和S n= — , n I N .(1)求数列｛ a n｝的通项公式；⑵设b n= 2an+ (—1)n a n,求数列｛b n｝的前2n项和.变式训练1. (2014北京，15)已知｛a n｝是等差数列，满足a i = 3, a4= 12,数列｛b n｝满足b i = 4, b4= 20,且｛b n —a n｝为等比数列.(1)求数列｛a n｝和｛b n｝的通项公式；⑵求数列｛ b n｝的前n项和.考点四裂项相消法1. (2015新课标全国I, 17)S n为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0, a¥+ 2a n= 4S n+ 3.(1) 求｛a n｝的通项公式；1(2) 设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和.a n a n+12. (2011新课标全国，17)等比数列｛a n｝的各项均为正数，且2a i+ 3a2= 1, a3= 9a2a6.(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；1 »(2) 设b n= log3a1+ log3a2+・・・ + log3a n，求数列匚的前n项和.3. (2015安徽，18)已知数列｛a n｝是递增的等比数列，且• + a4= 9, a2a3= 8.(1)求数列｛a n｝的通项公式；⑵设S n为数列｛a n｝的前n项和，b n = 1，求数列｛ b n｝的前n项和T n.S n Si + 1变式训练1. (2013 江西，16)正项数列｛a n｝满足：a^—(2n- 1)a n—2n= 0.(1)求数列｛ a n｝的通项公式a n；1⑵令b n= 5 +〔)an，求数列｛b n｝的前n项和T n.2. (2013 大纲全国，17)等差数列｛a n｝中，a7= 4, a i9= 2a9. (1)求｛a n｝的通项公式；1⑵设b n= ，求数列｛b n｝的前n项和S n.na n13. 在数列｛a n｝中，a1 = 1，当n>2时，其前n项和S n满足&= a n S n-勺.(1) 求3的表达式；S n(2) 设b n = 2^1求｛b n｝的前n项和T n.考点五倒序相加法1 1 12 2 014 已知函数f(x)=丙(X I R). (1)证明：f(x)+ f(1-x) =1；(2)若S= f(2015)+ f(2015)+…+ 口歳)，贝y S=变式训练4X 1 2 2 0141. ------------------------------------------------------------------------------------------------------- 设f(x)=4^2，若S=f(2015)+f(2015)+ …+ f(2"0i5)，则S= ---------------------------------------------------------考点六并项求和1. ___________________________________________________________________________ (2012新课标，16)数列｛a n｝满足a n+1+ (—1)% = 2n —1,则｛a n｝的前60项和为___________________________2. (2014山东，19)在等差数列｛a n｝中，已知公差d= 2, a2是a i与a4的等比中项(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；(2) 设b n= a n n 1，记T n=—b l+ b2 - b3+ b4—…+ ( —1)n b n，求T n.~2变式训练1. (2014山东理，19)已知等差数列｛a n｝的公差为2,前n项和为S n,且S1, S2, S4成等比数列(1) 求数列｛ a n｝的通项公式；—4n(2) 令b n= (—1)n—1，求数列｛b n｝的前n项和T n.a n a n+1考点七数列｛|a n|｝的前n项和问题11. ______________________________________________________________ （2011 北京,11）在等比数列｛a n｝中，若a i = 2，a4=—4，则公比q = __________________________________ ；a i|+ |a2|+ ••• + |a n| = ______变式训练1. （2013浙江，19）在公差为d的等差数列｛a n｝中，已知a1= 10,且a1, 2a2+ 2, 5a3成等比数列.（1）求d, a n；12. (2013湖南，15)设S n为数列｛a n｝的前n项和，S n= (—1)n a n—尹n I N*，则:(1) a3= _________ ；(2) S1 + S2 + …+ S100 = ________ .⑵若 d v0,求a |+ |a2| + |a3|+ …+ |a n|.考点八周期数列1.已知数列2 008,2 009,1，—2 008 , —2 009 ,…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 014项之和S2 014等于（）A. 2 008B. 2 010C. 1 D . 0变式训练n n1.（2012福建）数列｛a n｝的通项公式a n= ncosg，其前n项和为S n,则S2 012等于（）A.1 006B.2 012C.503D.0考点九数列与不等式的应用1. （2014新课标全国I, 17）已知数列｛a n｝满足a1= 1, a n+1= 3a n+ 1.1（1）证明a n + 2是等比数列，并求｛a n｝的通项公式；1 1 1 3（2）证明一 + —+ …+—<;.a1 a2 a n 21 *2. (2015 浙江，20)已知数列｛a n｝满足a1 = 2且a n+1 = a n —a n(n I N ).a n *(1)证明：1 W W 2( I N );a n+ 1⑵设数列｛ a2｝的前n项和为S n,证明:1 S n 1--------- —----------2 (n + 2) n 2 (n + 1)(n IN*).23.(2013江西，理)正项数列｛a n｝的前项和｛a n｝满足：S n2 2(n n 1)S n (n n) 0(1)求数列｛a n｝的通项公式a n；n 1(2)令b n门，数列｛bn｝的前n项和为T n。

数列求和7种方法(方法全_例子多)84179

百度文库-让每个人平等地提升自我数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

1、2、3、5、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法n（a1 a n）等差数列求和公式:等比数列求和公式:S nS nnk3k 1S nS n1)1)］2na13d1［例1］已知x ，求xx2解：由等比数列求和公式得na1印(11(q 1) x3a.qS n［例2］设S n= 1+2+3+ …+n, n€ N*,求f(n)4、S n的前(q 1)nk2k 1n项和.2x3x(1 x n)1 x2(1S n(n 32)S n 1」n(n 1)(2 n 1)6x nJ2L =1 _ 丄11 2n2的最大值.（利用常用公式）百度文库-让每个人平等地提升自我2解：由等差数列求和公式得1Sn2n(n 1)，S n1-(n 1)( n 2) 2（利用常用公式）S n…f(n) (n 32)S n 1n ~2n 34n 641 ""“ 64n 34•••当 n -8•一 n1 I,5050，即 8 时，f （n ）max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列 2 3［例 3］求和：S n 1 3x 5x 7x(2n 1)x n 1解：由题可知, ｛（2n 1）x n 1｝的通项是等差数列设xS n1x 3x 2 5x 3 7x 4(2n 这种方法主要用于求数列｛2n — 1｝的通项与等比数列｛ x nn1)x ①一②得 (1 x)S n 1 2x 2x 2 2x 32x 42x n 1(2n 1)x n｛a n • b n ｝的前n｝的通项之积（设制错位）（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：（1X )Snn 1c 1 X /c 2x(2n1 xn1)x［例4］求数列2,-62 2 解：由题可知,设S n2 ' '2n4 22 4 戸 2 22 22①一②得（1n 1S (2n 1)x(2nS n2(1 x)贵前n 项的和.1)x n (1 x) ｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛ I ｝的通项之积2n_6_ 23 6 24 1)S n2S n2 22 1尹n 2 yr....................2n、“ 1 2 2 23 24 2n盯 2 2n 2* 2*1（设制错位）（错位相减）百度文库-让每个人平等地提升自我练习题1 已知，求数列｛a n｝的前n项和S.答案:练习题的前n项和为百度文库-让每个人平等地提升自我答案:三、逆序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a.a n).0 12［例5］求证：C n 3C n 5C n(2n 1)C：(n 1)2n证明：设S n C0 3C1 5C；(2n i)c n把①式右边倒转过来得又由c nmS n (2n 1)C：(2nC：m可得S n (2n 1)C0 (2n①+②得2S n(2nS n (n1)C：1i)c n2)(C°C：1) 2n3c n C0（反序）3C；1C n 1 nC：C n n) 2(n 1) 2n（反序相加）题1 已知函数（1）证明:（2）求的值.解：（1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边(2)利用第(1 )小题已经证明的结论可知, 两式相加得:百度文库-让每个人平等地提升自我所以四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 .1 1［例7］求数列的前n 项和：1 1,— 4,-y 7,a a 1 1解：设 S n (1 1) (- 4) (-2a a将其每一项拆开再重新组合得1 S n (1 一a3n 2，•-7)(丄 a n 13n 2)1a(3n 1)n2丄孑(3n 1)n\ 1丄a［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n 项和.当a = 1时, 当a 1时,S n解：设 a k k(k 1)(2k 1)2k 3 )(13k 23n 2)(3n 1)n1a a 1(3n 1)n 2nS n k(k 1)(2kk 11)n(2 k 313k 2 k)将其每一项拆开再重新组合得nS n = 2k 1k 3 k 2=2(13 233\n )3(12 2 (1 2n)(分组)(分组求和)(分组)2 2n (n 1) n(n 1)(2n 1) n(n 1)2 2 22n(n 1) (n 2)2（分组求和）五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 .裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) a nf(n 1) f(n)(2) sin1 cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3) a n1 n(n 1)(4) a n(2n )2 (2n 1)(2 n1)1 2n 1(5)a nn(n 1)( n 2) 12[n(n 1) (n 1)(n 2)](7)a na n(8) a n［例9］求数列n 2 1 n(n 1) 2n2(n 1) n n(n 1)1 2n1 n 2n 1，则 S n1(n 1)2n ' n1 (n 1)2n(An B)(A n C)C B (AnAn七）的前 n 项和.（裂项）解：设a n则S n=(.2 .1)(..n 1(3 （裂项求和）［例10］在数列｛a n ｝中，a n、、n ）-，求数列｛b n ｝的前n 项的和•a n a n 1解:a n••• b nS n8[(1 =8（1/n 1（2009年广东文）20.（本小题满分n n 1 f nn 12 2｝的前n 项和2)(丄1)2 3(14)(-二n n1 =8nn 114分)• 数列｛b n （裂项）（裂项求和）1 x已知点（1,一）是函数f （x ） a （a 0,且a 1）的图象上一点，等比数列｛a n ｝的前n 项和为f （n ） 3c ,数列｛b n ｝(b n 0)的首项为 c ,且前 n 项和 S n 满足 S * — S n 1 = ... S n + .. S n1(n2).（1）求数列｛a n ｝和｛b n ｝的通项公式;1(2)若数列｛—— bn b n｝前n 项和为T n ，问Tn > 1000的最小正整数2009n 是多少？0.【解析】（1）a 1 又数列又公比又b n 数列b n ,a 2a 3f 3a n 成等比数列, a 2 a 12 27S n2n a12a s4 81 2 27所以1，所以3a nS n 1S n 1构成一个首相为 1( n N )；1公差为 1的等差数列,1 n , S n n 21 2 2n 1 ；⑵T n1 1b|b2 b2b3b s b4HI ib n b n i7 III 1(2n 1) 2n 1由T n 11 1 1 11 -2 3 2 3 5HI 1 12 2n 112n 11 1丄2 2n 1n2n 1 n2n 11000得n 1000，满足T n2009 9竺0的最小正整数为112.2009练习题1.练习题2。

数列求和常见的7种方法

解：由log3 x-log 2 3log 3 x log 3 2数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法小 n⑻ a n) n(n 1),1、等差数列求和公式：S n - — na i d2 22、等比数列求和公式：S nna1a1(1 q n)1 qn 13S n k 丁5 1)k 12n31 2 5S n k ［匚1)］k 1 2(q 1)a1 a.q1 q(q 1)4、S nnk2k 11—n(n 1)(2 n 1)6［例1］已知log3 x- , 2 ，求x xlog 2 3 x n的前n项和.2解：由题可知,2n 2n｝的通项是等差数列｛2n ｝的通项与等比数列｛ + ｝的通项之积2n由等比数列求和公式得23S n X Xxnx(利用常用公式)“n 、1(1x(1 x ) 21)2n l 1 — 12(2n 1)x n 1 (2n 1)x n (1 x)(1 x)2［例4］求数列2)^2^63,, 2n,前n 项的和.2 2 2 2［例 2］设 S n = 1+2+3+ …+n , n € N *,求 f(n)S n(n 32)S n 1的最大值.解：由等差数列求和公式得S n1 2n(n 1)，S n1-(n 1)( n 2) 2(利用常用公式)S n"f(门)(n 32)S n 1n n 2 34n 641 ""—64 n 34 -n5050•••当 n 8 ，即 n = 8 时，f (n)V8max50二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n • b n ｝的前n项和，其中｛ a n ｝、｛ b n ｝分别是等差数列和等比数列• ［例 3］求和：S n 1 3x 5x 2 7x 3(2n 1)x n 1 .................................... ①解：由题可知，｛(2n 1)x n1｝的通项是等差数列设 xS n 1x 3x 2 5x 3 7x 4 (2n ①一②得(1 x)S n 1 2x 2x 2 2x 3再利用等比数列的求和公式得：(1 x)S n｛2n — 1｝的通项与等比数列｛ x n 1｝的通项之积1)x n ....................................... ②(设制错位) 2x 42x n 1 (2n 1)x n (错位相减)n 11 x 1 2x (2n 1)x n1 xS n数列相加，就可以得到 n 个（a , a n ）.①+②得2S (sin 21cos 21 ) (sin 2 2 cos 2 2 )S = 44.5证明：设S nC 03C 1 5C 2(2n 1)c n ............................................. …•… •①把①式右边倒转过来得S n(2n 1)C：(2n 1)c n 13c nC 0C n（反序）又由 mC nC ：m 可得S n(2n 1)C 0(2n 1)c n 3C ；1C n............. C n..……②①+②得2S n (2n2)(C 0 c nn 1C nC n n ) 2(n1) 2n（反序相加）S n(n 1) 2n2求 sin 1 sin 22 sin 23sin 288・2 “sin 89 的值解：设S sin21sin 22 ・2 sin > 3sin 2 88sin 2 89 •… ....①将①式右边反序得S sin 289・2sin 88sin 23sin 22.2 .sin 1 •… ....•② （反序）［例5］求证：C 03C：5C ；(2n 1)C ：(n 1)2n又因为 sinx cos(90x), sin 2x cos 2 x 1设S n1 S n24尹4①一②得（1 1)S n2S n2尹1尹 n 2 2* i2n列 ........2n刘………2 2 T3 2 2 2n 尹2n（设制错位）（错位相减）三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原(反序相加)2 2(sin 89 cos 89 ) = 89题 1 已知函数1）证明：（2）求的值.解：（ 1 ）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边2）利用第（1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以练习、求值: 四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 1 4, —2 a (2 a 1 ［例7］求数列的前n 项和：1 1,— a1 解：设 S n (1 1) ( 4) a将其每一项拆开再重新组合得1S n (1 一a 1 ~~2a当a = 1时, S n7,7) 1F) (1 a(3n 1)n _ 2 - (丄 n 1 a (3n 1)n23n 2) 3n 2)(分组) (分组求和)11丄当a 1 时，S n」(3n 1)n1丄a ［例8］求数列｛n(n+1)(2n+1)｝的前n项和. (3n 1)n2解：设a k k(k 1)(2k 1) 2k33k2nS n k(k 1)(2kk 1 1)n(2k313k2k)将其每一项拆开再重新组合得n3 S n= 2 kk 1 k2（分组）=2(1323n3) 3( 1222n2) (1 2 n)n2(n 11)22 n(n 1)(2 n 1) n(n21) （分组求和）n(n 1)2(n 2)五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如:(1) a n f(n 1) f(n) (2)sin1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3) an1n(n 1)(4)an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 112(2n 112n 1)(5) an n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (na nn 2 1n(n 1) 2n2(n 1) nn(n 1)12n1n 2n 11(n 1)2n，则S" 1(n 1)2"(7)(8) a n (An B)(A n C) C B(An B An C)a n 一----- I n 1 mn 、n 11 1[例9]求数列 -------1 - 的前n 项和..2 .2.3. n 、n 1 [例 10] [例 11] 解: :设a n则S n..n（裂项）（裂项求和）=(2 ,1) 在数列｛a n ｝中, 解:a n(,3、、2）1 .. . n)，又b n-—，求数列｛b n ｝的前n 项的和.1 2n 1 n2 n n 1 2 2数列{b n }的前n 项和1 1 -)(22 a nb nS n8[(1 =8(11 3)8nn 1 1 (3 1 4)1 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os891 11 cos0 cos1cos1 cos2cos88 c os89si n1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)1 1 1cos0 cos1 cos1 cos2 cos88 cos89 1 {(ta n 1 tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3n求证:设S••• Stan 2 ) [tan 89 tan 88 ]}sin 111)=cos1 sin 211(tan 89 sin 1tan 0 )=—sin 1cot1 =害 sin 21原等式成立（裂项）（裂项求和）（裂项）（裂项求和）答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n.［例12］求cos1 ° + cos2° + cos3° + •…+ cos178° + cos179° 的值.解：设S n= cos1 ° + cos2° + cos3° + ••• + cos178° + cos179°cosn cos(180 n ) 找特殊性质项）二S n= (cos1° + COS179 ) + ( cos2° ++ ( cos89°=0 + cos91 °) + cos90 °cos1 78°) + (cos3° + cos177 °) + •…(合并求和)［例13］数列{a n}: a i 1,a2 3,a3 2,a n 2 a n 1 a n ，求S2002.解:设S2002= a1 a2 a3 a20021, a2 3, a3 2, a n 2 a n 1 a n 可得a7 a41,1, a5a8 3, a9a6k 1 1, a6ka6k 1 a6kS2002 = a13,3,a6ka6 2,2, a10 1, a11 3, a12 2,a6k 33 a6ka2 a32, a6k 4a6k 5a20021, a6k 5 3, a6k 6a6k 6 找特殊性质项）合并求和）[例 i5]求i ii iii iii i 之和.n 个i解：由于iiik 个 i](io k 9i)（找通项及特征）i ii iiiiii in 个i=〔(IO 1i)9Z (io 2i) 9 ](io 3 i) 9!(io n i) 9（分组求和）1 1 2=9(io ioio 3iio n)9(i ii)由等比数列的性质 m n p qa m a n a p a q和对数的运算性质 log a M log a N log a M N 得=io七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.(a i993 a i994a i998 )a i999a 2oooa 2ooi a 2oo2=a i999a 2oooa 2ooia 2oo2=a 6k 1a 6k 2a 6k 3a 6k 4=5=(a i a 2 a 3@6k 1a 6k 2a 6) (a 7a 8a i2)a 6k 6 )［例14］在各项均为正数的等比数列中，若a 5a 6 9,求 log 3a i log 3 a 2 log 3 a io 的值.解：设 S n log 3 a 1 log 3 a 2log 3 a io （找特殊性质项）S n (log 3 a i log 3 a io ) (log 3 a 2 log 3 a g ) (log 3 a 5 log 3 a 6)（合并求和）=(log 3a i a io ) (log 3 a 2 a g ) (log 3 a 5 a 6)=log 3 9log 3 9log 3 91 10(10n 1) n9 10 1 9 =丄(10n1 10 9n)81［例16］已知数列｛a n｝: a n 8(n 1)(n,求3) n(n11)(a n a n 1)的值•解：T (n 1)(a n a n 1) 8(n 1)[- 11] （找通项及特征）(n 1)(n 3) (n 2)( n 4)=8 [1 1] （设制分组）(n 2)(n 4) (n 3)(n 4)1 1 1 1=4 (- ) 8( ）（裂项）n2n4 n3n4(n 1)(a n a n 1) 4 ( 1 1 1 1 )8 ( ) （分组、裂项求和）n 1 n 2 n 4 n 1 n 3 n 41 1 1=4 (- -)8-3 4 413—3提高练习：1.已知数列a n中，S n是其前n项和，并且S n 1 4务2（n 1,2丄）◎ 1 , ⑴设数列b n a n 1 2a n（n 1,2,），求证：数列b n是等比数列；a⑵设数列C n n,（n 1,2, ），求证：数列C n是等差数列；22 、2.设二次方程a n x - a n+1X+1=0(n € N)有两根a 和B，且满足 6 a -2 a3 +6 3 =3 .⑴试用3n表示a n 1；2⑵求证；数列他-亍｝是等比数列F7⑶当的二-时、求数列％｝的通项公式.11U3．数列a n 中，a1 8,a4 2 且满足a n 2 2a n 1 a n n N ⑴求数列a n 的通项公式；⑵设S n |a1 | |a2 | |a n |，求S n ；12。

数列求和7种方法(方法全-例子多)

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 nn x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c =.解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n xn }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设nn x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 nn n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=--∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n nn n n nn C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明：设nn n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 nn n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ nn n S 2)1(⋅+=[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n-+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nnn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n [例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

数列求和的七种方法

数列求和的七种方法数列求和是数学中的一个基本问题，我们经常会在数学课上遇到。

在解决数列求和的问题时，我们可以使用多种方法来计算数列的和。

下面我将介绍七种常见的方法。

第一种方法是等差数列求和。

等差数列的特点是每一项与前一项的差值都相等，我们可以使用等差数列求和公式来计算其和。

如果一个等差数列的首项为a，公差为d，有n项，则等差数列的和可以表示为Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。

通过这个公式，我们可以快速计算等差数列的和。

第二种方法是等比数列求和。

等比数列的特点是每一项与前一项的比值都相等，我们可以使用等比数列求和公式来计算其和。

如果一个等比数列的首项为a，公比为r，有n项，则等比数列的和可以表示为Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)。

通过这个公式，我们可以方便地计算等比数列的和。

第三种方法是求和公式法。

对于一些特殊的数列，我们可以找到一个求和公式来计算其和。

例如，等差数列和等比数列都有对应的求和公式。

在解决数列求和的问题时，我们可以通过寻找求和公式来简化计算过程。

第四种方法是换元法。

有时候，我们可以通过将数列中的项进行变量替换来简化计算过程。

例如，我们可以将数列中的项表示为一个多项式，并对该多项式进行求和。

通过变量替换和多项式求和，我们可以迅速得出数列的和。

第五种方法是递推法。

对于一些没有明显规律的数列，我们可以使用递推法来计算其和。

递推法的思想是通过前几项的和来求解后一项的值。

通过不断累加并递推，我们可以得到数列的和。

第六种方法是分组求和法。

对于一些复杂的数列，我们可以将其划分为多个子数列，并分别计算每个子数列的和。

然后将所有子数列的和相加，即得到整个数列的和。

这个方法常常在解决难题时使用，可以将复杂问题化简为简单问题。

第七种方法是利用数学工具求和。

在现代数学中，我们有各种各样的数学工具可以用来辅助求和。

例如，我们可以使用微积分中的积分来计算一些复杂数列的和。

通过利用数学工具，我们可以更加高效地求解数列求和的问题。

(完整word版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧一、总论：数列求和7种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础。

在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式:⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n--1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21［例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *，求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值。

解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列｛a n · b n ｝的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列。

数列求和公式七个方法

数列求和公式七个方法求和公式是数列中常用的一个工具，用于计算数列中一定数量的项的和。

在数学中，有七种不同的方法可以使用求和公式。

1.求等差数列的和：等差数列的求和公式是：Sn = (a1 + an) * n / 2，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。

这个公式的核心思想是将数列分成两部分，每部分的和都是数列的首项和末项之和的一半。

2.求等比数列的和：等比数列的求和公式是：Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn是数列前n 项和，a1是数列的首项，r是数列的公比，n是数列的项数。

这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。

3.求等差数列的和差：等差数列的和差公式是：Sa=Sn-S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。

这个公式的思想是将数列分成两部分，分别计算它们的和，然后将后一部分的和减去前一部分的和，即可得到和差。

4.求等比数列的和差：等比数列的和差公式是：Sa=Sn/S(n-1)，其中Sa是数列从第n-1项到第n项的和差，Sn是数列前n项和，S(n-1)是数列前n-1项和。

这个公式利用了等比数列的特性，即每一项都是前一项乘以公比。

5.求调和数列的和：调和数列的求和公式是：Sn = n / (1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)，其中Sn是数列前n项和，a1，a2，...，an是数列的各项。

这个公式的思想是将数列的各项的倒数相加，然后再取它们的倒数。

6.求幂和数列的和：幂和数列的求和公式是：Sn=(a^(n+1)-1)/(a-1)，其中Sn是数列前n项和，a是数列的公比，n是数列的项数。

这个公式利用了幂和数列的特性，即每一项都是公比的幂次。

7.求有限项数列的和：有限项数列的求和公式是：Sn = (n / 2) * (a1 + an)，其中Sn是数列前n项和，a1是数列的首项，an是数列的末项，n是数列的项数。

数列求和7种方法(方法全_例子多)

数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习）
一、总论：数列求和7种方法：
利用等差、等比数列求和公式
错位相减法求和
反序相加法求和
分组相加法求和
裂项消去法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法门⑻a.）n（n-1）」
Snna1d
一2
2、
等比数列求和公式:
na1
Sn(1-qn)
[1-q
(q=1)
a1 "anq
1-q
(q= 1)
3、
1
n(n 1)
2
4、Sn
n
八k1 2
k d
1
n(n1)(2n1)
6
5、
n
Sn八k3
k=1
12jn(n 1)]
［例1］已知X二
n项和.
解：由等比数列求和公式得S来自= XX2X亠亠xn
（利用常用公式）

数列求和7种方法

数列求和7种方法一、求等差数列的和：等差数列的通项公式为 an = a1 + (n-1)d ，其中an 表示第 n 个数，a1 表示首项，d 表示公差，n 表示项数。

1.直接求和法：根据数列的首项 a1、末项 an 和项数 n，直接相加即可。

例如：已知等差数列的首项 a1 = 2，公差 d = 3，项数 n = 5，求和公式为 S = (a1 + an) * n / 2 = (2 + 2 + 4 * 3) * 5 / 2 = 35 2.公式法：利用等差数列的求和公式：S = (a1 + an) * n / 2例如：已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，项数n=5，代入公式即可得到结果。

3.递推法：利用数列的递推关系a(n)=a(n-1)+d，可得到递归式，通过递归累加求和。

例如：已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，项数n=5，则S(n)=S(n-1)+(a(n-1)+d)=S(n-1)+a(n-1)+d。

二、求等比数列的和：等比数列的通项公式为 an = a1 * q^(n-1)，其中an 表示第 n 个数，a1 表示首项，q 表示公比，n 表示项数。

4.直接求和法：根据数列的首项 a1、末项 an 和项数 n，直接相加即可。

例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，求和公式为S=(a1*(q^n-1))/(q-1)=(2*(3^5-1))/(3-1)=2425.公式法：利用等比数列的求和公式：S=(a1*(q^n-1))/(q-1)。

例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，代入公式即可得到结果。

6.迭代法：利用数列的递推关系a(n)=a(n-1)*q，可得到递归式，通过递归累加求和。

例如：已知等比数列的首项a1=2，公比q=3，项数n=5，则S(n)=S(n-1)+a(n-1)*q=S(n-1)+a(n-1)*q。

三、其他数列的求和方法：7.利用数列的递归关系：对于一些特殊的数列，可能没有通项公式，但可以根据数列的递归关系利用递归求和。

数列求和7种方法(方法全-例子多)

一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n nn3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n5、 213)]1(21[+==∑=n n k S nk n [例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++nx x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝xx x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21[例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n nS n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a = ,b = ,c = .解：原式=答案：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x}的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n xx x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232n n前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………② （设制错位） ①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）1122212+---=n n n∴ 1224-+-=n n n S练习题1 已知，求数列｛a n ｝的前n 项和S n .答案：练习题2 的前n 项和为____答案：三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++证明：设nnn n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得113)12()12(nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=- （反序）又由mn nm n C C -=可得 n nn n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n n n n n n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得1s i n 2s i n 3s i n 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..② （反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n aa a S n n将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn + （分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S nn -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- [例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1( ∴ ∑=++=n k n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k knk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk n k nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n（5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) n nn n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n n n n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和. 解： ∵ 211211n n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n （裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n n S n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++ 解：设89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S∵n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项） ∴ 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1-+-+-+- ＝)0tan 89(tan 1sin 1 -＝1cot 1sin 1⋅＝ 1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立练习题1.答案：.练习题2。

数列求和常见的7种方法

.
1、等差数列求和公式： Sn
n (a1 an)
n(n 1)
na1
d
2
2
2、等比数列求和公式： Sn
na1 a1 (1 qn )
1q
( q 1)
a1 an q 1q
(q 1)
3、 Sn
n
k
k1
1n(n 1) 2
4、 Sn
n
k2
k1
1n(n 1)(2n 1) 6
5、 Sn
n
k3
1 [ n( n
1)] 2
数列求和常见的 7 种方法
数列求和的基本方法和技巧
一、总论：数列求和 7 种方法：利用等差、等比数列求和公式错位相减法求和反序相加法求和分组相加法求和裂项消去法求和分段求和法（合并法求和）利用数列通项法求和
二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法，
三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。
[ 例 12] 求 cos1° + cos2° + cos3° +··· + cos178° + cos179°的值 . 解：设 Sn＝ cos1° + cos2° + cos3° +···+ cos178° + cos179°
∵ cos n cos(180 n )
（找特殊性质项）
∴ Sn＝（ cos1° + cos179°） +（ cos2°+ cos178°） + （ cos3°+ cos177°） +···
4
数列求和常见的 7 种方法
（ 2）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，

数列求和常见的7种方法

数列求和常见的7种方法数列求和是数学中比较常见的问题之一，它在各个领域中都有广泛的应用。

在数学中，我们常常使用不同的方法来求解数列求和问题，以下将介绍一些常见的数列求和方法。

一、公式法：公式法是求解数列求和中最常用的方法之一、对于一些特定的数列，我们可以通过找到它们的通项公式，从而直接计算出数列的和。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，其前n项和Sn =[n(a1+an)]/2，其中a1为首项，an为末项，d为公差。

同样地，对于等比数列an = a1 * r^(n-1)，其前n项和Sn = a1 *(1 - r^n)/(1 - r)，其中a1为首项，r为公比。

二、递推法：递推法是另一种求解数列求和问题的常用方法。

通过推导出数列的递推关系式，我们可以通过逐项求和的方式来求解数列求和问题。

例如，对于斐波那契数列Fn=Fn-1+Fn-2（其中n>2），我们可以通过递推的方式来求得前n项和。

三、画图法：画图法是一种直观的方法，通过画图可以更清楚地理解数列求和问题，并帮助我们找到解题思路。

例如，对于等差数列Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... +(a1+nd)，我们可以将其表示为一个由等差数列首项、末项组成的矩形，然后通过计算矩形的面积来求解数列的和。

四、换元法：换元法是将数列中的变量进行换元，从而将原始数列转化为另一种形式，从而更容易求出数列的和。

例如，对于等差数列Sn = a1 + (a1+d) + (a1+2d) + ... +(a1+nd)，我们可以将其表示为Sn = (n+1)a1 + d(1+2+3+...+n)，然后再利用等差数列的求和公式来求解。

五、差分法：差分法是一种将数列进行相邻项之间的差分操作，从而得到一个新的数列，通过对新数列进行求和的方式来求解原始数列的和。

例如，对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以计算得到数列bn = a2 - a1，然后求出bn的和，再通过一些变换得到原始数列的和。

数列求和常见的7种方法

数列求和常见的7种方法数列求和是数学中常见的问题之一、在数学中，数列是按照一定规律排列的一组数，求和则是将数列中的所有数相加得到一个结果。

在实际问题中，数列求和涉及到很多应用，比如计算排列组合、概率统计、几何等。

本文将介绍常见的七种求和方法，包括等差数列求和、等比数列求和、递推数列求和、特殊数列求和、级数求和、积性函数求和和递归求和。

一、等差数列求和方法等差数列指的是数列中的每一项与下一项之间的差值都相等的数列。

等差数列求和的方法有两种：公式法和递推法。

公式法：设等差数列的首项为a1，公差为d，求等差数列的前n项和Sn，则有下面的公式：Sn = (a1+an) * n / 2，其中an是数列的末项。

递推法：通过递推方法，可以依次计算等差数列的每一项，将它们相加得到数列的和。

递推公式为：an = a1 + (n-1) * d。

使用递推法时要注意，计算的次数需要与指定的项数相等。

二、等比数列求和方法等比数列是指数列中的每一项与前一项之比都相等的数列。

等比数列求和的方法有两种：公式法和递推法。

公式法：设等比数列的首项为a1，公比为q，求等比数列的前n项和Sn，则有下面的公式：当q≠1时：Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。

当q=1时：Sn=a1*n。

递推法：通过递推方法，可以依次计算等比数列的每一项，将它们相加得到数列的和。

递推公式为：an = a1 * q^(n-1)。

同样，使用递推法时要注意计算的次数与指定的项数相等。

三、递推数列求和方法递推数列是指数列中的每一项都由前面的项经过其中一种规律计算得到的数列。

递推数列求和的方法有两种：递推法和公式法。

递推法：通过递推方法，依次计算数列的每一项，将它们相加得到数列的和。

递推公式由数列的规律决定。

公式法：有些递推数列可以找到与之对应的公式，从而可以直接通过公式计算数列的和。

四、特殊数列求和方法特殊数列是指具有特殊性质的数列，比如斐波那契数列、Lucas数列等。

数列求和常见的种方法

数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a qq a q na S n n n3、 )1(211+==∑=n n k S nk n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S nk n[例1] 已知3log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和.解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x由等比数列求和公式得 n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32 （利用常用公式）＝x x x n --1)1(＝211)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1)32()(++=n nS n S n f 的最大值.解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式）∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64342++n n n＝nn 64341++＝50)8(12+-nn 501≤∴ 当 88-n ，即n ＝8时，501)(max =n f二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.[例3] 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ② （设制错位）①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1----⋅+=-- ∴ 21)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+[例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n21}的通项之积设n n nS 2226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………① 14322226242221++⋅⋅⋅+++=n n nS ………………………………②（设制错位）①－②得1432222222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n nS （错位相减）∴ 1224-+-=n n n S 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.[例5] 求证：n n n n nn n C n C C C 2)1()12(53210+=++⋅⋅⋅+++ 证明：设n n n n n n C n C C C S )12(53210++⋅⋅⋅+++=………………………….. ①把①式右边倒转过来得113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-（反序）又由m n n m n C C -=可得nn n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ②①+②得 n nn n n n nn n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）∴ n n n S 2)1(⋅+=[例6] 求οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①将①式右边反序得οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）又因为 1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x ο①+②得（反序相加）)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++⋅⋅⋅++++=S ＝89∴ S ＝44.5题1 已知函数（1）证明：；（2）求的值.解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边（2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，两式相加得：所以.练习、求值：四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.[例7] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a aS n n 将其每一项拆开再重新组合得)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++=-n aa a S n n （分组）当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2)13(nn +（分组求和）当1≠a 时，2)13(1111n n aa S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+---[例8] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.解：设k k k k k k a k ++=++=2332)12)(1(∴ ∑=++=nk n k k k S 1)12)(1(＝)32(231k k k nk ++∑=将其每一项拆开再重新组合得S n ＝k k k nk nk nk ∑∑∑===++1213132（分组）＝)21()21(3)21(2222333n n n +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++＝2)1(2)12)(1(2)1(22++++++n n n n n n n （分组求和）＝2)2()1(2++n n n五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+（3）111)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n （5）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n(6) nn n n n n n n S n n n n n n n n n a 2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21+-=+-⋅=⋅+-+=⋅++=-则（7）)11(1))((1CAn B An B C C An B An a n +-+-=++=（8）n a ==[例9] 求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.解：设n n n n a n -+=++=111（裂项）则 11321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n（裂项求和）＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+-＝11-+n[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=n nn n a n ，又12+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.解： ∵ 211211nn n n n a n =++⋅⋅⋅++++=∴ )111(82122+-=+⋅=n n n n b n（裂项）∴ 数列{b n }的前n 项和)]111()4131()3121()211[(8+-+⋅⋅⋅+-+-+-=n nS n （裂项求和）＝)111(8+-n ＝ 18+n n[例11] 求证：οοοοοοοο1sin 1cos 89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 12=+⋅⋅⋅++解：设οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S ∵οοοοοn n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （裂项）∴οοοοοο89cos 88cos 12cos 1cos 11cos 0cos 1+⋅⋅⋅++=S （裂项求和）＝]}88tan 89[tan )2tan 3(tan )1tan 2(tan )0tan 1{(tan 1sin 1οοοοοοοοο-+-+-+-＝)0tan 89(tan 1sin 1οοο-＝οο1cot 1sin 1⋅＝οο1sin 1cos 2 ∴ 原等式成立答案：六、分段求和法（合并法求和）针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°∵ )180cos(cos οοοn n --= （找特殊性质项）∴S n ＝（cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+cos177°）+···+（cos89°+ cos91°）+ cos90°（合并求和）＝ 0[例13] 数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++由n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1可得 ……∵ 0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）∴ S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a＝2002200120001999a a a a +++ ＝46362616+++++++k k k k a a a a ＝5[例14] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值.解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =⇒+=+ （找特殊性质项）和对数的运算性质 N M N M a a a ⋅=+log log log 得)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++= （合并求和）＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅ ＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++ ＝10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.[例15] 求32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91999991111111-=⋅⋅⋅⨯=⋅⋅⋅kk k 43421321个个（找通项及特征）∴ 32111111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝)110(91)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）＝)1111(91)10101010(9113214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091nn ---⋅＝)91010(8111n n --+ [例16] 已知数列{a n }：∑∞=+-+++=11))(1(,)3)(1(8n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])4)(2(1)3)(1(1)[1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）＝])4)(3(1)4)(2(1[8+++++⋅n n n n（设制分组）＝)4131(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）∴ ∑∑∑∞=∞=∞=++-+++-+=-+1111)4131(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）＝418)4131(4⋅++⋅ ＝313 提高练习：1．已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且1142(1,2,),1n n S a n a +=+==L ，⑴设数列),2,1(21ΛΛ=-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2ΛΛ==n a c n nn ，求证：数列{}n c 是等差数列； 2．设二次方程n a x 2-n a +1x+1=0(n ∈N)有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3．(1)试用n a 表示a 1n +；3．数列{}n a 中，2,841==a a 且满足n n n a a a -=++122 *N n ∈⑴求数列{}n a 的通项公式； ⑵设||||||21n n a a a S +++=Λ，求n S ；。