数列求和常见的7种方法

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数列求和的基本方法和技巧

一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式

错位相减法求和 反序相加法求和

法， 1、

2⎩3、

)1(211+==∑=n n k S n

k n 4、)12)(1(61

1

2++==∑=n n n k S n

k n

[例1] 已知3

log 1

log 23-=

x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=

x x x

由等比数列求和公式得

n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32

（利用常用公式）

＝x x x n

--1)1(＝2

11211(2

1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

（利

列.

[例{1-n x }的通项之积

设

n

n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=………………………. ②

（设制错位）

①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=-- （错

位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1

----⋅

+=-- ∴ 2

1)

1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2

2,,26,24,

2232n

n

前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项

②

12

2+-n n

[例

n

n n n n

（反序）

又由m n n m n C C -=可得

n

n n n n n n C C C n C n S ++⋅⋅⋅+-++=-1103)12()12(…………..…….. ② ①+②得 n n

n n n n

n n n C C C C n S 2)1(2))(22(2110⋅+=++⋅⋅⋅+++=- （反序相加）

∴ n n n S 2)1(⋅+=

[例6] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S …………. ①

将①式右边反序得

1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..

②

得

题1已知函数 （1）证明：；（2）求

的值（2

所以

.

练习、求值：

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.

[例7] 求数列的前n 项和：231

,,71,

41,111

2-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，… 解：设)231

()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a

a a S n n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++

=-n a

a a S n n

（分组）

)13(n

n -2

)13(n

n + [例k n

k ∑=1

2

)

1(22+n （分组求和）

＝2

)

2()1(2++n n n

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目

的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）

n n n n tan )1tan()1cos(cos 1sin -+=+ （3）1

1

1)1(1+-=+=n n n n a n （4）)121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=

n n n n n a n （5）])

2)(1(1

)1(1[21)2)(1(1++-+=+-=n n n n n n n a n

[例

[例10] 在数列{a n }中，11211++⋅⋅⋅++++=

n n

n n a n ，又1

2+⋅=n n n a a b ，求数列{b n }的前

n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++⋅⋅⋅++++=

∴

)11

1(82

122+-=+⋅=

n n n n b n