1.4线段、角的轴对称性(1)
线段、角的轴对称性课件1
因为点P是线段AB的垂直平分线上的 点，所以PA＝PB ．
l P
1 A
2 O
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B P
如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，因为点Q在 AB的垂直平分线上，所以QA＝QB． 于是PA＝PQ＋和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线．
P
Q
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
2．如图，要在公路旁设一个公交车的
停车站，停车站应设在什么地方，才 能使A、B两村到车站的距离相等？ B村 A村
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
1．如图，在线段AB的垂直平分线l上 任意找一点P，连接PA、PB，PA与
l P
PB相等吗？证明你的结论．
2．像这样的点P还有吗？为什么？
1 A 2 O B
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（1）
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
初中数学 八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
1.4(2)角的轴对称性
角的轴对称性
角平分线上的点到角的两边距离相等． 角平分线上的点到角的两边距离相等．
几何语言： 几何语言：
平分∠ 平分 ， ∵OP平分∠MON， 点C在OP上，且CA⊥OM于A， 在 上 ⊥ 于 ， CB⊥ON于B， ⊥ 于 ， ＝ ． ∴CA＝CB．
M A C B P N
O
我们已经知道： 我们已经知道：
如果点P 如果点P在∠AOB的平分线上，那么点P到 AOB的平分线上，那么点P 的平分线上 边OA、OB的距离相等． OA、OB的距离相等． 的距离相等
反过来： 反过来：
如果点P在∠AOB的内部，且点P到边OA、 如果点P AOB的内部，且点P到边OA、 的内部 OA OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ OB的距离相等，那么点P的位置如何呢？ 的距离相等
4.到三角形的三个顶点距离相等的点是 到三角形的三个顶点距离相等的点是 （ ） A.三条角平分线的交点 三条角平分线的交点 B.三条中线的交点 三条中线的交点 C.三条高的交点 三条高的交点 D.三条边的垂直平分线的交点 三条边的垂直平分线的交点
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，交BC于D， 、如图， 平分∠ 中 平分 ， 于 ， DE⊥AB，DF⊥AC，且BD = DC，问EB = FC吗？ ⊥ ， ⊥ ， ， 吗 说明理由 A
在∠AOB的内部任取折痕上的一点P，分 AOB的内部任取折痕上的一点P 的内部任取折痕上的一点 别作P OA、OB的垂线段PC、PD， 别作P到OA、OB的垂线段PC、PD，再 的垂线段PC 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ 沿原折痕重新折叠，你有什么发现？ C O D A P B
PC与PD重合， PC＝PD． PC与PD重合，即PC＝PD． 重合
《线段、角的轴对称性》PPT课件 (同课异构)2022年苏科版 (12)
x 0, (16)x 4.
解:原不等式组无解. -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
大大小小是无解
一般由两个一元一次不等式组成的不等式组的 解集，可以归结为下面四种情况：
上表可以找出规律，编为口诀：
①同大取大，同小取小；②大小小大取中间； ③大大小小是无解.
比一比：看谁反应快
运用规律求下列不等式组的解集：
A
M
N
B
E
F
C
例3.如图，已知一个锐角⊿ABC, （1）画出边AB、AC的垂直平分线m,n； （2）直线m,n交于点O，试说明点O到 ⊿ABC三个顶点的距离相等.
回顾与思考
线段是轴对称图形；
线段的对称轴是线段的垂直平分线和本身所在直线
∵ PO垂直平分AB.
l P
∴ PA = PB A
B O
线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等。
l P
A
B
O
∵ PO垂直平分AB.
∴ PA = PB
想一想
线段的垂直平分线外的点到线段两端
的距离相等吗？
l
P
Q
A
B
例1. 已知：如图，AB=AC=12 cm， BC＝7cm,AB的垂直平分线分别交 AC、AB于D、E，求△BCD 的周长.
A
E D
B
C
变式1. 已知：如图，AB=AC=12 cm，
x x
≥-2,
3
的负整数解是(
C
)
A. -2, 0, -1 , B. -2 , C. -2, -1,
D.不能确定.
(4)不等式组
x
x
≥-2, 的解集在数轴上表示为(
初中数学《线段、角的轴对称性》教案
初中数学《线段、角的轴对称性》教案教学课题：1.4线段、角的轴对称性(一)教学时间〔日期、课时〕：教材剖析：学情剖析：教学目的：1.阅历探求线段的轴对称性的进程，进一步体验轴对称的特征，开展空间观念；2 .探求并掌握线段的垂直平分线的性质；3.了解线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合；4 在〝操作---探求----归结----说理〞的进程中学会有条理地思索和表达，提高归结推理才干。
探求并掌握线段的垂直平分线的性质线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合教学预备«数学学与练»团体备课意见和主要参考资料页边批注加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页教学进程一．新课导入效果1：线段是轴对称图形吗？为什么？探求活动：活动一对折线段效果1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？效果2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？二．新课讲授结论：1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等(投影) 例题：例1P21(投影)这是一道文字描画的几何说理题，对大少数同窗来说容易了解，但不易表达，因此要做一定的剖析，如：你能读懂标题吗？题中哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？依据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点效果1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形〔保管作图痕迹〕，还能找出契合上述条件的点M吗？效果2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？契合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线加注名人名言苏州市第二十六中学备课纸第页一．稳固练习P23 习题1、2、3二．小结结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合这节课你学到了什么？页边批注加注名人名言板书设计作业设计书p17 3、4教学反思。
1.4 线段、角的轴对称性 练习(1)
学案1.4 线段、角的轴对称性知识与基础1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A 、一条线段B 、两条相交直线C 、有公共端点的两条相等的线段D 、有公共端点的两条不相等的线段2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。
其中轴对称图形共有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20º，则∠3＝______º；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A AD C DPO E B B E C4、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm.5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D CPA B6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。
（1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________；（2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。
7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
（1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？（2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。
应用与拓展8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C并说明理由。
B9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如1 2 3图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。
八年级数学《1.4线段、角的轴对称性》课件(第1课时)
A
0
BHale Waihona Puke L是AB的垂直平分线 AO BO AOP BOP 90 0 （理由：____________) 在AOP和BOP中 PO PO (____) _______(_____) _______(_____) ________(_____) ___ ___(_____)
性质2： 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上.
P
A
0
B
∵ PA=PB ∴点P在线段AB的垂直平分线上
点P在线 段AB的垂 直平分线 MN上
P
PA=PB
M
A
性质1：线段的垂直平分线上的点到线段两端的 距离相等. 性质2：到线段两个端点距离相等的点，在这条 线段的垂直平分线上. 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点 的集合.
线段垂直平分线的性质
性质1：线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等。 (书写格式)
P
∵点P是线段AB的垂直 平分线上的点
B
A
0
∴PA=PB(线段垂直平 分线上的点到线段两端 的距离相等
例1 如图，l是AB的垂直平分线，点P是l右
侧一点，你能判断PA、PB的大小吗？请说明 理由. l
P
Q
A 0 B
A D B E G F C
●本节课你还有哪些疑问?
与轴对称有关的问题
练习：
1. 如图，DE垂直平分BC，如果△ACD的 周长为17 cm，△ABC的周长为25 cm， 根据这些条件，你可以求出哪条线段的 长?
2. 已知：如图，AB=AC=12 cm， AB的垂直平分线分别交AC、AB 于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.
初中数学青年教师教学基本功比赛试题
初中数学青年教师教学基本功比赛试题基础知识测试题（南京下关）一、填空题（共6小题，每空0.5分，计10分）1．数学是研究________________________的科学，这一观点是由____________首先提出的．2．通过义务教育阶段的学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的____________、____________、____________、____________．3．维果斯基的“最近发展区理论”认为学生的发展有两种水平：一种是学生的___________发展水平；另一种是学生_________________发展水平，两者之间的差异就是最近发展区．4．从数学史上看，有理数的概念传入我国存在着翻译上的错误，其原意是_________数，包括______________小数和______________小数，______________的发现，引发了第一次数学危机．5．_________是概率论发展史上首先被人们研究的概率模型，它具有两个特征：一是_________、二是_______________．6．波利亚在其名著《怎样解题》中提出的解数学题的四个步骤是：_________________、_________________、_________________、_________________；他认为“怎样解题表”有两个特点，即普遍性和_____________性．二、简答题（共3小题，每小题5分，计15分）7．大约在公元前6世纪至4世纪之间，古希腊人遇到了令他们百思不得其解的三大尺规作图问题，这就是著名的古代几何学作图三大难题．请你简述这三大难题分别是什么？8．《义务教育数学课程标准》（2011年版）从知识与技能等四个方面对总目标进行了阐述．（1）请写出其他三个方面目标的名称；（2）请简述总目标的这四个方面之间的关系．9．“角平分线上的一点到角的两边距离相等”这一结论在苏教版义务教育数学教材八上的《1.4线段、角的轴对称性》以及九上的《1.2直角三角形全等的判定》中都有所出现．请你结合教学实际，简述课本上八上和九上分别是如何引导学生得到这一结论的，说说它们之间的区别、联系和这样安排的意义．参考答案：1．数量关系和空间形式．2．基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验．3．现有，可能的．4．成比例的数，有限，无限循环，无理数．5．古典概型，（试验结果的）有限性，（每个结果的）等可能性．6．弄清问题、拟定计划、实施计划、回顾反思；常识．7．三等分角问题：将任一个给定的角三等分．立方倍积问题：求作一个正方体的棱长，使这个正方体的体积是已知正方体体积的二倍．化圆为方问题：求作一个正方形，使它的面积和已知圆的面积相等．8．（1）数学思考、问题解决、情感态度；（2）四个方面是一个有机的整体；教学要兼顾这四个目标，这些目标的实现，是学生受到良好数学教育的标志；后三个目标的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现．9．八上《1.4线段、角的轴对称性》中是通过学生动手操作，采取折纸的方法折出角的平分线，再过角平分线上一点折出角的两边垂线段，然后度量这两条线段的长度得出结论的；九上《1.2直角三角形全等的判定》是通过严格的推理论证，采用自己画图、写已知、求证并证明得出结论的．它们的区别是，一个是通过动手操作，一个是通过严格证明．联系是，前面的学习为后面的学习作铺垫，在进行严格的证明之前，学生已经熟练地掌握了这一结论的运用．意义是，符合学生的认知发展规律，使学生的认知从感性上升到理性，既培养了学生的动手能力，又培养了学生的推理论证能力．符带说明：1．专业技能比赛包括基础知识测试和解题能力测试两部分．基础知识测试内容包括数学文化（数学史）常识和数学教育基础知识（教材、课程标准、教育学、心理学、教学论、教学法等）．解题能力测试内容包括基础题（教材中的基本定理、公式的证明，教材例题、习题、复习题）与综合题（与中考中档题难度相当）．2．第1、2、8题考查对《课标》学习和理解情况（称为课标板块）；第4、5、7题结合苏教版初中数学教科书的教学内容对数学史进行简单的考查（称为数学史板块）；第3、6、9题是对心理学、数学教育学、教材和教学法等相关知识的考查（称为综合板块）．2012年雨花台区小学数学青年教师教学基本功比赛教育教学知识常识比赛试卷（满分100分，时间60分钟）姓名成绩一、填空题：本大题共8个小题，共22个空，每空1分，共22分。
线段角的轴对称性
（二）新授
1、请同学们将事先准备的薄纸拿出来，在上面任意画一个角（∠AOB），折纸使两边OA、OB重合，你发现折痕与∠AOB有什么关系？
学生通过动手和讨论得到结论：角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
2、在∠AOB的内部任意取折痕上的一点P，分别作点P到OA和OB的垂线段PC=PD，再沿原折痕折纸，会有什么结论？
完成练习P25、1
5、例题：任意画∠O，在∠O的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB，过点A画OA的垂线，过点B画OB的垂线，设2条垂线相交于点P，点O在∠APB的平分线上吗？为什么？
学生思考，回答，老师用课件给出证明过程：
点O在∠APB的平分线上。
因为OA⊥PA，OB⊥PB，且OA=OB，即点O到∠APB的两边的距离相等，
学生作图探究，可得到很多结论，如PC=PD，PC、PD关于折痕对称等等，点评学生的各种结论并强调重点：角平分线上的点到角的两边距离相等。
3、上节课我们已经学习了：若点P在线段AB的垂直平分线上，那么PA=PB，如果QA=QB，那么点Q在线段AB的垂直平分线上。今天我们又学了若点P在∠AOB的平分线上，那么点P到OA、OB的距离相等；反过来，你能提出什么猜想吗
所以点O在∠APB的平分线上。
理由是：到角的两边距离相等的点在这个角平分线上。
思考：点P也在AOB的平分线上吗?为什么？
完成练习P25、2
（三）小结：今天，我们学习了角的轴对称性，角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。角平分线上的点到角的两边距离相等。到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。角平分线是到角两边距离相等的点的集合。
课堂练习得分
1.如图，在△ABC中，∠C = 90°，AD平分∠BAC，且CD = 5，则点D到AB的距离为.
数学八1.4《线段、角的轴对称性》答案
数学八(上)1.4《线段、角的轴对称性》练习及答案(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学八（上）《线段、角的轴对称性》练习1.在一张薄纸上任意化一个三角形ABC,用折纸的方法分别折出边AB和AC的垂直平分线了l1和l2，l2的交点为0.点O在边BC的垂直平分线上吗为什么（第1题答案）答案：点O在边BC的垂直平分线上，因为点O在AB、AC的垂直平分线上，所以OA=OB,OA=OC,理由是：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
由此得到OB=OC，所以点O在BC的垂直平分线上。
理由是：到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
2.利用网络线画图：（1）在图①中，画线段PQ的垂直平分线；（2）在图②中，找一点O，使OA=OB=OC。
答案：2. （1）（2）○1（第2题答案）○2借助网络和全等三角形的知识，图○1中关键是找出M和点N ;图○2中要找的点O在垂直平分BC的网络线上。
3.任意画一个钝角三角形ABC（∠A＞90°）（1）用直尺和圆规分别作两边AB和AC的垂直平分线l1和l2（2）l1、l2的交点O到点B、C的距离是否相等？答案：（1）（第3题答案）（2）OB=OC.4.（1）在一张薄纸上画△ABC及其两个外角（如图），用折纸的方法分别折出∠BAD和∠ABE的平分线，设两条折痕的交点为O;（2）用直尺和圆规∠C的平分线CF，如果你折纸和作图都十分准确，点O 应该在射线CF上，这是为什么？(第4题) (第4题答案)答案：（1）略（2）因为点O分别在∠BAD和∠ABE的平分线上，所以点O到AD的距离等于点O到AB的距离。
点O到BE 的距离等于点O到AB的距离，于是可得点O到AD、BE的距离相等、所以点O 在∠C的平分线上。
5.利用网格想作图：（1）在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等;(2) 在射线AP上找一点Q，使QB = QC .（第5题）答案：图略。
1.4线段、角的轴对称性(1)
江苏省苏州市木渎实验中学
二 、探索思考
1请你准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线 段AB，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 2如图，直线l⊥AB， 垂足为C， CA=CB，点M在l上，那 么 . 你还能得出一个更一般的结论 吗？
l
பைடு நூலகம்
结论：线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点 的距离相等
图 10.2.1
3线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点 的距离相等吗？为什么？ 江苏省苏州市木渎实验中学
江苏省苏州市木渎实验中学
C
3.如图,△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E， 与BC交于D，∠C=150, ∠BAD=600，则△ABC是__________三角形.
A E B D C
江苏省苏州市木渎实验中学
4. 如图，△ABC中，∠C=900，DE是AB的垂 直平分线，且∠BAD，∠CAD=3：1，则∠B ＝_______.
初中数学八年级上册 （苏科版
1.4 线段、角的轴对称性（1）
江苏省苏州市木渎实验中学
一、情境创设： 如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决 村民子女就近入学问题，计划建一所小学， 要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回 设计师，在图中确定学校的位置，你能办到 吗？ A B
.
.
.C
江苏省苏州市木渎实验中学
江苏省苏州市木渎实验中学
7、如图，在直线MN上求作一点P，使PA=PB
8、已知：如图，AB=AC=12 cm， AB的垂直平分线分别交AC、AB 于D、E，△ABD的周长等于29 cm， 求DC的长.
江苏省苏州市木渎实验中学
9、已知：在△ABC中，AB＜AC， BC边上 的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E， AC＝8 cm，△ABE的周长是14 cm，求AB 的长．
2_4线段、角的轴对称性(1)教案
2.4 线段、角的轴对称性（1）学习目标：1.知道线段的垂直平分线的概念，知道成轴对称的两个图形全等，对称轴是对称点的连线的垂直平分线.2.经历探索轴对称的性质的活动的过程，进一步发展空间观点，以及有条理地思考和表达的水平. 教学过程： 一、创设情境：1.复习提问：什么是轴对称图形，线段是轴对称图形吗？为什么？ 二、探索活动 实践探索一1.在一张薄纸上画一条线段AB ，操作并思考：线段是轴对称图形吗？如果是，对称轴在哪里？为什么？2.你能画出线段AB 的对称轴吗？说明理由。
实践探索二上图中，线段AB 的垂直平分线l 交AB 于点O ，点P 是l 上任意一点，P A 与PB 相等吗？为什么？通过证明，你发现了什么？用语言描述你得到的结论． 总结：线段垂直平分线上的点有什么特点？ 实践探索三试判断：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？引导学生展开讨论：1．你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？ 2．请你利用题中的已知条件和要说明的结论画出图形．3．根据图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图，讨论研究，并给出结论和证明． 教师点评，给出解答过程：解：线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离不会相等． 如图，在线段AB 的垂直平分线l 外任取一点P ，连接P A 、PB ，设P A 交l 于点Q ，连接QB ．根据“线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，因为点Q 在AB 的垂直平分线上，所以QA ＝QB ．于是P A ＝PQ ＋QA ＝PQ ＋QB ．因为三角形的两边之和大于第三边，所以PQ ＋QB ＞PB ，即P A ＞PB ．三、实践应用：课本52页练习1、2 四、例题教学：QlPBA天才由于积累，聪明在于勤奋。
2EDCBA例1已知：如图，AB =AC =12 cm ，AB 的垂直平分线分别交AC 、AB 于D 、E ，△ABD 的周长等于29 cm ，求DC 的长.例2 右图所示，直线MN 和DE 分别是线段 AB 、BC 的垂直平分线，它们交于P 点.P A 和 PC 相等吗?为什么?五、课堂小结 六、课堂反馈1.已知点P 在线段AB 的垂直平分线上，点Q 在线段AB 的垂直平分线外，则线段PA 与PB______，线段QA 与QB________（填“相等”或“不相等” ）。
设计轴对称图案
1设计轴对称图案练习反馈1．如图，将一正方形纸片沿图（1）、（2）的虚线对折，得到图（3），然后沿图（3）中虚线的剪去一个角，展开得平面图形（4），则图（3）的虚线是（）2、在下图的各图中，画△A＇B＇C＇，使与△ABC关于l成轴对称图形。
3．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A，则如图所示8个点中，可以瞄准的点的个数（）A．1 B．2 C．4 D．64．如图，直线a是线段AD、BC的垂直平分线，则AC、BD的交点O在直线a ．5．如果一个三角形有3条对称轴，则此三角形是．6．用四块如图（1）所示的黑白两色正方形瓷砖拼成一个新的正方形，使拼成轴对称图案，请至少给出三种不同的拼法：(2)(3)(4)(1)DCBA．．．．．．．．．．第3题BAa第4题DB CA(1)7．新的一学期开始了，同学们一定对这学期充满着希望，请你利用汉语拼音字母X、W的对称性，设计一幅以“希望”为主题的图案，并为你的作品命名.二、拓展提高8．将1，1，1，2，2，2，3，3，3九个数字分别填入一个3 3的方格，成一个三阶幻方（各行、各列和各条对角线上数字的和都相等）.若将幻方沿某条对称轴对折，对称位置的数字相同，则称这个幻方为“对称幻方”.请你作出一个对称幻方，并说出有几条对称轴.9．教你剪五角星：方法是拿一张长方形的纸，先对折，然后将平角分成五等份如图（1），沿着虚线折叠起来，形成如图（2），在五等份的折线上，取点A和点C，使OC比三分之一的OA稍微长一点，沿斜线AC把图（2）中的阴影部分剪掉，然后把纸展开，就得到了一个正五角星，如图（3）；（请你把剪好的五角星贴在作业纸上）.1.4 线段、角的轴对称性(1)2。
八上 1.4 线段、角是轴对称性(1)
1.4 线段、角是轴对称性（1） 教案班级 姓名 学号教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质教学过程：教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合教学过程：一、情境创设：如图，A ,B ,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？相信通过本课的学习，你就会轻易的解决这个问题新授：1、让学生准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB ，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 学生通过动手和讨论得到结论：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2练习：如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，CA =CB ，点M 在l 上，那么 .你还能得出一个更一般的结论吗？结论： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等A B C例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？思考题：如图1，已知线段AB，你能否利用圆规找一点Q，使点Q到A、B的距离相等，观察点Q是否在直线l上？老师巡视，给予个别辅导最后给出肯定答案：即：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3、用尺规作图法作线段的垂直平分线在总结上一题的基础上，老师给出作图过程和作图方法，学生在理解的基础上模仿，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线的方法.师生共同总结：如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么，若点P在l上，则PA=PB；若QA==QB，则点Q在l上.由此，可得到：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合二、例题示范：例2、如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE ＝6，求△BCE的周长．图10.2.2。
八上数学评价手册答案
初二数学（八上）创新教育实验手册参考答案（苏科版）第一章轴对称图形1. 1 轴对称与轴对称图形【实践与探索】例1 请观察26个大写英文字母，写出其中成轴对称的字母．解：成轴对称的字母有：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y．注意：字母“N、S、Z”也具有对称的特点，但它们不是轴对称图形．例2 国旗是一个国家的象征，观察图1.1.1中的国旗，说说哪些是轴对称图形，并找出它们的对称轴．（略）【训练与提高】一、选择题：1．A2．D3．B4．A5．A二、填空题：6．（1）（2）（5）（6）7．2，3，1，4 8．10∶21三、解答题：9．如图：10．长方形、正方形、正五边形【拓展与延伸】1．（3）比较独特，有无数条对称轴ABCD 1D 2B 1CBAC 1A 1图1.2.12．1.2 轴对称的性质（1）【实践与探索】例1 已知△ABC 和△A 1B 1C 1是轴对称图形，画出它们的对称轴．解： 连接AA 1，画出AA 1的垂直平分线L ，直线L 就是△ABC 和△A 1B 1C 1的对称轴．回顾与反思 连接轴对称图形的任一组对称点，再画对称点所连接线段的垂直平分线，就得该图形的对称轴．例2 如图1.2.2，用针扎重叠的纸得到关于L 对称的两个图案，并从中找出两对对称点、两条对称线段．解：可标注不同的对称点．例如：A 与A '是对称点，B 与B '是对称点． 对称线段有AB 与A 'B '，CD 与C 'D '等．回顾与反思 研究对称点是研究对称图形的基础，一般先研究对称点，再研究对称线段，这能更清楚地了解轴对称的性质． 【训练与提高】 一、选择题：1．B 2．D 3．B 4．A 二、填空题：5．轴对称，3条 6．略 7．810076 8．AB ＝CD BE ＝DE ∠B ＝∠D 三、解答题：9．2，4，5 10．略 11．不是，不是 12．略 13．在对称轴上 【拓展与延伸】 1．如图：图1.2.2图1.2.３（1） （2）图1．2．4 图1．2．52．如图：1.2轴对称的性质（2）【实践与探索】例1 画出图1.2.3中△ABC 关于直线L 的对称图形．解： 在图1.2.3（1）和图1.2.3（2）中，先分别画出点A 、B 、C 关于直线L 的对称点1A 、1B 和1C ，然后连接11B A 、11C B 、11A C ，则△111C B A 就是△ABC 关于直线L 对称的图形．回顾与反思 （1）如果图形是由直线、线段或射线组成时，那么在画出它关于某一条直线对称的图形时，只要画出图形中的特殊点（如线段的端点、角的顶点等）的对称点，然后连接对称点，就可以画出关于这条直线的对称图形； （2）对称轴上的点（如图1.2.3（1）中的点B ），其对称点就是它本身．例2 问题1：如图1.2.4，在一条笔直的河两岸各有一个居民点A 和B ，为方便往来，必须在河上架桥，在河的什么位置架桥，才能使A 和B 两地的居民走的路最短？问题2：如图1.2.5，在一条河的同岸有两个居民点A 和B ，现拟在岸上修建一个码头，问码头修在何处，才能使码头到A 和B 两地的总长最短？①②③④图1.2.4 问题1和问题2之间有联系吗？能从前一个问题受到启发来解决这个问题吗？ 探索：对问题1，显然只要连接AB ，AB 与a 的交点就是所要找的点． 对问题2，即要在直线a 上找一点C ，使AC ＋BC 最小． 分析： 我们用“翻折”———轴对称的方法．画点C ：（1）作点A 关于直线a 的对称点A '；（2）连结A 'B 交a 于点C ，点C 就是所求作的点．理由：如图1.2.4，如果C '是直线a 上异于点C 的任意一点，连A C '、B C '、A ' C '，则由于A 、A '关于直线a 对称，所以有'''',C A AC C A AC ==．所以 '''''BC C A BC AC +=+＞BC AC BC C A B A +=+=''． 这说明，只有C 点能使AC ＋BC 最小．【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．A 二、填空题：5．（1）等腰三角形 （2）矩形 （3）等边三角形 （4）正方形 （5）五角星 （6）圆 6．不对称、不对称 7．5个 三、解答题： 8．略 9．略10．画图略 11．如图：12．画出点A 关于直线L 的对称点A '，连结A 'B 与直线L 的交点即为所求停靠点．【拓展与延伸】图1.3.11．图略2．图略1.3设计轴对称图形【实践与探索】例1 剪纸，千百年来在民间时代流传，给我们的生活带来无限的美丽！动手学一学：观察一下，图1.3.1中最后的展开图是一个轴对称图形吗？它有几条对称轴？例2 如图1.3.2，以直线L为对称轴，画出图形的另一半．图1.4.1【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．B 二、填空题： 3．M 、P 、N 、Q 三、解答题： 4．如图：5．略 6．如日本、韩国 、等 7．略 8．图略 【拓展与延伸】 1．图略2．图略，答案不唯一1.4 线段、角的轴对称性(1)【实践与探索】例1 如图1.4.1，在△ABC 中，已知边AB 、BC 的垂直平分线相交于点P ． (1)你知道点P 与△ABC 的三顶点有什么关系？ (2)当你再作出AC 的垂直平分线时，你发现了什么？解：(1)点P 与△ABC 的三顶点距离相等，即P A ＝PB ＝PC ． (2)如图，AC 的垂直平分线也经过P 点．即三角形的三条中垂线交于一点． 例2 如图1.4.2，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，D 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，交AC 于E ．已知△BCE 周长为8，且AB －BC ＝2，求AB 、BC 的长．分析：由题意可知，DE垂直平分AB，则有AE＝BE，因此△BCE的周长就转化为AC＋BC，问题即可解决．解：因为D是AB的中点，且DE上AB，所以AE＝BE，则△BCE的周长＝BE＋CE＋BC－AE＋CE＋BC＝AC＋BC＝8．又因为AB－BC＝2，AB＝AC，所以AC－BC＝2.由上可解得AC＝5，BC＝3．回顾与反思(1)本题中利用“E是线段AB的垂直平分线上的点”得到“AE＝BE”，从而实现了“线段BE"的转移，这是我们常用的方法；(2)利用“线段的中垂线的性质”可以说明两条线段相等．【训练与提高】一、选择题：1．C2．D3．D4．A二、填空题：5．无数个6．6，2 7．10，8 cm 8．9 cm三、解答题：9．24010．连结AB，作AB的中垂线交直线L于P，点P即为所求作的点11．24 cm 12．(1) 35 0（2）55 0【拓展与延伸】1．图略（1）只要任意找一个以A为顶点的格点正方形，过点Ａ的对角线或其延长线与BＣ的交点就是点Ｐ（2）找与A为顶点的正方形中与A相对的顶点．2．9 cm1.4 线段、角的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.4.3，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O．请问：(1)你知道点O与△ABC的三边之间有什么关系吗？图1.4.３(2)当你再作出∠A的平分线时，你发现了什么？解：(1)点O到△ABC的三边的距离相等；(2)如图1.4.3，∠A的平分线也经过点D，即三角形的三条角平分线交于一点．例2 已知：如图1.4.4，AD∥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，且点E是DC的中点．问：AD、BC与AB之间有何关系？试说明之．分析：此题结论不确定，从已知中收集有效信息，并大胆尝试（包括用刻度尺测量）是探索、猜想结论的方法．图1.4.4 (1)将“AE平分∠BAD"与“DE⊥AD"结合在一起考虑，可以联想到，若作EF⊥AB于F，就构成角平分线性质定理的基本图形，可得AF＝AD．(2)再结合“点E是DC的中点”，可得：ED＝EF＝EC．于是连接BE，可证BF＝BC．这样，AD＋BC＝AF＋BF＝AB．解：AD、BC与AB之间关系：AD＋BC＝AB．证明思路简记如下：作EF⊥AB，连接BE，易证△ADE≌△AFE( AAS)，∴AD＝AF．再由EF＝ED，EF＝EC，可得△BFE≌△BCE( HL)，∴BF＝BC，AD＋BC＝AB．回顾与反思(1)根据例1的结论，我们可以在三角形内找到一点，使它到三角形三边距离都相等；(2)利用角平分线的性质，可以说明两条线段相等，这也是我们常用的办法．【训练与提高】一、选择题：1．A2．B3．A4．C二、填空题：5．线段的垂直平分线、角平分线6．3 7．900三、解答题：8．略9．过P点分别作垂线10．作图略11．作MN的中垂线，∠AOB 的平分线交点即是12．6 cm【拓展与延伸】图1.5.1BE D CFA1．600 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(1)【实践与探索】例1 (1)已知等腰三角形的一个角是1000，求它的另外两个内角的度数； (2)已知等腰三角形的一个角是800，求它的另外两个角的度数．分析： (1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和为1800，所以1000的角一定是这个三角形的顶角；(2)等腰三角形的一个角是800，要分底角为800或顶角为800两种情况． 解：(1)由于等腰三角形两底角相等，且三角形的内角和等于1800，这个三角形的顶角等于1000，所以这个三角形的另两个内角应为21(1800 － 1000)＝400． (2)①底角为800时，另外两角分别为800和200；②顶角为800时，另外两角分别为500和500．回顾与反思 ：(1)当不知道已知的角是等腰三角形的顶角还是底角，此时须进行讨论；(2)若把已知角改为α，则这个等腰三角形另外两个角的度数是怎样的呢？例2 如图1.5.1，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点， DE ⊥AB ，垂足为E ， DF ⊥AC ，垂足为F ．试说明DE ＝DF 的道理． 分析：本题可以根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”来说明 DE ＝DF ．也可以利用△ADB 和△ACD 面积相等来说明DE ＝DF ， 或用全等来说明．【训练与提高】 一、选择题：1．A 2．C 3．C 4．C 5．A 二、填空题：图1．5．2图1.5.36．5 cm 7．6 cm ，2 cm ，或4 cm ，4 cm8．（1）12.5 （2）3>a ，120<<b 9．3，3，4或4，4，2 三、解答题：10．（1）700、400 或 550，550 （2） 300，300 11．750，750，300 12．33 cm 13．1080 14．BD ＝CE . 理由：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ．∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED ．∴∠ADB ＝∠AEC ．∴ΔABD ≌ΔACE ．∴BD ＝CE【拓展与延伸】 1．1000 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(2)【实践与探索】例1 如图1.5.2，在△ABC 中，已知∠A ＝360，∠C ＝720， BD 平分∠ABC ，问图中共有几个等腰三角形？为什么？ 解：图中共有3个等腰三角形． ∵∠A ＝360，∠C ＝720，∴∠ABC ＝1800一（∠A ＋∠C ）＝1800－ (360＋720) ＝720＝∠C ， ∴△ABC 是等腰三角形．又∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD ＝21∠ABC ＝360， ∠BDC ＝∠A ＋∠ABD ＝360＋360＝720， 即有∠A ＝∠ABD ，∠BDC ＝∠C ．∴△ABD 和△BCD 都是等腰三角形． ∴图1.5.2中共有3个等腰三角形．例2 如图1.5.3所示，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝ 900．，M 、N 分别是AC . BD 的中点，试说明： (1)DM ＝BM ； (2)MN ⊥BD ．图1.5.4解： (1) ∵点M 是Rt △ABC 斜边的中点，∴BM ＝21AC ， 同理DM ＝21AC ，∴BM ＝BM ； (2) ∵N 是BD 的中点，又BM ＝DM ，∴MN ⊥BD ． 回顾与反思 (1)“等边对等角”和“等角对等边”是证明角相等或边相等的又一手段，要能够将这两条定理结合在一起灵活运用，要分清区别和联系；(2)看见直角三角形斜边的中点时，要联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，这是我们常用的思维方式之一． 【训练与提高】 一、选择题：1．D 2．B 3．D 4．C 二、填空题：5．等腰 6．8 7．350 ， 218．（1）ΔBDE 或ΔADE （2）ΔBCE（3）ΔAGF 三、解答题：9．等腰三角形 10．ΔABC ，ΔAEF ，ΔEBO ，ΔFCO ，ΔOBC BE ＝CF ＝21EF 11．平行 12．10 cm 【拓展与延伸】1．延长AE 交BC 延长线于F 2．略1.5 等腰三角形的轴对称性(3)【实践与探索】例1 如图1.5.4，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝ 1200，点D 、E 在BC 上，且BD ＝AD ，CE ＝AE ．判断△ADE 的形 状，并说明理由．解： △ADE 是等边三角形．理由：∵AB＝AC，∠BAC＝120．，∴∠B＝∠C＝300．∵BD＝AD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD＝300，∠C＝∠CAE＝300，∴∠ADE＝∠DAE＝∠AED ＝600.∴△ADE是等边三角形．例2 等腰三角形的底边长为5 cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分之差为3 cm，则腰长为( ) A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．以上都不对分析可以先画出草图，题中所给条件实质是腰长与底边长之差的绝对值为3 cm．因为底边长为5 cm，所以腰长可能为8 cm或2 cm，但由于2 cm ＋2 cm ＜5 cm，故腰长不能为2 cm，只能为8 cm．解：选B．回顾与反思涉及求等腰三角形边或角时，常会出现“两解”的情况．这样的“解”需要检验它是否满足三角形的三边或三角之间的关系．【训练与提高】一、选择题：1．D2．D3．C4．A5．C二、填空题：6．等边、等边7．150 8．1200三、解答题：9．cm1010、略11．（1）EC＝BD（2）添加条件：AB＝AC，是轴对称图形，此时，∠BOC＝1200，12．过D点作AC平行线【拓展与延伸】1．添辅助线，通过ΔACD≌ΔBCE来说明2．略1.6 等腰梯形的轴对称性(1)图1.6.1图1.6.2【实践与探索】例1 如图1.6.1，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ， AB ＝CD ， 点E 在BC 上，DE ∥AB 且平分∠ADC ，△CDE 是什么三角形？ 请说明理由．解： △CDE 是等边三角形．因为AD ∥BC ， AB ＝CD ，所以∠B ＝∠C ．理由：“等腰梯形在同一底上的两个角相等”又因为AD ∥BC ，所以∠ADE ＝∠CED ．由DE 平分∠ADC ，可得∠ADE ＝∠CDE ， 于是∠CED ＝∠CDE .又因为AB ∥DE ，所以∠B ＝∠CED ，从而有∠C ＝∠CED ＝∠CDE ，所以△CDE 是等边三角形．回顾与反思 等腰梯形与等腰三角形有着紧密的联系．在研究等腰梯形时，要联想到等腰三角形中的知识．例2 如图1.6.2，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ， ∠B ＝600， AB ＝2，BC ＝6．将纸片折叠，使得点B 与点D 恰好重合，折痕为AE ，求AE 和CE 的长． 解 ∵点B 与点D 沿折痕AE 折叠后重合，∴△ABE ≌△ADE ， ∴ ∠1 ＝ ∠B ＝600， ∠3 ＝∠4. ∵AD ∥BC ， ∴∠1 ＝ ∠2＝600.而∠2 ＋ ∠3 ＋ ∠4＝ 1800， ∴ ∠3 ＋ ∠4 ＝1200， ∴ ∠3 ＝∠4＝600，而∠B ＝600，∴∠5 ＝600，因此，△ABE 是等边三角形． ∴AE － BE ＝AB ＝2， ∴CE ＝BC － BE ＝4.回顾与反思 解题过程中要把等腰梯形和一般梯形的特征区分开，不可误用． 【训练与提高】 一、选择题： 1．B 2．C 3．B图1.6.3BCFADE二、填空题：4．1080，1080，720 5．27 6．①②③④ 7．1 cm 8．150 三、解答题：9．∠A ＝∠E 10．72 0 、72 0 、108 0、108 0，11．成立 【拓展与延伸】 1．CE ＝21（AB ＋BC ） 过点C 作CF ∥DB ，交AB 的延长线于点F ，先证：ΔDCB ≌ΔFBC ，则CF ＝DB ，又四边形ABCD 是等腰梯形，则AC ＝DB ，故AC ＝CF ， 易证：∠AOB ＝∠ACF ，所以ΔACF 为等腰直角三角形． 又因为CE ⊥AB ，易证：CE ＝AE ＝EF ＝2BCAB ． 2．4，61.6等腰梯形的轴对称性（2）【实践与探索】例1 如图1.6.3，△ABC 中，∠ACB ＝900，D 是AB 的中点，DE ∥AC ，且DE ＝AC 21，点F 在AC 延长线上，且CF ＝AC 21，请说明四边形AFED 是等腰梯形．略证：先说明四边形CFED 是平行四边形．由CD ∥EF ，∠F ＝∠ACD ，且CD 是RT △ABC 斜边上的中线 得∠A ＝∠F ，证得四边形AFED 是等腰梯形回顾与反思 要证明梯形是等腰梯形时，只要证明同一底上的两个角相等．例2 阅读下面的分析过程，并按要求回答问题．已知在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AC ＝BD ，AD ≠BC .则四边形ABCD 是等腰梯形．你能说明理由吗？分析：要证明四边形ABCD 是等腰梯形，因为AB ＝DC ，所以只需证四边形ABCD(1)(2)(3)(4)图1.6.4是梯形即可；又因为AD ≠BC ，故只需证AD ∥BC ．现有如图1.6.4所示的几种添辅助线的方法，可以任意选择其中一种图形，对原题进行证明．友情提示：充分利用全等三角形与等腰三角形来完成．回顾与反思 在研究等腰梯形时，常常通过辅助线，使等腰梯形与等腰三角形、平行四边形联系起来． 【训练与提高】 一、选择题：1．C 2．C 3．B 4．B 5．C 二、填空题：6．24 7．50 0 、50 0 、130 0、130 0， 8．是 9．80 0 、80 0 、100 0， 等腰 三、解答题：10．略 11．ΔABC ≌ΔDCB12．是，理由：∵∠E ＝∠ACE ，∴AE ＝AC ∵AD ∥BC ，∴∠DAC ＝∠ACE ∴∠E ＝∠DAC ∵AD ＝BE ，∴ΔABE ≌ΔCDA ∴AB ＝CD ∴梯形ABCD 是等腰梯形．13．∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB ．∵BD ⊥AC ，CE ⊥AB ，∴∠BEC ＝∠CDB ＝900，BC ＝BC ∴ΔBEC ≌ΔCDB ．∴BE ＝CD ∴AE ＝AD ．∴AED ＝∠ADE ＝21800A ∠-．∵∠ABC ＝∠ACB ＝21800A∠-，∴∠AED ＝∠ABC .∴ED ∥BC .∵BE 与CD 相交于点A ，∴BE 与CD 不平行．∴四边形BCDE 是梯形．∵∠EBC ＝∠DCB ，∴梯形BCDE 是等腰梯形．M NF DCBA E 【拓展与延伸】 1．26，322．解：设经过x 秒后梯形MBND 是等腰梯形， ∵作ME ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．∴BE ＝FN ＝AM ＝x ．∴EF ＝MD ＝21－x ，CN ＝2x ，BN ＝24－2x ． ∴BN ＝2AM ＋MD ．即24－2x ＝2x ＋21－x ，∴x ＝1．第一章复习题A 组：1．A 2．C 3．B 4．D 5．C 6．、18或21，22 7．35 0 、35 0 ；40 0、100 0或700、700 8．3 cm 或7 cm 9．7，10或8.5， 8.5 10．（1）300， （2）19 11．1000 12．（1）400，（2）350，（3）360 13．450 1350 等腰 14．等腰梯形 15．3 B 组：16．略 17．略 18．27 300 19．提示：先证：ΔADE ≌ΔADC ，则DE ＝DC ，所以∠DEC ＝∠DCE ，又EF ∥BC ，所以∠DCE ＝∠FEC ，则∠FEC ＝∠DEC 20．51221．略 22．提示：连结CR 、BP ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．第二章 勾股定理与平方根答案2.1 平方根⑴例1解： ⑴∵(±10)2＝100，∴100的平方根是±10，即10100±=±；⑵∵(±1.3)2＝1.69，∴1.69的平方根是±1.3，即3.169.1±=±； ⑶∵49412= ，(±23)2＝49，∴49的平方根是±23，即23412±=±；⑷∵02＝0，∴0的平方根是0，即00=.回顾与反思：⑴正数的平方根有两个，它们互为相反数，要防止出现100的平方根是10的错误；⑵当被开方数是带分数时.应先将它化成假分数后再求平方根； ⑶ 0的平方根只有一个，就是0，负数没有平方根. 例2解： ⑴∵－64＜0，∴－64没有平方根；⑵∵(－4)2＝16＞0； ∴(－4)2有两个平方根，即416)4(2±=±=-±； ⑶∵－52＝－25＜0， ∴－52没有平方根；⑷∵81表示81的正的平方根是9，∵9＞0， ∴81的平方根有两个是±3.回顾与反思：象(－4)2、81这样的数求平方根时，应先将这些数化简，再求化简后的数的平方根.例3解：⑴ ∵1962=x ，∴x 是196的平方根，即14196±=±=x ；⑵ ∵01052=-x ，∴22=x ，x 是2的平方根，即2±=x ；⑶ ∵()0253362=--x ， ∴()362532=-x ， ∴()3-x 是3625的平方根，即653±=-x ； ∴6231=x ，6132=x【训练与提高】1. B ； 2D ； 3B . 4.3； 5.±17；±4； 6.±15；54-； 7.－1； 49； 8.9；81； 9.0. 10．⑴－8；⑵±1.3；⑶35-；⑷－9；11.⑴±5；⑵±9；⑶21±；⑷3，－1；12.25； 13．±4.【拓展与延伸】1. ±9；2.±3. 2.1 平方根⑵例1分析：10000表示10000的_________根； 225121-表示225121的算术平方根的相反数； 8149±表示8149的__________根.解 ⑴100100100002==； ⑵ 1511)1511(2251212-=-=-； ⑶ 97)97(81492±=±=±. 回顾与反思：10000表示10000的算术平方根，要防止出现10000＝±100的错误.探索：⑴发现： 当0≥a 时，a a =2)(.⑵发现：当0>a 时，a a =2， 当0<a 时， a a -=2；当0=a 时， 02=a .即⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a .例2解： ⑴ 2)3(-＝3； ⑵2)3(-＝3；⑶ 当x ＞0时，x x =2)(； ⑷当0<a 时，03<a ，a a a a 3|3|)3(922-===.回顾与反思：等式)0(2≥=a a a 和⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==)0()0(0)0(||2a a a a a a a ，是算术平方根的两个重要性质.以后经常会用到它们. 【训练与提高】1.B ；2.A ；3.B4.D ；5.D ；6.C .7.⑴±15，15；⑵127± ， 127；⑶±0.1，0.1；⑷17,17±.⑸±2，2；8.169；3± 9.0≥a ，2；10.9=x ；11.－1； 12.－3，互为相反数. 13.⑴ 1；⑵65-； ⑶136±；⑷0.17；⑸.5；⑹.－0.3；⑺954.⑻152.【拓展与延伸】1. ±5，±1 ；12. 5. 2.2立方根例1分析 因为立方与开方互为逆运算，因此我们可以用立方运算来求一个数的立方根，也可以通过立方运算来验证一个数是否为另一个数的立方根.例1解 ⑴∵278)32(3=，∴322783=； ⑵∵278)32(3-=-，∴322783-=-；⑶、⑷、⑸略.例2解 ⑴34)34(2764271023333-==-=--； ⑵52)52(125812583333===--. ⑶略.回顾与反思：⑴当被开方数带“－”号时，可把“－”提取到根号外后再计算； ⑵当被开方数是带分数时，应先化成假分数； ⑶当被开方数没化简时，应先化简后再求值.例3解 ⑴28,8,16233-=-=-=-=3x x x ；⑵略回顾与反思：平方根与立方根的区别如下：⑴表示的意义不同；⑵a 与3a 中的被开方数a 的取值范围不同，a 中的a 应满足a ≥0，3a 中的a 可为任何数；⑶一个数的平方根与立方根的个数也不同，一个数的平方根最多有两个，也可能是一个或者不存在，而它的立方根总有且只有一个；⑷负数没有平方根，但负数有立方根. 【训练与提高】1. B ；2.C ；3.D ；4.B ；5.±8，4，8；6.－1，5，65-，23. 7. 100；±8； 8．7，－3； 9.⑴－10； ⑵45-；⑶72；⑷23；⑸34-；⑹3. ⑺0.3；⑻6. 10.⑴56-.⑵8；⑶－16；⑷－4. 11.⑴5；⑵39；⑶－4；⑷－2. 【拓展与延伸】 1.39； 2. 37.5㎝2.2.3实数⑴例1如图将两个边长为1的正方形分别沿它的对角线剪开，得到四个等腰直角三角形，即可拼成一个大正方形，容易知道，这个大正方形的面积是2，所以大正方形的边长是2.这就是说，边长为1的正方形的对角线长是2，利用这个事实，我们容易在数轴上画出表示2的点，如图2.3.2所示.图2.3.1例2分析 无理数有两个特征：一是无限小数，二是不循环.因此，要判定一个数是不是无理数，应从它的定义去判断，而不是从表面上去判断.如带根号的数不一定是无理数，而我们熟悉的圆周率π就是无理数.解 有理数有－3.1415926，113335， •31.0 ，3625.无理数有π-，39 ，22， 0.1010010001…. 回顾与反思：有理数与无理数的区别是：前者是有限小数或无限循环小数，而后者一定是无限不循环小数.例3解 ⑴ 不正确.如••53.2是无限小数，但它不是无理数； ⑵ 不正确. 如••53.2是有理数，但它是无限小数；⑶ 正确.因为无理数是无限不循环小数，当然是无限小数； ⑷ 不正确.如4是有理数. 【训练与提高】1.B ；2. C ；3.C .4.实数；5.25 ，722，0，252252225 ，•64.3； 5.121121121…，2π，18-，32. 6．6；7.±5. 【拓展与延伸】 1. C ； 2. 8. 2.3实数⑵例1分析 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义与有理数范围内的意义完全相同.所以我们可以用在有理数范围内的同样方法来求一个实数的相反数、绝对值.解 ⑴ ∵4646433-=-=-，∴364-的相反数是4，绝对值是4；π-3的相反数是3-π，∵π-3＜0，∴3|3|-=-ππ.⑵ ∵3|3|=，3|3|=-，∴这个数是±3解 由图可知，,0<a ∴a a -=.∵c b <，∴0>-b c ，∴b c b c -=- ∵0,0<<b a ，∴b a b a --=+，∴c b a b c a b a b c a b a b c a =++-+-=----+-=+--+)()(回顾与反思：⑴根据实数在数轴上的位置可以确定各数的符号以及这些数的大小关系； ⑵在求一个数的绝对值时，首先要确定这个数的符号，然后根据“正数和零的绝对值是本身，负数和零的绝对值是它的相反数”来求出它的绝对值.⑶每个有理数都可以用数轴上的点来，但数轴上的点并不都表示有理数，数轴上的点与实数是一一对应的，即每个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.例3解： （1）∵5)5(2= ，425)25(2=，又4255<， ∴ 255<. （2）∵255<，∴2315<-， ∴43215<- 回顾与反思：比较两个无理数的大小，通常可以用计算器求它们的近似值再进行比较.估算一个无理数的大小 ，还可以用与它相近的有理数逐步逼近的方法来实现.【训练与提高】1. D ；2.B ；3.⑴2，2；⑵ 312，312；⑶－3，3；⑷25-， 25-. 4． ＜， ＜，＜； 5.－1，0，1； 6.37-； 7.⑴2.02；⑵－10.95；⑶－0.98 ；⑷1.29； 8.⑴－5；⑵－4；⑶535--；⑷－9. 9.b －2 a －2c . 10＜； ＜； ＜； ＞. 【拓展与延伸】1. 2a －b .2. 4－2. 2.3近似数与有效数字例1分析 生活中形形色色的数， 哪些是近似数？哪些是准确数?需要我们仔细去辨别.脱离了现实背景的数，有时则无法区分.解 略.例2解 ⑴ 43.8精确到十分位(即精确到0.1)，有3个有效数字， 分别为4、3、8. ⑵ 0.03086精确到十万分位，有4个有效数字，分别为3、0、8、6. ⑶ 2.40万精确到百位，有3个有效数字，分别为2、4、0.回顾与反思：由于2.40万的单位是万，所以不能看成精确到百分位，另外2.4万和2.40万作为近似数，它们是不一样的.例3解 ⑴3.4802≈3.48 ； ⑵ 3.4802≈3.480； ⑶3.1415926≈3.14； ⑷ 26802≈2.7×104. 回顾与反思：（1）本题⑴、⑵小题，由于精确度要求不同，同一个数的近似结果是不一样的，所以第⑵题中3.480后面的0不能省略不写；反之同一个近似结果所对应的原数也不一定相同，你能举例说明吗?（2）第⑷小题中若把结果写成27000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以此时要用科学计数法，把结果写成2.7×104. 【训练与提高】1. D ；2.C ；3.A ；4.略；5. ⑴ 百分位，4个； ⑵ 个位，2个； ⑶ 千分位，3个； ⑷ 个位，5个；⑸ 万分位，3个； ⑹万位，3个； ⑺ 百分位，3个； ⑻百万位，3个.【拓展与延伸】 ⑴1×102；⑵－0.54；⑶－3.64×103；；⑷3.5. 2.4 勾股定理（1）例1解：⑴在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝6，c ＝10，∴b 2＝c 2－a 2＝64，∴b ＝8.(b ＝－8舍去) ⑵在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵a ＝40， b ＝9，∴c 2＝a 2＋b 2＝1681，∴c ＝41. .(c ＝－41舍去) ⑶在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵b ＝15，c ＝25， ∴a 2＝c 2－b 2＝400， ，∴a ＝20. .(a ＝－20舍去) ⑷在Rt △ABC 中， ∠C ＝90°，∴a 2＋b 2＝c 2，∵3a ＝4b ，∴a ︰b ＝4︰3， ∴设a ＝4k ，b ＝3k ，则c ＝5k .∵c ＝2.5，∴k ＝0.5，∴a ＝2，，b ＝1.5. 回顾与反思：勾股定理反映直角三角形．．．．．中三边的关系，运用勾股定理在直角三角形的三边中已知任意两边就可以求出第三边.例2解 ①∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴AB ＝2112222=+=+BC AC ，②∵△ABC 中， ∠ACB ＝90°， BC ＝1，AB ＝2，∴AC ＝3122222=-=-BC AB回顾与反思：运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理． 【训练与提高】1.D ；2.A ；3. 13，60；4. 225，39， 225；5. 5，76.5；7. 49；8.13；9. a 3【拓展与延伸】4. 2.4 勾股定理（2）例1略例2解：由题意得∠AOB ＝90°，AO ＝30，BO ＝40.5040302222=+=+=BO AO AB (海里)答：1小时后两舰相距50海里例3分析 此题首先要解决△ABC 的面积，为此，可考虑作AD ⊥BC 于D .解 过A 作AD ⊥BC 于D ，则AD 2＝AB 2－BD 2＝AC 2－CD 2. 设BD ＝x ，则CD ＝14－x ，∴132―x 2＝152―(14－x )2， ∴x ＝5即BD ＝5，∴AD 2＝144.∴AD ＝12，S △ABC ＝21BC ·AD ＝84m 2. ∴费用84×50＝4200元. 回顾与反思：（1）勾股定理揭示了直角三角形的三边之间的关系，已知直角三角形中任意两边就可以依据勾股定理求出第三边.在实际问题中若存在现成的直角三角形，就可以直接运用勾股定理解决问题.（2）涉及面积计算往往需要添加辅助线(高)来构造直角三角形，从而运用勾股定理求得相应的线段，进而求出所需面积. 【训练与提高】1. D ． 2．D . 3．4，6 ，2. 4. 7 ，1.8 ； 5. 3㎝； 6. 略. 【拓展与延伸】 1.图略； 2. 图略. 2.5 神秘的数组（例1解 ⑴∵22222225625247c b a ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠C ＝90°.⑵∵2222225.225.65.12a c b ===+=+.根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形是直角三角形，且∠A ＝90°.⑶∵c ＞ a ， c ＞ b ， 16411452222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+b a ，而9253522=⎪⎭⎫ ⎝⎛=c ，∴222c b a ≠+，根据直角三角形的判定条件知，由a 、b 、c 为三边组成的三角形不是直角三角形.回顾与反思：要判定一个三角形是否为直角三角形，只要计算两条较短边的平方和，以及最长边的平方，然后看它们是否相等即可.例2解 ∵在△ABD 中，AB 2＋AD 2＝9＋16＝25＝BD 2，∴△ABD 是直角三角形，∠A 是直角.∵在△BCD 中，BD 2＋BC 2＝25＋144＝169＝CD 2， ∴△BCD 是直角三角形，∠DBC 是直角. ∴这个零件符合要求.回顾与反思：像(3，4，5)、(6，8，10)、(5，12，13)等满足a 2＋b 2＝c 2的一组正整数，通常称为勾股数．利用勾股数可以构造直角三角形.例3解 ∵12412)2()1(2422422222++=++-=+-=+n n n n n n n b a .222)1(c n =+=根据直角三角形的判定条件，得∠C ＝90°.【训练与提高】1. B ；2.B ；3.C ；4. C ；5.C ；6. 直角三角，B ；7. 12，13，5；直角三角形；8. 直角三角形，略9. ∵AB ⊥BC ，∴∠B ＝90°，∴AC 2＝AB 2＋BC 2＝5，又∵AC 2＋CD 2＝5＋4＝9＝AD 2.∴∠ACD ＝90°，∴AC ⊥CD . 10.是，略； 11.连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4，CD ＝3，∴AC 2＝AD 2＋CD 2＝25，∴AC ＝5，∵AB ＝13，BC ＝12，∴AC 2＋BC 2＝25＋144＝169＝AB 2，∠ACB ＝90°，S ＝30－6＝24. 【拓展与延伸】1. 连结EC ，∵D 是BC 的中点，DE ⊥BC 于D ，交AB 于E ，∴BE ＝CE ∵BE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2－EA 2＝AC 2，∴CE 2＝EA 2＋AC 2∴∠A ＝90°.2.略 2.6 勾股定理的应用（1）例1分析 ⑴根据勾股定理，直角三角形中若两直角边长分别为1个单位和3个单位，则斜边长为10个单位，因此，以原点为圆心，10个单位长为半径画圆与数轴的交点表示的数即分别为±10.解：⑴如图图2.6.1①； ⑵如图图2.6.1②例2分析：几何应用问题重在将实际问题转化为数学问题，此题若设AE ＝x km ，由△DAE 、△EBC 均为直角三角形，且它们的斜边相等，运用勾股定理可建立方程.解：设AE ＝x km ，则BE ＝(25－x )km. ∵CE ＝DE ，∴CE 2＝DE 2 .由勾股定理得 152＋x 2＝(25－x ) 2＋102解得 x ＝10 . 答：E 站应建在距A 站10km 处.回顾与反思：（1）运用勾股定理的前提是三角形必须是直角三角形．若已知条件中没有直角三角形时，应构造直角三角形后方可运用勾股定理．（2）勾股定理是直角三角形中三边数量之间的一个关系式，也常被用作列方程的等量关系；【训练与提高】1. B .2.C ；3.34；4. 5，13；5. 24，4.8.6. 2.7. 能，略8. 能，略；9. 略； 10.10；11. 4； 12. 25 . 【拓展与延伸】1. 19.5m ；2. 作AD ⊥BC 于D ，设BD ＝x ，由题意10―x 2＝172―(x ＋9)2，解得x ＝6.由勾股定理得AD ＝8.2.6 勾股定理的应用⑵例1分析：设EC ＝x ，则DE ＝8－x ，由于折叠长方形的边AD ，且D 落在点F 处，故△AFE 和△ADE 全等，则EF ＝8－x ，AF ＝AD ＝10，在Rt △EFC 中，运用勾股定理得到关于x 的方程，可以求出x 的值.解：设EC ＝x cm ，则DE ＝(8－x )cm ，∵D 、F 关于AE 对称∴△AFE ≌△ADE ， ∴AF ＝AD ＝BC ＝10，EF ＝ DE ＝8－x .在Rt △ABF 中，6222=-=AB AF BF∴FC ＝BC －BF ＝4.在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -=+ ，解得 x ＝3.答：EC 长为3cm.. 回顾与反思：（1）折叠问题和轴对称密切相关，要注意翻折图形的特征；（2）从应用勾股定理解决实际问题中，我们进一步认识到把直角三角形中三边关系“a 2＋b 2＝c 2”，看成一个方程，只要依据问题的条件把它转化为我们会解的方程，就把实际问题的条件转化为解方程.例2分析 求证的结论中出现平方的形式，我们常可联想勾股定理.要运用勾股定理，首先要找到与结论中的线段有关的直角三角形，若题中没有现成的直角三角形，则需要构造直图2.6.1A FECDB图2.6.3角三角形.解 作AE ⊥BC 于E ，则在△ADE 中，AD 2＝DE 2＋AE 2； 又∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴AE ＝BE ＝CE . ∵BD 2＋CD 2＝(BE －DE )2＋(CE ＋DE )2＝BE 2＋CE 2＋2DE 2＝2AE 2＋2DE 2＝2AD 2，∴BD 2＋CD 2＝2AD 2. 回顾与反思：（1）在三角形中若要说明某个角是直角，常常想到勾股定理的逆定理. （2）说明含某些线段的平方形式的问题，常通过作垂线构造直角三角形，运用勾股定理来解决.【训练与提高】1. 1.5. 2．直角三角形；2.5. 3．不一定，也可能只是a ＝b ； 4.略； 5⑴3，⑵设CD ＝x ，由题意62＋x 2＝ (8－ x )2，解得x ＝47∴CD ＝47. 【拓展与延伸】 1. 2a 2； 2.略.第二章复习题1. ±8；8；4；±5. 2．π,93- . 3．－1，0，1. 4.＜，＞. 5. 32-，32-. 6. ±4. 7. ±1，±2. 8. 12. 9. 2，3. 10. 233+. 11. 0≥x . 任何实数.12. ⑴52. ⑵32，⑶10，24. 13.41. 14. 30. 15. B ． 16.C . 17.B . 18.B . 19.C . 20.C .21.⑴2±.⑵－3.⑶3，－1； 22.直角三角形. 23. 5㎝. 24. 43.4. 25. ±1. 26. 2. 27. 2010.28. x ＝6. 29. 2，74. 30. 3. 31. 132. 32. 2，5，10，17，21n +. 33. 12.34. 102，106. 35. 2n. 36. 6(提示：设CD ＝x ，由勾股定理得x 2＋92＋x 2＋42＝132). 37. 327. 38. ＜，＞.第三章 中心对称图形（一）参考答案3．1 图形的旋转例1 如图3．1．1，△ABC 是等边三角形，D 是BC 上的一点，△ABD 经过旋转后达到△ACE 的位置．⑴旋转中心是哪一点？ ⑵旋转了多少度？ ⑶如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后点M 转到了什么位置？ ⑷图中相等的线段有哪些？相等的角有哪些？分析 解决本题只需利用旋转的定义及其特征． 解 ⑴旋转中心是点A ； ⑵旋转了60°；⑶点M 转到了AC 的中点位置上；⑷相等的线段有：AB=BC=AC ，AD=AE ，BD=CE ；相等的角有：∠B=∠BCA=∠CAB=∠DAE=60°，∠BAD=∠CAE ，∠BDA=∠CEA ．回顾与反思：本题应用了旋转的定义及特征，知道旋转图形哪些变，哪些不变．本题的难点在于旋转角度，注意图中∠DAC 不是旋转角度．另外，注意到对应线段AB 、AC 所在直线的夹角是60°（旋转角度），那么对应线段BD 、CE 所在直线的夹角呢？由此你想到什么？例2 已知，如图3．1．2，△ABC 中，∠BAC=120°，⑴以点A 为旋转中心，将△BAC 逆时针旋转60°得△ADE ，画出△ADE ；⑵设题⑴中AD 、BC 交于F ，AC 、DE 交于点G ，请你猜想旋转后△ABF 能否与△ADG 重合？为什么？解 ⑴△ADE 如图所示（画法略）；⑵△ABF 能与△ADG 重合，理由如下：∵∠BAC=120°，∠BAD=60°，∴∠DAG=60°=∠BAF ；又由旋转知∠B=∠D ，BA=DA ，∴△ABF ≌△ADG （ASA ）．回顾与反思：观察一下△AFC 与△AGE 是否也具备这样的关系？本题中△ABF 与△ADG 能够重合是由∠BAC 及旋转角的特殊性导致的，如果，将△ADE 再绕点A 逆时针旋转过1°，则∠BAD=59°，∠DAG=61°，结论就不成立．【训练与提高】1．D 2．点A ，逆时针旋转45° 3．⑴点A ，⑵△AEF 是等腰直角三角形，⑶略 4．⑴110°或290°，⑵180° 5．以A 为中心逆时针旋转120°得△AEF ，以C 为中心顺时针旋转120°得△CED ，以AC 中点为中心旋转180°得△ACE 6．417．图略8．图略，用SAS 证△EAC ≌△BAD ，再证BD ⊥EC【拓展与延伸】1．图略．△A′′B′′C′′可由△ABC 绕点P 旋转2∠P 得到 2．图略3．2 中心对称与中心对称图形⑴例1 如图3．2．1，已知△ABC 和点O ，试画出△DEF ，使△DEF 和△ABC 关于点O 成中心对称．解 ①连接AO 并延长AO 到D ，使OD =OA ，得到点A 的对称点D ；②同样方法画出点B 、C 的对称点E 、F ； ③顺次连接DE 、EF 、FD ． 所以，△DEF 即为所求的三角形．回顾与反思：画出一个别图形关于某一点成中心对称图形，关键在图3．1．2GF EDCBA 图3．2．1EB。
第1章-轴对称图形-全章导学案(含答案)
课题1．1轴对称与轴对称图形自主空间学习目标１、能够认识轴对称和轴对称图形，并能找出对称轴２、知道轴对称与轴对称图形的区别与联系3、经历观察生活中的轴对称现象和轴对称图形，探索它们的共同特征的活动过程，发展空间观念。
4、欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富的文化价值，培养学生的审美观学习重难点轴对称与轴对称图形的概念及识别以及轴对称与轴对称图形的区别和联系教学流程预习导航问题：下列图片形状是怎么样的？它们有什么共同的特性？这些图片的形状是：它们的共同特征是：把图形沿着某一条直线，直线两旁的部分能够。
操作：把一张纸对折，然后从折叠处剪出一个图形；想一想：把纸展开后会是什么样的图形？位于折痕两侧的图案有什么关系？它是否也具有上述图形的共同特征？合作探究一、概念探究：1、活动：折纸印墨迹：让学生分组活动，在纸的一侧滴上墨水后，对折、压平，再展开，每组展示所得到的结果。
问题（1）：你发现折痕两边的墨迹形状一样吗？为什么？问题（2）：两边墨迹的位置与折痕有什么关系？2、归纳：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
3、思考：你能说明轴对称与轴对称图形的区别与联系吗？如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个；（1）（2）（3） （4）图1如果把一个轴对称图形位于轴对称两旁的部分看成两个图形，那么这两部分就成 . 二、例题分析：下列图形是否是轴对称图形，如果是，请找出它的所有的对称轴。
问题（1）、判断一个图案是否是轴对称图形的关键是 问题（2）、根据轴对称图形的定义，你觉得能否用对折的方法进行检验？思考：正三角形有 条对称轴 正四边形有 条对称轴 正五边形有 条对称轴 正六边形有 条对称轴 圆有 条对称轴小结：一个轴对称图形的对称轴的条数 。
线段和角的对称性典型例题
线段和角的轴对称性知识梳理1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段距离的点在线段的上．细节剖析线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的平分线，画出到线段两个的距离，这样就出现线段，直接或间接地为构造三角形创造条件.三角形三边交于一点，该点到三角形三顶点的相等，这点是三角形外接圆的圆心—— .:2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的.（2）角平分线上的点到角两边的相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的上.细节剖析（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，则PE＝PF.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的上.若PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典型例题【考点1】角平分线的性质【例1】（2019秋•淮安期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP∠OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则∠ODQ的面积是（）A．4B．5C．10D．20【变式1】（2019秋•南开区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD∠CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．12【变式2】（2019秋•裕华区校级期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE∠AC 于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时∠F AP面积恰好是∠EAP面积的2倍，则此时AF的长是（）A．10B．8C．6D．4【变式3】（2019秋•樊城区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确【考点2】线段垂直平分线的性质【例2】（2019秋•宿豫区期中）如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，△BCE 的周长为18，则AC 的长等于（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1】（2020春•郫都区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝31°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么∠A 的度数为（ ）A ．31°B ．62°C ．87°D ．93°【变式2】（2019秋•海安市期末）如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，连接AE ，BE ，作直线EF 交AB 于点M ，连接CM ，则下列判断不正确的是（ ）A ．AB ＝2CM B ．EF ⊥ABC ．AE ＝BED ．AM ＝BM【变式3】（2019秋•涟源市期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13本次课课后练习知识点1：角平分线的性质1.（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，AE 平分CAB ∠，交BD 于点E ，8AB =，3DE =，则ABE ∆的面积等于( )A ．15B ．12C ．10D ．142.（2020秋•渝中区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB =，CAB ∠和ABC ∠的平分线交于点O ，OM BC ⊥于点M ，则OM 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.（2020春•五华区校级期末）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE = ．4.（2019秋•濉溪县期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，//BF DE 交CD 于点F ．求证：DE BF =．知识点2：线段垂直平分线的性质5.（2020•枣庄）如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若6∆的周长为()BC=，5AC=，则ACEA．8B．11C．16D．176.（2020春•太原期末）如图，在ABC∠=︒，AB边的垂直平分线交AB于点D，∆中，80BAC交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则EAG∠的度数为()A．15︒B．20︒C．25︒D．30︒7.（2019秋•贵阳期末）如图，ABC∆中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若6FC=，则ABC∆的周长AE=，8EF=，10是．8.（2020春•东明县期末）如图，在ABC∆中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，A ABE∠=∠．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB AC∠的度数．∠及F=，46A∠=︒时，求EBC。
苏教版八年级上数学期中复习知识点
八年级上册期中知识点第一章轴对称图形1.1轴对称与轴对称图形1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另外一个图形重合，称这两个图形关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
（对称轴是直线，所在的直线等）2.轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合。
3.二者的区别和联系轴对称是2个分开图形（整体叫做轴对称图形），轴对称图形是1个图形（看成对称轴左右两个图形）。
4.正多边形：1.有几条边就有几条对称轴。
（偶数边的正多边形既是轴对称又是中心对称图形）2.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
1.2轴对称的性质1.垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线。
（高线，中线，角平分线都是线段）2.成轴对称的两个图形全等，且其中一个图形沿某条直线翻折后能与另一个图形重合。
如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
1.4线段、角的轴对称线段的轴对称性：1.线段是轴对称图形，对称轴是线段垂直平分线所在的直线；2.线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；3.到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
结论：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合角的轴对称性：1.角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线。
2.角平分线上的点到角的两边距离相等。
3.到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
结论：角的平分线是到角的两边距离相等的点的集合1.5等腰三角形的轴对称1.等腰三角形定义：有两边相等的三角形为等腰三角形 性质：1.等腰三角形为轴对称图形，对称轴为顶角平分线所在的直线2.两个底角相等（等边对等角）3.三线合一 顶角平分线，底边中线，底边的高 判定：1.如果一个三角形两角相等那么两角所对的边也相等2.两边相等的三角形是等腰三角形 2.等边三角形性质和判定： 性质：1.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴2.三个边相等3.每个角都是60度 判定：1.三个边相等的三角形是等边三角形2.三个角都相等的三角形3.有一个角等于60度的等腰三角形1.6等腰梯形的轴对称等腰梯形的定义：1.梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形为梯形。
八年级数学上册第一章轴对称图形1.4线段、角的轴对称性1
A O A 'O 1 2 900
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动手 试试 (dòng shǒu)
• 1、画线段AB; • 2、取中点O; • 3、过点O作AB的垂线(chuíxiàn)L; • 4、在L上任取一点P； • 5、连接PA,PB; • 6、度量PA,PB； • 你发现了什么？
练习(liànxí)
如图，在ABC中，AB=AC=5,BC=4, AB的垂直平分线DE分别交AB、AC 于点E,D.求BCD的周长。
解： D E是 AB的 垂 直 平 分 线
BD AD C BCD B C B D C D BC AD CD BC AC 45 9第十一页，共十四页。
• 线段是轴对称图形吗？
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结论(jiélùn)
• 线段(xiànduàn)是________图形，____________ 是它的对称轴；
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线段 垂直平分线的性质 (xiànduàn)
由定义得到的性质：
线段(xiànduàn)的垂直平分线垂直于这条线段(xiànduàn)，并且平分这条线段(xià
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例题 2 (lìtí)
• 如图，已知ΔABC。分别作出 AB,AC的垂直平分线m,n，交于点 O。
• （1）测量(cèliáng)一下，OA=OB=OC吗
？为什么？
• （2）如果三角形的形状变化了， 上述结论是否仍然成立？由此，你 可以得出什么结论？
第十页，共十四页。
第十四页，共十四页。
AO BO
A O P B O P 900
（ 理 由 ： ____________)
第1章线段、角的轴对称性
B．AC=a
C．AE=b
D．EC=1
2
a
☆☆☆☆☆显示解析 9．如图，DE是AC的垂直平分线，AB=12厘米，BC=10厘米，则△BCD的周长为（ ）
A．22厘米
B．16厘米
C．26厘米
D．25厘米
☆☆☆☆☆显示解析 10．如图所示，在Rt△ABC中，E为斜边AB的中点，ED⊥AB，且∠CAD：∠BAD=1：7，则∠BAC的度数为（ ）
显示解析 21．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足O，CE交AB于E，则下列命题：①AE=AC，②CO=OE，③∠AEO=∠ACO，④∠B=∠ECB．其中正确的是（ ）
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
显示解析 22．如图，D是线段AB、BC垂直平分线的交点，若∠ABC=150°，则∠ADC的大小是（ ）
D．4个
6．到平面上三点A、B、C距离相等的点有（ ）
A．只有一个
B．有两个
C．有三个或三个以上
D．有一个或没有
7．到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三角形三条高的交点
B．三角形三条中线的交点
C．三角形三条内角平分线的交点
D．三角形三条边垂直平分线的交点
☆☆☆☆☆显示解析8．已知△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别交于AB，BC于D，E两点，AE平分∠BAC，∠B=30°，BD=a，BE=b，则下列结论不正确是（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
显示解析30．已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA=DB，EA=EB，FA=FB，这样的点共有（ ）个．
A．2个
B．4个
C．6个
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1．4线段、角的轴对称性(1)
【学习目标】：
1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；
2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.
【重点难点】：线段中垂线的性质和判定
【预习指导】：
自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要
问题1：线段是轴对称图形吗？为什么
问题2线段的对称轴是什么？
问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?
课堂活动
活动一对折线段
问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？
问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
例题：P18 例1
这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？
活动二用圆规找点
问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？
问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线
1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；
2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线
结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
【典题选讲】：
已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.
求DC的长
【学习体会】：
【课堂练习】：
1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？
E
2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.
3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.
C B
A
（ 编写者：李晓红） · P B
O A。