2015年全国新课标2卷高考文科数学及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)

数学(文科)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合{}{}30|,21|<<=<<-=x x B x x A ，则=⋃B A ( )

A ．(－1,3)

B ．(－1,0)

C ．(0,2)

D ．(2,3) 2．若a 为实数，且

i i

ai

+=++312，则=a ( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4

3．根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形

图，以下结论中不正确的是( )

A ．逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显着

B ．2007年我国治理二氧化硫排放显现成效

C ．2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势

D ．2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 4．向量()1,1-=a ，()2,1-=b ，则()=⋅+a b a 2 ( )

A ．－1

B ．0

C ．1

D ．2

5．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3531=++a a a ，则=5S ( )

A ．5

B ．7

C ．9

D ．11

6.

第6题图

一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体

积与剩余部分体积的比值为( )

A.18

B.17

C.16

D.15

7．已知三点()01，

A ()30，

B ，()

32，C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为( )

A.53

B.213

C.253

D.4

3

8. 第8题图

右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名着《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为14,18，则输出的=a ( )

A ．0

B ．2

C ．4

D ．14 9．已知等比数列{}n a 满足4

1

1=

a ，()14453-=a a a ，则=2a ( ) A ．2 B ．1 C.12 D.1

8

10．已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三

棱锥O -ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )

A ．36π

B ．64π

C ．144π

D ．256π

11.

如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点．点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则

y ＝f (x )的图象大致为( ) 12.设函数()()2

11

1ln x x x f +-

+=，则使得()()12->x f x f 成立的x 的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1

B.()∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛

∞，

，131- C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎪⎭

⎫

⎝⎛∞+⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛∞，，

3131-- 第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)

13．已知函数()x ax x f 23-=的图象过点()4,1-，则=a ________.

14．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧

x ＋y －5≤0，

2x －y －1≥0，

x －2y ＋1≤0，

则y x z +=2的最大值为

________．

15．已知双曲线过点()

34，，且渐近线方程为x y 2

1

±=，则该双曲线的标准方程

为________． 16．已知曲线x x y ln +=在点()1,1处的切线与曲线()122+++=x a ax y 相切，则

=a ________.

三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分) ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，DC BD 2= (1)求

C

B

sin sin (2)若︒=∠60BAC ，求B ∠

18.(本小题满分12分)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A ，B 两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对产品的满意度评分，得到A 地区用户满意

度评分的频率分布直方图和B 地区用户满意度评分的频数分布表．

图①

B 地区用户满意度评分的频数分布表

2015·新课标Ⅱ卷 第4页(1)在图②中作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过直方图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出

具体值，给出结论即可)．

图②

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度分为三个等级：

估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大？说明理由．

19.

(本小题满分12分)如图，长方体1111D C B A ABCD -中，16=AB ，

10=BC ,81=AA ，点E ,F 分别在11B A ,11C D 上，411==F D E A .过点E ,F 的

平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形． (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)； (2)求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．

20.(本小题满分12分)已知椭圆C ：122

22=+b

y a x ()0.>>b a 的离心率为22，点

()22，在C 上．

(1)求C 的方程；

(2)直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ,B ，线段AB 的

中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值． 21.(本小题满分12分)已知函数()()x a x x f -+=1ln ．