第3章立体的投影
第3章曲面立体的投影
•视图特征： 1）与轴线垂直的 投影面上的投影 为两个同心圆； 2）另两视图均为 等腰梯形。
四、 圆球体的投影
圆球可看成是由一个
圆面绕其任一直径回转 而成。 圆球是由球面围成的。 球面可看作圆绕其直径 为轴线旋转而成。
•视图特征： 三个视图均为圆 （不完整球体的 三视图，其外形 轮廓都有半径相 等的圆弧）。
二、 圆锥体的投影
圆锥可看作是由一 个直角三角形绕其直 角边回转而成。
圆锥由圆锥面、底 面所围成。圆锥面可 看作由直线绕与它相 交的轴线旋转而成。
•视图特征： 1）反映底面实形 的视图为圆； 2）另两视图均垂直于轴线的平面截去锥顶部分，剩余部分 称为圆台，其上下底面为半径不同的圆面，
第3章 曲面立体的投影
3.1 回旋体（圆柱、圆锥、圆球） 的投影
3.1 回旋体（圆柱、圆锥、圆球）的投影
常见的曲面体多是回转体，如圆柱、圆锥、圆球、圆环等。
回转面 ——有一条母线（直线或曲线）绕固定轴线 回转而成的曲面。
素 线 ——在回转面上每一个位置的母线。 回转体 ——由回转面或回转面与平面所围成的体。
一、 圆柱体的投影
圆柱由圆柱面和两个底面所 围成。 圆柱可看作是由一个矩形平 面绕着它的一条边回转而成。 圆柱面可看作由直线绕与它相 平行的轴线旋转而成。
视图特征： 1）反映底面实 形的视图为圆； 2）另两视图均为 矩形。
分析圆柱轮廓素线的投影
•轮廓素线 ——构成圆柱面 投影的轮廓线 （对某投影面的 可见与不可见部 分的分界线） （回转面上外形 轮廓线）。
第三章立体的投影
第三章立体的投影（一）教学内容1. 基本平面几何体三面投影的特征，几何元素投影分析2.基本平面几何体三面投影的对应规律3. 基本平面几何体表面上点、线的投影4. 圆柱体、圆锥体、球体的几何要素及其投影5. 圆柱面、圆锥面、球面上取点取线的投影作图方法（二）教学要求1. 熟练画出基本几何体（平面立体、曲面立体）的三视图2. 掌握根据基本几何体的两个视图，想出它们的空间几何形状和位置3. 掌握根据基本几何体的两面投影，画出它们的第三个投影4. 掌握根据基本几何体的已知投影，画出已知表面上点、线的未知投影三、建筑形体的基本表达方法1.多面正投影图当物体的形状和结构比较复杂时，仅用三面投影图表达是难以满足要求的，为此，在制图标准中规定了多种表达方法，绘图时可根据工程形体的形状特征选用。
对于建筑形体往往要同时采用几种方法，才能将其内外结构表达清楚。
从图3－4a)中我们可以看出，将物体放在六个相互垂直的平面中，将从前向后、从上向下、从左向右、从后向前、从下向上、从右向左六个方向看到画在平面图纸上的六个基本投影图，得到物体的平面投影图。
用正投影法绘制的物体的图形称为视图。
对于形状简单的物体，一般用三个视图就可以表达清楚，而对于复杂的房屋建筑，各个方向的外形变化较大时，往往采用三个以上的视图才能完整表达其形状结构。
如图3-5所示的房屋形体，可由不同方向投射，从而得到有五个视图的多面正投影图。
绘制建筑房屋的视图，从前方投射的A向视图为正立面图，应尽量反映出物体的主要特征，从上方投射的B向视图为平面图，从左方投射的C向视图为左侧立面图，从右方投射的D向视图为右侧立面图，从后方投射的E向视图为背立面图。
2.镜像投影图镜像投影是物体在镜面中的反射图形的正投影，该镜面应平行于相应的投影面，如图3-6a所示。
用镜像投影法绘制的平面图应在图名后注写“镜像”二字，以便读图时识别，如图3-6b。
镜像投影图可用于表示某些工程的构造，在装饰工程中应用较多，如吊顶平面图，是将地面看作一面镜子，得到吊顶的镜像平面图。
第三章立体的投影
截断面
截平面
截交线
截交线与截断面
12
截交线的性质：
• 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形，其 形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截
切位置。 •平面立体的截交线是一个多边形，它的顶点是平 面立体的棱线或底边与截平面的交点。截交线的每 条边是截平面与棱面的交线。
• 共有性：截交线既属于截平面，又属于立体表面。 求截交线的实质是求两平面的交线
s
1 素线法
m 2 纬圆法
31
例 BAC位于圆锥体表面，已知V投影，求H、W投影
s'
a' d' (e')
b'(c')
c
e
sa
bd
s"
(a")
e"
d"
c"
b"
分析
BAC不通过锥顶， 故为曲线
作图
①找特殊点 ②求H、W面投影 ③光滑连接曲线
32
圆球
O
球面
形成
圆绕其直径旋转 而成
O 轴线 圆球表面无直线！
作业
3-2（1）（2）
36
3.2.2 平面与曲面立体相交
一、曲面立体截切的基本形式
截交线
截平面
截平面
截交线
37
截交线的性质：
• 截交线是截平面与回转体表面的共有线。 • 截交线的形状取决于回转体表面的形状及
截平面与回转体轴线的相对位置。 • 截交线都是封闭的平面图形。
38
二、求平面与曲面立体的截交线的一般步骤
线后再取局部。
19
20
例:求六棱柱被截切后的水平投影和侧面投影
第三章_立体的投影
20319/.10/2完4 善轮廓。
工业制图课件
一、平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
三角形
椭圆
双曲线加直线段
2019/10/24
工业制图课件
抛物线加直线段
二、圆锥的截断
根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截交线有五种形状。
PV
PV θ
PV
PV
PV θ
垂直于轴线 θ = 90°
圆2019/10/24
e
●
●
●
db
工业制图课件
例例1:1圆: 圆锥锥被被正正垂垂面面截截断断，， 完成完三成视三图视。图。
1' 7‘ (8') 3‘(4’) 5' (6 ')
9‘ (10')
2'
1• 0 6• • 4 • 8
1 2
2019/10/24
9•
•
5
•
3
•7
1"
如何找椭圆另一根
4"8"• 6" •
• 7" 轴的端点（即最前、
2019/10/24
工业制图课件
取点的方法
1）轮廓线上取点 2）利用积聚投影 3）纬圆上取点
面上取点必需先取线。取线为圆的这一方法， 对于回转面来说，具有普遍的意义。
2019/10/24
工业制图课件
4.42..22.2 曲曲面面体体的的截截交交
(1) 曲面体截交线的性质：
截交线是截平面与回转体表面的共有线。
截交线的形状取决于回转体表面的形状及 截平面与回转体轴线的相对位置。
截交线都是封闭的平面图形（封闭曲线或由直线 和曲线围成）。
第3章-基本立体的投影
第3章 基本立体的投影
3.2.2 圆锥
1. 圆锥面的形成 圆锥面是由一条直母线绕与它相交的轴线旋转而 成的。圆锥体由圆锥面和底面组成。 2. 圆锥的投影 图3-4表示一直立圆锥，它的正面投影和侧面投影 为同样大小的等腰三角形。正面投影s′a′和s′b′是圆锥面 的最左和最右素线的投影，它们把圆锥面分为前、后 两半；侧面投影s″c″和s″d″是圆锥面最前和最后素线的 投影，它们把圆锥面分为左、右两半。
第3章 基本立体的投影
图3-4(b)中，已知K点的正面投影k′，求点 K的其他两个投影。可用辅助圆法作图，即过 点K在锥面上作一水平辅助纬圆，该圆与圆锥 的轴线垂直，点K的投影必在纬圆的同面投影 上。作图时，先过k′作平行于X轴的直线，它 是纬圆的正面投影，再作出纬圆的水平投影。 由k′向下作垂线与纬圆交于点k，再由k′及k求 出k″。因点K在锥面的右半部，所以k″不可见。第3章 基ຫໍສະໝຸດ 立体的投影2. 棱柱表面上的点
在平面立体表面上的点，实质上就是平面上的点。 正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在表面上的 点可利用平面投影的积聚性来作图。
如已知棱柱表面上M点的正面投影m′，求水平、侧 面投影m、m″。由于正面投影m′是可见的，因此M点必 定在棱柱的前半部平面ABCD上，而平面ABCD为铅垂 面，水平投影abcd具有积聚性，因此m必在abcd上。根 据m′和m，由点的投影规律可求出m″，如图3-1(b)所示。
第3章 基本立体的投影
3.2 曲面立体
由一母线绕轴线回转而形成的曲面称为回转面， 由回转面或回转面与平面所围成的立体称为曲面立体。 母线在回转面上的任一位置称为素线。常见的曲面立 体有圆柱、圆锥和圆球等。
第3章 基本立体的投影
3.2.1 圆柱 1. 圆柱面的形成 圆柱面是由一条直母线绕与它平行的轴线旋转而
立体的投影
图3.11 圆球表面取点
(a)
(b)
由于圆球的三个投影均无积聚性。所以在圆球表面上取点，除属于转向轮廓线上的特殊 点可直接求出之外，其余处于一般位置的点，都须用辅助圆法作出，并表明可见性。 如图3.11a所示，已知圆球表面上一点M的正面投影m’,求其水平投影m和侧面投影m”。根 据m’的位置和可见性，可知M点位于前半球的左上部位。为找出M点的水平投影m，可过 M点作纬圆（正平圆、水平圆、侧平圆）求解。如过m’作纬圆与圆球正面投影（圆）交于 点1’、2’，以1’2’为直径在水平投影上作水平圆，则点M的水平投影m必在该纬圆上，再由 m’和m求出m”，m和m”均为可见。又如图3.11b所示给出了根据球面上点N和K的水平投影 n和k，求出n’、n”和k’、k”的作图过程，请自行分析。 4.圆环 （1）圆环的形成
图3.2 正六棱柱的投影及表面取点
为了作图方便，将正六棱柱放置成如图3.2b所示的轴线与H面垂直的位置，上下底面与H 面平行，为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影为直线；正六棱柱的六个侧面中， 前后两个是正平面，正面投影反映实形；其余四个侧面均为铅垂面；六条侧棱均为铅垂线。 图3.2c为正六棱柱的三视图。 棱柱的投影特性是：与轴线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱底面的实形； 另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映侧面的实形或类似形。 作图步骤如图3.3所示：
第三章 立体的投影
基本体的三面投影的画法及面上找点的方法。 ⒈ 平面体表面找点，利用平面上找点的方法。 ⒉ 圆柱体表面找点，利用投影的积聚性。 ⒊ 圆锥体表面找点，用辅助线法和辅助圆法。 ⒋ 球体表面找点，用辅助圆法。
画法几何与工程制图
3.3 切割体的投影
一、切割体及截交线的概念
截交：立体被平面所截。
截平面 : 用以截切物体的 平面。
③ 最后将锥顶S与点A、B、C的同面投影相连， 即得到三棱锥的投影图。
④ 最后检查清理底稿，按规定线型加深。
3. 在棱锥表面上取点
a
一般采用辅助线法。
a
判别可见性
S
K
N
C
A
B
s
s
k n
b
s
n
k
k (n)
c a(c) b c
b
画法几何与工程制图
3.２ 回转体的投影
画法几何与工程制图
第三章 立体的投影
3.1 平面立体的投影 3.2 回转体的投影 3.3 切割体的投影 3.4 相贯体的投影
画法几何与工程制图
概述
立体可分为平面立体和曲面立体两种。表面都是由平面围成的立体，称 为平面立体。
表面由平面和曲面或曲面围成的立体，称为曲面立体。 下面分别介绍它们的投影画法及表面取点。
2.截交线的形状：
其形状取决于平面体的形状及截平面 对平面体 的 截切位置。
根据上述截交线的性质，求截交线的 方法可归结为求截平面与立体表面一系列 共有点的问题，也就是表面取点法。
●
K
3. 轮廓线素线的投影与曲面的可见性的判断
圆锥面是由直线SA绕与它相交的轴线OO1旋 转而成。
第3章 立体的投影
第3章立体的投影一、本章重点：1.平面立体和曲面立体投影的画法，及立体表面点的投影。
2.立体与平面相交其交线的画法，既求截交线。
3.两回转体轴线垂直相交其交线的画法。
4.立体的尺寸标注。
二、本章难点：1.圆球和圆环的投影及表面上点的投影。
2.圆锥、圆球被平面截切后，截交线的画法。
3.求作相贯线。
三、本章要求：通过本章的学习，要掌握基本体的三面投影画法，基本体表面点的投影，能够分析和绘制常见的截交线和两回转体轴线相交时的相贯线，掌握立体的尺寸标注的方法。
四、本章内容：§3-1 平面立体的投影一、棱柱棱柱体由若干个棱面及顶面和底面组成，它的棱线相互平行。
顶面和底面为正多边形的直棱柱，称为正棱柱。
常见的棱柱有三棱柱、四棱柱、六棱柱等。
1．棱柱的三视图2．棱柱表面上的点二、棱锥棱锥的底面为多边形,各侧面为若干具有公共顶点的三角形。
从棱锥顶点到底面的距离叫做锥高。
当棱锥底面为正多边形，各侧面是全等的等腰三角形时，称为正棱锥。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、六棱锥。
1. 棱锥的三视图2．棱锥表面上的点§3-2曲面立体的投影曲面立体的表面是由一母线绕定轴旋转而成的，故称曲面立体，也称为回转体。
常见的回转体有圆柱、圆锥、圆球和圆环等。
一、圆柱1．圆柱面的形成圆柱面可看作一条直线AB围绕与它平行的轴线OO回转而成。
OO称为回转轴，直线AB称为母线，母线转至任一位置时称为素线。
这种由一条母线绕轴回转而形成的表面称为回转面，由回转面构成的立体称为回转体。
2．圆柱的三视图3．圆柱表面上的点二、圆锥1．圆锥面的形成圆锥面可看作由一条直母线围绕和它相交的轴线回转而成。
2．圆锥的三视图3．圆锥表面上的点三、圆球1．圆球面的形成圆球面可看作一圆（母线），围绕它的直径回转而成。
2．圆球的三视图3．圆球表面上的点四、圆环1．圆环的形成圆环面可看作由一圆母线，绕一与圆平面共面但不通过圆心的轴线回转而成。
图中的回转轴是铅垂线。
工程制图课件——第3章 立体的投影
1′ 3′ a
⑵ 圆柱体的三视图
2′ 4′
⑶ 轮圆廓柱线面素的线俯的视投图影积分聚析成与一曲
⑷个 两 示圆个。圆面，方柱的在 向面可另 的上见两 轮取性个 廓点的视素判图线断上的分投别影以表
1(2)
a3(4)
O A
O1 A1 1″ 3″ a
2″ 4″
利用投影 的积聚性
已知圆柱表面上的点M及N正面投影m′和n′，求它们 的其余两投影。
• 平面与立体表面的交线，称为截交线； 当平面切割立体时，由截交线围成的平 面图形，称为断面。 • 用平面与立体相交，截去体的一部分—截切。
• 用以截切立体的平面——截平面。
五棱柱被切割后的三面投影
例1：求四棱锥被截切后的俯视图和左视图。
1 (4)2 3
4● ●1 ● 2 ● 3
ⅣⅠ
Ⅱ Ⅲ
4
●
3
三视图
（2）正面与侧面投影 是以轴线为对称线的、 大 小完全相同的矩形。
投影特性
圆
圆 锥
底 成下 看面 是底 成圆围 由圆面 是锥成 一柱围 由是。 直由成 一由圆 母圆。 直圆锥 线柱圆 母锥面面柱 线A面可和A面BB绕和看上可绕、
⑴ 棱柱的组成
由两个底面和若干侧棱面
组成。侧棱面与侧棱面的交线
叫侧棱线，侧棱线相互平行。
⑵ 棱柱的三视图
⑶ 棱在柱图示面位上置取时点，六棱柱
的点两的底可面见为性水规平定面：，在俯视 图中反若映由点实于所形棱在。柱的前的平后表面两面的侧都投棱 面影是是可正平见平面，面，点，所的其以投余在影四棱也个柱可侧的见棱； 面若是表平铅面面垂上的面取投，点影它与积们在聚的平成水面直平上线投， 影点都取的积点投聚的影成方也直法可线相见，同。与。六边形 的边重合。
机械制图 第三章 立体的投影
平面立体截交线的特点： 截交线是一个封闭的平面 多边形。多边形的各边是截平 面与立体各棱面的交线。 多边形的顶点是截平面与各 条棱线的交点。 A B 求截交线的关键： 求截平面与棱线的交点，截平面与棱面的交线 Ⅰ S
Ⅲ
Ⅱ
C
（二）求截切立体投影的方法与步骤
1.先画立体未被切的投影图 2.再画截交线的投影图 3.擦掉被切的轮廓线
例7-1 ：求三棱锥被正垂面截切截交线的投影。 s' s" 3' 1' a' a 2´ b' 1 Ⅲ s 2 3 c A Ⅰ c' a" S
1. 找出有积聚性的投影 2. 从已知投影开始， 确定各棱线的交点1` 2`3`。 3. 用线上取点的方法求 C 得其余各投影。 4. 连接棱面上的交线并 判断可见性。
宽 宽
4. 棱柱的投影的特征和几何含义
一个投影为多边形，另外两个投影为小 矩形组成的大矩形。
棱锥
锥顶 侧棱面
棱线
棱锥的棱线相交于锥顶
底面
底边
（二）、三棱锥
1.三棱锥的组成
棱锥由一个底面 和三个侧棱面组成， 侧棱线汇交于有限远 一点----锥顶。
2.棱锥投影时的安 放位置 底面平行水平 投影面，使一个侧 棱面垂直正立投影 面或侧立投影面。
O
平行V面的最大圆
平行W面的最大圆
V
W
a' c"
O
平行H面的最大圆
b
外形轮廓线投 影的对应关系
球面投影 可见性判断
圆球表面取点取线
例 圆球表面一点N，已知n′，求n ，n"
O n' (n" )
N
O
工程制图第三章体的投影
H Y
直观图
投影图
5
三棱柱体表面定点
（b ） a
b a
b y
a
解题思路： 利用棱柱表面的 积聚性
y
6
三棱锥的投影
Z
V
s
S
s
a
b
c
W
a
A
C a（c ）
a
X O
a
B
c
b
s
H
b
Y
直观图
s
s
b
c a（c ）
b
c
s
b
投影图
7
三棱锥体表面定点
s
s
n
（n）
m
m
a1
b
a
n
c c
a (c ) y1 y2
b
y1 y2
n m
b'(d')
d
b
a'
a
d n
a
m b
30
【例】求截平面P与三棱锥的截交线。
s
1 2
3 PV
a' b'
c'
a
1
s3 c
2
b
31
【例】求截平面P与三棱锥的截交线。
s'
3 2
4
a' 1 b'
c'
1
a
2
s
c
3
b 4 PH
注意：同一棱面上的两点才能连接。
32
四棱锥切割体的投影
6
2 (3 )
1
4 (5 )
6
1 7 (8 )
8
(2 )
第三章-立体的投影PPT课件
1″ 7″
9″
4(2)
6(8)
3(1) 5(7)
10(9)
可编辑课件PPT
35
可编辑课件PPT
36
可编辑课件PPT
37
可编辑课件PPT
38
3.3 曲面立体
曲面立体：所有表面都是由曲面或曲面和平面 所围成的立体称为曲面立体。它们通常被称为 回转体。
一动线绕一定线回转一周后形成的曲面称为回 转面。不动线称为回转轴，动线称为母线，母 线在回转面上的任意位置称为素线。
4(8) 3(7) 2(6)
1(5)
可编辑课件PPT
68
二、 平面与圆锥相交
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状 2. 例题
可编辑课件PPT
69
1. 平面与圆锥相交所得截交线形状
圆
过锥顶的两直线
小小规定
可编辑课件PPT
5
一、 棱柱
1. 棱柱的组成
正面投影
由两个底面和几个侧 面组成。侧面与侧面 的交线叫侧棱，侧棱 相互平行。
2. 棱柱的投影
侧面投影
水平投影
可编辑课件PPT
在图示位置时，六棱 柱的两底面为水平面， 在水平投影中反映实 形。前后两侧面是正 平面，其余四个侧面 是铅垂面，它们的水 平投影都积聚成直线， 与六边形的边重合。
s
1
4 2 ●
●
●
解题步骤
1.空间分析：截平面与 四条侧棱均相交，因此 截交线是一个四边形。
3
● 3
2.投影分析：截平面为
正垂面，截交线的正面
投影已知，水平投影和
侧面投影未知；
4 ●
3
1
●
s●
2●
第三章立体的投影
第三章立体的投影基本要求：熟练掌握基本形体的三面投影的特性、平面和立体的截交线的性质和画法、立体相贯线的性质和画法；能判断出立体表面的点、线，会求线与立体的交点。
主要内容：1、立体的投影；2、平面和立体相交；3、两立体相贯。
3.1立体的投影一、内容：1、平面立体的投影特性、作图方法；2、曲面立体的投影特性、作图方法。
二、要求及重点：要求掌握平面立体、曲面立体的投影特性、作图方法，并能综合运用。
三、教学方式：通过模型、教具、例题及实际绘制，使学生掌握并能综合运用。
四、作业：布置相应的立体投影作业。
3.1立体的投影基本形体：平面体曲面体一、平面立体的投影1、平面立体：表面由平面所围成的几何体。
2、平面立体的投影：就是围成它的表面的所有平面图形的投影。
置下，五棱柱的投影特征是：顶面和底面的水平投影重合，并反映实形——正五边形。
五个棱面的水平投影分别积聚为五边形的五条边。
正面和侧面投影上大小不同的矩形分别是各棱面的投影，不可见的棱线画虚线。
2、作图步骤：如图3-1b、c。
3、棱柱表面上点的投影：如图3-1d。
（二）棱锥棱锥的棱线交于一点。
常见的棱锥有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
图3-2 四棱锥三面投影的作图步骤1、投影分析图示四棱锥的底面平行于水平面，水平投影反映实形。
左、右两棱面垂直于正面，它们的正面投影积聚成直线。
前、后两棱面垂直于侧面，它们的侧面投影积聚成直线。
与锥顶相交的四条棱线既不平行、也不垂直与任何一个投影面，所以它们在三个投影面上的投影都不反映实长。
2、作图步骤：如图3-2b。
3、棱锥表面上点的投影：如图3-2c。
二、曲面立体的投影1、曲面立体：由曲面或曲面与平面所围成的几何体。
2、常见的曲面立体是回转体。
回转体：由回转面或回转面与平面所围成的立体，常见的回转体有圆柱、圆锥、球、环等。
回转体的投影就是围成它的回转面或回转面和平面的投影。
1、投影分析如图3-3所示，当圆柱轴线垂直于水平面时，圆柱上、下端面的水平投影反映实形，正面和侧面投影积聚成直线。
第三章 建筑制图-立体投影
A1 B1 C1
6
3
4
A
c
a c b
1
2
a1
3
4
b1 按两个贯穿点既位于一个立体的同一表面上、又位于另一立 体的同一表面上的条件依次连接。 23
5(6)
3.4.2 平面立体与曲面立体相交
1. 相贯线的形状 平面立体与曲面立体相交，一般情况下，相贯线是由 若干段平面曲线或平面曲线和直线围成。
例4
求切口圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影为椭 圆，侧面投影为圆； 2 求出截交线上的特殊点； 3 求出若干个一般点； 4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅱ Ⅰ Ⅳ
Ⅲ
例5
求截切圆柱的水平投影和侧面投影。
解题步骤 1 分析 截交线的水平投影 为圆的一部分，侧面投影 为矩形； 2 求出截交线上的特殊点Ⅰ 、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ； 3顺次地连接各点，作出截 交线并判别可见性； 4 整理轮廓线。
1.求相贯线的一般步骤
① 分析已知条件，读懂投影图，分析是全贯、互贯、有几个 贯穿点…… ②求贯穿点； ③连接贯穿点； ④判别可见性：相贯线的可见性、轮廓线重影 部分的可见性。
a1
2
a b
1
5
b1 c1 Ⅰ B C 可见性判断：相贯线的投影 c1 只有同时位于两个立体的可 见表面时才可见。 Ⅱ Ⅴ Ⅵ Ⅲ Ⅳ
3" 7" 2"
4 光滑且顺次地连接各点，作 出截交线，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
Ⅵ
Ⅰ
4
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第三章 立体的投影
第三章立体的投影立体按照其表面的性质，可分为平面立体和曲面立体两大类。
表面全部由平面围成的立体称为平面立体，表面由平面和曲面围成,或全部由曲面围成的立体称为曲面立体。
§3.1 平面立体一、平面立体的投影及其表面上的点平面立体的各个表面均为平面多边形，多边形的边即为各表面的交线（棱线），因此，绘制平面立体的投影可归结为绘制它的所有棱线及各棱线交点（顶点）的投影，然后判断可见性，将可见的棱线投影画成粗实线；不可见的棱线投影则画成虚线；当粗实线与虚线重合时，应画粗实线。
常见的平面立体是棱柱和棱锥。
1．棱柱（1）棱柱的投影（a）（b）图3-1 正六棱柱的投影图3-1所示为一个正六棱柱的立体图和投影图。
从本章开始，在投影图中不再画投影轴，但各点的三面投影仍要遵守正投影规律：水平投影和正面投影位于铅垂的投影连线上；正面投影和侧面投影位于水平的投影连线上；水平投影和侧面投影应保持前后方向的宽度一致及前后对应。
图3-1a 所示的正六棱柱，它的上、下底面均为水平面，六个棱面中，前后两个为正平面，其余四个为铅垂面。
作投影图时，先画上、下底面的投影：水平投影反映实形且两面重影；正面、侧面投影都积聚成直线段。
再画六条棱线：水平投影积聚在六边形的六个顶点上；正面、侧面投影均反映实长。
最后由读者自己分析各棱线和棱面的可见性。
要特别注意水平投影与侧面投影之间必须符合宽度相等和前后对应的关系，作图时可直接用分规量取距离，如图3-1b所示；但也可用添加45°辅助线的方法作图，如图3-2b。
（2）棱柱表面上的点棱柱体表面上取点和平面上取点的方法相同，先要确定点所在的平面并分析平面的投影特性。
如图3-1b，已知棱柱表面上点M的正面投影m＇和N点的水平投影n，求作其它两个投影。
因为m＇可见，它必在侧棱面ABB1A1上，其水平投影m必在有积聚性的投影上，由m＇和m可求得m＂, 因点M所在的表面A B B1A1的侧面投影可见，故m＂可见；由于N点的水平投影可见，它必在顶面ABCDEF上，而顶面的正面投影和侧面投影都有积聚性，因此n＇、n＂必在顶面的同面投影上。
工程图学基础第3章 立体的投影
1.平面与棱锥相交
图3-14 平面与三棱锥相交
2.平面与棱柱相交
例3-10 画出截切五棱柱的三面投影(图3-15)。 解 五棱柱被正垂面P截切，所得截交线为五边形。正面投影积聚在PV上，截平面与 侧表面CC1B1B，BB1A1A，AA1E1E、EE1D1D的交线的水平投影积聚在各自侧表面的 水平投影上。截平面与顶面ABCDE均垂直于V面，则交线为一正垂线，正面投影积聚 为一点。水平投影反映实长。截交线的侧面投影可由正面投影和水平投影求出。作图 步骤如下(图31)画出五棱柱的投影。 2)根据题目给定条件画出截平面的正面迹线PV。 3)求出截交线的水平投影五边形gfjih和侧面投影五边形g″f″j″i″h″。 4)去掉截切部分多余的轮廓线AF、BG、EJ及顶面上五边形BAEIH的投影，并判别投 影图的可见性。
(1)圆柱
图3-4 圆柱的三面投影
(2)圆锥
3-5 圆锥的三面投影
(3)圆球
图3-6 圆球的三面投影
(4)圆环
图3-7 圆环的三面投影
2.曲面立体表面上的点、线
(1)圆柱表面上的点、线 当圆柱轴线垂直于某一投影面时，圆柱面对其投影有积聚 性，利用积聚性确定属于圆柱表面上的点。 (2)圆锥表面上的点、线 为了确定属于圆锥面上的点，根据圆锥面的性质可过圆锥 顶点作辅助直线，或者过给定点作辅助圆，如图3-10a所示。 (3)圆球表面上的点、线 由于圆球面上不存在直线。
(1)棱锥Байду номын сангаас投影
图3-1 三棱锥的投影
(2)棱柱的投影
图3-2 正五棱柱的投影
2.平面立体投影图的可见性判断
平面立体投影图的可见性判断实质上是判别立 体各棱线投影的可见性。通常采用分析立体表 面可见性的方法解决。判断立体表面可见性时， 应遵循的原则是：共一个棱线的两个表面对某 一投影面投影时，只要其中一个表面可见，则 该棱线的投影可见，如果两个投影均不可见， 则该棱线的投影不可见。
工程制图技术基础第3章 立体的投影_OK
例3-5 完成轴线垂直相交的圆锥和圆柱相贯线的投影。
作图步骤:（1）分析形状，确定待求投影. （2）求特殊点。 (3)求一般点。 (4)连线并判断可见性。（5）整理轮廓线。
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3.3.4 相贯线的特殊情况
两回转体相交时，在一般情况下，相贯线为空间 曲线，但特殊情况下，是平面曲线或直线。常见的 有：
影和侧面投影是形状相同
的等腰三角形。等腰三角
形的底是圆锥底圆的投影，
三角形的两个腰是对投影
面的转向轮廓线，即圆锥
面上投影可见与不可见部
分的分界线。
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(1) 圆锥表面上取点
已知圆 锥表面上 点M及N 的正面投 影m′和n ′，求它 们的其余 两投影。
m (n )
a’
n
a
m
m
(n )
(a”)
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3.圆球
(1) 圆球的投影
圆球的三 个投影都是 与球的直径 相等的圆， 它们分别是 球面对三个 投影面的转 向轮廓线。
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(1) 圆球表面上的取点
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➢3.2 平面与回转体表面相交
3.2.1概述
平面与回转体相交 截断面 （也可看作回转体被 平面切割），在回转 截交线 体表面产生的交线， 称为回转体截交线， 这个平面称为截平面， 截交线所围成的平面 图形称截断面 ，如 右图所示。
a (b)
b c a
c (a)
b
在平面 立体表 面上取 点的原 理及方 法，与 在平面 内取点 相同， 只需判 别可见 性即可。
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2.棱锥
棱锥的底面为多边形，其余的棱面都是 三角形，且交于锥顶。除底边外各棱线也
都汇交于锥顶。棱锥底面多边形若为n边形， 则称为n棱锥，底边若是正n边形，且锥顶 对底面的正投影是正n边形的中心，则称为 正n棱锥。
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第3章立体的投影电子教案：3.1 基本立体的投影基本立体可分为平面立体和曲面立体。
表面均为平面的基本立体称为平面立体。
常见的有棱柱、棱锥，如图3-1所示。
表面由曲面和平面或完全由曲面组成的基本立体称为曲面立体。
最常见的曲面立体是回转体，包括圆柱、圆锥、球、圆环等，如图3-2所示。
将基本体放在三投影面体系中进行投射时，为了画图、读图的方便，通常将其“放平，摆正”。
放平——就是让基本体的底面处于平行面位置。
摆正——是在放平的基础上，让其余各面尽可能处于平行面或垂直面位置。
在以后画组合体视图或零件图时也要遵循这个原则。
图3-1 平面立体图3-2曲面立体3.1.1 平面立体的投影及其表面取点在投影图上表示平面立体就是把组成立体的平面和棱线表示出来，然后判别其可见性，把看得见的棱线投影画成实线，看不见的棱线投影画成虚线。
1．棱柱(1) 棱柱的投影常见的棱柱有正四棱柱和正六棱柱，图3-3（a）所示一正六棱柱，由六个相同的矩形棱面和上下底面（正六边形）所围成。
将其放平摆正后，上、下底面为水平面，其水平投影反映实形，另外两面投影积聚为直线。
正六棱柱的六个棱面中，前后两个面是正平面，正面投影反映实形；其余四个棱面均为铅垂面。
如图3-3（b）所示，作图过程如图3-4所示。
（a）（b）图3-3正六棱柱的投影及表面取点图3-4 正六棱柱的画图方法和步骤棱柱的投影特性是：在与棱线垂直的投影面上的投影为一多边形，它反映棱柱上、下底面的实形；另两个投影都是由粗实线或虚线组成的矩形线框，它反映棱面的实形或类似形。
(2) 在棱柱表面上取点在棱柱表面上取点，其原理和方法与在平面内取点相同。
该例中正六棱柱的各个表面都处于特殊位置，因此在其表面上取点均可利用平面投影积聚性的原理作图，并判别其可见性，如图3-3（b）所示。
2．棱锥(1) 投影分析和画法常见的棱锥有正三棱锥和正四棱锥，图3-5（a）所示为一正三棱锥，锥顶为S，其底面为等边△ABC，是水平面。
三个棱面为全等的等腰三角形，其中棱面△SAB、△SBC是一般位置平面，它们的各个投影均为类似形；棱面△SAC为侧垂面。
底边AB、BC为水平线，CA为侧垂线；棱线SB为侧平线，SA、SC为一般位置直线。
作图时，先画出底面△ABC的各个投影，再作出锥顶的各个投影，然后连接各棱线，即得正三棱锥的三面投影，如图3-5（b）所示。
棱锥的投影特性是：在与棱锥底面平行的投影面上的投影反映棱锥底面的实形。
在该投影面上，棱锥棱面的投影均为三角形；其余两面投影为一个或几个三角形线框，其中棱锥底面的投影为一条直线。
棱面的投影或积聚为直线，或是其类似形，（a）（b）图3-5 正三棱锥的投影及表面取点(2) 棱锥表面取点组成棱锥的表面可能是特殊位置的平面，也可能是一般位置的平面。
凡属特殊位置表面上的点，其投影可利用平面投影的积聚性直接求得；如在图3-5中，侧垂面SAC 上点N的水平投影n可利用平面投影的积聚性直接求得其侧面投影n″。
对属于一般位置平面上的点，可通过在该面作辅助线的方法求得。
如在图3-5中，已知立体表面上点M的正面投影m′，求其他两投影。
因点M所在表面△SAB为一般位置平面，所以可利用辅助线法来作图。
方法一：过M点在△SAB上作AB的辅助平行线MΙ，即作1′m′∥a′b′，再作1m∥ab，求出m，再根据m、m′求出m″。
方法二：过锥顶S和M点作一辅助线SⅡ，然后求出M点的水平投影m。
N点的投影求法可以此类推。
3.1.2 回转体由一动线（直线或曲线）绕一固定直线旋转而成的曲面，称为回转面。
动线称为回转面的母线，固定直线称为轴线。
由回转面或回转面和平面所围成的立体称为回转体。
母线在回转面上的任一位置称为素线，母线上任一点的运动轨迹皆为垂直于轴线的圆，这些圆称为纬圆。
对于某投影面，回转面可见部分与不可见部分的分界线称为转向轮廓线。
转向轮廓线由特殊位置素线组成（如最左、最右、最前、最后、最上、最下素线等）。
在作回转面的投影时，不必将其所有素线绘出，只需绘出其转向轮廓线的投影即可。
1．圆柱（1）圆柱的形成圆柱体表面是由圆柱面和上下两底面所组成。
圆柱面可以看成是由直线AA1绕与它平行的固定直线OO'旋转而成，如图3-6（a）所示，直线OO'称为轴线，直线AA1称为母线，母线的任意位置称为素线。
（2）投影分析如图3-6（b）所示的圆柱体轴线垂直于H面，顶面和底面为水平面，其水平投影反映实形，其正面和侧面投影积聚为一直线。
圆柱面的水平投影积聚为圆，圆柱面上任何点和线的水平投影均积聚该圆周上；圆柱面的正面投影和侧面投影均为柱面转向轮廓线的投影（即为圆柱面可见与不可见分界线的投影，其正面投影为最左、最右两条素线的投影；侧面投影为最前、最后两条素线的投影）；圆柱的正面投影和侧面投影为两个全等的矩形线框。
（3）画法首先画出轴线的投影，以及圆的对称中心线，其次画出投影为圆的投影，最后画其余两个投影，如图3-6（c）所示。
（4）圆柱表面上取点如图3-6（c）所示，已知圆柱面上一点M的正面投影m′，求作它的水平投影m 和侧面投影m″。
由于圆柱面的水平投影积聚为一个圆，因此m应在圆柱面水平投影所积聚的圆周上，再根据m′、m即可求得m″。
（a）（b）（c）图3-6 圆柱的投影及表面取点2．圆锥（1）圆锥的形成圆锥体的表面由圆锥面和底面组成。
圆锥面可以看成是母线SA绕与其相交的轴线SO旋转而成，如图3-7（a）所示，圆锥面上通过锥顶的任一直线都是圆锥面的素线。
（2）投影分析如图3-7（b）所示的圆锥体轴线为铅垂线，底平面为水平面，其水平投影反应实形，正面投影和侧面投影均积聚为直线。
圆锥面的水平投影为圆，因为圆锥面上所有素线都倾斜于水平面，这个圆没有积聚性；它的正面投影和侧面投影是两个全等的等腰三角形，两腰为圆锥面转向轮廓线的投影（即为圆锥面可见与不可见分界线的投影，正面投影为最左、最右两条素线的投影，侧面投影为最前、最后两条素线的投影）。
（3）画法一般先画出轴线和对称中心线的各投影，然后画出圆锥反映为圆的投影，再根据投影关系画出圆锥的另两个投影，如图3-7（c）所示。
（4）圆锥表面上取点轴线为投影面垂直线的圆锥，只有底面的两个投影有积聚性，而圆锥面的三个投影都没有积聚性。
因此，在圆锥表面上取点，除圆锥面转向轮廓线上的点或底圆平面上的点可直接求出之外，其余处于一般位置的点，则必须用辅助线法（亦称素线法）或辅助圆法（亦称纬圆法）作出，并表明其可见性，如图3-7中，已知圆锥面上一点M的正面投影m'。
求作它的水平投影m和侧面投影m"，可利用这两种方法求解方法一：辅助线法，过锥顶S和M点作一辅助线SⅠ，作出其正面投影s'l'和水平投影sl即可求出M点的水平投影m，再根据点的投影规律求出m"。
方法二：辅助圆法，如图3-7所示，在圆锥面上过点M作垂直于轴线的纬圆，则点M的另两投影必在纬圆的同面投影上。
(a) （b）（c）图 3-7 圆锥的投影及表面取点3．圆球（1）圆球的形成圆球可以看成是由一母线圆绕其直径OO'旋转而成，如图3-8（a）所示。
（2）投影分析圆球的三面投影均为与球直径相等的圆，它们分别是圆球对三个投影面的转向轮廓线圆的投影。
正面投影圆a′是正面投影的转向轮廓线圆，也是前半球和后半球分界圆，同时还是球面上平行于V面的最大素线圆的投影；水平投影圆b是水平投影的转向轮廓线圆，也是上半球和下半球分界圆，同时还是球面上平行于H面的最大素线圆的投影；侧面投影圆c″是侧面投影的转向轮廓线圆，也是左半球和右半球分界圆，同时还是球面上平行于W面的最大素线圆的投影。
这三个圆的其余两投影均与中心线重合，不必画出。
（3）画法画圆球的三面投影时，先确定球心的位置，画出圆的中心线（球面对称平面的投影），再以球心为圆心画出球面对三个投影面的转向轮廓线的投影，如图3-8（c）。
（4）圆球面上取点由于圆球的三个投影均无积聚性，所以在圆球表面上取点，除属于特殊位置点可直接求出之外，其余处于一般位置的点，都需用辅助圆法作圆，并表明可见性。
如图3-8（c）所示，已知圆球表面上一点M的正面投影m′，求其水平投影m和侧面投影m″。
根据m′的位置和可见性，可知M点位于前半球的左上部位。
为找出M点的水平投影m，可过M点作纬圆（正平圆、水平圆、侧平圆）求解。
如过m′作水平辅助纬圆与圆球正面投影（圆）交于点1′、2′，以1′2′为直径在水平投影上作水平圆，则点M的水平投影m必在该纬圆上，再由m′和m求出m″，m和m″均为可见。
（a）（b）（c）图3-8 圆球的投影及球面上取点4．圆环（1）圆环的形成圆环可以看成是以圆为母线，绕与其共面但不通过圆心的轴线回转而形成，如图3-9（a）所示。
其中外半径回转形成外环面，内半径回转形成内环面。
（2）投影分析圆环的正面投影和侧面投影形状完全一样，水平投影是三个同心圆（其中有一个细点画线圆）。
水平投影为三个同心圆，其中的细点画线圆是母线圆心轨迹的水平投影；内外粗实线圆表示圆环上半部（可见部分）与下半部（不可见部分）的分界线的投影，也即水平投影的转向轮廓线。
正面投影是由平行于正面的两个素线圆和上下两条轮廓线组成，他们是内外环面分界处的圆的投影。
因为圆环的内环面从前面看是看不见的，所以素线圆靠近轴线的一半应该画成虚线。
圆环的侧面投影与正面投影完全类似，在此不再叙述，请自行分析。
（3）画法画圆环的三面投影时，首先先画个投影的中心线和轴线，其次画出其正面投影和侧面投影，最后画出水平投影。
如图3-9（c）。
（4）圆环面上取点如图3-9（c）所示，已知圆环表面上一点M的正面投影m′，求其水平投影m和侧面投影m″。
根据m′为可见投影，可知M点位于外圆环面上的前半部。
为找出m、m″，可过点M作一个纬圆，该圆垂直于圆环轴线，找出这个圆的水平投影，即可得出M点的水平投影m，再由m′和m求得m″，且均为可见。
（a）（b）（c）图3-9 圆环的投影及圆环面上的点5．圆弧回转体如图3-10所示的回转体，由圆弧回转面和上下底平面围成。
圆弧回转面是以半径为R的圆弧为母线，绕轴线旋转而形成。
显然，这种曲面实际上是部分圆环面（内环面），若在表面上取点，仍采用纬圆法求解，如图3-10所示。
（a）（b）图3-10 圆弧回转面3.1. 3基本体的尺寸标注基本体标注尺寸时以能确定基本体的形状大小为原则。
1．平面立体的尺寸标注法平面立体一般标注其长、宽、高三个方向的尺寸，常见平面立体的标注方法如图3-11所示。
3-11平面立体的尺寸标注2．曲面立体的尺寸标注法曲面立体的直径一般应标注在投影为非圆的视图上，并在尺寸数字前加注直径符号“Φ”，球面直径加注“SΦ”。
常见曲面立体的标注方法如图3-12所示。