计算机图形学 第九章.

２.Dragon 曲线 （１）Dragon 曲线的生成规则
变化的起始是一条原始直线段。第一 步是将该直线段由中间点隆起，使其 变成一个等腰直角三角形的两腰。 接下去再分别对两腰作和前面同样的 变化，如此不断进行。（图例）
不难看出，Dragon 曲线完全是由长 度相等的线段组成，且两两相交处 都成直角。 另外，每次分形后，曲线的长度是 原来曲线长度的 2 倍。因此，经 过无数次变化，Dragon 曲线也将变 成无限长。这一点正符合分形曲线 的特点。
曲线由把每一折线段反复迭代成缩小 比例的三分之一的生成元而成。即字 符串T＝ F L F R R F L F 中的每一个 F 又是字符串 T 本身。而每次迭代 后，生成的曲线长是原来曲线长的三 分之四倍。可见，无数次迭代后， Koch 曲线将变得具有无限长度。并 且，Koch 曲线是永远不自相交的。
9.2 非几何形体的造型技术
1、分形造型的概念 分形是最近二十多年来发展起来的新 学科。分形的原文是 Fractals，是由著 名数学家 B . Mandelbrot 于 1975 年用 拉丁词根构造的单词，他创立了独立 于欧几里德几何学之外的数学方法： 分形几何。
分形具有下面列出的典型几何性质
从以上过程可以清楚地看出，Koch曲 线（其它分形集也是如此）可以由简单的 图，称为 生成元 ，迭代产生。 在这里，Koch曲线的生成元是：
在这里，假如我们约定好记号，就可 以把Koch曲线的生成元的构造用一个 字符串符号表示出来。设： F 从当前点开始，向前移动一距离d L 向左（逆时针）转一定角 R 向右（顺时针）转一定角 则Koch曲线的生成元可表示为： T＝ F L F R R F L F （ ＝60º ）
３.其他分形实例
用 分形 可以构造很多自然界的形体， 下面是几种常见的例子：
（１）分枝
Koch 曲线和Dragon曲线都是连续的， 分枝结构是不连续的，它的生成元类 似于图例所示。 其生成元描述为： F: F[LF]F[RF]F
***
（２）粒子模型的图例 （３）岩石
Z
***
这种分形由平面多边形（如三角形、 取中点在 在中点上加一 边直线上 个随机法向量 四边形等）用随机插值法迭代生成， 可模拟山峦。 如图所示：
(2)
生成Koch 曲线的程序
函数 side( )，用于绘制Koch 曲线的生 成元，函数中所用的参数为：
xa, ya, xb, yb :线段的起点和终点坐标； a : 线段的方向角； n : 迭代次数（递归深度）。
void side ( xa, ya, xb, yb, a, n ) int n ; float xa, ya, xb, yb, a ; { float x1, y1, x2, y2, x3, y3, dl, a1, a2 ; int xs, ys, xe, ye ; if (n==0) { xs=(int)(xa+0.5) ; ys=(int)(ya+0.5) ; xe=(int)(xb+0.5) ; ye=(int)(yb+0.5) ; moveto(xs,480-ys) ; lineto(xe,480-ye); } else
（１）分形集都具有任意小尺度下的 比例细节，或者说它具有精细的结构。 （２）分形集不能用传统的几何语言 来描述，它既不是满足于某些条件的 点的轨迹，也不是某些简单方程的解 集。
（３）分形集具有某种自相似的形式， 可能是近似的或统计的自相似。 （４）一般说来，分形集的维数是一 个分数，所以分形也称为分数维； （５）在大多数令人感兴趣的情形下， 分形集由非常简单的方法定义，可以 用变换的迭代产生。
{ dl=sqrt((xb-xa)*(xb-xa)+(yb-ya)*(yb-ya)) / 3. ; x1=xa+(xb-xa) / 3. ; y1=ya+(yb-ya) / 3. ; side(xa, ya, x1, y1, a, n-1) ; a1=a+AF ; x2=x1+dl*cos(a1) ; y2=y1+dl*sin(a1) ; side(x1, y1, *AF ; x3=x2+dl*cos(a2) ; y3=y2+dl*sin(a2) ; side(x2, y2, x3, y3, a2, n-1) ; side(x3, y3, xb, yb, a, n-1) ; } } ***
2、目前的造型技术主要有： （1）实体造型技术（Solid Modeling)： 将对象分解为一组有限的三维元素 的集合，以及施加在这组集合元素上的 一组操作。又可分为空间分割表示、结 构实体几何模型（CSG）、边界模型（ B—Reps)。
（2）曲面造型技术（Surface Modeling) 用数学函数（如B样条、贝塞尔）描述 曲线和曲面，并提供其修改、连接、求 交和显示等操作 （3）非几何形体的造型技术 大多数自然物体，如山石、树木、花草 、云、水波、火焰的非规则形体的表达 与操作方法
分形的四种构成方法
（１）基于Ｌ系统的分形模型 （２）迭代函数系统模型 （３）粒子系统模型 （４）随机插值模型
二、典型的分形模型 １ .Koch 曲线 ( 1 ) Koch 曲线的生成规则
Koch 曲线是 Von Koch 于1904年第一 次描述的。它的构造是：迭代初始把 原线段去掉中间的三分之一，代之以 底边在被去线段上的等边三角形的两 腰；以后每一步的迭代都是这样的重 复。 （图例）
第九章 三维实体的表示
造型技术概述
实体的定义
八叉树表示
物体的边界表示 构造实体几何表示
9.1 造型技术概述
1、造型技术：计算机内对形状信息的描述方 法简称为造型(Modeling)技术,造型技术主 要有形状表达和形状操作两个部分组成。
将形状的结构用数 据结构模拟出来。 这种描述形状的数 据结构称为模型 （Model) 实现对模型的生成、 修改、综合、分析、 计算、显示等操作， 以便完成设计过程中 的各种造型任务。