北邮数字信号处理期中考试试题范本

z 1 z 2 1 2 1 z z z z 1
零点： z0 0 极点： z1
1 5 1 5 , z2 2 2
极零点分布图如图：
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x ( n / r ), y( n ) 0, n ir , 其他 n
rN 1
n n
0 i N
， 试求 rN 点 DFT [ y( n)] 与 X ( k ) 的关系， 并解释结果。
解：
Y (k ) DFT y (n) 令m n / r
N 1 km x (m) WN m 0
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解：因为 N1 4 ，所以把 x(n) 分为三段： x1 (n) {3, 4, 5, 6} x2 (n) {7,8,9,10} x3 (n) {11,12, 0, 0} 计算 x(n) 中每一段同 h(n) 的线性卷积: y1 (n) x1 (n) * h(n) {3,10, 22, 40, 43,38, 24} y2 (n) x2 (n) * h(n) {7, 22, 46,80, 79, 66, 40} y3 (n) x3 (n) * h(n) {11,34, 57,80, 48, 0,0} 把临段的最后 ( M 1) 3 项与开始的 ( M 1) 3 相加得到相应的各项，最后的 y (n) 为: (各 1 分) (各 1 分)
四、 (20 分)
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(1) 求以下序列的 Z 变换及其收敛域。
0 n x ( n) 2 N n 0 n0 0n N N+1 n 2N n 2N+1
y ( n) W
n 0
kn rN
N 1 m 0
y(mr ) W
kmr rN
(每行 2 分)
X (k ) N RrN (k )
1 其中，且 RrN (k ) 0 0 k rN 1 其他k
解释：y(n)的傅立叶变换 Y(k)是 X(k)重复 r-1 次。 七、 (10 分)设 x ( n) n 3 ， 0 n 9 ， h( n) {1, 2, 3, 4} ，按 N 1 4 用重叠相加法计算线性卷 积 y( n) x ( n) * h( n) 。
1
3t 5 f 2
3
8 7 5 2 3 3 3
4
2 1 3 3
0
t
(2) (2 分)有一调幅信号 xa ( t ) [1 cos(2 100 t )]cos(2 600 t ) 对其做 DFT 进行频谱分析， 为 了保留其所有的频率分量，取样频率应为 1400 Hz，取样间隔应该为 0.0714 秒。
由于限定系统是因果的，收敛域需选包含 点在内的收敛域，即 z (b)
n n 1 1 5 1 5 h(n) 2 u ( n) 2 5
1 5 。 2
(c) 1 1 5 1 1 5 h(n) u ( n) u ( n 1) 5 5 2 2 六、 (10 分)已知 x ( n) 是长为 N 点的有限长序列， X ( k ) DFT [ x ( n)] ，现将 x ( n) 的每点之后 补 进 r 1 个 零 值 点 ， 得 到 一 个 长 为 rN 点 的 有 限 长 度 序 列 y( n) ，
。
(8) (2 分)直接计算 N 点 DFT 需要 N 2 次复数乘法， N ( N 1) 次复数加法。 (9) (3 分)已知序列：x(n)，0≤n≤15；g(n)，0≤n≤19。X(k)、G(k)分别是它们的 32 点 DFT。 令 y(n)=IDFT[X(k)G(k)]，0≤n≤31，则 y(n)中相等于 x(n)与 g(n)线性卷积中的点有 点，其序号从 3 到 31 。
9 9
y ( n ) (1)( 0.9) ( n k ) u(n k ) (0.9) n (0.9) k u( n k )
k 0 k 0
(3分)1)n<0：此时u(n-k)=0，0≤k≤9。在此情况下，x(n)和h(n)的非零值互相不覆 盖，因而输出为： y (n) 0 (3分)2)0≤n<9:则u(n-k)=1,0≤k≤n。在此情况下，x(n)和h(n)的非零值部分互相 覆盖，因而输出为：
1 zN 1 解： X ( z ) 2 N 1 (7 分) z z 1
收敛域： z 0 (3 分) 极点： z 0,1 零点： zk e
j 2 k N
2
k 0,1,..., N 1
在 z 1 处，零极点相消，零极点示意图如图所示。 (2) 已知 X ( z )
1 z 3
n 1 n x(n) 2 u ( n 1) 3
(3 分)
五、 (15 分)已知用下列差分方程描述一个线性时不变因果系统
y( n) y( n 1) y( n 2) x ( n 1)
a) (5 分)求这个系统的系统函数，画出系统函数的零极点图并指出其收敛域； b) (5 分)求系统的单位冲激响应； c) (5 分)判断系统的稳定性，如果不稳定，试找出一个满足上述差分方程的稳定的(非因 果)系统的单位冲激响应。 解： (a) H ( z )
y (n) {3,10, 22, 40,50, 60, 70,80,90,100,97,80, 48}
(3 分)
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ห้องสมุดไป่ตู้
5z ，求出所有可能的 x ( n) 。 7 z 3z 2 2
1 n 解： z 2 x(n) 2 n u (n) (3 分) 3 1 1 z 2 x(n) ( ) n u (n) 2 n u ( n 1) (3 分) 3 3
解： FT [ x (2n)]
n取偶 n j n / 2 ＝ 1 2 [ x( n ) ( 1) x ( n )]e n j n /2 1 2 [ x( n )e n

x (n)e j n/ 2 (5)
e
n
j n
x(n)e j n / 2 ]
y(n) (0.9) n (0.9) k (0.9) n
k 0 9
1 (0.9) 10 1 (0.9)10 , n 9 10(0.9) n9 1 (0.9)1
由上述三部分给出了完整的输出表达式如下所示。
n0 0 y(n) 10[1-(0.9)n+1 ] 0n9 10(0.9)n-9 [1-(0.9)10 ] n 9
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二、 (10 分 ) 令 x ( n) 和 X (e jw ) 表示一个序列及其变换，又假设 x ( n) 为实函数和 n<0 时，
x ( n) 0 ，利用 X (e jw ) 求序列 g ( n) x (2n) 的离散时间傅氏变换(DTFT)。
(3) 试判断下列系统是否线性？是否时不变？是否稳定？是否因果？
n
(4 分)(a) y( n)

m n0
x(m )
n n0
线性、移变、非稳定、因果 。 非线性、移不变、稳定、因果 。
(4 分)(b) y( n) e x ( n )
(4) (2 分)单位冲激响应分别为 h1 ( n) 和 h2 ( n) 的两线性系统相串联，其等效系统函数时域及频 域表达式分别是 h(n)= h1 (n) h2 (n) , H ( e jw ) = H1 (e j ) H 2 (e j ) 。 (5) (1 分 ) 若 x ( n) 的傅 立叶 变换 为 X (e jw ) ，则 y( n) x (1 n) x ( 1 n) 的傅立 叶变 换 为 2 cos X (e j ) 。
n k 0 n k 0
y ( n ) (0.9) n (0.9) k (0.9) n ([0.9] 1 ) k (0.9) n 1 (0.9) 1 (0.9) 1
( n 1)
10 1 (0.9) n 1 ,


0n9
(3分)3)n≥9:则u(n-k)=1,0≤k≤9。在此情况下，x(n)和h(n)完全互相覆盖，因而 输出为：
a2 1 z 1 (6) (2 分) x ( n) a , a 1 的 z 变换是 ，收敛域为 a z 。 1 a a( z )( z a ) a
n
(7) (3 分)传输函数 H ( z )
4 z 1 的零点为 4 9 z 1 2 z 2
0
，极点为
0.25 和 2
[ X (e 1 2
j1 2
) X (e
) j( 1 2
)]
三、 (10 分)将一个矩形脉冲 x ( n) u( n) u( n 10) 作为一个脉冲响应为 h( n) (0.9) n u( n) 的线 性时不变系统的输入，求输出 y( n) 。 解：输入 x(n)和脉冲响应 h(n)如下图所示。由离散卷积的定义得到：
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《数字信号处理》
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