八年级_分式知识点总结与复习题

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2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式(含解析)

2024中考数学复习核心知识点精讲及训练—分式（含解析）1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感；2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力；3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识；4．通过学习能获得学习代数知识的常用方法，能感受学习代数的价值。

考点1：分式的概念1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母.2.最简分式：分子与分母没有公因式的分式；3.分式有意义的条件：B≠0；4.分式值为0的条件：分子=0且分母≠0考点2：分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A MB B M B B M⨯÷==⨯÷，（其中M是不等于零的整式）.考点3：分式的运算考点4：分式化简求值（1）有括号时先算括号内的；（2）分子/分母能因式分解的先进行因式分解；（3）进行乘除法运算（4）约分；（5）进行加减运算，如果是异分母分式，需线通分，变为同分母分式后，分母不变，分子合并同类项，最终化为最简分式；（6）带入相应的数或式子求代数式的值【题型1：分式的相关概念】【典例1】（2022•怀化）代数式x，，，x2﹣，，中，属于分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】B【解答】解：分式有：，，，整式有：x，，x2﹣，分式有3个，故选：B．【典例2】（2023•广西）若分式有意义，则x的取值范围是（）A．x≠﹣1B．x≠0C．x≠1D．x≠2【答案】A【解答】解：∵分式有意义，∴x+1≠0，解得x≠﹣1．故选：A．1．（2022•凉山州）分式有意义的条件是（）A．x＝﹣3B．x≠﹣3C．x≠3D．x≠0【答案】B【解答】解：由题意得：3+x≠0，∴x≠﹣3，故选：B．2．（2023•凉山州）分式的值为0，则x的值是（）A．0B．﹣1C．1D．0或1【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x2﹣x＝0且x﹣1≠0，解得：x＝0，故选：A．【题型2：分式的性质】【典例3】（2023•兰州）计算：＝（）A．a﹣5B．a+5C．5D．a 【答案】D【解答】解：＝＝a，故选：D．1．（2020•河北）若a≠b，则下列分式化简正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【答案】D【解答】解：∵a≠b，∴，故选项A错误；，故选项B错误；，故选项C错误；，故选项D正确；故选：D．2．（2023•自贡）化简：＝x﹣1．【答案】x﹣1．【解答】解：原式＝＝x﹣1．故答案为：x﹣1．【题型3：分式化简】【典例4】（2023•广东）计算的结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝＝．故本题选：C．1．（2023•河南）化简的结果是（）A．0B．1C．a D．a﹣2【答案】B【解答】解：原式＝＝1．故选：B．2．（2023•赤峰）化简+x﹣2的结果是（）A．1B．C．D．【答案】D【解答】解：原式＝+＝＝，故选：D．【题型4：分式的化简在求值】【典例5】（2023•深圳）先化简，再求值：（+1）÷，其中x＝3．【答案】，．【解答】解：原式＝•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝．1．（2023•辽宁）先化简，再求值：（﹣1）÷，其中x＝3．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝x+2，当x＝3时，原式＝3+2＝5．2．（2023•大庆）先化简，再求值：，其中x＝1．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝﹣+＝＝＝＝，当x＝1时，原式＝＝．3．（2023•西宁）先化简，再求值：，其中a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根．【答案】，6．【解答】解：原式＝[﹣]×a（a﹣b）＝×a（a﹣b）﹣＝﹣＝；∵a，b是方程x2+x﹣6＝0的两个根，∴a+b＝﹣1ab＝﹣6，∴原式＝．1．（2023春•汝州市期末）下列分式中，是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：A、＝，不是最简分式，不符合题意；B、＝＝，不是最简分式，不符合题意；C、是最简分式，符合题意；D、＝＝﹣1，不是最简分式，不符合题意；故选：C．2．（2023秋•岳阳楼区校级期中）如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（）A．不变B．扩大2倍C．扩大4倍D．缩小2倍【答案】B【解答】解：∵＝＝×2，∴如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值扩大2倍，故选：B．3．（2023•河北）化简的结果是（）A．xy6B．xy5C．x2y5D．x2y6【答案】A【解答】解：x3（）2＝x3•＝xy6，故选：A．4．（2023秋•来宾期中）若分式的值为0，则x的值是（）A．﹣2B．0C．2D．【答案】C【解答】解：由题意得：x﹣2＝0且3x﹣1≠0，解得：x＝2，故选：C．5．（2023秋•青龙县期中）分式的最简公分母是（）A．3xy B．6x3y2C．6x6y6D．x3y3【答案】B【解答】解：分母分别是x2y、2x3、3xy2，故最简公分母是6x3y2；故选：B．6．（2023春•沙坪坝区期中）下列分式中是最简分式的是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解；A、是最简二次根式，符合题意；B、＝，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝＝，不是最简二次根式，不符合题意；D、＝﹣1，不是最简二次根式，不符合题意；故选：A．7．（2023春•原阳县期中）化简（1+）÷的结果为（）A．1+x B．C．D．1﹣x【答案】A【解答】解：原式＝×＝×＝1+x．故选：A．8．（2023•门头沟区二模）如果代数式有意义，那么实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x＞2C．x≥2D．x≤2【答案】A【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故选：A．9．（2023春•武清区校级期末）计算﹣的结果是（）A．B．C．x﹣y D．1【答案】B【解答】解：﹣＝＝．故答案为：B．10．（2023春•东海县期末）根据分式的基本性质，分式可变形为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：＝﹣，故选：C．11．（2023秋•莱州市期中）计算的结果是﹣x．【答案】﹣x．【解答】解：÷＝•（﹣）＝﹣x，故答案为：﹣x．12．（2023秋•汉寿县期中）学校倡导全校师生开展“语文阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读的页数为（用含a、b、m的最简分式表示）．【答案】．【解答】解：由题意得：平均每天比原计划要多读的页数为：﹣＝﹣＝，故答案为：．13．（2023春•宿豫区期中）计算＝1．【答案】1．【解答】解：＝＝＝1，故答案为：1．14．（2023•广州）已知a＞3，代数式：A＝2a2﹣8，B＝3a2+6a，C＝a3﹣4a2+4a．（1）因式分解A；（2）在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式．【答案】（1）2a2﹣8＝2（a+2）（a﹣2）；（2）..【解答】解：（1）2a2﹣8＝2（a2﹣4）＝2（a+2）（a﹣2）；（2）选A，B两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式（答案不唯一），＝＝．15．（2023秋•思明区校级期中）先化简，再求值：（），其中．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（﹣）＝÷＝•＝，当x＝﹣1时，原式＝＝．16．（2023秋•长沙期中）先化简，再求值：，其中x＝5．【答案】，．【解答】解：原式＝（﹣）•＝•＝，当x＝5时，原式＝＝．17．（2023•盐城一模）先化简，再求值：，其中x＝4．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝（+）•＝•＝•＝x﹣1，当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．18．（2022秋•廉江市期末）先化简（﹣x）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【答案】﹣，0．【解答】解：原式＝（﹣）•＝﹣•＝﹣，∵（x+1）（x﹣1）≠0，∴x≠±1，当x＝0时，原式＝﹣＝0．1．（2023秋•西城区校级期中）假设每个人做某项工作的工作效率相同，m个人共同做该项工作，d天可以完成若增加r个人，则完成该项工作需要（）天．A．d+y B．d﹣r C．D．【答案】C【解答】解：工作总量＝md，增加r个人后完成该项工作需要的天数＝，故选：C．2．（2023秋•长安区期中）若a＝2b，在如图的数轴上标注了四段，则表示的点落在（）A．段①B．段②C．段③D．段④【答案】C【解答】解：∵a＝2b，∴＝＝＝＝＝，∴表示的点落在段③，故选：C．3．（2023秋•东城区校级期中）若x2﹣x﹣1＝0，则的值是（）A．3B．2C．1D．4【答案】A【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣1＝x，∴x﹣＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x2﹣2+＝1，∴x2+＝3，故选：A．4．（2023秋•鼓楼区校级期中）对于正数x，规定，例如，，则＝（）A．198B．199C．200D．【答案】B【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（1）+f（1）＝2，f（2）＝＝，f（）＝＝，f（2）+f（）＝2，f（3）＝＝，f（）＝＝，f（3）+f（）＝2，…f（100）＝＝，f（）＝＝，f（100）+f（）＝2，∴＝2×100﹣1＝199．故选：B．5．（2023秋•延庆区期中）当x分别取﹣2023，﹣2022，﹣2021，…，﹣2，﹣1，0，1，，，…，，，时，计算分式的值，再将所得结果相加，其和等于（）A．﹣1B．1C．0D．2023【答案】A【解答】解：当x＝﹣a和时，＝＝0，当x＝0时，，则所求的和为0+0+0+⋯+0+（﹣1）＝﹣1，故选：A．6．（2022秋•永川区期末）若分式，则分式的值等于（）A．﹣B．C．﹣D．【答案】B【解答】解：整理已知条件得y﹣x＝2xy；∴x﹣y＝﹣2xy将x﹣y＝﹣2xy整体代入分式得＝＝＝＝．故选：B．7．（2023春•铁西区月考）某块稻田a公顷，甲收割完这块稻田需b小时，乙比甲多用0.3小时就能收割完这块稻田，两人一起收割完这块稻田需要的时间是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：乙收割完这块麦田需要的时间是（b+0.3）小时，甲的工作效率是公顷/时，乙的工作效率是公顷/时．故两人一起收割完这块麦田需要的工作时间为＝（小时）．故选：B．8．（2023春•临汾月考）相机成像的原理公式为，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．下列用f，u表示v正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：∵，去分母得：uv＝fv+fu，∴uv﹣fv＝fu，∴（u﹣f）v＝fu，∵u≠f，∴u﹣f≠0，∴．故选：D．9．（2023•内江）对于正数x，规定，例如：f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，计算：f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝（）A．199B．200C．201D．202【答案】C【解答】解：∵f（1）＝＝1，f（2）＝，f（）＝，f（3）＝，f（）＝，f（4）＝＝，f（）＝＝，…，f（101）＝＝，f（）＝＝，∴f（2）+f（）＝+＝2，f（3）+f（）＝+＝2，f（4）+f（）＝+＝2，…，f（101）+f（）＝+＝2，f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）+f（1）+f（2）+f（3）+…+f（99）+f（100）+f（101）＝2×100+1＝201．故选：C．10．（2023春•灵丘县期中）观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…＝﹣将以上等式相加得到+++…+＝1﹣．用上述方法计算：+++…+其结果为（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：由上式可知+++…+＝（1﹣）＝．故选A．11．（2023秋•顺德区校级月考）先阅读并填空，再解答问题．我们知道，（1）仿写：＝，＝，＝．（2）直接写出结果：＝．利用上述式子中的规律计算：（3）；（4）．【答案】（1），；；（2）；（3）；（4）．【解答】解：（1），＝；＝，故答案为：，；；（2）原式＝1﹣+++...++＝1﹣＝；故答案为：；（3）＝＝1﹣+﹣+﹣+⋯⋯+＝1﹣＝；（2）原式＝×（）+×（）+×（）+...+×（）＝（）＝＝．12．（2023秋•株洲期中）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：，；解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式；（3）如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．【答案】（1）真；（2）x﹣2+；（3）﹣1或﹣3或11或﹣15．【解答】解：（1）分式是真分式；故答案为：真；（2）；（3）原式＝，∵分式的值为整数，∴x+2＝±1或±13，∴x＝﹣1或﹣3或11或﹣15．13．（2023秋•涟源市月考）已知，求的值．解：由已知可得x≠0，则，即x+．∵＝（x+）2﹣2＝32﹣2＝7，∴．上面材料中的解法叫做“倒数法”．请你利用“倒数法”解下面的题目：（1）求，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，，，求的值．【答案】（1）；（2）24；（3）．【解答】解：（1）由，知x≠0，∴．∴，x•＝1．∵＝x2+＝（x﹣）2+2＝42+2＝18．∴＝．（2）由＝，知x≠0，则＝2．∴x﹣3+＝2．∴x+＝5，x•＝1．∵＝x2+1+＝（x+）2﹣2+1＝52﹣1＝24．∴＝．（3）由，，，知x≠0，y≠0，z≠0．则＝，＝，y+zyz＝1，∴+＝，+＝，+＝1．∴2（++）＝++1＝．∴++＝．∵＝++＝，∴＝．14．（2022秋•兴隆县期末）设．（1）化简M；（2）当a＝3时，记M的值为f（3），当a＝4时，记M的值为f（4）．①求证：；②利用①的结论，求f（3）+f（4）+…+f（11）的值；③解分式方程．【答案】（1）；（2）①见解析，②，③x＝15．【解答】解：（1）＝＝＝＝＝；（2）①证明：；②f（3）+f（4）+⋅⋅⋅+f（11）＝＝＝＝；③由②可知该方程为，方程两边同时乘（x+1）（x﹣1），得：，整理，得：，解得：x＝15，经检验x＝15是原方程的解，∴原分式方程的解为x＝15．15．（2023春•蜀山区校级月考）【阅读理解】对一个较为复杂的分式，若分子次数比分母大，则该分式可以拆分成整式与分式和的形式，例如将拆分成整式与分式：方法一：原式＝＝＝x+1+2﹣＝x+3﹣；方法二：设x+1＝t，则x＝t﹣1，则原式＝＝．根据上述方法，解决下列问题：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式和的形式，得＝；（2）任选上述一种方法，将拆分成整式与分式和的形式；（3）已知分式与x的值都是整数，求x的值．【答案】（1）；（2）；（3）﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5．【解答】解：（1）由题知，，故答案为：．（2）选择方法一：原式＝＝．选择方法二：设x﹣1＝t，则x＝t+1，则原式＝＝＝＝＝．（3）由题知，原式＝＝＝＝．又此分式与x的值都是整数，即x﹣4是39的因数，当x﹣4＝±1，即x＝3或5时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±3，即x＝1或7时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±13，即x＝﹣9或17时，原分式的值为整数；当x﹣4＝±39，即x＝﹣35或43时，原分式的值为整数；综上所述：x的值为：﹣35或43或﹣9或17或1或7或3或5时，原分式的值为整数．16．（2023春•兰州期末）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：．解决下列问题：（1）分式是真分式（填“真分式”或“假分式”）；（2）将假分式化为整式与真分式的和的形式：＝2+．若假分式的值为正整数，则整数a的值为1，0，2，﹣1；（3）将假分式化为带分式（写出完整过程）．【答案】（1）真分式；（2）2+；1，2，﹣1；（3）x﹣1﹣．【解答】解：（1）由题意得：分式是真分式，故答案为：真分式；（2）＝＝2+，当2+的值为正整数时，2a﹣1＝1或±3，∴a＝1，2，﹣1；故答案为：2+；1，2，﹣1；（3）原式＝＝＝x﹣1﹣．1．（2023•湖州）若分式的值为0，则x的值是（）A．1B．0C．﹣1D．﹣3【答案】A【解答】解：∵分式的值为0，∴x﹣1＝0，且3x+1≠0，解得：x＝1，故选：A．2．（2023•天津）计算的结果等于（）A．﹣1B．x﹣1C．D．【答案】C【解答】解：＝＝＝＝，故选：C．3．（2023•镇江）使分式有意义的x的取值范围是x≠5．【答案】x≠5．【解答】解：当x﹣5≠0时，分式有意义，解得x≠5，故答案为：x≠5．4．（2023•上海）化简：﹣的结果为2．【答案】2．【解答】解：原式＝＝＝2，故答案为：2．5．（2023•安徽）先化简，再求值：，其中x＝．【答案】x+1，．【解答】解：原式＝＝x+1，当x＝﹣1时，原式＝﹣1+1＝．6．（2023•广安）先化简（﹣a+1）÷，再从不等式﹣2＜a＜3中选择一个适当的整数，代入求值．【答案】；﹣1．【解答】解：（﹣a+1）÷＝•＝．∵﹣2＜a＜3且a≠±1，∴a＝0符合题意．当a＝0时，原式＝＝﹣1．7．（2023•淮安）先化简，再求值：÷（1+），其中a＝+1．【答案】，．【解答】解：原式＝÷（+）＝÷＝•＝，当a＝+1时，原式＝＝．8．（2023•朝阳）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝3．【答案】，1．【解答】解：原式＝[+]•＝•＝，当x＝3时，原式＝＝1．。

分式知识点总结及复习汇总

分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。

分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。

分式可以进行四则运算，包括加减乘除。

分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。

分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。

分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。

二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。

2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。

3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。

4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。

三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。

2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。

四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。

2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。

五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。

2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。

3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。

4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。

六、分式的简化步骤：1.因式分解。

2.分子、分母约去最大公约数。

3.整理化简结果。

七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。

八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结(带答案)

八年级数学上册第十五章分式基础知识点归纳总结单选题1、若数a使关于x的分式方程2x−1+a1−x=4的解为正数，则a的取值正确的是（）A．a<6且a≠2B．a>6且a≠1C．a<6D．a>6答案：A分析：表示出分式方程的解，由解为正数确定出a的范围即可．解：分式方程整理得：2x−1−ax−1=4，去分母得：2−a＝4x−4，解得：x＝6−a4，由分式方程的解为正数，得到6−a4>0，且6−a4≠1，解得：a<6且a≠2．故选：A．小提示：此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．2、若关于x的分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，则m的值为（）A．2B．3C．4D．5答案：D分析：根据分式方程有增根可求出x=3，方程去分母后将x=3代入求解即可.解：∵分式方程m+4x−3=3xx−3+2有增根，∴x=3，去分母，得m+4=3x+2(x−3)，将x=3代入，得m+4=9，解得m=5．故选：D．小提示：本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变答案：D分析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x 3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、计算x x+1+1x+1的结果是（）A ．x x+1B ．1x+1C ．1D ．−1答案：C分析：根据同分母分式的加法法则，即可求解．解：原式=x+1x+1=1，故选C ．小提示：本题主要考查同分母分式的加法法则，掌握”同分母分式相加，分母不变，分子相加“是解题的关键．5、若a +b =5，则代数式（b 2a ﹣a ）÷（a−b a ）的值为（）A ．5B ．﹣5C ．﹣15D ．15 答案：B分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．∵a +b =5，∴原式=b 2−a 2a ⋅a a−b =−(a+b )(a−b )a ⋅a a−b =−(a +b )=−5，故选：B ．小提示：考查分式的化简求值，掌握减法法则以及除法法师是解题的关键，注意整体代入法在解题中的应用．6、某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x件电子产品，可列方程为()A．300x =200x+30B．300x−30=200xC．300x+30=200xD．300x=200x−30答案：C分析：乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，根据300÷甲的工效= 200÷乙的工效，列出方程即可．乙工人每小时搬运x件电子产品，则甲工人每小时搬运(x+30)件电子产品，依题意得：300x+30=200x，故选C．小提示：本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键．.7、若关于x的分式方程2x−a −3x=0的解为x=3，则常数a的值为（）A．a=2B．a=−2C．a=−1D．a=1答案：D分析：根据题意将原分式方程的解x=3代入原方程求出a的值即可．解：∵关于x的分式方程2x−a −3x=0解为x=3，∴23−a−1=0，∴2=3−a，∴a=1，经检验，a=1是方程23−a−1=0的解，故选：D．小提示：本题主要考查了利用分式方程的解求参数，熟练掌握相关方法是解题关键．8、解方程2x−13=x+a2−1时，小刚在去分母的过程中，右边的“-1”漏乘了公分母6，因而求得方程的解为x=2，则方程正确的解是（）A ．x =−3B ．x =−2C ．x =13D ．x =−13答案：A分析：先按此方法去分母，再将x=-2代入方程，求得a 的值，然后把a 的值代入原方程并解方程．解：把x =2代入方程2（2x -1）=3（x +a ）-1中得：6=6+3a -1，解得：a =13，正确去分母结果为2（2x -1）=3（x +13）-6，去括号得：4x -2=3x +1-6，解得：x =-3．故选：A小提示：本题考查了一元一次方程的解的定义以及解一元一次方程．使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．9、下列运算正确的是( )A ．2a +3b =5abB ．(−ab)2=a 2bC ．a 2⋅a 4=a 8D ．2a 6a 3=2a 3答案：D分析：根据合并同类项法则，同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方以及单项式除以单项式法则解答．解：A 、2a 与3b 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、原式=a 2b 2，故本选项错误；C 、原式=a 6，故本选项错误；D 、原式=2a 3，故本选项正确．故选D ．小提示：本题考查了同底数幂的乘法的性质与同类项合并同类项法则，熟练掌握性质和法则是解题的关键．10、下列分式中是最简分式的是（）A ．2x 2B ．42xC ．x−1x 2−1D ．x−1(x−1)2答案：A分析：一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式x−1、公因式x−1，都不是最简分式．选项A不能约分，是最简分式；选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式；选项C中x−1x2−1=x−1(x+1)(x−1)，分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；选项D中分子分母有公因式x−1，可约分，不是最简分式；故选：A．小提示：本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断．填空题11、计算2m−2−mm−2的结果是 ____．答案：−1分析：根据分式的减法法则即可得．解：原式=2−mm−2=−(m−2) m−2=−1，所以答案是：−1．小提示：本题考查了分式的减法，熟练掌握运算法则是解题关键．12、若实数m使得关于x的不等式组{2x>23x<m+1无解，则关于y的分式方程yy−1=4−m2y−2的最小整数解是_________．答案：2分析：先求出每个不等式的解集，然后根据不等式组无解求出m的取值范围，再解分式方程从而确定y的取值范围即可得到答案．解：解不等式2x>2得：x>1，解不等式3x <m +1得：x <m+13， ∵不等式组无解，∴m+13≤1，∴m ≤2；y y −1=4−m 2y −2去分母得2y =4−m ，解得y =4−m 2，∵m ≤2，∴4−m ≥2∴y =4−m 2≥1，又∵y −1≠0，∴y >1，∴y 的最小整数解为2，所以答案是：2小提示：本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，解分式方程，熟知相关计算法则是解题的关键．13、方程22x−1+x 1−2x =1的解是________．答案：x ＝1分析：原方程去分母得到整式方程，求解整式方程，最后检验即可．解：22x−1+x 1−2x =1， 22x−1﹣x 2x−1＝1，方程两边都乘2x ﹣1，得2﹣x ＝2x ﹣1，解得：x ＝1，检验：当x ＝1时，2x ﹣1≠0，所以x ＝1是原方程的解，即原方程的解是x＝1，所以答案是：x＝1．小提示：本题考查了解分式方程，把分式方程转化为整式方程是解答本题的关键，注意解分式方程不一定要检验．14、若|a|=2，且(a−2)0=1，则2a的值为_______．##0.25答案：14分析：根据绝对值的意义得出a=±2，根据(a−2)0=1，得出a−2≠0，求出a的值，即可得出答案．解：∵|a|=2，∴a=±2，∵(a−2)0=1，∴a−2≠0，即a≠2，∴a=−2，∴2a=2−2=1．4所以答案是：1．4小提示：本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出a=−2，是解题的关键．15、用科学记数法将﹣0.03896保留两位有效数字为____．答案：﹣3.9×10﹣2分析：先根据科学记数法表示该数，再保留两个有效数字即可．解：﹣0.03896＝﹣3.896×10﹣2≈﹣3.9×10﹣2，所以答案是：﹣3.9×10﹣2．小提示：此题考查了科学记数法的表示方法，有效数字的概念，正确理解各知识点是解题的关键．解答题16、为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？答案：每个篮球的原价是120元．分析：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．解：设每个篮球的原价是x 元，则每个篮球的实际价格是（x ﹣20）元，根据题意，得12000x ＝10000x−20．解得x ＝120．经检验x ＝120是原方程的解．答：每个篮球的原价是120元．小提示：本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．17、若a ，b 为实数，且(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，求3a ﹣b 的值．答案：2分析：根据题意可得{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解方程组可得a,b,再代入求值.解：∵(a−2)2+|b 2−16|b+4=0，∴{a −2=0b 2−16=0b +4≠0，解得{a =2b =4， ∴3a ﹣b=6﹣4=2．故3a ﹣b 的值是2．小提示：本题考核知识点：分式性质，非负数性质.解题关键点：理解分式性质和非负数性质.18、阅读材料：对于非零实数a ，b ，若关于x 的分式(x−a)(x−b)x 的值为零，则解得x 1＝a ，x 2＝b ．又因为(x−a)(x−b)x =x 2−(a+b)x+ab x=x +ab x ﹣（a +b ），所以关于x 的方程x +ab x ＝a +b 的解为x 1＝a ，x 2＝b ． (1)理解应用：方程x 2+2x =3+23的解为：x 1＝，x 2＝；(2)知识迁移：若关于x 的方程x +3x ＝5的解为x 1＝a ，x 2＝b ，求a 2+b 2的值；(3)拓展提升：若关于x 的方程4x−1＝k ﹣x 的解为x 1＝t +1，x 2＝t 2+2，求k 2﹣4k +2t 3的值．答案：(1)3，23；(2)19；(3)12．分析：（1）根据题意可得x =3或x =23；（2）由题意可得a +b =5，ab =3，再由完全平方公式可得a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =19；（3）方程变形为x -1+4x−1=k -1，则方程的解为x -1=t 或x -1=t 2+1，则有t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1，整理得k =t +t 2+2，t 3+t =4，再将所求代数式化为k 2-4k +2t 3=t （t 3+t ）+4t 3-4=4（t 3+t ）-4=12．（1）解：∵x +ab x =a +b 的解为x 1=a ，x 2=b ，∴x 2+2x =x +2x =3+23的解为x =3或x =23，所以答案是：3，23；（2）解：∵x +3x =5，∴a +b =5，ab =3，∴a 2+b 2=（a +b ）2-2ab =25-6=19；（3）解：4x−1=k -x 可化为x -1+4x−1=k -1，∵方程4x−1=k -x 的解为x 1=t +1，x 2=t 2+2，则有x -1=t 或x -1=t 2+1，∴t （t 2+1）=4，t +t 2+1=k -1， ∴k =t +t 2+2，t 3+t =4， k 2-4k +2t 3=k （k -4）+2t 3=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3=t4+4t3+t2-4=t（t3+t）+4t3-4=4t+4t3-4=4（t3+t）-4=4×4-4=12．小提示：本题考查了分式方程的解，理解题意，灵活求分式方程的解，并结合完全平方公式对代数式求值是解题的关键．。

数学八年级上册【分式方程】知识点梳理

数学八年级上册【分式方程】知识点梳理知识点汇总一、分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫分式方程.要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数.（2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.二、分式方程的解法解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。

在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。

因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。

三、解分式方程的一般步骤：（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解.今日练习1.校运动会上，初二（3）班啦啦队买了两种价格的雪糕，其中甲种雪糕共花费40元，乙种雪糕共花费30元，甲种雪糕比乙种雪糕多20根.乙种雪糕价格是甲种雪糕价格的1.5倍，若设甲种雪糕的价格为x元，根据题意可列方程为：A．B．C． D .2.以下是解分式方程，去分母后的结果，其中正确的是：A．B．C． D .【参考答案】1.B若设甲种雪糕的价格为x元，根据等量关系“甲种雪糕比乙种雪糕多20根”可列方程求解解：设甲种雪糕的价格为x元，则甲种雪糕的根数：；乙种雪糕的根数：．可得方程：故选B考点：由实际问题抽象出分式方程2.B。

初二数学分式知识点

初二数学分式知识点一、引言分式是初中数学中的重要概念，它在代数运算、方程求解以及后续的高中数学学习中都扮演着关键角色。

本文旨在总结初二数学中分式的基本概念、性质、运算规则以及应用实例，帮助学生掌握分式相关知识点。

二、分式的定义1. 分式：形如 $\frac{a}{b}$ 的代数式，其中 $a$ 称为分子，$b$ 称为分母，$b \neq 0$。

2. 条件：分母不能为零，因为除以零没有定义。

三、分式的基本性质1. 等值变换：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个非零数，分式的值不变。

2. 符号规则：分式的符号由分子和分母的符号决定，分子分母同号结果为正，异号结果为负。

3. 约分：通过找出分子和分母的最大公约数并约去，简化分式。

4. 通分：将多个分式转化为具有相同分母的分式，便于进行加减运算。

四、分式的运算规则1. 加减法：- 同分母分式相加减：分子相加减，分母不变。

- 异分母分式相加减：先通分，再按照同分母分式进行加减。

2. 乘法：- 分式的乘法：分子乘分子，分母乘分母。

3. 除法：- 分式的除法：将除数的分式取倒数，然后进行乘法运算。

4. 乘方：- 分式的乘方：分子和分母分别取方。

五、分式的解方程1. 一元一次方程：通过移项和化简分式，求解未知数。

2. 一元二次方程：在解一元二次方程时，要注意分式的化简和检验根。

六、分式的应用题1. 比例问题：利用分式表示比例关系，解决实际问题。

2. 工作问题：通过分式方程解决工作效率和工作时间的问题。

3. 浓度问题：使用分式计算溶液的稀释和浓缩。

七、常见题型与解题技巧1. 化简求值：熟练掌握分式的化简方法，准确求出分式的值。

2. 分式方程：注意检验解的有效性，避免出现除以零的情况。

3. 应用题：理解题意，找出等量关系，建立分式方程求解。

八、总结分式是初中数学的重要内容，掌握分式的性质和运算规则对于提高数学成绩至关重要。

通过不断的练习和应用，可以加深对分式概念的理解，提高解题能力。

分式典型知识点与例题总结

人教版八年级下册分式全章知识点和典型例习题知识点回顾知识点一：分式形如的式子叫做分式。

知识点二：分式B A 的值1.当时,分式有意义;2.当时,分式无意义;3.当时,分式的值为0;4.当时,分式的值为1;5.当时, 分式的值为正;6.当时,分式的值为负; 知识点三：分式的基本性质用式子表示知识点四：分式中的符号法则用式子表示知识点五：分式的约分约去分子、分母的最大公因式，使分式变成最简分式或者整式 1.最大公因式= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点六：分式的通分把异分母分式变成同分母分式的过程。

1.最简公分母= 。

2.当分式的分子和分母为多项式时，知识点七：分式的乘除法法则（用式子表示）乘法法则：用式子表示除法法则：用式子表示知识点八：回顾因式分解总步骤：一提二套三分组1. 提公因式：套平方差公式： 2 . 公完全平方和：式完全平方差：知识点九：分式的加减法法则加法法则：减法法则：知识点十：分式的混合运算先再最后再。

知识点十一：整数指数幂七大公式1.同底数幂的乘法2.同底数幂的乘法3.幂的乘方4.积的乘方5.分式的乘方法则6.0指数幂7.负整数指数幂知识点十二：科学计数法1.绝对值大于1数都可表示成2. 绝对值小于1数都可表示成其中101<≤a 。

知识点十三：分式方程 1. 概念 2. 解法:①去分母:② ③知识点十四：分式方程解应用题的步骤、、、、【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ； (8)5.023+m ；【练习】1、在下列各式ma m x xb a x xa,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有个2.找出下列有理式中是分式的代号(1)－3x ；(2)yx ；(3)22732xyy x -；(4)－x 81；(5) 35+y ； (6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】 1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义；3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式1x x x-- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义；④当x_____时,分式11x x +-有意义；⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是； 2.当x = 3时，分式bx a x +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为；②若分式)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________； ③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零；4.当x __ 时，分式x -51的值为正.5.当x=_____时,分式232x x --的值为1.6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

分式知识点题型总结

分式知识点题型总结分式是数学中的一个重要概念，在代数运算和实际问题中都有广泛的应用。

下面我们来对分式的相关知识点和常见题型进行总结。

一、分式的定义形如\（＼dfrac{A}｛B}＼）（＼（A\）、＼（B\）是整式，且\（B\）中含有字母）的式子叫做分式。

其中\（A\）叫做分子，＼（B\）叫做分母。

需要注意的是：1、分式的分母不能为零，否则分式无意义。

2、分式的值为零的条件是分子为零且分母不为零。

二、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。

即：＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼times M}｛B ＼times M}＼），＼（＼dfrac{A}｛B} ＝＼dfrac{A ＼div M}｛B ＼div M}＼）（＼（M\）为不为零的整式）三、分式的约分与通分1、约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

2、通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

通分的关键是确定几个分式的最简公分母。

四、分式的运算1、分式的乘除乘法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{ac}｛bd}＼）除法法则：＼（＼dfrac{a}｛b} ＼div ＼dfrac{c}｛d} ＝＼dfrac{a}｛b} ＼times ＼dfrac{d}｛c} ＝＼dfrac{ad}｛bc}＼）2、分式的加减同分母分式相加减：＼（＼dfrac{a}｛c} ±＼dfrac{b}｛c} ＝＼dfrac{a ± b}｛c}＼）异分母分式相加减：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算。

五、分式方程1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、解分式方程的步骤：去分母，将分式方程化为整式方程。

解整式方程。

验根，将求得的未知数的值代入原分式方程的分母，若分母不为零，则是原方程的解；若分母为零，则不是原方程的解，应舍去。

初二数学八上第十五章分式知识点总结复习和常考题型练习.doc

第十五章分式二、知识概念：A1•分式：形如一，A 、B 是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫 B做分式的分子，3叫做分式的分母. 2. 分式有意义的条件：分母不等于0.3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分.5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6. 最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7. 分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减•用字母表示为：a .b a±b—士 —— ---C C C⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同ci c ad + cb分母分式的加减法法则进行计算•用字母表示为： -±-=b d bd ⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为n r CLC积的分母•用字母表示为：-x- = —b d bd⑷分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字 e 士一“ a c a d ad 母表不为： 5 = —X —=b d bc be/ 、川n⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方•用字母表示为：兰=二0丿b n8. 整数指数幕：列式实际问题分式类比分数性质列方程｛分氏丽目标分式基本性质|类比分数輕分式的运算去分每整式戈程H 标；-］分'式方程的解-检矍解整式方程转式方租的解Wa m xa H =a m+n 5、n是正整数）⑵（/）" = /"（加、斤是正整数）⑶（ah）n =a n h n（〃是正整数）⑷ a m a n = a tn^n（QH O, m> 刃是正整数，m> n）（5）［-| =—（〃是正整数）⑹b n（6）«-w =—（dH（）, n 是正整数）a n9.分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法：①去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；②按解整式方程的步骤求出未知数的值；③验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.常考例题精选1. （2015 •宜昌屮考）若分式二有意义，则a的取值范围是（） a+1A.a=0B. a=lC. aHTD. aHO2-（2015 •丽水中考）把分式方程丘三转化为-元-次方程时，方程两边需同乘A. xB. 2xC. x+4D. X （x+4）3.（2015 •宜宾中考）分式方程芫-令匕的解为（）X2-9 x-3 x+3A. 3B. -3C.无解D. 3 或-34.（2015 •海南中考）今年我省荔枝喜获丰收，有甲、乙两块而积相同的荔枝园,分别收获荔枝8 600kg 和9 800kg,甲荔枝园比乙荔枝园平均每亩少60kg,问甲荔枝园平均每亩收获荔枝多少kg?设甲荔枝园平均每亩收获荔枝xkg,根据题意, 可得方程（）8 600 9 800 X X+60 8 600_9 800 x-60 x5-（2015 •河池中考）若分式幺有意义，则x 的取值范围是 --------------6. （2015 •白银中考）若代数式丄-1的值为零，则x 二X-1-----------------------7. （2015 •齐齐哈尔中考）若关于x 的分式方程三二壬-2有非负数解，则a 的取x-1 2x-2值范围是 ___________ .9. （2015 •连云港中考）先化简，再求值:_iv m^-Zmn+n^ 其中旷一3,旷5.m n/ mn10. （2015 -凉山州中考）某车队要把4000t 货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）.（1）从运输开始，每天运输的货物吨数n （单位：t ）与运输时间t （单位：天）之间有怎样的函数关系式？8 600 9 800 X X-60 8 600_9 800 x+60 x8. （2015 •呼和浩特中考）化简:（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%,则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数.11. （2015 •重庆中考）先化简，再求值：（乎-岂片泊三石，其中x 是不等式 3x+7>l 的负整数解.12. （2015 •玉溪中考）某学校为鼓励学生积极参加体育锻炼，派王老师和李老师去购买一些篮球和排球•回校后，王老师和李老师编写了一道题：同学们，请求出篮球和排球的单价各是多少元?13. （2015 •娄底屮考）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，>1.乙车每趟运费比甲车少200元.（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？李老师说:“用1000元购买的排球个数和用1600元购买的蓝球个數相等:“篮球的单价比排球的单价多：・）元”1・（2015-黔西南州）分式七有意义，则x 的取值范围是（）X 1A ・x>lB ・xHl C. x<l D ・一切实数 2 •下列各分式与?相等的是（）db 2 b+2 ab a+bCQ3•下列分式的运算正确的是（）a —3a -2A • a—2c B. a+2 C. ~a —3 [2_ 3 a +b —a+bB.= a+b3—a _____ 1 ^*a 2—6a+9 3 —a4 • (2015-泰安)化简(a+[二。

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳

人教版八年级数学上册第十五章分式知识点总结和题型归纳分式知识点总结和题型归纳第一部分分式的运算一）分式的定义及有关题型考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子A/B为分式。

例1：下列代数式中是分式的有：(x- y)/(2x+ y)，π/(2x- y)，(x+ y)/(a+ b)。

考查分式有意义的条件：分式有意义：分母不为0 (B≠0)分式无意义：分母为0 (B=0)例1：当x有何值时，下列分式有意义：1) (x-4)/(13x2-6x)2) 2/x3) 2/(x-4)4) (x+4|x|-3x+2)/(x-1)5) x/(x2-2x-3)考查分式的值为的条件：分式值为：分子为A且分母不为0 (A/B) 例1：当x取何值时，下列分式的值为0.1) (x-1)/(x+3)2) |x|-23) (x2-2x-3)/(x-5)(x+6)例2：当x为何值时，下列分式的值为零：1) 5-|x-1|/(x+4)2) (25-x2)/(x-6)(x+5)考查分式的值为正、负的条件：分式值为正或大于0：分子分母同号 (A/B>0) 分式值为负或小于0：分子分母异号 (A/B<0) 例1：(1) 当x为何值时，分式4/(8-x)为正；2) 当x为何值时，分式5-x/(5+x)为负；3) 当x为何值时，分式(x-2)/(x+3)为非负数.例2：解不等式|x|-2≤(x+1)/(x+5)考查分式的值为1，-1的条件：分式值为1：分子分母值相等 (A/B=1)分式值为-1：分子分母值互为相反数 (A+B=0)例1：若分式|x-2|/(x+2)的值为1，-1，则x的取值分别为3和-1.思维拓展练题：1、若a>b>0,a2＋b2－6ab=0，则(a+b)/(a-b)=9/5.2、一组按规律排列的分式：-b/2.5/b。

-8/b。

11/b。

则第n 个分式为(3n-1)/b。

专题35 分式与分式方程(常考知识点分类专题)(巩固篇)八年级数学下册基础知识专项讲练(北师大版)

专题5.35分式与分式方程（常考知识点分类专题）（巩固篇）（专项练习）一、单选题【考点一】构成分式的条件➼➻有意义★★无意义★★值为零1．若1x -有意义，则（）A ．32x ≤-B ．32x ≥-且1x ≠C ．23x ≤-D ．32x ≤-且0x ≠2．对于分式2x x a--来说，当=1x -时，无意义，则a 的值是（）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3．若分式132x x +-的值为零，则x 的取值范围是（）A ．x =0B ．x =-1且x ≠23C ．x =-1D ．x ≠23【考点二】分式相关概念➼➻最简分式★★约分★★最简公分母★★通分4．下列分式是最简分式的是（）A ．22x xy x-；B ．222a ab b a b-+-；C ．2211x x +-；D ．211x x +-5．下列各式计算正确的是（）A ．33x x y y=B ．632m m m =C ．22a b a b a b+=++D ．32()()a b a b b a -=--6．分式2x，21x x -，31x +的最简公分母是（）A ．21x -B ．()21x x -C ．2x x-D ．()()11x x +-【考点三】分式方程相关概念➼➻增根★★无解7．已知关于x 的分式方程2111mx x x -=--无解，则m 的值是（）A ．1B ．1或2C ．0或2D ．0或18．若关于x 的分式方程1122x n x x -+=++无解，则n =（）A ．1-B ．0C ．1D ．329．若分式方程211x m x x-=--有增根，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-【考点四】分式的运算➼➻分式的乘除法10．化简222222a ab a ab ab b a b b a ⎛⎫-÷÷ ⎪-+--⎝⎭的结果为（）A ．1B ．abC ．b aD ．211．已知m ，n 是非零实数，设3m m n k n m+==，则（）A ．23k k=-B ．23k k =-C ．23k k =--D ．23k k =+【考点五】分式的运算➼➻分式的加减法12．数学课上，老师让计算23a a b a b a b -+--．佳佳的解答如下：解：原式23a a b a b+-=-①33a ba b -=-②()3a b a b-=-③＝3④对佳佳的每一步运算，依据错误的是（）A ．①：同分母分式的加减法法则B ．②：合并同类项法则C ．③：逆用乘法分配律D ．④：等式的基本性质13．已知116a b a b+=+，则a b b a +的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【考点六】分式的运算➼➻分式的混合运算14．分式23111x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭化简结果是（）A ．12x -+B ．12x +C ．12x --D ．12x -15．若112()a b -÷的运算结果为整式，则“ ”中的式子可能为（）A ．a b -B ．a b +C ．abD ．22a b -【考点七】分式的运算➼➻分式的化简求值16．若2310x x ++=，则221x x +=（）A ．4B ．5C ．6D ．717．若12xy x=-，则232x xy y y xy x --+-的值为（）A ．13B ．-1C ．53-D ．73-【考点八】分式方程➼➻解分式方程18．若21a aa-=，则222022a a -+的值为（）．A ．2020B ．2021C ．2022D ．202319．分式方程61222x x x-=---的解是（）A ．3x =-B ．2x =-C ．0x =D ．3x =【考点九】分式方程➼➻正（负）数解★★非正（负）数解20．已知关于x 的分式方程412222m x x -=--的解为整数，则符合条件的整数m 可以是（）A ．1B ．2C ．3D ．521．关于x 的分式方程22224x x m x x x +-=+--的解为正数，则m 的取值范围是（）A ．4m <-B ．4m >-C ．4m <-且16m ≠-D ．4m >-且8m ≠22．若关于x 的方程2111m x x -=++的解为负数，则m 的取值范围是（）A ．2m <B ．3m <C ．2m <且31m ≠D ．3m <且2m ≠【考点十】分式方程★★不等式（组）➼➻求参数23．若a 使得关于x 的不等式组12332145xa x a ⎧-≤-+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，且使得关于y 的分式方程42133a y y y --=--有非负整数解，则所有满足条件的a 的值的和是（）A ．24B ．25C ．34D ．3524．已知关于x 的不等式组2521322x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≥-⎩至少有三个整数解，且关于y 的分式方程99233y ay y y +-=---有正整数解，则所有满足条件的整数a 的和为（）A ．5-B ．6-C ．7-D ．8-二、填空题【考点一】构成分式的条件➼➻有意义★★无意义★★值为零25．函数y x 的取值范围是_____．26．若32a +无意义，且分式11b b --的值等于零，那么a b ＝_____．27．若分式()()223m m m +-+的值为零，则m =______．【考点二】分式相关概念➼➻最简分式★★约分★★最简公分母★★通分28．约分:2336mnm n =-____________________.29．分式234x y -，212x y 的最简公分母是_________．30．21?11x x x -=+-，则？处应填上_________，其中条件是__________．【考点三】分式方程相关概念➼➻增根★★无解31．分式方程24111x k x x +-=--若有增根，则k 的值是_____________．32．若关于x 的方程3111mx x x=---无解，则m 的值是______.33．若关于x 的分式方程213339m mx x x ++=-+-无解，则m =___________．【考点四】分式的运算➼➻分式的乘除法34．计算：23423b a aa b b⎛⎫⎛⎫÷-⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______．35．已知3a b =，2a c =，则32a b c a b c+++-的值为______．【考点五】分式的运算➼➻分式的加减法36．计算：2241442x x x x -+=-++__________．37．已知m ＞n ＞0，分式n m的分子分母都加上1得到分式11n m ++，则分式11n m ++_____n m．（填“＜、＞或＝”）【考点六】分式的运算➼➻分式的混合运算38．化简：22211221x x x x x x x ++--÷++-的结果是___________．39．化简2121212a a a a a a +÷-=--++______．【考点七】分式的运算➼➻分式的化简求值40．已知115a b -=，则2325a ab b a ab b+---的值是________．41．已知16a a+=，且42321222a ma a ma a -+=++，则m =___________．【考点八】分式方程➼➻解分式方程42．代数式23x x -的值比代数式232x-的值大4，则x =______．43．定义一种新运算：()()aa b a ba b b a b b a⎧>⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩※，若52x =※，则x 的值为______．【考点九】分式方程➼➻正（负）数解★★非正（负）数解44．关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，则符合条件的负整数m 的和是______．45．若关于x 的分式方程33122x m mx x --=-+的解是负数，则m 的取值范围是_______．46．已知关于x 的分式方程3121m x -=+的解为负数，则m 的取值范围是______________．【考点十】分式方程★★不等式（组）➼➻求参数47．若关于x 的一元一次不等式组1231x x x a -⎧≥⎪⎨⎪+<⎩有解，且关于y 的分式方程1122a y y y --=--的解是正数，则所有满足条件的整数a 的值之和是__________．48．如果关于x 的不等式组()03321x mx x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩的解集为x m <，且关于x 的分式方程2333m xx x-+=--有非负整数解，所有符合条件的m 的和是___________．参考答案1．B【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0即可得出答案．解：根据题意得：23010x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得，32x ≥-且1x ≠，故选：B【点拨】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于0是解题的关键．2．C【分析】根据分式无意义的条件求解即可．解：当分式2x x a--无意义时，x-a=0,而此时x=-1所以，-1-a=0解得，a=-1故选：C【点拨】本题考查了分式无意义的条件，能得出关于a 的方程是解此题的关键．3．C【分析】根据分式的值为0，就是分式的分子为0，分母不为0，即可以求解．解：∵132x x +-=0，∴10x +=，且320x -≠解得x =-1且x ≠23，∴x =-1，故选C ，【点拨】本题主要考查了分式的意义及解分式方程，掌握分式的值为0，就是分式的分子为0，分母不为0，是解题的关键．4．C【分析】直接利用最简分式的定义进而判断得出答案．解：A 、22x xy x-=()22x x y x yx --=，不是最简分式，不合题意；B 、222a ab b a b -+-=2()a b a b a b -=--，不是最简分式，不合题意；C 、2211x x +-无法化简，是最简分式，符合题意；D 、211x x +-=11(1)(1)1x x x x +=+--，不是最简分式，不合题意.故选：C【点拨】此题主要考查了最简分式，正确把握最简分式的定义是解题关键．5．D【分析】根据分式的基本性质进行判断即可得到结论．解：A 、33x y 是最简分式，所以33x x y y≠，故选项A 不符合题意；B 、624m m m=，故选项B 不符合题意；C 、22a b a b++是最简分式，所以22a b a b a b +≠++，故选项C 不符合题意；D 、3322()()()()a b a b a b b a a b --==---，正确，故选：D ．【点拨】此题考查了分式的约分，以及最简分式的判断，分式的约分关键是找公因式，约分时，分式分子分母出现多项式，应先将多项式分解因式后再约分，最简分式即为分式的分子分母没有公因式．6．B【分析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答．解：∵2x 的分母是x ，21x x -的分母是(x 2-1)，即(x +1)(x -1)；31x +的分母是x +1，∴分式2x，21x x -，31x +的最简公分母是x (x +1)(x -1),即为x (x 2﹣1)．故应选：B【点拨】本题考查了最简公分母的定义及求法，准确地将各个分式中的分母进行因式分解是解题的关键．7．B【分析】去分母，化分式方程为整式方程()11m x -=，根据分式方程产生增根1x =或10m -=，即可求解．解：2111mx x x -=--，方程两边同时乘以()1x -，得21mx x -=-，移项、合并同类项，得()11m x -=，∵方程无解，∴10x -=或10m -=，∴11m -=或1m =，∴2m =或1m =，故选：B ．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，分两种情况：一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程无解；一种是把分式方程化成整式方程后，整式方程有解，但这个解使分式方程的分母为0，是增根，熟练掌握理解这两种情况是解题关键．8．A【分析】解分式方程，可得32n x -=，根据题意可知分式方程的增根为2x =-，即有322n -=，求解即可获得答案．解：1122x n x x -+=++，去分母，得21x x n ++=-，合并同类项、系数化为1，得32n x -=，由题意可知，分式方程的增根为2x =-，即有322n -=-，解得1n =-．故选：A ．【点拨】本题主要考查了解分式方程以及分式方程的增根的知识，通过分析确定该分式方程的增根为2x =是解题关键．9．B【分析】先化分式方程为整式方程，令分母10x -=，代入整式方程计算m 的值．解：因为211x m x x-=--，去分母得：()21x m x +=-，解得：2m x =-因为分式方程211x m x x-=--有增根，所以10x -=，即：1x =是方程增根，所以21m x =-=-，故选B ．【点拨】本题考查了分式方程的增根问题，解题的关键是熟练掌握分式方程中关于增根的解题方法．10．D【分析】先对式子的分子和分母因式分解，再将括号里的除号变为乘号运算，最后同样进行除法运算化简即可．解：原式2(2)2()2a a b a b a b a b a b ab ⎛⎫--=÷⨯ ⎪---⎝⎭(2)(2)()2()a ab a b a b a b b a b --=÷---(2)2()2()(2)a ab b a b b a b a b a --=⨯=---．故选：D ．【点拨】本题主要考查分式的化简运算，属于基础题，注意计算的细节即可，熟练掌握运算法则是解题的关键．11．D【分析】根据分数除法的运算法则解答，用k 、n 表示出m 代入等式化简，即可得到关于k 的等式．解：∵=mk n，∴m kn =∵3=m nk m+，∴+33kn n k k kn k+==，∴2=+3k k ，故选：D ．【点拨】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握分式的乘除法法则是解答本题的关键．12．D【分析】根据分式的加减法法则计算即可．解：①：同分母分式的加减法法则，正确；②：合并同类项法则，正确；③：提公因式法，正确；④：分式的基本性质，故错误；故选：D ．【点拨】此题考查了分式的加减，熟练掌握法则及运算律是解本题的关键．13．A【分析】先把分式进行化简，得到2()6a b ab+=，然后再把要求的分式化简，代入计算即可得到答案．解：∵116a b a b+=+，∴6a b ab a b+=+，∴2()6a b ab+=，∴2222()2()2624a b a b a b ab a b b a ab ab ab++-++===-=-=；故选：A ．【点拨】本题考查了分式的化简求值，分式的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．14．A【分析】利用分式加减乘除混合运算计算即可．解：23111x x x x -⎛⎫÷-- ⎪--⎝⎭()()311211x x x x x x -----=÷--22114x x x x --=⨯--224x x -=-224x x -=--()()222x x x -=-+-12x =-+，故选A ．【点拨】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算顺序是解题的关键．15．C【分析】先代入，再根据分式的运算法则进行计算，最后根据求出的结果得出选项即可．解：A ．221122==22b a a b a ab b a b a bab ab ---+⎛⎫-÷⋅- ⎪-⎝⎭，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；B ．22112==22b a a b b a a b a bab ab -+-⎛⎫-÷ ⎪+⎝⎭，是分式，不是整式，故本选项不符合题意；C ．112==22b a ab b a a b ab ab --⎛⎫-÷⋅ ⎪⎝⎭，是整式，故本选项符合题意；D ．()()()()222112==22a b a b a b a b b a a b a bab ab +-+--⎛⎫-÷⋅- ⎪-⎝⎭是分式，不是整式，故本选项不符合题意；故选：C ．【点拨】本题考查了分式的混合运算和整式，能正确根据分式的运算法则进行计算是解此题的关键．16．D【分析】根据题意可得0x ≠，将已知等式两边同时除以x ，得到13x x+=-，进而根据完全平方公式的变形即可求解．解：∵2310x x ++=，且由题意可得0x ≠，∴2310x x x x x ++=，∴13x x +=-，∴()2222112327x x x x ⎛⎫+=+-=--= ⎪⎝⎭，故选D ．【点拨】本题主要考查了等式，完全平方公式，分式求值，熟练掌握等式的性质,完全平方公式变形是解题的关键．17．D【分析】将12x y x =-变形得2y x xy -=，然后整体代入232x xy y y xy x --+-即可求解．解：∵12x y x=-，∴2y x xy -=，∵2322()3()x xy y x y xy y xy x y x xy----=+--+，∴()22323277233xy xy x xy y xy y xy x xy xy xy -----===-+-+故答案为：D ．【点拨】本题考查代数式求值，解题关键是正确变形整体代入求解．18．C 【分析】由21a a a-=可得220a a -=，采用整体代入法，即可求解．解：21a a a-= ，220a a ∴-=，2220222022a a ∴-+=，故选：C ．【点拨】本题考查了代数式求值问题，采用整体代入法是解决本题的关键．19．D【分析】解此方程即可判定．解：去分母，得：()6122x x -=---，去括号，得：6124x x -=--+，移项、合并同类项，得：39x =，解得：3x =，经检验：3x =是原方程的解，所以，原方程的解为3x =，故选：D ．【点拨】本题考查了解分式方程，熟练掌握和运用解分式方程的步骤与方法是解决本题的关键．20．B【分析】解该分式方程得22m x --=，结合该分式方程的解为整数和分式有意义的条件，即得出m 为2的倍数且4m ≠-，即选B ．解：412222m x x -=--，方程两边同时乘22x -，得：422m x --=-，解得：22m x --=，∵该分式方程的解为整数，∴2m --为2的倍数，∴m 为2的倍数．∵220x -≠，∴1x ≠，∴212m --≠，∴4m ≠-，综上可知m 为2的倍数且4m ≠-．∴只有B 选项符合题意．故选B ．【点拨】本题考查解分式方程，分式方程有意义的条件．掌握解分式方程的步骤和注意分式的分母不能为0是解题关键．21．C 【分析】先解分式方程得46m x +=-，然后令406m +->，且426m +-≠±，计算求解即可．解：22224x x m x x x +-=+--，两边同时乘以()()22x x +-得，()()222x x x m --+=，去括号得，22244x x x x m ----=，移项合并得，64x m -=+，系数化为1得，46m x +=-，令406m +->，且426m +-≠±，解得4m <-，且16m ≠-，8m ≠，综上，4m <-，且16m ≠-，故选：C ．【点拨】本题考查了解分式方程．解题的关键在于正确的运算并检验．22．D【分析】先银分式方程求得解为3x m =-，再根据方程银为负数和分式有意义条件列不等式求解即可．解：2111m x x -=++，21m x -=+，3x m =-，∵原方程解为负数，∴30m -<，∴3m <，∵10x +≠，∴310m -+≠，∴2m ≠，∴3m <且2m ≠，故选：D ．【点拨】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键．23．B 【分析】先根据不等式组12332145x a x a ⎧-≤-+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，得出a 的取值范围，再解分式方程42133a y y y --=--，得出13a y -=，10a ≠，再根据y 为非负整数找出满足条件的a 的值，最后求和即可．解：解不等式1233x a -≤-+，得36x a ≥-，解不等式2145x a -+≥-，得32x a ≤-，解关于x 的不等式组12332145x a x a ⎧-≤-+⎪⎨⎪-+≥-⎩有解，∴3236a a -≥-，解得13a ≤；将分式方程42133a y y y --=--化为整式方程，得423a y y -+=-，解得13a y -=， 30y -≠，∴133a y -=≠，解得10a ≠，又关于y 的分式方程42133a y y y --=--有非负整数解，∴当a 取13，7，4，1时，该分式方程有非负整数解，1374125+++=，∴所有满足条件的a 的值的和是25，故选B ．【点拨】本题考查解一元一次不等式组、解分式方程，解题的关键是根据不等式组有解得出a 的取值范围，注意分式的分母不能为0．24．C【分析】先解两个不等式，再根据不等式组至少有3个整数解得到0a ≤，再解分式方程确定a 的值即可得到答案．解：解不等式25213x x +>-得：2x <，解不等式22x a ≥-得：22a x -≥，∵关于x 的不等式组2521322x x x a +⎧>-⎪⎨⎪≥-⎩至少有三个整数解，∴212a -≤-，∴0a ≤；99233y ay y y +-=---去分母得：()()9239y y ay +=---，去括号得：9269y y ay +=--+，移项得：2699y y ay -+=-+-，合并同类项得：()16a y -=-，∴61y a -=-，∵关于y 的分式方程99233y ay y y +-=---有正整数解，∴601a ->-，∴11a -=-或12a -=-或13a -=-或16a -=-，∴0a =或1a =-或2a =-或5a =-，又∵631y a -=≠-，∴1a ≠-∴()()257-+-=-，故选C ．【点拨】本题主要考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．25．2x >或1x ≤【分析】根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，得出不等式组，解不等式组即可求解．解：由题意得，102x x -≥-，则1020x x -≥⎧⎨->⎩或1020x x -≤⎧⎨-<⎩，解得，2x >或1x ≤，故答案为：2x >或1x ≤．【点拨】本题考查了求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件与分式有意义的条件是解题的关键．26．2【分析】直接利用分式的值为零的条件“分子为0且分母不为0”分析得出答案．解：∵32a +无意义,∴a+2＝0，∴a ＝﹣2∵分式11b b --的值等于零，∴|b|﹣1＝0，b ﹣1≠0，∴b ＝﹣1，∴a b ＝21--＝2，故答案为2．【点拨】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确解方程是解题关键．27．-2【分析】根据分式的值为零的条件(分子为零、分母不为零)可以求出m 的值．解：根据题意，得20m +=，且20m -≠、30m +≠；解得2m =-；故答案是：2-．【点拨】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子为0；②分母不为0.这两个条件缺一不可，熟记分式值为0的条件是解题的关键．28．212mn -【分析】首先确定分子与分母的公因式，系数是分子与分母的系数的最大公约数，相同的字母，取最小的次数作为公因式的字母的次数，确定公因式以后，把公因式约去即可．解：原式=221332-=-2mn mn m n mn ⋅.故答案是：212mn -【点拨】此题考查约分，解题关键在于掌握运算法则.29．12x 2y 2【分析】根据最简公分母的定义求解．解：分式234x y -，212x y的最简公分母为2212x y ．故答案为：2212x y ．【点拨】本题考查了最简公分母：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．30．2(1)x -1x ≠【分析】将已知等式右边的分母利用平方差公式分解因式，观察两分母发现等式左边的分子分母同时乘以x ﹣1，即可得到？处应填的式子，条件是所乘的因式不能为0．解：∵x 2﹣1=（x +1）（x ﹣1），∴等式左边的分子分母同时乘的是x ﹣1，则？处应填（x ﹣1）2．∵x -1≠0，∴x ≠1．故答案为（x ﹣1）2，x ≠1．【点拨】本题考查了分式的约分逆运算，利用了分式的基本性质，即分式分子分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分式的值不变．31．1【分析】首先根据解分式方程的方法求出方程的解，再根据分式方程的增根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行检验即可得解解：24111x k x x +-=--，()()41111x k x x x +-=-+-，公分母为：()()11x x +-，两边同时乘以()()11x x +-得：()()()()1114x k x x x ++-+-=，解得：31k x k -+=+，分式方程有增根，()()110x x ∴+-=，1x ∴=或=1x -，当1x =时，311k k -+=+，解得：1k =，此时方程有增根，当=1x -时，311k k -+=-+，得：31=-，无解，综上所述，1k =，故答案为：1．【点拨】本题考查对分式方程增根的理解和掌握，理解分式方程的增根的意义是解题关键．32．1或3/3或1【分析】将分式方程化为整式方程，可得21x m =-，根据分式方程无解，可得10x -=，或10m -=，分情况求解即可．解：3111mx x x =---，去分母，得13mx x =-+，解得21x m =-，方程无解，∴10x -=，或10m -=，当10x -=时，211m =-，解得3m =；当10m -=时，1m =，即m 的值为1或3，故答案为：1或3．【点拨】本题主要考查了根据分式方程无解求参数的值，解题的关键是掌握分式方程无解的条件：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于零．33．1-或3或37-【分析】分式方程无解分两种情况分析：（1）原方程存在增根；（2）原方程去掉分母后，整式方程无解．解：213339m m x x x ++=-+-方程两边都乘()(33)x x +-，得(3)(3)3x m x m ++-=+，化简得，得：(1)4m x m +=，当1m =-时，方程无解；当3x =±时，分母为零，分式方程无解，把3x =代入整式方程，3m =；把3x =-代入整式方程，得37m =-；综上可得：1m =-或3或37-．故答案是：1-或3或37-．【点拨】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是分情况分析：当分式方程有增根的情况和分式方程化简后的整式方程无解的情况．34．23a -/23a -【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．解：原式223344b b a a a b⎛⎫=⋅-⋅ ⎪⎝⎭333344b a a b=-⋅23a =-，故答案为：23a -．【点拨】本题考查分式的乘除运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．35．157【分析】分别用含a 的代数式表示出b ，c ，再代入求值即可．解：∵3a b =，2a c =，∴3a b =，2a c =，∴32a b ca b c+++-332232a a a a a a +⨯+=+⨯-2232aa a a a a ++=+-22643666a a a a a +=+-422643666a a a a a +=+-5276a a =157=．故答案是：157．【点拨】此题主要考查了分式的化简，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．36．22524x x x ++-【分析】先分子分母因式分解约分后，再通分并利用同分母分式的加法法则计算，即可得到结果．解：2241442x x x x -+-++2(2)(2)1(2)2x x x x +-+-+＝2122x x x ++-+＝2(2)2(2)(2)(2)(2)x x x x x x +-++-+-＝2442(2)(2)(2)(2)x x x x x x x ++-++-+-＝22524x x x ++-＝．故答案为：22524x x x ++-．【点拨】本题考查了分式的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．37．＞【分析】根据题意，比较11n m ++﹣n m 的差与0的大小即可，然后根据m ＞n ＞0和分式的减法即可得到11n m ++﹣n m 的差与0的大小情况，从而可以解答本题．解：()()()11111m n n m n n m m m m +++=++﹣﹣()()=11mn m nm n m n m m m m +=++﹣﹣﹣∵m ＞n ＞0，∴m ﹣n ＞0，1m +＞0，∴()01m n m m +﹣，即11n m ++＞n m，故答案为：＞．【点拨】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的运算法则是解答本题的关键.38．12x -+【分析】首先把分式的分子进行因式分解，把除法转化成乘法，然后进行约分，最后根据同分母分式减法法则进行计算即可．解：22211221x x x x x x x ++--÷++-=()()()2111221x x x x x x x ++--÷++-=()()()2112211x x x x x x x +--⋅+++-=122x x x x +-++=12x -+，故答案为：12x -+【点拨】本题主要考查分式的混合运算，通分、因式分解和约分是解答的关键．39．12a -+【分析】由题意利用分式约分化简的方法与技巧进行化简计算即可．解：2121212a a a a a a +÷---++()211122a a a a a -=⨯--++122a a a a -=-++12a aa --=+12a =-+，故答案为12a -+．【点拨】本题考查分式的化简，利用变除为乘、分式加减法则以及分式的约分化简是解题的关键．40．710/0.7【分析】由已知115a b -=得到5a b ab -=-，把这个式子代入所求的式子，进行化简就得到所求式子的值．解：由已知115a b -=得，5a b ab -=-，2325a ab b a ab b +-∴--()()235a b aba b ab-+=--()25355ab abab ab⨯-+=--710abab-=-710=，故答案为：710．【点拨】本题主要考查了分式的化简，发现已知与未知式子之间的联系是解题的关键．41．103【分析】根据16a a +=求出的值，4232122a ma a ma a -+++上下同时除以2a ，整理代入解方程即可．解： 16a a +=∴22211236a a a a ⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭∴22134a a +=4232122a ma a ma a-+++上下同时除以2a 得：22422232111212222a m a m a ma a a a ma a a m a m a a -++--+==++⎛⎫++++ ⎪⎝⎭，将16a a +=，22134a a +=代入以上式子得：2213421122a m m a m a m a +--==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，解得：103m =．故答案为：103【点拨】本题考查了分式的化简求值，相关知识点有：完全平方公式，整体思想的利用是解题关键．42．2【分析】根据题意可得：242332x x x-=--，然后按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．解：由题意得：242332x x x -=--，去分母得：()2423x x +=-，解得：2x =，检验：当2x =时，230x -≠，2x ∴=是原方程的根，故答案为：2．【点拨】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．43．52【分析】根据题中所给新定义运算可分类进行求解．解：由题意可知：当5x <时，则525x =-，解得：52x =，经检验当52x =时，50x -≠，∴52x =是原方程的解；当5x >时，则25x x -=-，解得：103x =，经检验当103x =时，50x -≠，∵1053<，∴103x =不是原方程的解；故答案为52．【点拨】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．44．7-【分析】解出关于x 的分式方程3211m x x +=--的解为52m x +=，解为正数解，进而确定m 的取值范围，注意增根时m 的值除外，再根据m 为负整数，确定m 的所有可能的整数值，求和即可．解：去分母得，2(1)3m x -+-=，解得，52m x +=，关于x 的分式方程3211m x x +=--有正数解，∴502m +>，5m ∴>-，又1x = 是增根，当1x =时，512m +=，即3m =-，3m ∴≠-，∴5m >-且3m ≠-，∴符合条件的负整数m 有4-，2-，1-，其和为4217---=-，故答案为：7-．【点拨】本题考查分式方程的解法，以及分式方程产生增根的条件等知识，理解正数解，负整数m 的意义是正确解答的关键．45．13m <且0m ≠【分析】首先求出关于x 的分式方程的解，然后根据解为负数，求出m 的取值范围即可．解：33122x m m x x --=-+去分母得：()()()()()3m 22232x x x x m x -+-+-=-，去括号得：22326436x mx x m x mx m -+--+=-，移项得：22323664x mx x x mx m m -+--=-+-合并同类项得：()264m x -=-，解得：231x m =-，∵分式方程的解是负数，2031x m =<-，310m ∴-<，∴13m <，20x -≠ 且20x +≠，即2x ≠±，2231x m =≠±- 解得：0m ≠且23m ≠∴13m <且0m ≠．故答案为：13m <且0m ≠．【点拨】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握；解答此题的关键是正确得出分母不为0．46．4m <且3m ≠【分析】直接解分式方程，然后根据分式方程的解为负数，结合210x +≠求出答案．解：3121m x -=+，去分母得：321m x -=+，解得：42m x -=，∵分式方程的解是负数，∴0x <且210x +≠，即40m -<且410m -+≠，解得：4m <且3m ≠，故答案为：4m <且3m ≠．【点拨】本题考查了分式方程的解，正确解分式方程是解题的关键．47．1-【分析】先解不等式组，确定a 的取值范围3a <，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得32a y +=，由分式方程有正数解，确定出a 的值，相加即可得到答案．解：1231x x x a -⎧≥⎪⎨⎪+<⎩①②，解不等式①得：2x ≥-解不等式②得：1x a <-，关于x 的一元一次不等式组1231x x x a -⎧≥⎪⎨⎪+<⎩有解，12a ∴->-，解得：3a <，分式方程1122a y y y--=--去分母得：12a y y +-=-，解得：32a y +=，y 是正数，且2y ≠，3a ∴>-且1a ≠，∴满足条件的整数a 的和为21021--++=-，故答案为：1-．【点拨】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题关键．48．15-【分析】根据不等式组的解法及分式方程的解法求解即可得到答案．解：()03321x m x x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩①②由①得x m <；由②得1x <-；关于x 的不等式组()03321x m x x -⎧<⎪⎨⎪->-⎩的解集为x m <，1m ∴≤-；由2333m x x x-+=--，解得72m x +=，关于x 的分式方程2333m x x x -+=--有非负数解，∴702m +≥，且732m +≠，7m ∴≥-，1m ≠-；综上所述，71m -≤<-，关于x 的分式方程2333m x x x-+=--有非负整数解，7m ∴=-或5-或3-，∴所有符合条件的m 的和是75315---=-，故答案为：15-．【点拨】本题考查解一元一次不等式组及分式方程求参数，熟练掌握一元一次不等式组的解集求法及分式方程解法是解决问题的关键．。

人教版初中八年级数学上册第十五章《分式》知识点总结(含答案解析)

一、选择题1．将分式2+x x y中的x ，y 的做同时扩大到原来的3倍，则分式的值（）A ．扩大到原来的3倍B ．缩小到原来的13C ．保持不变D ．无法确定2．下列命题中，属于真命题的是（）A ．如果0ab =，那么0a =B ．253xx x-是最简分式 C ．直角三角形的两个锐角互余 D ．不是对顶角的两个角不相等3．若关于x 的分式方程3211m x x =---有非负实数解，且关于x 的不等式组102x x m +≥⎧⎨+≤⎩有解，则满足条件的所有整数m 的和为（） A ．9-B ．8-C ．7-D ．6-4．2020年新冠肺炎疫情影响全球，各国感染人数持续攀升，医用口罩供不应求，很多企业纷纷加入生产口罩的大军中来，重庆某企业临时增加甲、乙两个厂房生产口罩，甲厂房每天生产的数量是乙厂房每天生产数量的2倍，两厂房各加工6000箱口罩，甲厂房比乙厂房少用5天．设乙厂房每天生产x 箱口罩．根据题意可列方程为（）A ．6000600052x x -= B ．6000600052x x -= C ．6000600052x x -=+ D ．6000600052x x-=+ 5．如果a ，b ，c ，d 是正数，且满足a +b +c +d =2，11a b c b c d ++++++11a c d ab d+++++=4，那么d a a b c b c d ++++++b ca c d ab d+++++的值为（）A ．1B ．12C ．0D ．46．如果分式11m m -+的值为零，则m 的值是（） A ．1m =- B ．1m = C ．1m =±D ．0m =7．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程4102x -=+的根为2；③方程11224=-x x 的最简公分母为2(24)-x x ；④1111x x x+=+-是分式方程．其中正确的个数是（） A ．1B ．2C ．3D ．48．若x 2y 5=，则x y y+的值为（） A ．25 B ．72C ．57D ．759．计算2m m 1m m-1+-的结果是（） A ．mB ．－mC ．m ＋1D ．m －110．大爱无疆，在爆发新冠病毒疫情后，甲，乙两家单位分别组织了员工捐款．已知甲单位捐款7500元，乙单位捐款9800元，甲单位捐款人数比乙单位少10人，且甲单位人均捐款额比乙单位多20元，若设甲单位的捐款人数为x ，则可列方程为（） A ．7500980020x x 10-=- B ．9800750020x 10x-=- C ．7500980020x x 10-=+D ．9800750020x 10x-=+ 11．下列式子的变形正确的是（）A ．22b b a a=B ．22+++a b a b a b=C ．2422x y x yx x --=D ．22m nn m-=- 12．3333x a a y x y y x+--+++等于（） A ．33x y x y-+B ．x y -C ．22x xy y -+D ．22xy +13．当1x 0-<<时， 1x -，0x ，2x 的大小顺序是（）A ．102x x x -<<B ．012x x x -<<C ．021x x x -<<D ．120x x x -<<14．计算a ba b a÷⨯的结果是（） A ．a B ．2aC ．2b aD ．21a 15．化简214a 2a 4---的结果为（） A ．1a 2+ B ．a 2+C ．1a 2- D ．a 2-二、填空题16．已知5,3a b ab -==，则b aa b+的值是__________． 17．席卷全世界的新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，它的身高（直径）约为0.0000012米，将数0.0000012用科学记数法表示为_________．18．已知13x x-=，则21x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭________．19．若关于x 的方程1322m x x x-+=--的解是正数，则m =____________． 20．101()()2π-+-=______，011(3.14)2--++＝______． 21．化简分式：2121211a a a a +⎛⎫÷+= ⎪-+-⎝⎭_________．22．下列计算：①3100.0001-=；②()00.00011=；③()()352x x x --÷-=-；④22133a a-=；⑤()()321m m mm a a a -÷=-．其中运算正确的有______．（填序号即可）23．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号Min{,}a b 表示a ，b 中的较小的值，如Min{3,4}3=，按照这个规定，方程135Min ,2222x x x x -⎧⎫=-⎨⎬---⎩⎭的解为_____________．24．计算：11|1|3-⎛⎫-= ⎪⎝⎭______． 25．计算3224423y x x y⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭的结果是________．26．某工人现在平均每天比原计划多做20个零件，现在做4000个零件和原来做3000个零件的时间相同，问现在平均每天做______个零件．三、解答题27．某社区为了落实“惠民工程”，计划将社区的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？28．某快餐店欲购进A ，B 两种型号的餐盘，每个A 种型号的餐盘比每个B 种型号的餐盘费用多5元，且用120元购进的A 种型号的餐盘与用90元购进的B 种型号的餐盘的数量相同．（1）问A ，B 两种型号的餐盘单价为多少元？（2）若该快餐店决定在成本不超过1900元的前提下购进A ，B 两种型号的餐盘100个，则最多购进A 种型号餐盘多少个？29．鄂州市2020年被评为“全国文明城市”．创文期间，甲、乙两个工程队共同参与某段道路改造工程．如果甲工程队单独施工，恰好如期完成；如果甲、乙两工程队先共同施工10天，剩下的任务由乙工程队单独施工，也恰好能如期完成；如果乙工程队单独施工，就要超过15天才能完成．（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需多少天？（2）若甲工程队单独施工a 天，再由甲、乙两工程队合作______天（用含有a 的代数式表示）可完成此项工程．（3）现在要求甲、乙两个工程队都必须参加这项工程．如果甲工程队每天的施工费用为2万元，乙工程队每天的施工费用为1.5万元，甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，能使施工费用不超过61.5万元？ 30．计算（1）2152224-⨯+÷；（2）()()30201821 3.14413π-⎛⎫-⨯---+- ⎪⎝⎭；（3）()2222322xy x y x y xy ⎡⎤---⎣⎦；（4）()()()3323231333xx x x ⎛⎫-+--⋅ ⎪⎝⎭．。

人教版八年级数学第十六章分式知识点总结

第十六章分式知识点及典型例子一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，且B 中含有未知数，那么式子BA 叫做分式。

二、在分式中，如果________,则分式AB 有意义；如果________,则分式A B无意义；如果________且_________不为零时，则分式A B的值为零；如果__________,则分式0A B > 如果____________,则分式0A B <；例1.下列各式aπ，11x +，15x+y ，22a b a b --，-3x 2，0•中，是分式的有（）个。

例2.下列分式，当x 取何值时有意义。

（1）2132x x ++；（2）2323x x +-。

例3. 当x________时，分式2134x x +-的值为正数，当x________时，分式2134x x +-的值为负数例4．当x______时，分式2134x x +-无意义。

当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。

当x_________时，分式2361x x -+的值为负数。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。

约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。

最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。

（注意约分一定要彻底）五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

湘教版八年级数学上册第1章分式复习知识点及复习题解析

g gh
即分式的分子、分母都乘它们的公因式，所得分式与原分式相等。
f f f . g g g
分式及其分子、分母三处法符号，任意改变两处的符号，即把负号移到另一处，分式的值不变。
f mk m . g nk n
即分式的分子、分母都约去公因式，所得分式与原分式相等。
1. 分式乘分式把分子相乘的积作分子，把分母相乘的积作分母。最后结果约分成最简分式 .
概念和性质
乘、除运算
分
式
运算
整数指数幂的运算
加、减运算
可化为一元一次方程的分式方程
1. 整式f除以非零整式g(g中含有字母 )所得的商 f ，叫做分式。
g
2. 当分母等于0 时，分式的值不存在(无意义)；当分子等于等于0 但分母不等于0 时，分式
的值等于0.
f f h h 0.
(ab)n=anbn
a b
n
an bn
am an
amn
1.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减 .
2.各分式的分母的所有因式的最高次幂的积，叫做这些分式的最简公分母.
3.根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母分式的过程叫做通分 .通分的方法：先确定各分母的最简公分母，再将各分式的分子、分母都乘最简公分母约去各分式的分母所得的整式。
【答案】x=±2.
2.先约分，再求值：
2x 6 x2 4x
4
x2 x2 3x
，其中x
3.
【答案】原式=
2
xx
2
2 3
.
3.计算：
16a3b 3b；
2 24x5 y3 36x4 y4；

八年级数学《分式》知识点

八年级数学《分式》知识点一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0）的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

理解分式的概念时，需要注意以下几点：1、分式的分母中必须含有字母。

例如：5/x 是分式，而 5/3 就不是分式，因为它的分母 3 是常数。

2、分母的值不能为 0。

如果分母 B 的值为 0，那么分式就没有意义。

3、分式是两个整式相除的商，其中分子是被除式，分母是除式。

4、整式和分式统称为有理式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于 0。

即：对于分式 A/B，当B≠0 时，分式有意义。

例如：对于分式 2/（x 1)，要使其有意义，则x 1≠0，即x≠1。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，需要同时满足两个条件：1、分子等于 0，即 A ＝ 0。

2、分母不等于 0，即B≠0。

例如：对于分式（x 2)／（x ＋ 1)，当 x 2 ＝ 0 且 x ＋1≠0 时，分式的值为 0。

由 x 2 ＝ 0 得 x ＝ 2，又因为 x ＋1≠0，即x≠ 1，所以当 x ＝ 2 时，该分式的值为 0。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝ A×M/B×M，A/B ＝ A÷M/B÷M（M 为不等于 0 的整式）例如：将分式 2x/（3y)的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6y)，分式的值不变。

利用分式的基本性质，可以进行分式的约分和通分。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公约数。

例如：在分式 8x/12 中，8 和 12 的最大公约数是 4，所以分子分母同时除以 4 进行约分。

2、字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。

例如：在分式 x²y/xy²中，相同字母是 x 和 y，x 的最低次幂是 1，y 的最低次幂是 1，所以公因式是 xy，约分后为 x/y。

初二数学八上分式和分式方程所有知识点总结和常考题型练习题

初二数学八上分式和分式方程所有知识点总结和常考题型练习题分式知识点一、分式的定义如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子，B 为分母。

二、与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =）③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ） ④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ） ⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）三、分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

四、分式的约分定义：把分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为： db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为 cc ••=•=÷b da db a dc b a ① 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子nn nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛② 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为cb ac b ±=±c a异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为 bdbcad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

八年级数学上册分式重点题型及知识点

八年级数学上册分式重点题型及知识点单选题1、一列火车长x米，以每秒a米的速度通过一个长为b米的大桥，用代数式表示它完全通过大桥（从车头进入大桥到车尾离开大桥）所需的时间为（）A．x+ba 秒B．ba秒C．xa秒D．x−ba秒答案：A解析：∵火车走过的路程为(x+b)米，火车的速度为a米/秒，∴火车过桥的时间为x+ba（秒)．故选：A．2、对于实数a，b，定义一种新运算“⊗”为：a⊗b=2a−b2，这里等式右边是通常的实数运算．例如：1⊗3=2 1−32=−14，则方程x⊗(−1)=6x−1−1的解是（）A．x=4B．x=5C．x=6D．x=7答案：B解析：已知方程利用题中的新定义化简，计算即可求出解．根据题中的新定义化简得：2x−1=6x−1−1，去分母得：2=6−x+1，解得：x=5，经检验x=5是分式方程的解．故选：B．小提示：此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．3、若把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值（）A ．扩大到原来的3倍B ．扩大到原来的6倍C ．缩小为原来的13D ．不变答案：D解析：根据分式的基本性质即可求出答案．解：∵2×3x 3x+3y =2×3x3(x+y )=2xy x+y ，∴把分式2x x+y 中的x 和y 同时扩大为原来的3倍，则分式的值不变，故选：D ．小提示：本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．4、已知1a −1b =12，则ab a−b 的值是（） A ．12B ．−12C ．2D ．-2答案：D解析：先把已知的式子变形为ab =2(b −a)，然后整体代入所求式子约分即得答案．解：∵1a −1b =12，∴ab =2(b −a)，∴ab a−b =2(b−a)a−b =−2．故选：D．小提示：本题考查了分式的通分与约分，属于常考题目，掌握解答的方法是关键．5、(−b2a)2n（n为正整数）的值是（）A．b2+2na2n B．b4na2nC．−b2n+1a2nD．−b4na2n答案：B解析：根据分式的乘方计算法则解答．(−b2a )2n=b4na2n．故选：B．小提示：此题考查分式的乘方计算法则：等于分子、分母分别乘方，熟记法则是解题的关键．6、如果a2+2a−1=0，那么代数式(a−4a )⋅a2a−2的值是（）A．−3B．−1C．1D．3答案：C解析：先将等式变形可得a2+2a=1，然后根据分式各个运算法则化简，最后利用整体代入法求值即可．解：∵a2+2a−1=0∴a2+2a=1(a−4a)⋅a2a−2=a2−4a ⋅a2 a−2=(a−2)(a+2)a ⋅a2 a−2=a(a+2)=a2+2a=1故选C．小提示：此题考查的是分式的化简求值题，掌握分式的运算法则是解决此题的关键．7、我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（）A．3(x−1)=6210x B．6210x−1=3C．3x−1=6210xD．6210x=3答案：A解析：根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答．解：由题意得：3(x−1)=6210x，故选A.小提示：本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键．8、若数a与其倒数相等，则a2−a−6a−3÷a+3a2+a−6的值是（）A．−3B．−2C．−1D．0答案：A解析：先将分子分母中能分解因式的分别分解因式，再根据分式的除法运算法则化简原式，最后根据已知条件可得a ＝±1，进而代入计算即可求得答案．解：原式=(a−3)(a+2)a−3⋅(a+3)(a−2)a+3=(a+2)(a−2)=a2−4，∵数a与其倒数相等，∴a＝±1，∴原式=(±1)2−4=1−4=−3，故选：A．小提示：本题考查了分式的除法运算以及倒数的意义，熟练掌握分式的运算法则是解决本题的关键．填空题9、若关于x的分式方程3xx−2−1=m+3x−2有增根，则m的值为_____.答案：3 解析：把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得m的值．去分母得3x-(x-2)=m+3，当增根为x=2时，6=m+3∴m=3．故答案为3．小提示：考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．10、方程3x−1+1=0的解为__________．答案：x=−2解析：先通分，再根据分式有意义的条件即分母不为0，分式为0即分式的分子为0解题即可．解：3x−1+1=03 x−1+x−1x−1=0x+2x−1=0{x+2=0x−1≠0∴x=−2所以答案是：x=−2．小提示：本题考查解分式方程，涉及分式有意义的条件、分式的值为0等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．11、计算：(13)−1−(3.14)0=_____．答案：2解析：先根据负整数指数幂及零指数幂的意义分别化简，再进行减法运算即可．原式=3-1=2，所以答案是：2．小提示：本题考查负整数指数幂和零指数幂的意义，理解定义是解题关键．12、某校学生捐款支援地震灾区，第一次捐款的总额为6600元，第二次捐款的总额为7260元，第二次捐款的总人数比第一次多30人，而且两次人均捐款额恰好相等，则第一次捐款的总人数为________人．答案：300解析：先设第一次的捐款人数是x 人，根据两次人均捐款额恰好相等列出方程，求出x 的值，再进行检验即可求出答案．解：设第一次的捐款人数是x 人，根据题意得：6600x =7260x+30，解得：x ＝300，经检验x ＝300是原方程的解，故答案为300．小提示：此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．13、计算：(15)-1−√4=_______．答案：3解析：先计算负整数指数幂和算术平方根，再计算加减即可求解．原式＝5﹣2＝3，所以答案是：3．小提示：此题考查了实数的运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．解答题14、先化简，再求值：(x 2−2x+1x 2−x +x 2−4x 2+2x )÷1x ，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数．答案：-5解析：根据分式的运算法则即可求出答案．原式=[(x−1)2x(x−1)+(x−2)(x+2)x(x+2)]÷1x =（x−1x +x−2x ）•x=x ﹣1+x ﹣2=2x ﹣3由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5小提示：本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15、（1）当x 为何整数时，分式42x+1的值为正整数？（2）已知函数y =2x−3x−2自变量取值范围为整数，求y 的最大、最小值．答案：（1）x =0；（2）y 最大为3，最小为1解析：（1）根据题意2x +1=1或2或4时，分式42x+1的值为正整数，再取x 为整数时即可；（2）把函数整理成y =2+1x−2的形式，要使函数y 的值为整数，则x −2=±1，据此即可求解．（1）要使分式42x+1的值为正整数，则2x +1=1或2或4，解得：x =0或12或32，∵x 为整数，∴x =0，即x =0时，分式42x+1的值为正整数；（2）y =2x−3x−2=2(x−2)+1x−2=2+1x−2，且自变量取值范围为x −2≠0，要使函数y 的值为整数，则x −2=±1，∴当x =3时，函数y 的最大值为3，当x =1时，函数y 的最小值为1．小提示：本题考查了分式有意义的条件，求分式的值，函数自变量的取值范围问题等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．。

八年级数学上册《分式》知识点归纳

分式一、概念：定义1：整式A 除以整式B ，可以表示成的形式。

BA如果除式B 中含有分母，那么称为分式。

（对于任BA何一个分式，分母不为0。

如果除式B 中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0。

分式：分母中含有字母。

整式：分母中没有字母。

而代数式则包含分式和整式。

）定义2：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。

定义3：分子和分母没有公因式的分式称为最简分式。

（化简分式时，通常要使结果成为最简分式或者整式。

）定义4：化异分母分式为同分母分式的过程称为分式的通分。

定义5：分母中含有未知数的方程叫做分式方程定义6：在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个含有未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种解通常称为增根。

二、基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。

三、运算法则：1、分式的乘法的法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母;（用符号语言表示：﹒=）b a dc bdac2、分式的除法的法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.（用符号语言表示：÷=﹒=）b a d c b a c d bcad 分式乘除法的运算步骤：当分式的分子与分母都是单项式时： (1)乘法运算步骤是：①用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；②把分式积中的分子与分母分别写成分子与分母的分因式与另一个因式的乘积形式，如果分子(或分母)的符号是负号，应把负号提到分式的前面；③约分。

(2)除法的运算步骤是：把除式中的分子与分母颠倒位置后，与被除式相乘，其它与乘法运算步骤相同。

当分式的分子、分母中有多项式，①先分解因式；②如果分子与分母有公因式，先约分再计算.③如果分式的分子(或分母)的符号是负号时，应把负号提到分式的前面. 最后的计算结果必须是最简分式或整式.3、同分母分式加减法则是：同分母的分式相加减。