运用均值不等式的解题技巧
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解：∵ ∴ ∴
当且仅当 即 时等号成立。
技巧四：分离
例1.求 的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。所以仅当 。
技巧五：换元
求 的值域。
解：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
例：若实数满足 ，则 的最小值是.
解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
技巧七：整体代换
1、已知 ，且 ，求 的最小值。
解法一： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。
解法二：分解因式
解法三：消元法
2、已知 ，求 的最小值。
解：因为 ，所以 。
所以 。当且仅当 时，即 ，上式取“=”，故 。
6、函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0， 的最小值为。
技巧八：分解因式
1、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A. 3B.4C. D.
解法二、由 ，则 ，
即 解得 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 。
又 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 。
2、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
法一：a＝ ，ab＝ ·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
技巧三：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
当 ，即x＝2时取等号当x＝2时， 的最大值为8。
变式：设 ，求函数 的最大值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
设 ，求函数 的最小值。
解
技巧六：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 的单调性。
变式:求函数 的最大值。
解析：注意到 与 的和为定值。
又 ，所以 当且仅当 = ，即 时取等号。故 。
均值不等式与恒成立问题
1、已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
2、 且 恒成立，则正实数 的最小值为（）
3、已知 且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是—。
解法1：不妨将 乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当 时取等号，由 即 时， 的最小值为 。
解法2：将 分子中的1用 代换。
3、已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y= 的最小值是（）A． B．4C． D．5
4、（2012高考浙江文）若正数 满足 ，则 的最小值是（）
A. B. C.5D.6
5、已知 ，求函数 的最小值。
解法一：
解法二：考察均值不等式 ，整理得
即 ，又 ，
2、若a、b、c>0且 ,则2a+b+c的最小值为（）
A． B． C． D．2
技巧九：消元法
1、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。
解法一：由 ， 知 ，
则： ，由 ，
则： ，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。
，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。
例：求函数 的值域。
解法一：令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
解法二：设y= + - (a＞1)由均值不等式及函数的单调性得：
y≥2 - 2 - 当且仅当 = 且 2时等号成立，由于当x=0，a=4时上面不等式放缩后的等号都成立。∴y 2 - = ∴y =
解： ∵4a+b=ab，∴ .∵ ,∴
∴
当且仅当 即b=6, a=3时,取“=”号，∴a+b的最小值为9。
2、已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
技巧十、平方法
1、已知x，y为正实数，且x2＋ ＝1，求x 的最大值.
解法一：
解法二：分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。
同时还应化简 中y2前面的系数为 ，x ＝x ＝ x·
下面将x， 分别看成两个因式：x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
2、函数 的最大值为.
3、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单
＋ ≤ ＝ ＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤ ＝2
运用均值不等式求最值的解题技巧
一、常用结论
1. (1)若 ，则 (2)若 ，则
2. (1)若 ，则 (2)若 ，则
(3)若 ，则 （4）若 ，则
3.若 ，则 若 ，则
4.若 ，则 若 ，则
5、熟悉一个重要的不等式链： 。
二、利用均值不等式求最值的条件：一正,二定,三相等
①各项必须为正;
②含变数的各项和或积必须为定值（和定积最大,积定和最小）；
③必须有自变量值能使函数取到=号.
三、利用均值不等式求最值常用解题技巧
技巧一：化正
1、若x<0,则函数 的最小值为。2、函数 的值域。[-3，0]
技巧二：凑项
例1、若 ，则 的最小值是（）（A）2（B）a（C）2 （D）3
例2、已知 ，求函数 的最大值。
解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项，百度文库
∴ab≤18∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0，－5 ≤u≤3
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
变式：1.已知：4a+b=ab（a>0,且a 1, b>0, b 4），求a+b的最小值。
当且仅当 即 时等号成立。
技巧四：分离
例1.求 的值域。
解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。
当 ,即 时, （当且仅当x＝1时取“＝”号）。所以仅当 。
技巧五：换元
求 的值域。
解：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。
例：若实数满足 ，则 的最小值是.
解： 都是正数， ≥
当 时等号成立，由 及 得 即当 时， 的最小值是6．
变式：若 ，求 的最小值.并求x,y的值
技巧七：整体代换
1、已知 ，且 ，求 的最小值。
解法一： ，
当且仅当 时，上式等号成立，又 ，可得 时， 。
解法二：分解因式
解法三：消元法
2、已知 ，求 的最小值。
解：因为 ，所以 。
所以 。当且仅当 时，即 ，上式取“=”，故 。
6、函数y=loga(x+3)－1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0， 的最小值为。
技巧八：分解因式
1、已知x>0，y>0,x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（）A. 3B.4C. D.
解法二、由 ，则 ，
即 解得 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 。
又 ，
当且仅当 即 时取“=”号，故 的取值范围是 。
2、已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
法一：a＝ ，ab＝ ·b＝ 由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2 ＝8
，
当且仅当 ，即 时，上式等号成立，故当 时， 。
技巧三：凑系数
例1.当 时，求 的最大值。
解析：由 知， ，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到 为定值，故只需将 凑上一个系数即可。
当 ，即x＝2时取等号当x＝2时， 的最大值为8。
变式：设 ，求函数 的最大值。
当 ,即t= 时, （当t=2即x＝1时取“＝”号）。
评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。即化为 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。
设 ，求函数 的最小值。
解
技巧六：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数 的单调性。
变式:求函数 的最大值。
解析：注意到 与 的和为定值。
又 ，所以 当且仅当 = ，即 时取等号。故 。
均值不等式与恒成立问题
1、已知 且 ，求使不等式 恒成立的实数 的取值范围。
2、 且 恒成立，则正实数 的最小值为（）
3、已知 且 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是—。
解法1：不妨将 乘以1，而1用a＋2b代换。
当且仅当 时取等号，由 即 时， 的最小值为 。
解法2：将 分子中的1用 代换。
3、已知a＞0，b＞0，a+b=2，则y= 的最小值是（）A． B．4C． D．5
4、（2012高考浙江文）若正数 满足 ，则 的最小值是（）
A. B. C.5D.6
5、已知 ，求函数 的最小值。
解法一：
解法二：考察均值不等式 ，整理得
即 ，又 ，
2、若a、b、c>0且 ,则2a+b+c的最小值为（）
A． B． C． D．2
技巧九：消元法
1、已知正数 满足 ，试求 、 的范围。
解法一：由 ， 知 ，
则： ，由 ，
则： ，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。
，
当且仅当 ，并求得 时取“=”号，故 的取值范围是 。
例：求函数 的值域。
解法一：令 ，则
因 ，但 解得 不在区间 ，故等号不成立，考虑单调性。
因为 在区间 单调递增，所以在其子区间 为单调递增函数，故 。
所以，所求函数的值域为 。
解法二：设y= + - (a＞1)由均值不等式及函数的单调性得：
y≥2 - 2 - 当且仅当 = 且 2时等号成立，由于当x=0，a=4时上面不等式放缩后的等号都成立。∴y 2 - = ∴y =
解： ∵4a+b=ab，∴ .∵ ,∴
∴
当且仅当 即b=6, a=3时,取“=”号，∴a+b的最小值为9。
2、已知a>0，b>0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。
技巧十、平方法
1、已知x，y为正实数，且x2＋ ＝1，求x 的最大值.
解法一：
解法二：分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤ 。
同时还应化简 中y2前面的系数为 ，x ＝x ＝ x·
下面将x， 分别看成两个因式：x· ≤ ＝ ＝ 即x ＝ ·x ≤
2、函数 的最大值为.
3、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝ ＋ 的最值.
解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系， ≤ ，本题很简单
＋ ≤ ＝ ＝2
解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W＞0，W2＝3x＋2y＋2 · ＝10＋2 · ≤10＋( )2·( )2＝10＋(3x＋2y)＝20∴W≤ ＝2
运用均值不等式求最值的解题技巧
一、常用结论
1. (1)若 ，则 (2)若 ，则
2. (1)若 ，则 (2)若 ，则
(3)若 ，则 （4）若 ，则
3.若 ，则 若 ，则
4.若 ，则 若 ，则
5、熟悉一个重要的不等式链： 。
二、利用均值不等式求最值的条件：一正,二定,三相等
①各项必须为正;
②含变数的各项和或积必须为定值（和定积最大,积定和最小）；
③必须有自变量值能使函数取到=号.
三、利用均值不等式求最值常用解题技巧
技巧一：化正
1、若x<0,则函数 的最小值为。2、函数 的值域。[-3，0]
技巧二：凑项
例1、若 ，则 的最小值是（）（A）2（B）a（C）2 （D）3
例2、已知 ，求函数 的最大值。
解：因 ，所以首先要“调整”符号，又 不是常数，所以对 要进行拆、凑项，百度文库
∴ab≤18∴y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2 ∴30－ab≥2
令u＝ 则u2＋2 u－30≤0，－5 ≤u≤3
∴ ≤3 ，ab≤18，∴y≥
变式：1.已知：4a+b=ab（a>0,且a 1, b>0, b 4），求a+b的最小值。