福建省高考数学理科模拟试卷

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福建省福州市(新版)2024高考数学人教版模拟(押题卷)完整试卷

福建省福州市（新版）2024高考数学人教版模拟(押题卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题下列关于复数的说法，正确的是（）A．复数是最小的纯虚数B．在复数范围内，模为1的复数共有和四个C．与是一对共轭复数D．虚轴上的点都表示纯虚数第(2)题《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦图（含乾、坤，巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（）A．B．C．D．第(3)题设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，，则第(4)题如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面上有一个小孔，点到的距离为3，若该正方体水槽绕倾斜（始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面与桌面所成角的正切值为（）A．B．C．D．2第(5)题已知与互为共轭复数，则（）A．2B．3C．D．4第(6)题设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（）A．B．C．D．第(7)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(8)题已知，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列判断错误的有（）A．将总体划分为2层，按照比例分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为，和，，且已知，则总体方差B．已知随机变量X服从正态分布，若，则C．已知线性回归方程，当解释变量增加1个单位时，预报变量平均增加2个单位；D．已知随机事件，，则“事件A，B相互独立”是“”的充分必要条件第(2)题若四面体的每个顶点都在球O的球面上，，，，，，且异面直线和所成角的余弦值为，则球O的表面积可能为（）A．B．C．D．第(3)题已知棱长为1的正方体是空间中一个动平面，下列结论正确的是（）A．设棱所在的直线与平面所成的角为，则B．设棱所在的直线与平面所成的角为，则C．正方体的12条棱在平面上的射影长度的平方和为8D．四面体的6条棱在平面上的射影长度的平方和为8三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题函数（）的最大值是__________．第(2)题已知，且，则____________．第(3)题如图，在凸四边形中，为线段上一点，，，，记的面积为，的面积为，则的取值范围为：____________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．第(2)题在平面直角坐标系中，点为椭圆：的右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，线段的中点为.（1）求椭圆的方程；（2）若直线、斜率的乘积为，两直线，分别与椭圆交于、、、四点，求四边形的面积.第(3)题人类探索浩瀚太空的步伐从未停止，假设在未来，人类拥有了两个大型空间站，命名为“领航者号”和“非凡者号”．其中“领航者号”空间站上配有2搜“M2运输船”和1搜“T1转移塔”，“非凡者号”空间站上配有3搜“T1转移塔”．现在进行两艘飞行器间的“交会对接”．假设“交会对接”在M年中重复了n次，现在一名航天员乘坐火箭登上这两个空间站中的一个检查“领航者号”剩余飞行器情况，记“领航者号”剩余2搜“M2运输船”的概率为，剩余1搜“M2运输船”的概率为．其中宇航员的性别与选择所登录空间站的情况如下表所示．男性宇航员女性宇航员“领航者号”空间站380220“非凡者号”空间站1202800.0500.0250.0100.0050.001k 3.841 5.024 6.6357.87910.828，(1)是否有99.9%的把握认为选择登录空间站的情况与性别相关联；(2)若k为函数极小值的倍，求与的递推关系式．第(4)题白玉蜗牛营养价值、药用价值以及美容价值都极高，目前既是“世界四大名菜之一”，也是降血脂药物和珍贵的高级化妆品原料．此外，白玉蜗牛的外壳还可以用来制作手工艺品和加工成动物高蛋白补钙饲料．某白玉蜗牛养殖户统计了养殖以来7个季度的销售情况，如下表所示，若y与x线性相关．季度x1234567销售额y（单位：万元） 2.7 3.1 3.9 4.6 5.1 5.7 6.4(1)根据前7个季度的统计数据，求出y关于x的经验回归方程；(2)预测该养殖户在第9个季度的销售额；(3)若该养殖户每季度的利润W与x，y的关系为，试估计该养殖户在第几季度所获利润最大．附：经验回归方程中的系数，．第(5)题异面直线、上分别有两点A、B.则将线段AB的最小值称为直线与直线之间的距离.如图，已知三棱锥中，平面PBC，，点D为线段AC中点，.点E、F分别位于线段AB、PC上（不含端点），连接线段EF.(1)设点M为线段EF中点，线段EF所在直线与线段AC所在直线之间距离为d，证明：.(2)若，用含k的式子表示线段EF所在直线与线段BD所在直线之间的距离.。

福建省福州市2024年数学(高考)部编版模拟(自测卷)模拟试卷

福建省福州市2024年数学（高考）部编版模拟(自测卷)模拟试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题已知向量，，满足，，，，则（）A．3B．C．D．5第(2)题在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(3)题若数(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(4)题已知函数，则在上的零点个数是（）A．2023B．2024C．2025D．2026第(5)题若函数有两个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．第(7)题设，则（）A．B．C．1D．0第(8)题已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是（）A．B．C．D．二、多项选择题（本题包含3小题，每小题6分，共18分。

在每小题给出的四个选项中，至少有两个选项正确。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得0分） (共3题)第(1)题已知，，则（）A．B．向量与的夹角为C．D．第(2)题在棱长为1的正方体中，点在四边形内（含四边形的边）运动，则下列说法正确的是（）A．上的任意一点到平面的距离恒为定值B．直线与所成角的正弦值的取值范围为C．若，直线与平面所成角的正切值为D．三棱锥外接球的体积最大值等于正方体的外接球的体积第(3)题已知定义在上的函数为奇函数，且对，都有，定义在上的函数为的导函数，则以下结论一定正确的是（）A．为奇函数B．C．D．为偶函数三、填空（本题包含3个小题，每小题5分，共15分。

请按题目要求作答，并将答案填写在答题纸上对应位置） (共3题)第(1)题已知的展开式的各二项式系数的和为64，则其展开式的常数项为_______.（用数字作答）第(2)题函数在上单调递增，则的最大值为__________．第(3)题已知某正三棱柱外接球的体积为,则该正三棱柱体积的最大值为______.四、解答题（本题包含5小题，共77分。

福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(一)

∴（x- ）（1-x）4=（x- ）（1-4x+6x2-4x3+x4），
∴展开式中含 x3 项的系数为： 1×6+（-1）×1=5．故选：B．
把（1-x）4 按照二项式定理展开，求得（x- ）（1-x）4 展开式中含 x3 项的系数．
本题主要考查了二项式定理的应用：求展开式中某项的系数，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：复数 z 满足|z+1|=|x-i|，
∴
=
，化为：x+y=0，
故选：D．
由复数 z 满足|z+1|=|x-i|，利用模的计算公式可得：
=
，化简
即可得出．本题考查了复数的模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：
A. x=0
B. y=0
C. x-y=0
3. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1．粗线画出的是某
D. x+y=0
三棱帷的正视图、俯视图，则该三棱锥的体积为（）
A. 81
B. 27
C. 18
D. 9
4. 2021 年开始，我省将试行“3+1+2“的普通高考新模式，即除语文数学、外语 3 门必选科目外，考生再从物理、历史中选 1 门，从化学、生物、地理、政治中选 2 门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成 5 分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）
22. 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
（φ 为参数），以

2020年福建省高考数学(理科)模拟试卷(6)

故函数 f （ x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除
CD ；
又 ??(1) = ????????1??√?(2 - 1) ＜0 ，故排除 A．
故选： B．
2
6．（ 5 分）等差数列 { an} 中， a7， a8 是关于 x 的方程 x +15x+m＝ 0 的两根，则前 14 项和为（）
A ．15
x＝ 1， y＝f （ 1）＝ a0+1＝2，
所以 f（ x）的图象恒过点 A（1， 2）；
对于 A， x＝ 1 时， y= √1 - 1 + 2＝ 2，函数图象过点 A；
对于 B， x＝ 1 时， y＝ |1﹣2|+1＝ 2，函数图象过点 A；
对于
C， x＝ 1 时， y=
1-
1
3 + 1＝ 2，函数图象过点
6 18．（ 12 分）某校为了解高三男生的体能达标情况，抽调了
120 名男生进行立定跳远测试，
根据统计数据得到如下的频率分布直方图．若立定跳远成绩落在区间
(??- ?，? ??+ ??的) 左
侧，则认为该学生属“体能不达标的学生，其中
??，?分? 别为样本平均数和样本标准差，
计算可得 s≈ 27（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
单位建立极坐标系，直线
l 的极坐标方程为 ???????+?(?6??)? = 2 ，曲线 C 的参数方程为
??= {
2??????（??θ为参数）．
??= √3????????
（ 1）求直线 l 的直角坐标方程和曲线 C 的普通方程；
（ 2）以曲线 C 上的动点 M 为圆心、 r 为半径的圆恰与直线 l 相切，求 r 的最大值．

福建省福州市(新版)2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷

福建省福州市（新版）2024高考数学统编版模拟(综合卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知是双曲线的一个焦点，点在上，为坐标原点，若，则的面积为A．B ．C ．D ．第(2)题设集合，，则（）.A ．B ．C ．D ．第(3)题已知F 为双曲线的左焦点，点，若直线与双曲线仅有一个公共点，则（）A．B ．2C ．D ．第(4)题已知函数恰有3个零点，则实数的取值范围为A．B ．C ．D ．第(5)题过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是A ．B ．C ．D ．第(6)题设双曲线（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．第(7)题已知是定义域为的单调函数，若对任意都有，且关于的方程在区间上有两个不同实数根，则实数的取值范围是A ．B ．C ．D ．第(8)题每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如下表所示），并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表（如下图）由两个统计图表可以求得，选择D选项的人数和扇形统计图中E的圆心角度数分别为（）A．500，28.8°B．250，28.6°C．500，28.6°D．250，28.8°二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知椭圆上存在点，使得，其中分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（）A．B．C．D．第(2)题已知为坐标原点，抛物线的焦点为，经过点且斜率为的直线与抛物线交于两点（点在第一象限），若，则以下结论正确的是（）A．B．C．D．第(3)题将这七个数随机地排成一个数列，记第i项为，则下列说法正确的是（）A．若，，则这样的数列共有360个B．若该数列恰好先增后减，则这样的数列共有64个C．若所有的奇数不相邻，所有的偶数也不相邻，则这样的数列共有144个D．若，，，则这样的数列共有71个三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在平面直角坐标系中，已知点、，E、F是直线上的两个动点，且，则的最小值为______．第(2)题双曲线：的右焦点为，左顶点为，以为圆心，为半径的圆与的右支相交于，两点，若△的一个内角为，则的渐近线方程为_______．第(3)题已知正项等比数列满足，则其公比为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．(1)求角B；(2)若，，求的取值范围．第(2)题某学校共有1200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数比为，为落实立德树人根本任务，坚持五育并举，全面推进素质教育，拟举行乒乓球比赛，从三个年级中采用分层抽样的方式选出参加乒乓球比赛的12名队员．本次决赛的比赛赛制采取单循环方式，每场比赛都采取5局3胜制，最后根据积分选出最后的冠军，亚军和季军积分规则如下：每场比赛5局中以或获胜的队员积3分，落败的队员积0分；而每场比赛5局中以获胜的队员积2分，落败的队员积1分．已知最后一场比赛两位选手是甲和乙，如果甲每局比赛的获胜概率为(1)三个年级参赛人数各为多少？(2)在最后一场比赛甲获胜的条件下，求其前2局获胜的概率(3)记最后一场比赛中甲所得积分为X，求X的概率分布及数学期望第(3)题已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：；(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.第(4)题已知等差数列的前n项和为，数列为等比数列，且，．(1)求数列，的通项公式；(2)若，求数列的前n项和．第(5)题在平面直角坐标系中，椭圆的四个顶点围成的四边形面积为，圆经过椭圆的短轴端点．求椭圆的方程；过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆相交于，和，四点，求四边形面积的最小值．。

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

福建省漳州市高考理科数学模拟试卷（一）含答案

漳州市高三毕业班模拟卷（一）数学(理科)（满分150分，答题时间120分钟）第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合{}2340Mx x x =--<，{}50N x x =-≤≤，则MN =(A)(]04, (B)[)04, (C)(]10,- (D)[)10,-（2）若a b ∈,R ，则“1a b ==”是“复数()2i 2i a b +=”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件（3）设向量()33=,a，b 为单位向量，且//a b ，则b ＝(A)(32，－12)或(－32，12) (B)(32，12) (C)(－32，－12) (D)(32，12)或(－32，－12) （4）若变量,x y 满足约束条件1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩,则3z x y =-的最小值为(A)－7 (B)－1 (C)1 (D)2（5）已知双曲线的一个焦点与抛物线220x y =的焦点重合,且其渐近线的方程为340x y ±=,则该双曲线的标准方程为(A)221916x y -= (B)221169x y -= (C)221916y x -= (D)221169y x -= （6）如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是(A)3?k > (B)4?k > (C)5?k > (D)6?k >（7）已知曲线()sin3cos (0)f x x x 的两条相邻的对称轴之间的距离为2，且曲线关于点0(,0)x 成中心对称，若0[0,]2x ，则0x(A)12 (B)6 (C)3(D)512（8）函数2|log |1()2x f x x x=--的大致图像为（9）某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为(A)4 (B)22 (C)203(D)8 （10）已知点()1,0M 及双曲线2213x y -=的右支上两动点,A B ，当AMB ∠最大时，它的余弦值为(A)12 (B)12- (C)13 (D) 13-（11）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331,,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3162++n n a S 的最小值为A ．4B ．3C ．232-D ．92（12）已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足 (A)012x <<0 (B)012x <<1 (C)2220<<x (D)023x << 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．（13）若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．（14）已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且9642=++a a a ，则=++)(log 97531a a a ______．（15）欧阳修《油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而（A ）（B ）（C ）（D ）O 1y x 1O 1yx 1O 1y x 1O 1yx1钱不湿”．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4 cm 的圆，中间有边长为l cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上），则油滴（设油滴是直径为0．2 cm 的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是．(16) 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．ABC ∆是边长为2的正三角形．SC 为球O 的直径．且4SC =．则此棱锥的体积为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) （本小题满分12分）如图四边形ABCD 中，a,b,c 为△ABC 的内角A,B,C 的对边，且满足)cos 2()cos 1(B a A b -=+ （Ⅰ）证明：a c b 2=+ （Ⅱ）若2==c b ,22==DC DA ,求四边形ABCD 的面积．(18) （本小题满分12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式．，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10 20 16 16 15 13 10（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差；（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．(19) （本小题满分12分）在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，2AB BC CA DA DC BE ======，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上．（Ⅰ）求证：//DE 平面ABC ；（Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值．、(20)（本小题满分12分）设椭圆C ：22221x y a b +=的离心率12e =，点P 在椭圆C 上，点P 到椭圆C 的两个焦点的距离之和是4．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆1C 的方程为()222210x y m n m n+=>>，椭圆2C 的方程为()22220,1x y m n λλλ+=>≠且，则称椭圆2C 是椭圆1C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆2C 是椭圆C 的3倍相似椭圆．若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆2C 于M,N 两点，O 为坐标原点，试研究当切线l 变化时OMN ∆面积的变化情况，并给予证明．(21) （本小题满分12分）设函数x a x x f ln )()(+=，x ex x g 2)(=．已知曲线)(x f y = 在点(1,(1))f 处的切线与直线02=-y x 平行．（Ⅰ）若方程()()f x g x =在(,1)k k +（k N ∈）内存在唯一的根，求出k 的值.（Ⅱ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．（22）(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连接CF 交AB 于点E ． (Ⅰ)求证：DE 2=DB•DA ；(Ⅱ)若DB=2，DF=4，试求CE 的长．BACDEOF（23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的极坐标方程为382cos()4，曲线2C 的参数方程为8cos ,(3sinx y为参数）． (Ⅰ)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线2C 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)若P 为2C 上的动点，求点P 到直线:l 32,(2x t t yt为参数）的距离的最小值．（24）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()2f x x x a ．(Ⅰ)当5a时，解不等式()1f x ；(Ⅱ)若1()4f x x的解集包含[1,2]，求实数a 的取值范围．漳州市高三毕业班模拟卷（一）数学(理科)参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的．（1）答案：C 解析：由题意()14M =-,，[]50N =-,，则MN =(]10,-．故选C ．（2）答案：A 解析：由()2i 2i a b +=得220a b -=且1ab =，即1a b ==或1a b ==-,所以“1a b ==”是“1a b ==或1a b ==-”的充分不必要条件．故选A ．（3）答案：D解析：由//a b 得λb =a ，又1=b ，则有b = (32，12)或(－32，－12)．故选D ．（4）答案：A解析：不等式组1211x y x y y +≥-⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域如图，平移直线y ＝3x －z ，过M (－2，1)时，z min ＝3×(－2)－1＝－7．故选A ．（5）答案：C解析：因为双曲线渐近线的方程为340x y ±=,所以该双曲线可设为()220916y x λλ-=≠，又由于该双曲线的一个焦点是()05,，该双曲线的标准方程为221916y x -=．故选C ．（6）答案：B解析：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型”循环结构．第1次循环：22k S ==,第2次循环：37k S ==,；第3次循环：418k S ==,；第4次循环：441k S ==,，跳出循环，判断框内应填入的条件是4?k >．故选B ．（7）答案：C 解析：由()sin 3cos 2sin 3f x x x x，又因为它的两条相邻的对称轴之间的距离为2，所以T ，则()2sin 23f x x．因为曲线关于点0(,0)x 成中心对称，则23x k kZ ，得026k x ，又因为0[0,]2x ，所以03x ．故选C ．（8）答案：D解析：用排除法．由于当01,x时()f x x =，排除(B)、(C)两项；当1x 时，1f x x，排除(A)．故选D ．（9）答案：D解析：由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正方形的边长为2, 3,1HDBF ，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为12×2×2×4＝8．故选D ．（10）答案：C解析：根据题意，当直线MA 与双曲线相切于点A ，直线MB 与双曲线相切于点B 时，∠AMB 取得最大值．设直线AM 方程为1y k x ，与双曲线联立消去y ，得222212103k x k x k22k∵直线MA 与双曲线相切于点A ，由0，解得（舍负）．因此，直线AM 方程为212y x ,同理直线BM方程为212yx ,设直线AM 倾斜角为θ，得2tan2，且∠AMB=2θ,∴1cos 23，即为∠AMB 最大时的余弦值．故选C ．（11）答案：A 解析：依题意，得221,nna n S n ，则22168912311nnS n n a n n ，再应用均值不等式，得其最小值为4.故选A ．（12）答案：D解析：由函数2y x =，得其导函数2y x '=，则函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线方程为20002()y x x x x -=-，即2002y x x x =-，由函数ln y x =，得其导函数1y x '=，设切点坐标为11(,)x y ，则切线方程为1111ln ()y x x x x -=-，即111ln 1y x x x =+-，则01210121ln x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩即2001ln 2x x +=，x 0∈(1，+∞)，令g (x )＝x 2－ln2x －1，x ∈(1，+∞)，则2121()20x g x x x x-'=-=>， ∴g (x )在(1，+∞)上单调递增，又g (2)＝1－ln22＜0，g (3)＝2－ln23＞0，即g (2)·g (3)＜0，所以2＜x 0＜3，故选D ．二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置上．（13）答案：1．解析：9()a x x-的通项为()9219rrrr T C a x-+=-⋅，令923r -=，得3r =，则()33984C a -=- 解得1a =．（14）答案：5-．解析：因为a n+1=3a n ，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，而a 5+a 7+a 9= q 3（a 2+a 4+a 6）=9×33=35，所以=++)(log 97531a a a 5-．（15）答案：64361π．解析：∵铜钱的面积()220.1 3.61S ππ=-=，能够滴入油的图形为边长为120.10.8-⨯=的正方形，面积为0.64，∴0.64643.61361P ππ==．（16）答案：423．解析：连接,OA OB ，易得棱锥O ABC -是边长为2的正四面体，点O 在平面ABC 上的射影是正ABC∆的中心1O ，在1Rt OO C ∆中，1232323O C =⨯⨯=， 2OC =，221126OO OC O C ∴=-=，所以三棱锥的高14623h OO ==，所以21134642233433ABC V S h ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）解：（Ⅰ）由题意知：)cos 2(sin )cos 1(sin B A A B -=+∴B A A A B B cos sin sin 2cos sin sin -=+ ∴A B A A B B sin 2)cos sin cos (sin sin =++ ∴A B A B sin 2)sin(sin =++ ∴A C B sin 2sin sin =+ ∴a c b 2=+ (Ⅱ) ∵2==c b 且a c b 2=+，∴△ABC 为等边三角形，∴23432==∆c S ABC在△ACD 中，432cos 222=⋅-+=DC AD AC AD DC D ，∴47sin =DOACSO 1∴47sin 21=⋅⋅=∆D DC DA S ACD ∴四边形ABCD 的面积为4327+=+∆∆ACD ABC S S（18）解：（Ⅰ）当16n ≥时，16(105)80y =⨯-=，当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，得：1080(15),()80(16)n n y n n -≤⎧=∈⎨≥⎩N ．（Ⅱ）（i ）X 可取60，70，80．(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ====== X 60 70 80 P0.10.20.7， 222160.160.240.744DX =⨯+⨯+⨯=．（ii ）购进17枝时，当天的利润为(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯-⨯⨯+⨯⨯= 因为76.476> 得，应购进17枝．（19）解：(Ⅰ)由题意知，,ABC ACD 都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，则,BO AC DO AC ⊥⊥，又∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ⋂平面ABC AC = ,DO ACD ⊂平面， ∴DO ⊥平面ABC ，作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上， ∴060EBF ∠=，得3EF DO ==,∴四边形DEFO 是平行四边形，OF DE //∴ ，∵DE ⊄平面ABC ∵OF ⊂平面ABC ∴ DE 平面ABC ． (Ⅱ)解法一：作,BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ，BC EG EFG BC F FG EF BC EF ABC EF ⊥∴⊥=⋂⊥∴⊥,,,,平面平面的平面角就是二面角A BC E EGF --∠∴．113,sin 30,3,22Rt EFG FG FB EF EG ∆=⨯===中，1313cos ==∠∴EG FG EFG ，即二面角A BC FE --的余弦值为1313．解法二：由(I)知DO ⊥平面ABC ．以O 为原点，以向量OA ，OB ，OD 的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz o -，则(0,3,0),(1,0,0),(0,31,3)B C E -- 可知平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =，则2200n BE n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可求得2(3,3,1)n =-，所以121212cos ,n n n n n n ⋅==⋅1313又由图知，所求二面角的平面角是锐角，所以二面角A BC FE --的余弦值为1313．（20）解：（Ⅰ）依题意，222124,2,,1,32a a e cb ac ===∴==-=， ∴椭圆C 方程为：22143x y +=．（Ⅱ）依题意，椭圆C 2方程为：22223,143129x y x y +=+=即．当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+．由221129y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223484360k x kmx m +++-=，由0∆=得2243m k =+．设()()1122,,,M x y N x y ，则21212228436,3434km m x x x x k k--+==++ …7分 222221243(129)46111k m MN k x x k k m +-=+⋅-=+⋅=+⋅．又点O 到直线l 的距离21m d k =+，∴1262OMN S MN d ∆=⋅⋅=．当切线l 的斜率不存在时，l 的方程为2,26x MN =±=，26OMN S ∆=．综上，当切线l 变化时，OMN ∆面积为定值26．（21）解：（Ⅰ）由题意知，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，又'()ln 1,a f x x x=++所以1a =． ……………3分设2()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e=-=+- 当(0,1]x ∈时，()0h x <．又2244(2)3ln 2ln8110,h e e=-=->-=所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =．因为1(2)'()ln 1,x x x h x x x e-=+++ 所以当(1,2)x ∈时，1'()10h x e>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增．所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根．……………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以020(1)ln ,(0,](),(,)xx x x x m x x x x e +∈⎧⎪=⎨∈+∞⎪⎩．当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤若0(1,),x x ∈由1'()ln 10,m x x x=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤ 当0(,)x x ∈+∞时，由(2)'(),xx x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减．可知24()(2),m x m e≤=且0()(2)m x m <．综上可得：函数()m x 的最大值为24e． ……………12分（22）解析：（Ⅰ）证明：连接OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ．因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB•DA ．所以DE 2=DB•DA ． ……………… 5分（Ⅱ）解： DF 2=DB•DA ，DB=2，DF=4．∴DA= 8，从而AB=6，则3=OC ．又由（1）可知，DE=DF=4， ∴BE=2，OE=1．从而在COE Rt ∆中，1022=+=OE CO CE ． ………………10分（23）解析：(Ⅰ)由382cos()4得8cos 8sin ，所以28cos 8sin ，故曲线1C 的直角坐标方程为2288xy x y ，即22(4)(4)32x y ， B A C D E O F由8cos ,3sinx y 消去参数得2C 的普通方程为221649x y . (Ⅱ)设(8cos ,3sin )P ，直线l 的普通方程为270x y ，故点P 到直线l 的距离为 510cos()75d （其中43cos ,sin 55），因此min 0d ，故点P 到直线l 的距离的最小值0．（24）解析：(Ⅰ) 当5a 时，不等式()1f x 化为251x x ，当5x 时，(2)(5)1x x ，无解；当52x 时，(2)(5)1x x ，解得2x ，又52x ，所以22x ；当2x 时，(2)(5)1x x ，恒成立，又2x ，所以2x ．因此，当5a 时，解不等式()1f x 的解集为{|2}x x． (Ⅱ) 1()4f x x 1204x x a x ．当[1,2]x 时，1(2)04x x a x ，即74x a ，所以74x a 或74x a ，因为1()4f x x 的解集包含[1,2]，于是714a 或724a ，故34a 或154a ．所以，实数a 的取值范围为315(,][,)44．。

福建省莆田市(新版)2024高考数学部编版模拟(自测卷)完整试卷

福建省莆田市（新版）2024高考数学部编版模拟(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题复数（是虚数单位）的共轭复数是（）A．B．C．D．第(2)题设，其中，若仅存在一个整数，使得，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．第(3)题若实数满足，则最大值是（）A．4B．18C．20D．24第(4)题已知复数，则（）A．2022B．2023C．D．第(5)题已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，则的面积的最小值为A．B．C．D．第(6)题已知函数及其导函数定义域均为R，满足，记，其导函数为且的图象关于原点对称，则（）A．0B．3C．4D．1第(7)题已知若有最小值，则实数的取值范围是A．B．C．D．第(8)题在平面直角坐标系中，圆经过点，，且与轴正半轴相切，若圆上存在点，使得直线与直线关于轴对称，则的最小值为A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在所有棱长都相等的正三棱柱中，点A是三棱柱的顶点，M，N、Q是所在棱的中点，则下列选项中直线AQ与直线MN垂直的是（）A．B．C．D．第(2)题已知，互为共轭复数，则（）A．B．C．D．第(3)题已知则（）A．当时，无最大值B．当时，无最小值C ．当时，的值域是( -∞，2]D ．当时，的值域是[2，+∞)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡九千人，南乡五千四百人，凡三乡，发役五百，意思是用分层抽样的方法从这三个乡中抽出500人服役，则北乡比南乡多抽__________人．第(2)题已知向量，，若，则____________．第(3)题曲线在处的切线方程为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知一条曲线在轴右边，上任一点到点的距离减去它到轴距离的差都是，为该曲线上一点，且，（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线与交于，两点，，求直线的方程.第(2)题如图所示，在四棱锥P-A BCD 中，四边形ABCD为平行四边形，△PCD为正三角形，∠BAD=30°，AD=4，AB=2，平面PCD⊥平面ABCD ，E 为PC中点．（1）证明：BE ⊥PC ；（2）求多面体PABED的体积．第(3)题已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.（1）求的方程；（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.第(4)题已知函数.(1)若函数的导函数为，讨论函数零点的个数;(2)当时，函数在定义域内的两个极值点为，试比较与的大小，并说明理由.第(5)题已知平面向量(1)若，求x的值：(2)若，求。

2020届福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(有答案)

福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣ B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x ﹣2y 的最大值为2，确定约束条件中a 的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A （2，0）是最优解，直线x +2y ﹣a=0，过点A （2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来．【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示；∴它的表面积为S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++．故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（）A ．﹣4B ．﹣3C ．3D ．4【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x2的系数可求．【解答】解：（1﹣x）6（1+x）4 =（1﹣2x+x2）（1﹣x2）4=（1﹣2x+x2）．∴（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是．故选：B．8．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4 B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF2的中点A，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e===故选B12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，∴﹣2016＜x＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin （2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】由（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3，利用正弦定理可得（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ，化简利用余弦定理可得A ，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵（3+b ）（sinA ﹣sinB ）=（c ﹣b ）sinC ，a=3， ∴（a +b ）（a ﹣b ）=（c ﹣b ）c ， ∴b 2+c 2﹣a 2=bc ， ∴cosA==， ∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号． ∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *．（Ⅰ）求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得： a n =a n ﹣a n ﹣1，即：a n =3a n ﹣1（n ≥2），又∵a 1=1，a 2=3， ∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列， ∴．（ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n =．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为X 02 31PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM 于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F 两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．。

2024年福建省福州一中高考数学模拟试卷+答案解析

2024年福建省福州一中高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知，，则()A. B. C. D.2.已知，向量，，若，则实数()A. B. C. D.23.已知等比数列的公比为q，前n项和为，若，，，，则()A.30B.31C.62D.634.将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为()A.54B.45C.36D.275.已知函数是偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程为()A. B. C. D.6.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，且该圆锥的母线是底面半径的倍，若的面积为，则该圆锥的表面积为()A. B. C. D.7.当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的残余量会以每小时的速度减少.现同时给两位患者分别注射800mg药品A和500mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时间约为参考数据：，A. B. C. D.8.在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，点M为边BC的中点，若，，则()A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，共18分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.下列说法中，正确的是()A.数据40，27，32，30，38，54，31，50的第50百分位数为32B.已知随机变量服从正态分布，，则C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为，若，，，则D.若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为410.已知，为椭圆的左，右焦点，P为平面上一点，若，则()A.当P为上一点时，的面积为1B.当P为上一点时，的值可以为1C.当满足条件的点P均在内部时，则的离心率小于D.当点P在的外部时，在上必存在点M，使得11.在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则()A.存在点Q，使平面MBNB.存在点Q，点Q到直线BP的距离等于C.过A，M，B，N四点的球的体积为D.过Q，M，N三点的平面截正方体所得截面为六边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

福建省高考模拟理科数学试卷（4月份）含答案解析

福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4iB．3+4iC．5﹣4iD．5+4i2．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1B．2C．8D．93．已知cos（α+）=，﹣＜α＜，则sin2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件5．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）6．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T n＞1的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．77．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）A．2B．8C．4D．88．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3， =2，则=（）A．﹣B．﹣C． D．9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π11．已知F1，F2分别为双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的﹣个交点，F1P交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|．则C的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，则P（2＜X＜5）=．14．若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为﹣40，则a=．15．若数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=（n∈N*），则a25=．16．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C=2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．21．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），g（x）=e x﹣x﹣1．曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）≥kf（x），求k的取值范围．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．福建省高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a+i与2﹣bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3﹣4iB．3+4iC．5﹣4iD．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由a+i与2﹣bi互为共轭复数，求出a、b的值，然后代入（a+bi）2，再由复数代数形式的乘法运算化简，则答案可求．【解答】解：∵a+i与2﹣bi互为共轭复数，∴a=2，b=1．则（a+bi）2=（2+i）2=3+4i．故选：B．2．执行如图所示的程序框图，若要使输出的y的值等于3，则输入的x的值可以是（）A．1B．2C．8D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值，由y=3，分类讨论即可得解．【解答】解：根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数y=的函数值．y=3，可得：当x≤1时，x2﹣1=3，解得：x=﹣2或2（舍去）；当1＜x≤2时，3x=3，解得：x=1（舍去）；当x＞2时，log2x=3，解得：x=8．比较各个选项，则输入的x的值可以是8．故选：C．3．已知cos（α+）=，﹣＜α＜，则sin2α的值等于（）A． B．﹣C． D．﹣【考点】二倍角的余弦．【分析】由题意和诱导公式可得sinα，由同角三角函数基本关系可得cosα，代入二倍角的正弦公式可得．【解答】解：∵cos（α+）=，∴﹣sinα=，即sinα=﹣，又∵﹣＜α＜，∴cosα==，∴sin2α=2sinαcosα=2×（﹣）×=﹣，故选：D．4．已知a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可．【解答】解：若a=3，b=，满足a+b＞2，但ab＞1不成立，∵a2+b2≥2ab，∴（a+b）2≥4ab，∵ab＞1，∴（a+b）2＞4，∴a+b＞2，故a＞0，b＞0，则“ab＞1”是“a+b＞2”的充分不必要条件，故选：A5．（5）若xy满足约束条件，则的取值范围为（）A．[﹣，]B．[﹣，1]C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，结合的几何意义，即可行域内的动点与定点P （1，﹣1）连线的斜率求得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，的几何意义为可行域内的动点与定点P（1，﹣1）连线的斜率，∵，，∴的取值范围为[]．故选：B．6．已知等比数列{a n}的各项均为正数且公比大于1，前n项积为T n，且a2a4=a3，则使得T n＞1的n的最小值为（）A．4B．5C．6D．7【考点】等比数列的通项公式．【分析】可解得a3=1，a2＜1，a4＞1；而T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，从而解得．【解答】解：∵a2a4=a3=a32，∴a3=1；a2＜1，a4＞1∵等比数列{a n}是各项均为正数的递增数列，且T5=a35=1，T6=（a3a4）3＞1，∴使得T n＞1的n的最小值为6，故选：C．7．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（）A．2B．8C．4D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体为是三棱锥，由三视图判断出线面的位置关系、并求出棱长，判断出几何体的各个面的面积最小的面，并求出此面的面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个三棱锥，且PB⊥平面ABC，底面是一个等腰三角形，且D是底边AC的中点，由三视图得：PB=AC=4，高BD=4，∴AB=AC==＞4，∵PB⊥BC，PB⊥AB，∴PC＞BC，PA＞AB，∴几何体的各个面的面积中最小的是△ABC，△ABC的面积S==8，故选：B．8．在△ABC中，∠A=，AB=2，AC=3， =2，则=（）A．﹣B．﹣C． D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可作出图形，根据便可得到，根据条件，AB=2，AC=3进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值．【解答】解：如图，；∴；∴；∴===．故选：C．9．若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（，），C（，﹣），代入椭圆方程，可得a2=3b2，由a，b，c的关系，结合离心率公式，可得所求值．【解答】解：由正方形和椭圆的对称性可得，设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由B（a，0），OABC为正方形，可得A（，），C（，﹣），将A的坐标代入椭圆方程可得+=1，即有a2=3b2，c2=a2﹣b2=a2，即有e==．故选：D．10．在三棱锥P﹣ABC中，PA=2，PC=2，AB=，BC=3，∠ABC=，则三棱锥P ﹣ABC外接球的表面积为（）A．4πB．πC．πD．16π【考点】球的体积和表面积．【分析】利用勾股定理证明PA⊥PC，取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，半径为2，即可求出三棱锥P﹣ABC外接球的表面积．【解答】解：由题意，AC==4，∵PA=2，PC=2，∴PA2+PC2=AC2，∴PA⊥PC．取AC的中点，则OA=OB=OC=OP，即O为三棱锥P﹣ABC外接球的球心，半径为2，∴三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为4πR2=16π．故选：D．11．已知F1，F2分别为双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若点P是以F1F2为直径的圆与C右支的﹣个交点，F1P交C于另一点Q，且|PQ|=2|QF1|．则C的渐近线方程为（）A．y=±2xB．y=±xC．y=±xD．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得PF1⊥PF2，可设|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由双曲线的定义可得|PF2|=3t﹣2a，又连接QF2，可得|QF2|=t+2a，运用直角三角形的勾股定理，化简整理计算可得b=2a，运用双曲线的渐近线方程可得．【解答】解：由题意可得PF1⊥PF2，可设|QF1|=t，可得|PQ|=2t，由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有|PF2|=3t﹣2a，又连接QF2，可得|QF2|﹣|QF1|=2a，即有|QF2|=t+2a，在直角三角形PF1F2中，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，即为（3t）2+（3t﹣2a）2=4c2，①又|PQ|2+|PF2|2=|QF2|2，即有4t2+（3t﹣2a）2=（t+2a）2，②由②可得，3t=4a，代入①，可得16a2+4a2=4c2，即有c=a，b==2a，即有渐近线方程为y=±2x．故选：A．12．已知f（x）是定义在R上的减函数，其导函数f′（x）满足+x＜1，则下列结论正确的是（）A．对于任意x∈R，f（x）＜0B．对于任意x∈R，f（x）＞0C．当且仅当x∈（﹣∞，1），f（x）＜0D．当且仅当x∈（1，+∞），f（x）＞0【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由题意可得[（x﹣1）f（x）]′＞0，结合函数的单调性，从而可判断当x＞1时，f （x）＞0，结合f（x）为减函数可得结论．【解答】解：∵+x＜1，f（x）是定义在R上的减函数，f′（x）＜0，∴f（x）+f′（x）x＞f′（x），∴f（x）+f′（x）（x﹣1）＞0，∴[（x﹣1）f（x）]′＞0，∴函数y=（x﹣1）f（x）在R上单调递增，而x=1时，y=0，则x＜1时，y＜0，当x∈（1，+∞）时，x﹣1＞0，故f（x）＞0，又f（x）是定义在R上的减函数，∴x≤1时，f（x）＞0也成立，∴f（x）＞0对任意x∈R成立，故选：B．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，则P（2＜X＜5）= 0.3．【考点】n次重复试验中恰好发生k次的概率．【分析】由条件求得μ=2，可得正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．求得P（﹣1＜X ＜5）=1﹣P（X＜﹣1）﹣P（X＞5）的值，再根据P（﹣1＜X＜5）=2P（2＜X＜5），求得P（2＜X＜5）的值．【解答】解：∵随机变量X～N（μ，σ2），且P（X＞5）=P（X＜﹣1）=0.2，可得μ==2，正态分布曲线的图象关于直线x=2对称．∴P（﹣1＜X＜5）=2P（2＜X＜5）=1﹣0.2﹣0.2=0.6，∴P（2＜X＜5）=0.3，故答案为：0.3．14．若（ax+）（2x+）5展开式中的常数项为﹣40，则a=﹣3．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据题意，（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积，利用（2x+）5展开式的通项公式，求出展开式中含与x项的系数，列出方程求出a的值．【解答】解：（ax+）（2x+）5展开式中的常数项，是（2x+）5的展开式中项的系数与ax的系数之积，再加上x项的系数与的系数的积；又（2x+）5展开式的通项公式为：T r+1=•（2x）5﹣r•=25﹣r••x5﹣2r，令5﹣2r=﹣1，解得r=3，∴T3+1=22••=40•；令5﹣2r=1，解得r=2，∴T2+1=23••x=80•x；∴展开式中的常数项为：40a+80=﹣40，解得a=﹣3．故答案为：﹣3．15．若数列{a n}的各项均为正数，前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=（n∈N*），则a25=5﹣2\sqrt{6}．【考点】数列递推式．【分析】由题意可得a n+1﹣=﹣（an+），分别令n=1，2，3，求出a1，a2，a3，a4，即可猜想答案．【解答】解：∵S n+1+S n=（n∈N*），∴S n+S n=（n≥2），﹣1∴S n+1+S n﹣S n﹣S n=﹣，﹣1∴a n+1+a n=﹣，∴a n+1﹣=﹣（an+），∴a2﹣=﹣（a1+）=﹣2，解得a2=﹣1，∴a3﹣=﹣（a2+﹣）=﹣（﹣1+）=﹣2，解得a3=﹣，a4﹣=﹣（a3+）=﹣（﹣+）=﹣2，解得a4=﹣，于是可以猜想，a25=﹣=5﹣2，故答案为：5﹣2，16．已知点，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数的图象上，则四边形ABCD的面积为\frac{26}{3}．【考点】向量在几何中的应用．【分析】由条件可设，从而可以得出向量的坐标，根据题意有，从而便得到，这两式联立即可求出x1，x2，从而得出D点的坐标，进一步求出的坐标，从而可以由求出cos∠BAD，从而可得出sin∠BAD，根据即可得出平行四边形ABCD的面积．【解答】解：根据题意设，则：；∵；∴；由②得， =；整理得，x1x2=5，∴带入①式解得，或3（舍去）；∴x1=﹣3；∴；∴；∴，；∴=；∴；∴四边形ABCD的面积为：=．故答案为：．三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．△ABC中，B=，点D在边AB上，BD=1，且DA=DC．（Ⅰ）若△BCD的面积为，求CD；（Ⅱ）若AC=，求∠DCA．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）根据三角形的面积公式和余弦定理即可求出，（Ⅱ）分别根据正弦定理和诱导公式即可得到sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），解得即可．【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，∵B=，点D在边AB上，BD=1，∴S△BCD=BD•BC•sin=×1×•BC=，∴BC=4，由余弦定理可得CD2=BD2+BC2﹣2BD•BC•cosB=1+16﹣2×1×4×=13，∴CD=，（Ⅱ）设∠DCA=α，∵DA=DC，∴∠A=∠DCA=α，在△ADC中，由正弦定理可得===，∴AD=，在△BDC中，由正弦定理可得=，∴==，∴sin（2α+）=cosα=sin（﹣α），∴2α+=﹣α+2kπ，k∈z，当k=0时，α=，当k=1时，α=+（舍去），故∠DCA=．18．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，∠ABB1=60°．（Ⅰ）证明：AB⊥B1C；（Ⅱ）若B1C=2，求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的性质．【分析】法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，由余弦定理得求出AB1，通过计算勾股定理证明AB1⊥AB，以及证明AC⊥AB，推出AB⊥平面AB1C．得到AB⊥B1C．（Ⅱ）以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面BCB1的法向量，利用向量的数量积求解AC1与平面BCB1所成角的正弦值．法二：（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，说明∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．取BC中点P，连结PB1，利用，求出AH，在Rt△AHC1中，求解AC1与平面BCB1所成的角的正弦值即可．【解答】满分．解：法一：（Ⅰ）连结AB1，在△ABB1中，AB=1，BB1=2，∠ABB1=60°，由余弦定理得，，∴，…∴，∴AB1⊥AB．…又∵△ABC为等腰直角三角形，且AB=AC，∴AC⊥AB，又∵AC∩AB1=A，∴AB⊥平面AB1C．又∵B1C⊂平面AB1C，∴AB⊥B1C．（Ⅱ）∵，∴，∴AB1⊥AC．如图，以A为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则，∴．设平面BCB1的法向量=（x，y，z），由，得令z=1，得．∴平面BCB1的一个法向量为．…∵，…∴==，…．…∴AC1与平面BCB1所成角的正弦值为．法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）过点A作AH⊥平面BCB1，垂足为H，连结HC1，则∠AC1H为AC1与平面BCB1所成的角．由（Ⅰ）知，AB1⊥AB，，AB=AC=1，B1C=2，∴，∴AB1⊥AC，又∵AB∩AC=A，∴AB1⊥平面ABC，∴．取BC中点P，连结PB1，∵BB1=B1C=2，∴PB1⊥BC．又在Rt△ABC中，AB=AC=1，∴，∴，∴，∴．∵，∴，即，∴．∵AB1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AB1⊥BC，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，B1C1=BC=2，∴AB1⊥B1C1，∴．在Rt△AHC1中，，所以AC1与平面BCB1所成的角的正弦值为．19．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪70元，每单抽成2元；乙公司无底薪，40单以内（含 40 单）的部分每单抽成4元，超出 40 单的部分每单抽成6元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数20 40 20 10 10乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数38 39 40 41 42天数10 20 20 40 10（Ⅰ）现从甲公司记录的这100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答以下问题：（ⅰ）记乙公司送餐员日工资X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ⅱ）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，利用等可能事件概率计算公式能求出这两天送餐单数都大于40的概率．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，推导出X的所有可能取值为152，156，160，166，172，由此能求出X的分布列和数学期望．（ⅱ）依题意，求出甲公司送餐员日平均送餐单数，从而得到甲公司送餐员日平均工资，再求出乙公司送餐员日平均工资，由此能求出结果．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×4=152，当a=39时，X=39×4=156，当a=40时，X=40×4=160，当a=41时，X=40×4+1×6=166，当a=42时，X=40×4+2×6=172．所以X的所有可能取值为152，156，160，166，172．故X的分布列为：X 152 156 160 166 172P∴E（X）==162．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+2×39.5=149元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为162元．因为149＜162，故推荐小明去乙公司应聘．20．已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线E交于S，T两点，以P（3，0）为圆心的圆过点S，T，且∠SPT=90°（Ⅰ）求抛物线E和圆P的方程；（Ⅱ）设M是圆P上的点，过点M且垂直于FM的直线l交E于A，B两点，证明：FA⊥FB．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（I）求出S点坐标，根据|SF|=|PF|列方程解出p即可得出抛物线方程和圆的半径；（II）设M（x0，y0），根据，，列方程得出A，B的坐标与M点坐标的关系，计算并化简即可得出=0．【解答】解：（Ⅰ）将x=代入y2=2px，得y=±p，所以|ST|=2p，又∵∠SPT=90°，∴△SPT是等腰直角三角形，∴|SF|=|PF|，即p=|3﹣|，解得p=2，∴抛物线方程为y2=4x，此时圆P的半径为p=2，∴圆P的方程为（x﹣3）2+y2=8．（Ⅱ）设M（x0，y0），则（x0﹣3）2+y02=8，即y02=﹣x02+6x0﹣1，（*）设A（，y1），B（，y2），则=（x0﹣1，y0），=（，y2﹣y1），=（，y1﹣y0），=（﹣x0，y2﹣y0），∵，，∴，∵y1≠y2，∴，若x0=1，则y0=0，此时不满足（*），故x0﹣1≠0，∴y1+y2=，y1y2=．∴=（）（﹣1）+y1y2=+1+=﹣+1+===0．∴AF⊥BF．21．已知函数f（x）=ax﹣ln（x+1），g（x）=e x﹣x﹣1．曲线y=f（x）与y=g（x）在原点处的切线相同（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）≥kf（x），求k的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，根据f′（0）=g′（0），求出a的值，从而解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）先求出x≥ln（x+1），从而e x≥x+1，设F（x）=g（x）﹣kf（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，根据放缩法以及函数的单调性通过讨论k的范围，求出k的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）因为f′（x）=a﹣，（x＞﹣1），g′（x）=e x﹣1，依题意，f′（0）=g′（0），解得a=1，所以f′（x）=1﹣=，当﹣1＜x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0，故f（x）的单调递减区间为（﹣1，0），单调递增区间为（0，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=0时，f（x）取得最小值0．所以f（x）≥0，即x≥ln（x+1），从而e x≥x+1．设F（x）=g（x）﹣kf（x）=e x+kln（x+1）﹣（k+1）x﹣1，则F′（x）=e x+﹣（k+1）≥x+1+﹣（k+1），（ⅰ）当k=1时，因为x≥0，所以F′（x）≥x+1+﹣2≥0（当且仅当x=0时等号成立），此时F（x）在[0，+∞）上单调递增，从而F（x）≥F（0）=0，即g（x）≥kf（x）．（ⅱ）当k＜1时，由于f（x）≥0，所以f（x）≥kf（x）．由（ⅰ）知g（x）﹣f（x）≥0，所以g（x）≥f（x）≥kf（x），故F（x）≥0，即g（x）≥kf（x）．（ⅲ）当k＞1时，令h（x）=e x+﹣（k+1），则h′（x）=e x﹣，显然h′（x）在[0，+∞）上单调递增，又h′（0）=1﹣k＜0，h′（﹣1）=﹣1＞0，所以h′（x）在（0，﹣1）上存在唯一零点x0，当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0所以h（x）在（0，x0）上单调递减，从而h（x）＜h（0）=0，即F′（x）＜0，所以F（x）在（0，x0）上单调递减，从而当x∈（0，x0）时，F（x）＜F（0）=0，即g（x）＜kf（x），不合题意．综上，实数k的取值范围为（﹣∞，1]．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，且D，C，E，G四点共圆．（Ⅰ）求证：∠BAD=∠ACG；（Ⅱ）若GC=1，求AB．【考点】相似三角形的性质；圆的切线的性质定理的证明．【分析】（Ⅰ）由题意可得，G为△ABC的重心，根据D、C、E、G 四点共圆，可得∠ADE=∠ACG，DE∥AB，故有∠BAD=∠ADE，从而得到∠BAD=∠ACG．（Ⅱ）延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．证得△AFG∽△CFA，可得=，即 FA2=FG•FC，根据条件化为即AB=GC，从而得出结论．【解答】证明：（Ⅰ）∵△ABC的两条中线AD和BE相交于点G，∴G为△ABC的重心．连结DE，因为D、C、E、G 四点共圆，则∠ADE=∠ACG．又因为AD、BE为△ABC的两条中线，所以点D、E分别是BC、AC的中点，故DE∥AB，∴∠BAD=∠ADE，从而∠BAD=∠ACG．解：（Ⅱ）∵G为△ABC的重心，延长CG交AB于F，则F为AB的中点，且CG=2GF．在△AFC与△GFA中，因为∠FAG=∠FCA，∠AFG=∠CFA，所以△AFG∽△CFA，∴=，即 FA2=FG•FC．因为FA=AB，FG=GC，FC=GC，∴•AB2=CG2，即AB=GC，又∵GC=1，所以AB=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P（0，2），l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【考点】参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系；简单曲线的极坐标方程．【分析】解法一：（Ⅰ）由参数方程消去参数α，得椭圆的普通方程，由极坐标方程，通过两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线l的倾斜角．（Ⅱ）设出直线l的参数方程，代入椭圆方程并化简，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，利用参数的几何意义求解即可．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）利用直线l的普通方程与椭圆的方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及弦长公式求解即可．【解答】解法一：（Ⅰ）由消去参数α，得，即C的普通方程为．由，得ρsinθ﹣ρcosθ=2，…（*）将代入（*），化简得y=x+2，所以直线l的倾斜角为．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，点P（0，2）在直线l上，可设直线l的参数方程为（t 为参数），即（t为参数），代入并化简，得．．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则，所以t1＜0，t2＜0，所以．解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）直线l的普通方程为y=x+2．由消去y得10x2+36x+27=0，于是△=362﹣4×10×27=216＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，所以x1＜0，x2＜0，故．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|．（I）求不等式f（x）＜|2x+1|﹣1的解集M；（Ⅱ）设a，b∈M，证明：f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由题意可得|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，化简f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]为|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，从而证得不等式成立．【解答】解：（I）不等式f（x）＜|2x+1|﹣1，即|x+1|＜|2x+1|﹣1，∴①，或②，或③．解①求得x＜﹣1；解②求得x∈∅；解③求得x＞1．故要求的不等式的解集M={x|x＜﹣1或 x＞1}．（Ⅱ）证明：设a，b∈M，∴|a+1|＞0，|b|﹣1＞0，则 f（ab）=|ab+1|，f（a）﹣f（﹣b）=|a+1|﹣|﹣b+1|．∴f（ab）﹣[f（a）﹣f（﹣b）]=f（ab）+f（﹣b）﹣f（a）=|ab+1|+|1﹣b|﹣|a+1|=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．7月15日。

福建省福州市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)

福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题: (共12题；共24分)1. （2分）已知集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x≤a}，若A∩B≠Φ，则实数a的集合为（）A . {a|a＜2}B . {a|a≥1}C . {a|a＞1}D . {a|1≤a≤2}2. （2分） (2017高一下·衡水期末) 下列函数中，既是偶函数，又在（1，4）上单调递减的为（）A . y=3x4﹣2xB . y=3|x|C . y=ex﹣e﹣xD .3. （2分） (2018高三上·泉港期中) 下列说法正确的是A . “ ”是“函数是奇函数”的充要条件B . 若p：，，则：，C . 若为假命题，则p，q均为假命题D . “若，则”的否命题是“若，则”4. （2分）阅读如图所示的程序框图，则输出的S=（）A . 45B . 35C . 21D . 155. （2分）下列说法正确的是（）A . 过一点和一条直线有且只有一个平面B . 过空间三点有且只有一个平面C . 不共面的四点中，任何三点不共线D . 两两相交的三条直线必共面6. （2分） (2019高一下·镇赉期中) 已知向量、，其中，，且，则向量和的夹角是（）A .B .C .D .7. （2分）在展开式中含的项的系数为（）A . 17B . 14C . 13D . 88. （2分） (2016高一下·榆社期中) 将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）A . y=cos2xB . y=2cos2xC .D . y=2sin2x9. （2分）已知双曲线与轴交于两点，点，则△ 面积的最大值为（）A .B .C .D .10. （2分）数列的通项公式，则数列的前10项和为（）A .B .C .D .11. （2分）已知函数满足：，且，分别是上的偶函数和奇函数，若使得不等式恒成立，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .12. （2分）(2019·龙岩模拟) 已知f(x)= ，若关于的方程恰好有 4 个不相等的实数解，则实数的取值范围为（）A .B . （）C .D . （0，）二、填空题： (共4题；共6分)13. （2分）设函数，则 ________；若，则实数的值为________．14. （1分）数列1,的前n项和为________15. （1分）已知函数f（x）=，则________16. （2分） (2019高二上·南湖期中) 如图所示为某几何体的三视图，则该几何体最长棱的长度为________，体积为________.三、解答题： (共8题；共65分)17. （10分） (2019高三上·哈尔滨月考) 在中，分别是角的对边，且（1）求的值；（2）若，求边上中线的最小值.18. （10分）如图，已知多面体的底面是边长为的菱形，底面，，且．（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值19. （5分）某著名大学向大一贫困新生提供A，B，C三个类型的助学金，要求每位申请人只能申请其中一个类型，且申请任何一个类型是等可能的，在该校的任意4位申请人中．求恰有3人申请A类奖助学金的概率20. （10分）(2019·淮南模拟) 设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，过点与垂直的直线交轴负半轴于点，且，过，三点的圆恰好与直线相切．（1）求椭圆的方程；（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，问在轴上是否存在点，使得以为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，说明理由．21. （5分）已知函数f（x）=x3﹣3x．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=m有且只有一个公共点，求m的取值范围；（Ⅱ）过点P（2，﹣6）作曲线y=f（x）的切线，求此切线的方程．22. （5分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．23. （10分） (2016高二下·卢龙期末) 已知圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，直线l的参数方程为（t为参数），点A的极坐标为（，），设直线l与圆C交于点P、Q．（1）写出圆C的直角坐标方程；（2）求|AP|•|AQ|的值．24. （10分）(2019·大连模拟) 设函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题: (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共8题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、20-1、20-2、21-1、22-1、23-1、23-2、24-1、24-2、。

福建省福州市(新版)2024高考数学统编版模拟(评估卷)完整试卷

福建省福州市（新版）2024高考数学统编版模拟(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知数列的前项和为．若，则（）A．16B．25C．29D．32第(2)题已知函数的零点为，函数，，则，，的大小关系为（）A．B．C．D．大小关系不确定第(3)题已知集合，，则（）A．B．C．D．第(4)题如图，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，，，则三棱锥的体积为（）A．B．C．2D．第(5)题已知集合，集合，则（）A．B．C．D．第(6)题已知集合，则（）A．B．C．D．第(7)题已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（）A．B．C．D．第(8)题已知，则（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题在正方体中，，，分别为棱，，的中点，平面，，直线和直线所成角为，则（）A．B．的最小值为C．，，，四点共面D．平面第(2)题已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（）A．是周期函数B．是奇函数C．既没有最大值又没有最小值D．函数是周期函数第(3)题已知正方体的棱长为1，点P为侧面内一点，则（）A．当时，异面直线CP与AD所成角的正切值为B．当时，四面体的体积为定值C．当点P到平面ABCD的距离等于到直线的距离时，点P的轨迹为抛物线的一部分D ．当时，四面体BCDP的外接球的表面积为2π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知，则______.第(2)题是的导函数，则的值是 ______．第(3)题已知复数满足（为虚数单位），则__________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题为了了解中学生是否有运动习惯，我校以高一新生中随机抽取了100人，其中男生40人，女生60人，调查结果显示，男生中只有表示自己不喜欢运动，女生中有32人不喜欢运动，为了了解喜欢运动与否是否与性别有关，构建了列联表：不喜欢运动喜欢运动总计男生女生总计(1)请将列联表补充完整，并判断能否有的把握认为“喜欢运动”与性别有关.(2)从男生中按“是否喜欢运动”为标准采取分层抽样方式抽出10人，再从这10人中随机抽出2人，若所选2人中“不喜欢运动”人数为，求分布列及期望.附：，0.0250.010.0015.0246.63510.8第(2)题已知函数.（1）当时，求函数的单调区间；（2）设，若在区间上有两个极值点，求实数的取值范围.第(3)题已知数列的前项和为,且满足,数列的前项积.(1)求数列和的通项公式;(2)求数列的前n项和.第(4)题已知数列的首项，且满足.(1)求证：数列是等差数列；(2)若数列满足，求数列的前项和.第(5)题如图，在四棱台中，底面是菱形，，，平面.(1)证明：BD CC1；(2)棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由.。