理论力学 第八章 弯曲变形
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qL4
qC
dFC
0
24 EIL
db 240 EI
q 例:确定图示梁C截面的挠度和转角。
A
B
C 解:1、载荷分解如图
L/2 F
L/2
2、查梁的简单载荷变形表
=+
q
wCq
qL4 8EI
;
Cq
qL3 6EI
L/2
L/2 F
L/2
BF
L 2
wBF
L/2
wBF
F( L)3 2
3EI
FL3 ;
24EI
查简单载荷引起的变形。
FA
FL2 16 EI
Fa 2 4EI
wFC
FL3 48 EI
Fa3 6EI
qA
qL3 24 EI
qa3 3EI
5qL4
5qa 4
wqC 384 EI
24 EI
、叠加
A
FA
qA
a2 12 EI
(3F
4qa)
wC
wFA wqA
( 5qa4 24 EI
wmax w1 xx1 9
Fb 3LEI
(l 2 b2 )3
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。
F
A aC bB L
写出下列各梁变形的 边界条件和连续条件
max
A B
FL2 16EI
;
Байду номын сангаас
FL3
wmax wC
x
L 2
48EI
F A L/2 C L/2
E
A
C
B
B
wA 0, A 0; wB 0;
M(x) w EI
EIw M(x)
w
M>0
w
w ( x ) > 0 x
M<0
w ( x ) < 0 x
结论:挠曲线近似微分方程—— EIw M(x)
挠曲线近似微分方程的近似性——忽略了“Fs”、(w)2 对变形的影响。 使用条件:弹性范围内工作的细长梁。
§8—3 积分法计算梁的变形
步骤:(EI为常量) 1、根据荷载分段列出弯矩方程 M(x)。
X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ,w1=w2 ;w/1=w/2
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2);
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
Fbx1 6LEI
L2 b2 x12
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2 )x2
1
w1
Fb 6LEI
BF
F( L)2 2
2EI
FL2 8EI
EIw M (x) 0
EIw C
EIw Cx D
wCF
wBF
BF
L 2
FL3 24 EI
FL2 8EI
L 2
5FL3 48 EI
CF
BF
FL2 8EI
3、叠加 wC wCq wCF
qL4 8EI
5FL3 48 EI
;
C
B L/2
wCa
F (L 2)3 3EI
F L3
24EI
wCb
wBb
Bb
L 2
F (L 2)3
FL 2
(
L
2)2
3(2EI )
2(2EI )
A L/2
B L/2
F (L 2)2 2(2EI )
FL (L 2 2EI
2)
L 2
F M=FL/2
A L/2
B L/2
3FL3
48EI
3、叠加
wC
wCa
wCb
FL3 24 EI
7FL3 48 EI
3FL3 48 EI
+
=
F C
F C (a)
C (b)
例:求图示梁B截面的挠度(EI已知)。
q
解:1、结构分解如图
A
2、查梁的简单载荷变形表
L
C
aB
qa4 wBa 8EI ;
=
wBb
Cb
a
(1 qa2 )L 2
3EI
a
qa3L 6EI
w(F1F2 Fn ) w1(F1) w2 (F2 ) wn (Fn )
三、叠加法计算的两种类型: 1、载荷叠加: 2、结构形式叠加(逐段刚化法):
wC1
wC2 wC3
例3 已知简支梁受力如图示,
q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ;B截面的转角B
解 1)将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
最大挠度及最大转角
wm ax
x L 2
5ql 4 384EI
max
A B
ql 3 24EI
例:求图示梁的跨中的挠度和转角
(EI=常数)
解:建立坐标系并写出弯矩方程
M
( x1 )
Fb L
x1
Fb M (x2 ) L x2 F (x2 a)
写出微分方程并积分
Fb/L
F Fa/L
AC
x1
a x2
3、叠加
(a)
C
q B
+
wB wBa wBb
qa4 qa3L
8EI 6EI
A
qa3 (3a 4L)
C1
1 2
FL2
; C2
1 6
FL3
确定挠曲线、转角方程
w(x) F (L x)3 3L2x L3 6EI
w F (L x)2 L2 2EI 自由端的挠度及转角
w(L) FL3 (L) FL2
3EI
2EI
解二:建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
有表可查的情形
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果,先将均 布载荷延长至梁的全长,为 了不改变原来载荷作用的效
果,在AB 段还需再加上集
度相同、方向相反的均布载 荷。
23
2)再将处理后的梁分解为简单
wC
载荷作用的情形,计算各自C截
面的挠度和转角。
wC1
ql 4 8EI
,
C1
ql 3 6EI
wC1
写出微分方程并积分
EIw M (x) (FL Fx)
EIw
FLx
1 2
Fx2
C1
EIw
FLx 2 2
Fx 3 6
C1x
C2
应用位移边界条件求积分常数
X=0, w=0 ; θ =0
C1 0 ; C2 0
w
x
L
F
x
确定挠曲线、转角方程
w(x) F 3Lx2 x3 6EI
w F 2Lx x2 2EI 最大挠度及转角
连续条件:w C
左
w C
右
C左 C右
(1)、固定支座处:挠度等于零、转角等于零。 (2)、固定铰支座处;可动铰支座处:挠度等于零。 (3)、在弯矩方程分段处:
一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程 。 5、计算任意截面的挠度、转角;挠度的最大值、转角的最大值。
wC 2
wB 2
B2
l 2
C2
ql 3 48EI
ql 4 ql3 l ,
128EI 48EI 2
3)将结果叠加
wB 2
wC 2
wC
2 i 1
wCi
41ql 4 384EI
C
2
Ci
i 1
7ql 3
48EI
24
AA
a
F q
C a
F
a
a
q
a
a
+
=
例:叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.
解、载荷分解如图 、由梁的简单载荷变形表,
wC1 wC2.
wA 0; wB LBE
wC1 wC2 ,C1 C2.
1——C截面稍左 2——C截面稍右
§8—4 叠加法计算梁的变形
一、前提条件:弹性、小变形。 二、叠加原理:梁上有几个(几种)荷载共同作用的变形等于每
个荷载(每种)荷载单独作用产生的变形的代数和。
(F1F2 Fn ) 1(F1) 2 (F2 ) n (Fn )
2、根据弯矩方程列出挠曲线的近似微分方程并进行积分
EIw(x) M (x)
EIw(x) M (x)dx C1
EIw(x) ( M (x)dx)dx C1x C2
3、根据弯曲梁变形的边界条件和连续条件确定积分常数。
PF
A
C
B
D FP
边界条件:wA 0 wB 0 wD 0 D 0
B B1 B2 B3
2)查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
ql 4 wC2 48EI
wC 3
ql 4 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
21
wC1
wC2 wC3
3) 应用叠加法,将简单载荷 作用时的结果求和
3
5ql 4 ql 4 ql 4
Cq
CF
qL3 6EI
FL2 8EI
例:求图示梁C截面的挠度。
q
AA
C
L/2
L/2
q/2
=
解:1、载荷分解如图 2、查梁的简单载荷变形表
AA
C
wCa
5(q 2 )L4 384EI
;
wCb 0
L/2
L/2
(a)
q/2
+
3、叠加
wC wCa wCb wCa 0 A A
C
5(q 2 )L4 5qL4 384 EI 768 EI
B b
L
左侧段(0≤x1≤a):
EIw1
Fb L
x1
EIw1
Fb 2L
x12
C1
EIw1
Fb 6L
x13
C1x1
D1
右侧段(a≤x2≤L):
EIw2
Fb L
x2
F (x2
a)
EIw2
Fb 2L
x22
F (x2 a)2 2
C2
EIw2
Fb 6L
x23
F (x2 6
a)3
C2 x2
D2
应用位移边界条件和连续条件求积分常数
PF
C
Bx
w
二、挠度:横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。
C1 θ
用 “w” 表示。
w =w(x) ……挠曲线方程。挠度向上为正;向下为负。
三、转角:横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。
θ=θ(x)……转角方程。 由变形前的横截面转到变形后,逆时针为正;顺时针为负。
四、挠度和转角的关系
tg dw w(x) w
(L2
b2 ) 6x12
2
w2
Fb 2LEI
L b
(x2
a)2
x22
1 3
(L2
b2
)
跨中挠度及转角
w
x
L 2
Fb 48EI
(3L2
4b2 );
w
x
L 2
Fb 24LEI
L2 4b2
两端支座处的转角——
A
Fab(L 6LEI
b)
;
B
Fab(L 6LEI
a)
讨论:1、此梁的最大挠度和最大转角。
wC
i 1
wCi
384EI
48EI
16EI
11ql 4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql 3 24EI
ql3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( )
48EI
22
例4 已知:悬臂梁受力如图
示,q、l、EI均为已知。求C
wC
截面的挠度wC和转角C
解 1)首先,将梁上的载荷变成
例:求图示悬臂梁自由端的挠度及转角( EI=常数)。
解一:建立坐标系并写出弯矩方程 w
M (x) F(L x) 写出微分方程并积分
x
L
F
x
EIw M (x) F(L x)
EIw
1 2
F(L
x)2
C1
EIw
1 6
F
(L
x)3
C1x
C2
应用位移边界条件求积分常数
X=0, w=0 ; θ =0
w qx (l3 2lx2 x3) 24EI
EIw
q 2
lx2 (
2
x3 3
)
C1
w q (l3 6lx2 4x3)
24EI
q lx3 x4
EIw ( 2
6
12 ) C1x C2
应用位移边界条件求积分常数
X=0 , w=0 ; x=L , w=0 .
C1
ql3 24
,
C2 0
wm ax
w(L)
FL3 3EI
m ax
(L)
FL2 2EI
例:求图示梁的最大挠度和最大转角 ql/2
q ql/2
(EI=常数) 解:建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) ql x qx2 q (lx x2 ) 2 22
写出微分方程并积分
EIw q (lx x2 ) 2
A
B
C
x
L
确定挠曲线和转角方程
§8—1 概述 §8—2 梁的挠曲线近似微分方程 §8—3 计算梁的变形积分法 §8—4 计算梁的变形叠加法 §8—5 梁的刚度计算和合理刚度设计 §8—6 简单超静定梁的求解 弯曲变形小结
§8—1 概述
4
5
6
一、挠曲线:梁变形后的轴线。 w 性质:连续、光滑、弹性、 A 极其平坦的平面曲线。
左 1max w1 0 x1 0
侧
段:1m a x
A
Fab(L b) 6LEI
右 2max w2 0 x2 L
侧 段:
2m ax
B
Fab(L 6LEI
a)
当 a>b 时——
max
B
Fab(L 6LEI
a)
wmax w 0 x1
L2 b2
3
a(a 2b) 3
当 a>b 时—— x1 a 最大挠度一定在左侧段
q/2
L/2
(b)
L/2
例:结构形式叠加(逐段刚化法) 原理说明 FP
A
L1
L2
B
C
w
w w1 w2
=
A
L1
刚化A C 段 C
PF
L2
B
+
PF
A
L1
C
L2
等价
B A
刚化B C 段
PF
等价
L2
B
C
w1
w2
M PF
L1 C
L2
B
例:求图示梁C截面的挠度。 解:1、结构分解如图
2EI
EI
2、查梁的简单载荷变形表 A L/2
Fa 3 ) 6EI
q 0 dF
例:叠加法求C点挠度.
C
解、载荷无限分解如图
A
db b B
dF q(b)db 2bq0 db L
0.5L
0.5L
、查梁的简单载荷变形表,
wdFC
(dF )b(3L2 48 EI
4b3
)
qb2 (3L2 4b3 ) db 24 EI
、叠加
w w 0.5L qb2 (3L2 4b3 )
w =w(x)上任一点处——
dx
tg w
w
A
C
B
x
C'
w挠度(
B
转角
8
§8—2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系:
1 M 1 M(x)
r EI
r(x) EI
……(1)
二、曲率与挠曲线的关系:
1
r ( x)
w 1 (w)2
3 2
→→
1 w
r(x)
……(2)
三、挠曲线与弯矩的关系: 联立(1)、(2)两式得