理论力学 第八章 弯曲变形

w =w（x）上任一点处——
dx
tg w
w
A
C
B
x
C'
w挠度（
B
转角
8
§8—2 梁的挠曲线近似微分方程
一、曲率与弯矩的关系：
1 M 1 M(x)
r EI
r(x) EI
……（1）
二、曲率与挠曲线的关系：
1
r ( x)
w 1 (w)2
3 2
→→
1 w
r(x)
……（2）
三、挠曲线与弯矩的关系： 联立（1）、（2）两式得
BF
F( L)2 2
2EI
FL2 8EI
EIw M (x) 0
EIw C
EIw Cx D
wCF
wBF
BF
L 2
FL3 24 EI
FL2 8EI
L 2
5FL3 48 EI
CF
BF
FL2 8EI
3、叠加 wC wCq wCF
qL4 8EI
5FL3 48 EI
;
C
w(F1F2 Fn ) w1(F1) w2 (F2 ) wn (Fn )
三、叠加法计算的两种类型： 1、载荷叠加： 2、结构形式叠加（逐段刚化法）：
wC1
wC2 wC3
例3 已知简支梁受力如图示，
q、l、EI均为已知。求C 截面 的挠度wC ；B截面的转角B
解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
wC1 wC2.
wA 0; wB LBE
wC1 wC2 ,C1 C2.
1——C截面稍左 2——C截面稍右
§8—4 叠加法计算梁的变形
一、前提条件：弹性、小变形。 二、叠加原理：梁上有几个（几种）荷载共同作用的变形等于每
个荷载（每种）荷载单独作用产生的变形的代数和。
(F1F2 Fn ) 1(F1) 2 (F2 ) n (Fn )
左 1max w1 0 x1 0
侧
段：1m a x
A
Fab(L b) 6LEI
右 2max w2 0 x2 L
侧 段：
2m ax
B
Fab(L 6LEI
a)
当 a＞b 时——
max
B
Fab(L 6LEI
a)
wmax w 0 x1
L2 b2
3
a(a 2b) 3
当 a＞b 时—— x1 a 最大挠度一定在左侧段
连续条件：w C
左
w C
右
C左 C右
（1）、固定支座处：挠度等于零、转角等于零。 （2）、固定铰支座处；可动铰支座处：挠度等于零。 （3）、在弯矩方程分段处：
一般情况下稍左稍右的两个截面挠度相等、转角相等。
4、确定挠曲线方程和转角方程 。 5、计算任意截面的挠度、转角；挠度的最大值、转角的最大值。
X=0 , w=0 ; x=L , w=0 . X1=X2=a ，w1=w2 ；w／1=w／2
C1
C2
Fb 6L
(L2
b2);
D1 D2 0
确定挠曲线和转角方程
w1
Fbx1 6LEI
L2 b2 x12
w2
Fb 6LEI
L b
(x2
a)3
x23
(L2
b2 )x2
1
w1
Fb 6LEI
wmax w1 xx1 9
Fb 3LEI
(l 2 b2 )3
2、a=b 时此梁的最大挠度和最大转角。
F
A aC bB L
写出下列各梁变形的 边界条件和连续条件
max
A B
FL2 16EI
;
FL3
wmax wC
x
L 2
48EI
F A L/2 C L/2
E
A
C
B
B
wA 0, A 0; wB 0;
wm ax
w(L)
FL3 3EI
m ax
(L)
FL2 2EI
例：求图示梁的最大挠度和最大转角 ql/2
q ql/2
（EI=常数） 解：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) ql x qx2 q (lx x2 ) 2 22
写出微分方程并积分
EIw q (lx x2 ) 2
A
B
C
x
L
确定挠曲线和转角方程
Fa 3 ) 6EI
q 0 dF
例：叠加法求C点挠度.
C
解、载荷无限分解如图
A
db b B
dF q(b)db 2bq0 db L
0.5L
0.5L
、查梁的简单载荷变形表，
wdFC
(dF )b(3L2 48 EI
4b3
)
qb2 (3L2 4b3 ) db 24 EI
、叠加
w w 0.5L qb2 (3L2 4b3 )
q/2
L/2
(b)
L/2
例:结构形式叠加（逐段刚化法) 原理说明 FP
A
L1
L2
B
C
w
w w1 w2
=
A
L1
刚化A C 段 C
PF
L2
B
+
PF
A
L1
C
L2
等价
B A
刚化B C 段
PF
等价
L2
B
C
w1
w2
M PF
L1 C
L2
B
例：求图示梁C截面的挠度。 解：1、结构分解如图
2EI
EI
2、查梁的简单载荷变形表 A L/2
3、叠加
wC
wCa
wCb
FL3 24 EI
7FL3 48 EI
3FL3 48 EI
+
=
F C
F C （a）
C （b）
例：求图示梁B截面的挠度（EI已知）。
q
解：1、结构分解如图
A
2、查梁的简单载荷变形表
L
C
aB
qa4 wBa 8EI ;
=
wBb
Cb
a
(1 qa2 )L 2
3EI
a
qa3L 6EI
3、叠加
（a）
C
q B
+
wB wBa wBb
qa4 qa3L
8EI 6EI
A
qa3 (3a 4L)
C1
1 2
FL2
; C2
1 6
FL3
确定挠曲线、转角方程
w(x) F (L x)3 3L2x L3 6EI
w F (L x)2 L2 2EI 自由端的挠度及转角
w(L) FL3 (L) FL2
3EI
2EI
解二：建立坐标系并写出弯矩方程
M (x) F(L x)
有表可查的情形
为了利用梁全长承受均 布载荷的已知结果，先将均 布载荷延长至梁的全长，为 了不改变原来载荷作用的效
果，在AB 段还需再加上集
度相同、方向相反的均布载 荷。
23
2）再将处理后的梁分解为简单
wC
载荷作用的情形，计算各自C截
面的挠度和转角。
wC1
ql 4 8EI
,
C1
ql 3 6EI
wC1
PF
C
Bx
w
二、挠度：横截面形心沿垂直于 轴线方向的位移。
C1 θ
用 “w” 表示。
w =w（x） ……挠曲线方程。挠度向上为正；向下为负。
三、转角：横截面绕中性轴转过的角度。用“” 表示。
θ=θ(x)……转角方程。 由变形前的横截面转到变形后，逆时针为正；顺时针为负。
四、挠度和转角的关系
tg dw w(x) w
wC
i 1
wCi
384EI
48EI
16EI
11ql 4 ( ) 384EI
B
3
Bi
i 1
ql 3 24EI
ql3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( )
48EI
22
例4 已知：悬臂梁受力如图
示，q、l、EI均为已知。求C
wC
截面的挠度wC和转角C
解 1）首先，将梁上的载荷变成
wC 2
wB 2
B2
l 2
C2
ql 3 48EI
ql 4 ql3 l ,
128EI 48EI 2
3）将结果叠加
wB 2
wC 2
wC
2 i 1
wCi
41ql 4 384EI
C
2
Ci
i 1
7ql 3
48EI
24
AA
a
F q
C a
F
a
a
q
a
a
+
=
例：叠加法求A截面的转角和C截面 的挠度.
解、载荷分解如图 、由梁的简单载荷变形表，
B L/2
wCa
F (L 2)3 3EI
F L3
24EI
wCb
wBb
Bb
L 2
F (L 2)3
FL 2
(
L
2)2
3(2EI )
2(2EI )
A L/2
B L/2
F (L 2)2 2(2EI )
FL (L 2 2EI
2)
L 2
F M=FL/2
A L/2
B L/2
3FL3
48EI
最大挠度及最大转角
wm ax
x L 2
5ql 4 384EI
max
A B
ql 3 24EI