市北资优六年级分册 第01章 1.3 素数、合数与分解素因数+佳颖
六年级秋季班-第2讲：分解素因数
模块一：素数、合数与分解素因数分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数或最小公倍数，以及利用最大公因数和最小公倍数的知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数； （2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数； （3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数． 2、 分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．分解素因数知识结构知识精讲内容分析3、 口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯． 4、 短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例1】 在1、2、9、17、27、49、57、87、97、187、247中，_________________________是素数，合数有______个．【难度】★【答案】2、17、97；7．【解析】素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；1既不是素数，也不是合数．【总结】本题主要考查素数和合数的定义．【例2】 将84分解素因数：_______________________，84的素因数为______________． 【难度】★【答案】732284⨯⨯⨯=；2、2、3、7．【解析】732221484⨯⨯⨯=⨯=，其中素因数为2、2、3、7．【总结】考查分解素因数的方法：可以用短除法，也可以用口算法分解素因数． 【例3】 最小的自然数、最小的素数和最小的合数之和是______． 【难度】★ 【答案】6．【解析】最小的自然数为0，最小的素数为2，最小的合数为4 【总结】考查素数和合数的定义，注意1和2的特殊性．【例4】 将100写成两个素数的和：100 = ______ + ______，共有______对． 【难度】★★ 【答案】6【解析】53475941712983178911973100+=+=+=+=+=+=，共有6对．【总结】100以内的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，例题解析355 753，59，61，67，71，73，79，83，89，97，共25个．特别是20以内的素数，需要熟记．【例5】 下列说法中正确的个数有（ ）个（1）两个连续素数的乘积一定是奇数； （2）两个素数的和一定是偶数；（3）相邻的两个正整数的乘积一定是合数； （4）一个合数至少有三个因数；（5）任何一个正整数都可以写成几个素数的积的形式． A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★★ 【答案】B【解析】（1）错．2和5的乘积为10.（2）错．除了2之外的素数都是奇数，但2和素数之和为奇数． （3）错．1和2的乘积为2，为素数．（4）对．一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数． （5）错．1不能写成素数相乘的形式．【总结】在讨论素数和合数的分类时，需要特别注意1和2的特殊性．【例6】 如果三个连续自然数的乘积是210，则这三个数分别是_____________． 【难度】★★ 【答案】5、6、7．【解析】7657523210⨯⨯=⨯⨯⨯=． 【总结】考查分解素因数的方法．【例7】 两个素数的和为21，那么这两个素数的积是______． 【难度】★★ 【答案】38．【解析】21219=+，219=38⨯．【总结】20以内的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，可以逐一尝试． 【例8】 已知41176a b =（a 、b 都为正整数），则a 的最小值为______． 【难度】★★ 【答案】2464．【解析】77322229441176⨯⨯⨯⨯⨯=⨯=，要使这个数字为一个数字的四次方，则a 最小为2646773332=⨯⨯⨯⨯⨯．【总结】考查分解素因数的方法，数字比较大的时候多采用短除法分解素因数．【例9】面积是72平方厘米的长方形，它的长和宽的厘米数都是合数，这个长方形的周长可能是多少厘米？【难度】★★★【答案】44厘米或36厘米或34厘米．【解析】9⨯=⨯=，=412872⨯618则①长方形的长为18厘米，宽为4厘米，此时的周长为()44⨯厘米；+4182=②长方形的长为12厘米，宽为6厘米，此时的周长为()36+2=⨯厘米；612③长方形的长为9厘米，宽为8厘米，此时的周长为()34+⨯厘米．82=9【总结】将实际问题转化成数学中的分解素因数来解决．1、 公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数． 2、 最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数． 3、 两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素． 4、 求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例10】 36和54的公因数有_____________．【难度】★【答案】1、2、3、9、18．【解析】36的因数有1、2、3、4、9、12、18、36；54的因数有1、2、3、6、9、18、27、54．则公因数有1、2、3、9、18．【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．【例11】 126和630的最大公因数是________________． 【难度】★ 【答案】126．【解析】3126 630 242 210321 105 77 35 1 5故126和630的最大公因数是：1267323=⨯⨯⨯．【总结】考查短除法求最大公因数，当两个整数之间存在倍数关系时，则较小的数是它们的最大公因数．例题解析知识精讲模块二：公因数和最大公因数【例12】在下列各组数中，互素的有（）组（1）3和5；（2）6和9；（3）4和9；（4）14和17；（5）18和1．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】D【解析】互素的为（1）（3）（4）（5）．【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【例13】下列说法正确的是（）A．如果两个数互素，那么这两个数不可能都是合数B．两个不同的素数一定互素C．如果1是两个整数的公因数，则这两个数一定互素D．若5能被a整除，又是b的最小倍数，则a和b的最大公因数是5【难度】★★【答案】B【解析】A错，例如4和9互素，但是4和9都是合数．C错，1是所有整数的因数，所以如果1是两个整数的公因数，则这两个数不一定互素．D错，若5能被a整除，则a为1或5，因为5是b的最小倍数，则5b，所以a和b=的最大公因数不一定是5，还有可能是1．【总结】考查互素的定义．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【例14】三个数16、24和30的公因数有______．【难度】★★【答案】1、2．【解析】16的因数是1、2、4、8、16；24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；30的因数是1、2、3、5、6、10、15、30．则16、24、30的公因数为1、2．【总结】考查公因数的求法，可以用列举法来求解．【例15】有a、b、c、d四个正整数，已知a、b的最大公因数是60，c、d的最大公因数是48，那么a、b、c、d这四个数的最大公因数是______．【难度】★★【答案】12．【解析】因为52248⨯=，所以60和48的公因数有2、3、2，2⨯⨯⨯=，32322⨯⨯60⨯则60和48的最大公因数为23212⨯⨯=，即这四个数的最大公因数是12．【总结】求几个数的最大公因数时，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．【例16】一块矩形地面，长90米，宽15米，要在它的四周和四角种树，每两棵树之间的距离相等，则最少要种______棵树．【难度】★★★ 【答案】14．【解析】每两棵树之间的距离要整除90和15，则为90和15的公因数，题目中问最少种多少棵树，则是求90和15的最大公因数，最大公因数为15．则每两棵树之间距离15米种一棵树，一排种7棵树，两排共种14棵树．【总结】生活实际问题转化为数学中求几个数的最大公因数的问题，只要把它们所有公有素 因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数． 【例17】一个长方体，它的上面和正面面积之和是209平方分米，长、宽、高都是素数，则这个长方体的表面积是______．【难度】★★★ 【答案】486平方分米．【解析】长方体的上面的面积等于长×宽，正面的面积等于长×高，则上面和正面面积之和是长×（宽+高），因为长、宽、高都是素数，所以209可以分解成两个素数之积与两个素数之的形式．而1911209⨯=，且11不能写成两个素数相加的形式，19可以写成2和17相加的形式．则长方体的长宽高分别为11、17、2．可求出长方体的表面积为()48621721117112=⨯+⨯+⨯⨯平方分米．【总结】生活实际问题转化为数学中分解素因数问题． 【例18】求42897与18644的最大公因数．（拓展：辗转相除法）【难度】★★★ 【答案】79．【解析】被除数÷除数=商．．．．．．余数，42897÷18644=2．．．．．．5609， 18644÷5609=3．．．．．．1817， 5609÷1817=3．．．．．．158， 1817÷158=11．．．．．．．79， 158÷79=2．．．．．．0， 所以最大公因数为79．【总结】对于特大数字的最大公因数的求法的问题，可以用辗转相除法来解决．辗转相除法步骤：设两数为a b 、 ()a b >，求a 和b 最大公因数的步骤如下：用a 除以b ： 得：()110a b q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若10r =，则a 和b 最大公因数为b ；若10r ≠，则再用b 除以1r ，得：()1220b r q r r ÷=⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥．若20r =，则a 和b 最大公因数为1r ，若20r ≠，则继续用1r 除 以2r ，……如此下去，直到能整除为止．其最后一个非零除数即为a 和b 的最大公因数．【例19】 下面的乘式的积中，末尾有多少个0？1232930⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯⨯．【难度】★★★ 【答案】7个【解析】每一个因数中所含的因数是5和2的个数，决定结果中0的个数； 将1－30中的数分解素因数，有7个5和多于7个2，结果中有7个0． 【总结】本题是一道比较综合的题目，主要考查学生对所学知识的综合运用能力．1、公倍数与最小公倍数 公倍数：几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数；最小公倍数：几个整数公有的倍数中，最小的一个叫做它们的最小公倍数．2、求两个数的最小公倍数求两个整数的最小公倍数，只要取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数，将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数； 如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数；如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．3、求三个数的最小公倍数求三个数的最小公倍数，应取三个数共有的素因数和每两个数共有的素因数，以及再取各自剩余的素因数，所有这些素因数的积． 为了简便，可用短除法计算，除到每两个商都互素为止．【例20】 已知23357A =⨯⨯⨯⨯，22557B =⨯⨯⨯⨯，则A 与B 的最小公倍数是______． 【难度】★ 【答案】6300．【解析】公有因数为2、5、7，则最小公倍数为63005233752=⨯⨯⨯⨯⨯⨯．【总结】考查最小公倍数的求法：取它们所有公有的素因数，再取它们各自剩余的素因数， 将这些数连乘，所得的积就是这两个数的最小公倍数．【例21】 已知两个合数互素，且它们的最小公倍数为72，则这两个数为______． 【难度】★★ 【答案】8、9．【解析】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．所以72可以写成两个 合数的乘积，则这两个数为8和9.【总结】如果两个数互素，那么它们的乘积就是它们的最小公倍数．模块三：公倍数与最小公倍数例题解析 知识精讲【例22】下列说法中正确的个数为（）个（1）若三个正整数只有公因数1，则这三个数两两互素；（2）若3m n÷=，则两个正整数m、n的最小公倍数是m；（3）互素的两个数没有公因数；（4）能同时被6、8整除的数一定能被48整除；（5）若a b c÷=（a、b、c都是正整数），则a与b的最大公因数是c．A．0 B．1 C．2 D．3【难度】★★【答案】B【解析】（1）错．三个正整数只有公因数1，并不能说明两个数的公因数只有1．例如2、3、4，公因数只有1，但是2和4的公因数有1和2，不是互素的．（2）对．如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数，那么这个数就是它们的最小公倍数．（3）错．互素的两个数的公因数为1．（4）错．如24能够同时被6、8整除，但24不能被48整除．（5）错．例如8÷2=4，8与2的最大公因数为2，不是4．【总结】本题主要考查整除的相关概念，注意认真区分．【例23】两个正整数的最大公因数是12，最小公倍数是144，其中一个数是48，则另一个数是______．【难度】★★【答案】36．【解析】两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．【总结】通过最小公倍数和最大公因数的求法可知，两个正整数的乘积等于这两个正整数的最小公倍数和最大公因数的乘积．【例24】求下列各组数的最大公因数和最小公倍数．（1）187和442；（2）36、84和39．【难度】★★【答案】见解析【解析】（1）17187 442 11 26最大公因数为17，最小公倍数为17×11×26=4862；（2）336 84 39212 28 1326 14 133 7 13最大公因数为3，最小公倍数为3×7×12×13=3276．【总结】考查用短除法求最大公因数和最小公倍数．也可以用分解素因数的方法求最大公因数和最小公倍数．需要注意两个数字的最大公因数的求法和三个数字的最大公因数的求法不一样，两个数字的最大公因数为短除法左边素因数乘积即可，但是三个数字的最大公因数是取三个公有的因数相乘．【例25】某校外出活动，如果9人一组，则多5人；如果15人一组，则少4人，已知学生人数在130至140人，则该年级的学生有______人．【难度】★★【答案】131人．【解析】如果9人一组，则多5人，可以理解成若9人一组，则少4人．则题目可以理解成若9人一组，则少4人；如果15人一组，则少4人．因为学生人数在130到140 人，在130到140之间，9和15的公倍数为135，则该年级共有135-4=131人．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个实际问题了．【例26】能被5、6、9整除的最大三位数是______，最小四位数是______．【难度】★★【答案】990；1080．【解析】因为5、6、9的最小公倍数为5×6×9=90，所以能被5、6、9整除的数为90的倍数．其倍数中最大的三位数为90×11=990，最小的四位数为90×12=1080．【总结】能被a b c、、的公倍数的问题来处理．、、整除的数可以转化为求a b cA B是24的倍数，则A+B的最大值为多少？【例27】已知四位数20【难度】★★★【答案】16．【解析】因为24=2×2×2×3，所以24的倍数一定能被2和3整除．被2整除，个位B为0、2、4、6、8，其中最大取8；被3整除，A+2+0+8能被3整除，A最大取8．此时，8208÷24=342，所以A+B的最大值为8+8=16．【总结】本题主要考查能被2、3整除的数的特点．【例28】动物园的饲养员给三群猴子分花生，如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．已知第一群猴子猴四十几只，那么总共有多少粒花生？共有多少只猴子？【难度】★★★【答案】540粒；45只．【解析】因为如果分给第一群猴子，则每只猴子可得12粒；如果只分给第二群猴子，则每只猴子可得15粒；如果只分给第三群猴子，则每只猴子可得18粒．所以共有花生粒个数能同时被12、15、18整除．利用短除法求出12、15、18的最小公倍数为180，则共有花生粒个数是180的倍数．因为第一群猴子猴四十几只，所以共有花生粒个数在12×40=480到12×50=600之间．因为在480到600之间，180的倍数有540，则总共有540粒花生，共有540÷12=45只猴子．【总结】可以将实际问题转化成公倍数问题来处理．【例29】一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，则这个数最小是多少？【难度】★★★【答案】37．【解析】因为一个正整数被4除余1，被6除余1，被9除余1，所以这个数减去1之后能同时被4、6、9整除，短除法可求出4、6、9的最小公倍数为36，则这个是最小为36+1=37．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个问题了．【例30】某校有皮球若干个，如果平均分给10个班，则余下9个；如果平均分给12个班，则余下11个；如果平均分给15个班，则余下14个，学校至少有几个皮球？【难度】★★★【答案】59．【解析】如果平均分给10个班，则余下9个；也可以理解成如果平均分给10个班，则少1 个；如果平均分给12个班，则余下11个；也可以理解成如果平均分给12个班，则少1个；如果平均分给15个班，则余下14个，也可以理解成如果平均分给15个班，则少1个．所以皮球的个数加上1能同时被10、12、15整除，用短除法求出10、12、15的最小公倍数为60，所以皮球的个数为60-1=59个．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个实际问题了．【例31】甲每隔3天去少年宫一次，乙每隔5天去一次，丙每隔7天去一次，如果6月1号，甲乙丙同时去了少年宫，则下次同时去少年宫的日期是哪一天？【难度】★★★【答案】6月25日．【解析】求4,6,8的最小公倍数来解决.【总结】本题主要考查利用最小公倍数解决实际问题．随堂检测【习题1】在1~100这100个整数中，有25个素数，则合数有______个．【难度】★【答案】74．【解析】1到100这100个整数中，分为三类，1，素数，合数．所以合数的个数为10012574−−=个．【总结】考查素数、合数的定义，注意1的特殊性．【习题2】下列选项中分解素因数正确的是（）A．17117=⨯⨯⨯=⨯B．1802259C．336=22347=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯D．362233【难度】★【答案】D【解析】考查分解素因数的定义：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式．A答案中1不是素数；B答案中9不是素数；C答案中4不是素数．【总结】分解素因数一定要分解彻底，即分解到每个数都是素因数为止．【习题3】已知a和b都是小于10的合数，两位数ab是一个素数，这样的两位数是______．【难度】★★【答案】89．【解析】小于10的合数为4、6、8、9．则四个数构成的两位数为素数的有89．【总结】20以内的素数要求必须熟记．【习题4】在小于10的正整数中，两个互素的合数有____________．【难度】★★【答案】4和9、8和9．【解析】小于10的正整数中，合数有4、6、8、9，其中互素的有4和9、8和9．【总结】20以内的素数要求必须熟记．【习题5】三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，则n = ______．【难度】★★【答案】7．【解析】因为三个数38、66、94分别除以自然数n，所得的余数都是3，所以35、63、91 能够被n整除，则n为35、63、91的最大公因数，所以n为7．【总结】此类问题可以转化为同余问题来解决．将余数转化成一样的，则可以利用公倍数来解决这个问题了．【习题6】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，求三数的最小公倍数及最大公因数．【难度】★★【答案】180，6．【解析】已知甲数比乙数大6，比丙数小72，三数之和是120，则甲、乙、丙分别为18，12，90，则由短除法可知：最大公因数为6，最小公倍数为180．【总结】考查求最小公倍数和最大公因数的求法．【习题7】如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，那么共有______个小朋友．【难度】★★【答案】7．【解析】因为如果16个梨和19个苹果平均分给若干个小朋友，则多2个梨，缺2个苹果，所以14个梨和21个苹果刚好平均分，14和21的最大公因数为7，则共有7个小朋友．【总结】将生活实际问题转化为求最大公因数问题来解决．【习题8】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，用它去除283和23，所得余数也相同，求这个两位数．【难度】★★★【答案】13．【解析】一个两位数，用它去除391和40，所得余数相同，则这个两位数能够整除391和此余数，也能整除40和此余数，则这个两位数一定能够整除（391+此余数）-（40+此余数）=351，同理可得：这个两位数一定能被283-23=260整除．因为391-40=351=13×27，283-23=260=13×20，所以这个数是13．【总结】拓展提高题目，需要对整除定义非常熟练，对学生要求比较高．【习题9】共青森林公园有一条小路，在小路两旁每隔3米种一棵树（路的两端都有树），一共种了66棵，现在要改成每隔4米一棵，问几棵小树不要移动？新挖树坑多少个？【难度】★★★【答案】17；49．【解析】3和4的最小公倍数为12，则每隔12米的倍数的位置上的树不用移动．因为每隔3米种了66棵树，则小路长（66-1）×3=195米．因为195÷12=16．．．．．．3，所以16+1=17棵树不要移动．新挖树坑66-17=49个．【总结】将实际问题转化为最小公倍数问题来解决．注意小路端点的树不要重复计算．【习题10】甲、乙、丙三个数，甲与乙的最大公因数是12，甲与丙的最大公因数是15，而三个数的最小公倍数是120，求甲、乙、丙三个数．【难度】★★★【答案】60、24、15．【解析】因为12=2×2×3，15=3×5，而最小公倍数为120=2×2×2×3×5，所以丙是3×5=15，则甲为3×5×2×2=60，乙为2×2×2×3=24，所以甲为60，乙为24，丙为15．【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解结果．课后作业【作业1】2431是三个素数的乘积，这三个素数是____________．【难度】★【答案】11、13、17．【解析】17⨯=．11132431⨯【总结】从最小的素数开始除，利用能被2、3、5整除的数的特点来判断能不能整除．【作业2】108的素因数有____________________．【难度】★【答案】2、2、3、3、3．【解析】3⨯=．⨯⨯3108⨯322【总结】本题一方面考查分解素因数，另一方面考查素因数的概念，注意与因数的区别．【作业3】两个素数的和是99，则这两个素数的乘积是______．【难度】★★【答案】194．【解析】99=2+97．【总结】除了2之外的素数都是奇数，则和定为偶数，所以两素数之和如果为奇数的话，则其中必定有2．【作业4】以下说法正确的有（）个（1）任何一个奇数都是素数；（2）除2以外的偶数都是合数；（3）两个素数的积一定是合数；（4）任何一个素数加上1都是偶数；（5）两个连续的偶数一定互素；（6）两个连续正整数一定互素．A．1 B．2 C．3 D．4【难度】★★【答案】C【解析】（1）错，1既不是素数也不是合数；（2）正确；（3）正确；（4）错，2加上1就是奇数；（5）错，两个连续的偶数一定有公因数2；（6）正确．【总结】本题主要考查素数、合数以及偶数等基本概念．【作业5】 两个数的最小公倍数是180，最大公因数是3，这样的两个数为____________．【难度】★★【答案】3和180；9和60；15和36；45和24．【解析】因为18022335=⨯⨯⨯⨯，所以满足题目中条件的两个数为：①3和180；②3×3=9， 3×5×2×2=60；③3×5=15，3×3×2×2=36；④3×3×5=45，3×2×2=24．【总结】利用短除法求最大公因数和最小公倍数的规律，分析题目中数字的规律，进而求解 结果．【作业6】 24的所有因数中，互素的数共有______对．【难度】★★【答案】10对．【解析】24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；其中1与其他的7个数字都互素，共有7对；2与3互素，共1对；3与4、8互素，共2对；4、6、8、12、24两两均不互素， 则共有10对．【总结】本题一方面考查因数的概念，另一方面考查互素的概念．【作业7】 已知M a b c =（a 、b 、c 都是素数），那么M 的因数中是合数的有_________．【难度】★★【答案】b a ⋅，c b ⋅，a c ⋅，c b a ⋅⋅．【解析】M 的因数有1，a ，b ，c ，b a ⋅，c b ⋅，c b a ⋅⋅，其中为合数的是b a ⋅，c b ⋅， a c ⋅，c b a ⋅⋅．【总结】主要考查素数、合数的定义．【作业8】 把一块长7.2cm ，宽6cm ，厚0.36dm 的木料锯成尽可能大，且大小、性质完全相同的正方体木块，锯后不能有剩余，至少能锯成多少块？【难度】★★★【答案】90块．【解析】7.2cm=72毫米，6cm=60毫米，0.36dm=36毫米．∵72，60，36的最大公因数为12，∴正方体木块的边长为12毫米．∵72÷12=6，60÷12=5，36÷12=3，∴至少能锯6×5×3=90块．【总结】给出的数据为小数，则可以利用单位之间的换算变成正整数，进而题目就转化为求 最大公因数问题．【作业9】一次会餐提供三种饮料，餐后统计，三种饮料共用78瓶，平均每2人饮用1瓶A饮料，每3人饮用1瓶B饮料，每4人饮用1瓶C饮料，问参加会餐的人数是多少人？【难度】★★★【答案】72人．【解析】2、3、4的最小公倍数为12，可安排12人一桌，那么一桌共需要饮料：12÷2+12÷3+12÷4=13瓶，一共有78÷13=6桌，一共有6×12=72人．【总结】将此问题转化为公倍数来解决．【作业10】已知两个正整数的差是16，它们的最大公因数和最小公倍数之和是88，求：这两个正整数．【难度】★★★【答案】28和12．【解析】这两个正整数的最大公因数能整除最小公倍数，则它们的最大公因数能整除它们的最大公因数和最小公倍数之和．88=1×2×2×2×11．当最大公因数为1，则最小公倍数为87=3×29，显然，29-3=26不等于16，不合题意；当最大公因数为2，则最小公倍数为86=2×43，86-2=84不等于16，不合题意；当最大公因数为4，则最小公倍数为84=4×3×7，84-4=80不等于16，28-12=16等于16，符合题意；当最大公因数为8，则最小公倍数为80=8×2×5,40-26=14不等于16，不合题意；当最大公因数为11，则最小公倍数为77=11×7，77-11=66不等于16，不合题意；当最大公因数为22，则最小公倍数为66=22×3，66-22=44不等于16，不合题意；当最大公因数为44，则最小公倍数为44，44-44=0不等于16，不合题意．综上所述，这两个正整数为28和12．【总结】本题综合性较强，主要考查对最大公因数和最小公倍数的理解，注意对解题方法的理解和运用．。
六年级数学上册1.4素数、合数与分解素因数(第1课时)课
巩固练习
1.填空题 (1)素数有___2___个因数，合数至少有__3____
个因数.
(2)在正整数中，最小的奇数是__1____，最小 的偶数是___2___，最小的素数是__2____，最 小的合数是___4___. (3) 在正整数中，___1___既不是素数也不是
巩固练习
4.把下列各数填入适当的圈内.
11,21,31,41,51,61,71,81,91.
素数
合数
11、31、41、 61、71.
21、51、 81、91.
课堂小结
1 1既不是素数，也不是合数.
正整数
素数
பைடு நூலகம்
100以内素数表
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97
B组： 1．把下列各数填入适当的圈内． 1，2，3，4，5，7，9，11，15，21，27， 29，39，41，16，51，87
奇数
偶数
1，3，5，7，9，11， 15，21，27，29，39， 41，51，87
2，4，46
素数
合数
2，3，5，7，11，29， 41
4，9，15，21，27， 39，46，51，87
概念应用
2是唯一的偶素数.
例2 制作100以内的素数表.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
六年级-市北资优生培养教材-数学练习册第一章 因数与倍数(无解析)
第一章数的整除1.3素数、合数与分解素因数练习1.3（1）1.如果有两个素数之和等于24，可以是_______+_________，___________+__________或________+________．2.在50以内的自然数中，最大的素数是________，最小的合数是_________．3.既是素数又是奇数的最小的一位数是__________．4.在20以内的素数中__________加上2还是素数．5.判断.(1)两个素数相乘的积还是素数.（）(2)任何一个自然数，它的最大因数和最小倍数都是它本身.（）(3)一个合数至少得有三个因数.（）(4)在自然数中，除2以外，所有的偶数都是合数.（）(5)12是36与48的最大公因数.（）6.有四个数，一个是最小的奇素数，一个是最小的偶素数，一个是小于30的最大素数，另一个是大于70的最小素数，求它们的和.7.一个两位素数，将它的十位数字与个位数字对调后仍是一个两位素数，我们称它为“无暇素数”，求所有“无暇素数”之和.练习1.3（2）1.把330分解素因数是__________________________________．2.把66分解素因数是（）A .66=1×2×3×11B .66=6×11C .66=2×3×11D .2×3×11=663.初中年级某学生参加计算机操作技能比赛，他获得的名次、他的年龄、他的得分三者的乘积是2910.已知共有八十多人参加这次比赛，试问这个学生是第几名？成绩是多少？（计算机操作技能比赛满分为100分）4.六位数5367F E 是1375的倍数，这个六位数是______________．5.一位长2002毫米，宽847毫米的长方形纸片上，剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形，按照上面的过程，不断地重复，求最后剪得的正方形的边长是多少毫米？。
市北资优六年级分册 第01章 1.4 公因数与最大公因数+林经武
1.4 公因数与最大公因数思考植树节这天，老师带领24名女生和32名男生到植物园种树．老师把这些学生分成人数相等的若干个小组，每个小组中男生人数相等，请问，这56名同学最多能分成几组？分析分成的组数能整除24和32也就是24和32的因数．24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24；32的因数有：1，2，4，8，16，32；24和32公有的因数有：1，2，4，8；其中最大的一个公有的因数为8．因此老师最多可以把这些学生分成8组．每组中分别有3名女生和4名男生．几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数；其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数．如果a1，a2，…，a n和d都是正整数，且d|a1，d|a2，…，d|a n，那么d叫做a1，a2，…，a n的公因数．公因数中最大的叫做a1，a2，…，a n的最大公因数，记作（a1，a2，…，a n）．如对于4、8、12这一组数，显然1、2、4都是它们的公因数，但4是这些公因数中最大的，所以4是它们的最大公因数，记作(4，8，12)＝4．最大公因数等于公因数的最低次幂的积．例1求8，9和30的最大公因数．解：8的因数有：1，2，4，8；9的因数有：1，3，9；30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30．因此，8，9和30的最大公因数是1．如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．例1中的8和9就是互素．例2求18和30的最大公因数．解：把18和30分别分解素因数．18＝2×3×3，30＝2×3×5．可以看出：18和30全部公有的素因数是2和3，因此2和3的乘积6就是18和30的最大公因数．归纳：求几个整数的最大公因数，只要把它们的所有共有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．利用短除法也可以求最大公因数．例3三角形三边的长a、b、c都是整数，且[a，b，c]＝60，(a，b)＝4，(b，c)＝3（注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，(a，b)表示a、b的最大公约数），求a＋b＋c的最小值．分析：求出a、b、c可能的取值是解决这道题的关键，因为b只可能取12或24，又因为要求的是a＋b ＋c的最小值，所以，可以确定b＝12，而且在满足任意两数之和大于第三个数的条件下，a和c的值越小越好，先定a＝4，c＝15，符合题意，从而可以求得答案．解：因为(a，b)＝4，(b，c)＝3，则b最小为4×3＝12，a最小为4，又[a，b，c]＝60，则c最小为3×5＝15，a＋b＋c的最小值为31．练习1.41．2520的因数有多少个？2．求24，44，60的最大公因数．3．分数1111115015是不是最简分数？4．一块长方形木料，长72 cm，宽60 cm，高36 cm，请你把它锯成同样大的正方形木块，且木块的体积要最大，木料又不能剩．算一算可以锯成几块？5．有一级茶叶165克，二级茶叶198克，三级茶叶242克，三者价值相等，现将这三种茶叶分别装袋（均为整克数），每袋价值相等，价格最低，怎样分装？练习1.4练习答案1．48个．提示：2520＝23×32×5×7，因数有(3＋1)×(2＋1)×(1＋1)×(1＋1)＝48（个）．2．4．3．是．4．90块．提示：(72，60，36)＝12，因此正方体的长、宽、高均为12 cm，共90块．5．各装11袋，一级每袋15克，二级每袋18克，三级每袋22克．1.4《公因数与最大公因数》练习1．填空．12的因数是；18的因数是；12和18的公因数是；12和18的最大公因数是．2．填空．（1）3、4和5的最大公因数是；（2）18、24和36的最大公因数是；（3）6、7和12的最大公因数是；（4）8、9和15的最大公因数是．3．成为互素数的两个数，都是素数．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）4．如果a＝2×2×5，b＝2×3×5，那么a和b的最大公因数是（）．A．2 B．5 C．10 D．65．求出12、18和24的最大公因数．6．写出小于20的三个自然数，使它们的最大公因数是1，但其中任意两个数不互素．7．有铅笔433支、橡皮260块，平均分配给若干学生．学生人数在30～50之间，最后剩余铅笔13支、橡皮8块，问学生究竟有多少人？1.4《公因数与最大公因数》练习答案1．1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18；1，2，3，6；6．2．（1）1；（2）6；（3）1；（4）1．3．不一定．4．C．5．6．6．6，10，15等（答案不唯一）．7．42人．提示：433－13＝420（支），260－8＝252（块），420与252的公因数中符合条件的是42，因此共有42个学生．。
六年级数学上册素数、合数与分解素因数 PPT精品课件沪教版
第一部分 素数和合数
知识回顾
(1)因数与倍数的概念：
(2)写出下列各数的因数 1 8 13 16 25 29 36 54
试一试
填表: 整 数 1 1 8 4 13 2 16 5 25 3 29 2 36 9 54 8
因数个 数
问题:上题各整数有几个因数？因数个数确定吗？
记一记
P12 2 19 47 79 1—100以内素数表 3 23 53 83 5 29 59 89 7 31 61 97 11 37 67 13 41 71 17 43 73
说一说
（1）最小的素数是哪个？ ——〉2
（2）素数中有几个是偶数？ ——〉2 （3）最小的奇数素数是哪个？ ——〉3 （4）最小的合数是哪个？
说一说:
1既不是素数也不是合数。 正整数又可以分为1、素数和合数三类。 1
素数
合数
正整数
练一练
例1 判断27，29，35，37是素数还是合数。
方法一 （分析：通过检查每个数的因数个数）
解：27的因数有1，3，9，27； 29的因数有1，29； 35的因数有1，5，7，35 37的因数有1，37。 所以27，35是合数，29，37是素数。
练一练
例1 判断27，29，35，37是素数还是合数。
方法二 （分析：利用整除的特征来判断） 解：27能被3整除，所以除1和本身以外，还有 因数3，所以27为合数；同理，35能被5整除， 所以35为合数。
方法三 （分析:查素数表P12,由于正整数可分 为1、素数、合数，所以除了素数和1以外，其 他都是合数）
——〉4
——〉9
（5）最小的奇数合数是哪个?
练一练
1．课本P12练习 2．写出4个既是奇数又是合数的的数。 解:9,15,21,25(还有其他,不一一列举)
六年级市北练习题-数的整除
1.1整数和整除1.在15,17,18,20和30五个数中，能被2整除的数是______________________;能被3整除的数是____________________；能被5整除的数是____________________；能同时被2,3整除的数是___________ ；能同时被3,5整除的数是______________ ；能同时被2,5整除的数是__________ ；能同时被2,3,5整除的数是______________.2.在□处填入适当的数字，使四位数13□6能被3整除，□处可有多少种不同的填法？3.写出用2,3,4,5四个数字组成的能被11整除的所有的四位数.4.一个六位数的各位数字各不相同，最左边的一个数字是3，且此六位数能被11整除，这样的六位数中最小的数是多少？5.一个能同时被2,3,5整除的三位数，它的百位上的数比十位上的数大9，这个数是多少？6.有0,1,4,7.9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，那么第五个数的末位数字是多少？7.在235后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，并且要求这个数值尽可能小，这个六位数是多少？8.任取一个四位数乘6453，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，用C表示B的各位数字之和，那么C是多少？1.2奇数与偶数1.30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2.若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数.3.有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4.有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯口全部向下？为什么？5.博物馆有并列的5间展室。
市北资优六年级分册 第01章 1.6 整数的应用举例(1)(2)
1.6整数的应用举例（1）例1：一个四位数与它的四个数字之和恰好等于2091，求这个四位数。
解：设这个四位数为abcd，依题意得，1000a+100b+10c+d+a+b+c+d=2091，即1001a+101b+11c+2d=2091.显然a=2，得101b+11c+2d=89.当b=1时，101b+11c+2d≥101>89，所以b=0.则11c+2d=89-0=89.由于0≤2d≤18，则89-18=71，71≤11c≤89，故c=7或c=8.当c=7时，11c+2d=77+2d=89.有d=6；1（舍去）。
当c=8时，11c+2d=88+2d=89，有d=2故这个四位数是2076.例2:如果一个正整数等于它的各位数字之和的4倍，那么，我们把这样的正整数叫做四合数，求所有四合数的和.解:一位数四合数满足a=4a，解得a=0，所以一位数的四合数不存在。
两位数四合数满足ab=4（a+b），即10a+b=4（a+b），亦即2a=b，因此两位数的四合数有12，24，36，48，它们的和为12+24+36+48=120.三位数的四合数满足abc=4（a+b+c），即100a+10b+c=4（a+b+c），亦即96a+6b=3c.因为a≥1，b≥0，c≤9，所以此方程无解。
因此三位数的四合数不存在.同样的分析可知三位数以上的四合数也不存在.综上所述，所有四合数的和等于120.例3用0，1，2，…，9这十个数字组成能被11整除的最大的十位数是多少？解：因为0+1+2+…+9=45.这个最大十位数若能被11整除，其奇数位上数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）为0或11的倍数，由于这十个数字之和是45（奇数），所以这个差不可能是0、22、44（偶数）.若这个差为33，则只能是39-6，但0+1+2+3+4=10，即最小的五个数字之和都超过6，不可能，若这个差为11，（45+11）÷2=28，45-28=17.如果偶数位为9，7，5，3，1，其和为25；奇数位为8，6，4，2，0，其和为20.交换偶数位上的1与奇数位上的4，可得偶数位上的数为9，7，5，4，3，奇数位上的数为8，6，2，1，0.于是所求的最大十位数为9876524130.练习1.6（1）1.一个四位数与它的四个数字之和恰好等于2001，求这个四位数。
小学六年级 素数合数及分解素因数复习
素数、合数及分解素因数【知识点1】素数和合数一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做素数，也叫质数．一个数，如果除了１和它本身以外还有别的因数，这样的数叫合数．素因数是指：每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数。
分解素因数：把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数【考点分析】对于素数与合数的考查主要放在概念的理解上，主要以填空、选择的形式出现，一种是文字描述的形式出现，另一种是给定某数让你判别它是素数还是合数；而对于素因数考查的一般是判别给定的数是否为某数的素因数（或者说求某数的素因数），还有一种考法是对给定的数进行素因数的分解。
【典型例题】1、填空：在正整数中，既不是素数也不是合数的数是_____，既是素数又是偶数的数是______ 分析：这类题目的解答中要记住特殊情况，针对上面的题目，我们得记住1既不是素数，也不是合数。
而2是唯一一个属于素数的偶数，且2是最小的素数。
2、39、47、57、83中为素数的有（）（A） 39，47 (B) 47，57 （C）57，83 （D）47，83分析：对于这类题目我们可以根据数的特征来进行判断。
3、下列说法中正确的是（）（A）自然数包括素数和合数两类 (B）不存在最小的素数（C）1既不是素数，也不是合数（D）2是最小的合数分析：记住1这个特殊情况。
4、两个素数相乘的积一定是（）（A）奇数（B）偶数（C）素数（D）合数分析：用排除法，其中对于D选项，如果有两个素数相乘所得来的数，除了含有这两个素数作它的因数外，至少还有1。
所以得数肯定不能为素数。
5、根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中，（1）是奇数又是素数的数是（）；（2）是奇数不是素数的数是（）；（3）是素数而不是奇数的数是（）；（4）是合数而不是偶数的数是（）；（5）是合数而不是奇数的数是（ ）．6 、在14＝2×7中，2和7都是14的（ ）。
质数,合数与分解质因数
质数、合数与分解质因数一、教学建议【抛砖引玉】通过本段内容的教学使学生理解和掌握质数、合数、质因数和分解因数的概念，并能运用概念进行判断，会把自然数按约数个数分类，能正确地把一个合数分解质因数。
培养学生观察、比较、抽象概括能力。
(一)教学质数与合数教学质数与合数要注意抓住以下四点1.从把自然数按约数“个数”这个标准进行分类入手，引出质数和合数的概念。
要注意给学生提供全面、充实、恰当的感性材料，使学生通过观察、比较、抽象、概括得到清晰、准确的质数与合数概念。
例如：先说出下面各数的约数，再观察比较：哪些数的约数最少？哪些数的约数有两个约数？哪些数有两个以上的约数？1、2、3、4、5、6、7、8…19、20只有1个约数的自然数有1有两个约数（1和它本身）自然数有2、3、5、7、11、13、17、19有两个以上约数的自然数有4、6、8、9、12、14、15、16、18、20通过只有两个约数的自然数观察比较概括出质数的概念。
即一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫质数。
通过只有两上以上约数的自然数观察、比较、抽象概括出合数概念。
即一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。
2.要明确“1”为什么既不是质数？也不是合数？“1”不是合数，按合数定义去解释学生很快就能接受。
“1”不是质数，按质数定义去解释有些学生想不通。
原因是受“一个自然数的约数个数是有限的，其中最小的约数是1，最大的约数是它本身”这句话的影响，认为1有两个约数其中最小的约数是1，最大的约数还是1，所以“1”有两个相同的约数。
学生这样理解是有一定道理的。
这时老师要指出，如果一个自然数出现两个相同约数时，规定为1个约数。
如：4、25、49等都存在这两个相同的约数，因此我们说这些数分别有3个约数，而不说它们分别有4个约数。
因为1只有一个约数，因此1既不是质数，也不是合数。
3.自然数的分类(1)按自然数约数的“个数”这个标准分类，则自然数可分为三类。
六年级数学上册素数、合数与分解素因数 PPT精品课件沪教版
归纳小结:有些整数只有一个因数，有些有2个 因数，即1和本身，有些有3个、4个……
记一记
素数和合数的概念：
P11
•一个正整数，如果只含有1和它本身两个因数， 这样的整数叫做素数，也叫做质数； •如果除了1和它本身以外还有别的因数，这样 的数叫做合数。
说一说:
（1）1是素数还是合数？2是素数还是合数？ （2）除1外你能举出一个既不是素数也不是合 数的整数吗？ （3）是否存在这样的正整数，既是素数，又是 合数？ （4）一个素数有几个因数？是哪几个？一个合 数有几个因数？ （5）按素数、合数对 19 47 79 1—100以内素数表 3 23 53 83 5 29 59 89 7 31 61 97 11 37 67 13 41 71 17 43 73
说一说
（1）最小的素数是哪个？ ——〉2
（2）素数中有几个是偶数？ ——〉2 （3）最小的奇数素数是哪个？ ——〉3 （4）最小的合数是哪个？
1.4素数、合数与分解素因数
第一部分 素数和合数
知识回顾
(1)因数与倍数的概念：
(2)写出下列各数的因数 1 8 13 16 25 29 36 54
试一试
填表: 整 数 1 1 8 4 13 2 16 5 25 3 29 2 36 9 54 8
因数个 数
问题:上题各整数有几个因数？因数个数确定吗？
说一说:
n1既不是素数也不是合数。 n正整数又可以分为1、素数和合数三类。 1
素数
合数
正整数
练一练
例1 判断27，29，35，37是素数还是合数。
方法一 （分析：通过检查每个数的因数个数）
解：27的因数有1，3，9，27； 29的因数有1，29； 35的因数有1，5，7，35 37的因数有1，37。 所以27，35是合数，29，37是素数。
2017年秋六年级数学上册 1.4 素数、合数与分解素因数(第1课时)教案 沪教版五四制
四、课堂反馈：课本练习
五、课堂小结：师生共同完成。
作业：练习册
3、知识呈现：概念：我们把只含有因数和本身的整数叫做素数或质数，如果除了和它本身还
有别的因数，这样的数叫做合数
4、课堂小结：概念：我们把只含有因数和本身的整数叫做素数或质数，如果除了和它本身还
有别的因数，这样的数叫做合数。
1、每位同学写两个整数，并写出它们的因数。
2、提问：你写出的整数有几个因数？（教师在黑板上列，有些整数只有一个因数，有些有个因数，即和本身，有些有个、个……
二、素数、合数概念的形成
1、概念：我们把只含有因数和本身的整数叫做素数或质数，如果除了和它本身还
有别的因数，这样的数叫做合数。
2、你能写出几个素数？几个合数？
三、对概念的认识
探讨一：
）是素数还是合数？是素数还是合数？
2）除外你能举出一个既不是素数也不是合数的整数吗？
3）是否存在这样的正整数，既是素数，又是合数？
4）按素数、合数对正整数分类，可分为几类？
探讨二：
1）合数与偶数、素数与奇数相同吗？若不同，你能讲出区别吗？（举例说明）
素数、合数与分解素因数
课题
（）素数、合数与分解素因数（第一课时）
设计
依据
（注：只在开始新章节教学课必填）
教材章节分析：素数、合数与分解素因数是整数部分学生学习的难点，因为前面学过奇数、偶数，现在又学习素数、合数，学生很容易混淆，因此在本节内容的教学设计中，注重学生的感悟，注重对一些概念的辨析、比较，体现以学生的主动学习为主的理念。
课型
新授课
教
学
目
标
、理解素数、合数、素因数、分解素因数的概念，掌握分解素因数的几种方法，熟练掌握用短除法分解素因数。
市北资优六年级分册 第01章 1.2 奇数与偶数+李业法
1.2 奇数与偶数我们已经碰到各种各样的数，如小数、整数等，其中在整数范围内，能被2整除的整数是偶数，如2，10，－4等；不能被2整除的整数是奇数，如－3，1，3等．同时，如果n是整数，那么2n是偶数，2 n－1或2 n＋1是奇数．如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n－1是正奇数．想一想0是奇数还是偶数？我们知道：奇数、偶数是整数的一种分类．在整数范围内是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数又不是奇数，那么它就不是整数．奇数偶数的运算性质:奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数;两个连续整数的和是奇数，积是偶数．推广结论:奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．若干个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．如果若干个整数的乘积是奇数，那么其中每一个整数都是奇数；如果若干个整数的乘积是偶数，那么其中至少有一个整数是偶数．如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数一定是一奇一偶．两个整数的和与差的奇偶性相同．【例1】1，2，…，2008中每个数前面任意添加“+”、“一”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每一个数前的“－”号逐一改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此所求算式结果为偶数．【例2】将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)（a2—2）…(a99－99)一定是偶数．证明：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99，中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有一个奇数，设其中a k是奇数，则a k－k是两个奇数的差，因而是偶数，所以(a1－1)(a2－2)…(a k－k) …(a99－99)是偶数．练习1.21．5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是几？2．用15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3．一次舞会有7名男士与7名女士参加，一名男士与一名女士在一起跳为跳一次舞，会后统计出有8人各跳了6次，有5人各跳了3次，问余下的一人跳了几次？4. 13个不同的自然数之和等于100，其中偶数最多有几个？偶数最少有几个？练习1.2答案：1．60、62、64、66、68．提示：将320除以5可得中间偶数为64．2．7个．提示：16与18和另外一个数乘积均为偶数，共8个，还要减去16与18的积有一个重复，因此共7个，3．3次．4．9个；5个．提示：13个不同的自然数，它们的和是100，其中奇数的个数一定是偶数，偶数的个数一定是奇数，如果有11个或11个以上偶数，它们的和至少是(0+2+4+…+20)+ (1+3)=114>100，不符合要求，另一方面，(0+2+4+…+16)+(1+3+5+19)=100，所以，偶数最多有9个．如果有10个或10个以上奇数，它们的和至少是(1+3+5+…+19)+(0+2+4)=106>100，不符合要求．另一方面，(1+3+5+…+15)+(2+4+6+8+16)=100，所以，偶数最少有5个．1.2奇数与偶数练习1.21. 30个连续自然数的乘积是奇数还是偶数？2．若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最大的一个数．3．有一只小渡船往返于一条小河的左右两岸之间，问：若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么这只小船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况又是怎样呢？4．有九只杯口向上的杯子放在桌子上，每次将其中四只杯子同时“翻转”，使其杯口向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯子的杯口全部向下？为什么？5．博物馆有并列的5间展室．警卫从第一间展室开始，走到第二间，再走到第三间……走到第五间后往回走，走到第四间，再走到第三间……他每进一间展室拨动一次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他走过100间展室后，还有几间亮着灯？6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个l ×2的长方形纸片？答案：1．偶数2．290．提示：中间一个数等于1988÷7=284，最大的一个数就是290．3．偶数；奇数．提示：小船最初在左岸，过一次河就到了右岸，再过一次河就由右岸回到左岸．即每次由左岸出发到右岸后在回到左岸，都过了两次河，因此，小船由左岸开始往返多次后又回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若小船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．4．不能．提示：每次“翻转”总是偶数只杯子的杯口方向发生变化，因此无论经过多少次“翻转”，杯口向下的杯子数总是偶数．而总共有9只杯子，是奇数，因此，不能使九只杯子的杯口全部向下．5．1间．提示:每个电灯开关要拉动偶数次才能使点灯亮着．警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，又从第1展室开始重复这个过程，第2、3、4展室的开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次．100=8×12+4，因此当走到100间展室时，警卫经过12个来回后，又从第1间开始走到第4间，此时前四间的电灯都已经关闭，仅剩第5间的电灯还亮着．6．不能．提示：如图，我们在方格内依次相间的填上“奇”、“偶”两字，这时这时就会发现，要从上面剪下一个1×2的长方形纸片，不论怎样剪，都会包含一个“奇”，一个“偶”，而“奇”有30个，“偶”字有32个，所以这张纸不能剪成若干个l×2的长方形纸片．。
市北资优六年级分册第01章1.2奇数与偶数+李业法
市北资优六年级分册第01章1.2奇数与偶数+李业法1.2 奇数与偶数我们已经碰到各种各样的数，如⼩数、整数等，其中在整数范围内，能被2整除的整数是偶数，如2，10，－4等；不能被2整除的整数是奇数，如－3，1，3等．同时，如果n是整数，那么2n是偶数，2 n－1或2 n＋1是奇数．如果n是正整数，那么2n是正偶数，2n－1是正奇数．想⼀想0是奇数还是偶数？我们知道：奇数、偶数是整数的⼀种分类．在整数范围内是偶数就不是奇数，不是偶数就是奇数，如果既不是偶数⼜不是奇数，那么它就不是整数．奇数偶数的运算性质:奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数，偶数×偶数=偶数，奇数的正整数次幂是奇数，偶数的正整数次幂是偶数;两个连续整数的和是奇数，积是偶数．推⼴结论:奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数；任意有限个偶数之和为偶数．若⼲个奇数的乘积是奇数，偶数与整数的乘积是偶数．如果若⼲个整数的乘积是奇数，那么其中每⼀个整数都是奇数；如果若⼲个整数的乘积是偶数，那么其中⾄少有⼀个整数是偶数．如果两个整数的和（或差）是偶数，那么这两个整数的奇偶性相同；如果两个整数的和（或差）是奇数，那么这两个整数⼀定是⼀奇⼀偶．两个整数的和与差的奇偶性相同．【例1】1，2，…，2008中每个数前⾯任意添加“+”、“⼀”号，最终的运算结果是奇数还是偶数？请说明理由解：因为a－b与a＋b的奇偶性相同，所以将算式中每⼀个数前的“－”号逐⼀改成“＋”号，其结果的奇偶性不变，故所求的结果与1＋2＋…＋2008＝1004×2009的奇偶性相同，因此所求算式结果为偶数．【例2】将1，2，…，99重新排列成a1，a2，…，a99，求证：乘积(a1－1)（a2—2）…(a99－99)⼀定是偶数．证明：1，2，…，99中有50个奇数，49个偶数，a1，a2，…，a99，中也有50个奇数，49个偶数，所以a1，a3，a5，…，a99这50个数中必有⼀个奇数，设其中a k是奇数，则a k－k是两个奇数的差，因⽽是偶数，所以(a1－1)(a2－2)…(a k－k) …(a99－99)是偶数．练习1.21．5个连续偶数的和是320，这五个连续偶数分别是⼏？2．⽤15、16、17、18、19这五个数两两相乘，可以得到10个不同的乘积，问乘积中有多少个偶数？3．⼀次舞会有7名男⼠与7名⼥⼠参加，⼀名男⼠与⼀名⼥⼠在⼀起跳为跳⼀次舞，会后统计出有8⼈各跳了6次，有5⼈各跳了3次，问余下的⼀⼈跳了⼏次？4. 13个不同的⾃然数之和等于100，其中偶数最多有⼏个？偶数最少有⼏个？练习1.2答案：1．60、62、64、66、68．提⽰：将320除以5可得中间偶数为64．2．7个．提⽰：16与18和另外⼀个数乘积均为偶数，共8个，还要减去16与18的积有⼀个重复，因此共7个，3．3次．4．9个；5个．提⽰：13个不同的⾃然数，它们的和是100，其中奇数的个数⼀定是偶数，偶数的个数⼀定是奇数，如果有11个或11个以上偶数，它们的和⾄少是(0+2+4+…+20)+ (1+3)=114>100，不符合要求，另⼀⽅⾯，(0+2+4+…+16)+(1+3+5+19)=100，所以，偶数最多有9个．如果有10个或10个以上奇数，它们的和⾄少是(1+3+5+…+19)+(0+2+4)=106>100，不符合要求．另⼀⽅⾯，(1+3+5+…+15)+(2+4+6+8+16)=100，所以，偶数最少有5个．1.2奇数与偶数练习1.21. 30个连续⾃然数的乘积是奇数还是偶数？2．若7个连续偶数之和为1988，求此7个数中最⼤的⼀个数．3．有⼀只⼩渡船往返于⼀条⼩河的左右两岸之间，问：若最初⼩船是在左岸，往返若⼲次后，它⼜回到左岸，那么这只⼩船过河的次数是奇数还是偶数？如果它最后到了右岸，情况⼜是怎样呢？4．有九只杯⼝向上的杯⼦放在桌⼦上，每次将其中四只杯⼦同时“翻转”，使其杯⼝向下，问能不能经过这样有限多次的“翻转”后，使九只杯⼦的杯⼝全部向下？为什么？5．博物馆有并列的5间展室．警卫从第⼀间展室开始，⾛到第⼆间，再⾛到第三间……⾛到第五间后往回⾛，⾛到第四间，再⾛到第三间……他每进⼀间展室拨动⼀次这间展室的电灯开关，如果开始时五间展室都亮着灯，那么他⾛过100间展室后，还有⼏间亮着灯？6．如图是⼀张8×8的正⽅形纸⽚，将它的左上⾓⼀格和右下⾓⼀格去掉，剩下的部分能否剪成若⼲个l ×2的长⽅形纸⽚？答案：1．偶数2．290．提⽰：中间⼀个数等于1988÷7=284，最⼤的⼀个数就是290．3．偶数；奇数．提⽰：⼩船最初在左岸，过⼀次河就到了右岸，再过⼀次河就由右岸回到左岸．即每次由左岸出发到右岸后在回到左岸，都过了两次河，因此，⼩船由左岸开始往返多次后⼜回到左岸，则过河的次数必为2的倍数，所以是偶数．同样的道理，不难得出，若⼩船最后停在右岸，则过河的次数必为奇数．4．不能．提⽰：每次“翻转”总是偶数只杯⼦的杯⼝⽅向发⽣变化，因此⽆论经过多少次“翻转”，杯⼝向下的杯⼦数总是偶数．⽽总共有9只杯⼦，是奇数，因此，不能使九只杯⼦的杯⼝全部向下．5．1间．提⽰:每个电灯开关要拉动偶数次才能使点灯亮着．警卫经过第1、2、3、4、5、4、3、2展室，⼜从第1展室开始重复这个过程，第2、3、4展室的开关被拉动2次，第1、5展室的开关被拉动1次．100=8×12+4，因此当⾛到100间展室时，警卫经过12个来回后，⼜从第1间开始⾛到第4间，此时前四间的电灯都已经关闭，仅剩第5间的电灯还亮着．6．不能．提⽰：如图，我们在⽅格内依次相间的填上“奇”、“偶”两字，这时这时就会发现，要从上⾯剪下⼀个1×2的长⽅形纸⽚，不论怎样剪，都会包含⼀个“奇”，⼀个“偶”，⽽“奇”有30个，“偶”字有32个，所以这张纸不能剪成若⼲个l×2的长⽅形纸⽚．。
六年级同步第2讲分解素因数-教师版
分解素因数是六年级数学上学期第一章第二节内容，主要包含素数、合数的概念以及分解素因数，公因数与最大公因数，公倍数与最小公倍数这三大块内容，这节课主要讲解前面两大块内容，重点是素数与合数的概念以及分解素因数，难点是求2个整数或者是3个整数的最大公因数．通过这节课的学习一方面为我们后面学习公倍数和最小公倍数奠定基础，另一方面用所学知识解决实际问题，加强学生对数学学习的兴趣．1、素数与合数（1）素数：一个正整数，如果只有1和它本身两个因数，则叫做素数，也叫做质数；（2）合数：一个正整数，如果除了1和它本身以外还有别的因数，则叫做合数；（3）1既不是素数，也不是合数；正整数可分为：1、素数和合数三类．分解素因数知识结构模块一：素数与合数知识精讲内容分析例题解析【例1】判断37，39，47和49是素数还是合数．【难度】★【答案】37和47是素数，39和40是合数．【解析】因为37和47都只有1和它本身两个因数，所以37和47是素数，39和40除了1和它本身之外，还有其它的因数，因此39和40是合数．【总结】本题主要考查素数和合数的概念．【例2】下列各数中，哪些是素数？哪些是合数？6，13，18，31，51，67，87，120．【难度】★【答案】13，31，67是素数；6，18，51，87，120是合数．【解析】13，31，67只有1和本身两个因数，是素数；6，18，51，87，120除了1和本身，还有其他因数，是合数．【总结】本题主要考查素数和合数的概念．【例3】根据要求填空：在1，2，9，21，43，51，59，64这八个数中：(1)是奇数又是素数的数是（）；(2)是奇数不是素数的数是（）；(3)是素数而不是奇数的数是（）；(4)是合数而不是偶数的数是（）．【难度】★【答案】（1）43，59 ；（2）1，9，21，51 ；（3）2；（4）9，21，51．【解析】略【总结】本题主要是对基本概念的考查．【例4】已知字母p、q分别代表一个素数，并且p + q = 99，你能知道p、q这两个数相乘的积是多少吗？【难度】★★【答案】194【解析】99是一个奇数和一个偶数的和，且这两个数都是素数，所以这两个数是2和97，积是194．【总结】2是最小的素数，也是唯一的偶素数．【例5】判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）．(1)所有的偶数是合数，所有的奇数是素数；(2)某数是3的倍数，这个数一定是合数；(3)一个合数至少有3个因数；(4)在所有的素数中，只有2是偶数，其余的素数都是奇数；(5)一个自然数，如果不是素数，就一定是合数；(6)两个素数的和一定是合数；(7)大于2的合数都是偶数；(8)一个大于1的自然数，如果有小于本身的因数，那么这个数一定是合数．【难度】★★【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×．【解析】（1）错误，偶数中2是素数，其余为合数，奇数中既有素数，也有合数；（2）错误，3的倍数中，3是素数，其余为合数；（3）正确，合数除了1和本身还有其他因数，故至少有3个；（4）正确，2是素数中唯一的偶数；（5）错误，0，1既不是素数也不是合数；（6）错误，两个素数的和既有可能是素数，也有可能是合数，如2+3=5，但2、/3、5都是素数．（7）错误，大于2的合数有奇数，也有偶数，如39是合数，但不是偶数；（8）错误，任何正整数的因数都有1，但是不能说明其是合数；【总结】本题主要是考查素数与合数的概念，要准确理解．【例6】用10以内的质数组成一个三位数，使它能同时被3、5整除，这个数最小和最大分别是多少？【难度】★★【答案】375和735．【解析】这个三位数是5的倍数，个位数字是5；能被3整除，三个数字之和是3的倍数；故包含3、5、7三个数字，最小是375，最大是735．师生总结1、最小的素数是几？最小的合数是几？2、最小的偶素数是几？3、如何判断一个正整数是不是素数？【例7】一个两位质数，交换个位与十位上的数字，所得的两位数仍是质数，这个数是多少？【难度】★★【答案】11，13，17，31，37，71，73，79，97．【解析】两位质数中，十位数字是2、4、5、6、8的，不满足条件，剩余的有：11，13，17，19，31，37，53，59，71，73，79，97，其中满足条件的有：11，13，17，31，37，71，73，79，97．【总结】本题主要查对质数概念的理解和运用．【例8】已知一个长方形的长和宽都是质数厘米，并且周长是36厘米．问这个长方形的面积至多是多少个平方厘米？【难度】★★★【答案】77平方厘米【解析】由周长是36厘米可得：长+宽=18，由于长和宽都是质数，所以18只能写成5+13或7+11．所以这个长方形的面积最大为：7×11=77平方厘米答：这个长方形的面积至多是77平方厘米．【总结】本题是利用质数解决实际问题．【例9】三个素数的和是100，这三个素数的积最大是多少？【难度】★★★【答案】4514【解析】由三个素数和为100且2是素数中唯一的偶数，所以2是其中一个素数，即：另两个素数的和是98．又：98=19+79=31+67=37+61所以这三个数的乘积最大是：2×37×61=4514．答：这三个素数的积最大是4514．【总结】偶数与偶数的和是偶数，偶数与奇数的和是奇数，2是唯一的偶素数．【例10】若三个素数的乘积恰好等于它们的和的11倍，那么这三个素数各是几？【难度】★★★【答案】2、11、13或3、7、11．【解析】设这三个质数为a、b、c，可得等式：11()abc a b c=++，又11也是质数，所以a，b，c中必有一个数是11，设a=11，即11bc=11（11+b+c），所以11=++．bc b c①当b、c中含有质数2时，不妨令b=22c=11+2+c，解得c=13，符合题意．②当b、c中不含有质数2，即b c都是奇数时，不妨令：b=2M+1，c=2N+1，有：（2M+1）（2N+1）=11+2M+1+2N+1．即4MN=12，MN=3．显然只能是M=3，N=1．此时b=2×3+1=7，c=1×2+1=3，符合题意．综上，这三个质数可以是：2、11、13或3、7、11．【总结】本题是一道综合性非常强的题目，要求学生要充分理解其中的假设法．1、分解素因数每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数． 2、口算法分解素因数例如：728922233=⨯=⨯⨯⨯⨯． 3、短除法分解素因数形如右图，这种在左侧写除数，下方写商的除法格式叫做“短除法”． 用短除法分解素因数的步骤如下：（1）先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；（2）得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； （3）然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．【例11】把24分解素因数的正确算式是（ ）A ．24234=⨯⨯B ．242223=⨯⨯⨯C ．2412223=⨯⨯⨯⨯D ．24226=⨯⨯【难度】★ 【答案】B【解析】A 、D 选项中有合数，C 选项中有1，1既不是素数，也不是合数． 【总结】每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，叫做分解素因数．【例12】在等式462223n ⨯==⨯⨯⨯中，4和6都是n 的（ ），2和3都是n 的（ ）A ．素因数B ．素数C ．因数D ．合数【难度】★ 【答案】C 、A 【解析】略【总结】本题主要考察素数和素因数的区别．例题解析知识精讲模块二：分解素因数355 7【例13】把以下各数分解素因数：35，72，105，108，238．【难度】★【答案】35=5×7； 72=2×2×2×3×3； 105=3×5×7； 108=2×2×3×3×3；238=2×7×17．【解析】略【总结】本题主要考查如何将一个合数分解素因数．【例14】请把2、3、5、7、14、15这六个数分成两组，使每组数的乘积相等． 【难度】★★【答案】3、5、14和2、7、15．【解析】因为14=2×7，所以14和2、7分在两组；因为15=3×5，所以15和3、5分在两组；故：3、5、14一组，2、7、15一组． 【总结】本题主要是对分解素因数的综合运用．【例15】如果a <>表示全部素因数的和，如6235<>=+=，试求3510<>-<>的值． 【难度】★★ 【答案】7【解析】由已知得：<35>=5+7=14，<10>=2+5=7， 所以<35>－<10>=7． 【总结】本题类似于阅读理解题，要对a <>所表示的概念准确理解．【例16】下面的算式里，□里数字各不相同，求这四个数字的和．□□×□□=1995．【难度】★★ 【答案】20【解析】因为1995=3×5×7×19=35×57，所以这四个数分别是3、5、5、7， 和是：3+5+5+7=20．【总结】本题主要是对分解素因数的综合运用．师生总结1、分解素因数的方法有哪些？2、归纳总结短除法分解素因数的步骤．【例17】有168颗糖，平均分成若干份，每份不得少于10颗，也不能多于50颗．共有多少种分法？【难度】★★【答案】5种【解析】由因为168=1×168=2×84=3×56=4×42=6×28=8×21=12×14；所以168的因数有：1，2，3，4，6，8，12，14，21，28，42，56，84，168．因为每份不得少于10颗，也不能多于50颗，所以满足条件的因数有：12、14、21、28、42．所以共有5种分法．【总结】本题主要是利用因数的概念解决实际问题．【例18】把一篮苹果分给4人，使四人的苹果数一个比一个多2，且他们的苹果个数之积是1920．这篮苹果共有多少个？【难度】★★【答案】28个【解析】因为1920=2×2×2×2×2×2×2×3×5=4×6×8×10，所以四个小朋友分别分到4、6、8、10个苹果，4+6+8+10=20(个)答：这篮苹果共有20个．【总结】本题是一道应用题，主要是还是利用分解素因数的思想进行求解．【例19】有a个人都属鸡，而且生日都是3月20日．某年，他们的年龄数的乘积为207025，他们的年龄数之和是102．则a等于几？【难度】★★★【答案】6【解析】因为207025=5×5×7×7×13×13=1×13×13×25×49，又这几个人的生肖相同，所以他们的年龄是49，25，13，13，1，因为49+25+13+13=100，所以102-100=2．所以有2人年龄为1，有2人年龄为13，有1人年龄为25，有1人年龄为49，共6人，即a=6．【总结】本题是一道非常综合的题目，主要还是利用分解素因数的方法，找到原数的因数，从而求出适合题意的解来．模块三：公因数和最大公因数知识精讲1、公因数几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数．2、最大公因数几个数的公因数中，最大的一个叫做这几个数的最大公因数．3、两个数互素如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．4、求最大公因数求几个数的最大公因数，只要把它们所有公有的素因数连乘，所得的积就是它们的最大公因数．例题解析【例20】求出下列各组数的公因数．（1）14和42；（2）121和44；（3）28和56；（4）17和9．【难度】★【答案】（1）14；（2）11；（3）28；（4）1．【解析】（1）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数；（2）两个数既不是倍数关系，也不是互素关系，用短除法；（3）两个数是倍数关系，最大公因数是较小数；（4）两个数互素，最大公因数是1；【例21】指出下列哪组中的两个数互素．（1）3和5；（2）6和9；（3）14和15；（4）18和1．【难度】★【答案】（1）（3）（4）．【解析】如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素．【总结】互素两数的几种常见类型：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数；（3）1和其它的任意正整数．【例22】找出下列各数的公因数与最大公因数．（1）84、28、60；（2）12、16、20．【难度】★【答案】（1）公因数：1、2、4，最大公因数：4； （2）公因数：1、2、4，最大公因数：4． 【解析】（1）因为84=2×2×3×7；28=2×2×7；60=2×2×3×5； 所以公因数：1、2、4，最大公因数：4； （2）因为12=2×2×3；16=2×2×2×2；20=2×2×5； 所以公因数：1、2、4，最大公因数：4； 【总结】本题主要考察公因数和最大公因数的概念．【例23】下列说法中，正确的个数有（ ）个①2是4和16的一个公因数； ②12是24和36的最大公因数；③如果两个数互素，那么这两个数一定都是素数；④1和任何正整数互素． A ．0B ．1C ．2D ．3【难度】★★ 【答案】D【解析】①②④正确；③错误，两个数互素要求两个数只有公因数1．【总结】常见的两个互素的数有：（1）两个数都是素数；（2）一个素数，一个合数；（3）1和任何正整数；（4）任意两个连续的整数等．【例24】已知m n p 、、都为自然数，且2n p ÷=，12m n ÷=，那么m n p 、、的最大公因数是多少？ 【难度】★★ 【答案】p【解析】m 是n 的倍数，n 是p 的倍数，因此m 是p 的倍数；所以最大公因数是p ． 【总结】若三个数都是倍数关系，则它们的最大公因数是最小的那个数．【例25】已知两个数的积是5766，它们的最大公因数是31，求这两个数．【难度】★★【答案】31、168或62、93．【解析】设这两个数是31a，31b(a、b互素)，则：31a×31b=5766 ∴ab=6①a=1，b=6时，两个数是31、168；②a=2，b=3时，两个数是62、93．【总结】本题是一道综合题，综合运用了最大公因数和因数的概念．【例26】将长、宽、高分别是120厘米，90厘米，60厘米的长方体木料锯成同样大小的正方体木块，而没有剩余，锯成的木块棱长最长是多少？共可以锯成多少块？【难度】★★【答案】30厘米，9块【解析】120、90、60的最大公因数是30，所以棱长最长为30厘米．（120+90+60）÷30=9（块）答：锯成的木块棱长最长是30厘米，共可以锯成9块．【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．【例27】学校买来40支圆珠笔和50本练习本，平均奖给四年级三好学生，结果圆珠笔多4支，练习本多2本，四年级有多少名三好学生，他们各得到什么奖品？【难度】★★【答案】（1）12名，3支圆珠笔，4本练习本；（2）6名，6支圆珠笔，8本练习本．【解析】40-4=36（支），50-2=48（本），36与48的最大公因数是12．12=1×12=2×6=3×4．（1）若12名，每人3支圆珠笔，4本练习本；（2）若6名，每人6支圆珠笔，8本练习本；（3）若4名或2名，圆珠笔可分完，与题意矛盾；【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．【例28】幼儿园一个班买书，如买35本，平均分给每个小朋友差一本，如买56本，平均分给每个小朋友后还剩2本，如买69本，平均分给每个小朋友则差3本．这个班的小朋友最多有几人？【难度】★★★【答案】18人【解析】35+1=36本，56-2=54本，69+3=72本，36、54、73的最大公因数是18．答：这个班的小朋友最多有18人．【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．师生总结1、两个整数的最大公因数的方法有哪些？2、互素的两个整数具有什么样的特征？随堂检测【习题1】下列说法中，正确的个数有（）个①一个自然数，不是质数就是合数；②任何一个自然数至少有2个因数；③90分解素因数是90=5⨯2⨯9；④两个素数的和一定是偶数；A．0B．1C．2D．3【难度】★【答案】A【解析】①错误：正整数分为1、质数、合数；②错误：1只有本身一个因数；③错误：分解素因数：素因数都是素数，本题中9是合数；④错误：素数2与任意非2素数之和是奇数；【总结】本题主要是考查素数的特征．【习题2】将20写成两个质数之和，这两个质数最大乘积是多少？【难度】★【答案】91【解析】因为20可以写成3+17或7+13的两个质数的和，所以积最大是：7×13=91．【总结】本题主要考查如何把一个数写成两个素数的和．【习题3】下列各数中是否含有相同的公因数，若含有请指出，并求出最大公因数．（1）6和9；（2）27和51；（3）28、42和56．【难度】★【答案】（1）含有，最大公因数：3；（2）含有，最大公因数：3；（3）含有，最大公因数：14．【解析】（1）6=2×3；9=3×3；含有公因数1、3，最大公因数：3；（2）27=3×3×3，51=3×17，含有公因数1、3，最大公因数：3；（3）28=2×2×7，42=2×3×7，56=2×2×2×7，含有公因数1、2，7，14，最大公因数：14；【总结】本题主要考查公因数和最大公因数的概念．【习题4】已知两个数的和是107，它们的乘积是1992，这两个数分别是多少？【难度】★★【答案】24和83【解析】1992=2×2×2×3×83=24×83，所以这两个数是24和83．【总结】本题主要是考查分解素因数在数字求和中的运用．【习题5】两个正整数的和是50，他们的最大公因数是5，这两个数的差的最大值是几？【难度】★★【答案】40【解析】设这两个数是5a，5b(a、b互素)，则：5a+5b=50．所以a+b=10 ．①a=1，b=9时，两个数是5、45；45-40=5；②a=3，b=7时，两个数是15、35．35-15=20；所以这两个数的差的最大值是40．【总结】本题主要考查素数在数字计算中的运用．【习题6】王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组．如果王老师和学生每人植树一样多，那么他们一共植了539棵．这个班有多少个学生？每人植树多少棵？【难度】★★【答案】48个，11棵【解析】因为539=7×7×11=49×11，所以学生数是48人，每人植树11棵．【总结】本题是对分解素因数的综合运用．【习题7】某农副食品店销售三级别的大米，已知一级大米150斤，二级大米180斤，三级大米210斤的价格都是450元，现需将这三种大米分别按整斤数装袋，要求每袋的价格都相等，那么每袋的价格最低是多少元？【难度】★★【答案】15元【解析】因为150、180、210的最大公因数是30，所以每种大米最多分30小份，即每份最低：450÷30=15元．答：每袋的价格最低是15元．【总结】本题是利用最大公因数的思想解决实际问题．【习题8】 “九九重阳节敬老节”将至，幸福小区组织一批老年人决定分乘若干辆至多可乘44人的大巴前去郊游．如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【难度】★★★【答案】529个，24辆．【解析】22+1=23人，因23是质数，所以把这23人，只能平均分到23个车里． 所以原来的车数是：23+1=24（辆），24×22+1=529（个）．答：有529个老人，原有24辆大巴．【总结】本题的综合性比较强，解题是注意对本题中的“23”这个素数的准确理解．【习题9】 甲乙两人射箭，规定每射一箭得到的环数是0~10这10个数中的一个整数，他们各射5靶，每人得到的环数之积刚好都是1764，但是甲的总环数比乙少4环，求甲、乙各自的总环数．【难度】★★★【答案】24环，28环．【解析】因为1764=2×2×3×3×7×7，所以每人都有两个7环．剩余三个环数可能为：2、2、9； 3、3、4； 2、3、6； 1、4、9； 1、6、6． 和分别为：13，10，11，14，13．因为甲的总环数比乙少4环，所以甲另外三环的和应是10环，乙另外三环的和应是14环．所以甲的环数为：14+10=24环，乙的环数为：14+14=28环．【总结】本题依旧是考查分解素因数在实际问题中的应用．【习题10】 有a b c d 、、、四个数，已知a b 、的最大公因数是60，c d 、的最大公因数是96，这四个数的最大公因数是多少？【难度】★★★【答案】12【解析】由已知得：a 、b 是60的倍数，c 、d 是96的倍数，因此60和96的最大公因数即是a b c d 、、、四个数的最大公因数．而60和96的最大公因数是12．答：这四个数的最大公因数是12．【总结】本题主要是考查学生对最大公因数的概念的准确理解和运用．【作业1】 求出下列每组数的最大公因数．（1）48和72；（2）104和182； （3）13和52； （4）160和185． 【难度】★【答案】（1）24；（2）26；（3）13；（4）5．【解析】（1）短除法得： 48与72的最大公因数是24；（2）短除法得：104与182的最大公因数是26；（3）13和52是倍数关系，最大公因数是较小数，13与52的最大公因数是13；（4）短除法得：160与185的最大公因数是5．【总结】本题主要是考查求两个数的最大公因数．【作业2】 已知四个小于10的自然数，它们的积是360．已知这四个数中只有一个是合数，求这四个数．【难度】★【答案】3、3、5、8【解析】因为360=2×2×2×3×3×5，又四个数中只有一个合数，且小于10，所以只能是8．所以这四个数是3、3、5、8；【总结】本题还是考查分解素因数的运用．【作业3】 已知：235A =⨯⨯，335B =⨯⨯，则A 和B 的公因数有哪些，最大公因数是几？【难度】★【答案】公因数：3、5、15；最大公因数：15．【解析】略【总结】求最大公因数的方法：①枚举法；②短除法；③分解素因数法．【作业4】 将下列各数分解素因数．36，81，143，437，663【难度】★★【答案】36=2×2×3×3；81=3×3×3×3；143=11×13；663=3×13×17．【解析】略【总结】本题主要是考查如何将一个正整数分解素因数． 课后作业【作业5】两个数的和为90，两个数的最大公因数是15，求这两个数．【难度】★★【答案】15，75【解析】设这两个数是15a，15b(a、b互素)，则：15a+15b=90，所以a + b = 6 ．因为这两个数的最大公因数是15，所以a=1，b=5．所以这两个数是15、75．【总结】本题已知两数和和两数的最大公因数，在求这两个数时注意方法的选用．【作业6】已知两个数的和被5除余1，它们的积是2924，那么它们的差等于多少？【难度】★★【答案】25【解析】2924=2×2×17×43=1×2924=2×1462=4×731=17×172=34×86=43×68因为和被5除余1，所以这两个数是：43、68，68-43=25，答：它们的差是25．【总结】本题是利用求一个数的因数的方法求出满足条件的两个数．【作业7】用一个数去除18、24、60都能整除，这个数最大是多少？【难度】★★【答案】6【解析】18、24、60的最大公因数是6，所以这个数最大是6．【总结】本题主要考查求三个数的最大公因数．【作业8】288人参加团体操，分成人数相等的若干队，每队人数在15至35之间．有哪些分法？【难度】★★【答案】3种分法：（1）每队16人，共18队；（2）每队18人，共16队；（3）每队24人，共12队．【解析】因为288=2×2×2×2×2×3×3 =2×144=3×76=4×72=6×48=8×36=12×24=16×18，而每队人数在15至35之间，故有3种分法：16人，18队；18人，16队；24人，12队；【总结】本题是利用求一个数的因数的方法求出满足条件的两个数．【作业9】有三根绳子，一根长36米，一根长16米，一根长24米．要把它们剪成同样长的小段做跳绳，每小段要尽量长，一共能剪成多少根跳绳？【难度】★★★【答案】19根【解析】因为36、16、24的最大公因数是4，所以一共能剪成：（36+16+24）÷4=19根．【总结】本题主要是考查利用三个数的最大公因数解决实际问题．【作业10】从一块正方形的木板上锯下宽为3分米的一个木条后，剩下木板的面积是108 平方分米，则锯下的木条面积是多少平方分米？【难度】★★★【答案】36平方分米【解析】108=2×2×3×3×3=12×9，则原来木板边长12分米．12×3=36平方分米．答：锯下的木条面积是36平方分米．【总结】本题综合性较强，解题时注意对题意的准确理解．。
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1．3 素数、合数与分解素因数
自然数是我们最熟悉的数，全体自然数可以按照约数的个数进行分类；
只有一个约数的自然数，这类数只有1；有两个约数的自然数，这类数叫做素数（也叫质数），如2，3，5，7，11，17等等，这样的数只有1和它本身两个约数，自然数中质数的个数有无限多个．
有两个以上约数的自然数，这类数叫做合数，如4，6，8，9，10等等，这些数除了1与它本身两个约数外，至少还有一个另外的约数，自然数中合数的个数也有无限多个．
显然，1既不是质数也不是合数；2是最小的质数，而且是质数中唯一的一个偶数；除了2以外的其他质数都是奇数．
例1 找出1～100这100个自然数中所有的质数？
分析 可用淘汰法来解，先划去比2大的所有2的倍数，再划去比3大的所有3的倍数，接下来再划去比5大的所有5的倍数，如此进行下去．
解：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97．
例2 判断3 333 334 111 111是素数还是合数？ 解: 3 333 334 111 111=3 333 333 000 000+1 111 111
=1 111 111×3 000 000+1 111 111 =1 111 111（3 000 000+1） =1 111 111×3 000 001
所以，3 333 334 111 111是合数．
例3 桌子上有一堆石子共1001料，第一步从中扔去一粒石子，并将余下的石子分成两堆．以后的每一步，
都从某个石子数目多于1的堆中扔去一粒，再把这堆分成两堆，试问：能否在若干步以后，使桌上的每一堆中都刚好有3粒石子？
解：如果可能的话，假设最后剩下n 堆，每堆3粒，则在此之前一共进行了（n -1）次操作（开始时只有一
堆石子，每操作一次，多分出一堆，操作（n -1）次后分成n 堆），而每次操作都扔去一粒，所以一共扔去了（n -1）粒，因此，()311001n n +-= 即41002n =
上式中，左边是4的倍数，右边是2的倍数，但不是4的倍数，这样就产生了矛盾，所以，不可能在若干步后，使桌子上的每一堆中都刚好有3粒石子．
练习1．3（1）
1．在1到100这100个自然数中任取其中的n 个，要使这n 个数至少有一个合数，则n 至少是多少？ 2．有三张卡片，在它们上面各写着一个数字2、3、4，从中抽出一张、二张、三张按任意顺序排列起来，请你将其中的质数都写出来．
3．已知P ，P ＋10，P +14都是质数，求所有这样的数P ． 答案
练习13．1（1）
1． 27 提示：1～100中有25个质数，又有一个1，因此至少任取27个数才能确保有一个合数． 2． 2、3、23、43
3． 3P = 提示：若3P k =（k 为正整数），则只有当k =1时P =3、P +10=13、P +14=17均为素数，而k ＞1时，P 为合数不符合题意；当31P k =+时，P +14=3k +15总能被3整除，是合数；当32P k =+时，
10312P k +=+总能被3整除，是合数，因此P 只能等于3．
思考：6，28和60可以写出哪几个素数相乘的形式？
6 = 2 × 3
2 × 3
6 2 × 2 × 7
28 = 2 × 2 × 7
4 × 7
28
60 =2 × 3 × 2 × 5 = 2 × 2 × 3 × 5
2 ×
3 × 2 × 5
6 × 1060××××
从上面的例子可以看出：
每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，其中每个素数都是这个合数的因数，叫做这个合数的素因
数．把一个合数用素因数相乘的形式表示出来，叫做分解素因数．
例4 把48，35，60分解素因数
解：
48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
3
2 62 1 22 2 42 4 8
7
5 3 5
35 = 5 × 7
5
60 = 2 × 2 × 3 × 5
3 1 5
2 3 0
2 6 0
用短除法分解素因数的步骤如下：
1．先用一个能整除这个合数的素数（通常从最小的开始）去除；
2．得出的商如果是合数，再按照上面的方法继续除下去，直到得出的商是素数为止； 3．然后把各个除数和最后的商按从小到大的顺序写成连乘的形式．
质数与合数的有关性质： 1．质数有无数多个．
2．2是唯一的偶质数．大于2的质数必为奇数．如果两个质数的和或差是奇数，那么其中必有一个是2；如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个是2． 3．若质数|p ab ，则必有|p a 或|p b ．
4．若正整数a 、b 的积是质数，则必有a p =或b p =．
5．唯一分解定理：任何整数n （n ＞1）可以唯一地分解为：12
12
k a a
a k n p p p =，其中12k p p p ＜＜＜是
质数；12,,
k a a a 是正整数．
例5 已知四个质数满足1234p p p p ＜＜＜，且2222
1234511p p p p =+++，试求这四个质数．
分析 511是一个奇数，所以这四个质数不都是奇数，即其中必有偶质数2．
解：显然有12p =，代入得222
234507p p p =++，
因为2
50752923=＜，所以419p ≤
若419p =，则22
23146p p =+，所以7≤3p ＜13，故311p =，这时25p =．
若417p =，则22
23218p p =+，所以11＜3p ＜17，故313p =，这时27p =．
所以，这四个质数为2、5、11、19或2、7、13、17．
例6 当x 取1到10之间的质数时，四个整式：2
2x +、2
4x +、2
6x +、2
8x +的值中共有质数多少个？ 解：1到10之间的质数有2、3、5、7，但2是偶数，所以可用质数为3、5、7．
当3x =时，2
211x +=，2
413x +=，2
615x +=，2
817x +=，其中15不是质数． 当5x =时，2
227x +=，2
429x +=，2
631x +=，2
833x +=，其中27、33不是质数． 当7x =时，2
251x +=，2
453x +=，2
655x +=，2
857x +=，其中51、55、57不是质数．所以共有6个符合条件．
例7 三个质数的积等于它们的和的11倍，求这三个质数．
分析 设这三个质数分别为P 、Q 、R ，则有()11PQR P Q R =++，解方程即可． 解：由分析中方程可知，必有一质数为11，不妨设R =11，P ≤Q ，则方程变为：
11PQ P Q =++或()()1112P Q Q ---=，即()()1112P Q --=．所以11P -=，112Q -=或
12P -=，16Q -=，故所求的三个质数为2、11、13或3、7、11．
练习1．3（2）
1．分解素因数：45，88，126．
2．农民用几只船分三次运送315袋化肥，已知每只船载的化肥袋数相等且至少载7袋，问每次应有多少只船，每只船载多少袋化肥？（每只船至多载50袋化肥）
3．在乘积1000×999×998×……×3×2×1中，末尾连续有多少个0？ 4．已知三个质数a 、b 、c ，它们的积等于30，求适合条件的a 、b 、c 的值．
5、证明：存在2006个连续自然数，它们都是合数．
6．如图是一张8×8的正方形纸片，将它的左上角一格和右下角一格去掉，剩下的部分能否剪成若干个1×2的长方形纸片？
练习1．3（2）
1．45=3×3×5；88=2×2×2××11；128=2×3×3×7
2． 3条船，35袋化肥或5条船21袋或7条船15袋化肥或15条船7袋化肥．提示：每次运105袋化肥，对105分解素因数即可．
3． 249个提示：只需考虑乘积中因数5的个数：100010001000625
249 525125625
+++=（个）．
4． 2，3，5； 2，5，3； 3，2，5； 3，5，2； 5，2，3； 5，3，2
5．提示：1×2×3×…×2007+2，1×2×3×…×2007+3，1×2×3×…×2007+4，…，1×2×3×…×2007+2007，共2006个合数．。