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动点问题练习含答案定稿版

动点问题练习含答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想：分类思想数形结合思想转化思想 1、如图1，梯形ABCD 中，AD ∥ BC ，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2 cm/秒的速度移动，如果P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设移动时间为t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形；6 当t= 时，四边形是等腰梯形. 82、如图2，正方形ABCD 的边长为4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线AC 上任意一点，则DN+MN 的最小值为 53、如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形，此时AD 的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC 是否为菱形，并说明理由．解：（1）①30，1；②60，1.5；（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.OE CDAlOC∵∠α=∠ACB=900，∴BC //ED . ∵CE //AB , ∴四边形EDBC 是平行四边形在Rt △ABC 中，∠ACB =900，∠B =600,BC =2, ∴∠A =300.∴AB =4,AC. ∴AO =12AC在Rt △AOD 中，∠A =300，∴AD =2.∴BD =2. ∴BD =BC . 又∵四边形EDBC 是平行四边形， ∴四边形EDBC 是菱形4、在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E.(1)当直线MN 绕点C 旋转到图1的位置时，求证：①△ADC ≌△CEB ；②DE=AD ＋BE ； (2)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，求证：DE=AD-BE ； (3)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）① ∵∠ACD=∠ACB=90° ∴∠CAD+∠ACD=90° ∴∠BCE+∠ACD=90° ∴∠CAD=∠BCE ∵AC=BC ∴△ADC ≌△CEB② ∵△ADC ≌△CEB ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE+CD=AD+BE (2) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE 又∵AC=BC ∴△ACD ≌△CBE ∴CE=AD ，CD=BE ∴DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN 旋转到图3的位置时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE ，BE=AD+DE 等) ∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90° ∴∠ACD=∠CBE ，又∵AC=BC ， ∴△ACD ≌△CBE ， ∴AD=CE ，CD=BE ， ∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E 是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．C B ED 图1 N MA B CD EM N 图2A CB E D NM 图3经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E 是BC 的延长线上（除C 点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE =EF ”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．解：（1）正确．证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ． BM BE ∴=．45BME ∴∠=°，135AME ∴∠=°．CF 是外角平分线，45DCF ∴∠=°，135ECF ∴∠=°． AME ECF ∴∠=∠．90AEB BAE ∠+∠=°，90AEB CEF ∠+∠=°，∴BAE CEF ∠=∠． AME BCF ∴△≌△（ASA ）． AE EF ∴=．（2）正确．证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ．BN BE ∴=． 45N PCE ∴∠=∠=°．四边形ABCD 是正方形， AD BE ∴∥．DAE BEA ∴∠=∠． NAE CEF ∴∠=∠． ANE ECF ∴△≌△（ASA ）．ADF B图1ADFC GE B图3ADFB图2A DFBMADFC E BNAE EF ∴=．6、如图, 射线MB 上,MB=9,A 是射线MB 外一点,AB=5且A 到射线MB 的距离为3,动点P 从M 沿射线MB 方向以1个单位/秒的速度移动，设P 的运动时间为t. 求（1）△ PAB 为等腰三角形的t 值；（2）△ PAB 为直角三角形的t 值；（3）若AB=5且∠ABM=45 °，其他条件不变，直接写出△ PAB 为直角三角形的t 值 7、如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠.求：（1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解（1）如图1，过点E作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==．A D E BF C图4（备 A D EBF C 图5（备A D E BF C 图1 图2A D E BF C PNM图3A D EBFC PN M （第25在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变． ∵PM EF EG EF ⊥⊥，， ∴PM EG ∥．∵EF BC ∥， ∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥，∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．∴122PH PM == ∴3cos302MH PM =︒=．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==． ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-= 当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．图3A DE BFCPN M 图4A D EBFCP MN 图5A D EBF CMN GGR G图1A D E BF CG图2A D EB F CPNMG H∴tan301MC PM =︒=．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5-时，PMN △为等腰三角形．8、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点． (1）如果点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由；②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒， ∴313BP CQ ==⨯=厘米， ∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵8PC BC BP BC =-=，厘米， ∴835PC =-=厘米， ∴PC BD =．又∵AB AC =， ∴B C ∠=∠， ∴BPD CQP △≌△． ②∵P Qv v ≠， ∴BP CQ ≠，又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，，∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t===厘米/秒。

中考动点问题经典题型归类总结附答案

专题十动点型问题考点一：建立动点问题的函数解析式（或函数图像）例1 （2013•兰州）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度不变，则以点B为圆心，线段BP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．解：不妨设线段AB长度为1个单位，点P的运动速度为1个单位，则：（1）当点P在A→B段运动时，PB=1-t，S=π（1-t）2（0≤t＜1）；（2）当点P在B→A段运动时，PB=t-1，S=π（t-1）2（1≤t≤2）．综上，整个运动过程中，S与t的函数关系式为：S=π（t-1）2（0≤t≤2），这是一个二次函数，其图象为开口向上的一段抛物线．结合题中各选项，只有B符合要求．故选B．1．（2013•白银）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．1．C考点二：动态几何型题目动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

（一）点动问题．例2 （2013•河北）如图，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE=EF=FB=5，DE=12动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止．设运动时间为t秒，y=S△EPF，则y与t的函数图象大致是（）A．B．C．D．思路分析：分三段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，③点P在BC上运动，分别求出y与t 的函数表达式，继而可得出函数图象．解：在Rt △ADE 中，AD=2213AE DE +=，在Rt △CFB 中，BC=2213BF CF +=，①点P 在AD 上运动：对应训练2．（2013•北京）如图，点P 是以O 为圆心，AB 为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP 的长为x ，△APO 的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．2．A（二）线动问题例3 （2013•荆门）如右图所示，已知等腰梯形ABCD ，AD ∥BC ，若动直线l 垂直于BC ，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S ，BP 为x ，则S 关于x 的函数图象大致是（）A．B．C．D．解：①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快；②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变；③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小；结合选项可得，A选项的图象符合．故选A．对应训练3．（2013•永州）如图所示，在矩形ABCD中，垂直于对角线BD的直线l，从点B开始沿着线段BD匀速平移到D．设直线l被矩形所截线段EF的长度为y，运动时间为t，则y关于t的函数的大致图象是（）A．B．C．D．3．A（三）面动问题例4 （2013•牡丹江）如图所示：边长分别为1和2的两个正方形，其中一边在同一水平线上，小正方形沿该水平线自左向右匀速穿过大正方形，设穿过的时间为t，大正方形内去掉小正方形后的面积为s，那么s与t的大致图象应为（）A．B．C．D．解：根据题意，设小正方形运动的速度为V，分三个阶段；①小正方形向右未完全穿入大正方形，S=2×2-Vt×1=4-Vt，②小正方形穿入大正方形但未穿出大正方形，S=2×2-1×1=3，③小正方形穿出大正方形，S=Vt×1，分析选项可得，A符合；故选A．对应训练4．（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（）A．B．C．D．4．A究：当t为何值时，△QMN为等腰三角形？请直接写出t的值．（4）△QMN 为等腰三角形的情形有两种，需要分类讨论，避免漏解．解：（1）∵C （7，4），AB ∥CD ，∴D （0，4）．∵sin ∠DAB=22， ∴∠DAB=45°，∴OA=OD=4，∴A （-4，0）．设直线l 的解析式为：y=kx+b ，则有4-40b k b =⎧⎨+=⎩，解得：k=1，b=4，∴y=x+4．∴点A 坐标为（-4，0），直线l 的解析式为：y=x+4．（2）在点P 、Q 运动的过程中：①当0＜t≤1时，如答图1所示：过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，则CF=4，BF=3，由勾股定理得BC=5．过点Q 作QE ⊥x 轴于点E ，则BE=BQ•cos ∠CBF=5t•35=3t ． ∴PE=PB -BE=（14-2t ）-3t=14-5t ，S=12PM•PE=12×2t×（14-5t ）=-5t 2+14t ； ②当1＜t≤2时，如答图2所示：过点C、Q分别作x轴的垂线，垂足分别为F，E，则CQ=5t-5，PE=AF-AP-EF=11-2t-（5t-5）=16-7t，S=12PM•PE=12×2t×（16-7t）=-7t2+16t；③当点M与点Q相遇时，DM+CQ=CD=7，即（2t-4）+（5t-5）=7，解得t=167．当2＜t＜167时，如答图3所示：MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，S=12PM•MQ=12×4×（16-7t）=-14t+32．（3）①当0＜t≤1时，S=-5t2+14t=-5（t-75）2+495，∵a=-5＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=75，∴当0＜t≤1时，S随t的增大而增大，∴当t=1时，S有最大值，最大值为9；②当1＜t≤2时，S=-7t2+16t=-7（t-87）2+647，∵a=-7＜0，抛物线开口向下，对称轴为直线t=87，∴当t=87时，S有最大值，最大值为647；③当2＜t＜167时，S=-14t+32∵k=-14＜0，∴S随t的增大而减小．又∵当t=2时，S=4；当t=167时，S=0，∴0＜S＜4．综上所述，当t=87时，S有最大值，最大值为647．（4）△QMN为等腰三角形，有两种情形：①如答图4所示，点M在线段CD上，MQ=CD-DM-CQ=7-（2t-4）-（5t-5）=16-7t，MN=DM=2t-4，由MN=MQ，得16-7t=2t-4，解得t=209；②如答图5所示，当点M运动到C点，同时当Q刚好运动至终点D，此时△QMN为等腰三角形，t=125．故当t=209或t=125时，△QMN为等腰三角形．对应训练5．（2013•长春）如图①，在▱ABCD中，AB=13，BC=50，BC边上的高为12．点P从点B出发，沿B-A-D-A 运动，沿B-A运动时的速度为每秒13个单位长度，沿A-D-A运动时的速度为每秒8个单位长度．点Q从点B出发沿BC方向运动，速度为每秒5个单位长度．P、Q两点同时出发，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．连结PQ．（1）当点P沿A-D-A运动时，求AP的长（用含t的代数式表示）．（2）连结AQ，在点P沿B-A-D运动过程中，当点P与点B、点A不重合时，记△APQ的面积为S．求S与t之间的函数关系式．（3）过点Q作QR∥AB，交AD于点R，连结BR，如图②．在点P沿B-A-D运动过程中，当线段PQ 扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分时t的值．（4）设点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，直接写出C′D′∥BC时t的值．5．解：（1）当点P沿A-D运动时，AP=8（t-1）=8t-8．当0＜t＜1时，如图①．作过点Q作QE⊥AB于点E．S△ABQ=12AB•QE=12BQ×12，4当0＜t≤1时，如图③．∵S △BPM =S △BQM ，∴PM=QM ．∵AB ∥QR ，∴∠PBM=∠QRM ，∠BPM=∠MQR ，在△BPM 和△RQM 中PBM QRMBPM MQR PM QM∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BPM ≌△RQM ．∴BP=RQ ，∵RQ=AB ，∴BP=AB∴13t=13，解得：t=1当1＜t≤83时，如图④．∵BR 平分阴影部分面积，∴P 与点R 重合．34∵S△ABR=S△QBR，∴S△ABR＜S四边形BQPR．∴BR不能把四边形ABQP分成面积相等的两部分．综上所述，当t=1或83时，线段PQ扫过的图形（阴影部分）被线段BR分成面积相等的两部分．（4）如图⑥，当P在A-D之间或D-A之间时，C′D′在BC上方且C′D′∥BC时，∴∠C′OQ=∠OQC．∵△C′OQ≌△COQ，∴∠C′OQ=∠COQ，∴∠CQO=∠COQ，∴QC=OC，∴50-5t=50-8（t-1）+13，或50-5t=8（t-1）-50+13，解得：t=7或t=95 13．当P在A-D之间或D-A之间，C′D′在BC下方且C′D′∥BC时，如图⑦．同理由菱形的性质可以得出：OD=PD，∴50-5t+13=8（t-1）-50，解得：t=121 13．∴当t=7，t=9513，t=12113时，点C、D关于直线PQ的对称点分别为C′、D′，且C′D′∥BC．中考真题演练一、选择题1．（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E 以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）A．2B．2.5或3.5C．3.5或4.5D．2或3.5或4.51．D2．（2013•安徽）图1所示矩形ABCD中，BC=x，CD=y，y与x满足的反比例函数关系如图2所示，等腰直角三角形AEF的斜边EF过C点，M为EF的中点，则下列结论正确的是（）A．当x=3时，EC＜EMB．当y=9时，EC＞EMC．当x增大时，EC•CF的值增大D．当y增大时，BE•DF的值不变2．D3．（2013•盘锦）如图，将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt△GEF的一边GF重合．正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动，当点A和点E重合时正方形停止运动．设正方形的运动时间为t秒，正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为s，则s关于t的函数图象为（）A．B．C．D．3．B4．（2013•龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上．若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A．2B．3C．4D．54．B5．（2013•武汉）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．516、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F是AB边上的中点，点D，E分别在AC，BC边上运动，且保持AD=CE．连接DE，DF，EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形，③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8．其中正确的结论是（）A、①②③B、①④⑤（3）若⊙P与线段QC只有一个交点，请直接写出t的取值范围．6．解：（1）∵A（8，0），B（0，6），8．（2013•宜昌）半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，⊙O与l相切于点F，DC在l上．（1）过点B作的一条切线BE，E为切点．①填空：如图1，当点A在⊙O上时，∠EBA的度数是；②如图2，当E，A，D三点在同一直线上时，求线段OA的长；（2）以正方形ABCD的边AD与OF重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC与OF 重合时结束移动，M，N分别是边BC，AD与⊙O的公共点，求扇形MON的面积的范围．7．解：（1）①∵半径为2cm的与⊙O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线l的同侧，当点A在⊙O如图，过O 点作OK ⊥MN 于K ，∴∠MON=2∠NOK ，MN=2NK ，在Rt △ONK 中，sin ∠NOK=2NK NK ON =， ∴∠NOK 随NK 的增大而增大，∴∠MON 随MN 的增大而增大，∴当MN 最大时∠MON 最大，当MN 最小时∠MON 最小，①当N ，M ，A 分别与D ，B ，O 重合时，MN 最大，MN=BD ，∠MON=∠BOD=90°，S 扇形MON 最大=π（cm 2），②当MN=DC=2时，MN 最小，∴ON=MN=OM ，∴∠NOM=60°，S 扇形MON 最小=23π（cm 2）， ∴23π≤S 扇形MON ≤π．故答案为：30°．9．（2013•重庆）已知：如图①，在平行四边形ABCD 中，AB=12，BC=6，AD ⊥BD ．以AD 为斜边在平8．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，∴AE=AD•cos30°=33，DE=AD•sin30°=3，∴△AED的周长为：6+33+3=9+33．（2）在△AED向右平移的过程中：（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．∵DD0=2t，∴ND0=DD0•sin30°=t，NK=ND0•tan30°=3t，∴S=S△D0NK=12ND0•NK=12t•3t=32t2；（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．∵AA0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t，∴A0N=12A0B=6-t，NK=A0N•tan30°=33（6-t）．∴S=S四边形D0E0KN=S△ADE-S△A0NK=12×3×33-12×（6-t）×33（6-t）=-36t2+23t-332；（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．∵AA 0=2t，∴A0B=AB-AA0=12-2t=D0C，∴A0N=12A0B=6-t，D0N=6-（6-t）=t，BN=A0B•cos30°=3（6-t）；易知CI=BJ=A0B=D0C=12-2t，∴BI=BC-CI=2t-6，S=S梯形BND0I-S△BKJ=12[t+（2t-6）]• 3（6-t）-12•（12-2t）•33（12-2t）=-1336t2+203t-423．综上所述，S与t之间的函数关系式为：S=2223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t tS t t tt t t⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩．（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，即∠BCB1=30°，∴α=30°；（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，即∠BCB1=75°，∴α=75°．10．（2013•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．点D、E、F分别是边AB、（2）在点P 从点F 运动到点D 的过程中，某一时刻，点P 落在MQ 上，求此时BQ 的长度；（3）当点P 在线段FD 上运动时，求y 与x 之间的函数关系式．11．解：（1）当点P 运动到点F 时，∵F 为AC 的中点，AC=6cm ，∴AF=FC=3cm ，∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s ，∴BQ=AF=3cm ，∴CQ=8cm -3cm=5cm ，故答案为：5．（2）设在点P 从点F 运动到点D 的过程中，点P 落在MQ 上，如图1，则t+t -3=8，t=112， BQ 的长度为112×1=112（cm ）；（3）∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，∴DE=12AC=12×6=3， DF=12BC=12×8=4， ∵MQ ⊥BC ，∴∠BQM=∠C=90°，∵∠QBM=∠CBA ，∴△MBQ ∽△ABC ，∴BQ MQ BC AC=， ∴86x MQ =，MQ=34x，分为三种情况：①当3≤x＜4时，重叠部分图形为平行四边形，如图2，y=PN•PD=34x（7-x）即y=-34x2+214x；②当4≤x＜112时，重叠部分为矩形，如图3，y=3[（8-X）-（X-3））]即y=-6x+33；③当112≤x≤7时，重叠部分图形为矩形，如图4，y=3[（x-3）-（8-x）]即y=6x-33．213．解：（1）如图，2如图2，由（1）知：抛物线的对称轴l为x=4，因为A、B两点关于l对称，连接CB交l于点P，则AP=BP，所以AP+CP=BC的值最小∵B（6，0），C（0，2）（3）如图3，连接ME ，∵CE 是⊙M 的切线∴ME ⊥CE ，∠CEM=90°由题意，得OC=ME=2，∠ODC=∠MDE ∵在△COD 与△MED 中COA DEMODC MD EOC ME∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△MED （AAS ），∴OD=DE ，DC=DM设OD=x 则CD=DM=OM -OD=4-x 则RT △COD 中，OD 2+OC 2=CD 2， ∴x 2+22=（4-x ）2∴x=32，∴D （32，0）设直线CE 的解析式为y=kx+b ∵直线CE 过C （0，2），D （32，0）两点，则3022k b b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：432k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩。

[终稿]初中数学动点问题及练习题附参考答案.docx

例1.如图，已知在矩形ABCD 中，A£)=8, CD=4,点E 从点小I ］发，沿线段D4以每秒1 个单位长的速度向点A 方向移动，同吋点尸从点C 出发，沿射线CQ 方向以每秒2个单位长的速度移动，当B, E, F 三点共线时，两点同时停止运动.设点E 移动的时间为/(秒).(1) 求当r 为何值时，两点同时停止运动；(2) 设四边形BCFE 的面积为S,求S 与/之间的函数关系式，并写岀r 的取值范围；(3) 求当t 为何值时，以E, F, C 三点为顶点的三介形是等腰三用形;例2•正方形ABCD 边长为4,、N 分别是BC 、CD 上的两个动点，当M 点在BC 上运动时，保持AM 和MN 垂直， (1) 证明：Rt/XABM s RM\MCN ；(2) 设B M =x,梯形ABCN 的而积为y,求歹与兀之间的函数关系式；当M 点运动到什么位置吋，四边形ABCN 而积最大，并求出最大而积；(3)当M 点运动到什么位置时Rt/XABM ^Rt/\AMN ，求此时x 的值.例 3.如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC, AP = 3, DC = 5, AB = 4^2, ZB = 45。

.动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同吋从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点Q 运动.设运动的时间为/秒.(09年济南中考) (1)求BC 的长。

(2) 当MN // AB 时，求f 的值.(3) 试探究：f 为何值时，HMNC 为等腰三角形.(4)求当f 为何值时，ZBEC 二ZBFC.由题意可知：ED=t, BC=8, FD= 2/-4, FC= It.FD ED•: ED//BC,4FEDs/\FBC.：・——=——・FC BC2—4 t・・・一解得/=4.2t 8.・・当匸4时，两点同时停止运动；(3分)1 1 9(2)•:ED=t, CF=2t, :.S=S^BC^- S^BCF= - X8X4+ - X2rXr= 16+ z2.2 2即S=16+f. (0 W/ W4)；.......................................................................... (6 分) (3)①若EF=EC时，则点F只能在CD的延长线上，VEF2=(2r-4)2+r2 =5r2-16r + 16,EC2=42 + z2 = z2 +16 , 5z2— 16f +16 = z2 +16 . f=4 ^=0 (^i)；4 L②若EC=FC W，VEC2=42+r2 =r2 + 16, FC2=4r, A r+ 16=4r.:・t = -』3 ；3③若EF=FC时，*：EF2=⑵一4尸 + 尸=5厂 _ 16/ +16 , FC2=4/2,5t2—I6t +16 =4r2. .'.Z|=16+8A/3 (舍去),t2= 16 —8A/3.・•・当/的值为4, -V3, 16-8^3时，以E, F, C三点为顶点的三角形是等腰三3角形； ............................................................. (9分)Be CF(4)在RtA^CF 和RtAC££> 中,•/ ZBCD=ZCDE=90° ,——=——=2 ,CD ED:.RtABCF^RtACEP・:.ZBFC=ZCED. （10 分）•:AD//BC、:.ZBCE=ZCED.若ZBEC=ZBFC,则ZBEC=ZBCE.即BE=BC.*.* BE 2=t~ —16/ + 80 , /. t~ — 16/ + 80 =64./.Z J =16 + 8A /3 (舍去)，t2= 16 — 8A /3 .・・・当匸16-朋时，ZBEC=ZBFC. ......................................................... (12分) 例2.解：(1)在正方形ABCD 中，AB = BC = CD = 4, ZB = ZC = 90°, •・• AM 丄MN ,.•・ ZAMN =90\ZCMN + ZAMB = 90° f在 RtAABM 中,ZMAB + ZAMB = 90°, :.ZCMN =AM AB ,RtAABM s Rt/\MCN ,(2) ••• Rt/\ABM s RtAMCTV ,AB BM 4 x• _ — __ • ___ — _•• MC_ CN …4_x_ CN '当x = 2吋，歹取最大值，最大值为10.(3) v ZB = ZAW=90°,AM AR .••要使厶ABM s^AMN ,必须有—— =— MN BM•••当点M 运动到BC 的中点时,s ZMN ,此时x = 2. 例3.解：（1）如图①，过4、D 分别作4K 丄BC 于K , DH 丄BC 于H ,则四边形ADHK 是矩形・・.KH = AD = 3.在RtZ\ABK 中，AK = AB sin45° = 4^2.—= 4 2••• CN = -X 2 + 4x _4-U^^ + 4〕・4 二丄i i 9 2J + 2X + 8 = --(X -2)+10 由（1）知如MN AB~M CBK = AB cos 45° = 4迈—=42在RtACPH中，由勾股定理得，HC = V52 -42 = 3・•・ BC = BK + KH + HC = 4 + 3 + 3 = 10（图①）（图②）（2）如图②，过D作DG// AB交BC于G点,则四边形ADGB是平行四边形・・・MN // AB:.MN // DG:.BG = AD = 3:.GC = 10 — 3 = 7由题意知，当M、N运动到f秒时，CN=t, CM =10-2r.•・・ DG // MN:.ZNMC = ZDGC乂zc=zc・・・ ZXMNC s'GDC.CN CM9~CD~~CG10-2/7解得，（3）分三种情况讨论:①当NC = MC时,如图③，即/二10-2/10（图③）（图④）② 当MN = NC 时，如图④，过N 作NE 丄MC 于E VZC = ZC,乙DHC =乙NEC = 90°・•・ 'NEC s HDHC.NC EC^~DC~~HC 即［=□5 3•，兰8③ 当MN=MC 时，如图⑤，过M 作MF 丄CN 于F 点.FC=-NC = -t 2 2 VZC = ZC,乙MFC = ZDHC = 90° ・•・HMFCs'DHC ・ FC MC"~HC~~DC1即二Si3 5・ 60 • ■ t = -- 17综上所述，当/=巴、 3 &业好文档精心整理欢迎下载 2兰或2聖 8 17时，HMNC 九等腰三和形（图⑤）。

word完整版初二教学数学动点问题总结练习含答案,文档

动向问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点 ,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这种问题的重点是动中求静 ,灵巧运用相关数学知识解决问题 .重点:动中求静.数学思想：分类思想数形联合思想转变思想1、如图1，梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点P 从A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度挪动，点Q 从C 开始沿CB 向点B 以2cm/秒的速度挪动，假如P ，Q 分别从A ，C 同时出发，设挪动时间为 t 秒。

当t= 时，四边形是平行四边形； 6 当t= 时，四边形是等腰梯形 .82、如图2，正方形 ABCD 的边长为 4，点M 在边DC 上，且DM=1，N 为对角线 AC 上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 53、如图，在Rt△ABC中， AC B90°，B60°BC2．点 O 是 AC的中点，过，点O 的直线l 从与AC 重合的地点开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE∥AB 交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为．（1）①当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时 AD 的长为；②当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时 AD 的长为；（2）当 90° EDBC 能否为菱形，并说明原因．El时，判断四边形 C解：（1）①30，1；②60，；O（2）当∠α=900时，四边形EDBC 是菱形.ABD∵∠α=∠ACB=90，∴BC//ED.∵CE//AB,∴四边形EDBC 是平行四边形在Rt△ABC 中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.1 ACCO∴AB=4,AC=23.∴AO=2=3.在Rt△AOD 中，∠A=300，∴AD=2.BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形4、在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且MMDCCE ND A B（备用图）AD⊥MN于D，BE⊥MN于E. MCEA B A B A B图1E D图2N N图31（(1)当直线MN绕点C旋转到图1的地点时，求证：①△ADC≌△CEB；②DE=AD＋BE；当直线MN绕点C旋转到图2的地点时，求证：DE=AD-BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图3的地点时，试问DE、AD、BE拥有如何的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明.解：（1）①∵∠ACD=∠ACB=90°∴∠CAD+∠ACD=90°∴∠BCE+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCE∵AC=BC∴△ADC≌△CEB②∵△ADC≌△CEB∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE+CD=AD+BE(2)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE又∵AC=BC∴△ACD≌△CBE∴CE=AD，CD=BE∴DE=CE-CD=AD-BE(3)当MN旋转到图3的地点时，DE=BE-AD(或AD=BE-DE，BE=AD+DE等)∵∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°∴∠ACD=∠CBE，又∵AC=BC，∴△ACD≌△CBE，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD.5、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．AEF90o，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．经过思虑，小明展现了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连结ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：1）小颖提出：如图2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；2）小华提出：如图3，点E是BC的延伸线上（除C点外）的随意一点，其余条件不变，结论“AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因．解：（1）正确．A D证明：在AB上取一点M，使AM EC，连结ME．A BM BE．BME45°，AME135°．M QCF是外角均分线，DCF45°，ECF135°．AME ECF．B QAEB BAE90°，AEB CEF90°，BAE CEF．△AME≌△BCF（ASA）．AE （2）正确．证明：在BA的延伸线上取一点N．使AN CE，连结NE．BN BE．N PCE45°．NQ四边形ABCD是正方形，AD∥BE．A DAE BEA．NAE CEF．△ANE≌△ECF（ASA）．DFE C GEF．FDFBE C G图1A DFBE C G图2FADAEEF．B CEG B6、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点MB方向以1个单位/秒的速度挪动，设P的运动时间为t.求（1）△PAB为等腰三角形的t值；（2）△PAB为直角三角形的t值；（3）若AB=5且∠ABM=45°，其余条件不变，直接写出△PAB为直角三角形的t值CE G图3P从M沿射线27、如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB4，BC6，∠B 60.求：（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC 于点N，连结PN，设EPx.①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状能否发生改变？若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明原因；②当点N在线段DC上时（如图3），能否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，恳求出全部知足要求的x的值；若不存在，请说明原因A D AND A D P PNE F E F E FB C BM C BMC图1图2图3A D（第25题）A DE F E FB C B C图4（备用）图5（备用）解（1）如图1，过点E作EGBE1AB2．BC于点G．∵E为AB的中点，∴2BG1BE1，EG22123．在Rt△EBG中，∠B60，∴∠BEG30．∴23即点E 到BC 的距离为 3．（2）①当点N 在线段AD 上运动时，△PMN 的形状不发生改变．∵PMEF ，EGEF ，∴PM ∥EG ．∵EF ∥BC ，∴EP GM ，PMEG3．同理MN AB4．如图2，过点P 作PHMN 于H ，∵MN ∥AB ，∴∠NMC ∠B60，∠PMH30．∴PH1PM3．22∴MHPMgcos303．则NHMNMH43 5． 22 2232在Rt △PNH 中，PNNH 2PH 25 ．227∴△PMN 的周长=PM PN MN 3 74．ADEFB CG 图1NADP E FH B GM C图2②当点N 在线段DC 上运动时，△PMN 的形状发生改变，但 △MNC 恒为等边三角形．当PM PN 时，如图3，作PR MN 于R ，则MR NR ．近似①，MR3．∴MN2MR3．∵△MNC 是等边三角形，∴MCMN3．2此时，x EP GM BC BG MC 6132．AD ADADPNPEFEF EF （P ）RNNBM CBM CBCG GGM图3图4图5当MPMN 时，如图 4，这时MC MN MP3．此时，x EPGM61 353．当 NPNM 时，如图 5， ∠NPM ∠PMN30．则 ∠PMN120，∠MNC60，又∴∠PNM ∠MNC180．所以点P 与F 重合，△PMC 为直角三角形．∴MCPMgtan301．此时，x EP GM 6 114．综上所述，当x2或4或53时，△PMN 为等腰三角形．8、如图，已知 △ABC 中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D 为AB 的中点．(1）假如点P 在线段BC 上以3cm/s 的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动4①若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP能否全等，请说明原因；②若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，可以使△BPD 与△CQP全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点P 以本来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在△ABC的哪条边上相遇？解：（1）①∵t1秒，∴BPCQ313厘米，A∵AB10厘米，点D 为AB 的中点，∴BD5厘米．DQ又∵PCBCBP ，BC8厘米，∴PC835厘米，∴PCBD ．BC又∵AB AC ，∴BC ，∴△BPD ≌△CQP ．P②∵vPvQ ，∴BPCQ，又∵△BPD ≌△CQP，B C ，则BPPC4，CQBD5，BP 4v QCQ515t 4 4∴点P ，点Q 运动的时间t33秒，∴3厘米/秒。

(完整word版)初中数学几何的动点问题专题练习-附答案版

4动点问题专题训练1、如图，已知 △ ABC 中，AB AC 10厘米，BC 8厘米，点D 为AB 的中点. (1)如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点 Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动.① 若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1秒后，△ BPD 与厶CQP 是否全等，请说明理由；② 若点Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使厶BPD 与厶CQP 全等？(2)若点Q 以②中的运动速度从点 C 岀发，点P 以原来的运动速度从点 B 同时岀发，都逆时针沿 △ ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点Q 第一次在△ ABC 的哪条边上相遇?1. 解：(1［①丁t1秒，BP CQ 31 3厘米，AB 10厘米，点D 为AB 的中点, BD 5厘米.又 •- PC BC BP, BC 8厘米， PC8 3 5厘米，PC BD . 又•- AB AC ，B C ，•••△ BPD CQP ................................................... （4分）②•V P V Q ，• BP CQ ，又••△ BPD CQP ， B C ，则 BP PC 4，CQ BD 5，••B p —秒，33CQ 5 15 ,,•厘米/秒.（7 分）t4 43（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第 -次相遇，•- 80 2 28 24，由题意，得 15 x 3x 2 10，解得x 80秒. 3•••点P 共运动了80380厘米.•••点P、点Q在AB边上相遇,480 （12 分）•••经过秒点P 与点Q 第一次在边 AB 上相遇.332、直线y x 6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从0点岀发，同时到达 A4点，运动停止•点 Q 沿线段0A 运动，速度为每秒1个单位长度，点2.解（1） A （8，0） B （0，6） ....... 1 分（2） QOA 8，OB 6 AB 108Q 点Q 由O 到A 的时间是 8 （秒）16 10点P 的速度是 2 （单位/秒） 1分8当P 在线段OB 上运动（或0 < t < 3）时，OQ t , OP 2tt 28 24「12 24 12 2P 沿路线O T B T A 运动.（1 ）直接写岀A B 两点的坐标;（2）设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S ，求岀间的函数关系式；48（3 ）当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点5顶点的平行四边形的第四个顶点0、 P 、Q 为M 的坐标.P 在线段BA 上运动（或3 t < 8）时，OQ t ，AP 6 10 2t 16 2t ,如图，作PDS ^OQ2（自变量取值范围写对给 -丄PD OA 于点D ，由 -BO 刍5址，得 PD 心，AB 5PD3t 2 51分，否则不给分.）80（12 分）1，——，，M 3—，5555555、在Rt △ ABC 中，/ C =90° AC = 3 , AB = 5 •点P 从点C 岀发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点Q 从点A 岀发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点 B 匀速运动•伴随着 P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ 且交PQ 于点D,交折线 QBBGCP 于点E.点P 、Q 同时岀发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止.设点P 、 Q 运动的时间是t 秒(t > 0). (1) _____________________ 当t = 2时，AP = ___________，点Q 到AC 的距离是 _____________ ; (2) 在点P 从C 向A 运动的过程中，求△ APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；(不必写岀t 的取值范围) (3) 在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值.若不能，请说明理由； (4) 当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值.B 图165.解：(1) 1，8;5 (2)作 QF L AC 于点 F ,如图 3，AQ = Cf= t ，• AP 3 t .由厶 AQ &A ABC BC J 523^ 4，得QF 4 1 42(3 t),， (3 )能.①当DE// QB 时，如图4. •••DEL PQ ••• PQL QB 四边形 QBED 是直角梯形. 此时/ AQ P90°. B由厶APQ ABC 得冬 ,AC AB即-3-.解得t - 3 5 8 ②如图5,当PQ// BC 时, 此时/ APQ =90°. DEL BC 四边形QBED 是直角梯形.由厶 AQP ABC AQ AP AB AC ， B15 8 t 5或t 生 2 14①点连接 DE 经过点C. PC P 由C 向A 运动， QC 作QQBC 于点G,如图6. t , QC 2 QG 2 CG 2 [3(5 t)]2 [4 -(5 t)]2. 5 5D3 4 5QC2，得t2[-(5 t)f [4 —(5 t)f，解得t -.5 5 2②点P由A向C运动, DE经过点C,如图7.(6 t)2- 2 4 2L(5 t)]2[4 -(5 t)]2, t5 5451—(1 ) ①当度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为;1 1②当度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为(2 ) 当90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由.6 如图，在Rt△ABC 中，ACB 90°B 60°, BC 2 •点O是AC 的中点，过点O的直线I从与AC重合的位置开始，绕点O作逆时针旋转，交AB 边于点D •过点C 作CE // AB交直线I于点E，设直线I的旋转角为 .6.解(1)① 30，1;② 60，1.5 ; (4)分（备用图）（2）当/口=900时，四边形EDB（是菱形.T/a =Z ACB=90，「. BC/ ED•••CE/AB二四边形EDB（是平行四边形在Rt △ ABC中, / AC孑90°,/ B=600, BC=2,•••/ A=300.••• AB=4, AG=2、、-.• AO=1AC =、、3 . .......................... 8 分2在Rt△ AOD中, / A=300,.・. AD=2.•BD=2.•BD=BC又••四边形EDBC是平行四边形,•四边形EDB（是菱形10分由PC27 如图，在梯形 ABCD 中，AD // BC , AD 3, DC 5, AB <2,Z B 45 .动点 M从B 点岀发沿线段 BC 以每秒2个单位长度的速度向终点 C 运动；动点N 同时从C 点岀发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动•设运动的时间为 t 秒.求BC 的长.当MN // AB 时，求t 的值.试探究：t 为何值时， △ MNC 为等腰三角形.7.解：（1）如图①，过A 、D 分别作AK BC 于K , DH BC 于H ，则四边形 ADHK 是矩形•- KH AD 3................................................................. (2)如图②，过D 作DG // AB 交BC 于G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形•- MN •- MN ••• BG •- GC由题意知，当 M 、N 运动到t 秒时，CN t , CM 10 2t . •/ DG // MN:丄 NMC / DGC又/C / C • △ MNC GDC • CN CM C D即t(1) (2) (3) 在 Rt A ABK 中,AK AB@n454,2.# 4 在Rt A CDH 中，由勾股定理得, HC 52 42 33 3 10// AB// DG AD3 10 3 7CG 10 2t7 t 50 .• 17（3）分三种情况讨论:CBK ABgcos4544二 BC BK KH HC 4（图①）分3（图②）3 4 5解得,57 分①当NC...t 卫3MC 时，如图③，即t 10 2tM （图③）（图④）②当MN NC 时，如图④，过 N 作NE 解法一： MC 于E 由等腰三角形三线合一性质得在 Rt △CEN 中, cosc 又在 Rt △DHC 中, 1 EC MC 2 EC 5 t NCCH cosc CD 解得t 5 25 解法二： •- / C ••• △NEC DHC NC EC / C ，DHC NEC 90 -10 2t 5 t 2DC 即 -5 HC5 t 3 25 8 ③当 MN MC 时，如图⑤，过 M 作MFCN 于 F 点.FC - NC2解法一: （方法同②中解法一）cosC FC 解得t MC 60 It 2 10 2t 17 解法二： •- / C •△MFC DHC FC MCH M（图⑤）/ C, MFC DHC 90HC DC图1图2 图310.解：（1）正确. •••• 证明：在AB 上取一点M ，BM BE . BMEQCF 是外角平分线，DCF 45°， ECF 135° . AME ECF .Q AEB BAE 90。

动点综合问题(共32题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)

专题动点综合问题(32题)1(2023·四川遂宁·统考中考真题)如图，在△ABC 中，AB =10，BC =6，AC =8，点P 为线段AB 上的动点，以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 移动，到达点B 时停止．过点P 作PM ⊥AC 于点M 、作PN ⊥BC 于点N ，连接MN ，线段MN 的长度y 与点P 的运动时间t (秒)的函数关系如图所示，则函数图象最低点E 的坐标为()A.5，5B.6,245C.325,245D.325,5【答案】C【分析】如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，连接CP ，先利用勾股定理的逆定理证明△ABC 是直角三角形，即∠C =90°，进而利用等面积法求出CD =245，则可利用勾股定理求出AD =325；再证明四边形CMPN 是矩形，得到MN =CP ，故当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，AP =325，则点E 的坐标为325,245．【详解】解：如图所示，过点C 作CD ⊥AB 于D ，连接CP ，∵在△ABC 中，AB =10，BC =6，AC =8，∴AC 2+BC 2=62+82=100=102=AB 2，∴△ABC 是直角三角形，即∠C =90°，∴S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CD ，∴CD =AC ⋅BC AB=245，∴AD =AC 2-CD 2=325；∵PM ⊥AC ，PN ⊥BC ，∠C =90°，∴四边形CMPN 是矩形，∴MN =CP ，∴当MN 最小时，即CP 最小，∴当点P 与点D 重合时，CP 最小，即MN 最小，此时MN 最小值为245，AP =AD =325，∴点E 的坐标为325,245，故选：C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，矩形的性质与判断，垂线段最短，坐标与图形等等，正确作出辅助线是解题的关键．2(2023·广东深圳·统考中考真题)如图1，在Rt △ABC 中，动点P 从A 点运动到B 点再到C 点后停止，速度为2单位/s ，其中BP 长与运动时间t (单位：s )的关系如图2，则AC 的长为()B.427C.17D.53A.1552【答案】C【分析】根据图象可知t=0时，点P与点A重合，得到AB=15，进而求出点P从点A运动到点B所需的时间，进而得到点P从点B运动到点C的时间，求出BC的长，再利用勾股定理求出AC即可．【详解】解：由图象可知：t=0时，点P与点A重合，∴AB=15，∴点P从点A运动到点B所需的时间为15÷2=7.5s；∴点P从点B运动到点C的时间为11.5-7.5=4s，∴BC=2×4=8；在Rt△ABC中：AC=AB2+BC2=17；故选：C．【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理．从函数图象中有效的获取信息，求出AB,BC的长，是解题的关键．3(2023·黑龙江绥化·统考中考真题)如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，动点M，N同时从A 点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD 向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，△AMN的面积为y 个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是()A. B.C. D.【答案】A【分析】连接BD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，根据已知条件得出△ABD 是等边三角形，进而证明△AMN ∽ABE 得出∠ANM =∠AEB =90°，当0<t <4时，M 在AB 上，当4≤t <8时，M 在BC 上，根据三角形的面积公式得到函数关系式，【详解】解：如图所示，连接BD ，过点B 作BE ⊥AD 于点E ，当0<t <4时，M 在AB 上，菱形ABCD 中，∠A =60°，AB =4，∴AB =AD ，则△ABD 是等边三角形，∴AE =ED =12AD =2，BE =3AE =23∵AM =2x ,AN =x ，∴AM AN =AB AE =2，又∠A =∠A ∴△AMN ∽ABE∴∠ANM =∠AEB =90°∴MN =AM 2-AN 2=3x ，∴y =12x ×3x =32x2当4≤t <8时，M 在BC 上，∴y =12AN ×BE =12x ×23=3x ，综上所述，0<t <4时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当4≤t <8时，函数图象是直线的一部分，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．4(2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题)如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点M ，N 分别从点A ，B 同时出发，沿射线AB ，射线BC 的方向匀速运动，且速度的大小相等，连接DM ，MN ，ND ．设点M 运动的路程为x 0≤x ≤4 ，△DMN 的面积为S ，下列图像中能反映S 与x 之间函数关系的是()A. B.C. D.【答案】A【分析】先根据S =S 正方形ABCD -S △ADM -S △DCN -S △BMN ，求出S 与x 之间函数关系式，再判断即可得出结论．【详解】解：S =S 正方形ABCD -S △ADM -S △DCN -S △BMN ，=4×4-12×4x -12×4(4-x )-12x (4-x )，=12x 2-2x +8，=12(x -2)2+6，故S 与x 之间函数关系为二次函数，图像开口向上，x =2时，函数有最小值6，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质，二次函数的图像与性质，本题的关键是求出S 与x 之间函数关系式，再判断S 与x 之间函数类型．5(2023·河南·统考中考真题)如图1，点P 从等边三角形ABC 的顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点B ．设点P 运动的路程为x ，PBPC=y ，图2是点P 运动时y 随x 变化的关系图象，则等边三角形ABC 的边长为()A.6B.3C.43D.23【答案】A【分析】如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PB =PC ，AO =23，易知∠BAO =∠CAO =30°，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，可知AO =OB =23，过点O 作OD ⊥AB ，解直角三角形可得AD =AO ⋅cos30°=3，进而可求得等边三角形ABC 的边长．【详解】解：如图，令点P 从顶点A 出发，沿直线运动到三角形内部一点O ，再从点O 沿直线运动到顶点B ．结合图象可知，当点P 在AO 上运动时，PBPC=1，∴PB =PC ，AO =23，又∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC =60°，AB =AC ，∴△APB ≌△APC SSS ，∴∠BAO =∠CAO ，∴∠BAO =∠CAO =30°，当点P 在OB 上运动时，可知点P 到达点B 时的路程为43，∴OB =23，即AO =OB =23，∴∠BAO =∠ABO =30°，过点O 作OD ⊥AB ，∴AD =BD ，则AD =AO ⋅cos30°=3，∴AB =AD +BD =6，即：等边三角形ABC 的边长为6，故选：A ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用图象和图形给出的条件．6(2023·四川乐山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =-x -2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，C 、D 是半径为1的⊙O 上两动点，且CD =2，P 为弦CD 的中点．当C 、D 两点在圆上运动时，△PAB 面积的最大值是()A.8B.6C.4D.3【答案】D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出OA =OB =2，确定AB =22，再由题意得出当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线y =-x -2与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，∴当x =0时，y =-2，当y =0时，x =-2，∴A -2,0 ,B 0,-2 ，∴OA =OB =2，∴AB =OA 2+OB 2=22，∵△PAB 的底边AB =22为定值，∴使得△PAB 底边上的高最大时，面积最大，点P 为CD 的中点，当PO 的延长线恰好垂直AB 时，垂足为点E ，此时PE 即为三角形的最大高，连接DO ，∵CD =2，⊙O 的半径为1，∴DP=22∴OP=OD2-DP2=22，∵OE⊥AB，∴OE=12AB=2，∴PE=OE+OP=322，∴S△PAB=12×22×322=3，故选：D．【点睛】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．7(2023·河北·统考中考真题)如图是一种轨道示意图，其中ADC和ABC均为半圆，点M，A，C，N依次在同一直线上，且AM=CN．现有两个机器人(看成点)分别从M，N两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为M→A→D→C→N和N→C→B→A→M．若移动时间为x，两个机器人之间距离为y，则y与x关系的图象大致是()A. B.C. D.【答案】D【分析】设圆的半径为R，根据机器人移动时最开始的距离为AM+CN+2R，之后同时到达点A，C，两个机器人之间的距离y越来越小，当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大．【详解】解：由题意可得：机器人(看成点)分别从M，N两点同时出发，设圆的半径为R，∴两个机器人最初的距离是AM+CN+2R，∵两个人机器人速度相同，∴分别同时到达点A，C，∴两个机器人之间的距离y越来越小，故排除A，C；当两个机器人分别沿A→D→C和C→B→A移动时，此时两个机器人之间的距离是直径2R，保持不变，当机器人分别沿C→N和A→M移动时，此时两个机器人之间的距离越来越大，故排除C，故选：D．【点睛】本题考查动点函数图像，找到运动时的特殊点用排除法是关键．8(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为9,0，点C的坐标为0,3，以OA,OC为边作矩形OABC．动点E,F分别从点O,B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA,BC向终点A,C移动．当移动时间为4秒时，AC⋅EF的值为()A.10B.910C.15D.30【答案】D【分析】根据题意，得出E4,0，勾股定理求得EF=10，AC=310，即可求解．，F5,3【详解】解：连接AC、EF∵点A的坐标为9,0，以OA,OC为边作矩形OABC．，点C的坐标为0,3∴B9,3，AC=32+92=310则OA=9，BC=OA=9依题意，OE=4×1=4，BF=4×1=4∴AE=9-4=5，则E4,0，∴CF=BC-BF=9-4=5∴F5,3，∴EF=5-42+32=10，∵C0,3，∴AC⋅EF=310×10=30故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形，勾股定理求两点坐标距离，矩形的性质，求得E,F的坐标是解题的关键．9(2023·山东滨州·统考中考真题)已知点P 是等边△ABC 的边BC 上的一点，若∠APC =104°，则在以线段AP ,BP ,CP 为边的三角形中，最小内角的大小为()A.14°B.16°C.24°D.26°【答案】B【分析】将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，可得以线段AP ,BP ,CP 为边的三角形，即△PCQ ，最小的锐角为∠PQC ，根据邻补角以及旋转的性质得出∠AQC =∠APB =76°，进而即可求解．【详解】解：如图所示，将△ABP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ACQ ，∴AP =AQ ,∠PAQ =60°，BP =CQ ，∠AQC =∠APB ，∴△APQ 是等边三角形，∴PQ =AP ，∴以线段AP ,BP ,CP 为边的三角形，即△PCQ ，最小的锐角为∠PQC ，∵∠APC =104°，∴∠APB =76°∴∠AQC =∠APB =76°∴∠PQC =76°-60°=16°，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．10(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点．动点P 从点A 出发沿AB →BC 匀速运动，运动到点C 时停止．设点P 的运动路程为x ，线段PE 的长为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则点M 的坐标为()A.4,23B.4,4C.4,25D.4,5【答案】C【分析】证明AB =BC =CD =AD =4，∠C =∠D =90°，CE =DE =2，则当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE =22+42=25，而运动路程为0或4，从而可得答案．【详解】解：∵正方形ABCD 的边长为4，E 为CD 边的中点，∴AB =BC =CD =AD =4，∠C =∠D =90°，CE =DE =2，当P 与A ，B 重合时，PE 最长，此时PE =22+42=25，运动路程为0或4，结合函数图象可得M 4,25 ，故选：C .【点睛】本题考查的是从函数图象中获取信息，正方形的性质，勾股定理的应用，理解题意，确定函数图象上横纵坐标的含义是解本题的关键．11(2023·浙江绍兴·统考中考真题)如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的点(不与点B ,C 重合)．过点D作DE ∥AB 交AC 于点E ；过点D 作DF ∥AC 交AB 于点F ．N 是线段BF 上的点，BN =2NF ；M 是线段DE 上的点，DM =2ME ．若已知△CMN 的面积，则一定能求出()A.△AFE 的面积B.△BDF 的面积C.△BCN 的面积D.△DCE 的面积【答案】D【分析】如图所示，连接ND ，证明△FBD ∽△EDC ，得出FB ED =FD EC ，由已知得出NF ME =BF DE ，则FDEC=NFME，又∠NFD =∠MEC ，则△NFD ∽△MEC ，进而得出∠MCD =∠NDB ，可得MC ∥ND ，结合题意得出S △EMC =12S △DMC =12S △MNC ，即可求解．【详解】解：如图所示，连接ND ，∵DE ∥AB ，DF ∥AC ，∴∠ECD =∠FDB ,∠FBD =∠EDC ，∠BFD =∠A ,∠A =DEC ．∴△FBD ∽△EDC ,∠NFD =∠MEC ．∴FB ED =FD EC ．∵DM =2ME ，BN =2NF ，∴NF =13BF ,ME =13DE ，∴NF ME =BF DE ．∴FD EC=NF ME ．又∵∠NFD =∠MEC ，∴△NFD ∽△MEC ．∴∠ECM =∠FDN ．∵∠FDB =∠ECD ∴∠MCD =∠NDB ．∴MC ∥ND ．∴S △MNC =S △MDC ．∵DM =2ME ，∴S △EMC =12S △DMC =12S △MNC ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，证明MC ∥ND 是解题的关键．12(2023·安徽·统考中考真题)如图，E 是线段AB 上一点，△ADE 和△BCE 是位于直线AB 同侧的两个等边三角形，点P ,F 分别是CD ,AB 的中点．若AB =4，则下列结论错误的是()A.PA +PB 的最小值为33B.PE +PF 的最小值为23C.△CDE 周长的最小值为6D.四边形ABCD 面积的最小值为33【答案】A【分析】延长AD ,BC ，则△ABQ 是等边三角形，观察选项都是求最小时，进而得出当E 点与F 重合时，则Q ,P ,F 三点共线，各项都取得最小值，得出B ，C ，D 选项正确，即可求解．【详解】解：如图所示，延长AD ,BC ，依题意∠QAD =∠QBA =60°∴△ABQ 是等边三角形，∵P 是CD 的中点，∴PD =PC ，∵∠DEA =∠CBA ，∴ED ∥CQ∴∠PQC =∠PED ,∠PCQ =∠PDE ，∴△PDE ≌△PCQ ∴PQ =PE ，∴四边形DECQ 是平行四边形，则P 为EQ 的中点如图所示，设AQ ,BQ 的中点分别为G ,H ，则GP =12AE ,PH =12EB∴当E 点在AB 上运动时，P 在GH 上运动，当E 点与F 重合时，即AE =EB ，则Q ,P ,F 三点共线，PF 取得最小值，此时AE =EB =12AE +EB =2，则△ADE ≌△ECB ，∴C ,D 到AB 的距离相等，则CD ∥AB ，此时PF =32AD =3此时△ADE 和△BCE 的边长都为2，则AP ,PB 最小，∴PF =32×2=3，∴PA =PB =22+3 2=7∴PA +PB =27，或者如图所示，作点B 关于GH 对称点B ，则PB =PB ，则当A ,P ,B 三点共线时，AP +PB =AB此时AB =AB 2+BB =42+23 2=27故A 选项错误，根据题意可得P ,Q ,F 三点共线时，PF 最小，此时PE =PF =3，则PE +PF =23，故B 选项正确；△CDE 周长等于CD +DE +CE =CD +AE +EB =CD +AB =CD +4，即当CD 最小时，△CDE 周长最小，如图所示，作平行四边形GDMH ，连接CM ，∵∠GHQ =60°,∠GHM =∠GDM =60°，则∠CHM =120°如图，延长DE ,HG ，交于点N ，则∠NGD =∠QGH =60°，∠NDG =∠ADE =60°∴△NGD 是等边三角形，∴ND =GD =HM ，在△NPD 与△HPC 中，∠NPD =∠HPC∠N =∠CHP =60°PD =PC∴△NPD ≌△HPC∴ND =CH∴CH =MH∴∠HCM =∠HMC =30°∴CM ∥QF ，则CM ⊥DM ，∴△DMC 是直角三角形，在△DCM 中，DC >DM∴当DC =DM 时，DC 最短，DC =GH =12AB =2∵CD =PC +2PC∴△CDE 周长的最小值为2+2+2=6，故C 选项正确；∵△NPD ≌△HPC∴四边形ABCD 面积等于S △ADE +S △EBC+S △DEC =S △ADE +S 平行四边NEBH∴当△BGD的面积为0时，取得最小值，此时，D,G重合，C，H重合∴四边形ABCD面积的最小值为3×34×22=33，故D选项正确，故选：A．【点睛】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质，得出当E点与F重合时得出最小值是解题的关键．二、填空题13(2023·四川达州·统考中考真题)在△ABC中，AB=43，∠C=60°，在边BC上有一点P，且BP= 12AC，连接AP，则AP的最小值为．【答案】213-2【分析】如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN PN为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得AM=BM=CM=4，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得∠AMC=∠PNB，从而易证△AMC∼△PNB可得CMPN=ACPB=21即PN=12CM=2勾股定理即可求得AN=213在△APN中由三角形三边关系AP≥AN-PN即可求解．【详解】解：如图，作△ABC的外接圆，圆心为M，连接AM、BM、CM，过M作MD⊥AB于D，过B作BN ⊥AB，交BP的垂直平分线于N，连接AN、BN、PN，以N为圆心，BN PN为半径作圆；∵∠C=60°，M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMB=120°，AM=BM，∴∠MAB=∠MBA=30°，∴MD=12AM，∵MD⊥AB，∴AD=12AB=23，在Rt△ADM中，∵AM2=MD2+AD2，∴AM2=12AM2+232，∴AM=4，即AM=BM=CM=4，由作图可知BN⊥AB，N在BP的垂直平分线上，∴∠PBN=∠BPN=90°-∠ABC，∴∠PNB=180°-∠PBN+∠BPN=2∠ABC，又∵M为△ABC的外接圆的圆心，∴∠AMC=2∠ABC，∴∠AMC=∠PNB，∵CM PN =AMBN，∴△AMC∼△PNB，∴CM PN =ACPB，∵BP=12AC，∴CM PN =ACPB=21，即PN=12CM=2，∴PN=BN=2，在Rt△ABN中，AN=AB2+BN2=432+22=213，在△APN中，AP≥AN-PN=213-2，即AP最小值为213-2，故答案为：213-2．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合△ABC的外接圆构造相似三角形．14(2023·浙江宁波·统考中考真题)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB边上一点，以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，连接AD，BE=3,BD=35．P是AB边上的动点，当△ADP为等腰三角形时，AP的长为．【答案】230或6【分析】连接OD，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出CD的长，勾股定理求出AC和AD的长，分AP=AD和AP=PD两种情况进行求解即可．【详解】解：连接OD，∵以AE为直径的半圆O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，OA=OE=OD，∴∠ODB=90°设OA=OE=OD=r，则OB=OE+BE=3+r，在Rt△ODB中：OD2+BD2=OB2，即：r2+352=3+r2，解得：r=6，∴OA=OE=OD=6，∴OB=9，AB=15，AE=12，∵∠C=∠ODB=90°，∴OD∥AC，∴OB OA =DBDC=96=32，∵DB=35，∴CD=25，∴BC=DB+CD=55，∴AC=AB2-BC2=10，∴AD=AC2+CD2=230；∵△ADP为等腰三角形，当AD=AP时，AP=230，当PA=PD时，∵OA=OD，∴点P与点O重合，∴AP=OA=6，不存在PD=AD的情况；综上：AP的长为230或6．故答案为：230或6．【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点P的位置，是解题的关键．15(2023·四川凉山·统考中考真题)如图，边长为2的等边△ABC的两个顶点A、B分别在两条射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON，则OC的最大值是．【答案】1+3【分析】如图所示，取AB的中点D，连接OD，CD，先根据等边三角形的性质和勾股定理求出CD=3，再根据直角三角形的性质得到OD=12AB=1，再由OC≤OD+CD可得当O、C、D三点共线时，OC有最大值，最大值为1+3．【详解】解：如图所示，取AB的中点D，连接OD，CD，∵△ABC是边长为2的等边三角形，∴CD⊥AB，BC=AB=2，∴BD=AD=1，∴CD=BC2-BD2=3，∵OM⊥ON，即∠AOB=90°，∴OD =12AB =1，∵OC ≤OD +CD ，∴当O 、C 、D 三点共线时，OC 有最大值，最大值为1+3，故答案为：1+3．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线确定当O 、C 、D 三点共线时，OC 有最大值是解题的关键．16(2023·四川泸州·统考中考真题)如图，E ，F 是正方形ABCD 的边AB 的三等分点，P 是对角线AC 上的动点，当PE +PF 取得最小值时，AP PC的值是．【答案】27【分析】作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，此时PE +PF 取得最小值，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，根据题意可知点F 落在AD 上，设正方形的边长为a ，求得AK 的边长，证明△AEP∽△KF P ，可得KP AP=2，即可解答．【详解】解：作点F 关于AC 的对称点F ，连接EF 交AC 于点P ，过点F 作AD 的垂线段，交AC 于点K ，由题意得：此时F 落在AD 上，且根据对称的性质，当P 点与P 重合时PE +PF 取得最小值，设正方形ABCD 的边长为a ，则AF =AF =23a ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠F AK =45°，∠P AE =45°，AC =2a∵F K ⊥AF ，∴∠F AK =∠F KA =45°，∴AK =223a ，∵∠F P K =∠EP A ，∴△E KP ∽△EAP ，∴F K AE =KP AP=2，∴AP =13AK =292a ，∴CP =AC -AP =792a ， ∴AP CP =27，∴当PE +PF 取得最小值时，AP PC 的值是为27，故答案为：27．【点睛】本题考查了四边形的最值问题，轴对称的性质，相似三角形的证明与性质，正方形的性质，正确画出辅助线是解题的关键．17(2023·河南·统考中考真题)矩形ABCD 中，M 为对角线BD 的中点，点N 在边AD 上，且AN =AB =1．当以点D ，M ，N 为顶点的三角形是直角三角形时，AD 的长为．【答案】2或2+1【分析】分两种情况：当∠MND =90°时和当∠NMD =90°时，分别进行讨论求解即可．【详解】解：当∠MND =90°时，∵四边形ABCD 矩形，∴∠A =90°，则MN ∥AB ，由平行线分线段成比例可得：AN ND =BM MD，又∵M 为对角线BD 的中点，∴BM =MD ，∴AN ND =BM MD=1，即：ND =AN =1，∴AD =AN +ND =2，当∠NMD =90°时，∵M 为对角线BD 的中点，∠NMD =90°∴MN 为BD 的垂直平分线，∴BN =ND ，∵四边形ABCD 矩形，AN =AB =1∴∠A=90°，则BN=AB2+AN2=2，∴BN=ND=2∴AD=AN+ND=2+1，综上，AD的长为2或2+1，故答案为：2或2+1．【点睛】本题考查矩形的性质，平行线分线段成比例，垂直平分线的判定及性质等，画出草图进行分类讨论是解决问题的关键．18(2023·湖南·统考中考真题)如图，在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB P，连接CB ，则在点P的运动过程中，线段CB 的最小值为．【答案】11-2【分析】根据折叠的性质得出B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．【详解】解：∵在矩形ABCD中，AB=2,AD=7，∴BC=AD=7，AC=BC2+AB2=7+4=11，如图所示，当点P在BC上时，∵AB =AB=2∴B 在A为圆心，2为半径的弧上运动，当A,B ,C三点共线时，CB 最短，此时CB =AC-AB =11-2，当点P在DC上时，如图所示，此时CB >11-2当P 在AD 上时，如图所示，此时CB >11-2综上所述，CB 的最小值为11-2，故答案为：11-2．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．19(2023·广西·统考中考真题)如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 上的动点，M ，N 分别是EF ，AF 的中点，则MN 的最大值为．【答案】2【分析】首先证明出MN 是△AEF 的中位线，得到MN =12AE ，然后由正方形的性质和勾股定理得到AE =AB 2+BE 2=4+BE 2，证明出当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，进而得到当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，最后代入求解即可．【详解】如图所示，连接AE ，∵M ，N 分别是EF ，AF 的中点，∴MN 是△AEF 的中位线，∴MN =12AE ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B =90°，∴AE =AB 2+BE 2=4+BE 2，∴当BE 最大时，AE 最大，此时MN 最大，∵点E 是BC 上的动点，∴当点E 和点C 重合时，BE 最大，即BC 的长度，∴此时AE =4+22=22，∴MN =12AE =2，∴MN 的最大值为2．故答案为：2．【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．20(2023·山东·统考中考真题)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°,AB=5,AD=4,AD <BC，点E在线段BC上运动，点F在线段AE上，∠ADF=∠BAE，则线段BF的最小值为．【答案】29-2【分析】设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与⊙O的交点为点F ，证明∠DFA=90°，可知点F在以AD为直径的半圆上运动，当点F运动到OB与⊙O的交点F 时，线段BF有最小值，据此求解即可．【详解】解：设AD的中点为O，以AD为直径画圆，连接OB，设OB与⊙O的交点为点F ，∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠ADF=∠BAE，∴∠DFA=∠ABE=90°，∴点F在以AD为直径的半圆上运动，∴当点F运动到OB与⊙O的交点F 时，线段BF有最小值，∵AD=4，AD=2，，∴AO=OF =12∴BO=52+22=29，BF的最小值为29-2，故答案为：29-2．【点睛】本题考查了平行线的性质，圆周角定理的推论，勾股定理等知识，根据题意分析得到点F的运动轨迹是解题的关键．21(2023·四川内江·统考中考真题)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=12，对角线AC与BD交于点O，点E为BC边上的一个动点，EF⊥AC，EG⊥BD，垂足分别为点F，G，则EF+EG=．【答案】6013【分析】连接OE ，根据矩形的性质得到BC =AD =12，AO =CO =BO =DO ，∠ABC =90°，根据勾股定理得到AC =AB 2+BC 2=13，求得OB =OC =132，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：连接OE ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，BC =AD =12，AO =CO =BO =DO ，∵AB =5，BC =12，∴AC =AB 2+BC 2=13，∴OB =OC =132，∴S △BOC =S △BOE +S △COE =12×OB ⋅EG +12OC ⋅EF =12S △ABC =12×12×5×12=15，∴12×132EG +12×132EF =12×132(EG +EF )=15，∴EG +EF =6013，故答案为：6013．【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．22(2023·山东烟台·统考中考真题)如图1，在△ABC 中，动点P 从点A 出发沿折线AB →BC →CA 匀速运动至点A 后停止．设点P 的运动路程为x ，线段AP 的长度为y ，图2是y 与x 的函数关系的大致图象，其中点F 为曲线DE 的最低点，则△ABC 的高CG 的长为．【答案】732【分析】过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当AB +BQ =12时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，勾股定理求得AQ ，然后等面积法即可求解．【详解】如图过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，当点P 与Q 重合时，在图2中F 点表示当AB +BQ =12时，点P 到达点Q ，此时当P 在BC 上运动时，AP 最小，∴BC =7，BQ =4,QC =3在Rt △ABQ 中，AB =8,BQ =4∴AQ =AB 2-BQ 2=82-42=43∵S △ABC =12AB ×CG =12AQ ×BC ，∴CG =BC ×AQ AB=7×438=732,故答案为：732．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短，从函数图象获取信息是解题的关键．23(2023·新疆·统考中考真题)如图，在▱ABCD 中，AB =6，BC =8，∠ABC =120°，点E 是AD 上一动点，将△ABE 沿BE 折叠得到△A BE ，当点A 恰好落在EC 上时，DE 的长为．【答案】37-3【分析】过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，根据平行四边形的性质以及已知条件得出∠ADC=∠ABC=120°,∠HDC=60°，进而求得DH,HC，根据折叠的性质得出CB=CE，进而在Rt△ECH中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，∵在▱ABCD中，AB=6，BC=8，∠ABC=120°，∴∠ADC=∠ABC=120°,∠HDC=60°，CD=AB=6，AD=CB=8，DC=3，∴DH=DC×cos∠HDC=12在Rt△ECH中，HC=CD2-DH2=62-32=33∵将△ABE沿BE折叠得到△A BE，当点A 恰好落在EC上时，∴∠AEB=∠CEB又AD∥BC∴∠EBC=∠AEB∴∠EBC=∠CEB∴CE=BC=8设ED=x，∴EH=x+3在Rt△ECH中，EC2=EH2+HC2∴82=x+322+33解得：x=37-3(负整数)故答案为：37-3．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．24(2023·四川眉山·统考中考真题)如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为-8，6，过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点C、点A，直线y=-2x-6与AB交于点D．与y轴交于点E．动点M在线段BC上，动点N在直线y=-2x-6上，若△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，则点M的坐标为【答案】M-8,6或M-8,2 3【分析】如图，由△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，可得N在以AM为直径的圆H上，MN= AN，可得N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，符合题意，可得M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK=AB=8，证明△MNK≌△NAJ，设N x,-2x-6，可得MK=NJ=-x，KN=AJ=-2x-6-6=-2x-12，而KJ=AB =8，则-2x-12-x=8，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴N在以AM为直径的圆H上，MN=AN，∴N是圆H与直线y=-2x-6的交点，当M,B重合时，∵B-8,6，则H-4,3，∴MH=AH=NH=4，符合题意，∴M-8,6，当N在AM的上方时，如图，过N作NJ⊥y轴于J，延长MB交BJ于K，则∠NJA=∠MKN=90°，JK= AB=8，∴∠NAJ+∠ANJ=90°，∵AN =MN ，∠ANM =90°，∴∠MNK +∠ANJ =90°，∴∠MNK =∠NAJ ，∴△MNK ≌△NAJ ，设N x ,-2x -6 ，∴MK =NJ =-x ，KN =AJ =-2x -6-6=-2x -12，而KJ =AB =8，∴-2x -12-x =8，解得：x =-203，则-2x -6=223，∴CM =CK -MK =223-203=23，∴M -8,23 ；综上：M -8,6 或M -8,23 ．故答案为：M -8,6 或M -8,23．【点睛】本题考查的是坐标与图形，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，本题属于填空题里面的压轴题，难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键．25(2023·四川自贡·统考中考真题)如图，直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点D 是线段AB 上一动点，点H 是直线y =-43x +2上的一动点，动点E m ，0 ，F m +3，0 ，连接BE ，DF ，HD ．当BE +DF 取最小值时，3BH +5DH 的最小值是．【答案】392【分析】作出点C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，此时BE +DF 的最小值为CD 的长，利用解直角三角形求得F 113，0 ，利用待定系数法求得直线CD 的解析式，联立即可求得点D 的坐标，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，此时3BH +5DH 的最小值是5DG 的长，据此求解即可．【详解】解：∵直线y =-13x +2与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，∴B 0，2 ，A 6，0 ，作点B 关于x 轴的对称点B 0，-2 ，把点B 向右平移3个单位得到C 3，-2 ，作CD ⊥AB 于点D ，交x 轴于点F ，过点B 作B E ∥CD 交x 轴于点E ，则四边形EFCB 是平行四边形，此时，BE =B E =CF ，∴BE +DF =CF +DF =CD 有最小值，作CP ⊥x 轴于点P ，则CP =2，OP =3，∵∠CFP =∠AFD ，∴∠FCP =∠FAD ，∴tan ∠FCP =tan ∠FAD ，∴PF PC =OB OA ，即PF 2=26，∴PF =23，则F 113，0 ，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则3k +b =-2113k +b =0，解得k =3b =-11 ，∴直线CD 的解析式为y =3x -11，联立，y =3x -11y =-13x +2 ，解得x =3910y =710，即D3910，710；过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，直线y =-43x +2与x 轴的交点为Q 32，0 ，则BQ =OQ 2+OB 2=52，∴sin ∠OBQ =OQ BQ =3252=35，∴HG =BH sin ∠GBH =35BH ，∴3BH +5DH =535BH +DH =5HG +DH =5DG ，即3BH +5DH 的最小值是5DG =5×3910=392，故答案为：392．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解直角三角形，利用轴对称求最短距离，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．三、解答题26(2023·重庆·统考中考真题)如图，△ABC 是边长为4的等边三角形，动点E ，F 分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y．(1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值．【答案】(1)当0<t≤4时，y=t；当4<t≤6时，y=12-2t(2)图象见解析，当0<t≤4时，y随x的增大而增大(3)t的值为3或4.5【分析】(1)分两种情况：当0<t≤4时，根据等边三角形的性质解答；当4<t≤6时，利用周长减去2AE即可；(2)在直角坐标系中描点连线即可；(3)利用y=3分别求解即可．【详解】(1)解：当0<t≤4时，连接EF，由题意得AE=AF，∠A=60°，∴△AEF是等边三角形，∴y=t；当4<t≤6时，y=12-2t；(2)函数图象如图：。

(完整word)初中数学动点问题归纳,推荐文档

图(1) 图(2) 图(3)题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

)动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点31、( 2009年齐齐哈尔市)直线 y x 6与坐标轴分别交于 A B 两点，动点P 、Q 同时从O 点出发，4同时到达A 点，运动停止•点 Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单 7 yB位长度，点P 沿路线O T B T A 运动. (1) 直接写出A 、B 两点的坐标； (2)设点Q 的运动时间为t 秒，△ OPQ 的面积为S ,求出S 与t 之间 _ .- O「 48(3)当S 时，求出点P 的坐标，并直接写出以点 O 、P 、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的5坐标.解：1、A ( 8, 0) B (0, 6)r , 22、当 0 v t v 3 时，S=t当 3 v t v 8 时，S=3/ 8(8-t)t提示：第(2)问按点P 到拐点B 所有时间分段分类;第(3)问是分类讨论：已知三定点 O 、P 、Q ,探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、(2009年衡阳市)如图，AB 是O O 的直径，弦 BC=2cm , / ABC=60 o .(1) 求O O 的直径；(2) 若D 是AB 延长线上一点，连结 CD ，当BD 长为多少时，CD 与O O 相切；(3) 若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点 F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿动点问题的函数关系式;P tQBC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF，当t为何值时，△ BEF为直角三角形. 注意：第(3)问按直角位置分类讨论D共3、(2009重庆綦江)如图，已知抛物线y a(x 1)2 3. 3(a 0)经过点A( 2, 0)，抛物线的顶点为D , 过O作射线OM// AD •过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C , B在x轴正半轴上，连结BC •(1)求该抛物线的解析式；(2)若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s).问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？(3)若OC OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动.设它们的运动的时间为t (s)，连接PQ ,当t为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长.注意：发现并充分运用特殊角/ DAB=60 °当△OPQ面积最大时，四边形BCPQ的面积最小。

完整word版中考数学复习动点问题解题技巧

在运动中剖析在静态中求解动向几何问题已成为中考试题的一大热点题型．这类试题以运动的点、线段、变化的角、图形的面积为基本条件，给出一个或多个变量，要求确定变量与其他量之间的关系，或变量在必然条件为定值时，进行相关的几何计算和综合解答，解答这类题目，一般要依照点的运动和图形的变化过程，对其不同样样状况进行分类求解，本文以一道中考题为例，谈谈此类问题的思路打破与解题反思，希望能给大家一些启示．题目如图 1，已知点 A(2 ， 0)， B(0， 4)，∠ AOB 的均分线交 AB 于点 C ，一动点 P 从 O 点出发，以每秒 2 个单位长度的速度，沿 y 轴向点 B 作匀速运动，过点 P 且平行于AB 的直线交 x 轴于点 Q ，作点 P 、Q 关于直线 OC 的对称点 M 、N ．设点 P 运动的时间为 t(0<t<2) 秒．(1)求 C 点的坐标，并直接写出点M 、 N 的坐标（用含 t 的代数式表示）．(2)设△ MNC 与△ OAB 重叠部分的面积为 S ．①试求 S 关于 t 的函数关系式； ②在直角坐标系中，画出S 关于 t 的函数图象，并回答：S 可否有最大值？若有，写出S 的最大值；若没有，请说明原由．一、研究解题思路 1．利用基础知识轻松求解由题意不难发现第1 问是对基础知识的观察，有多种方法，考生可自行选择解法，简解 1 可经过作辅助线，过点 C 作 CF 上 x 轴于点 F ，CE ⊥y 轴于点 E ，由题意，易知四边形 OECF 为正方形，设正方形边长为 x ．由比率式求出点 C 的坐标 ( 4 ， 4)．33简解 2 由点 A 、B 的坐标可得直线 AB 的剖析式 y ＝－ 2x ＋ 4；由 OC 是∠ AOB 的均分线可得直线 OC 的剖析式 y ＝ x ；联立方程组轻松解得点 C 的坐标 ( 4 ， 4) ．33关于求点 M 、N 的坐标，是对相似及对称性的观察，依照相似可得P(0，2t)，Q(t ，0)，依照对称性可得 M(2t ， 0)， N(0， t). 这样，第 1 问轻松获解．2．动静结合找界点，分类议论细演算第 2 问的第一小题中，所求函数关系式为分段函数，需要分类议论，这是本题的难点之一；而要点是动静结合找界点，得出 t ＝ 1 时重叠部分的关系会发生变化，这是本题的难点之二．解答时需着手画出草图，随着点M 、 N 的地址的变化，△ MNC 的地址也随之发生变化，△ MNC 与△ OAB 重叠部分的面积 S 也发生变化 .S 可能会存在两种状况： ①△ OAB 将△ MNC 全部覆盖； ②△ OAB 将△ MNC 部分覆盖；点 M 从点 O 出发运动到点 A 时，即t ＝ 1时重叠部分的关系会发生变化，函数关系式也随之改变．由 t ＝ 1 这个界点确定两个范围，以此界值进行分类议论：当 0<t ≤ 1 时，点 M 在线段 OA 上，△ OAB 将△ MNC 全部覆盖，重叠部分面积为S △CMN ＝ S 四边形 CMON －S △OMN . 结合点 C 的坐标 ( 4 ， 4)，可得33S △CMN ＝－ t 2＋ 2t ；当 1<t<2 时，点 M 在 OA 的延长线上，设MN 与 AB 交于点 D，△ OAB 将△ MNC 部分覆盖，则重叠部分面积为S .△CDN另一个要点是要用 t 的代数式表示 D 点的横坐标，即△ BDN 的高，这是本题的难点之三．由 M(2t ， 0)， N(0 ， t) 可先用 t 的代数式表示直线MN 的剖析式 y＝－1x＋ t．2再结合直线 AB 的剖析式 y＝－ 2x＋ 4，联立方程组，解出 D 点的横坐标为82t ，则3重叠部分面积为S△CDN＝S△BDN －S△BCN1 t2 2t 83 3综上所述，t 2 2t(0 y 1)S 1 t2 2t 8 1 t 23 3由函数剖析式及其自变量的取值范围可画出函数图象，观察图象可知，当t＝ 1 时， S 有最大值，最大值为1．二、规范解答问题(1)如图 2，过点 C 作 CF⊥ x 轴于点 F， CE⊥y 轴于点 E，由题意，易知四边形 OECF为正方形，设正方形边长为x．∴OP＝ 2DQ．∵P(0，2t)，∴ Q(t ，0).∵对称轴OC 为第一象限的角均分线，∴对称点坐标为：M(2t ， 0)， N(0 ， t).(2)①当 0<t≤ 1 时，如图 3 所示，点M 在线段 OA 上，重叠部分面积为S△CMN .当1<t<2 时，如图 4 所示，点 M 在 OA 的延长线上，设 MN 与 AB 交于点 D，则重叠部分面积为 S△CDN设直线 MN 的剖析式为y＝ kx ＋b，将 M(2t ， 0)、 N(0， t) 代入，得2tk b 0b t综上所述，t 2 2t(0 y 1)S1 t2 2t 8 1 t 23 3②画出函数图象，如图 5 所示：观察图象可知，当t＝ 1 时， S 有最大值，最大值为 1．三、解题反思1、要点的一步本题在打破第 2 问时，可否得出t＝ 1 时重叠部分的关系会发生变化，这是决定性的一步，否则就不知该如何分类议论，解题就难以找到前进的方向．2、解题难点解决本题的主要困难第一是分类议论，依照题意知点P 运动的时间为t(0<t<2) 秒，可以确定点肘、N 运动过程中的三类点，即起点、界点（有的题中存在多个界点）和终点，由界点值划分范围，确定分类标准（平时状况下，为了书写方便简洁，可将界点值归入动向的范围），今后进行分类计算（关于几何图形问题，平时需要依照相似、三角函数、勾股定理以及图形面积建立方程等数学模型计算）．其次是重叠面积分类，当1<t<2时，我们面对的困难是如何对重叠部分的面积进行切割；如何用t 的代数式表示点 D 的横坐标；得出 S△CDN＝ S△BDN－ S△BCN也是比较困难的；再者分类后的计算，略不注意也可能出错．3、解题收获解决此类与运动、变化相关的问题，重在运动中剖析，变化中求解．第一，要掌握运动规律，追求运动中的特别地址，在“动”中求“静” ，在“静”中研究“动”的一般规律．其次，经过研究、归纳、猜想，获得图形在运动过程中可否保留或拥有某种性质，要用运动的眼光观察出各种可能的状况分类议论，较为精确地将每种状况一一表现出来．再次，要学会将动向问题静态化，立刻动向情境化为几个静态的情境，从中搜寻两个变量间的关系，用相关字母去表示几何图形中的长度、点的坐标等，很多状况下是与三角形的相似和勾股定理等联系在一起的，在整个解题过程中，要深刻理解分类议论、数形结合、化归、相似等数学思想．。

初中数学动点问题例题集[整理版]精品文档13页

动点问题专题训练1、如图，已知ABC △中，10AB AC ==厘米，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．（1）如果点P 在线段BC 上以3厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过1秒后，BPD △与CQP △是否全等，请说明理由； ②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使BPD △与CQP △全等？（2）若点Q 以②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿ABC △三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在ABC △的哪条边上相遇？解：（1）①∵1t =秒，∴313BP CQ ==⨯=厘米，∵10AB =厘米，点D 为AB 的中点， ∴5BD =厘米．又∵厘米，∴835PC =-=厘米8PC BC BP BC =-=，，又∵AB AC =，∴BPD CQP △≌△． ············································································· （4分）又∵BPD CQP △≌△，B C ∠=∠，则45BP PC CQ BD ====，， ∴点P ，点Q 运动的时间433BP t ==秒， ∴515443Q CQ v t ===厘米/秒． ·································································· （7分）（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇，由题意，得1532104x x =+⨯，解得803x =秒． ∴点P 共运动了803803⨯=厘米． ∴点P 、点Q 在AB 边上相遇， ∴经过803秒点P 与点Q 第一次在边AB 上相遇． ········································· （12分）2、直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解（1）A （8，0）B （0，6） ··············· 1分（2）86OA OB ==，点Q 由O 到A 的时间是881=（秒） ∴点P 的速度是61028+=（单位/秒） ·1分当P 在线段OB 上运动（或03t ≤≤）时，2OQ t OP t ==，2S t = ·········································································································· 1分当P 在线段BA 上运动（或38t <≤）时，6102162OQ t AP t t ==+-=-，, 如图，作PD OA ⊥于点D ，由PD AP BO AB =，得4865tPD -=， ······························ 1分 21324255S OQ PD t t ∴=⨯=-+ ······································································· 1分（自变量取值范围写对给1分，否则不给分．）（3）82455P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ···························································································· 1分12382412241224555555I M M 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，， ···················································· 3分3如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y =－2x －8分别与x 轴，y 轴相交于A ，B 两点，点P （0，k ）是y 轴的负半轴上的一个动点，以P 为圆心，3为半径作⊙P .（1）连结PA ，若PA =PB ，试判断⊙P 与x 轴的位置关系，并说明理由；（2）当k 为何值时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形？解：（1）⊙P 与x 轴相切.∵直线y =－2x －8与x 轴交于A （4，0），与y 轴交于B （0，－8）， ∴OA =4，OB =8. 由题意，OP =－k ， ∴PB =P A =8+k .在Rt △AOP 中，k 2+42=(8+k )2， ∴k =－3，∴OP 等于⊙P 的半径， ∴⊙P 与x 轴相切.（2）设⊙P 与直线l 交于C ，D 两点，连结PC ，PD 当圆心P在线段OB 上时,作PE ⊥CD 于E .∵△PCD 为正三角形，∴DE =12CD =32，PD =3， ∴PE. ∵∠AOB =∠PEB =90°， ∠ABO =∠PBE ， ∴△AOB ∽△PEB ，当圆心P 在线段OB 延长线上时,同理可得P (0,8)，∴k =－8， ∴当k－8或k =－8时，以⊙P 与直线l 的两个交点和圆心P 为顶点的三角形是正三角形.4（09哈尔滨）如图1，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形ABCO 是菱形，点A 的坐标为（－3，4），点C 在x 轴的正半轴上，直线AC 交y 轴于点M ，AB 边交y 轴于点H ．（1）求直线AC 的解析式；（2）连接BM ，如图2，动点P 从点A 出发，沿折线ABC 方向以2个单位／秒的速度向终点C 匀速运动，设△PMB 的面积为S （S ≠0），点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当 t 为何值时，∠MPB 与∠BCO 互为余角，并求此时直线OP 与直线AC 所夹锐角的正切值．解：5在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB -BC -CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）．（1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由；（4）当DE 经过点C 时，请直接．．写出t 的值．解：（1）1，85；（2）作QF ⊥AC 于点F ，如图3， AQ = CP = t ，∴3AP t =-．由△AQF ∽△ABC，4BC ==，得45QF t =．∴45QF t =． ∴14(3)25S t t =-⋅，即22655S t t =-+．（3）能．①当DE ∥QB 时，如图4．∵DE ⊥PQ ，∴PQ ⊥QB ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠AQP =90°．由△APQ ∽△ABC ，得AQ AP AC AB=，即335t t -=．解得98t =． ②如图5，当PQ ∥BC 时，DE ⊥BC ，四边形QBED 是直角梯形．此时∠APQ =90°．由△AQP ∽△ABC ，得AQ APAB AC=，即353t t -=．解得158t =．（4）52t =或4514t =． ①点P 由C 向A 运动，DE 经过点C ．连接QC ，作QG ⊥BC 于点G ，如图6．由22PC QC =，得22234[(5)][4(5)]55t t t =-+--，解得52t =．②点P 由A 向C 运动，DE 经过点C ，如图7．6如图，在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°，2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ，设直线l 的旋转角为α．（1）①当α= 度时，四边形E D B C 是等腰梯形，此时AD 的长为；图4P图5②当α=度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为；（2）当90α=°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．解（1）①30，1；②60，1.5；……………………4分（2）当∠α=900时，四边形EDBC是菱形.∵∠α=∠ACB=900，∴BC//ED.∵CE//AB, ∴四边形EDBC是平行四边形. ……………………6分在Rt△ABC中，∠ACB=900，∠B=600,BC=2,∴∠A=300.∴AB=4,AC.∴AO=12AC……………………8分在Rt△AOD中，∠A=300，∴AD=2.∴BD=2.∴BD=BC.又∵四边形EDBC是平行四边形，∴四边形EDBC是菱形……………………10分7如图，在梯形ABCD中，3545AD BC AD DC AB B====︒∥，，，．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t秒．（1）求BC的长．（2）当MN AB∥时，求t的值．（3）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．解：（1）如图①，过A、D分别作AK BC⊥于K，DH BC⊥于H，则四边形ADHK是矩形∴3KH AD==． ················································································1分在Rt ABK△中，sin4542AK AB=︒==．2cos454242BK AB=︒== ··························································2分在Rt CDH△中，由勾股定理得，3HC==∴43310BC BK KH HC=++=++= ·················································3分CMA D A D（2）如图②，过D 作DG AB ∥交BC 于G 点，则四边形ADGB 是平行四边形 ∴1037GC =-= ············································································· 4分由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，102CN t CM t ==-，．又C C =∠∠∴CN CMCD CG =··················································································· 5分即10257t t -= 解得，5017t = ···················································································· 6分（3）分三种情况讨论：①当NC MC =时，如图③，即102t t =- ∴103t =·························································································· 7分 ②当MN NC =时，如图④，过N 作NE MC ⊥于E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得()11102522EC MC t t ==-=- 在Rt CEN △中，5cos EC tc NC t-==又在Rt DHC △中，3cos 5CH c CD ==解得258t = ······················································································· 8分解法二：即553t t-=∴258t = ·························································································· 8分③当MN MC =时，如图⑤，过M 作MF CN ⊥于F 点.1122FC NC t ==解法一：（方法同②中解法一）132cos 1025tFC C MC t ===-解得6017t =解法二：即1102235tt -= 综上所述，当103t =、258t =或6017t =时，MNC △为等腰三角形 ··············· 9分A DC B M N（图③）（图④） AD C B M NH E （图⑤） A DCBH N MF8如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =. ①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由； ②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.A D E BF C图4（备用）ADE BF C图5（备用）A D E BF C图1 图2A D EBF C PNM 图3A D EBFCPN M（第25题）解（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ． 1分∵E 为AB 的中点，在Rt EBG △中，60B =︒∠，∴30BEG =︒∠． ············ 2分即点E 到BC····································· 3分（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．同理4MN AB ==． ·················································································· 4分如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN ==∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=． ······································· 6分 ②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形．当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．··················································································· 7分 ∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=． ··································· 8分当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===此时，615x EP GM ===-=-当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠．则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠，因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形． ···················· 10分9如图①，正方形 ABCD 中，点A 、B 的坐标分别为（0，10），（8，4），图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D EB F CG图2 C点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同速度在x 轴正半轴上运动，当P 点到达D 点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒．(1)当P 点在边AB 上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q 开始运动时的坐标及点P 运动速度；(2)求正方形边长及顶点C 的坐标；(3)在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大，并求此时P 点的坐标； (4)如果点P 、Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等，若能，写出所有符合条件的t 的值；若不能，请说明理由．解：（1）Q （1，0） ······················································································· 1分点P 运动速度每秒钟1个单位长度．································································· 2分（2）过点B 作BF ⊥y 轴于点F ，BE ⊥x 轴于点E ，则BF ＝8，4OF BE ==．在Rt △AFB中，10AB 3分过点C 作CG ⊥x 轴于点G ，与FB 的延长线交于点H ． ∵90,ABC AB BC ∠=︒= ∴△ABF ≌△BCH ．∴所求C 点的坐标为（14，12）． 4分（3）过点P 作PM ⊥y 轴于点M ，PN ⊥x 轴于点N ，则△APM ∽△ABF ．设△OPQ 的面积为S （平方单位）∴213473(10)(1)5251010S t t t t =⨯-+=+-（0≤t ≤10） ················································· 5分说明:未注明自变量的取值范围不扣分．∵310a =-<0 ∴当474710362()10t =-=⨯-时， △OPQ 的面积最大． ························· 6分此时P 的坐标为（9415，5310）． ····································································· 7分（4）当 53t =或29513t =时， OP 与PQ 相等． ················································· 9分10数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD 是正方形，点E是边BC 的中点．90AEF ∠=，且EF 交正方形外角DCG ∠的平行线CF 于点F ，求证：AE =EF ．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB 的中点M ，连接ME ，则AM =EC ，易证AME ECF △≌△，所以AE EF =．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上（除B ，C 外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE =EF ”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．A DFG B图1 A DFGB图2A DFC GB图3第 11 页解：（1）正确．（1分）证明：在AB 上取一点M ，使AM EC =，连接ME ．（2分）CF 是外角平分线，AME BCF ∴△≌△（ASA ）． ··································································· （5分） AE EF ∴=． ························································································· （6分）（2）正确． ····················································· （7分）证明：在BA 的延长线上取一点N ．使AN CE =，连接NE ． ··································· （8分）四边形ABCD 是正方形， ANE ECF ∴△≌△（ASA ）． ································································· （10分） AE EF ∴=． ······················································································· （11分） 11已知一个直角三角形纸片O AB ，其中9024AO B O A O B ∠===°，，．如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB 交于点C ，与边AB 交于点D ．（Ⅰ）若折叠后使点B 与点A 重合，求点C （Ⅱ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B 'OC y =，试写出y 关于x 的函数解析式，并确定y 的取值范围；（Ⅲ）若折叠后点B 落在边OA 上的点为B '，求此时点C 的坐标．解（Ⅰ）如图①，折叠后点B 与点A 重合，则ACD BCD △≌△.设点C 的坐标为()()00m m >，. 则4BC OB OC m =-=-. 于是4AC BC m ==-.在Rt AOC △中，由勾股定理，得222AC OC OA =+，即()22242m m -=+，解得32m =. ∴点C 的坐标为302⎛⎫⎪⎝⎭，. ··················································································· 4分（Ⅱ）如图②，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ',则B CD BCD '△≌△. 由题设OB x OC y '==，，则4B C BC OB OC y '==-=-，在Rt B OC '△中，由勾股定理，得222B C OC OB ''=+.AD F C G B M AD F GE B N第 12 页即2128y x =-+ ···························································································· 6分由点B '在边OA 上，有02x ≤≤，∴ 解析式2128y x =-+()02x ≤≤为所求.∴ 当02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小，y ∴的取值范围为322y ≤≤. ····································································· 7分（Ⅲ）如图③，折叠后点B 落在OA 边上的点为B ''，且B D OB ''∥. 则OCB CB D ''''∠=∠. 又CBD CB D OCB CBD ''''∠=∠∴∠=∠，，有CB BA ''∥. 有OB OC OA OB''=，得2OC OB ''=. ·································································· 9分在Rt B OC ''△中，设()00OB x x ''=>，则02OC x =. 由（Ⅱ）的结论，得2001228x x =-+，解得000808x x x =-±>∴=-+，∴点C 的坐标为()016. ··································································· 10分12问题解决如图（1），将正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C ，D 重合），压平后得到折痕MN ．当12CE CD =时，求AMBN 的值．，则AM BN 的值等于．（用含n 的式子表示）联系拓广如图（2），将矩形纸片ABCD 折叠，使点B 落在CD 边上一点E （不与点C D，重合），压平后得到折痕MN ，设()111AB CE m BC m CD n =>=，，则AMBN的值等于．（用含m n ，的式子表示）解：方法一：如图（1-1），连接BM EM BE ，，．由题设，得四边形ABNM 和四边形FENM 关于直线MN 对称．图（2）A BCD EFM图（1） AB C D E FM NN 图（1-1）A BCEF M第 13 页∴MN 垂直平分BE ．∴BM EM BN EN ==，． ···································· 1分 ∵四边形ABCD 是正方形，∴902A D C AB BC CD DA ∠=∠=∠=====°,． ∵112CE CE DE CD =∴==，．设BN x =，则NE x =，2NC x =-．在Rt CNE △中，222NE CN CE =+．∴()22221x x =-+．解得54x =，即54BN =． ········································· 3分在Rt ABM △和在Rt DEM △中，∴2222AM AB DM DE +=+． ····························································· 5分设AM y =，则2DM y =-，∴()2222221y y +=-+．解得14y =，即14AM =． ····································································· 6分∴15AM BN =．····················································································· 7分方法二：同方法一，54BN =． ································································ 3分如图（1－2），过点N 做NG CD ∥，交AD 于点G ，连接BE ．∵AD BC ∥，∴四边形GDCN 是平行四边形．同理，四边形ABNG 也是平行四边形．∴54AG BN ==．在BCE △与NGM △中90E B C M N G B C N G C N G M ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩，，°．∴BCE NGM EC MG =△≌△，． ························· ５分 ∵114AM AG MG AM =--=5，=．4 ····················································· 6分 ∴15AM BN =．··················································································· 7分类比归纳25（或410）；917； ()2211n n -+ ································································· 10分联系拓广2222211n m n n m -++ ······················································································ 12分N 图（1-2） A B C D EFM G。

(完整版)初二数学动点问题归类复习(含例题、练习及答案)

初二数学动点问题归类复习（含例题、练习及答案）所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点, 它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目. 解决这类问题的关键是动中求静, 灵活运用有关数学知识解决问题.关键: 动中求静. 数学思想：分类思想数形结合思想转化思想本文将初一至二学习过的有关知识，结合动点问题进行归类复习，希望对同学们能有所帮助。

一、等腰三角形类：因动点产生的等腰三角形问题例1：（2013 年上海市虹口区中考模拟第25 题）如图1，在Rt△ABC 中，∠ A＝90°，AB＝6，AC ＝8，点 D 为边BC 的中点，DE⊥BC 交边AC 于点E，点P 为射线AB 上的一动点，点Q 为边AC 上的一动点，且∠ PDQ ＝90°．（1）求ED 、EC 的长；（2）若BP＝2，求CQ 的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△ PDF 为等腰三角形，求BP的长．思路点拨1．第（2）题BP＝ 2 分两种情况．2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ ．解答：（1）在Rt△ ABC 中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．3 15 25在Rt△CDE 中，CD ＝5，所以ED CD tan C 5 ，EC ．4 4 4（2）如图2，过点 D 作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN 是△ABC 的两条中位线，DM＝4，DN＝3．由∠ PDQ ＝90°，∠ MDN ＝90°，可得∠ PDM ＝∠ QDN ．因此△ PDM∽△ QDN．①如图3，当BP＝2，P在BM 上时，PM＝1．3 3 3 19此时QN 3PM 3．所以CQ CN QN 4 3 19．4 4 4 4②如图4，当BP＝2，P在MB 的延长线上时，PM＝5．所以PMQNDM 4．所以QN 3PM ，PM 4QN．DN 3 4 3图2图33 15 15 31此时QN 3PM 15．所以CQ CN QN 4 15 31．4444（3）如图5，如图2，在Rt △PDQ 中，tan QPD QD DN3PD DM4在Rt△ ABC 中，tan C BA 3BA 3．所以∠ QPD＝∠ C．CA 4由∠ PDQ ＝90°，∠ CDE ＝90°，可得∠ PDF＝∠ CDQ．因此△ PDF∽△ CDQ．当△ PDF 是等腰三角形时，△ CDQ 也是等腰三角形．①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图 3 所示）．4 4 4 5此时PM QN ．所以BP BM PM 3 ．3 3 3 3②如图6，当QC＝QD 时，由CH cosC CH，可得CQ5425 CQ25825所以QN＝CN－CQ＝4257（如图 2 所示）．8847此时PM QN ．所以BP BM PM 3 7253666③不存在DP＝DF 的情况．这是因为∠ DFP≥∠ DQP >∠ DPQ （如图5，图6所示）．图5 图 6考点伸展：如图6，当△ CDQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三25角形，PB＝PD ．在△ BDP 中可以直接求解BP ．6二、直角三角形：因动点产生的直角三角形问题4 例2：（2008年河南省中考第23题）如图1，直线y x 4和x轴、y轴的交点分别为B、C，点3A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ ABC 是等腰三角形；2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒 1 个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S．① 求S与t 的函数关系式；②设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△ MON 为直角三角形时，求t 的值．5思路点拨：1．第（ 1）题说明△ ABC 是等腰三角形，暗示了两个动点 M 、N 同时出发，同时到达终点． 2．不论 M 在 AO 上还是在 OB 上，用含有 t 的式子表示 OM 边上的高都是相同的，用含有 t 的式子表示 OM 要分类讨论．3．将 S ＝4 代入对应的函数解析式，解关于 t 的方程．4．分类讨论△ MON 为直角三角形，不存在∠ ONM ＝ 90°的可能．解答：4（ 1）直线 y3 x4 与 x 轴的交点为 B （3，0）、与 y 轴的交点 C （ 0，4）．3Rt △BOC 中， OB ＝ 3，OC ＝ 4，所以 BC ＝ 5．点 A 的坐标是（ -2，0），所以 BA ＝5．因此 BC ＝ BA ，所以△ ABC 是等腰三角形．（ 2）①如图 2，图 3，过点 N 作 NH ⊥AB ，垂足为 H ．44 在 Rt △BNH 中， BN ＝t ， sin B ，所以 NH t ． 55 如图 2，当 M 在 AO 上时， OM ＝2－t ，此时1 1 42 2 4 S OM NH (2 t) t t t ．定义域为 0< t ≤2．2 2 5 5 5如图 3，当 M 在 OB 上时， OM ＝t － 2，此时11 42 2 SOM NH (t 2) t t 2 2 25 5解得 t 1 2 11， t 2 2 11（舍去负值）因此，当点 M 在线段 OB 上运动时，存在 S ＝4 的情形，此时 t 2 11 ．3③ 如图 4，当∠ OMN ＝90°时，在 Rt △BNM 中， BN ＝ t ，BM 5 t ，cosB ，4．55 5 54t5t 325 所以．解得 t ．t 58如图 5，当∠ OMN ＝90°时， N 与 C 重合， t 5．不存在∠ ONM ＝90°的可能．考点伸在本题情景下，如果△ MON 的边与 AC 平行，求 t 的值．如图 6，当 ON//AC 时， t ＝如图 7，当 MN //AC 时， t ＝2.5．6，BA ＝3 5 ．分别以 OA 、OC 边所在直线为 x 轴、 y 轴建立如图 1 所示的平面直角坐标系．图1图2 思路点拨： 1．第（ 1）题和第（ 2）题蕴含了 OB 与 DF垂直的结论，为第（ 3）题讨论菱形提供了计算基础．2．讨论菱形要进行两次（两级）分类，先按照 DO 为边和对角线分类，再进行二级分类，图6三、平行四边形问题：因动点产生的平行四边形问题例 3：（ 2010年山西省中考第 26 题）在直角梯形 OABC 中，CB//OA ，∠ COA ＝90°， CB ＝3，OA（ 1）求点 B 的坐标；（2）已知 D 、E 分别为线段 OC 、OB 上的点，直线 DE 的解析式；（3）点 M 是（2）中直线 DE 上的一个动点，在 D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形？若存在，请求OD ＝5，OE ＝2EB ，直线 DE 交 x 轴于点 F ．求 x 轴上方的平面内是否存在另一点 N ，使以 O 、 N 的坐标；若不存在，请说明理由．DO 与DM、DO 与DN 为邻边．解答：(1)如图2，作BH⊥x 轴，垂足为H，那么四边形BCOH 为矩形，OH＝CB＝3．在Rt△ ABH 中，AH ＝3，BA＝3 5，所以BH＝6．因此点 B 的坐标为(3,6)．22(2) 因为OE＝2EB，所以x E x B 2 ，y E y B 4 ，E(2,4)．33 b 5, 1设直线DE 的解析式为y＝kx＋b，代入D(0,5)，E(2,4)，得解得k ，b 5 ．所2k b 4. 21 以直线DE 的解析式为y x 5 ．21(3) 由y x 5，知直线DE 与x轴交于点F(10,0)，OF＝10，DF＝5 5 ．2①如图3，当DO 为菱形的对角线时，MN 与DO 互相垂直平分，点M 是DF 的中点．此时点M55 的坐标为(5, )，点N 的坐标为( －5, )．22②如图4，当DO、DN为菱形的邻边时，点N与点O关于点E对称，此时点N的坐标为(4,8)．③如图5，当DO、DM 为菱形的邻边时，NO ＝5，延长MN交x轴于P．考点伸展如果第( 3)题没有限定点N 在x 轴上方的平面内，那么菱形还有如图 6 的情形．由△ NPO ∽△ DOF ，得NP POOFNO，即NP PO 5．解得NP 5DF 5 10 5 5图3图5 图6DOPO四、相似三角形：因动点产生的相似三角形问题例4：（2013 年苏州中考28 题）如图，点O 为矩形ABCD 的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G 分别从A、B、C 三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点 E 的运动速度为1cm/s，点 F 的运动速度为3cm/s，点G 的运动速度为 1.5cm/s，当点 F 到达点 C （即点 F 与点 C 重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△ EBF 关于直线EF 的对称图形是△EB′F．设点E、F、G 运动的时间为t（单位：s）．（1）当t= s 时，四边形EBFB ′为正方形；（2）若以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似，求t 的值；（3）是否存在实数t，使得点B′与点O 重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；（3）本问为存在型问题．假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t 值，它们互相矛盾，所以不存在．解答：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF ，即：10﹣t=3t，解得t=2.5；（2）分两种情况，讨论如下：① 若△EBF∽△FCG ，则有，即，解得：t=2.8；② 若△EBF∽△GCF ，则有，即，解得：t=﹣14﹣2 （不合题意，舍去）或t=﹣14+2 ．∴当t=2.8 s或t=（﹣14+2 ）s时，以点E、B、F 为顶点的三角形与以点F，C，G 为顶点的三角形相似．（3）假设存在实数t，使得点B′与点O 重合．如图，过点O 作OM⊥BC 于点M，则在Rt△OFM 中，OF =BF =3t，FM = BC﹣BF=6﹣3t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM 2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t= ；过点O 作ON⊥AB 于点N，则在Rt△OEN 中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵ ≠3.9，∴不存在实数t，使得点 B ′与点O 重合．考点伸本题为运动型综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点．题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答．第（2）问中，需要分类讨论，避免漏解；第（3）问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．拓展练习：1、如图1，梯形ABCD 中，AD∥ BC，∠ B=90 °，AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm, 点P从 A 开始沿AD 边以1cm/秒的速度移动，点Q 从 C 开始沿CB 向点 B 以 2 cm/秒的速度移动，如果P，Q 分别从A，C同时出发，设移动时间为t 秒。

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线段与角的动点专项1．如图，射线OM 上有三点A、 B、C，满足 OA＝ 20cm， AB＝ 60cm， BC＝ 10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿 OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动，点Q 从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动（点Q 运动到点O 时停止运动），两点同时出发．（1）当 P 运动到线段AB 上且 PA＝ 2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段OC 的三等分点，求点 Q 的运动速度；（2）若点 Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P、Q 两点相距 70cm？2．如图，直线l 上依次有三个点O， A， B，OA＝ 40cm， OB＝ 160cm．（1）若点 P 从点 O 出发，沿OA 方向以 4cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点 B 出发，沿BO 方向匀速运动，两点同时出发①若点 Q 运动速度为1cm/s，则经过t 秒后 P， Q 两点之间的距离为cm（用含 t 的式子表示）②若点 Q 运动到恰好是线段AB 的中点位置时，点P 恰好满足PA＝ 2PB，求点 Q 的运动速度．（2）若两点 P，Q 分别在线段OA，AB 上，分别取 OQ 和 BP 的中点 M，N，求的值．3．如图，射线OM 上有三点A、 B、C，满足 OA＝ 60cm， AB＝ 60cm， BC＝ 10cm（如图所示），点 P 从点 O 出发，沿OM 方向以 1cm/秒的速度匀速运动．（1）当点 P 运动到 AB 的中点时，所用的时间为秒．（2）若另有一动点Q 同时从点 C 出发在线段CO 上向点 O 匀速运动，速度为3cm/秒，求经过多长时间P、 Q 两点相距30cm？4．如图，在数轴上点A表示的数是﹣ 3，点 B 在点 A 的右侧，且到点A 的距离是18；点 C在点 A 与点 B 之间，且到点 B 的距离是到点 A 距离的 2 倍．（1）点 B 表示的数是；点C表示的数是；（2）若点 P 从点 A 出发，沿数轴以每秒 4 个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q 从点 B 出发，沿数轴以每秒 2 个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P 与点 Q 之间的距离为6？（3）在（ 2）的条件下，若点P 与点 C 之间的距离表示为PC，点 Q 与点 B 之间的距离表示为 QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC+QB＝ 4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．5．将一副三角板放在同一平面内，使直角顶点重合于点O．（1）如图①，若∠ AOB＝ 155°，求∠ AOD、∠ BOC、∠ DOC 的度数．（2）如图①，你发现∠ AOD 与∠ BOC 的大小有何关系？∠AOB 与∠ DOC 有何关系？直接写出你发现的结论．（3）如图②，当△ AOC 与△ BOD 没有重合部分时，（2）中你发现的结论是否还仍然成立，请说明理由．6．以直线AB 上点 O 为端点作射线OC，使∠ BOC ＝60°，将直角△DOE 的直角顶点放在点 O 处．（1）如图 1，若直角△ DOE 的边 OD 放在射线OB 上，则∠ COE ＝；（2）如图 2，将直角△ DOE 绕点 O 按逆时针方向转动，使得OE 平分∠ AOC，说明 OD 所在射线是∠ BOC 的平分线；（3）如图 3，将直角△ DOE 绕点 O 按逆时针方向转动，使得∠C OD ＝∠ AOE．求∠ BOD的度数．7．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠ BOC ＝130°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC 的内部，且恰好平分∠ BOC，问：此时直线ON 是否平分∠ AOC ？请直接写出结论：直线ON（平分或不平分）∠AOC．（2）将图 1 中的三角板绕点O 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为．（直接写出结果）（3）将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转，请探究：当ON 始终在∠ AOC 的内部时（如图3），∠ AOM 与∠ NOC 的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例说明．9．已知∠ AOC ＝ 40°，∠ BOD ＝30°，∠ AOC 和∠ BOD 均可绕点O 进行旋转，点M， O，N 在同一条直线上，OP 是∠ COD 的平分线．（1）如图 1，当点 A 与点 M 重合，点 B 与点 N 重合，且射线OC 和射线 OD 在直线 MN 的同侧时，求∠BOP 的余角的度数；（2）在（ 1）的基础上，若∠BOD 从 ON 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为5° /s，同时∠ AOC 从 OM 处开始绕点O 逆时针方向旋转，转速为3° /s，如图 2 所示，当旋转6s 时，求∠ DOP 的度数．10．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，将一直角三角形的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠ BOC 的内部，且恰好平分∠BOC，问：直线 ON 是否平分∠ AOC？请说明理由；（2）若∠ BOC＝ 120°．将图 1 中的三角板绕点 O 按每秒 6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t 秒时，直线ON 恰好平分锐角∠AOC，则 t 的值为（直接写出结果）；（3）在（ 2）的条件下，将图 1 中的三角板绕点O 顺时针旋转至图3，使 ON 在∠ AOC 的内部，请探究：∠AOM 与∠ NOC 之间的数量关系，并说明理由．11．如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点O 作射线 OC，使∠ AOC：∠ BOC＝ 2： 1，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 ON 在射线 OA 上，另一边 OM 在直线 AB 的下方．（1）将图 1 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 2 的位置，使得 OM 落在射线OA 上，此时 ON 旋转的角度为°；（2）继续将图 2 中的三角板绕点O 按顺时针方向旋转至图 3 的位置，使得 OM 在∠ BOC的内部，则∠BON﹣∠ COM ＝°；（3）在上述直角三角板从图 1 旋转到图 3 的位置的过程中，若三角板绕点O 按每秒钟15°的速度旋转，当OM恰为∠ BOC的平分线时，此时，三角板绕点O 的运动时间为秒，简要说明理由．。

初中数学几何动点问题分类专题汇总全书

初中数学几何动点问题分类专题汇总全书近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。

通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。

数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。

（1）去伪存真。

刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。

（2）科学选择。

捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。

（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。

(完整版)初中数学动点问题归纳

BB动点问题题型方法归纳动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。

下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。

一、三角形边上动点1、（2009年齐齐哈尔市）直线364y x =-+与坐标轴分别交于A B 、两点，动点P Q 、同时从O 点出发，同时到达A 点，运动停止．点Q 沿线段OA 运动，速度为每秒1个单位长度，点P 沿路线O →B →A 运动．（1）直接写出A B 、两点的坐标；（2）设点Q 的运动时间为t 秒，OPQ △的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式；（3）当485S =时，求出点P 的坐标，并直接写出以点O P Q 、、为顶点的平行四边形的第四个顶点M 的坐标．解：1、A （8，0） B （0，6）2、当0＜t ＜3时，S=t2当3＜t ＜8时，S=3／8(8-t)t提示：第（2）问按点P 到拐点B 所有时间分段分类；第（3）问是分类讨论：已知三定点O 、P 、Q ，探究第四点构成平行四边形时按已知线段身份不同分类-----①OP 为边、OQ 为边，②OP 为边、OQ 为对角线，③OP 为对角线、OQ 为边。

然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。

2、（2009年衡阳市）如图，AB 是⊙O 的直径，弦BC=2cm ， ∠ABC=60º．（1）求⊙O 的直径；（2）若D 是AB 延长线上一点，连结CD ，当BD 长为多少时，CD 与⊙O 相切；（3）若动点E 以2cm/s 的速度从A 点出发沿着AB 方向运动，同时动点F 以1cm/s 的速度从B 点出发沿BC 方向运动，设运动时间为)20)((<<t s t ，连结EF ，当t 为何值时，△BEF 为直角三角形．注意：第（3）问按直角位置分类讨论3、（2009重庆綦江）如图，已知抛物线(1)20)y a x a =-+≠经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结BC ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．注意：发现并充分运用特殊角∠DAB=60°当△OPQ 面积最大时，四边形BCPQ 的面积最小。

动点综合问题-历届中考真题汇总专题(含解析答案)(原卷版)

备战2015中考系列：数学2年中考1年模拟第七篇专题复习篇专题38 动点综合问题☞解读考点知识点名师点晴动点问题中的特殊图形等腰三角形与直角三角形利用等腰三角形或直角三角形的特殊性质求解动点问题相似问题利用相似三角形的对应边成比例、对应角相等求解动点问题动点问题中的计算问题动点问题的最值与定值问题理解最值或定值问题的求法动点问题的面积问题结合面积的计算方法来解决动点问题动点问题的函数图象问题一次函数或二次函数的图象结合函数的图象解决动点问题☞2年中考[2014年题组]1.（2014年甘肃天水）如图，扇形OAB动点P从点A出发，沿AB线段BO、OA匀速运动到点A，则OP 的长度y与运动时间t之间的函数图象大致是（）2.（2014年贵州安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）A. 2B. 1C. 2D. 223.（2014年安徽省）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是【】A、B、C、D、4.（2014年江苏苏州）如图，直线l与半径为4的⊙O相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA＝x，PB＝y，则（x－y）的最大值是．5.（2014年四川资阳）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，E 是AB 边上的一点，且AE=3，点Q 为对角线AC 上的动点，则△BEQ 周长的最小值为__________6.（2014年浙江嘉兴中考）如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB=8，∠CBA=30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．下列结论：①CE=CF ；②线段EF 的最小值为23；③当AD=2时，EF 与半圆相切；④若点F 恰好落在BC 上，则AD=25；⑤当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是163．其中正确结论的序号是．7.（2014年湖南衡阳）如图，直线AB 与x 轴相交于点()40A -，，与y 轴相交于点()03B ，，点P 从点A 出发，以每秒个单位长度的速度沿直线AB 向点B 移动.同时，将直线34y x =以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA 于点C ，交OB 于点D ，设运动时间为()05t t <<秒.⑴证明：在运动过程中，四边形ACDP 总是平行四边形；⑵当t 取何值时，四边形ACDP 为菱形？请指出此时以点D 为圆心、OD 长为半径的圆与直线AB 的位置关系并说明理.8.（2014年浙江温州）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（-3，0），（0，6），动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线B O方向以每秒2个单位的速度运动.以CP，CO为邻边构造□PCOD，在线段OP延长线上取点E，使PE=AO，设点P运动的时间为t 秒.（1）当点C运动到线段OB的中点时，求t的值及点E的坐标；（2）当点C在线段OB上时，求证：四边形ADEC为平行四边形；（3）在线段PE上取点F，使PF=1，过点F作MN⊥PE，截取FM=2，FN=1，且点M，N分别在第一、四象限，在运动过程中，设□PCOD的面积为S.①当点M，N中，有一点落在四边形ADEC的边上时，求出所有满足条件的t的值；②若点M，N中恰好只有一个点落在四边形ADEC内部（不包括边界）时，直接写出S的取值范围.[2013年题组]1. （2013年北京市）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A. B.C. D.2. （2013年浙江金华、丽水）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=900，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC－CB运动，到点B停止。

初中数学动点题型汇总

初中数学动点集一、线段和、差中的动点（一）利用垂线段最短的性质解决最大（小）值的问题1.如下图所示，△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P 为AB 上的一动点，且PE⊥AC 于E，PF ⊥BC 于F，则线段EF 长度的最小值是。

2.如图所示，在菱形ABCD 中，过A 作AE⊥BC 于E，P 为AB 上一动点，已知135 AB BE ，EC=8，则线段PE 的长度最小值为。

3.如图所示，等边△ABC 的边长为1，D、E 两点分别在边AB、AC 上，CE=DE，则线段CE 的最小值为。

4.如右图所示，点A 的坐标为（0,22-），点B 在直线y=x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为。

5.在平面直角坐标系xoy中，直线y=2x+m与y轴交于点A，与直线y=-x+4交于点B（3，n），p为直线y=-x+4上一动点。

（1）求m，n的值（2）当线段AP最短时，求点p的坐标。

2。

6.已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=30试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的值最短，则此时AM+NB=。

（二）利用三点共线的特征解决最大（小）值的问题1.如图所示，四边形ABCD是正方形，边长是4，E是BC上一点，且BE=1，P是对角线AC上任意一点，则PE+PB的最小值是。

2.如图所示，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，M、N分别是AB，BC边上的中点，PM+PN 的最小值是。

3.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是。

4.如图1所示，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA上两个动点（不与C、D、A重合），满足DF=AE。

直线BE、AF相交于点G，则有BE=AF，BE⊥AF；如图2所示，F，E分别是正方形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点（不与D、A重合），依然有BE=AF，BE⊥AF；若在上述的图1与图2中，正方形ABCD的边长为4，随着动点F、E的移动，线段DG的长也随之变化。