空间向量复习PPT教学课件

（2）求EF与C1G所成的角的余弦；
的中点，
D1
C1
（3）求的FH长
A1
B1
E
H
D A
GC F
B
例题2
已知ABCD是上．下底边长分别为2和6，高为 3 的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角， 如图2. （Ⅰ）证明：AC⊥BO1； （Ⅱ）求二面角O－AC－O1的大小.
例题3
如图，在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD
的正方形，侧棱长为b，且 AA1B1 AA1D1 120 （1）求 AC1 的长；
（2）证明：AA1⊥BD， AC1⊥BD （3）求当a：b为多少时，能使AC1⊥BDA1
D1 A1
C1
D
B1 C
A
B
小测
1．棱长为a的正四面体 ABCD中，AB BC AC BD 。
2．向量a,b,c 两两夹角都是60 ， | a |1,| b | 2,| c | 3 ，
A’ A’ A’ A’ A’A’ A’ A’ A’ A’ A’ C’ C’ C’ C’ C’ C’ B’ B’ B’ B’ B’ B’
A A A A AA
C C C C CC C C C C C
B B B B BB
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么 它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
＋
S1 h1
h S
平行于平面α的任一平面去截
＋
Sh11
截面面积始终相等
h
＝
两个锥体体积相等
S
α
定理一、等底面积等高的两个锥体体积相等。
S1 h1
S1h1
h
h
S
S
α
证明：取任意两个锥体，设它们的底面积为S，高都是h。把这两个
放在同一个平面α上，这是它们的顶点都在和平面α平行的同
面内，用平行于平面α的任一平面去截截它面们分，别与底面相似，
则 | a b c |
。
3、已知SABC是棱长为1的空间四边形，M、N分别是
AB，SC的中点，求异面直线SM，BN与所成角的余弦值
S
N
A
C
M B
坐标法
例1．在棱长为的正方体ABCD A1B1C1D1中，EF分别是DD1, DB中点，
G在CD棱上，CG
（1）求证：EF B1C
1 4
CD ，H是C1G ；
• 点面
• 点线
距离 • 点面 • 线线
h | AB•n | |n|
• 线面 其中n为法向量
• 面面
堂上基础训练题
1.已知点A（3，-5，7），点B（1，-4，2），则
AB
的坐
标是_______ ，AB中点坐标是______
| AB|
= ____
2. 已知a (2,3,b)与b (4, a,2)平行，则a+b=_____
• 方向向量：若a // l称a是直线 l的方向向量
• 法向量 若n a则称n是a的法向量 ;
n a n • a x1x2 y1 y2 z1z2 0
空间角及距离公式
• 线线 cos | cos a •b |
夹角 • 线面 sin | cos a • n |
• 面面 | cos || cos n1 • n2 |
B’
高
1 11 1
A AA A
C
C C CC
CC
C
三棱B锥1、B2的B底B△ABBA’、△BB’A’BB的面积相等， 高也相等（顶点都是C）。
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’
3
C’
1
A
2 B’
C
三棱锥2、3的底 △BCB’、△C’B’C 的面积相等。
6、已知 a =（2，-1，3），b =（-4，2，x），若a与b 夹角是钝角，则x取值范围是_____
7.若 | a | 3,| b | 2,| a b | 7,则a与b 的夹角为
.
8.设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，
b＝7m＋2n，则a,b ＝________
向量法
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’
A’
A’
3
C’
2 B’
B’
1
A
C 三棱锥1、2的底
C
C
△ABA’、△B’A’B
的面积相等。
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 Sh
3
A’ A’ A’ A’ A’
A’ A’
A’
3
C’
2 2B’ B’ 2 B2’ B’
3
证明：在平面BCD内，作DE ⊥BC，垂足为E，
A 连接AE, DE就是AE在平面BCD上的射影。
根据三垂线定理，AE ⊥ BC。
∴ ∠AED＝θ。
V三棱锥＝
1 3
S△B CD ·AD
B θ
E
D
＝13
1
×2
BC
·ED
·AD
＝
1 3
×1
2
BC
·AEcosθ·AD
C
＝ 1 S△AB C ·ADcosθ
例题1．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分 别是OC与AB的中点，求证EF 1（OA OB OC）
2O
若 OA 8 AB 6 BC 5 AC 4 8
OAC 45 OAB 60
A
求OA与BC夹角的余弦
F6
E
4
C
B5
例题2
在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，底面ABCD是边长a为
奎屯
a b (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
a (x1, y1, z1)
a • b x1x2 y1 y2 z1z2
向量 的共线和共面
• 共线: (1)a // b a b 对应坐标成比例
(2)P、A、B三点共线 OP (1t)OA tOB
• 共面 (1)a,b, p共面 p xa yb 可以用a,b表示 p
C
B’ C
B
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
A’
它的体积是
A’ A’ A’ A’
V三棱锥＝
1Sh
3
A’ A’ A’ A’
A’
高
3
C’
2
2B’
B’
2
2 B’2B’
B’
2
2B’
2B’2 B’B’
1
A
C
C C C C C C C CC
三棱B锥2、3B的底B △BBCBB’、B △BC’BB’C的B面B积相等。 高也相等（顶点都是A’）。
（Ⅰ）证明AB⊥平面VAD （Ⅱ）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小
例题4
已 知 菱 形 ABCD， 其 边 长 为 2 ， ∠ BAD=60O， 今
以其对角线BD为棱将菱形折成直二面角，得
空间四边形ABCD（如图），求：
（a）AB与平面ADC的夹角；
二面角B-AD-C的大小。
A
D
B
C
小测
1 . 在 长 方 体 ABCD－A1B1C1D1 中 ， AB＝2，BC＝2，AA1＝6，
3
A’
C’ 把三棱锥1以
△ABC为底面、
B’
AA1为侧棱补成 一个三棱柱。
A
C
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是 V三棱锥＝ 1 Sh
3
连接B’C,然后
A’
C’ 把这个三棱柱
3
分割成三个三
B’
2
棱锥。 就是三棱锥1
１
和另两个三棱
A
C 锥2、3。
B
定理二：如果三棱锥的底面积是S，高是h，那么
它的体积是
V三棱锥＝
1 3
Sh
A’ A’ A’ A’A’AA’’ A’ A’ A’ A’ A’
C’ C’ C’ C’ C’ C’
3
１
A A A AAA
2 BB’’ B’ B’ B’ B’ B’ 就是三棱锥1 和另两个三棱
C C C C C CC C C C C C 锥2、3。
B B B B B BB
设截面和顶点的距离是h1，截面面积分别是S1、S2，
那么 ∵ S1
h2 1
，S
2
h2 1
S1 S2，S1 S2
S h2 S h2 S S
根据祖搄原理，这两个锥体的体积相等。
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
A’
C’
B’
A
C
B
与三棱柱相对照，请猜想三棱锥体积公式。
结论： V三棱锥＝VC-AE D＋VB-AE D
练习1：
将长方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥， 这个三棱锥的体积是长方体体积几分之几？（请 列出三棱锥体积表达式）
C’ A’
D’
问问题题12、、你如能果有这几是种一
个解平法行？六面
B’
体呢？或者
3
例题一：如图：已知三棱锥A-BCD的侧棱AD垂直于底
面BCD，侧面ABC与底面所成的角为θ 求证：V三棱锥＝ 1 S△ABC·ADcosθ