教案详案

24.2.2直线和圆的位置关系（1）

一、教学目标

知识技能

1.使学生理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系.

2.使学生了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系.

过程与方法

先观察直线和圆的位置关系的变化过程，在通过思考得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，最后，实现位置关系（形）与数量关系（数）的结合.

情感态度与价值观

通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.通过直线和圆的位置关系的探究，向学生渗透分类、数形结合的思想.

在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.

二、教学重点

经历探索直线与圆的位置关系的过程

理解直线与圆的三种位置关系

切线的概念以及切线的性质

三、教学难点

探索圆的切线的性质

四、教学过程

1.情景引入

【师】请大家仔细观察上面几幅图片，在太阳东升西落的过程中，太阳和地平线的位置关系怎样？如果把太阳看作是一个圆，地平线看作是一条直线，由此，你发现它们有几种位置关系？（PPt展示动态图）

【生】有三种位置关系。

【师】如何描述直线与圆的位置关系呢？这节课我们就来学习24.2.2直线和圆的位置关系（1）

２．新课讲解

【师】观察图中，当太阳还在空中时，与地平线这条直线的位置关系怎样？

【生】圆和直线不挨着

【师】也就是直线和圆没有公共点。当太阳缓缓下降的过程中，到达图中所示的位置时，观察图中直线与圆的位置关系怎样？（PPt展示动态图）

【生】直线与圆有一个公共点

【师】很好，而且到图中这个位置时，直线与圆的公共点有且只有一个。那么，当太阳继续下降过程中，如图所示，这时，直线与圆的位置关系又是怎样的呢？（PPt展示动态图）【生】直线和圆有两个交点

【师】很好。请同学们拿出一张纸，在纸上画一个圆，然后将直尺的边缘看成是一条直线，固定圆，平移直尺，观察直线和圆的位置关系又是怎样的？

【生】还是只有那三种位置关系，没有交点，只有一个交点，还有就是有两个交点的这三种位置关系。

【师】回答的很好，从以上的观察和实验中不难发现，直线和圆的位置关系就只有三种。如图，第一种直线和圆有两个公共点时，这时叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。第二种直线和圆有唯一的公共点时，叫做直线和圆相切。这条直线叫做圆的切线，唯一的公

共点叫切点。第三种直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。你能举出生活中直线与圆相交、相切、相离的实例吗？

【生】汽车的轮子在地面上时，相切。

【师】把地面看作直线，车轮看作圆，这时圆与直线相切，还有没有？相离，相交的？

【生】飘在空中的气球和地面，表盘和时针所在直线

【师】很好。观察图中的几幅图，直线与圆的是相交相切相离？

【生】（1）相离（2）相交（3）相切（4）相交

【师】我们前面已经学习了点与圆的位置关系，我们来回顾下点与圆的位置关系有哪些？（PPt 展示图表）第一个图中点与圆的位置关系是？

【生】点在圆外

【师】圆心到点的距离d 与半径r 的关系是？

【生】d>r

【师】下一个图

【生】点在圆上，d=r

【生】点在圆内，d

【师】仿照这种方法，我们又如何判断“直线与圆的位置关系”呢？令圆心O 到直线l 的距离为d ，圆的半径为r ，则直线和圆相离时，观察图中线段长度，我们能得到什么结论？

【生】d>r

【师】直线和圆相切时呢？

【生】d=r

【师】相交时？

【生】d

【师】现在我们已知直线与圆的位置关系，能得出圆心到直线距离d 和半径r 的大小关系，那么反过来，已知距离与半径的关系，能否也得出直线和圆的位置关系呢？

【生】能

【师】也就是说，以上关系是相互的，知道直线和圆的位置关系就能得到圆心与直线的距离d 和半径r 的大小关系，反过来也成立。下面来看几个例题。

例1.已知圆的直径为13cm ，设直线和圆的距离为d ：

1）若d=4.5cm ，则直线与圆_________,直线与圆有________个公共点.

2）若d=6.5cm ，则直线与圆_________,直线与圆有________个公共点.

3）若d=8cm ，则直线与圆_________,直线与圆有__________个公共点.

分析：圆的直径为13cm ，半径为6.5cm ，

1）d<6.5,所以直线和圆相交，有两个公共点

2）d=6.5,所以直线和圆相切，有一个公共点

3）d>6.5,所以直线和圆相离，有零个公共点

例2.在Rt ∆ABC 中，

90=∠C ，AC=4cm ，BC=3cm,以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 有怎样的关系？为什么？ （1）r=2cm （2）r=2.4cm （3）r=3cm

A

解：如图，过点C作AB

CD⊥于点D，在Rt∆ABC中

cm

BC

AC

AB5

2

2=

+

=

根据三角形面积公式有B C

AC

AB

CD⋅

=

⋅

cm

.4

2

5

3

4

AB

BC

AC

CD=

⨯

=

⋅

=

∴

即圆心C到AB的距离d=2.4cm

因此

）当

（,r

d,

cm

r>

=

∴2

1⊙C和AB相离

因此

时

）当

（,r

d,

cm

.

r=

=42

2⊙C和AB相切

因此

时，

）当

（,r

d

cm

r<

=3

3⊙C和AB相交

【师】方法总结，直线和圆的位置关系的判定方法有哪些？

【生】圆心到直线距离与半径比较，直线和圆的交点的个数

【师】观察探究，如图，AB是⊙O的直径，直线l经过点A，l与AB的夹角为α

∠，当l绕点A顺时针旋转时，圆心O到直线l的距离d如何变化？

【生】距离在变小

【师】那也就是说当l

AB⊥时，距离最大。那你能不能用一个命题来描述这个事实呢？

【生】当l

AB⊥时，圆心到直线ｌ的距离最大，且直线ｌ是⊙Ｏ切线【师】是

AB

⊙Ｏ的直径，直线ＣＤ经过点Ａ，且ＣＤ⊥ＡＢ

∴ＣＤ是⊙Ｏ的切线

这个定理实际上是说法

直线和圆相切的另一种

⇔

=r

d

即过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线

那反过来，由于直线ｌ切⊙Ｏ于点Ａ，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，所以有ＡＢ⊥ｌ。这实际上就是圆的切线的性质。那如何来证明呢？

D

C B