高三数学培优补差辅导专题讲座-平面向量单元易错题分析与练习p

平面向量易错题解析

1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？

2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用22||→→=a a ；22||y x a +=

） 3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）

4、你弄清“02121=+⇔⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-⇔→→y x y x b a ”了吗？

[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？

（1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=∙→→b a ，不能推

出→→=0b .

（2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→

→→→→→=⇒∙=∙c a c b b a .

（3） 在实数中有)()(c b a c b a ∙∙=∙∙，但是在向量的数量积中)()(→→→→→→∙∙≠∙∙c b a c b a ，这是因为

左边是与→c 共线的向量，而右边是与→a 共线的向量.

5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？

6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？

1、向量有关概念：

（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注

意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向

量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））

（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；

（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；

（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，

规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平

行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直

线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、

共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。

如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。

（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））

2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立

直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为

(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在

原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，

有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b ==

(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322

a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24

e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ∆的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表

示为_____（答：2433

a b +）；（4）已知ABC ∆中，点D 在BC 边上，且−→−−→−=DB CD 2，−→−−→−−→−+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）

4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：

()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。

5、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝

2

π时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做

与的数量积（或内积或点积），记作：∙，即∙＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数

量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如

（1）△ABC 中，3||=−→−AB ，4||=−→−AC ，5||=−→

−BC ，则=⋅BC AB _________（答：－9）； （2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为

4

π，则k 等于____（答：1）；

（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） （3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→a ，5||=→b ，且

12=⋅→→b a ，则向量→a 在向量→

b 上的投影为______（答：5

12） （4）∙的几何意义：数量积∙等于的模||a 与在上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥⇔∙=； ②当a ，b 同向时，a ∙b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =∙==；当a 与b 反向时，a ∙b ＝

－a b ；当θ为锐角时，∙＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，∙＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b θ∙=

；④||||||a b a b ∙≤。如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→

b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13

λ≠）；（2）已知OFQ ∆的面积为S ，且1=⋅−→−−→−FQ OF ，若2321<